（应用数学专业论文）三状态反馈与延迟系统的混沌反控制及其应用.pdf

北京科技大学硕十学位论文 摘要 自从上世纪混沌现象被发现之后，经过众多科学家、学者深入细致的工作，混沌理论 得到了长足发展，混沌控制和反控制的重要性也日益突出 本文通过对一类n 维不稳定线性系统添加非连续状态反馈控制项，实现了不连续三 状态线性反馈系统混沌反控制并对这一类高维耦合混沌系统的动力学性质进行了理论 分析给出了定理和证明然后分别给出了具有特殊形式的系统和一般系统的例子，计算 机数值模拟及计算l y a p u n o v 指数验证这样构造的高维系统确实存在混沌，说明这样的反 控制策略是可行的 在此之后，本文提出了反控制系统的广义同步的构造方法，讨论了扰动对同步的影 响并利用混沌同步设计出了数据传输的加密方案 最后。本文用延迟反馈法对处于稳定状态的l o r e n z 系统实施混沌反控制，分析了 l o r e n z 系统在直接线性反馈的作用下的h o p f 分岔的性质，并讨论了反馈系数和延迟时间 引起的倍周期分岔通往混沌的道路 关键词：混沌反控制，状态反馈，同步，延迟反馈，线性系统 北京科技人学硕士学侥论文 c h a o f i ca n t i c o n t r o lo f1 m r e e - s t a t ef e e d b a c ka n dt i m e d e l a y e ds y s t e mw i t ha p p l i c a t i o n s a b s t r a c t c h a o s , a sas p e c i a lc o m p l e xd y n a n 捌p h e n o m e n o n , h a sb e e nd e v e l o p e dr a p i d l ys i n c ei t w a sf o u n di nt h el a s tc e n t u r y a n t i - c o n l r o lo fc h a o sm e a r i n gm a k i n gan o n c h a o t i cd y n a m i c a l s y s t e mc h a o t i co re n h a n c i n gt h ee x i s t i n gc h a o s ，h a sa t t r a c t e di n c r e a s i n ga t t e n t i o nd u et oi t sg r e a t p o t e n t i a li nn o n t r a d i t i o n a la p p l i c a t i o n s i nt h i sp a p e r , ak i n do fn - d i m e n s i o n a la u t o n o m o u sh y b r i dc h a o t i cs y s t e mi sr e n l i z c dv i a d i s c o n t i n u o u st h r e o - s t a t ef e e d b a c kc o n t m lo f l i n e a xd i f f e r e n t i a ls y s t e m d y n a m i c sc h a r a c t e r so f t h ea n t i - c o n t r o l l e ds y s t e m 躺s h o w nw i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s , t h e o r e m sa n dt h ep r o o f s s o m e e x a m p l e so f s y s t e mw h i c hi l l u s t r a t et h er e s u l t sa n dp r o v et h ee x i s t e n c eo f c h a o sa l ef o l l o w i n g t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dp o s i t i v el y a p u n o ve x p o n e n t sc o r r o b o r a t et h ea v a i l a b i l i t yo f t h i s c o n t r o l l i n gt e c h n i q u e g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni so b t a i n e df o rt h i ss y s t e m s y n c h r o n i z a t i o nu n d e rc o n s t a n t d i s t u r b a n c ei sb r i e f l ys h o w e d s o m ea p p l i c a t i o n so f g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o ni ns e c u r et o n i - m u n i c a t i o na r ea l s oi n t r o d u c e d i nt h ee n d , t h ea u t h o rs h o w san e wa n t i - c o n t r o lm e t h o do fl o r e n zs y s t e mu s i n gt i m e - d e l a y e df e e d b a c ka n dg i v e so u t8 0 f i l ec h a r a c t e r so f h o p f b i f u r c a t i o no f m ec o n t r o l l e ds y s t e ma n d i t s b i f u r c a t i o n w h i c h l e a d s t o c h a o s w h e n a m # n g f e e d b a c k c o e f f i c i e n t a n d t h e d e l a y t i m e k e yw o r d s ：c h a o t i ca n t i - c o n t r o l , s t a t ef e e d b a c k , c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n , d e l a y e d f e e d b a c k , l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m 2 一 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 北京科技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：垒窿日期：幽三：1 2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：j 露董一导师签名：主益蜴期：! 翌：兰：! 兰 北京科技大学硕士学位论文 引言 最近几年，混沌在许多领域得到或开始得到广泛应用，如声学、光学、湍流、化学反 应中的混沌变化、地震的混沌特性、天气长期预报的“蝴蝶效应”、商业周期中蕴涵着 有序性、股市细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关系等自2 0 世纪9 0 年代以 来混沌科学与其它科学相互渗透无论是在数学、物理学、生命科学、地球科学、信息 科学、还是在经济学、天文学等领域，混沌均得到了广泛的应用2 0 多年来，混沌科学虽 然在基础理论方面取得了很大的进展，但还没有取得根本性的突破，还有许多问题没有 解决 所谓混沌，粗略地说是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力 学行为理论上研究混沌的目的是多方面的，主要是要揭示混沌的本质，刻画它的基本特 征，了解它的动力性质，并力求对它加以控制和利用混沌控制和同步的应用价值很高， 直至目甑保密通信仍然是混沌研究的一个重点 在构造混沌系统和混沌反控制方面，张丽丽、李志萍、王博已经进行了一些研究工作， 包括新三维连续混沌系统、高维线性系统的混沌反控制、l y a p u n o v 指数计算等 本文的主要内容，是利用不连续三状态反馈方法，建立一类n 维线性混沌反控制动力 系统。扩展并丰富了王博在这方面的结果，给出了一般系统的构造理论和数值模拟结果， 以及线性广义同步的方法和模拟效果，讨论了常量扰动对同步效果的影响作用，并将广 义同步用于混沌加密通信中，采用驱动响应的等多种方法实现了图像信息的加密传输一 解密最后讨论了直接延迟反馈对l o r e n z 系统的作用 第一章结合当今研究进展，系统的阐述了混沌的定义、本质特征、混沌反控制及混沌 同步及其应用第二章利用不连续三状态反馈方法实现了开维线性系统混沌反控制，给出 了理论分析定理和证明，并用数值模拟方法说明了此方法的有效性第三章实现了反控 制系统的线性广义同步，并进一步研究了常量扰动对线性广义同步的影响和作用，然后 使用单变量驱动响应系统，在一定范围内降低了同步所需的条件之后利用| i i 面单变量 驱动同步系统采用加性混沌调制方法，实现了信息加密和传输，通过一幅图像的数值示 例说明了这种加密策略的可行性和安全性第四章给出了一些关于对l o r e n z 系统施加直 接延迟反馈控制的结果，用分析和数值结合的方法，分析了受控系统存在稳定平衡点以 及发生h o p f 分岔的条件，随后以一个具体的数值示例，讨论了延迟反馈l o r e n z 系统在反 馈系数和延迟时b j 改变时的动力学行为 北京科技人学硕十学t i 7 ：论文 1 文献综述 1 1 混沌 1 1 1 混沌现象的发现 混沌是j h a d a m a r d 在1 9 世纪末研究h a m i l t o n 系统时发现的法国的庞加莱( h p o i n c m 6 , 1 8 5 4 1 9 1 2 ) 从研究三体问题出发，提出了庞加莱猜想，并给出了一系列重要概 念，如动力系统、奇异点、极限环、稳定性、分俞等，创造了庞加莱截面等许多有效的方 法1 9 6 3 年，气象学家洛仑兹( l o r e n z ) 发现了随机性系统表现出随机行为，又揭示了一系 列混沌运动的基本特征，如对初值的敏感依赖性、系统长期行为不可预测等，并得到一个 混沌图像s m a l e 指出一个动力系统的轨道在某些情况下渐进于一个称为奇怪吸引子的复 杂集合1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 提出“奇怪吸引子”理 论和用混沌来描述湍流形成机理的新观点，发现了第一条通向混沌的道路1 9 7 5 年，李天 岩与y o r k e 的周期3 蕴含混沌一文给出了一个关于混沌的数学定理，即“- y o r k e 定 理 1 1 2 混沌定义 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖和系统长 期行为不可预测混沌是描述比周期或准周期运动更加复杂的运动方式由于这些运动方 式的纷繁，使人们难于做出一个统一而严格的定义其众多的定性描述或定义在不同的 意义下有不尽相同的内涵 设矿：f a 是彤上的动力系统，若闭集合a c r 4 满足( 4 ) = a ，v t a ，则称彳为 矿的不变集若在a 上是混沌的，则称a 为的混沌不变集 定理1 1 ( l i - y o r k e ) 设厂：，专，为连续映射，其中j 为实数轴上的一个集合 记尸= f 。f 0o 0 f ( x ) = 八厂( ( ，( 曲”) ，p e r ( 力= 矧工，3 n n 4 t 善= “( 工) 荠一苒一 。 若存在a l , b = 八d ) ，c = 2 ) ，d = 尸( 口) ，使得d 口 c ) ，则 ( 1 ) 有一切周期的周期点( v n n ，丑i ，s t x = f “( 功) ( 2 ) 存在不可数集合sol p e r ( f ) , 满足： a ) ! i m s u p l f “( x ) - f “( y ) i 0 ，v x , y s ，z y n b ) l i m i n f l f ”( - f ”( j ，) l - 0 ，协，y s 2 - 北京科技人学硕+ 学位论文 c ) l”( j ) 一”( p ) l ， ，) i m s u p l f 0v xsv p p e r ( 这个定理表明系统处于一个十分复杂的状态：s 中任意两个点的轨道时而远离时而又 无限地接近，而且不趋于任何周期轨道这种由映射迭代构成的决定性系统所产生的“敏 感依赖性”和“不稳定性”被称为混沌( c h a o s ) 上述定理中所定义的集合s 称为混沌集而 具有这种混沌集的动力系统称为是l i - y o r k e 混沌的 d e v a n e y 则从另外的角度给出了混沌的定义 定义1 2 ( o e v a n e y ) 令矿是一个集合，映像f ：v - 4 v 如果 ( 1 ) 厂是初值敏感的，即j 万 0 ，坛v ，工的任意小的邻域u 存在y u 及自然数n ， 使得厂”( x ) 和厂”( y ) 之间的度量d i 厂”( 工) ，f “( y ) ) 艿； ( 2 ) 厂是拓扑传递的，即如果u ，vci 是两个非空开集，则存在整数h 使得尸( n 烨中； ( 3 ) ，的周期点集p e r ( f ) 在矿上稠密， 则称在矿上是( d e v a y ) 混沌的 1 1 3 常见的混沌系统 研究最普遍的经典一维映射，是l o g i s t i c 映姘，又称虫口模型，其数学表现形式为 f 五而( 1 一而j 5 2 4 时，存在一个集合以c 【o ，1 】，使得l o g i s t i c 映射妒= 2 x ( 1 一曲在以上 是d e v a n e y 混沌的而集合1 是一个c a n t o r 集( 完全不连通的完备闭集) 二维离散映射的典型代表是h 白o n 映射，3 1 它是天文学家h 6 n o n 从研究球状星团中 以及从l o r e n z 吸引子中得到启发给出的形式为： f ：足z 号r ：；f f x ：f ? “一 ，6 _ o 3 ，。：1 4 k y ) k o x 这个映射的非线性部分来自于l o g i s t i c 映射瑞典数学家lc 印r l e s o n 于1 9 8 8 年证明 了一般的h 6 n o n 映射( x ，y ) 一( y + l 一，在正l 2 测度的参数集 0 ，6 ) ) 上具有混沌吸 引子 以l o g i s t i c 映射为代表的离散映射由倍周期分岔在参数穿过周期序列区和混沌区的临 界值时，可以出现混沌另外还有在切分俞( 见附录) 情形下由于参数值紧靠临界值而引起 f 司歇混沌( 阵发混沌) 、由h o p f 分岔( 见附录) 或者准周期运动通向混沌等【1 一 般动力系统都用常微分方程( 组) 来表示 发现于4 0 年前的著名的l o r e n z 系统，可以描述为 3 北京科技大学硕十学位论文 当盯= 1 0 ，f l = 8 3 ，p = 2 8 时存在奇怪吸引子 陈关荣教授于1 9 9 9 年在混沌系统的反控制( 或称为混沌化) 的研究中发现了一个新的 系统，随后，该系统被其它研究者称为c h e n 系统这个系统可以描述为 夕k = ：a 。( y 一- 。，x x ) 一犯+ 。y ， p = x y b z 当a = 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 时，系统处于混沌状态 在2 0 0 2 年，吕金虎和陈关荣进一步发现了系统【4 1 ，这个系统可以描述为 当a = 3 6 ，b = 3 ，c = 2 0 时，系统处于混沌状态 广义l o r e n z 规范式嗍，包含了以上三种系统的等价系统定义为 。= i ( 1 2 ) ( 1 3 ) o 一门 。一li z ，( 1 4 ) r0j 其中z = k ，乃，乃j r ，参数r e ( _ 1 ，m ) 2 0 0 3 年，周天寿【6 】构造了一个简单的二次自治混沌系统，它具有四个不稳定的平衡 点和三条同宿轨道，方程描述为 另外还有r 6 s s l e r , o h m 等系统分别描述为 r 6 s s l e r 系统： ，( 口：b ：= 1 ，：5 7 ) ， ) 一4 ( 1 5 ) ( 1 6 ) = 肛叫! l 扩 卅坶拓 咖一矿 一一 ： 一一 峙渺p o o l ，。l z 、j o一 0 + z 1，j o o 冬 o o 坞 而剐并 一h 一瞒一 p 吒 缈一 叫n = | i 石yz ，、l 北京科技大学硕十学付论文 l j = a ( y 一石一( z ) ) c h u a 系统： 夕= x 一) ，+ z，( x ) = h + 寺0 6 ) ( b + l | - 卜一1j ) ( 1 7 ) k = 一y 1 2 混沌的性质 简要的说，混沌系统具有以下几个性质哆 ( 1 ) 有界性混沌运动是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区 域称为混沌吸引堍无论混沌内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域因此从 整体上来说混沌系统是有界的 ( 2 ) 内随机性完全确定的系统其运动状态却具有某些随机性混沌的随机实际上 就是混沌的不可预测性，这说明混沌局部是不稳定的 ( 3 ) 分维性分维性是混沌的运动轨线在相空间中的行为特征分维表示混沌运动 状态具有多叶、多层结构。且叶层越分越细表现为无限层次的自相似结构 ( 4 ) 标度性标度性是指混沌运动是无序中的有序态其有序可以理解为：只要数值 或实验设备精度足够高总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样 ( 5 ) 普适性所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征， 它不依赖具体的系统方程或参数而改变，如著名的f e i g e n b a u m 常数等普适性是混沌内 在规律性的一种体现 ( 6 ) 统计特征混沌系统具有正的l y a p t m o v 指数以及连续功率谱 1 2 1s m a l e 马蹄与混沌判定 s m a l e 马蹄( s m a l eh o r s e s h o e ) 是s s m a l e 在1 9 6 5 年研究微分动力系统时构造的一个 数学模型i s s m a l e 马蹄的道理很简单取一个正方形，把它拉伸为瘦长的矩形，再把它对折弯叠 成马蹄形然后想象把这马蹄嵌入一个新的矩形中，再重复相同的变换：挤压、折曲、拉 伸 已经证明，h 6 n o n 映射是s m a l e 马蹄的一个实例，马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集 之交 映射在这个不变集上呈现混沌态因此如果在系统吸引子中发现了s m a l e 马蹄， 就意味着系统具有混沌下面的s m a l e - b i r k h o f f 定理和s i l n i k o v 定理支持了这种现象 定理1 3 ( s i l l aie - b ir k h o f f ) 3 1 设p ：r ”川“是具有双曲平衡点的可微同胚如果稳 定和不稳定流形横截相交于不同于的另一个点，那么p 有嵌入它的马蹄映射 定理1 4 ( s i l n i k o v ) 1 9 1 设戈( f ) = f ( ( f ) ) ，其中f r ，x r 3 ，f ：r 3 一且设存在 5 北京科技人学硕士学位论文 矿r 3 ，使得f ( 并+ ) = 0 令j = d f ( x * ) 是，在平衡点妒的雅可比矩阵，满足以下条 件： ( 1 ) ，有三个特征值：口，f l + _ i c o ( ，甜r ，t 2 o ，h ) ； ( 2 ) 存在一条通过平衡点妒的同宿轨道 则系统x ( t ) = f ( 石( f ) ) 存在s m a l e 马蹄的混沌 若平衡点扩的雅可比矩阵- ，= d f ( x * ) 满足条件( 1 ) ，则称为鞍点若存在一条轨道， 当t 专o 。时都趋于同一个鞍点，则称该轨道为同宿轨道若某轨道当t 斗+ o o 时，趋于两 个不同的鞍点。则称该轨道为异宿轨道 定理1 5 ( 异宿s i i n i k o v ) 设x ( t ) = ，( x ( f ) ) ，其中t r ，j r 3 ，f ：r 3 寸r 3 ， 是其两个不同的平衡点令 ，五分别是尺在平衡点t 和的雅可比矩阵以，五满足 以下条件： ( 1 ) 有三个特征值：q ，届弛，且嘶，届，q r ，q o ，k i 届； ( 2 ) 止有三个特征值：，厦- + i m 2 ，且锡，履，呸r ，吒 0 , l a 2 j 屈； ( 3 ) 存在一条由两条异宿轨道组成的异宿线圈连接t 和 则系统x ( t ) = f ( x ( f ) ) 存在s m a l e 马蹄的混沌 1 2 2 初值敏感依赖性与l y a p u n o v 指数 刻画初始值的微小差异对系统的轨迹产生的影响的定量指标。就是李雅普诺夫 皿y 掣岫o v ) 指数利用l y a p u n o v 指数，能很好的把握系统混沌集的复杂性 在一维离散映射x n + i 一- - - f ( 桫，如果卧l ，贝u 映射使两点分开如剖剖 o ，o ，i = j ) 和特征值 乃( 蹦乃) 0 ) 添加控制项，也就是j = a x + f + u ( x ) ，令 i b x + 向，i f g ( 力z “( = 0 ，i f i g ( x ) i o( 2 2 ) l 服+ 如，i f g ( z ) s - i 使得+ 毋的全部特征值均具有负实部，荆为状念分割函数，是一正常数得到的受控系 统实际上是由三个线性系统猖合丽成 i ( a + 口) x + u 十七i ) ，矿g ( 曲，( 2 3 a ) j = 4 z + 厂+ “( 工) = 4 x + 厂，i f l g c x ) i 0 ( 2 3 b ) 【( 4 + b ) x + ( f + k z ) ，i f g ( x ) 一，( 2 3 c ) 适当选择k l ，如g ，使得k ( i ) i ，g ( 毫) 一，其中 毫= 一彳- 1 ，毫= 一( 彳+ 口) 一( f + k 0 ，毫= 一( 4 + b ) _ 1 ( f + k z ) 分别是系统( 2 3 ) 的三个子系统( 2 3 1 ) 、( 2 3 a ) 、( 2 3 c ) 的平衡点 我们知道对于线性定常系统 i i ：a x 1 x ( o ) ：而( x ，x o r ”，一r ”。”) ， 其唯一平衡态x = 0 渐进稳定的充要条件是矩阵a 的所有特征值均具有负实部 在状态空间扛e r ”i - i g ( x ) f ) ，由于彳具有实部为正的共轭复特征值，所以子系 统( 2 3 b ) 的状态轨线呈螺旋型由中心向外发散，而在状态空间 x e r ”l g ( 力，) 或者 扛彤i g ( 力一 ，系统由外向中心旋转收敛，系统在时而发敬，时面收敛的效果共同 影响下，会产生混沌的特性 2 2 系统的动力学行为分析 定理2 1 系统( 2 3 ) 在满足条件姒爿) o 和t r ( a + 研 0 时，是耗散系统 北京科技人学硕十学位论文 证明：设v = ( 毫，毫，矗) 为状态空问x = 彤上的向量函数，散度为 w = 喜善= ki f l g ( x ) i t r ( a o t h e r w i s e 7 ，所卿 o 鲁融i + b ) ， 对于相空问中初始的体积元坎0 ) ，当f 斗o o 时，v ( t ) = v ( o ) e 彬一0 即包含系统的 轨线最终被限制在相空问内一个测度为0 的集合内证毕 如果a 不满足条件t r ( a ) o ，虽然无法保证系统总是耗散的，但是由于控制l 的存 在，系统仍然可以被限定在某个区域内，此时系统仍具有混沌的某些特性 定理2 2 系统( 2 3 ) 在满足条件k ( 毫) l o ，0 ，i = 一1 ) 时，具有唯一的不稳定平衡点矿= 毫= 一a f 证明：由于是，南分别是( 2 3 a ) ，( 2 3 c ) 在不受状态空间限制的时候的平衡点而毫，毫 又不在( 2 3 a ) ，( 2 3 c ) 系统运行的空问内( 由于g ( 是) ) 所以对于系统( 2 3 ) 来 说，毫，袁都不是它的平衡点 而毫是( 2 3 b ) 的平衡点，且k ( 毫) l ，或者g ( j 3 ) - i ，因为矩阵0 + b ) 的全部特征值均具有负实部，所以系统 会在岛或者毫处渐近稳定，如此则无法达到混沌反控制的目的 定理2 3 系统( 2 3 ) 满足定理2 2 的条件，且状态分割函数删满足下列三个条件时， 系统是有界的，并在三个空间中作往复运动 ( 1 ) g ( 工) 为连续函数， ( 2 ) 当l l x l i o o 时，i g ( 工) i 寸m ， ( 3 ) 对于系统孟= a x + f ，g ( x ( f ) ) 随着时间变化，从初值g ( 工( o ) ) 开始上下震荡，且 振幅逐渐加大 证明：根据系统的状态，分情况讨论如下： ( a ) 当系统状态工满足g ( x ) ，时，系统的行为是( 2 3 a ) ，如果不考虑系统状态空间的 限制，则系统的轨线会逐渐靠近平衡点是= 一( a + 丑) - l ( 厂+ 毛) 而g ( 曲是连续的，且 g ( i c z ) - l ，所以系统会在某一时刻t 2 穿过曲面g ( j ) = - 1 ，进而系统也转换到( 2 3 b ) ( c ) 当系统状念工满足一， g ( 曲 o ，及一 o 或者q o 矩阵( 4 + b ) 的全部特征值为 1 3 q吖：；m 北京科技人学硕士学何论文 e = 嵋0 篓蒹：。，仍仨! 苁黧恶g ，叩j 售：缎兰，。 22 0 - 3 7 1 爿：i 捌2 56 i 肛卜。h 弘一m 咖_ ， ：三委1 x + f 曼1 ，矿g c 曲厶 2 0 _ 3 7 256 l 2 3 - 5 2 0一3 - 4 5 9 五fr g c x ) i ， 斗 可以验证 是= 一( 4 + b ) k - - 一1 0 4 2 7 - 4 ) 1 7 5 2 _ 9 1 1 1 14 】7 ， 1 4 ( 2 4 a ) f 2 4 b ) ( 2 4 e ) o 一矽 ( g矿 1，j o o m 加 r。l 北京科技大学硕十学位论文 毫= ( 爿+ b ) 一k = 是， g ( k 2 ) = 2 9 3 2 7 ，g ( 毫) = 一2 9 3 2 7 可以选取，= 5 数值计算显示，状态反馈控制函数鼬) 值随时问t 的变化如图2 1 所 示各变量的时序见图2 2 系统( 2 4 ) 在状态空问中的轨迹如图2 3 所示经过长时间的数 值演算，得到其l y a p u n o v 指数谱为【0 2 ，0 ，- - 0 2 ，- 8 说明系统( 2 4 ) 具有混沌的性质 tt 图2 1 系统( 2 4 ) 的状态反馈控制函数g ( x ) n 的变化：( a ) 分系统( 2 钇) ； 分系统( 2 4 功；( c ) 分系统( 2 4 c ) ；( d ) 系统( 2 4 ) 图2 2 系统( 2 4 ) 的各变量的时序：( a ) x l ；( b ；( c ) x 3 ；( a ) x 4 1 5 北京科技人学硕士学位论文 - 4 - d 4 2 1 ，0 一1 2 1 0 x 3 1 0 - 4 x 2 4 图2 3 系统( 2 4 ) 在状态空间中的轨迹：( a ) 状态分量确，x 2 ，x 3 ； 状态分量硗均，x a ； 例2 对系统j = a x ，施加控制，实现混沌反控制，其中 由前面的叙述，令 得到耦合系统为 工= 未h | 1 r 61r0 拈 - 6 圳h 曼 g ( 功= 厉习唧( # + 圳五+ t | + x 4 + 2 x 3 ， - 3 9 2 0 2 0 - 3 9 8 1 1 6 f g ( x ) ， ( 2 5 a ) 竹 5 0 巧 俯4 x 加射 1 o乞之 p。l = 4 0 o m 加 + 1，lpj 巧们 北京科技大学硕七学位论文 2 12 0 - 2 02 1 - 3 9 2 0 2 0一3 9 15 - 0 5 t f i g ( 圳 0 ，系统( 2 5 ) 不符合定理2 1 中耗 散的条件，但仍然是混沌的系统耗散的结果是使系统的相体积收缩而限制在一定区域 内，在本例，依靠状态控制同样使系统被限制在一个有界的区域 例3 系统( 2 3 ) 中参数选取如下所示， a = 2 2 0 2 02 k 7 = 【0 06 0 所以一十b = l 2 3 0 4 1 2 一1 77 2 15 3 0 6 06 0 6 0 6 0 】， 42 0 - 2 0 一 ，b = 2 0 - 2 0 o o 0 得到如下动力系统： i = ( a + b ) x + k ，i f g ( 力l ( 2 6 a ) i = a x , i f l g ( x ) l z ， ( 2 6 b ) 膏= ( 彳+ b ) x - k ，i f g ( 力s - 1 ( 2 6 e ) 选择状态分割函数g ( 力= 彳+ z s 印( 玉) + 鼍，常数，= 5 验证对平衡点的要求： 是= ( 一+ 曰) 一1 七= 【o 0 - 2 1 4 6 34 3 8 1 8 2 1 5 6 93 3 3 3 3 2 0 0 0 0 7 ， 毫= ( a + b ) k = 南， g ( 乏) = 2 1 5 6 9 - l = 一5 虽然g 不是连续函数，但是这里删分段连续的性质，仍保证了系统在三个分段空 间中自然过渡状态反馈控制函数g o ) 值的变化情况如图2 7 所示，系统的轨迹如图2 8 1 9 5 3 0 埘 2 ”一o 北京科技人学硕士学何论文 所示 t t 图2 7 系统( 2 6 ) 的状态反馈控制函数g 值的变化： ( a ) 分系统( 2 6 a ) ；凹分系统( 2 6 b ) ；( c ) 分系统( 2 6 0 ；( d ) 受控系统( 2 6 ) 5 0 n 0 - 5 0 5 ( a ) ，一7 0 、 ，7、 1 0 4 2 。0 - 2 _ 4 1 0 ( b ) ，7 0 、 7i、 5 x 2 - 5 _ 1 0 x 1 x 4 。1 0 - 6 x 2 图2 8 系统( 2 6 ) 在状态空间中的轨迹：( a ) 状态分量工l ，x 2 ，x 3 ；( b ) 状态分量恐，x 4 , x 6 经计算得系统( 2 6 ) 的l y a p u n o v 指数谱为【2 0 ，o ，一1 o ，- 6 , 一1 2 ，- 2 0 ，- 3 1 ，说明系统 的行为是混沌的 在上面的例子中，矩阵a 有一对实部为正的复特，征值2 + 2 0 i ，另外五个特征值都是 2 0 北京科技大学硕士学傍论文 实数，所以状态分割函数中使用了群七s g n ( x ，) 这一项，就使得g ( x ) 具有了定理2 1 3 中所要求的性质( 2 ) 和( 3 ) 这是由于j = a x 的旋转特性表现为x i ，t 两个变量的振荡，所以 g ( x ) 也会因此而振荡，这可以在图2 7 ( b ) 中看出来虽然g ( x ) 是分段连续的，但是它同样 保证了受控系统在各个状态之间能够顺利的切换 下面的例子中的4 有更多的复特征值，并改用其它分段连续的更复杂的状态分割函 数同样达到了混沌反控制的目的 例4 系统( 2 3 ) 中参数选取如下所示， a = 一2 0 2 0 - 3 0 童 6 o 一3 5 一l o 1 4 ，b = 9 3 6 0 8 5 2 0 0 o 2 0 2 0 o 得到如下动力系统： 膏= ( 彳+ b ) x + k ，矿g ( 印2 ，( 2 7 a ) 章= a x ，i f g ( j ) l 1 的行为( 2 3 a ) ，因为矩阵似十功的全部特征值均具有 2 2 北京科技大学硕士学位论文 负实部，所以系统是具有收敛性质的，即从不同初始点出发的轨线只能逐渐接近，将远离 平衡点的状念迅速向幺方向靠拢而乜3 a ) 对初值不具有敏感性同样的，( 2 3 c ) 对仞值也 不敏感只有( 2 3 b ) 具有发散性质，可以将误差以指数递增的形式放大，是系统复杂性质 的来源 系统是否具有混沌的性质，主要还是依靠l y a p t m o v 指数，以及对初值敏感性的数值 验证来说明在一些极端的情况下，系统会运行在曲面g ( x ) = ，或者g ( x ) = - i 片刻系统 运行在这两个曲面上时，数值模拟会有一些偏差 2 - 3 2 一般系统的混沌反控制 定理2 4 若系统( 2 3 ) 已经是混沌系统，那么对任意的胛维线性微分动力系统 j = c x + d ，c r ”。”，d r “ ( 2 8 ) 如果存在一个可逆矩阵p 使得a = p - 1 c p 且d = e f ，则系统( 2 8 ) 可以用相同的方法 实现混沌反控制得到新的系统为 膏= c x + d + - ( 曲= ( c + p b t r ) 工+ ( d + p k t ) ， 十d ( c + p b p - ) x + ( d + p 红) ， 谚g t f t 曲l i f g ( p - 力1 ， ( 2 9 ) f g ( p - 1 曲- i 证明：构造映射妒：r ”斗r ”，伊( 砷= p x ，贝j j o , 是连续的一一对应其逆映射为 矿( 力= p - x 记系统( 2 3 ) 为j = ( 曲，系统( 2 9 ) 为j = 噍( 力 对于任意的工r ”，当g ( ，时， 缈( 毛( j = p ( 啊( 砌= p “4 + 艿) x 十( 厂十毛”= 联p - c p ) x + p b x + 0 r + p 毛 = c p x + p b p - 。p x + 矽+ = ( c + p b p - 1 ) p x + d + 观 = ( c + p b p - 1 ) 烈力+ d + p h = 如( 烈工” 同理，当l 反工) l z 和g ( 磅- i 时，都有以奄( 瑚= 岛 须力) 也就是说，系统( 2 3 ) 和系统( 2 ，9 ) 是拓扑共轭( 见附录定义a 2 ) 的，因而有相同的动力 学性质所阻系统( 2 9 ) 也是混沌的，证毕 例5 系统( 2 3 ) 中的参数设计为 a = 4 6 2 0一3 - 2 4 - 5 8 1 881 8 2 901 - 2 9 5 12 0 - 3 2 9 2 3 ，f = 北京科技大学硕十学位论文 j = f - 51 ：+ 2 优：一：m l ， 根据定理2 4 ，选取参数为 状态分割函数 p = 这些参数给出了一个混沌反控制系统 混沌轨迹为图2 1 1 工， x 一 ，当g ( 曲5 时( 2 1 0 a ) 当一5 。，并且旷= e r d = e r 4 p 因为a i 是负定矩阵，所以对任意的e 0 ，矿 0 所以，当t 一时，e 专0 ，即 工一m y o 或者! 鳜0 y 一 缸i | _ 0 ，其中l | 可以是任意一种向量范数所以系统( 3 3 ) 和 ( 3 4 ) 通过变换y = m x 达到广义同步 例i 驱动系统选用d 口面例2 中的( 2 7 ) ，并且设 五= - 0 2 - 0 5 4 = a 一4 = m = - 0 7 o 1 - 2 一1 5 j 2 22 0 304 6 9 - 2 02 55- 69 0 3 - 0 3 2 3o一36 2 3一o 9050 7- 1 0 8 1 0 8 5 一i 8 5 1 0oo一1 0o olo1o o0 0 0loo 吨0 o 0 ol1oo 0 100l oo 0 0 o 1 ol l 0 0 002 0 1 根据定理3 2 ，响应系统的方程设计为 夕= 织m 。y + m a 2 x + m u ( x ) 2 7 ( 3 5 ) 北京科技大学硕十学位论文 _ o 2 y i o 4 儿+ 0 4 + o 4 y s + 2 2 + 2 0 x 2 3 一3 x 5 + 1 6 x 6 + x r o 3 y 2 + o 2 y 4 0 2 y s 一2 0 x j + 2 5 x 2 + 2 8 x 3 - 6 9 x 4 + 9 x 5 + 5 x 6 + 3 x 7 3 9 y 2 一o 7 乃一1 3 y 4 3 9 y 5 2 6 y 6