（基础数学专业论文）关于burgers方程的backlund变换.pdf

扬州人学硕上学位论文 2 本文讨论形如 摘要 u r = f ( u ，u j ，u 。) i v ，= 尸( v ，”，u ，) 【1 ，f = q ( v ，u ，u ，) 定义的b a i c k l u n d 变换u - - - v 分类问题，证明了这样的非线性偏微分方程只能是b u r g e r s 方 程 u r = u h + 2 u u j ， 而相应的可积系统是 i 匕= ( a + v ) ( “一1 ，) ， 【_ = ( 旯+ v ) ( “2 + u x - u v ) - 2 ( 4 + v ) ( u v ) ， 其中九是任意常数 作为应用，将上述b a c k l u n d 变换作用于b u r g e r s 方程的零解n o ( x ，t ) 三0 并取参数名= 丑 得到b u r g e r s 方程的扭结解 “。(x，f)=一羔ee，1 “+ 元l 1 + 1 其中c 。是任意常数：作用于“。( x ，f ) 并取参数旯= 五得到b u r g e r s 方程的解 姒纠= 若格筹筹苦笔， 其中q ，乞是任意常数：作用于“：( x ，f ) 并取参数旯= 丑得到b u r g e r s 方程的解 p 蚋2 ，+ 上生8 善+ 尢尘生p 刁 姒彬卜以万互未乞者耘 乃以一。如一如 电枷万釜警釜一， 泸+ 岔r + 垒二丛p 枷+ 丛垒p 善+ 允垄二垒8 叩 以以一a2 如一五 工理凡关于b u r g e r s 方程的b l c k l u n d 变换 3 一 其中c ic 2 ，c 3 是任意常数，孝= q + ( 乃一a 冷+ 丑2 f ，7 7 = 乞+ ( 五一心) x + 五2 t 重复上述步骤可 得到b u r g e r s 方程许多新的精确解，所有这些解揭示了b u r g e r s 方程光滑和或奇异扭结 解相互作用的过程 关键词：b ；i c k l u n d 变换；可积系统；b u r g e r s 方程；扭结解 扬州大学硕：t 学位论文 a bs t r a c t 4 一 i nt h i sp a p e rw ec l a s s i f yb a c m l dt r a n s f o r m a t i o n sub - - vf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o f t h ef o r m u f = f ( u ，u ，”麒) ， w h i c ha r ed e f i n e dv i aa s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e m so ft h ef o r m w es h o wt h a tt h eo n l ys u c hn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni st h eb u r g e r se q u a t i o n u ，= u 崩+ 2 u u j ， a n dt h ea s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e mi s f 匕= ( 旯+ v ) - v ) ， 【v = ( 兄+ v ) ( “2 + 蚝- u v ) 一兄( 兄十v ) ( “一，) ， w h e r e 九i sa na r b i t r a r yc o n s t a n t a sa na p p l i c a t i o n ，a p p l y i n gt h ea b o v eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nt ot h ez e r os o l u t i o n u o ( x ，f ) 三0 o ft h eb u r g e r se q u a t i o na n dt a k i n g 兄= ay i e l d st h ef o l l o w i n gk i n ks o l u t i o no ft h e b u r g e r se q u a t i o n “l ( x ，t ) = 一 磕e c 、 焉t p 工+ 丑p c t + 碲 w h e r e c 1 i sa na r b i t r a r yc o n s t a n t ；t o 2 1 ( x ，f ) 兰0a n dt a k i n g 兄= 如y i e l d st h ef o l l o w i n g s o l u t i o no ft h eb u r g e r se q u a t i o n “2 ，f ) = 五2 ( 五一2 2 ) e 时 善+ 如2 1 一 ( 以一五) ( 2 + 如x + 如e 。2 + x + 2 以2 c l + 如z + 2 f ) + g l a z e c + 如工+ 2 f w h e r eq ，c 2a r ea r b i t r a r yc o n s t a n t s ；t o 2 2 ( x ，) 兰0a n dt a k i n g 兄= 五 y i e l d st h ef o l l o w i n g s o l u t i o no ft h eb u r g e r se q u a t i o n u 3 ( x ，f ) = 一如 p c 3 + 如2 +p 珂 p 。3 + 如2 +如一五 产+ 籍冉如如一 五一五 如一心 p ，7 x x 蚝虬 甜 甜 k 以纵 = i i u h ，j、【 a 硒 以一以丑一以 以 心 格 王理凡关于b u r g e r s 方程的b t c k l u n d 变换 + 以p 南一如一 h ( ( 五一a ) p c 2 + j + 如2 。+ 丑pc l + 如j + 2 ) p c 3 + 也2 +五一e 扣+ ， 矿 5 一 w h e r ec 1c 2 ，c 3a l ea r b i t r a r yc o n s t a n t s o n ec a l lr e p e a tt h ea b o v ep r o c e s st og e tal o to fn e w e x a c ts o l u t i o n so ft h eb u r g e r se q u a t i o n a l lt h e s es o l u t i o n sr e v e a lt h ei n t e r a c t i o np r o c e s so f s m o o t ha n d o rs i n g u l a rk i n ks o l u t i o n so ft h eb u r g e r se q u a t i o n k e yw o r d s ：b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；i n t e g r a b l es y s t e m ；b u r g e r s e q u a t i o n ；k i n k 五一五a 一五 疋 妒 格 扬州大学硕上学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 2 4 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 丑理诧 签字日期：叩年，月厂日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：互理尼 导师签名： 、糨瓮 签字日期：7 年，胡厂日 签字日期：叩年耖月厂日 扬州大学硕十学位论文 1 引言 6 一 b 2 i c k l u n d 变换是用瑞典几何学家a l b e r tv i c t o rb a c k l u n d 的名字命名的，他于18 8 3 年在 研究负常高斯曲率曲面时发现s i n e g o r d o n 方程 u 删= s i n u ( 1 1 ) 具有如下性质：若u 是( 1 1 ) 的一个解，则下列关于v 的系统 匕2 心n 半2 ， 【v ，一u t + 万8 1 n 丁 可积( 其中九是任意的非零常数) ，即= ，并且1 ，也满足( 1 1 ) 这样，可积系统( 1 2 ) 给出了s i n e g o r d o n 方程解之间的一个变换uh1 ，该变换称为b i c k l u n d 变换利用这一 变换，从s i n e g o r d o n 方程的一个解u ，通过求解可积系统( 1 2 ) ，就可以得到该方程的另 一解v 例如，利用s i n e g o r d o n 方程的平凡解u ( x ，t ) 言o 就可以得到该方程的单孤子解 1 ，( x ，f ) ：4 a r c t a n e x p ( a a x 一委) ， ( 1 3 ) 其中口是常数重复上述步骤就可以得到s i n e g o r d o n 方程的多孤子解 许多非线性偏微分方程，例如k d v 方程 u f = 6 u u ，+ u r x x ( 1 4 ) 和m k d v 方程 u t = u 2 u xq - l l x x x ( 1 5 ) 都具有b a c k l u n d 变换现在b a c k l u n d 变换已经成为求解非线性偏微分方程的一种有力工 具许多论文都致力于对某个特定的非线性偏微分方程寻找b r c k l u n d 变换 也有一些文献讨论非线性偏微分方程b r c k l u n d 变换的分类问题例如m c l a u g h l i n 和s c o t t 1 5 研究了形如 u = f ( u ) ( 1 6 ) 的非线性偏微分方程由形如 丁驴以眦uu u ： ( 1 7 ) i ， 【= q ( v ，u ，u ，u ，) 。 的可积系统定义的b & c k l u n d 变换分类，证明了其中的函数f 必须满足二阶常系数常微分 王理凡关于b u r g e r s 方程的b i c k l u n d 变换 方程f 。= k f ，同时确定了相应的函数尸和q ；后来，b y n e r s 2 把上述结果推广到 “盯= f ( x ，f ，u ) 的情形n i m m o 和c r i g h t o n 1 7 研究了形如 u t + 扰。+ f ( x ，f ，u ，u x ) = 0 ( 1 8 ) 二阶非线性抛物方程b a c k l u n d 变换的分类另外，还有一些文献( 例如 3 ，1 8 ，2 5 ) 研究三 阶非线性偏微分方程b 蕴c k l u n d 变换的分类问题 本文研究形如 7 一 u ，= f ( u ，u ，u 。) ( 1 9 ) 的非线性偏微分方程由可积系统 叱2 尸( v 纵u x ( 1 1 0 ) 【v f = q ( v ，u ，u x ) 定义的b a c k l u n d 变换uhv 的分类，我们证明这样的非线性偏微分方程只能是b u r g e r s 方 程 = u 瓤+ 2 u u ， ( 1 1 1 ) 相应的可积系统是 忙暑：嚣麓m 。枷叫， 嘲 【v = ( 名+ ，) ( “2 + “，一“v ) 一见( 兄+ v ) ( “一1 ，) ， 、。 其中入是任意常数 作为上述b a c k l u n d 变换的一个应用，我们把该变换反复作用于b u r g e r s 方程的零解而 得到b u r g e r s 方程的许多精确解，这些解揭示了b u r g e r s 方程光滑和( 或) 奇异扭结解相互 作用的过程 扬州人学硕一f ：学位论文 2 b 2 i c kiu n d 变换的分类 8 一 本节主要证明以下的结果： 定理1 形如( 1 9 ) 的非线性偏微分方程存在由形如( 1 1 0 ) 的可积系统定义的b a c k l u n d 变换uhv ，当且仅当( 1 9 ) 等价于b u r g e r s 方程( 1 1 1 ) ，并且相应的可积系统是 ( 1 1 2 ) 证明：由( 1 1 0 ) 得 v 盯= p v q + “，+ & “盯， v 肪= q ，p + q u 。+ q 虬“。 ( 2 1 ) 将( 2 1 ) 的第一方程中的u t 用f ( u ，“，”雕) 代入，并且比较可积条件= 两边甜。的系数得 到 。= 0 ( 2 2 ) 再比较= 两边的系数得到f 关于“。是线性的令 f ( u ，u ，u 。) = n ( u ，u ，) 甜。+ o ( 甜，u ，) ， ( 2 3 ) 其中q p 是光滑函数，并且满足条件 只q = q ， ( 2 4 ) 从而 只q + o = q ，p + q u ， ( 2 5 ) 另一方面，由( 2 2 ) 得到 v ，= p ( v ，“) ，1 ，职= 只“，+ 皿 ( 2 6 ) 由于v 也满足( 1 9 ) ，因此 q ( v ，u ，u ，) = t a ( v ，v ，) v 。+ o ( v ，v ，) ( 2 7 ) 由此得到q 关于“，是线性的再由( 2 4 ) 式z 。一1 0q ( “，甜，) 不含“，比较( 2 7 ) 式两边“，的系 数可得q ( “) 三常量不失一般性，我们可以假设a ( u ) 兰1 从而有 f ( u ，u ，u 就) = u 。+ p ( 扰，u x ) ， ( 2 8 ) q ( v ，u ，u ，) = 只“，+ 7 7 ( ，“) ( 2 9 ) 其中7 7 是光滑函数 将( 2 9 ) 代入( 2 5 ) 式得到 p p ，u ，+ 只7 7 + o = p e u ，“，+ p o ，+ 。甜，2 + 7 7 。“， ( 2 1 0 ) 上理凡关于b u 唱e m 方程的b 冱c k l u n d 变换 由此可知函数o 是甜，的二次多项式，即 o ( u ，甜，) = e ( “) “，2 + e ( “) “，+ f o ( u ) ， 其中疋，e ，r 是光滑函数因此有 u ，= u 盯+ e ( 甜) 甜，2 + 互( 甜) “，+ 局( 甜) 引理1 适当选取变换 u = f ( f i ) 可使( 2 1 2 ) 等价于下面的方程 证明：由于 9 一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 玩= 丸+ 霞( 西) 或+ 或( 厅) ( 2 1 4 ) 蚱= f 7 ( 历) 玩， u x = f ( 历) u “x ， u 。= f 7 ( 历) 砧+ 厂”( 历) 矾2 ， 代入( 2 1 2 ) 式得到 f 7 ( 历) 霉= f ( 历) 站+ 厂( 历) 吃2 + 厂门( 历) 丘( 舀) 或2 + 厂7 ( 历) 丘( 蠢) 玩+ 霞( 历) 因此选取满足条件 f 。( 厅) + e ( 历) 厂眩( 厅) = 0 的函数厂即可 由引理1 ，我们可以假设( 2 1 2 ) 式中的e ) 兰0 则( 2 1 0 ) 中左边不含甜，2 项，从而得 到只。兰o ，即p 关于u 是线性的令 叱= p ( v ，u ) = h ( v ) u + g ( v ) ， ( 2 1 5 ) 其中h 和g 是光滑函数 则有 k = h ( v ) u ，+ 7 ( v ) 叱+ g ( 1 ，) 叱 ( 2 1 6 ) 代入( 2 9 ) 得到 r l ( v ，“) = ( 办7 ( v ) “+ g ( v ) + 曩( 1 ，) ) ( 乃( 1 ，) 甜+ g ( v ) ) + f o ( v ) ( 2 17 ) 将( 2 1 7 ) 代入到( 2 1 0 ) 中，比较u ，的系数可得 e ( “) 办( ，) = f l ( v ) h ( v ) + 2 h ( v ) u + g ( v ) ) 乃( v ) ， ( 2 18 ) 扬州人学硕上学位论文 因此函数e 关于u 是线性的设e ) = a u + b ，则由( 2 1 2 ) 可得 对x ，f 作线性变换可得b = 0 从而 1 0 u t = u 。+ ( a u + b ) u x + r ( “) ( 2 1 9 ) 再对五f 作线性变换，( 2 2 0 ) 可等价于 即 将( 2 2 2 ) 代入( 2 1 8 ) 得 由此可知 设 代入( 2 2 3 ) 可得 其中兄是任意常数 最后由( 2 1 0 ) 得到 由此e 是线性函数设 则 u t = u h + a n n ，+ f o ( “) 坼= u 搿+ 2 u u ，+ f o ( “) ， 鼻 ) = 2 u ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 2 u h ( v ) = 2 v h ( v ) + 2 ( h ( v ) u + g ( v ) ) 办( v ) ， ( 2 2 3 ) h ( ，) = 1 乃( v ) = 力+ 1 ， g ( v ) = - v ( 2 + 1 ，) ， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 名+ v ) ( 甜) = ( 五+ 2 v 一材) 矗( v ) + ( 甜一y ) ( 名+ v ) f o ( y ) ( 2 2 6 ) 磊 ) = m l g + n f o ( v ) = m v + n ，f o ( 力= m 此时( 2 2 6 ) 成为 ( a + v ) m u + ( 兄+ 1 ，) 即= ( a + 2 v ) ( m v + 咒) 一“( 所1 ，+ 刀) + 聊”( 力+ v ) 一m v ( a + v ) ( 2 2 7 ) 比较( 2 2 7 ) 两边v 2 的系数得到m = 0 ，进而得到门= 0 所以 f o ( 甜) 三0 此时 ( 2 2 8 ) 工理凡关于b u r g e r s 方程的b a c k l u n d 变换 ，7 ( v ，u ) = ( 办( v ) “+ g ( v ) + e ( v ) ) ( 办( v ) 甜+ g ( v ) ) + f o ( 1 ，) = - 2 v - 允+ 2 v ) ( 2 u - i - l r u - v ( ；t - i - v ) ) ( 2 2 9 ) 综上，非线性偏微分方程( 1 9 ) 等价于b u r g e r s 方程( 1 1 1 ) ，而相应的可积系统为 ( 1 1 2 ) 定理1 得证 扬州人学硕上学位论文 3 b u r g e r s 方程的精确解 1 2 _ 一 设u 为b u r g e r s 方程( 1 1 1 ) 的一个解则由( 1 1 2 ) 的第一个方程可得 ，、e i ( t + u ) d x _ t 卜胁) 出出一旯c ( f ) “五d = 7 赤i 产 d 其中c ( t ) 是“积分常数”将( 3 1 ) 代入( 1 1 2 ) 的第二个方程得到函数c ( f ) 所满足的常微分方 程，由该常微分方程的解即可得到b u r g e r s 方程的解 下面我们从b u r g e r s 方程的零解甜( x ，t ) = 0 出发，反复求解可积系统( 1 1 2 ) 而给出 例1 将u o ( x ，f ) 三。代h ( 1 1 2 ) 并取参数t = a 可得b u r g e r s 方程的解 姒彬) _ - 蒜， ( 3 2 ) 注甜。是行波解当参数 0 时，它是一个光滑扭结，而当丑 0 时，它是一个奇异扭结 图1 给出了当丑= 1 或一1 时u 。的形状 厂”“ l ”- s - o 弋 1 52 图1 光滑和奇异扭结 例2 将铂( x ，f ) 代入( 1 1 2 ) 并取参数名= 如可得b u r g e r s 方程的解 于理凡关于b u r g e r s 方程的b f i c k l u n d 变换 姒彬，= 若黔等筹豢铬3 ， 其中c 1 ，c 2 是任意常数 注u ：可看成是两个光滑和或奇异扭结的相互作用，分以下三种情形： 情形1 = l 或如= 2 时“：可看成两个光滑扭结相互作用的过程，结果是一个光滑扭结( 见 图2 ) 一 。 一2 0一1 。 工o t o 0 一o 声 。 r 。 - 2 l ，。 ”4 ”。：| 。 一l s 夕t 图2 两个光滑扭结的相互作用 情形2 = 一2 或如= - 1 时“：可看成两个奇异扭结相互作用的过程，结果也是一个光滑扭 结( 见图3 ) 扬州人学硕上学位论文 ( 、 k 1 0一z o-101 、 - ，o一o一1 0 、 -z ： 一 一。 ，o一2 01 0 工o 2 00 i 图3 两个奇异扭结的相互作用 1 4 情形3 五= 3 或如= 2 时材：可看成是一个光滑扭结与一个奇异扭结的相互作用，结果是一 个奇异扭结( 见图4 ) 一了 - 工 。 7 g o一0 0 2 0一1 0 7 _ - 。z 一 千理凡关于b u r g e r s 方程的b a c k l u n d 变换 一，ot o-10ut oo l e 、。 ， - i 1 图4 一个光滑扭结与一个奇异扭结的相互作用 例3 将u 2 ( x ，f ) 代入( 1 1 2 ) 并取参数旯= 乃可得b u r g e r s 方程的解 p q + 南2 。+ 盟p f + 尢墨l 二兰至p 叩 蚝 ) _ 喝万i 主棼互蠹 以以一五五：一五 七”万警警差一， 4 ， 乃以一五2 五一乃 1 5 其中c 1c 2 ，c 3 是任意常数，善- - - - c 1 + ( 五一a 咖+ a 2 t ，r = 乞+ ( 乃一乃h + 乃2 f 注u 。可看成是三个光滑和或奇异扭结解的相互作用，分以下六种情形： 情形4 = l ，如= 2 ，乃= 3 时u ，可看成是三个光滑扭结的相互作用，结果是一个光滑扭结 ( 见图5 ) 一 ”。 扬州人学硕士学位论文 厂 1 口t i 厂 “2 1 图5 三个光滑扭结的相互作用 1 6 情形5 = 3 ，五= 2 ，乃= l 时甜，可看成是一个光滑扭结和两个奇异扭结( 光滑扭结位于两个 奇异扭结之间) 的相互作用，结果是一个光滑扭结( 见图6 ) 1 l l 尸 、 k o-00z o一1 0 一1 一t 弋 一 i 。1 。 、 oo o一2 0一工。 ：1 。 2 。 一工 一2 一 图6 一个光滑扭结和两个奇异扭结的相互作用 情形6 = 3 ，五= 1 ，厶= 2 时“，可看成另外一种一个光滑扭结和两个奇异扭结( 两个奇异扭 结为邻) 的相互作用，结果也是一个光滑扭结 一 王理凡关于b u r g e r s 方程的b t c k l u n d 变换 工 o -302 。 l 。1 。厂 1 02 00 一1 、 7 。一。2 。 。1：、。f、；三 厂】mo0 一0 0一o 一 u ut o l 、 一。 一5 o一0 0一o一i - oi o 2 0 o 图7 另一种一个光滑扭结和两个奇异扭结的相互作用 1 7 情形7 = 1 ，五= 3 ，乃= 2 时甜，可看成是一个奇异扭结和两个光滑扭结( 两个光滑扭结为邻) 的相互作用，结果是一个奇异扭结( 见图8 ) 4 。 厂一 v 一。 ， 、 ： 一 扬州人学硕上学位论文 o。 0一z o一】冉 厂 t o， u 1 ： 、 0 l 图8 一个奇异扭结和两个光滑扭结的相互作用 1 8 情形8 a = 2 ，五= 1 ，乃= 3 时“，可看成另一种一个奇异扭结和两个光滑扭结( 奇异扭结在两 个光滑扭结之间) 的相互作用，结果也是一个奇异扭结( 见图9 ) 一1 0 - l 一。 r 厂 u。 l 一 1 2 0 3 , 000 一工 一2 厂 一。 一 i oo o一2 0一o 一工 一t 图9 另一种一个奇异扭结和两个光滑扭结的相互作用 情形9 丑= - 3 ，以= - 2 ，五= - 1 时甜。可看成是三个奇异扭结的相互作用，结果也是一个奇异 扭结( 见图1 0 ) 王理凡关于b u r g e r s 方程的b t c k l u n d 变换 l 、 、 o一3 0t o一1 - 1 - t _ f 。 2 i 1 o o一2 0一1 0、1 02 00 0 l 一 一0 0t o一3 0 1 一1 一t ， l ： 一 2 工 一o o一2 0一1 0 1工o2 00 0 一工 一2 1 9 图1 0 三个奇异扭结的相互作用 一般地，将b l i c k l u n d 变换连续疗次作用于b u r g e r s 方程的零解“o ( x ，f ) 三0 ，并且每次 取不同的参数五( 1 k n ) ，则可得到b u r g e r s 方程的解u 。( x ，r ) ，它可看成是n 个光滑和或 奇异扭结的相互作用不管这n 个扭结的相对位置如何，当奇异扭结的个数是偶数时，作 用的结果是一个光滑扭结；而当奇异扭结的个数是奇数时，作用的结果是一个奇异扭结 扬州人学硕上学位论文 参考文献 1 j a t k i n s o n ：b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，i n t e g r a b l el a t t i c ee q u a t i o n s , j p h y s a4 1 ( 2 0 0 8 ) 1 3 5 2 0 2 2 s g b y m e s ：b d c m u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h e ye q u a t i o nz j = f ( x ，y ，z ) ，j m a t h p h y s 17 ( 19 7 6 ) 8 3 6 8 4 2 3 x c a o h w u & c x u ：o nm i u r at r a n s f o r m a t i o n sa m o n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , j m a t h p h y s 4 7 ( 2 0 0 6 ) 0 8 3 5 15 4 j l c i e l i f i s k i & w ：b i e m a c k i ：an e wa p p r o a c ht ot h ed a r b o u x b d i c k l u n dt r a n s f o r - m a t i o n v e r s u st h es t a n d a r dd r e s s i n gm e t h o d , j p h y s a3 8 ( 2 0 0 5 ) 9 4 91 - 9 5 0 1 5 j n c l e l l a n d & t a i v e y ：b d i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n dd a r b o u xi n t e g r a b i l i t yf o 厂 n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s , a s i a nj m a t h 13 ( 2 0 0 9 ) 15 - 6 4 6 b d a i c l t e m g ：b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s , w a r ds o l i t o n sa n du n i t o n s , j d i f f g e o m 7 5 ( 2 0 0 7 ) 5 7 - 1 0 8 7 d d e m s k o i ：o na p p l i c a t i o no fl i o u v i l l e t y p ee q u a t i o n s t o c o n s t r u c t i n g b d i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n s , j n o n l i n e a rm a t h p h y s 1 4 ( 2 0 0 7 ) 1 4 7 - 15 6 8 yn f e d o r o v ：i n t e g r a b l ef l o w sa n db a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n so ne x t e n d e ds t i e f e lv a r i e t i e s w i t ha p p l i c a t i o nt ot h ee u l e rt o po nt h el i eg r o u p $ ms o l ( 3 ) $ 3 n o n l i n e a rm a t h p h y s 12 ( 2 0 0 5 ) 7 7 - 9 4 9 j eg o m e s ，l h y m a i & a hz i m e r m a n ：p e r m u t a b i l i t yo f b d i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n f o ， n = is u p e r s y m m e t r ys i n h g o r d o n , p h y s l e t t a3 7 3 ( 2 0 0 9 ) 1 4 0 1 1 4 0 4 1o yh e & h w ：t a m ：b i l i n e a rb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n d l a xp a i rf o ，ac o u p l e dr a m a n i e q u a t i o n , j m a t h a n a l a p p l 3 5 7 ( 2 0 0 9 ) 13 2 - 13 6 1 1 s i s o j i m a , s k u b o ，m m u r a t a & j s a t s u m a ：d i s c r e t ea n du l t r a d i s c r e t eb a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n f o ，k d ve q u a t i o n , j p h y s a41 ( 2 0 0 8 10 2 5 2 0 5 1 2 gl l a m b j r ：b a c m u n dt r a n s f o r m a t i o n f o ，c e r t a i nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，j m a t h p h y s 1 5 ( 1 9 7 4 ) 2 1 5 7 - 2 1 6 5 1 3 gt l i u ：a u t o b d c m u n dt r a n s f o r m a t i o na n da n a & a cs o l u t i o n so f 留+ 砂一d i mb o u s s i n e s q e q u a t i o n ，c o m m t h e o r p h y s 4 9 ( 2 0 0 8 ) 2 8 7 - 2 9 0 上理凡关于b u r g e r s 方程的b i i c k l u n d 变换 14 w m a , h w u & j h e ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp o s s e s s i n gf r o b e n i u si n t e g - r a b l e d e c o m p o s i t i o n s , p h y s l e t t a3 6 4 ( 2 0 0 7 ) 2 9 - 3 2 15 d w m c l a u g h l i n & a c s c o a ：ar e s t r i c t e db a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，j m a t h p h y s 14 ( 1 9 7 3 ) 1 8 1 7 1 8 2 8 16 a m i k h a i l o v ：b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s , e n e r g ys h i f ta n dt h ep l a n ew a v el i m i , a d v t h e o r m a t h p h y s 11 ( 2 0 0 7 ) 9 13 - 9 4 4 17 j j c n i m m o & d ( 王c r i g h t o n ：b a c m u n dt r a n s f o r m a t i o nf o ，n o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s ，p r o c r s o c l o n d o n3 8 4 ( 19 8 2 ) 3 81 4 0 1 18 j j c n i m m o & d gc r i g h t o n ：b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s f o ，t h ec y l i n d r i c a l k o r t e w e g - d e v r i e se q u a t i o n , p h y s l e t t a8 2 ( 1 9 8 1 ) 2 11 - 2 1 4 l9 p j o l i v e r ：a p p l i c a t i o n so f l i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e w y o r k ， 1 9 9 3 2 0 a p i c k e r i n g ：b d i c m u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，ad i s c r e t es e c o n dp a i n l e v dh i e r a r c h y , j m a t h p h y s 5 0 ( 2 0 0 9 ) 0 13 5 0 7 2 1 c r o g e r & w ：es h a d w i c k ：b d i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k ，19 8 2 2 2 a k r y b n i k o v ：t h e o r yo fc o n n e c t i o n sa n db d c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，- s e c o n d - o r d e r g e n e r a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , d o k l a k a d n a u k4 0 5 ( 2 0 0 5 ) 2 6 2 9 2 3 v e v e k s l e r c h i k ：i m p l e m e n t a t i o no ft h eb a c m u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，it h ea b l o w i t z l a d i k h i e r a r c h y , j p h y s a3 9 ( 2 0 0 6 ) 6 9 3 3 6 9 5 3 2 4 h w a h l q u i s t & f e s t a b b r o o k ：b d i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，s o l u t i o n so ft h ek o r t e w e g - d e v r i e se q u a t i o n , p h y s r e v l e t t 3 1 ( 1 9 7 3 ) 1 3 8 6 - 1 3 9 0 2 5 h w u ：o nb d i c m u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , j m a t h a n a l a p p l 1 9 2 ( 1 9