中学几何教学中数学思想方法的具体应用.doc

中学几何教学中数学思想方法的应用 摘要：数学思想方法是数学知识的精髓，是数学学习普遍适用的方法和指导思想。通过对数学思想方法相关文献的研究，本文界定了数学思想方法的内涵，以及教学大纲对教学中应用数学思想方法的要求；归纳了几何教学中常见的数学思想方法；重点分析了如何在中学几何教学过程中应用数学思想方法，希望对中学几何的教学有一定的作用。关键词：几何教学 数学思想方法 教学大纲 教材 教学过程 中学数学几何教育不仅要让学生掌握有关几何的基础知识和基本技能,为后继课程的学习打下坚实的基础,还要着重培养学生良好的个性品质和学习习惯,发展他们的智力和能力。因此，在实现几何教学目的的过程中,数学思想方法的教学起着极为重要的作用。数学思想方法是数学思想与数学方法的统称。数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质反映,是思维加工后的产物,是人们对数学对象、数学概念和数学结构的本质性、概括性的认识。数学方法是指在数学地提出问题、分析问题、解决问题过程中,所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想和方法互为基础和存在前提,共处于一矛盾统一体中,方法是基础,思想是方法的升华。1、中学数学教学大纲对在几何中应用数学思想方法的要求多年来,我国中学数学几何教学课程的目标在不断演变，在其演变过程中,与国际数学教育强调数学思想方法相呼应,我国中学数学教学大纲明确提出在几何教学中应应用数学思想方法,这体现了我国中学数学教育和研究工作者对于数学思想方法在几何课程中地位的一些共识,表明数学思想方法已成为现代数学教育的重要目标。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（2001年7月）明确提出几何课程总体目标之一是“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，并将“数学思考”方面的具体要求阐述为：“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”，“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”。义务教育数学课程标准（2011年版）更加突出数学思想方法在数学几何课程中的地位和对人的发展所起的作用，充分体现出它对数学在提高人的素养促进人的全面发展方面的关注。在“几何课程总目标”部分，明确提出“四基”，即“通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本基能、基本思想、基本活动经验”，并将“数学思考”方面的具体要求修改为：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维”， “学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。比如，与“空间与几何”领域直接关联的空间观念、几何直观、推理能力等关键词不同程度地反映了几何抽象概括、几何推理和几何模型等基本思想要求。2、中学数学教材在几何教学中蕴涵的数学思想方法从数学教材几何内容看，其中大部分内容具有丰富的数学思想方法背景，只要对它们加以分析、挖掘、增加或删减，就可以找到应用数学思想方法的素材。老师要结合教学实际，充分挖掘数学几何教材中所蕴含的数学思想方法，精心进行教学设计，使数学思想方法及时的在几何教学活动中体现出来，这样才能让学生理解、掌握数学的本质。总结起来，中学数学教材在几何部分常用的数学思想方法有如下五种。2.1、分类讨论思想的方法分类讨论思想是指，在解一些题目时，若将问题看成一个整体则无从下手，若分而治之，逐一击破，则能柳暗花明。这是一种重要的数学思想方法。为了解决问题，将问题所涉及的对象不一遗漏地分成若干类问题，然后一一解决，从而达到解决整个问题的目的。例 1 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A.20 B.120 C.20或 120 D.36本题只说明等腰三角形两内角的度数之比为 1：4，并没有说明底角与顶角的大小关系， 因此要分两种情况进行讨论：当底角的度数：顶角的度数=1：4 或当底角的度数：顶角的度数=4：1 时，从而可得两解，故可选择 C。2.2、方程思想的方法方程思想是指，把数量关系、图形性质转化为方程来研究。它是通过设未知数，利用题意来设法建立方程（组），将一些求解未知几何问题用代数的知识和方法来解决，从而化未知为已知，是常采用的方法之一。它是数学大厦的基石，是沟通已知和未知的桥梁。教材中一些有关线段的长度、角的度数的几何计算等，都体现了方程思想。2.3、化归思想的方法化归思想是指，把待解决或未解决的数学问题,通过某种转化过程,归结为一类已有固定解决模式或者相对容易解决的问题, 并通过对这一问题的解决，最终求得问题的解答的一种思想或方法, 它具有不可逆转的单向性，这是解决数学问题的最基本的思考方法。在解决数学题目时，选择恰当的转化手段进行正确有效的化归是解决问题的关键。例2如图，梯形 中，对角线 、 相交于点，且 ，求 的长。 本题可过作 交 的延长线于, 则得 ， 所以 ， ，在 中， ，,即 。本题是根据梯形对角线互相垂直的特点,通过平移对角线将等腰梯形转化为等腰直角三角形和平行四边形，使问题得以解决。2.4、数形结合思想的方法数形结合是指，通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。把一个几何问题记为代数的形式，通过数与形的结合，可使问题转化为易于解决的情形。数形结合的思想方法在数学几何教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决几何问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。一般说来，把几何问题转化为代数问题，常用解析法、复数法、三角法等，从而化难为易，这是数形结合的数学思想方法的具体运用。2.5、一般与特殊思想的方法“特殊”问题往往比“一般”性问题更加简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决方法。在某个数学几何问题难以解决时，可先研究它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法或结果应用、推广到一般问题上而使问题获得解决。3、如何在中学数学几何教学过程中应用数学思想方法在新课程改革的推动下，数学思想方法作为数学知识的精髓，越来越受到人们的关注。那么，在几何教学中如何有效渗透数学思想方法呢？3.1、在几何概念教学中渗透数学基本思想方法蕴含于数学知识中，特别是蕴含于数学概念的形成和发展过程中。老师在几何概念的教学中重视揭示概念的内涵，忽视从概念产生的背景及形成的过程中渗透一些数学思想方法，这会导致学生对概念的学习只停留在静止、孤立的文字定义上，不能从概念的形成过程中体验所隐含的数学思想。所以，在学习每一个数学几何概念时老师都应认真思考,经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，把对概念内涵的剖析和对外延的揭示有机的结合起来，尽可能的渗透概念产生过程中所蕴含的数学思想方法，引导学生揭示隐藏于概念之中的数学思想方法。例如：在立体几何“平面与平面所成的角”的教学中，老师不要直接给出定义，而应引导学生回想“两条异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”的定义，从而发现它们都有一个共同的特点，用平面上的角来定义空间角，使学生认识到定义中所隐含的“化归思想”，进而了解将空间问题转化为平面问题是学习立体几何的基本思想方法。3.2、在几何命题教学中挖掘数学命题是构建数学学科理论体系的重要基石。在数学几何命题的教学中，需对相关的数学现象及规律以命题的形式做出肯定或否定的判断，在做出判断的过程中，不仅需准确、缜密的推理，更需依靠灵活机动的数学思想方法。所以，在几何命题教学中，老师要引导学生积极参与这些命题的探索、发现、推导的过程，有意识的挖掘命题的发现和证明过程中所蕴含的数学思想方法，在数学思想方法指导下，弄清每个命题中结论的因果关系，最后再引导学生归纳得出结论。 例如：在“直线与平面垂直的判定定理”的教学中，前几节课已经学过线面平行的定义及和判定定理，学生在老师的引导下很易形成联想（将线面垂直转化为线线垂直），再结合实例，从而让学生在头脑中产生直线与平面垂直的初步印象，进而自然的得到线面垂直关系的定义和判定。3.3、在几何解题教学中揭示在数学几何解题过程中，不仅需注重基础知识的运用，而且需注重数学基本方法的揭示。在习题讲解中我们也不能就题论题，授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。数学思想方法存在于问题的解决过程中，几何问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导，因而我们要把潜于习题中的这种思想方法提炼出来，挖掘其深刻内涵，使之明显化，让学生易于从中掌握有关数学思想方法的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活动的能力。在数学几何课堂教学中，老师应引导学生在解题的思想方法上做必要的概括，充分暴露思维过程，让学生主动参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思想方法。通过数学思想方法在解题过程中的渗透，可以加强学生对解题过程的理解，提升学生的思维品质，使思维变得更具合理性、条理性、灵活性、敏捷性和创造性。这样可以更有效地提高学生对数学思想方法的认识。在数学几何解题学习中，应合理提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件和知识，逐步缩小题设与题干间的差异，并注重数学思想方法的挖掘和概括，特别应注意挖掘课本中有代表性的习题所蕴含的数学方法，引导学生领会分类讨论、方程、化归、数形结合、一般与特殊等数学思想，提升学生的思维层次，这不但对提高学生的解题速度，而且对培养自身的数学素养和提高自己解决问题的能力都会起到十分重要的作用。例如：已知方程 有两个不相等的实数根，求实数取值范围。从方程的角度直接进行求解，思路可能受阻，若从函数的角度进行分析，做出函数及的图像，则原问题就转化为这两个函数的图像有两个交点的问题。通过对题目的解析，揭示了方程与函数的转化及数形结合的数学思想方法。3.4、在几何知识复习总结中概括数学思想方法贯穿于整个数学教材的许多知识点中，以内隐的方式溶于数学知识的体系中，要想让学生把数学思想转化为自己的观点，且应用它去解决几何问题，老师需将各种几何材料编成顺序，纳入一定体系之中，并努力把各种知识所表现出来的数学思想方法表层化。在章、节、单元复习中进行几何知识总结时，除了理顺明显的数学几何知识外，还应弄清楚教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，将隐性的数学思想方法归纳和概括出来，在具体的授课活动中，以适当的方式将数学思想方法加以揭示，从而使学生更透彻地理解所学的几何知识，提高分析问题、解决问题的能力等。总之，重视加强对学生进行数学思想方法的渗透不但有利于提高课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。但是，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。因此，在教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到复习总结，才能使学生真正地领悟数学思想方法。例如：在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后，老师不仅应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识，而且应从公式的导出过程中概括出化归思想，把这种思想方法明确地展现在学生的面前，真正提高学生的数学能力。3.5、在反复运用过程中渗透几何知识的学习要经过听讲、复习、做练习等过程才能掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的过程并经过长期反复运用才能让学生真正掌握，切忌浮躁。因此，同一数学思想方法应该在不同的场合，随着学生对表层数学知识学习的深入，予以反复再现、渗透。数学思想方法具有普遍适用性，然而数学知识是逐步深化的，这使得在知识发展的各个阶段所反映出的数学思想方法具有不同的层次性。对同一数学思想方法应该注意其在不同知识阶段的再现，以加强学生对数学思想方法的认识。所以，老师在教学中应大胆实践，持之以恒，把数学思想方法寓于平时的几何教学之中，让学生真正形成个性的思维活动。通过恰当的反复训练，在贯通复习几何知识中不断完善，让学生形成直觉的运用数学思想方法的意识，使学生真正理解、掌握数学思想的方法，从而灵活的运用到今后新知识的学习与问题的解决之中去，同时也提高了他们的数学思维能力。例如，数形结合的思想，在几何的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象和精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供了简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数和形完美结合的境地。又如：化归思想方法贯穿于整个几何知识之中，在不同的知识阶段应予以重现，以提高学生应用该思想方法获取新知识和解决几何问题的能力。3.6、回顾几何知识中领悟数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。它的获得，既需老师进行有意识的渗透和训练，也需学生在学习的过程中回顾领悟。在数学几何学习过程中，老师需引导学生自觉地回顾自己的思维活动，回顾自己是怎样发现、解决问题的，运用了何种数学思想方法。在几何问题解答之后，老师需引导学生思考命题的结论能否加以推广，变换题目的条件后会得出什么结论，逆命题是否成立等，在这个过程中提炼出来的数学思想方法，学生易于体会和接受的。在实际的数学教学中，重视数学思想方法的训练和培养，通过回顾，在反复的体验和实践中使学生领悟由特殊到一般、由抽象到具体、由立体到平面等数学几何中常用的思想等，使之内化为学生个体的认知结构中。四、小结与思考总之，几何学习过程中，不仅应让学生学到几何知识，而且也应学到数学思想方法，从某种意义上说，后者更重要。在数学几何教学过程中，加强数学思想方法的训练，使学生加深对数学思想方法的理解，更好地掌握其精神实质。训练的具体方法可以根据数学教学大纲，结合数学教材、课堂教学，针对数学思维活动过程中展示出来的数学思想方法进行提问与讨论、启发引导学生对领悟出的思想方法进行总结，也可以有意识地组织学生进行必要的解题训练，结合分析问题、解决问题的思维过程中提炼出的数学思想方法并不失时机的进行回顾总结等。这样有利于学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力，并使他们终生受益。参考文献1常方亮.浅谈中学数学教学中数学思想方法的渗透J，中国校外教育，2010，(S1)2黄尚利.浅谈在初中数学教学中渗透数学思想和数学方法J，成功(教育)，2011，(09)3朱成杰.数学思想方法M.北京: 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