（流体力学专业论文）槽道热湍流的大涡模拟研究.pdf

摘 要 摘要 本文运用大涡模拟方法数值研究了热分层槽道湍流，讨论了湍流一阶二阶 关联量随r i c h a r d s o n 数的变化规律以及相关的流场结构。在此基础上，从 n a v i e r s t o k e s 基本方程出发，通过量纲分析和摄动展开方法，提出了一种适用 于热分层剪切湍流的动力学亚格子模型。我们通过大量的数值计算验证了该模 型的可靠性，同时运用它较详细地研究了稳定分层槽道湍流，尤其是高 r i c h a r d s o n 数下湍流场的若干特殊的现象，如热通量的反向传递( c o u n t e r g r a d i e n t h e a tf l u x ) 现象等。 本文还运用大涡模拟方法初步研究了带自由面的被动传热槽道湍流。我们 重点研究了近自由面区湍流速度，温度场的变化情况，并观察到相应的大尺度 流动结构( h o t s p o t s ) 。 。7 吖此外我们还研究了一些重要物理参数如分子普朗特数，雷诺数对湍流场性 质的影响。通过计算，我们发现随着分子普朗特数的增大，温度场的湍流脉动 更趋强烈。随着雷诺数的增大，速度和温度场的湍流性质均更趋显著。计算结 果还表明湍流普朗特数在近壁区( z + i o ) 将= 1 i 随分子普朗特数和雷诺数而变 化，而且不随壁面坐标变化。这一规律可以被应用在湍流边界层传热的数值计 算中，湍流普朗特数用一个固定值来代替，可以大大节省计算量。厂 关键词：槽道湍流大涡模拟亚格r 尺度模型热分层流 、- 7 摘要 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，t h el a r g ee d d ys i m u l a t i o n ( l e s ) i su s e d t o i n v e s t i g a t e t h e s t r a t i f i e dt u r b u l e n tc h a n n e lf l o wt u r b u l e n tf l o wb e h a v i o r sd e s c r i b e db yt h ef i r s to r d e r a n ds e c o n do r d e rc o r r e l a t i o n sa n dt h e c o r r e s p o n d i n g f l o w f l e l ds t r u c t u r e sa r e i n v e s t i g a t e d u n d e rd i f f e r e n tr i c h a r d s o nn u m b e r s s t a r t i n g f r o mt h ef u n d a m e n t a l e q u a t i o n ien a v i e r - s t o k e se q u a t i o n ，an e wd y n a m i cs u b g r i d s c a l e ( s g s ) m o d e l ， i n c l u d i n gt h es u b g r i ds c a l et u r b u l e n ts t r e s sa n dh e a tf l u x ，f o rs t r a t i f i e ds h e a rf l o wi s p r o p o s e d o u rc a l c u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h en e ws g sm o d e li sr e a s o n a b l ea n d e f f e c t i v em e a n w h i l e ，w eh a v eu s e di tt or e s e a r c ht h es t r a t i f i e dt u r b u l e n tc h a n n e lf l o w i nd e t a i l ，e s p e c i a l l yu n d e r h i g hr i c h a r d s o nn u m b e rw h e n r i c h a r d s o nn u m b e ri s h i g h e n o u g h ，t h e r e a r es o m eu n u s u a lp h e n o m e n ah a p p e n e di nt h et u r b u l e n tf l o w , f o r e x a m p l e ，c o u n t e r g r a d i e n th e a tf l u x t h ef l e e s u r f a c et u r b u l e n tc h a n n e lf l o ww i t hp a s s i v eh e a tt r a n s f e ri sa l s os t u d i e d i nt h i st h e s i sw e m a i n l ye x a m i n e d t h ec h a r a c t e r so f v e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r en e a rt h e f l e e - s u r f a c er e g i o na n dt h el a r g e s c a l ef l o w f i e l ds t r u c t u r e sh a v eb e e nf o u n d i na d d i t i o n ，w es t u d i e dt h ee f f e c to f s o m ei m p o r t a n tp h y s i c a lp a r a m e t e r s ，s u c ha s t h em o l e c u l a rp r a n d t ln u m b e ra n d r e y n o l d sn u m b e r o nt h et u r b u l e n tf l o w si ti sf o u n d t h a tt h ef l u c t u a t i o n so f t e m p e r a t u r e w i l lb es t r e n g t h e n e da sp r a n d t ln u m b e ri n c r e a s e s ， a n dt h et u r b u l e n tb e h a v i o r sb o t hi n v e l o c i t y a n dt e m p e r a t u r ew i l lb es t r e n g t h e n e d e i t h e rw i t hh i g h e rr e y n o l d sn u m b e r so u rr e s u l t sa l s os h o wt h a tt u r b u l e n tp r a n d t l n u m b e r sa r en e a r l yi n d e p e n d e n to fb o t ht h em o l e c u l a rp r a n d t ln u m b e ra n dt h ew a l l n o r m a ld i s t a n c ei nt h ew a l lv i c i n i t y ( ：+ l0 ) t h ec o n c l u s i o nc a nb ea p p l i e dt ot h e c a l c u l a t i o no f t h e r m a lt u r b u l e n tb o u n d a r yl a y e ra n dr e d u c e st h ec o m p u t a t i o n a lc o s t k e y w o r d s ：t u r b u l e n t c h a n n e lf l o w l a r g ee d d y s i m u l a t i o n s u b g r i d - s c a l em o d e i s t r a t i f i e df l o w n 第一章 引言 第一章引言 1 1 湍流简介 自然界存在着两种不同的流动形态，一种是层流。另一种是湍流。每一种流动在足够 大的雷诺( r e y n o l d s ) 数下都可能由于某些扰动而失稳，并随着雷诺数的进一步增加，流 动由层流状态发展到湍流状态。在自然界和工程应用中，湍流是一种较层流更常见的流动 现象，具有更为广泛的应用背景和应用领域。在湍流问题研究上取得的进展，能为国防和 国民经济带来巨大的收益。例如，对湍流流动控制的研究可以提高各种运输工具的速度又 可以大量减少能源的消耗，提高各种流体机械的工作效率，改善大气与水体的环境质量， 降低流体动力学噪声，加快热交换，物质掺混与化学反应速度等等。不仅如此，由于湍流 流动的基本特征是随机的，而随机性或非线性又广泛地应用在社会科学和自然科学的各个 领域，所以对湍流的研究也能从认识上帮助人们了解其它非线性现象，从而带动相关科学 的发展。 根据r e y n o l d s 的观点，湍流可以被看成平均流以及不规则脉动的叠加。后者可用f o u r i e r 方法进行分析，在谱空间具有很宽的频谱。同时也可看成是不同尺度和强度的涡，其间存 在着非线性的相互作用。最大的涡通常可达整个流动域的尺度，它通过基本流中的剪切力、 离心力、浮力等做功，直接从平均流获取能量。然后大涡又通过与次级尺度涡的非线性相 互作用将动能以级串( c a s c a d e ) 的形式传递给较小的涡。如此下去一直传递给最小尺度的 涡( k o l m o g o r o v s c a l ee d d y ) ，最终动能通过耗散作用变为热能。 这里值得一提的是：在某些剪切湍流中，能量也可能向相反的方向传递，即能量可以 由小涡传给大涡，甚至传给平均流。这一“能量反向传递”( b a c k s c a t t e r ) 的概念在气象学， 海洋学，天文学等领域中很重要。 h i n z e ( 1 9 7 5 ) 总结了湍流的基本特性，他对湍流的描述可以概述如下： 1 ) 湍流是一种不规则的流体运动，其速度、压力等物理量随空间和时间不规则地变化； 2 ) 湍流是一个交换过程，湍流输运的量级大】i 层流扩散的量级： 3 ) 能量一般由大涡向小涡传递； 4 ) 湍流不完全是一个随机过程。 最近的研究显示湍流运动并非如早期人们想象的那样绝对无序，而是在小尺度随机运 动的背景上，存在着某种有序的相干结构( c o h e r e n ts t r u c t u r e ) ( b r o w n 等，1 9 7 4 ) 。近年来， 不少学者使用能量法数值验证了湍流场中大尺度相干结构的存在( l u m e l y 等，1 9 9 8 ) 。湍 流拟序结构是湍流研究中的重大发现，对它的深入了解将有可能揭露湍流流动的物理机 ，一 第一章引言 制。 对于湍流，科学家们提出了多种分类方法，比较而言，f e r z i g e r 的分类法较为简单和 实用f f e r z i g e r ，1 9 8 3 ) 。他从剪切失稳导致湍流这一典型情况出发，将湍流分为： 1 ) 均匀湍流：这种湍流在空间每一点都有同样的表述，它们随着时间演化。这是一种 理想化的湍流模型。常用于对湍流机制的研究中。 2 ) 自由剪切湍流：众所周知，自日j 剪切流极不稳定。喷流和尾迹属于自由剪切层一类 的流动，其剪切强度沿流动方向减弱，同时流场尺度增大，并伴随着湍流的衰变过程。 3 ) 固壁湍流：固壁湍流是实际中最常见的一类湍流，具有许多重要的工程应用，因此 也是研究最多的一个领域。本文的工作也以该种湍流为研究对象。在固壁湍流中，工程上 应用最广的是湍流边界层。其中，最简单的情况是不存在压力梯度、曲率、旋转、吹、吸 气或壁面粗糙度等附加作用的湍流边界层。对这类流动，人们已进行过很多讨论，早已能 够测量这种流动的平均速度剖面，并且，在某种意义和一定程度上可以预测这种湍流的行 为。湍流边界层中动量从外界传输到壁面的物理机制与流动结构有关。在近壁区，可以观 察到流动包含低速和高速的相干条纹，这些条纹的尺度在流向相当长，而在展向则很窄 ( f e r z i g e r ，1 9 8 0 ：m o i n & k i m ，1 9 8 2 ) ，并沿展向交替排列。这些条纹的存在及其在流动中 的行为对于正确构造固壁湍流模型十分重要。 壁面附近的流体质点在粘性剪应力和湍流剪应力的作用下，不仅沿流动方向发生脉 动，而且由于压力脉动的耦合，沿法向也存在着湍流运动。随着与壁面间距离的增大，两 种剪应力对运动的影响发生相对变化：粘性剪应力的影响逐渐减小，而湍流剪应力的作用 不断增强。因而在流场中形成了不同特征的流动区域。湍流边界层一般由三层组成。内层 以粘性作用为主，称为粘性底层，此层的厚度取决于剪应力，与边界层厚度相比很小。流 动的外部区域基本上是无粘的，其行为很象自由剪切流。在这两个区域之间，由于平均速 度具有对数剖面，因此被称为对数区或缓冲区。 固壁湍流中另一重要现象是转捩，即从层流边界层向湍流边界层转变。虽然层流边界 层比层流自由剪切流更稳定，但当雷诺数足够大时，转捩就会发生。抑制转捩能够减小物 体上的摩擦阻力，这是转捩引起人们兴趣的主要原因之一。 1 2 湍流的研究方法 湍流的研究方法主要有三种：1 ) 理论分析方法，2 ) 湍流实验研究，3 ) 湍流的数值 研究。 在理论分析方面，主要有流动稳定性理论，充分发展湍流的统计理论等。流动稳定性 理论是为解释流动从层流到湍流的演变机制而形成的，它主要使用小扰动线化和摄动展开 ， 第一章引言 的分析方法( 是勋纲，1 9 9 4 ) 。湍流统计理论以各向同性均匀湍流为研究现象，采用物理 空间中的关联函数和谱空间中的湍谱分析方法，导出湍流的各阶统计方程( 是勋纲，1 9 9 4 ) 。 在湍流的实验研究中，实验技术水平的提高与理论分析的进展是相互协调的。二十年 代v o nk a r m a n 提出的用平均湍流动能方程研究湍流的产生和耗散之间的平衡关系，这对 以后半个世纪湍流的实验研究起到了指导性的作用。六十年代起，实验技术如激光测速， 热线技术的较快发展为湍流研究开拓了更广泛的领域，比如切变湍流拟序结构的研究就大 多来自于实验研究中。 近二十多年来，随着计算机能力的大大增强以及计算方法的不断进步，数值研究日益 成为湍流研究的主要方法。目前常用的湍流计算方法可以分为三类：一是基于r e y n o l d s 平 均n a v i e r - - - s t o k e s 方程的湍流模式理论( 气n s ) ，第二类是湍流的直接数值模拟( d n s ) ， 第三类则是湍流的大涡模拟fl e s ) 。 人们很早就提出了湍流的模式理论，并将之广泛地应用于工程计算中。湍流模式理论 中应用最广泛的是雷诺平均方法，它为很多工程问题提供了解决办法。但r a n s 方法对于 方程的平均必然导致方程的不封闭性，为了使方程组封闭，人们不得不放弃科学的逻辑严 谨性，而代之以依靠经验数据甚至直观所构造出的模型。这些模型有很大的局限性，往往 仅适用于某一特定类型的流动过程，不具有普适性。另外，r a n s 方法通过平均运算将脉 动量的全部细节一律抹平，丢失了包含在脉动量中大量的有重要意义的信息。 随着计算机的迅猛发展，人们又提出了直接数值模拟方法( d n s 方法) ，即直接数值求 解n s 方程。但遗憾的是，这种方法对计算机的要求太高了。我们若作简单的量纲分析会 发现湍流的d n s 方法计算所需要的空间网格数为r e y ，其中，r e ，是基于大涡尺度的雷 7 诺数。若再考虑时间，则网格数为r e i 。如果计算一个雷诺数为1 0 5 的均匀湍流，所需网 ， 格数竟高达l o ”! 这是目前计算机的c p u 和内存所无法容忍的。可见直接数值模拟方法在 目前仅适用于低雷诺数( r e ， 1 0 3 ) 且有简单外形的湍流运动。 而大涡模拟方法则巧妙地把雷诺平均方法和直接模拟方法结合在一起。由于大涡结构 在不同流动中差别很大，人们不可能希望找到一个普遍适用的r a n s 模型；相对而言， 对于湍流的小尺度分量，由于它具有局部各向同性，受边界条件影响很小，却有希望找 到某种简单而通用的亚格子尺度模型( s g sm o d e l ) ，这就引出了大涡模拟的概念和方 法。在这一方法中，对湍流的大尺度分量直接进行数值计算，而小尺度分量对大涡的影 响则建立模型模拟。这种方法比赢接数值模拟的计算规模小，有实现的可行性；但又比 传统的湍流模式理论具有更广泛的适应性，有着很好的应用前景。本文研究湍流所用的 数值方法正是大涡模拟方法。 回顾历史，我们知道用l e s 方法计算湍流是由气象学家首先提出来的。最早进行三维 第一章引言 湍流计算的气象学家是s m a g o r i n s k y ( 1 9 6 3 ) 。这些早期计算所用的网格相当粗糙，所采用 的方法就是l e s 方法的雏形，他所给出的亚格子尺度模型就是人们熟知的s m a g o r i n s k y 亚 格子模型，这一模型至今仍被广泛应用。后来，气象学家d e a r d o r f f ( 1 9 7 0 ) 首次用l e s 方法对具有工程意义的槽道流动进行了模拟，证明湍流三维计算是可行的。近年来，湍流 的数值研究兴起了又一股热潮，f e r z i g e r 的小组和r e y n o l d s 的小组在s t a n f o r d 大学对大涡 模拟和直接模拟进行更深入的研究。他们从计算简单的流动做起，其中，被选择来进行研 究的第种流动是均匀湍流。m o i n 等和k i m 等也作了若干槽道流动的计算。m o i n 和k i m ( 1 9 8 2 ) 还采用改进的s m a g o r i n s k y 涡粘性模型和壁面模型，对不可压缩槽道湍流进行了 洋细的l e s 研究。 几乎从- 一开始，人们就认识到l e s 方法的荚键是曼发展更好的亚格子尺度模型( s g s ) 来处理小尺度运动对大涡的影响。在l e s 方法的应用中，历史最长和应用最广的当数 s m a g o r i n s k y 涡粘性模型。但s m a g o r i n s k y 涡粘性模型有许多固有的缺陷，比如，不能描述 能量反向传递，必须使用壁面模型等等，为此人们作了许多努力以改进该模型。例如，m o i n 和k i m f l 9 8 2 ) 在壁面附近使用了阻尼函数以改善近壁区湍流的渐近行为。y o s h i z a w a ( 1 9 8 2 ， 1 9 8 5 ，1 9 8 6 ) 从统计理论出发研究了亚格子尺度模型，并对其在多种简单湍流中的应用作 了进一步的阐述。s p e z i a l ( 1 9 8 5 ) 提出了适用于旋转湍流l e s 的s g s 应力模型。y a k h o t 等( 1 9 8 6 ) 基于重正化群理论提出了新的亚格子尺度模型，并用于槽道湍流，这一模型避免了使用壁 面阻尼函数。h o r i u t i ( 1 9 9 3 ) 采用亚格子尺度法向剪应力代替亚格子尺度总能量作为涡粘性 模型中的速度尺度，从而使湍流槽道流的计算更接近直接数值模拟的结果。h o r i u t i 的模型 在近壁区域与v a nd r i e s t ( 1 9 5 6 ) 提出的阻尼函数具有类似的作用，并被推广到具有更复杂 几何边界的湍流。 1 9 9 1 年，g e r m a n o 等提出了一类新的动力学亚格子尺度涡粘性模型。该模型克服了 s m a g o r i n s k y 涡粘性模型的许多缺陷，不需要目【先人为地引入若干常数，在亚格子尺度模 型的研究上取得了重要突破。在g e t + m a n o 之后许多人对动力学模型进行了进一步研究和 改进。l i l l y ( 1 9 9 2 ) 提出在计算模型系数时使用最小二乘技术。g h o s a l 等( 1 9 9 5 ) 用强迫最优化 概念，对s m a g o r i n s k y 涡粘性模型中的位置参数进行局部动力学计算，解决了g e r m a n o 的 模型数学上不相容的问题。z a n g ，s t r e e t 雨：k o s e 瞰1 9 9 3 ) 用b a r d i n a ( 1 9 8 4 ) 的混合模型作为基 本模型，提出了动力混合亚格子尺度模型。另外，还有不少人在这方面相继做了不少工作。 如m o i n 和c a b o t ( 1 9 9 1 ) p i o m e l l i ( 1 9 9 3 ) ，c a b o t 和m o i n ( 1 9 9 3 ) ，b o h n e n 和f e r z i g e r ( 1 9 9 3 ) ， w a n g 和p l e t c h e r ( 1 9 9 6 ) ，s c o t t i ，m e n e v e a u 和f a t i c a ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 ) ，等等。 与此同时，还出现了一些其它的s g s 模型。如e r l e b a c h e r 等( 1 9 9 2 ) 给出了可压缩流亚 格子尺度模型。s h i m o m u r a ( 1 9 9 4 ) 提出了亚格子代数应力模型。c a n u t o ( 1 9 9 4 ) 提出了几个简 化的代数模型等等。 在我国，关于湍流的高级数值模拟( d n s 和l e s ) 的研究开展较晚，从8 0 年代才陆续 4 ， 。 第一章引言 开始d n s 和l e s 的研究。无论在研究的广度还是在深度方面和国外相比都有较大差距。 研究的薄弱环节在于巨型计算机的缺乏。清华大学的张兆顺( 1 9 9 2 ) 教授领导的研究组， 结合实验测试，在d n s 和l e s 方面开展了许多研究工作。清华大学的苏铭德( 1 9 8 4 ) ( 1 9 9 5 ) 也作了许多l e s 方面的工作，如用l e s 方法计算了直槽和弯槽湍流。中科院力学所的李 家春( 1 9 9 1 ) 采用l e s 研究了环境流动问题，以及中国科学技术大学的陆夕云等( 1 9 9 7 ) 采用l e s 方法汁算了定态圆柱及振荡圆柱绕流问题。 1 3 本文的主要工作及内容安排 本文主要进行了以下四个方面的工作： 1 用大涡模拟方法研究了纯剪切槽道湍流和热分层槽道湍流的流动特性，主要是对其 一阶、二阶关联项分布以及流场的近壁结构进行了分析； 2 从n s 基本方程出发，在线性化假设和量纲分析的基础上，提出了一种新的适用于 热分层湍流的动力学s g s 模型，并运用这一模型对槽道热剪切湍流进行了研究： 3 应用大涡模拟方法对带自由面的槽道热剪切湍流进行了研究，讨论了湍流场在自由 面附近的流场结构； 4 应用大涡模拟方法研究了另外一些重要物理量如普朗特数( p r a n d t l ) ，雷诺数 ( r e y n o l d s ) 对湍流场性质的影响。 本文各章的安排如下：第二章介绍大涡模拟方法及亚格子尺度模型。第三章叙述本文 所采用的数学模型和数值方法。第四章用大涡模拟方法初步研究了纯剪切槽道湍流和热分 层槽道湍流，着重讨论了各阶关联项随r i c h a r d s o n 数的变化规律。第五章提出了一种新的 动力学s g s 模型，并应用于热分层槽道湍流的计算中。第六章叙述了带自由面的槽道湍流 的大涡模拟。第七章则讨论了相关物理常数对湍流场性质的影响。最后在第八章中给出本 文研究工作的总结。 第二章大涡模拟方法简介 第二章大涡模拟方法简介 s 2 1 大涡模拟方法的理论基础 我们知道：在湍流中大涡和小涡的流动具有不同的特性： 1 大涡由平均流的剪切力做功生成，且与平均流之间有很强的相互作用，而小涡 主要是由较大涡之间的非线性相互作用产生的。 2 大部分的质量、动量、能量输运是由大涡担负的，而小涡主要起耗散这些脉动 能量的作用，它对平均流动的直接作用很小。 3 大涡的结构很强地依赖于流场边界的几何形状和具体流动情况，因此它具有明 显的各向异性，而对于充分发展的湍流，小涡则接近于局部各向同性，它的脉动特性具 有较大的普适性。 4 大涡的时间尺度接近于平均流的时间尺度，而小涡的产生和衰亡则快得多。 由此可知，由于大涡结构在不同流动中差别很大，人们不可能希望找到一个普遍适 用的湍流模型来描写不同的大涡结构：相对而言，对于湍流的小尺度分量，却有可能找 到某种简单而通用的亚格子尺度模型。这就引出了大涡模拟的概念和方法。在这一方法 中，对湍流中起决定作用的大尺度分量直接进行数值计算，而小尺度分量对大涡的影响 则采用s g s 模型来模拟。这种方法比真接数值模拟的计算规模小，有实现的可行性。 但s g s 模型又比传统的湍流模式具有更广泛的适应性，并且，l e s 计算结果会有大量 的脉动信息，更非r a n s 所能达到。 s 2 2 滤波计算 舀：火涡模拟方法中首先要定义湍流场的大尺度分量。基本做法是在一个小尺度空间 域内对湍流变量进行平均，也可看作是在富氏空间中进行低波数过滤，这种数学处理方 法称为滤波。 这里介绍几种常用的滤波方法。基本方程为不可压缩n a v i e r - - s t o k e s 方程： 鲁+ 寿q 卜 署+ u 舞 仁- ， 跏 - - l = 0 ( 22 ) c o t 6 笙三童查塑堡型查堡堕坌 万( ，) = fg ( 沪一，i ) ”( r ) d r ( 23 ) 寺( 女) = 0 ( 女) i ( )( 2 4 ) 这里u ( r ) 是任一瞬时的流动变量，g ( i t 一，7 1 ) 为滤波函数，( 女) 和g ( ) 是它们的富里叶 硎一- 率2 篙：； 仁s ， ，= 篡 眨s ， g ( r ) = 而1 廖( 七) e 一 ( 27 ) 将滤波运算( 23 ) 用于方程( 21 ) 和方程( 22 ) ，得到： 誓+ 石：一土至+ u ! 生 ( 28 ) 百+ 万p o x , 仙o x j o x j 设“，= 巧+ f ，jp = 芦+ p 这里“：，p 为速度和压力的脉动分量。 所产生的非线性项如下： 7 ( 29 ) = 互 第二章大涡模拟方法简介 2 ，。z ，j = 玩巧+ 甄“：+ “一十u ：u j ( 21 0 ) 上式右边第一项完全取决于大尺度分量，可以直接进行数值模拟计算，速度场的小尺度 分量“j 不作计算，所以包含它的项需要建模。这些包含小尺度分量的项为： r = l ，兀+ 甄l ，j + 吖“j ( 21 1 ) r 称为亚格子尺度湍流应力。在大涡模拟方法中需要建立亚格子尺度( s g s ) 模型。 这里有几点必须说明： 1 ) 前面所用的滤波方法应保证娑：箬这一性质的成立。 傩l傩 2 ) r 的表达式中包含三项，前两项是平均量与脉动量相互作用产生的，第三项是脉动 量的相互作用，对它们可分别建立模型。但在大涡模拟计算中通常采用更为方便的近似 方法，即将非线性项写为： q “，= 虿巧+ 虿巧一u 一, u j + 巧巧+ “乃+ 砷( ( 21 2 ) 然后，将亚格子尺度项重新定义为： r u = u 。h i 一再，程| = 嫡，最j 一面豇i 、+ l t ：爵i + 再。l j ? + h ：“? r ：r 口+ i 1 r 。万f ( 21 3 ) 对t 。建立s g s 模型后，就可直接得出关于大涡流动变量( 甄，芦) 的封闭方程。 3 ) 当雷诺数足够高时，湍流能谱包含一个基本上无粘性耗散的惯性亚域。比惯性 、亚域中的脉动尺度更大( 即位于较低波数) 的涡称为“大涡”，而位于惯性亚域另一例 的波数更高的涡称为“小涡”。理想的选择是滤波宽度使其对应的波数i 叫，) 位于惯性 旺域内，这也是大涡模拟中选择滤波尺度的基本要求。可是当雷诺数较低时，湍流能谱 中可能不存在惯性亚域时，通常只有使用位】二湍流能谱中的适当波长作为滤波宽度。但 是在这种情况下，s g s 模型可能需要作一些调整以使得大涡模拟方法才能给出合理的结 果。也就是说大涡模拟方法的理想应用情况是在高雷诺数下的湍流运动，也只有在这种 情况下，才有可能提出一个真正具有普适性的亚格子尺度模型。 2 3 大涡模拟方程 第二章大涡模拟方法简介 大涡俣拟什算足以7 y 干星( 28 ) 相刀程( 29 ) 作力出友刀程，开将田贰( 2 1 3 ) 起义阴 亚格子尺度雷诺应力进一步分解为一个无迹张量和一个各向同性张量之和： r = ( r 一；5 , j r k k + ；巧。尺。= r 。+ ；占。r 。 c z a ， 后者可看作某种“湍流压力”，将其并入压力梯度项，可以定义修正压力： p = 鲁+ ；心 ( 2l s ) 于是，滤波后的n a v i e r - - s t o k e s 方程可以写为： 等+ 暑c 巧t ，砉+ u 象一鲁 c z 峋 当：o 亿17)0 x 2 4亚格子尺度模型 在大涡模拟方法中，数值模拟正确与否的关键是建立提出一种有效的亚格子尺度模 型。 亚格子尺度应力项在物理上反映了湍流大涡与小涡之间的动量传递过程。在通常情况 下，大尺度涡向小尺度涡输送的能量要大于小尺度涡向大尺度涡传递的能量，其净值即粘 性耗散，由最小尺度涡转变为热能。 最早的亚格子尺度模型是s m a g o r i n s k y 提出的涡粘性模型。涡粘性模型是基于前面提 到的的“产生项等于耗散项”的假设推导出来的。涡枯性模型假设亚格子尺度湍流应力 与大尺度分量的应变速率成正比，即： 铲勘r = - 0 1 睁割 涡粘性系数阱具有运动粘性系数的量纲。在湍流处于平衡的条件下，涡粘性系数 可以写为： o r = c q l( 21 9 ) 其中，与g 分别为湍流脉动的某种特征长度和特征速度。s m a g o r i n s k y 的涡粘性系数的 9 1 第二章大涡模拟方法简介 表达式为： o r = ( c ) 2 阁 ( 22 0 ) 其中c 为无量纲常数，a 为滤波宽度，同= ( 元瓦) 2 。 与滤波宽度相关的尺度即亚格子尺度涡的长度尺度。很多人都用过下式： = ( a i a2 a3j ( 22 1 ) 涡粘性模型是针对剪切湍流的雷诺平均提出的一种简单模型，人们希望它在亚格子 尺度模拟中也同样有效。事实上，己经发现它对某些均匀湍流的大涡模拟很有效。 这里对涡粘性模型作几点说明： 1 1 涡粘性模型不适用于较复杂的湍流流动。例如，对于转捩流，大涡从平均流获取 的能量大于小涡耗散的能量，且能量传递还存在着从小涡到大涡的反向能量传递。所以 这种模型的理论出发假设“产生项等于耗散项”是不成立的。 2 1 在使用s m a g o r i n s k y 涡粘性模型时，必须人为地确定模型系数c 。然而，该系数 不仅与流动状态有关，还与网格分辨率，以及滤波宽度等因素有关。人为地给定该系数， 也是s m a g o r i n s k y 模型所固有的缺陷。 3 ) 这一模型隐含了“亚格子尺度应力张量主轴与大尺度应变率张量主轴共线”的假 设，而实际湍流并非如此。 此外，人们直接对涡粘性模型加以半经验半理论的修正，也获得了广泛的应用。由 于s m a g o r i n s k y 涡粘性模型无法给出正确的湍流近壁行为，所以在使用这类模型时，必 须对壁面附近作特殊处理，即必须使用壁面模型。 常用的壁面模型是用v a nd r i e s t ( 1 9 5 6 ) 的指数阻尼( d a m p i n g ) 函数来构造的。最简 单的一种做法是，将s m a g o r i n s k y 涡粘性模型的s g s 涡粘性系数写为如下形式： 蜥= ( c d a ) 2 同 ( 22 2 ) 其中d 为近壁粘滞函数： d = l e x p 【一( 钐) 】 ( 22 3 ) 这里z + 表示距较近壁面的无量纲距离，定义为：+ = 2 j i 。，u ，这里z 。为距较近壁面的距 离，a + 一般取为2 5 。 m o i n 和k i m ( 1 9 8 2 ) l 寸该壁面模型进行了改进，他们认为这一改进有助于捕捉壁面 条纹结构和得到更满意的近壁平均性质。根据s c h u m a n n ( 1 9 7 5 ) 建议，他们将s g s 模型 分裂为两部分，第一部分表示当地各向同性s g s 应力，第二部分表示平均应变的非零 张量所引起的非均匀应力： 1 0 第二章大涡模拟方法简介 q = 一2 v a s , ，一瓴) ) 一2 v r ( s , ，) ( 22 4 ) 喀：f + ( d a ：) ：( 2 ( 毛) ( 戈) ) ： ( 22 5 ) 其中，( ) 代表在平行于壁面的平面内平均，c + = o0 6 5 ，而d 的表达式与式( 22 3 ) 0 z 不 一样： 一- 干么_ r 22 6 ) 展向网格数越大，u ：值越接近于零。 壁面模型改善了湍流模型对近壁区流动现象的模拟。但是，壁面模型的使用，给s g s 模型加入了更多的人为因素，这仍是涡粘性模型的一个固有缺陷。 下面着重介绍动力学亚格子尺度模型，这也是本文中使用的一类亚格子模型。 应该说动力模型是目前使用最广泛和最具有发展前途的一种模型。动力亚格子尺度模 型的概念是由g e r m a n o 等人( 1 9 9 1 ) 发展起来的。基本思想是，利用包含在大涡谱域中 的高波数信息去推断亚格子尺度对可解大涡的影响。这样，出现在s m a g o r i n s k y 涡粘性 模型中的比例常数就成为一个根据当时当地湍流动力学性质来确定的系数，它可根据局 部流动特性调节自身的大小，甚至可以自动捕捉湍流间歇和能量反向传递现象。这一模 型，起初是对不可压流发展而言的，后来又被推广到可压缩流和被动标量输运等问题中。 g e r m a n o ( 1 9 9 1 ) 提出的动力学亚格子尺度模型克服f j ，s m a g o r i n s k y 模型的某些缺点。 他在该模型中引入了两次滤波，第一次称为网格( g r i d ) 滤波： f ( x ) = if ( x ) g ( r ，x ；a ) d x ( 22 7 ) 另一次称为检验( t e s t ) 滤波： f ( x ) = lf ( x ) g ( r ，r ：) 出( 22 8 ) 先对n a v i e r s t o k e s 方程进行网格滤波，得到亚格子尺度应力： t ，= ，l ，一l l j l l i ( 22 9 ) 再对n a v i e r s t o k e s 方程作检验滤波类似地得到： 瓦= f f i 卅u j ( 2 3 0 ) 亚格子尺度项r ，仍采用s m a g o r i n s k y 涡粘性模型的形式： r ，= 一2 c 矛吲元 ( 2 3 1 ) 其中，( 是无最纲数。它不再由人为预先给定，两是通过计算，由湍流场当时当地的信 、 笙三兰查塑垡丝互生塑坌 息确定。c 可以通过g e r m a n o ( 1 9 9 1 ) 给f f 出的方法求得 小二乘法。这里仅以l i l l y 最小二乘法为例加以说明： 毛的形式同样取为：巧= 一2 c 枣吲邑 也可以采用l i l l y ( 1 9 9 2 ) 提出的最 则，l ，：f ，一：# 方一丢方：一2 c 毛a 吲毫+ z c 矛闻i s 毛 则， v = 巧一r v = 虬“厂盯，= 一吲5 u + 2 p ” f 23 2 ) ( 23 3 ) ii “ 我们定义式( 23 3 ) 中可直接计算项i 万一i 万与s g s 模型项一2 c 雷同昂+ 2 c 五- 2 同蜀 之间的差值为q 。，即q 。= ( 彳方一丢方) 一( 一2 ( 1 索同毫+ 2 ( 霄| j 陆) 。 动力学模型要求选取的系数c 使q 。为最小值。要使两者差值最小，根据最小二乘原 理，必须弓0 2 = 。 则可推得： c = 一i 1 其中，m ，= 2 a 2 一6 。 l v = 面! 五j 一砭i - i ， 0 。= 2 同瓦。 ( 23 4 ) ( 23 5 ) 这里( ) 代表在平行于壁面的平面内平均，可以避免系数c 值的剧烈振荡而导致计算失 稳：口= 施，一般地取2 。 这样，s o s 模型的系数( 不再是一个常数， 而是在汁算过程中得出的可变系数， 它能较好地反映湍流的瞬时和局部动力学性质。 我们对动力亚格子尺度模型也有几点评述： 1 ) 它的优点是不必人为给定模型系数，合理地反映了近壁和间歇区中的渐近行为， 也不妨碍必要的能量反向传递等等。 2 ) 由于动力亚格子尺度模型是以s m a g o r i n s k y 模型作为基本模型，因此它仍包含了 亚格子尺度应力张量主轴与大尺度场应变率张量主轴成共线这一不尽合理的假设。 3 ) 由于动力系数( 1 是一个变数，可能出现系数的局部脉动，从而导致局部呈指数增 长的不稳定，出现过度的能量反向传递，甚至会导致数值求解的失败。 鲥陬 ，_ + ， 第二章大涡模拟方法简介 值得欣慰的是，动力学模型使研究转捩流等复杂流动有望获得重大进展。美国s t a n f o r d 大学湍流研究中心近十几年来在这些方面做出了许多工作。他们在动力亚格子模型的基础 之上，巧妙的结合了尺度相似模型方法或是结合了高阶模型的方法，提出了不少可能适用 于转捩流的亚格子模型。这些模型能反映能量反向传递过程，且又不至于引起系数c 的较 大振荡，但由于这些模型的数学构造极为复杂，所以应用方面的算例还不多见。 此外，还有尺度相似模型。该模型又称为混合模型。所有的s g s 模型都把亚格子 尺度湍流应力与大尺度流场相联系。但事实上，在具有宽谱的充分发展湍流中，被滤除 的小尺度分量只能与大涡中与其尺度相近的脉动分量直接发生相互作用，而与尺度相距 较远的漩涡的耦合效应十分微弱。为了反映这一物理机制，b a r d i n a 等( 1 9 8 0 ) 建议在大 尺度湍流中分离出较小尺度的分量。因为瓦描述了整个大尺度分量，对它再一次滤波就 产生出二次滤波量，如云，二次滤波所得的是“大涡中的大涡”。然后通过下式 鳆= 巧一u 一( 2 3 6 ) 就得到湍流场大尺度分量中的小尺度成分。于是可以得到如下改进的模型： f u = c 玩， ( 23 7 ) 它表示亚格子尺度对大涡流动的贡献主要由后者中的商波数分量决定。 这里必须说明是，尺度相似模型并不能应用于任何滤波函数，如b o x 滤波，由于它将 导致甜，i i ，= “，“，故尺度相似在这里体现不了。 最后，应当指出，许多雷诺平均方法中所使用的湍流模型处理方法已被借鉴到亚格 子尺度模型的构造中。例如，一方程模型，两方程模型，以及二阶矩模型。但是，它们 比起上述涡粘性模型，在实现上更为昂贵，而所取得的计算效果也未必就更精确。所以， 在应用中有很大的局限性。 ， 笙三童墼兰垡型垦墼垡查堡一一 第三章数学模型及数值方法 s 3 1 大涡模拟方程 本文计算的基本方程为b o u s s i n e s q 假设下( 见附录) 的无量纲化不可压 n a v i e r s t o k e s 方程： 堕：o 嬲 - 禹5 - + 鲁c 砭t ，= 一善+ 击杀一每删兢 雳a ( r 聂t 、 1a 2 亍 囟| 扣一一一 a d x jr e m p r 苏j a x id x i ( 31 ) ( 3 ，2 ) ( 33 ) 这里，r e y n 。l d s 数r e 。= 盟v ，其中“。是槽道中心最大速度，万是槽道半宽 度，y 是运动粘性系数。r i c h a r d s 。n 数j r f _ a g _ a 7 8 ，其中口热膨胀系数，g l l t t i 是重力加速度，a t 是上下平板之间的温度差。t = t 一一 。 6 3 2 数值方法 本文使用的数值方法是建立在分禹步万法基础z 上明，开结台j 迎似分j 8 竿 技术。使用v e r z i c c o & o r l a n d i 混合的三步r u n g e k u t t a c r a n k n i c h o l s o n 方法求 解( 3 1 ) ，( 32 ) ，( 33 ) 式。 首先对式( 32 ) 略作改动，因。= 一v ，( 手+ 孚) 则有： 上婆一挈：【( 上) + 竺望 r e ma ) c j 瓠| a x i ”r e 。 “o t i | 瓠j 4 第三章数学模型及数值方法 把之菩u u j 与丢c e 瓦，合并为毒阿一，等峨s z ，变为： 把1 与丢( e 瓦) 厶并为毒“瓦一卜k 等】 则式( 3 2 废为 鲁+ 暑( = 一百i f , + 毒( ) 删魏 ( 3 4 ) 这里，k u 娟咿k 鲁，2 ( 击u ) 善 这里 = ( 瓦一) 叫r 云叫毒w j 蚩 下面分三步： 第一步： 下1 _ 订i n 咄m 下咖m 川。) 牮 ( 3 5 ) 互4 一童= 一a ，a t g ，巾1 ( 36 ) d ( f f , 。) = 0 ( 37 ) 第二步： 塑a t 咄：州啪帆州们- a 2 g ，p = + a 2 ( ”牮 ( 3 8 ) 珉6 一毒2 = 一口：a t g ，中2 ( 39 ) d ( 群) = 0 ( 31 0 ) 第三步： 华却一( 砰) + p 3 h , ( 州- a 3 g , p b + a 3 ( ”以) 牮】( 3 1 1 ) 矿一声3 = 一吒a t g ，中3 ( 31 2 ) d ( t ”1