（流体力学专业论文）自由剪切层中的随机化与频谱展宽.pdf

中文摘要 由实验观察到，当在自由剪切层( 混合层或尾迹流) 中加入两个相近频率劬， 蛾的扰动波时，频率为坍劬刀婢的不稳定波将发展到相当显著的水平，因此导 一一 致了流动的频谱展宽和随机性。本文针对以上实验现象，在以前有关非平衡非线 性临界层研究的基础上，推导出描述边频( 带) 扰动的非线性演化方程。采用了 具有三阶精度的a d a m s 预测校正格式数值求解演化方程，研究在加入边频( 带) 不稳定波的情况下，非线性作用对流动稳定性的影响。最后将计算结果与实验结 果进行对比，得出了以下主要结论： 1 对于原本线性增长的不稳定波，在加入边频带不稳定波后，由于相互作 用，一个波的增长率明显大于它的线性增长率。 2 验证了实验现象，由于两个相近频率q ，的波的相互作用，频率为 a o j = 锡一皱的分量首先被激发，幅值很快增长。 3 差频缈= q 一哆增长后，- 与a , l ，哆及它们的谐波相互作用，最后会导 致各种组合频率嗍+ _ n c o z 成分的幅值有很大的增长，从而在所q 附近产 生了频谱的展宽现象，并有可能导致随机性的发生。 关键词：非线性，混合层，临界层，数值模拟，随机性，频谱展宽 a b s t r a c t i th a sb e e no b s e r v e de x p e r i m e n t a l l yt h a tw h e naf r e es h e a rl a y e r ( s u c ha sa m i x i n gl a y e ro raw a k e ) i sp e r t u r b e db ya d i s t u r b a n c ec o n s i s t i n go ft w ow a v e s w i t h f r e q u e n c i e sqa n d 吐，c o m p o n e n t sw i t h c o m b i n a t i o n f r e q u e n c i e s 研q + t 0 0 2d e v e l o pt oas i g n i f i c a n tl e v e l ，t h e r e b yc a u s i n gf l o wr a n d o m i z a t i o n i nt h i st h e s i s ，s u c hf l o wr a n d o m i z a t i o np r o c e s si si n v e s t i g a t e dt h e o r e t i c a l l yf o r t h ec a s ew h e r e 国= q 一哆i ss m a l l t h ep e r t u r b a t i o nc a nt h e nb et r e a t e da s m o d u l a t e dw a v et r a i n an o n l i n e a rs y s t e mg o v e r n i n gi t se v o l u t i o ni sd e r i v e db v u s i n gt h en o n - e q u i l i b r i u mn o n l i n e a rc r i t i c a l l a y e rt h e o r y t h ee v o l u t i o ns y s t e mi ss o l v e dn u m e r i c a l l yu s i n gat h i r d - o r d e ra d a m s p r e d i c t o r - c o r r e c t o rs c h e m et os t u d yt h ei n t e r a c t i o n o fs i d e b a n d i n s t a b i l i t y w a v e si n t r o d u c e dt ot h ef l o w t h ef o l l o w i n gf i n d i n g sa r em a d e 1 d u et ot h ei n t e r a c t i o na m o n gt h es i d e b a n di n s t a b i l i t yw a v e s ，o n eo ft h e w a v e sw o u l da m p l i f ya tar a t es i g n i f i c a n t l yl a r g e rt h a ni t sl i n e a r 2 b e c a u s eo ft h ei n t e r a c t i o no ft w ow a v e sw i t hf r e q u e n c i e so fqa n d 呸，aw a v e 诵mt h ed i f f e r e n c ef r e q u e n c ya c o = q 一哆i sf i r s t g e n e r a t e da n dg r o w sr a p i d l y , c o n f i r m i n gt h ee x p e r i m e n t a lo b s e r v a t i o n 3 a st h ew a v ew i t ht h ed i f f e r e n c ef r e q u e n c yo fa ( o = q 一哆g r o w s ，i t i n t e r a c t sw i t ht h et w ow a v e sw i t hf r e q u e n c i e so fqa n d 哆a sw e l l a sw i t ht h e i rh a r m o n i c s t h i sl e a d st o r a p i dd e v e l o p m e n to f c o m p o n e n t sa tv a r i o u sc o m b i n a t i o nf r e q u e n c i e s ，埘皑+ n w 2 s u c ha s p e c t r a lb r o a d e n i n gm a yc a u s ef l o wr a n d o m i z a t i o n k e yw o r d s ：n o n l i n e a r , m i x i n gl a y e r , c r i t i c a ll a y e r , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ， r a n d o m i z a t i o n ，s p e c t r u mb r o a d e n i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞基堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 撇虢、刁争吼加7 嘶终日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丕鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：2 加7 年 导师繇秀f 别 导师签名： 不。饧m 弓 签字日期：仂户7 年月f 乒日 论丫日 7 ) 7 厂一 ，戈 月 、厂d 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论 1 8 8 3 年0 r e y n o l d s 2 6 1 进行了著名的r e y n o l d s 实验，发现圆管流动存在层流 和湍流两种不同的流态。所谓层流，即流场在时间和空间上呈现规则有序状态； 湍流是指流场在时间和空间呈现紊乱的随机特征。在同一实验条件下，决定层流 还是湍流出现的参数是后来被称之为的r e y n o l d s 数，r e = u d v ，其中d ，盼别 为圆管直径和中心速度，y 为运动粘性系数。当r e 2 0 0 0 时，湍流出现。 2 0 世纪初，p r a n d t l 2 3 埂出边界层概念，即由于粘性作用，流体黏附于固体 壁面上，摩擦力阻滞了固体壁面附近薄层内流体的运动，这个薄层就是边界层。 边界层中同样存在层流和湍流两种流态：靠近前缘的部分是层流，充分下游的部 分是湍流。控制刻画层流一湍流转捩的是局部r e y n o l d s 数r e = 虬y ，其中，虬 为来流速度，沩离前缘的距离。 所谓流动稳定性理论，最初就是为了解释层流至湍流的转捩问题而发展起来 的。流动稳定性理论的基本思想【2 q 是：在某一雷诺数下，存在着一个定常的层 流解，如果在初始时刻由于外界某种扰动的影响，瞬时流偏离了这个层流解，但 随着流动的发展扰动量最终都衰减了，则定义为该流动是稳定的。否则，为不稳 定的。流动稳定性理论就是研究扰动演化规律的理论，在数学上，它是一个偏微 分方程的初( 边) 值问题。 任意层流的稳定性是一个及其困难的数学问题，因此，流动稳定性理论主要 考虑最简单的情况，如平行流动，即流线相互平行的流动。常见的平行流动有平 面槽道和圆管流动。2 0 世纪初，o r r 和s o m m e r f e l d 建立了研究平行流粘性稳定性 的小扰动方程，f l 口o r r - s o m m e r f e l d 方程【2 6 1 ，其简要推导过程如下： n s 方程和连续方程具有定常层流解，速度矢量为u 。，压力为p 。；设i i ，p 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 为偏离该层流解的扰动项，g i n 。= u o + u 。，p 。= p o 十p 代入n s 方程和连续方程， 消去u 。，p 。满足的方程，略去二阶项，得到线性化的扰动方程。对于定常平行 流动，u 。与流向坐标x 和时间，无关，因而可将扰动项写成如下行波解( 即简正 模态) 形式： u = f i ( y ) e 4 硝十c c ，p = 蚕( y ) p “一科+ c c 。 再代入线性化的扰动方程，整理即得o r r - s o m m e r f e l d 方程： ( d 2 一口2 ) 2m 妇月 ( - m a ) ( d 2 一口2 ) - 0 2 参= o ， ( 1 1 1 ) 该方程与齐次边界条件，如 y = 1 时帚= 肼= 0 ， 形成一个特征值问题，这是流动线性稳定性理论的基本数学问题。其中国和口分 别代表小扰动的频率和波数。对于时间( 空间) 演化模式，口( 国) 为实数，彩 ( 口) 可由求解特征值问题而得，它们的虚部决定流动的稳定性。 线性稳定性理论可以解释小扰动发展的内在机理，但是当小扰动增长到超出 一定幅值时，线性稳定性理论就不再成立。特别是线性理论不能描述各谐波的产 生、相互作用及演化。为了研究扰动幅值较大时扰动的演化规律，必须发展非线 性稳定性理论。对于严格的平行流动，s t l l a r t 【2 伽和w a t s o n 2 1 】提出了流动稳定性的 弱非线性理论，这一经典理论被认为是流动稳定性理论中最重要的成就之一。但 是周恒等【2 2 】，【2 5 】经过分析发现流动稳定性的经典弱非线性理论有严重的缺点： l a n d a u 方程的收敛半径非常小，在初始时理论不能很好与实验相符。周恒等对实 。 验资料进行了细致的观察分析后，找到了存在于弱非线性理论中的根本缺陷，并 给出改进的方法。 严格的平行流动在自然界极少见，在工程技术中也很少出现。而近似平行流 动则是常见的，例如边界层流动，射流，自由剪切层等。自由剪切层指的是两侧 没有边壁的流动。我们所要研究的混合层，就是自由剪切层的一种比较简单的情 况。 平面混合层出现在许多工程应用与自然现象中，如化学工程中反应剂与氧化 剂间的混合，发动机燃烧室中的流动及大气海洋流动。在这些流动中，扰动的演 一2 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 化直接关系着反应物的混合，热能的释放效率，大气和海洋中的动量输送。因此， 混合层的稳定性及转捩作为一个具有重要实用背景的基本问题，几十年来被广泛 研究。 1 2 问题的由来与研究背景 我们要研究的模型如图1 1 所示。上下速度分别为己和的两股均匀流体 被薄平板分隔，其中u 职。两股流体在平板的后缘处汇合后，由于速度梯 度和粘性扩散的作用，将发生混合。在分离板的后缘附近区域，上下两股流体在 分界面上的流速均很小，即上下两部分流体均有一边界层。但由于剪切力的作用， 这一速度亏损在距分离板较远处消失了，形成了如图所示的存在拐点的光滑速度 剖面。由于这样的剖面是无粘不稳定的，人为的或不可避免的外来扰动会在混合 层中激发r a y l e i g h 不稳定波。不稳定波向下游传播并不断增长，非线性作用就会 逐渐显露。由于非线性的作用，流场中会出现卷起现象( r o l l u p ) 而产生集中 的展向涡。上游的涡会合并( p a i r i n g ) 成大涡。在涡合并的地方，混合层厚度 会突然增加。涡的合并是混合层厚度增长的主要机制【2 4 】。 图1 1 剪切层模型示意 1 2 1 问题的由来：实验研究 本文的问题来自- t m i k s a d ( 1 9 7 3 ) t 1 4 f 阿i s a t o ( 1 9 7 0 ) 1 刀分别关于混合层和平板尾 迹流转捩的实验。 他们引入了一个包含两个频率波q 和哆的扰动，q 和哆很接近。他们监控 3 天津大学硕士学位论文第一章绪 论 了流动中频谱的变化，并观察到q 和哆相互作用可能增大或减小增长率。这个 作用依赖于q 和的相对量级。最有意义的发现是关于差频波和高次谐波，频 率为q 和哆的两个波的相互作用产生了差频= 0 9 1 0 9 2 的频谱分量。这个差频 被发现有非常大的幅值。然后这个差频与其它频率相互作用，激发了频率为 嗍+ _ n c a z ，或t o o ) i + n a c o ( m ，刀= 1 ，2 ，) 的分量，在这些频率上出现了明显峰值。 图1 2 是m i k s a d ( 1 9 7 3 ) 1 4 1 实验测量所得到的谱演化图。图1 2 ( a ) 是只加入单一频 率石= 2 2 5 h z 的谱的演化；图1 2 ( b ) 是只加入单一频率五= 2 9 5r l z l 约谱的演化； 图1 2 ( c ) 是同时加入了两个频率石= 2 2 h z 和五= 2 9 5h z 的谱的演化。很显然，在 单一频率扰动情形，谱的峰值仅出现在基本频率和它的亚谐，超谐波频率附近。 但对于两个频率扰动，频谱的成分变得复杂得多。图1 3 和图1 4 是显示了各种 成分的幅值演化图。其中图1 3 是同时加入了两个频率z = 2 2 h z 和正= 2 9 5 h z 的 幅值的演化。图1 4 是只加入单一频率彳= 2 2 5 h z 的幅值的演化。 出现在组合频率( 嗍+ n o 醴2 ) 的峰值逐渐展宽从而导致流场的随机化。时间 序列表明在非线性的早期阶段扰动是一波群的形式，它们的幅值调制和相位调制 的时间尺度是( a a o 。越向下游，波动越没有规律。m i k s a d ”】等试图从非线性 作用调制扰动的幅值和相位从而导致频谱的展宽这一角度来解释流动的随机化 过程。但他的分析是基于经典的弱非线性概念，而我们将会看到，经典的弱非线 性理论并不适用于混合层这样的流动。 另外，我们注意到，k a c h a n o v ，k o z l o v 和l e v c h e n k o ( 1 9 7 9 ) 5 】在b l a s i u s 边界层 中进行了类似的实验研究。他们观察到当两个模态非常相似时，频谱展宽同样发 生。只不过在那里转捩是由粘性t o l l m i e n s c h l i c h t i n g ，而不是由无粘r a y l e i g h 不 稳定波引起的。 在所有这些实验中，两个波的差频q 一哆都很小，即一个波在另一个波的边 频带之中。这样的波通常被称为边频带( s i d e b a n d ) 扰动，本文以下简称之为边频 扰动。m i k s a d 和s a t o 推测：频谱展宽及随机化都同边频扰动的作用和不稳定性 有关。但是，他们并没有提出相应的数学理论。 一4 天津大学硕士学位论文 帮一章绪论 在本文中，我们将建立个描述边频非线性作用和边频不稳定性的合理数学 理论，以期为上述实验观察提供理论解释。 a ) 单一频率= 2 25 h z 嘞单一频率 = 2 95 h z ( c ) 两个频率= 2 2 h z 和 = 2 95h z 图1 2m i k s a d ( 1 9 7 3 ) i t 4 实验所得的谱的演化 虢虹。 警 m 送 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 曲x ，五；0 ，z ；皿 一；6 ， + ( b ) q ：a 正+ 幔一石) ；v ， ；q 矾 天津大学硕士学位论文第章绪论 c ) o ，m ；，+ ( d ) 。t 职：，+ 正) ：6 ，2 ( + ) 图i3m i k s a d ( 1 9 7 3 ) 实验加入两个频率的幅值的演化 i o j 鼬。q ”，女o n 图1 4m i k s a d ( 1 9 7 3 ) n 4 实验加入一个频率的幅值的演化， x ：。，硝；a ，瓢：d ， ；p ，“ 1 2 2 关于混合屡的稳定性理论 自由混合层最典型的特征就是平均速度剖面具有拐点。由r a y l e i g h 拐点定 理知，这种存在拐点的速度分布对于小扰动有可能是无粘不稳定的，空间模式计 算表明在特定的频率范围内小扰动的确会很快增长。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 基于这一认识及r e y n o l d s 数通常较大这一事实，忽略0 s 方程中的粘性项， 就得到描述小扰动无粘不稳定性的r a y l e i g h 方程： ( d z - a 2 ) 蚕一里丑移：o ，y 一o o 时0 ：o( 1 2 1 ) 一c 其中c = 州口。需要指出的是，混合层指的是两侧没有边壁的流动，所以此处边 界变为y 专+ o o 。 m i c h a l k e ( 1 9 6 4 ，1 9 6 5 ) t 1 1 - 1 3 1 分别用线性稳定性空间模式和时间模式计算了扰 动波的增长率等特性。将双曲正切速度剖面作为流场的基本流，考虑小扰动波， 研究了无粘条件下的线性扰动方程的特征值问题和特征函数，m i c h a l k e 分析了涡 的形成过程和分布，得出涡量的极值位置与混合层厚度的关系。 m 0 n k 捌切和 i u e r r e 【1 6 】研究了平均流速度剖面对流动稳定性的影响，他们研 究了b l a s i u s 解出的混合层速度剖面和双曲正切速度剖面，发现稳定性分析得到的 扰动波空间增长率近似i e t 七：p 速度比五= ( u l 一) ( u + ) 。 线性稳定性理论可以描述混合层中小扰动的初期发展，但是当小扰动增长到 一定幅值时，线性近似就不再成立，非线性效应( 如各谐波的产生及演化) 必须 考虑。l i u 等【8 。1 0 1 利用能量法和形状假设【1 9 1 ，并考虑到混合层厚度的变化，研究 了混合层中不同谐波间和大小尺度扰动间的能量交换。但是，由于使用了形状假 设，且忽略了高阶谐波，其得出的结论应用范围局限性很大。 但是我们稍后将会看到，把经典弱非线性理论推广，应用到象混合层这样的 近似平行流动会遇到一个本质困难。数学上自洽的非线性理论是近二十年来发展 起来的非平衡非线性临界层理论，下面将简单介绍。 1 2 3i 临界层理论介绍 r a y l e i g h 方程的问题是，不能在整个区域都不考虑粘性，必须在边界层和所 谓的临界层里考虑粘性作用。这是因为，忽略粘性后，方程的阶数低了两阶，相 应地，边界条件少了两个。因此必须在两个边界上加一个粘性不能忽略的边界层。 但是，即使加了边界层，还不能完全解决问题。在稳定性理论中，尤其是在研究 8 天津大学硕士学位论文第一章绪论 非线性演化时，常常需要计算中性模态，对于中性模态，和c 取实数。但是又 可以证明，这时c 的值必定 , 4 0 的最大值和最小值之间。也就是说，( 1 2 1 ) 的第 二项的分母一c 必有等于零的地方。也就是说，在相速度等于平均流速度的地 方，( 1 2 1 ) 出现奇性。于是在围绕2 o c = 0 的点，就必须把原先略去的( d 2 一口2 ) 2 项恢复，从而消除在一c = 0 附近的奇性。这又是一个薄层，其中粘性项不能忽 略。这一薄层就称为临界层。我们设在y = 咒处( 儿) = c ，则将。( 咒) = 0 的称 为非奇异的临界层，或正则临界层( r e g u l a rc r i t i c a ll a y e r ) ，d o ( 咒) 0 的称为奇异 临界层，或非正则临界层( s i n g u l a rc r i t i c a ll a y e r ) 。 所以，尽管在大多数地方可以不考虑粘性，但在边界层和临界层内，粘性是 不能被忽略的。在临界层外部r a y l e i g h 方程成立，但方程的解在y = 咒呈现对数 奇性，即移一兄) 1 n ( y 一兄) 。为了给出在y 咒时l n o 一咒) 的正确分枝，在临 界层内部必须恢复粘性项，这就是经典的粘性线性临界层理论1 6 。分析表明，当 y o 时，a ( r ，宙) = o ，这样向着下游方向所有的分 量都是增长的。再利用方程( 2 2 1 ) 的f 0 u r i e r 变换和方程( 2 2 6 ) ，得 建幺壶。p 埘7 铲e x p ( i ( ) + c c ( 2 2 7 ) 其中 f i 0 = 一汤( 1 一1 ) f e x p 一号互善3 一i ( r l + c b 一西咚) 掌) c 增。 由方程( 2 1 2 3 ) 可得谱函数演化的控制方程 1 7 天津大学硕士学位论文 第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 陋知毒) 一焉卜一( 二+ 珈“c 2 - 1 ；lr 谚固叩= 等 d 2 & f l + i ( 2 a 2 c - 1 斟 其中代表而z ，衙变换中的非线性项，( 谢- i - c c ) 挈。 d r 这种情况在本文中并未进行数值模拟，但是值得以后进一步研究。 2 3 边界条件的处理 由引文 4 】q 可以展成f o u r i e r 级数 q = g ( r ，不，7 ) 矿k 喝”， 其中q 。= 建，q 0 = o 1 ，2 ，) 满足如下方程组 ( 2 2 8 ) ( 2 3 - i ) 1 0 f + 云0 + 咖一万茅 q + z 南c 彳q r 么q 。= 一瓯。( 昙+ 昙一溉 彳， g 却= 一溉人。彳+ a 。万o d + 人：罢。 从方程( 2 3 2 ) ，可以推知当7 7 j o o 时，有 ( 2 3 - 2 ) ( 2 3 - 3 ) q 寸传一砉( 鲁+ 昙) 一事( 鲁+ 昙) 2 ) ( 昙+ 昙一溉) 么+ 。c 矿，q 小4 ， q 一一譬+ 等 么( 昙+ 昙) 一彳( 昙+ 昙 么+ 溉h 2 ) + 。c 矿，q 孓5 ， q 音彳( 昙+ 昙一溉) c n 。 ， 1 8 天津大学硕士学位论文第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 2 4 方程( 2 3 3 ) 的处理 方程( 2 3 3 ) 中的积分必须求其c a u c h y 主值。可以在，7 方向取足够大的有限区 域一肘r m 。则( 2 3 3 ) 变为 一i s o a i a + a , ! 口t a i + 人：罢= 。一云( 昙+ 刳( 昙+ 昙一溉) 彳+ 。c m 。3 ，q 4 ， k = 己矿q 虮 将其化为一个一阶系统。对方程两边同时作用+ 当，得 ( 一溉，人去+ t 刳陆+ 割彳= 去+ 叁g 却锄 - 2 m 睁昙一哦) 么一破t + o ( ) o 一 人：( 委+ 昙) 2 彳= 一( 一峨a 。+ 昙) 彳一2 膨( 昙+ 昙一i s o ) 彳一珥。+ 。c m 1 ， 其中人d = a 1 一a 2 。 将( 2 4 3 ) 代入( 2 4 1 ) ，消去( 昙+ 当：么项，得 一i s o a i a - 人，等+ a ：面0 a = 。+ 鲁( 昙+ 昙弘 + 去( 一碗人。+ 昙) 么+ 丢( 旦o r + 昙一峨) 么+ 凝+ 。c m 2 ，。 1 9 天津大学硕士学位论文第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 ( a 2 - 争j 43 ( 鲁v + 跏二( 一去a 。+ a d o 彳一等彳 + 杀+ d ( 矿) 。 + 旦+ u l 埘l 。 m 人， 、 ( 2 4 - 5 ) 注意此方程为对i 的一阶导数，截断误差为o ( m - 2 ) 。 对方程两边同时作用( 昙+ 昙) ，得 a f0 霄 ( 分百2 i s o 一书( 昙+ 刳2 彳= 乏肘岳+ 面0 一溉) 么砜 一( - 一去 ( 一溉人。+ 人d 昙) ( 昙+ 昙) 彳4 人i s ：ol ( a 0 + 昙) 彳 + 去卜一刁南( q 2 卅q o ) m 删- 1 ) 。 = 卜一( 云 刳一矧( 妄+ 昙) 二 + 2 m i s o 么砜+ 去( 。k ) + d ( 矿) 。 现在在方程( 2 4 1 ) 和( 2 4 6 ) 之间消去( - 刍+ 刍2 a 项，即得 d f0 x 天。筹也罢戈悟+ 剖m 。彳 2 ( a 2 - 鲁一剖”鲁卜瓦4 以) + 0 ( ， 其中 天，= ( 妒鲁) ( a 2 _ 百2 i s o 一舟2 2 一警 ，一去 + 嚣 天d = 小瓦2 舻c 。1 z 辩 耻一叭( a 2 - 百2 i s o j 41 “氓。 2 0 一 ( 2 4 - 7 ) ( 歹= 1 ，2 ) ， 2 5 线性边频带不稳定性 最简单的情况就是只有单一频率的扰动波。此时，幅值函数可写为 a = a o ( - i ) e 一嘞7 。 幅值4 ( i ) 和相对应的涡q 。符合把a a f 用一溉替换后的方程( 2 1 - 2 3 ) 。这是 g o l d s t e i n 和l e i b ( 1 9 8 8 ) 4 1 和g o l d s t e i n 和h u i t g r e n ( 1 9 8 9 ) 【3 】所研究的情况，在引文【3 】 和 4 】中，他们解出了将q 。展成f o 嘶e r 级数后的系统 q 。= z o , o ( i ，7 7 弦暂， 乎= f 一- 5 i d f 。 他们的结果显示扰动演进，上游简单行进波由于非线性的作用而卷起，演化成实 验中所常见的集中的展向漩涡。我们将采取如下方法研究这些涡的稳定性，令 么= a o ( x - ) e - n * + 6 a ( i , r ) e - 如，q = q o + 施； ( 2 5 1 ) 我们假定万d ( 1 ) ，即边频的幅值远小于主频的幅值。代入( 2 1 2 3 ) 并作线性化， 则我们可以得到描述边频扰动的线性系统： 昙+ 昙+ 刁专一c 地+ 如，南一万鲁卜一q 瓢历+ c ， = 一( 鲁+ 昙一溉) j 去t ”酚芬d 乎却= 一蛾人。j + a 。要+ 人：警。 对于( 2 2 - 4 ) 那样的边频带扰动，我们可以得到： j = j + e 一媳7 + 五一e 地r ， 盎= 岔( 乎，i ，r ) e - 诘7 + 叠一( 乎，i ，r ) e i f ( 2 5 - 2 ) 睁知廿? 印妒卅悃前，哪 = 一隆c 心，卜一降拟心，卜牙 一 土2 z r 督髫d r = - i ( & + ) 人。n 人：豢 ( 2 5 - 4 ) 2 1 天津大学硕士学位论文第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 其中关于q 1 的方程是互相复共轭的，壹一= 矗”。 函数秤可以进一步分解为f o u r i e r 级数 壶1 = 矗：p 鹭 为使壶为实数，其中的系数符合条件 矗：= 簖 将其代入( 2 5 3 ) 和( 2 5 4 ) ，得 卜昙咖一z _ 可0 2p 哆，一嘁 = ( 岔q 前蟛吨隆“& + ) p ( 删，1 2 ，) 禽加似瓯) a 。“a ：等 其中瓯。函数为 疋l = l ，玎= 1 l 瓯l = o ，雄1 j 斧可由如下方程进行估计，( 演化方法见2 4 ) 。 ( 2 5 - 5 ) ( 天：瓜d ) - 翩- - 孑+ ( 天。干瓜。+ 天d 2 ) 五 和鲁o x 球+ 考露一去掣+ 织) 仁5 石 2 6 非线性边频扰动的演化 当边频波幅值与主频波幅值相当时，线性系统( 2 5 - 2 ) 不再成立。此时，对于 形式为( 2 2 4 ) 的初始扰动，可以进一步把彳和q 展成关于f 的f o u r i e r 级数，即 a = 以( 习矿眦7 ，q = q ，阮刁) 已一眦。 ( 2 6 一1 ) 2 2 天津大学硕士学位论文 第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 卜扣彳割蚋荟a o c 删却戮h 亿6 埘 一瓯，l 昙叫( & + 抛) 1 4 ，( m = 哪，o ，佃，肛。 1 2 ，) 硝”，却= 叫品+ 所) a 。4 ，l + 人：警，( 册= 硼，0 ，佃) ， ( 2 6 ：3 ) 其中关于振幅4 ，的方程( 2 6 3 ) 可变为( 方法同方程( 2 4 1 ) ) 旺：+ 切疚。) 罢鲁+ ( 天。一切仄。a + m 2 天d 2 ) 4 ，l o = ( 人：一百2 i s o 一! a 2 、1 ) 掣+ 竺m 加nl m t 4 a 2 - 秽一墨4 以) ，( 聊= 埘，0 ，佃) 。 ( 2 6 - 4 ) 方程( 2 6 2 ) 和( 2 6 - 4 ) 就是我们最后进行数值计算的方程。 2 7 数值计算方法 对于方程( 2 6 2 ) 和( 2 6 4 ) ，我们将采用a d a m s 预测校正方法求解。该方法包 括三步a d a m s 显式预测格式和二步a d a m s 隐式校正格式，具有三阶精度。 具体地，对初值问题 ，i 妾：f ( t , u ) ，l 一= - 衍 7 【u ( t o ) = u o ， 其中为t 和甜的已知函数，为给定的初值，有 三步a d a m s 显式方法： + 1 = + 刍【5 5 五一5 9 f b - ! + 3 7 f b - 2 - 9 a 一3 】； 二步a d a m s 隐式方法。 。= + 西h 5 丘。+ 8 五一矗。】。 下面我们用b 表示i 方向，蔗示7 7 方向。h ，a r 分别表示i ，7 方向步长， 对于方程( 2 6 - 2 ) 和( 2 6 4 ) 的具体预测格式为 2 3 天津大学硕士学位论文第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 其中 唧) ( 6 “d = 唧+ | 1 2 善岛一罢五吐，十署矗：厂丢五 ， + l ，h ( i m a 一咖) q ，( 6 + 1 ，) + 哗( 6 ，_ ，) + 土劢j 业坠业二1 2 兰竺芝! 毕2 唑垒二幽 2 【 ( 7 7 j + 盟业半器业华业 五。- - i z 4 ( 6 ) q 2 蔫( 6 ，) 一4 ( 6 ) q 2 搿( 6 ，_ ，) 一瓯， 昙一z ( 5 i d + 聊) 4 ，( 6 ) ， 4 ，t c 6 + - ，= 如c 6 ，+ 乃 芸一罢缸。+ 署趾：一丢趾，) ， 岛= 鬲卜秫。帅2 们) + a 2 一鲁一书舶。 + 鲁正乳玩力一m 1 2 a 一2 韶? 一圭等6 ) 瑶) ( 6 ) 校正格式为 q ，p + = 玉，) ( 6 + 办 主五w + 丢屯一去丘，) + h ( i m a 一切刁) q ，( 6 + 1 ，_ ，) + q ，( 6 ，歹) + ! 劢 坐坠塑型兰型竺掣蔓坚幽 2 【 【a e ) + 垒芝垒：二墅二兰望竺! 垒! 立望芝：鱼：1 2i 舭州= 椭+ 办隹+ 卺一壶趾。) o 2 4 天律大学硕士学位论文第二章边频扰动的演化控制方程与数值计算方法 2 8 本章小结 在本章中，我们从无量纲的涡量方程出发，具体采用渐进匹配展开的方法， 分析了时间一空间列波群( 波包) 在非平衡临界层内的非线性效应。推导出边频 带扰动非线性