（基础数学专业论文）一类带可变核的奇异积分算子在某些空间上的有界性.pdf

摘要 调和分析中，r i e s z 变换具有深刻的偏微分方程背景，围绕它的研究一直是 人们感兴趣的问题之一，并取得了丰富的成果带齐性核或粗糙核的分数次积 分就是围绕r i e s z 变换发展起来的一个非常活跃的课题另一方面，c a l d e r 6 n 与z y g m u n d 将r i e s z 变换推广到了卷积算子一一即经典的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，由此又推广到了带可变核的积分算子带可变核的积分算子虽然不是真 正意义下的卷积算子，但是也有卷积的成分在内，可以称为是“不完全卷积“， 是第二代的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子本文讨论的就是带可变核的奇异积分算 子与分数次积分算子 带齐性核的分数次积分在函数空间上的有界性许多已得到解决，但是带可 变核的积分算子的有界性仍有许多未完善的地方近年来，随着函数空间的分 解理论的完善，尤其是h e r z 型h a r d y 空间的分子刻划的完善，使得我们可以进 一步地讨论带可变核的积分算子的一些有界性我们利用已有结果结合h a r d y 空间与h e r z 型h a r d y 空间的分解理论得到了带可变核的奇异积分算子和分数 次积分算子在这两类空间上的新的有界性结果主要结果如下。 ( i ) 对某些0 o ，q ( z ，a z ) = q ( 。，z ) ； ( h ) l l q l p ( 舻) l 唯”- 1 ) ：2 1 鉴i 丘 q ( z ，7 ) l r 曲( z i ) ) ，、r 定义0 1 对0 0 ，使得| f f i l l 。se l l 州l ： 1 9 8 6 年，c h r i s t ，d u o a _ n d i k o e t x e a 和r u b i od ef r a n c i a 证明了下面的结论： 定理o 2 - 【1 5 l 设1 掣，若q ( 。，z ) 三o o l ( 扩_ 1 ) 满足( o 1 ) 式，则存在不依赖于，的常数c 。使得 i i t i , ( f ) i i l ，c r - sc l i 川口( r n ) 1 9 7 1 年，m u c h e n h o u p t 和w h e e d e n 在文献f 7 】中建立了五的( 2 ，l 4 ) 有界性，得到 定理0 3 设0 p 扎，1 0 使下式成立 l i 五l ，p ( ，) l l l a ( r n ) 冬c l l a l l z - ( r n ) p ( s 一- 州州p ( 即) 。 在同一文章中，他们也给出了算子五2 和正l ，p 的加幂权的有界性，即如 下结果： 3u 霄母大学硬士学位论文 定理o 4 设0 弘 n ，1 0 使得 忡7 厶哥掣m 刊也，鲴i q 忆叩m 邯一) l l 蚓圳伽。， 成立当且仅当一号 7 予一竺 一p ， 若r ，则对任意的，y 常数c 均不存在 特别地，关于带可变核的分数次积分算子五z ，肛，在【2 】中还有如下的有界 性定理t 定理0 5 设0 p 1 ，若q ( z ，石) l 。( r ”) xl 2 ( s ”1 ) 且满足； 1 w 2 0 ) 一d a ， 0 ，使得l | 五州工：c l l l l l 。肋+ 斗) 在这个结果的芎笋上，应用线性算子的内插定理，还得到了死，p 的( 口，伊) 有界性( 1 p 赢) ： 定理0 6 设0 弘 1 ，及q z ) c o 。( 靴) 铲( s ，l 一1 ) 且满足l l a c 2 】+ ( s 。) a a o 。， ，u6 1 + p “ 那么对于1 p 0 ， 使得l l 互l ，芦f i l l 。( r n ) c l l l l l 一( r n ) 2 0 0 2 年，丁勇等在文献 2 中给出了带可变核的奇异积分算子从h a r d y 空 间h ( 舭) 到p ( 珏p j 的亳界性以及分数次积分算子从上p ( 及“) 到l q ( r “) 的有 界性( 0 墨专半) 满足( o 1 ) 式，那么 ( a ) 当q ( o ，z ) 满足口一d i n i 条件( 即( 0 2 ) ) 时， i i t , , f l l 工, sc l l f l l z t , ； ( 0 3 ) ( b ) 当0 卢1 且q ( z ，z ) 满足 z 1 筹彩 o 。 4 ( 0 4 ) 引言 时对于南 p o 尹了- f 无关的常数 定理o 8 设o 弘 1 ，言2 ；一姜及q ( z ，。) l 。( p ) l 2 ( 铲1 ) - 如 果p 和q ( 。，石) 满足下面的零件之一。 ( a ) 毒p 1 目。z 1 筹认o 。； ( b ) 对满足删1 觚弗 p 毒且z 1 筹砸一 t n 。p $ 1 1 - - sc 8 川p h e r z 空间与h e r z 型h a r d y 空问是调和分析及其相关理论中的重要函数 空间，分别用砖，r ( r ”) 和h 砖，p ( 取”) 表示齐次h e r z 空间和相应于砖。”( r 8 ) 的齐次h e r z 型h a r d y 空间，先来看它们的定义- 对而z ，记b k = z 舯：2 k ) ，仅= b k b k - 】) 并用姚表示集合 g 的特征函数 定义0 4 3 1设血r ，0 鼽q o 。 齐次h e r z 空间蟛p ( r ”) 定义为 霹9 ( 舻) ：= ，l l ( x “ o ) ) ：文产( r n ) o o ， 其中 盯岐y 一 。邑i x ) 2 脚l | ，刈， l = 一， 非齐次h e r z 空间蝣，9 ( 强r ) 定义为 j 管廖( 舻) ：= ，玩。( r ”) ：州 甜一僻n ) o 。) ， 其中 忖峥：= i i x s 0i i h 一占0 02 脚忖矧巳r 青岛大学硕士学位论文 定义。5 设。 p o 。，1 q o o ， ( 1 一言) s a o o 用g ( ，) 表 示函数，的极大函数，齐次h e r z 型h a r d y 空间h 砖p ( 歌“) 定义为 胃堙，( 州：= ，( r n ) ：g ( ，) 曰”畔“) 并定义 | f ，i l 何簖，( r n ) ：= l l c ( f ) l l , 稿, - ，) 定义中的s 7 表示缓增广义函数空间 类似地，非齐次h e r z 型h a r d y 空间h 研p ( 征眇) 定义为 剧碍9 ( 瞅) ：= ，( 黔) ：c ( f ) 蝣巾( r n ) ) 并且定义 l i f l l h k ，( 酗) ：= i i g ( f ) l l 蝴 一( 耵) 2 0 0 4 年张璞等研究了当核函数满足一类d i n i 型条件时，带可变核的奇异 积分算子与分数次积分算子从h e r z 型h a r d y 空间到h e r z 空间的有界性，得 撕嚣0 9 设1 i n a x 掣小 定理 1 1 l 】 设 型，口 和 0 p 0 0 又设q ( z ，z ) l o 。( 黔) 扩( 伊1 ) 满足( 0 i ) 式如果存在 。 厣，使得z 1 等等谢 o 。那么当礼( 一否1 ) sq 0 ，使得 h 川瑚，) sc l l f i i z k ；，( r n ) 定理o 1 0 【l l 】设o p 1 ，1 q t m a x q i ，砚) 又设。 p z p z o o ，n ( ，一击) 口 n ( t 一击) + p 如果q ( ，名) 厂1 嘿谢 ) isc 垫笔尘满足( o 1 ) 式，若对 某个盯 0 ，有 i z ：f t ry ( f ) ( x ) f 口) i - z l l f l l - - 。* 迸一步地，在同样的条件下，算子丑z 是弱( 1 ，1 ) 的，即存在常数c 0 使得 对任意f l 1 ( 舻) 和p 0 有 i 。：l 五z 厂( z ) i 口) l 吾j j ，| l z 定理o 1 2 设o 0 满足 z 1 掣( ，+ 1 1 0 i g 9 彤 0 使得对任意的，日1 - ”( 舻) 和卢 0 有 ：i t a , ( ，) ( 刮 删sc ( 字) 雨 青岛大学硬士学位论文 进一步地，在同样的条件下，存在一个常数c 0 使得对任意f l 1 ( r n ) 和 卢 0 有 协i t a , ( 似刮 硎scf 毕) _ ” 可以看出，当核函数满足某些光滑条件时，带可变核的奇异积分算子与分 数次积分算子具有与带齐性核的积分算子类似的有界性2 0 0 3 年，丁勇等给 出了带齐性核的分数次积分算子从日，( 舻) 到h q ( r ”) 的有界性，因此自然地 想到，带可变核的奇异积分算子与分数次积分算子在h a r d y 空间上是否也有 类似的性质呢? 本文我们就回答了这个问题由于h e r z 型h a r d y 空间具有与 h a r d y 空间类似的原子分解与分子分解的理论，所以也类似地得到了带可变核 的积分算子从h e r z 型h a r d y 空间到h e r z 型h a r d y 空间的有界性 8 第一章 第一章带可变核的奇异积分算子与分数次积分算子 在h a r d y 空间上的有界性 本章运用h p ( r “) 空间的原子和分子分解，证明了当q 在s ”1 上满足一 类口- d i n i 条件及消失矩条件时，对某些0 p 1 ，正j 和正2 ，分别是从 三p 到j p 以及从h p 到h q 的有界算子 1 1 h a r d y 空间的分解理论与主要结果 在叙述文章结果前，先来回顾h a r d y 空间的原子与分子分解理论，它们是 研究算子在h a r d y 空间上有界性的有效工具 定义1 _ 1 设o p 1 曰，p g ，s 是不小于卜0 1 ) 的整 数我们称函数。是一个中心在z o 砂的0 ，q ，8 ) 原子，如果 ( 1 ) s u p paco ，q 是以3 7 0 为中心的方体； ( 2 ) i l a l q f f 一言，q o 。，或| l 。i f 。j q i 一；，q = o o ； ( 3 )口( z ) z 8 d x = 0 ，对所有0 川8 ，扩= z ? 1 - z ，= o r l + q 2 + q - a n 定义1 2 _ 1 4 1 设0 p 1 q o 。矽 q ，s 是不小于i n ( 1 - 1 ) 的整 数定义原子上p ( 舻) 空间如节 俨m 8 ( r ”) = ，( r “) ：，( z ) = 唧 ) 其中每个是( p ，q ，s ) 原子且l r 对一般的m ，5 ( 酞”) 空间，我们有； 引理1 1 。【1 4 l p ，q ，3 如上面定义中所设，则h p ( r ”) = h v 乩8 ( 珏r ) ，并且这些 空间的范数是等价的 青岛大学硕士学位论文 这就是说h a r d y 空间h p ( r ) 中的函数都可以分解成原子，利用这一点可 以很方便地证明算子在h a r d y 空间上的2 有界性 另一个与算子在h a r d y 空i 葡上的有界性密切相关的理论是p ( r n ) 空间的 分子刻划理论 定义1 3 f 1 4 】设0 p 1 q m a x ( 嘉，( 刍一1 ) ) ，s 是不小于 付( 刍一1 ) 的整轰我们称函数三a ( 戳) 是一个中心在z o u 的扫，譬，s ，) 分子，如果 ( 1 ) l i m q v i i m ( ) i - 一z o f 们旷5 三n ( m ) o o ； ( 2 ) m ( x ) x 。d x = 0 ，对0 l a l 8 成立 从定义可以看出任何一个原子也是个分子，这样就可以给出h p ( r n ) 空 间的分子刻划： 引理1 2 f 1 4 】设0 ps1 口 0 0 ，则日9 ( 豫“) 的充分必要条件是 ，= ，其中每个a j 是o ，口，s ，e ) 分子且( ) c ，c 与叼无关 同时乏：i r o o 进一步还有 j 一 ，l l l ，n r 旧计) i ：一”妻j = l 寸 虽然原子有紧支集的条件，但是算子对原子作用后往往不能保持其紧支集 的特点有了h p ( r “) 空间的分子刻划后，只要证明原子被作用后变成分子， 就可以得到算子在z p ( r ”) 空问上的有界性 再来看在证明过程中要用到的几个重要的引理； 引理1 3 ( 积分的m i n k o w s k i 不等式) 设1 p 。o ，f ( x ，y ) 在r m r “ 上l e b e s g u e 可测，那么 上。 上。l ，c 。，可，i d 可 9 d z ) 5 上。 上。l ，c 。，y ，l ”d z ；d 引理1 4 f 2 j 设0 p 礼，f l ( x ，z ) l o 。( r ”) 口( 伊一1 ) 且满足三，一d i n i 条件( r 1 ) 若存在常数0 a o 去，使得l y i a o r ，则 ( l 0 是与r 和y 无关的常数 本章主要结果如下， 定理1 1 设q ( z ，名) l 。( 硅p ) l 2 ( 伊- 1 ) 满足( o 1 ) 式，且有 z 1 学歇。 若对任意的，俨有。( 。五2 ，( z ) 出= o ，则当丽2 n 0 使得 1 2定理的证明 t l z f l l h , c l f h h , i i t a ，弘f 1 h a g i l 州舻 ( 1 1 ) 时，存在一个 ( z ，z ) l 。( 珏呼) xl 2 ( s ”一1 ) = o ，则当老p 1 礼十 定理1 1 的证明由引理1 1 的原子分解及引理1 2 的分子分解，要证五2 从h p ( r “) 到h p ( r “) 有界，只要证明对任意一个0 ，2 ，0 ) 原子8 ( 。) ，t a ( x ) 是 - - 4 o ，2 ，0 ，) 分子，其中1 1 击 显然，这又只要验证分子的范数条件： ( 正2 0 ) = i i 噩：n i 璧f l i z i 曲五m ) 庀一詈 0 0 ， 其中a = l - ；1 + e ，6 = 虿1 + e 由于口( z ) 是0 ，2 ，0 ) 原子，即有( 1 ) s u p pacq ( 不妨设q 以原点为中 心) ；( 2 ) 蚓1 2 i q f ；一；( 3 ) 口( z ) 出= o 则由定理o 1 可得 j r “ ( 1 2 ) q 如 、j，笆绍j 卜。骼 li上0l 口有b 2 日数 常p ，的 的洪篆脓2 树情趣张 足 ， 满时 争 一 皓4 f 0 q g i |d f 、j 1 p 一 1 喜 q “1 g 一 2 oe 一 e 2 0 瓦 青岛大学硬士学位论文 = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = =：= 而 对于，有 ，= ( 小。m ) ) 2 出) 5 c i q i b t ( 胁俐如、) 5 ( 1 3 ) j 2 qt 王6j c f q l i 吲一1 1 2 _ c i q i bf i q i ；一曲1 = e f q f 6 + 一吾 对于i i ，由原子的消失性及引理1 3 的m i n k o w s k i 不等式可得 j ，= ( 五q 尸俐2 曲( 上。旦 兰赤霉。c ，匆) 2 出) = ( o 矿i z ( 筹一掣) 础，咖5 加硎( 剧警铲一掣m 猢如) 5 由 加，f ( 薹加赫f 刿i = - y l 一掣6 匆， 这里g = 鼠鼠“其中鼠= 2 q 另外，为方便记p = 俐丢 应用引理1 4 ，我们有 嬉”叫筹鬻阿 、晒 、p 吹 z 2 j u ， (： y r z 斟吣厶 (t 厶 v 严 、， z 五 “，一 矗，叼 卜m+ 卵(， 昂一覃 ? 三一：= ： 。l 墅i x - 掣i k = 2 j 2 l p l z ) 2 k p一掣z l 。 、 “ f f 卯吾k = 2 慨艮少锄峙( 捣+ 篡二学彩) 。 卯f ，爷号( 2 嘶1t 睇 y 1 1 4 t 2 jk - - 1 卢警彩) k = 2 、z ph 。l ，o d 2 ， 卯计5 k = 22 m 刊( ，+ o j 0 1 掣。彩1 ， 。 薹耋竺三三童：零且e ：砉，所以渤墨一1 o ，从而上式中的级数收敛 结合定理假设中的( 1 1 ) 式得： 。 一 所以 喹加岫i s q ( z , z 一- y ) 一挈阿鲴钟 i i c l q l 扛 “口( 功i 曲 ，q 综合( 1 3 ) 与( 1 4 ) 两式可得； i i1 2 1 曲+ 口( 吡 c l q i 精 ( 1 5 ) 由( 1 2 ) 式与( 1 5 ) 式即可得到 曼，；1 - z 筇翼口磐蓑忿麓暑冀篇等l 这里只要验证分子的范数条件： d 一 釉 一0 如 一 i 一2 q 如 一 l 一2缸 q c 一 旬 r【 毕 证 11 理定 青岛大学硬士学位论文 = = ：= = = = = = = = = = = = = = ；= = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = # ； ( 互沁吐) = 0 五0 0 ；- i ii x l n 6 正血( z ) | i ：一 0 0 ， 其中n ：1 一吾+ e ，6 = 墨+ 由于n ( z ) 是一个( p ，再2 n 印, 0 ) 原子，所以有( 1 ) s u p p acq ( 不妨设q 以原点为中心) ； ( 2 ) 胁f i 渤sl q l 学七；( 3 ) 上。口( z ) 出= 0 则由定理0 5 可得 i i 互口u i c l l n 蔓禁g ( 1 q l 甓一；1 ) i , a = c l q l 罟警一如 ( 1 6 ) n 十z p 响 i i x l 曲t 互，p a c x ) 1 1 2 = ( 小艇硼2 d z ) 1 ，1 s ( z 。( 1 叫曲互。 ) ) 2 d z ) 5 + ( 五。，。( 1 z l 曲正z ，“。 ) ) 2 d z ) 2 = t ，l + 也。 对于以，由定理0 5 可得 五= ( 小他“m ) ) 2 出) 。 c l o t 6t ( 厶m ) 1 2 如) 2 ( 1 7 ) 渊iqll(kq“14攀viol啕 一；) ：g l q l 6 + + 差一i 1 ， 由原子的消失性及m i n k o w s k i 不等式可得 五：( 鼬( 厶篙秽咖，妇) 2 如) 1， = ( 剧z 刿i x - 可1 - 一鬻) 咖，小l 抛? ) 2 ( 剧警秽一帮妒蝴d 。) 2 d y g咖，l陲小p等孝一鬻21f 锄 g 咖) l l k2 小p 等秽一帮匆 第一章 这里g = b k 鼠- l ，其中b k = 2 k q 另外，为方便记p = | q | 去上式中 ( 薹撕l 主( 肼m l 薹( 唧k h 嘶l 筹一鬻5 c 扣九2 矿舢( 魁+ 蔗“9 华谢) e f o o 谢2 忙1 ) ( 母争p ( 2 斟1 + 鹄蔗l y l 2 - p 扣警谢) 一 。o “ 。 c t q l 6 + 差2 。( 曲一号妒， 由于6 = 互1 + ，所以当等 s 所以上式中的级数是收敛的 所以有 时，有砌一+ p l 一舷+ 肛一1 o ， 如c l q l 6 一；+ 告l = ( y ) l a y 黧c l q i 蒿1 瓣 r ；2 写器) 簪( 五 6 一i t 若俐畔一刍俐譬 由( 1 7 ) 式和( 1 ：8 ) 式可得 t 咖) 1 z i 抽孤“a ( ：o i l 2sc l q l 6 一 + 等一；。 将( 1 6 ) 与( 1 9 ) 两式相乘可得到 定理1 2 证毕 n t a 。吐( ) c rn q f 竽一去) 。f q f a + ；+ 芸一；) 卜詈 c l q v j 1 + 芸一抄( 1 二；) ( 6 + + 薷一；) c 1 5 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 、7、0 如 如 刊一p 刊一p嘶一k 叫一k刊一p刊一p z 一圳 z 可 啦一卜啦一卜 青岛大学硬士学位论文 第二章带可变核的奇异积分算子与分数次积分算子 在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 我们在引言中回顾了h e r z 空间与h e r z 型h a r d y 空间的定义，事实上与 h a r d y 空间类似，h e r z 型h a r d y 空间也有相应的原子与分子分解理论研究 积分算子在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性的过程中，这些分解理论也同样扮 演了非常重要的角色为了证明带可变核的奇异积分算子与分数次积分算子在 h e r z 型h a r d y 空间上的有界性，我们有必要详细介绍相关的概念与引理 2 1 h e r z 型h a r d y 空间的原子分解与分子分解 定义2 1 f 6 j 设q 竹( 1 一吾) ，1 口o o ，s n + n ( 丢一1 ) ，函数 a ( x ) 被称为一中心( 口，q ) 原子，是指它满足如下三个条件； ( 1 ) s u p p acb ( o ，r ) = 。t ”：i 。i o ； ( 2 ) 1 1 0 | i 工a f b ( o ，r ) l 一嚣； ( 3 ) a ( x ) x f l d x = 0 ，s s 若将条件( 1 ) 换为( 1 ) ：s u p pacb ( 0 ，r ) ，r21 ，则称口 ) 为一个限制型 的中心( 口，q ) 原子 定义2 2 嘲 设a n ( 1 一专) ，1 m a x 袅，籍+ 吾一1 ) 函数m ( z ) 被称为一中心( n ，g ；s ，e ) 分子，是指它满足 如下三个条件； ( 1 ) m ( x ) 砷口( 舻) ； ( 2 ) i i m ( x ) t l 至。i i m ( $ ) h 曲l i = i 三n ( m ) 1 ) 中不空，且满足上述三个条件。则称m ( x ) 为一个限制型的中心( 口，q ；8 ，) 分子 下面给出h e r z 型h a r d y 空间的原子分解理论与分子分勰理论，即如下的 引理； 1 6 引理2 1 f 6 】 令0 p ，1 口 o o ，礼( 1 一吾) a o 。，那么 f 日砑，p ( r “) 当且仅当f ( x ) 在分布意义下可以表示成， m ) = a k a k ( x ) ， 这里o 是中心( 口，口) 原子，且l 沁r o 。 盯峙州 ( 塾， 这里下确界是对所有的分解取的 引理2 2 f 6 】q ，q ，8 ，e 同上所述，若m 是一个中心陋，q ；s ，e ) 分子， 那么m 日蚜巾( 舻) 且f i m l l 日船。，渺) c n ( m ) ，其中c 与分子无关 引理2 3 1 6 】o ，g ，s ，同上所述，若m 是个限制型的中心( q ，q ；8 ，) 分子，那么m 日碍( 舯) 且l i m l 日格，( r n ) c n ( m ) ，其中c 与分子无关 由以上引理可以看出齐次的h e r z 型h a r d y 空间日蝣，9 ( 黔) 的原子分解 与分子分解特征在此基础上我们就可以得到带可变核的分数次积分算子死，肛 与奇异积分算子五2 在h e r z 型h a r d y 空问上的有界性 2 2 主要结果及其证明 定酗令- 口一 m a x 等口，g ) ， 0 p o 。，又n ( x ，名) l o 。( 舻) x 上，( 俨_ 1 ) 满足( o 1 ) 式且有； z 1 警谢 o o ( 2 1 ) ( 扩) = 0 ( 臻是五z 的对偶) ，则当凡1 一号) 口 n1 - 吾) + p ( o 1 ) 时，存在与f 无关的常数c 使得 i i 噩z ， | 日船，( r n ) c i 厂 1 日船t ，( r ”) 证明 由h e r z 型h a r d y 空间h 砖1 ，( r ”) 的原子刻划和分子刻划可知，只 要证对任意中心( q ，q ) 原子a ( x ) ，正2 ，p n ( 。) 是一个中心( a ，g e ) 分子即可，即 只要满足如下两条： 1 7 青岛大学硕士学位论文 ( 1 ) ( 丑2 4 ( 。) ) = i i 五o ( 。) 二i l 五沮 ) j 。i 讪l l 占百 o 。， 其中= l 一万1 一瓦o l + e ，b = 1 1 + e ； ( 2 ) 噩a ( x ) x z d x = 0 ，s 由题设可知消失矩条件显然，只要验证范数条件 设a ( x ) 是一中心 ，q ) 原子( 不妨设其中心在原点) ，即有：( 1 ) s u p pa cb = 伽l p ) ；( 2 ) 1 1 0 i i 印 嚣；( 3 ) a ( x ) d x = 0 由定理0 2 可得， 而 五2 a l l l , i l a l l l 。i b i 一( 2 2 ) 搀= 茹1 也卯哪叫蚓忱) 。( 小i 咖j 撕 d 。) i + ( 0 哪z 巾妒d z ) ； 对于，由五z 的。， ) 有界性可得 ， - - e cj b i b i b r ( z l b r i 嚣t , z 。 ，1 9 出) ； 。2 3 ， = c i b i 6 一詈： 对第二部分应用原子的消失性及m i n k o w s k i 不等式可得 眺( lh 幽| 上( 警铲一掣) 咄油； 小训( l 等铲一鬻m 咖如) ；衄， 第二章 买甲 ( ti 智一掣m i 屹) 。( 2 口) 。if z s ，卜h ni 叫 = 妻k = 2 ( l 如阳一i 掣一掣； 静力舶( k 趔，l 警铲一紫何 c 洳k = 2 肌矿”( 魁+ j i l l f 2 7 华书_ ，j i5 口 。 ， c始m矿1(2嘶1嫡iyi棚fbl。2，kk=2y l “9 学d 0 一 i 一p c 妻严p 2 女卜一- ) ， 这里用到了定理假设中的( 2 1 ) 式 因为b = l - 知礼( ，一言) q n ( ，一言) 拍所以当鬲1 去 时有哟+ 詈一n 一1 o ，于是上式中的级数收敛所以有 1 i c 蚓b - t 。1 。l a ( y ) l d y j b c l n l - 1 。( 加) i ? ) i ( 加一 ( 2 4 ) = c l b i 叶；“i s l 一案例1 ； = c l b l 6 一罢。 综合( 2 3 ) 式与( 2 4 ) 式得： l i t , 2 a i x l 岫怯c l b l 6 一( 2 5 ) 将( 2 2 ) 与( 2 5 ) 两式相乘并注意到a 与b 的关系得， ( 五。口( z ) ) ( j 哆j _ 詈) ( i b f 6 一詈) 1 - 詈 一 = l b l 6 n 嚣= e 定理2 1 证毕 定理2 2 令0 p i ， m a x q i ，q 2 ) ，0 p z ；0 2 r p ， 1 - 筹射一l吼=r l i 仃 h j 蛇 口 ， 一 万 姐 一 ，i n 9 青岛大学硕士学位论文 【2 ( 。，z ) l 。( r “) xl 7 ( s ”一1 ) 满足 z 1 警罚 o 。， ，p ( 扩) = 0 ( 蜀，p 是t u ，p 的对偶) ，则存在与，无关的常数g 使得 l i t , , ，p 厂1 i 峨p 2 ( r n ) c l l ， 1 日磕，t ( r n ) 证明由齐次的h e r z 型h a r d y 空问的原子分解和分子分解理论可知，只 要证对空间日舔p t ( p ) 中的任意中心( ，q 1 ) 原子。( z ) ，五妇n ( z ) 都足空间 h 膏( r ”) 中的一个中一l - ( a ，q 2 ；s ，) 分子即可这又只要验证噩口( z ) 的 大小条件 ( 丑：，肛n ( z ) ) = l i t , ：p n ( z ) | | 毳i l 正：，p o ( $ ) i zj 岫i j ：摹 o 。， 其中a = l 一磊1 一罢+ e ，b = l - 磊1 + e ，这里篑 e 三9 2 礼 窖2 n1 0 设o ( z ) 为h 醚，1 ( r ”) 的中心( q ，q 1 ) 原子，即它有以下性质：( 1 ) s u p p ac b = f 。j r 】；( 2 ) | | o i i l - ，l b i 一罟；( 3 ) a ( x ) x 卢d x = 0 ，i p l s ，这里 s2 a + 礼( 击- 1 ) 是非负的 而 i i 丑z ，肛n ( ) 怯。c l l a ( x ) l l 脾c i b i 一 ( 2 6 ) + ( 0 巾胪h 螂6 d x ) ；i 对于巩，利用丑2 。牡在y 空间上的有界性，有 巩鲴计( 厶啦胪。如) 古蚓b 1 6 l | 啦川“删一( 2 7 ) 2 0 一、l、j 、如，刁 r 曲 一 西 犯 2 r j b m 伽 1 皇- 一 、， i k 互 死k心叶 第二章 由原子的消失性与m i n k o w s k i 不等式得 珑= ( 中砷l z ( 警秽一型i x l - 、) 础，匆寿 上( kl 警秽一帮m 酬即p d i 西 = ll a ( y ) l ( kl 警秽一鬻m 耐如) 壶 = ll a ( 可) l 嬉k 秽，吲删 l 刿x - y - p 一裂电匆 这里 s c l b i a + 去斟芸o o2 。h 嚣嘶州) ， k = 2 将6 ：l 一三+ 代入得，上式= c l b i 卧嚣2 k + p _ 1 ) 9 2 一k = 2 e h = 于o p 云1 ，所以当箦 的级数收敛 1 铅 d 6 ) e l 2 时有掰+ 芦一1 0 ，故上式中 n 所以 ， 玩c l b i 卧等| n ( y ) f d y 劲即等( 加酬。妒旺甸卜寺 c i b l 6 + - 2i b i 一引b 1 1 一吉 ：c i b l l 一( 古一嚣) 托一嚣 = c l b l l 一者+ 詈；g i b j 6 一詈 ( 2 8 ) r ) 型d 甜 青岛大学硕士学位论文 由( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式得到 五2 觯( z ) i = i 曲0 l 心sc i b l 6 一嚣 ( 2 9 ) 所以由( 2 6 ) 和( 2 9 ) 两式立即可以得到 ( 正五p 。( z ) ) c ) b l 一嚣 1 b l ( 6 一嚣) ( 1 一 ) = c i b f 6 一嚣一。= c 定理2 2 证毕 以上结果主要是研究了齐次的h e r z 型h a r d y 空间上的情形，实际上这些 结果对非齐次的h e r z 型h a r d y 空间也同样成立，这里不再重复证叽 结论 结论 本文中，我们研究了带可变核的奇异积分算子与分数次积分算子在h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 利用了这两类空间的原子分解理论与分子分解理论及m i n k o w s k i 不等式 等经典的工具，我们得到：对某些0 p 1 ，当算子的核函数q ( 。，z ) 满足某 些给定的d i n i 条件和消失矩条件时奇异积分算子互t 与分数次积分算子正h 在h a r d y 空间与h e r z 型h a r d y 空间上是有界的 本文中的结果仍有许多不完善的地方，例如；定理中的光滑性条件能否再 进一步减弱? p 的范围能否再扩大? 这些都有待于我们继续研究与探讨 青岛大学硕士学位论文 参考文献 【1 】a c a l d r o n ，a z y g m u n d o nap r o b l e mo fm i h l i m t r a n s a l 丑e r m a t h s o c 。 7 8 ( 1