（基础数学专业论文）随机非自治泛函微分方程的渐近性态.pdf

1 ! h r ， t 。- 。 j 1 k os 。， ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o 渊嬲 t o 晒iu n i v e r s 毋i nc o n f o m i 够w i t h t h er e q u i r e m e 鹏f o r t h ed e g r e eo fd o i = t o ro f p h i l o s o p h y a s y m p t o t i c b e h a v i o ro f s t o c h a s t i c ，n o n a u t o n o m o u sf u n c t i o n a l d i 仟e r e n t i a ie qu a t i o n s c a n d i d a t e ：d i n gx i a o q u a n s t u d e n tn u m b e r ：0 71o10 2 0 0 2 s c h o o l d e p a n m e n t ：d e p 矾m e n to f m a t h e m a t i c s d i s c i p l i n e ：s c i e n c e m 勾o r ：p u r em a t h e m a t i c s s u p e i s o r ：p r o f e s s o rj i a n gj i f a n o v e m b e r ，2 0 0 9 等 大胁冈 一 n 0 j h j 童 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：j 磊墨 二p f o 年；月口日 i k h 。 j q b h 一 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：了豸； z p f ，年；月 p 日 一y j q ( 厂 怄 j 同济大学博士学位论文摘要 摘要 本文研究全空间上随机时滞反应扩散方程、随机时滞无穷格点系统和几类 一般形式的捕食者食饵周期时滞模型，分别建立了随机泛函微分方程的随机吸 引子和非自治泛函微分方程的周期解的存在性全文分三部分，具体安排如下： 第一部分包括前两章，介绍随机动力系统、随机吸引子和非自治微分方程的 周期解的研究进展，以及与本文相关的一些基础知识 第二部分包括第三、四章，研究无界域上随机泛函微分方程的随机吸引子 为克服由时滞和区域的无界性引起的困难，我们发展了尾估计方法，在随机泛函 微分方程的框架内，利用尾估计证明了随机吸引子的存在性 在第三章，我们考虑全空间上随机时滞反应扩散方程首先建立解的有界性 和等度连续性，其次用解的一致尾估计证明解映射的渐近零性，然后利用有界域 上的紧嵌入、a s c o l i - a r z e l 氧定理、子序列的对角线过程获得解映射的渐近紧性， 进而证明了随机吸引子的存在性 在第四章，我们考虑随机时滞无穷格点系统首先给出以【一0 1 俨) 中序列 的紧性准则，其次建立解的有界性，并用解的一致尾估计证明解映射的渐近零性， 然后利用紧性准则获得解映射的渐近紧性，进而证明随机吸引子的存在性 第三部分包括第五至七章，研究几类一般形式的捕食者一食饵周期时滞模型 我们利用拓扑度理论中的m a w h i n 连续定理和分析技巧，建立了周期正解的存在 性 在第五、六章，我们对单调数值反应的情形，建立了g a u s e 型捕食者一食饵系 统和比率依赖捕食者食饵系统存在周期正解的充分条件；对非单调数值反应的 情形，建立了它们存在多个周期正解的充分条件作为推论，我们给出了的一些 应用特别地，我们的结果推广或改进了许多己知结论 在第七章，利用新的先验估计，我们建立了具脉冲的半比率依赖捕食者食饵 系统的周期正解存在的充要条件，以及具扩散的半比率依赖捕食者一食饵系统的 周期正解存在的充分条件作为推论，我们还得到无脉冲的半比率依赖捕食者一食 饵系统的周期正解存在的充要条件许多著名的食饵种群增长和功能反应都满足 周期正解存在的条件，我们的结果推广并改进了许多已知结论 关键词：随机非自治泛函微分方程，随机吸引子，周期解，渐近紧，拓扑度 i 一 一 q ，j 创 1 - f n a b s t r a c t t h bt h e s i si si i e v o t e dt oas t o c h a s t i cr e t a 谢e dr e a c t i o n - d i m l s i o ne ( 1 u a t i o n o na us 蚤a c e ，as t 6 6 蜮i cr e t 盯d e di 血1 1 i t el a t t 斌眄s t e m ，趾ds o m eg e n e r a u z e d p r e d a t o r p r e yp 嘶o d i cm o d e l s 丽t hd e l a y 8 w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fr 觚d o m a t t r a c t o r sf b rs t o c h a s t i cf u n c t i o n a l le q u a t i o 瑚a n dp e r i o d i cs o l u t i o i l sf o rt h en o n - a u t o n o m o u sf u n c t i o n a le q u a t i o 瑚，r e s p e c t i v e l y t h et h e s i sw m c hc o m p r i s e st h r e e p a n 8i so r g 锄i z e da sf o n 佣陋 t h e 缸tp a r tc o 瑚i s t so fc h a p t e r 81 觚d2 w e 砒r o d u c et h ed e v e l o p m e n to f t h er e s e a l r e ho nr 瓤l d o md y n a i n i c a ls y 8 t e m s ，r a n d o ma t t r a u c t o r s ，a i l dp 嘶o d i cs o l u - t i o 瑚f o rd o n a u t o n o i n o 啵f 曲c t i o n a le q u a t i o 璐，a n dt h e np r e s e n ts o m ep r e u m i n a 巧 r e 8 u l t sa n dd e 丘i l i t i o 璐 t h es e c o n dp a n ，i n c l u d i n gc h a 祧e r s3a n d4 ，i 8r e l a t e dt or a n d o ma t t r a c t o r 8 f o rs t o 曲【a u s t i cf u n c t i o n a le q u a t i o n so nu i l b o u n d e dd o m a i n s i no r d e rt oc i r c u i m r e 】n t h ed 湎c u l t yc a 璐e db yt h eu n b o u n d e d i l e s 80 ft h ed o m a i na n dt h ep r e s e n c eo fd e l a y t e r i 瑚w ee 赋e n dt h em e t h o d0 ft a i l 鹤t i l a t 髑t ot h ec a s eo fs t o c h 鹪t i cf u n c t i o n a l e q l u a t i o n 8 ，a n dp r o v et h ee 虹s t e n c eo fr a n d o ma t t r a c t o 瑙 c h 印t e r3d e a l s 谢t ha8 t o c h 嬲t i cr e t 盯d e dr e a u c t i o n - d i 妊缸i o ne q u a t i o no n a us p a c e f i r s t l y ，r es h o wt h a tt h e8 0 l u t i o 璐a u r eb o 伽【d e da n de q u i c o n t i i u l o u 8 s e c o n d l y w ep r o v et h a tt h es o l u t i o no p e r a t o ri s 蹯y m p t o t i c a 坶眦lb yg i 、，i n g u 1 1 i f o r me s t i m a t e so nt h et a i l 8o fs o l u t i o i l s f i n a u y ，w e 朗t a b l i 8 ht h ea s y m p t o t i c c o m p a c t n e 8 8o ft h es o l u t i o no p e r a t o rb yt h ec o m p a u c te m b e d d i n gf o rb o u i l d e d d o m a i n s ，t h e 缸c o k a r z e l at h e o r e m ，a n dad i a g o n a lp r o c e d u r ef o rs u b s e q u e n c e s ， a n dt h e np r a v et h ee 妇s t e n c eo fr a n d o ma t t r a c t o r s c h 印t e r4t r e a t sas t o c h a s t i cr e t 孤d e di n 6 i l i t el a t t i c es ”t e m f i r s t l y w e e s t a b l i s hac o m p a c t n e s sc r i t e r i o nf o rs e q u e n c e si n c ( 卜王，0 】；俨) s e c o n d l y w e s h a wt h a tt h e8 0 l u t i o n 8a r eb o u n d e d ，a n dt h es o l u t i o no p e r a t o ri s 船y m p t o t i c a l l y n u ub y 舀v i n gu i l i f o r m 髑t i m a t 髑o nt h et a i l so f8 0 l u t i o 瑚f i n a u y w eo b t a j nt h e 嬲y m p t o t i cc o m p a u c t n e 蹈o ft h es o l u t i o no p e r a t o rb yt h ec o m p a c t n e s sc r i t e r i o n ， a n dt h e np r o v et h ee 菇s t e n c e0 fr a n d o ma t t r a c t o r s t h et m r dp a r t ，i n c l u d i n gc h 印t e r s5t o7 ，i sc o n c e m e dw i t hs o i n eg e n e r a l i z e d p r e d a t o r - 1 ) r e yp e r i o d i cm o d e l 8w i t hd e l a y s b yl l s i i l gt h em a w m nc o n t i n u a t i o n i 、 一jo j 鼍 。h - 同济大学博士学位论文 目录 目录 第1 章引言1 二， 第2 章预备知识9 2 1 随机动力系统9 2 2m a 池n 连续定理1 2 2 3 紧性定理和常用不等式1 3 2 4 常用符号1 4 第3 章无界域上随机时滞反应扩散方程的随机吸引子1 5 3 1 引言1 5 3 2 随机动力系统1 6 3 3 一致估计1 9 3 4 随机吸引子3 5 第4 章随机时滞格点系统的随机吸引子3 9 4 1 引言3 9 4 2 紧性准则4 0 4 3 随机动力系统4 3 4 4 一致估计4 6 4 5 随机吸引子5 6 第5 章g a u s e 型捕食者一食饵系统的周期解5 9 5 1 引言5 9 5 2 单调数值反应情形6 0 5 3 非单调数值反应情形6 5 5 4 应用举例6 9 5 5 讨论7 3 第6 章比率依赖捕食者一食饵系统的周期解7 5 6 1 引言7 5 6 2 单调数值反应情形7 7 6 3 非单调数值反应情形8 3 6 4 应用举例8 6 6 5 讨论8 9 v 同济大学博士学位论文目录 第7 章半比率依赖捕食者一食饵系统的周期解9 1 7 1 引言9 1 7 2 具脉冲的半比率依赖捕食者食饵系统的周期解9 2 7 3 具扩散的半比率依赖捕食者一食饵系统的周期解1 0 4 7 4 讨论1 1 3 致谢1 1 5 参考文献1 1 7 个人简历、在读期间发表的学术论文与研究成果1 2 7 誓 ； 一 第l 章引言 第1 章引言 在实际问题中，如流体力学、生态学、经济学、通讯工程及控制过程等领域， 许多系统都不可避免地受到随机噪声的影响当所考虑的系统对精度要求不高或 随机因素对它的影响很小时，往往可以忽略随机因素，用确定性的观点来处理问 题但是，有些情况下，噪声可能对系统演化产生重大影响【1 - 3 1 ，随机因素是不能 忽略的因此，随机系统对自然规律的描述更为本质和真实 根据实际问题的需要，随机系统常用含随机参数( t ，u ) ( 通常是平稳随机过 程) 的微分方程 等= f ( 牡 淝叫) ) ( 1 1 ) 或含随机作用项的微分方程 警= f ( u ，t ) + g ( 让，t ) 咖( t ) ( 1 2 ) 来表示，其中咖( 亡) 为b r o w n 运动w ( 亡) 的广义导数，u q 对任一固定的u q ， 方程( 1 1 ) 为确定性微分方程，仍可用确定性微分方程理论研究，而方程( 1 2 ) 则超出了确定性微分方程的框架，称为随机微分方程( s t o c h 嬲t i cd i 侬r e i l t 谳 e q u a t i o 瑚) ，通常写成微分形式 d u ( t ) = f ( 仳，亡) d t + g ( 乱，t ) d w ( t ) ， 其意义理解为随机积分方程 ，t，t 仳( 亡) = 仳( o ) + f ( u ( s ) ，s ) d s + g ( u ( s ) ，s ) d 仇厂( s ) ，o ，o 自1 9 5 1 年i t 6 创立随机积分理论以来，随机微分方程理论逐步发展起来卜7 1 ，成 为研究随机系统的有力工具 1 9 8 0 年前后，e l w o 川吼b a x e n d a l e ，b i s i n u t ，i k e d a ，w a t a n a b e 和k u n i t a 等数 学家发现一些随机微分方程的解过程不仅构成一个m 盯k o v 族，而且还定义一个 双参数的随机微分同胚流在此基础上，德国数学家a r n o l d 及其领导的b r e m e n 小组创建并发展了随机动力系统理论【8 一，将随机微分方程和动力系统联系起来， 为随机微分方程定性理论的研究提供了坚实的基础 粗略地讲，随机动力系统是由一个保测动力系统( 它是一个驱动器，相当于 ( 1 2 ) 的b r o w n 运动) 和具有共环( c o c y c l e ) 性质的映射( 相当于( 1 2 ) 的解过程) 两部分组成： 1 同济大学博士学位论文随机非自治泛函微分方程的渐近性态 ( a ) 时间域t ，| = r 或z ；概率空间( q ，莎，p ) 连同其上的保测变换群 仇： qh q ，t t ) ； ( b ) 可测映射妒：t + q xhx ，对n a e u q 满足：妒( z ，u ，) ：xh x 对任意t l + 连续且具有共环( c o c y c l e ) 性质：妒( o ，u ，) = i d ，对任意s ，亡- + 有妒 + s ，u ，) = 妒( 亡，秽。u ，j ) o 妒( s ，u ，) ，其中t + = 或z + ，x 为p 0 u s h 空间， 其上装备b o r e l 伊代数留( x ) 为建立随机微分方程生成的随机动力系统，我们只需验证随机微分方程解的 存在性、惟一性和解对初始状态的连续依赖性，以及相应保测动力系统的存在 性研究表明，随机常微分方程可以生成随机动力系统【8 1 但是，由于随机偏微 分方程的无限维特征，k o l m o g o r o v 连续性判据不再适用，验证解对初始状态的连 续依赖性还存在困难，除已知某些特殊形式的随机偏微分方程可建立随机动力 系统1 1 0 _ 1 3 】外，一般的随机偏微分方程能否生成随机动力系统，这个问题还远未解 决 作为随机动力系统的应用，我们可以通过对随机动力系统的性质的讨论，来 研究对应随机微分方程的长期演化行为以及解的极限特性等但是，与确定性动 力系统不同，在研究随机动力系统的渐近性态时，我们通常考察亡一+ 时，表 达式妒( 亡，毋一t u ) z 三妒( 亡，毋一，z ) 的极限行为这是一种拉回( p u l l b a c k ) 意义下的 极限，主要出于以下考虑： 首先，保测动力系统模拟了噪声环境的演化，若毋一。u 表示一t 时刻的环 境状态，则经过时间t 后，环境就变换为当前状态u 进一步，双参数映射 u ( 丁，s ) ：= 妒( 7 - 一s ，秽。u ) ( 7 - s ) 描述了系统从s 时刻到丁时刻的演化因而， 亡_ + 时，u ( o ，一亡) z = 妒( t ，秽一。u ) z 的极限结构可以解释为，当系统的初始状态 z 移到过去无穷远时，我们在当前时刻观察到的系统状态于是，所有这种极限的 总集描绘了系统当前时刻的实际图景 其次，由于保测动力系统 仇) 。t 的时间域是双向的，根据 仇) 的保测性，对 任意z x 和d 留( x ) ，有 p u ：妒 ，u ) z d ) = p u ：妒 ，移一t u ) z d ) ， 从而，当下式右端极限存在时， 。里p 叫：妒 ，u ) z d ) 2 。墨p u ：妒( t ，秽一t u ) z d )t 。_ 十+ 十 成立这意味着妒( 芒，毋一) z 的极限行为从依概率收敛的角度确定了妒( 亡，u ) z 的 长期行为 2 、 j 第1 章引言 再次，如果我们在再值随机变量口) 构成的空间上定义算子 ( & n ) ( u ) = 妒0 ，秽一t u ) o ( 秽一t u ) ，t t + ， 则利用共环性不难验证 & ，亡n ) 是一个单参数半群这使应用确定性动力系 统的观点研究随机动力系统成为可能 二 。 为描述随机微分方程的解的长期行为，c r a u e l ，f l a 埘o h 和s c h m a l f u b 【1 4 1 5 l 将 确定性动力系统中的全局吸引子概念【1 6 1 2 0 】推广到随机动力系统，提出了随机吸 引子的概念如果随机吸引子存在，它是严格不变的、吸引所有轨道的随机紧集， 包含了方程解的所有可能的极限状态但是，与全局吸引子不同，随机吸引子描 述的是拉回吸引性，即当亡一+ o o 时妒( t ，毋一) d ( 秽一) 的极限行为而且随机吸 引子还依赖于随机事件，随时间而平稳演化近十年来，随机吸引子理论得到快 速发展1 2 1 _ 2 7 1 ，并被广泛应用于随机偏微分方程的研究【1 2 ，2 l ，2 7 - 3 7 】同时，这种拉回 吸引子的定义，还为非自治系统的吸引子的研究提供了有益的借鉴，目前有关非 自治系统的拉回吸引子的研究也有了较多的发展【州o 】 随机动力系统存在随机吸引子，首先必须是耗散的，其次要满足某种紧性条 件，如一致紧【1 4 】、渐近光滑【9 ，2 1 】、渐近紧【1 5 ，船，2 6 】等，其中验证紧性是证明随机吸引 子存在性的关键对于有界域上的可正则化的随机偏微分方程，如n a v i e r - s t o l 嘲 方程【1 4 1 5 ，2 1 】、反应扩散方程1 1 4 2 1 ，2 2 ，2 7 ，2 8 1 、g i n z b l l r g - l a n d a u 方程1 2 9 删和一般抛物 方程【1 2 】等，通常由解的正则性估计和s o b o k 紧嵌入获得一致紧性对于有界域 上的耗散性随机波方程【2 1 ，3 1 删，解的正则性不再成立，常用解的分解技巧并结合 s o b o l e v 紧嵌入获得渐近光滑性但是，对于无界域上的随机偏微分方程，由于 区域的无界性，s o b o l e v 紧嵌入不再成立，因而无法继续使用上述方法获得紧性 为克服区域的无界性引起的困难，b a t e s 、l u 和w 如g 【叫将验证无界域上确定性 偏微分方程的渐近紧的尾估计方法1 4 1 ，4 2 1 ，扩展到随机偏微分方程，证明了随机反 应扩散方程的随机吸引子的存在性他们通过解的尾估计，证明了解的渐近零 性质，即当时间充分大时，解在足够大的有界区域外一致地任意小，然后利用有 界域上的紧嵌入，结合状态空间的自反性及弱收敛技巧获得渐近紧性最近，尾 估计方法又被用于研究无界域上的随机b e n j 锄n b o n a - m a h o n y 方程网、随机 f i t z h u 曲n a g u m o 方程【3 6 】和随机波方程吲 以上的工作都没有考虑时滞因素但在现实世界中，许多系统都受到时间滞 后的影响，即系统未来的状态不仅取决于当前的状态，而且还依赖于过去的状 态在有些情况，时滞可能对系统演化产生重大影响，如引起系统失稳、产生分歧 等f 4 3 1 因此，为真实地反映事物的本质，更现实的模型应包含时滞因素数学上， 这类系统通常用泛函微分方程阻_ 4 7 1 或随机泛函微分方程【4 删来表示有关确定 3 同济大学博士学位论文 随机非自治泛函微分方程的渐近性态 性偏泛函微分方程的渐近性态，已有一些研究成果【5 1 巧6 】但对随机偏泛函微分方 程的渐近性态的研究，还很少见到相关报道 为考察随机偏泛函微分方程的渐近性态，我们研究定义在掣上的具有加法 噪声的随机时滞反应扩散方程： m “妨拈( ，。 ) + 出”；”扮0 ，旗炽( 1 3 ) 【u ，z ) = 护 ，z ) ， 亡【一| ，0 1 ，z r p 假定a 为正常数，夕l 2 ( 删) 给定，对任意歹= l ，2 ，m ，b 日2 ( r d ) ， ) 銎l 是相互独立的双边实值b r m 运动，映射，：c ：= c ( 【- l ，0 】；l 2 ( r d ) ) h 铲( r d ) 满足条件： ( a 1 ) ，( o ) = o ； ( a 2 ) 存在正常数z ，使得 0 ，( ) 一，( 7 7 ) 0 z ，0 一叼i l c ， ，刀c ； ( a 3 ) 存在正常数口。和c ，对任意口( o ，咖) ，t o ，钍c ( 【一z ，t 】；l 2 ( r d ) ) 和z 础，有 ，t，t l ，) ( z ) 1 2d s 弓扣l u ( s ) ( z ) 1 2d s ，o，一l ， 考虑概率空间( q ，莎，p ) ，其中q = 扣c ( r ，r m ) ：u ( o ) = o ) ，莎是由 q 的紧开拓扑生成的b o r e l 伊代数，p 是( q ，莎) 上相应的w i e n e r 测度令 秽( ) = u + ) 一u ( 亡) ，则( q ，罗，p ，( 仇) t r ) 是b 遍历的保测动力系统利用 o r 瑚t e i n - u l l l e n b e c k 过程，将方程( 1 3 ) 转化为含随机参数的时滞反应扩散方程， 然后通过证明时滞反应扩散方程解的存在性、惟一性以及解对初始状态的连续 依赖性，建立由( 1 3 ) 生成的随机动力系统妒：r + q ch c 记9 为c 的所 有缓增( t e m p e r e d ) 随机子集构成的集簇 由于时滞的存在，状态空间c 不再自反，因而不能应用无时滞时的弱收敛技 巧同时，时滞和随机因素的联合作用，也增加了建立解的估计的难度为克服时 滞和区域的无界性引起的在验证紧性上的困难，我们进一步发展了尾估计方法， 在随机偏泛函微分方程的框架内，利用尾估计证明了渐近紧性首先，建立解的 有界性、等度连续性和正则性估计其次，利用解的尾估计证明渐近零性质，即当 时间充分大时，解在足够大的有界区域外一致地任意小然后，利用有界域上的 紧嵌入、灿c o l i - a r z e l 氧定理、子序列的对角线过程获得渐近紧性，进而证明了随 机吸引子的存在性 4 t j 第1 章引言 定理1 1 设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立如果入 c ，则随机动力系统妒在c 中存在惟 一纺随机吸引子 至于有界域上的随机时滞反应扩散方程，我们可用有界域上的紧嵌入和 舡c o h a r z e l a 定理直接获得渐近紧性有关这些方面的研究，本文从略此外，这 种尾估计方法还可用于其它无界域上随机偏泛函微分方程，以及无界域上非自治 偏泛函微分方程 格点系统是某些变量离散化的时空系统，包括耦合常微分方程组、耦合映射 和细胞自动机等，在生物学、化学反应理论、电子工程、激光理论、材料科学、图 像处理与模式识别等领域有很多应用自b a t e 8 ，l u 和w 如9 1 5 7 l 研究无穷格点 系统的全局吸引子以来，格点系统的渐近性态受到国内外学者的广泛关注，并取 得了丰硕的研究成果【5 删同时，随机格点系统渐近性态的研究，也得到快速发 展【2 3 ，6 5 - 7 0 】近来，z h a 0 和z h o u l 7 1 7 2 1 又研究了时滞格点系统的渐近性态但对于 随机时滞格点系统的渐近性态的研究，还未见到相关报道 为考察随机时滞格点系统的渐近性态，我们研究具有加法噪声的随机时滞格 点微分方程： ld u ( t ) = ( ( 讹一1 2 讹+ 饥+ 1 ) 一九饥) m i + ( ( 越) + 夕t ) 出+ n d t 地( 亡) ， 亡 o ，l z ，( 1 4 ) l 【讹( 亡) = t ? ( 亡) ，t 【一王，o 】，l z 假定夕= 慨) 炬z 胪，n = ( o i ) 诞z 俨给定， 毗：i z ) 是相互独立的双边实值 b r 帆运动， ：i z 】和，= ( 五) z ：c ( 【_ l ，0 1 ；俨) h 俨满足条件： ( h 1 ) 存在正常数和”，使得 0 c ， 同济大学博士学位论文随机非自治泛函微分方程的渐近性态 我们指出，无穷格点方程( 1 4 ) 可看作反应扩散方程( 1 3 ) 在空间上的离散 化b a t 鹤、l i 鲥和l u 矧研究了( 1 4 ) 的相应无时滞形式，z h a - o 和z h o u 【7 1 1 研究 了( 1 4 ) 的确定性版本由于状态空间俨中紧集的特殊构造【6 ，尾估计方法成为 验证格点系统渐进紧性的基本方法【2 3 ，5 似4 ，静7 2 1 考虑概率空间( q ，少，p ) ，其中q = 和c ( r ，垆) ：u ( o ) io ) ，莎是由q 的 紧一开拓扑生成的b o r e l 西代数，p 是( q ，箩) 上相应的、矾e n e r 测度令秽t u ( ) = u + ) 一u ( 亡) ，则( q ，莎，p ，( 仇) 挺r ) 是n 遍历的保测动力系统利用o r n s t e i n - u l d e n b e c k 过程，将方程( 1 4 ) 转化为含随机参数的时滞格点方程，然后通过证明 时滞格点方程的解的存在性、惟一性以及解对初始状态的连续依赖性，建立由 ( 1 4 ) 生成的随机动力系统妒：毗q g ( 【_ o 】；护) hc ( 【_ o 】；俨) 记9 为 c ( 【一以0 】；俨) 的所有缓增随机子集构成的集簇 为验证时滞格点系统渐近紧性，我们考察了状态空间e ( 【- 0 j ；胪) 中紧集的 结构，建立了下述紧性准则 定理1 2 设 矿) 罂l = ( 乱? ) t z 】黯1cg ( 【一z ，o 】；俨) ，则 矿) 器1 相对紧的充 要条件是： 钍n 黑1 在e ( 【- ，o 】；护) 中有界，等度连续，且成立 舰h 嬲p 。器篆憎( s ) | 2 = 0 詹。n _ 8 卜o 】蔚：五 有界性等同于耗散性，而等度连续性一般可结合格点系统的结构验证于是， 时滞格点系统渐近紧性的验证又被归结到尾估计但是，时滞和随机因素的联合 作用，增加了建立有界性和尾估计的难度依据定理1 2 ，我们进一步发展了格点 系统的尾估计方法，在随机时滞格点系统的框架内，利用尾估计证明了渐近紧性， 进而得到随机吸引子的存在性 定理1 3 设( h 1 ) 一( h 5 ) 成立，则随机动力系统妒在c ( 【一，o 】；俨) 中存在惟一 勿随机吸引子 我们知道，在现实世界中有许多现象呈现出某种周期性，最显然的例子是季 节的周期性变化这种周期性使得生物的生存环境，如温度、湿度、食物、水资源 等也呈周期性，从而导致生物的一些习性，如体温、交配、迁徙等，也表现为周期 性这时，我们很自然地想到，这种周期性可能导致种群演化的周期性因此，研 究周期系统的周期解具有重要的现实意义 在周期微分方程的定性理论中，周期解的存在性是一个重要研究课题，几十 年来一直受到国内外学者的高度关注不动点理论阻，7 弘7 9 】、拓扑度理论【8 瞄7 】和 动力系统理论【8 删等是研究周期解存在性的主要工具其中，拓扑度理论中的 6 第1 章引言 m a w h i n 连续定理删特别适合研究具有变时滞、分布时滞或状态依赖时滞的泛函 微分方程，被广泛应用于种群生态模型的周期正解的存在性研究，并取得了丰硕 的研究成果f 8 1 前，9 1 1 叫但是，大部分结果都是针对具体模型给出的，关于抽象模 型的研究还比较少 在种群生态学中，捕食者与其食饵之间的关系是最重要的种群关系为考察 具时滞的捕食者一食饵周期系统的周期性演化行为，我们研究下列五类一般形式 的捕食者一食饵模型： ( 1 ) 具时滞的g 硼s e 型捕食者一食饵系统 一( t ) = z ( 亡) ， ，z 一丁( 亡) ) ) 一夕 ，z ) ) 一盯1 ( 亡) ) ( 1 5 ) l 矿( 亡) = ( 亡) 【一d ( t ) + ( 亡，z 一d 2 0 ) ) ) 】； ( 2 ) 具时滞的比率依赖捕食者一食饵系统 = z ( 亡) ， 1t 制卜 抖p ) 批( p ) ) 一9 ( 芒，筹瑞) ( 1 6 ) fz ( t ) = z ( t ) 夕( t ，z 一n ( t ) ) ) 一九( 亡，z ( t ) ) 暑 一死( 亡) ) ， t 刮小禹 ； o lz 7 ( t ) = z ( t ) 9 ( t ，z 一7 1 ( 亡) ) ) 一九( 亡，z ( 亡) ) 可0 一见 ) ) ，l 刊小捣 ， 严h n 8 ， 匕l 嚣卜； ，o ，z ，( 亡) ) 一 ，z l ) ) z 3 一仃 ) ) + d ) ( z 2 ) 一z 1 ) ) ， 9 ( t ，z 2 ( t ) ) + 6 f 2 ( 亡) ( z 1 ( 亡) 一z 2 ( 砒 ( 1 9 ) 一刊警瑞 7 、一、 、l，一、l， 善d一亡 ，、一，、z 一可 、l，、l， t t ，fi、，l ， ， z 可 同济大学博士学位论文随机非自治泛函微分方程的渐近性态 上述系统涵盖了许多已知模型范和王【9 1 1 ，叶、范和张【9 2 】，c h e n 【9 3 1 ，h u 、l i u 和y 抽删，“和f 趿【9 5 】及z h a 0 删分别考虑了系统( 1 5 ) 的某些特殊形式； 和w 眦g 【鲫，w 缸g 和l i 【9 8 】，f 阻、l i 和w 如g 删分别考虑了系统( 1 6 ) 的某些特 殊形式；w 妇g 、墨趾和w 妇1 删，h u o 和l i 【1 0 1 1 ，d i n g 、l u 和l i u 【1 叫则分别考虑 了系统( 1 7 ) 的某些特殊形式 利用m a w h i n 连续定理和数学分析技巧，我们分别建立了系统( 1 5 ) 一( 1 9 ) 存 在周期正解的充分条件，推广或改进了许多已知结果当这些模型中的某些时滞 项替换为离散时滞、分布时滞或状态依赖时滞时，相应结果依然成立 我们对单调数值反应的情形，建立了系统( 1 5 ) 和( 1 6 ) 存在周期正解的充 分条件；对非单调数值反应的情形，分别建立了它们存在一个或多个周期正解的 充分条件作为推论，我们给出了所得结果的一些应用，并结合数值模拟进行了 讨论特别地，我们对系统( 1 5 ) 的研究结果，推广了范和王f 9 l j ，叶、范和张【9 2 j 及 z h a 0 m 的相关结果，推广并改进了c h e n 【9 3 】的结果对系统( 1 6 ) 的研究结果，推 广了f 缸和w 如g m ，w 妇g 和l i l 9 8 】及f 觚、l i 和w 妇g 删的相关结果 我们运用一些新的先验估计方法，建立了系统( 1 8 ) 存在周期正解的充分 必要条件和系统( 1 9 ) 存在周期正解的充分条件当系统( 1 8 ) 退化为( 1 7 ) 时， 得到系统( 1 7 ) 存在周期正解的充分必要条件，推广并改进了w 缸g 、f 锄和 w 妇g 【l 删，h u 0 和l i 【1 叫，d i n g 、l u 及l i u l l 叫的相关结果我们指出，许多常见 的种群增长，如【傅8 t i c 、g i l p i n 和s m i t h 种群增长等，以及典型的功能反应，如 l 0 t 1 【a 广v o l t e r r a 、h 0 l l i n g 、s i g m o i d a l 、i v l e v 和m 0 n o d h a l d a n e 功能反应等，都满足 周期正解存在的条件 8 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 随机动力系统 本节介绍b r o w n 运动、随机动力系统、随机吸引子等相关概念和结果，详细 内容参见文献【8 ，9 ，1 4 ，1 5 ，2 1 ，2 3 ，1 0 5 】 设( x ，力是完备可分度量空间，留( x ) 是其b o r e l 萨代数，( q ，莎，哟是概率 空间 给定z x 和a ，bcx ，定义 池t x ( z ，a ) = ：怨p ( z ，矽) ，奴洲b = ：骝拙t x ( z ，b ) ， 分别称为点z 到集合a 的距离及集合ab 之间的h a u s d o 半距离 定义2 1 称实值随机过程 ( t ) ，t o ) 为标准b r o w n 运动或w i e n e r 过程， 如果它满足： ( i ) ( o ) = o ； 。 ( i i ) ( 亡) 是独立增量过程，并且对任意s o 称随机集b 关于( 仇) 。r 是缓增的，如果存在缓增随机变量r 0 ) 和! ，x 使得， 对任意u q ，有b ) c z x ：p ( z ，y ) r 0 ) 注2 1 若r 为缓增随机变量，则对n a e u q 和任意丁r ，有 l i me 一肛r ( 秽一t + ，c j ) = l i me p ( t r ) r ( 秽一t + r d ) e 一声r = o ，、矿p o ， o 。o o 所以对任意丁r ，r ( 佛) 也是缓增随机变量 若进一步对n a e u q ，r ( 毋) 在【一z ，o 】上连续，则s u p 仃e 卜嵋0 】r ( 以) 可测， 并且对n a e u q 和任意 o ，有 墨罂e 一毋 s u pr ( 毋一t + 盯u ) p 2 1 巴s u p e p ( 一叮) r ( 秽一件盯叫) ) = o ，v j 臼 o ， _ o o 盯【一l ，0 11 0 0 盯卜0 1 、 。 于是对任意 o ，s u p 盯【一0 】7 ( 以) 也是缓增随机变量 注2 2 若r 为缓增随机变量，则对肚a e u q 和任意q 0 ，积分 ，0 e a 8 r ( 秽。u ) d s 存在且有限 下面给出一个关于缓增随机变量的实用结论，我们