（基础数学专业论文）非线性常微分方程边值问题的解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性常微分方程边值问题的解 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然 界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注其中，非线 性边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活 跃的领域之一本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等研 究了几类微分方程奇异边值问题解的情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下四章： 第一章是本文的绪论部分主要介绍了本文的研究课题 第二章主要考虑下列奇异半正s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题 l ( t ) u ) ) 7 + 地( t ) ，( t ，t ( 亡) ) = 0 ，0 0 是参数，g ( 0 ，i 】( 0 ，o o ) ，( 一o 。，+ o o ) ) ，盘( t ) g ( ( o ，1 ) ， 0 ，+ o o ) ) 我们通过一个算子p ：c o ，1 - + c o ，1 ( p 茁) ( o ) = m a x z ( t ) ，仞( t ) ) ，c o ，1 ( 其中仍( t ) c o ，i 是一个非负函数) 来定义一个映锥到锥的算子，从而应用 k r a s n o s e l s k i i 定理来得到奇异半正边值问题( s l 盯) 正解的存在性 第三章则用另外一种方法解决半正的困难，研究了如下奇异超线性半正边 曲阜师范大学硕士学位论文 值同题 i 一( p ( 力( 力) 7 = l i t ，“( 力) + 9 ( f ，“) 0 t 1 ， 一( o ) 一卢t 骢p ( t ) = 0 ， ( 3 ) i ( 1 ) + 6 占翌p ( t ) o ( t ) = 0 其中，c ( ( o ，1 ) x 0 + ) ，【0 ，+ ) ) ，g 口( ( o ，1 ) x 【o ，+ ) ，【一，+ ) ) ，9 在 t = 0 ，t = 1 处可以具有奇异性采用不动点指数结合平移变换的方法来研究 边值问题( 3 1 1 ) 得到了其础【o ，l 】正解存在的个新结果 第四章主要研究以下脉冲微分方程奇异边值问题正解的存在唯性： 一( t ) = 口( t ) ，( ( t ) ) ，0 t 1 ，t t l a ui t ：t 1 = 【( a l a 2 ) t l + 芦2 一风1 f ( 缸( t 1 ) ) ， u l t - t l = ( o h l 一口2 ) ，( u ( t 1 ) ) + p n 0 , ( t d ) ， ( 4 1 1 ) r i ( u ) = a l u ( o ) + 历( 0 ) = 0 ， r 2 ( u ) = a 2 u ( 1 ) - i - 岛( 1 ) = 0 、 ：矿一矿是连续的，( “) 关于矿是非增的，口：( 0 ，1 ) 叫( 0 ，o o ) 是 连续的。在t = 0 ，1 点可以奇异f ：j 矿蜀：j 矿+ ( 一，o 】是连续非 减的函数本章将脉冲与奇异结合起来，应用s c h a u d e r 不动点定理，讨论了奇 异脉冲微分边值问题( 4 1 1 ) 解的存在唯性问题 关键词：方程；边值问题；正解；半正；脉冲；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d e r ma n a l y s i s m a t h m a t i c s ，b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r ea n d m o r em a t h e m a t i c a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o m e sf r o ma l o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dp h y s i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti ss t u d i e di n a n a l y s em a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n t i n d e xt h e o r y , a n dk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t e t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e v e r a lk i n d so fn o n - l i n e a rs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eo b t a i n e dr e s u l t sa r ee i t h e rn e wo r i n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e r c o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r 1 ，i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hi n t r o d u c e st h em a i n c o n t e n t so ft h i s p a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h es t u r m - l i o u v i u eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i ( p ( t ) ( t ) ) + a a ( t ) f ( t ，仳( t ) ) = 0 ，0 t 0i sap a r a m e t e r ，c ( 0 ，1 】( 0 ，e o ) ，( 一o o ，+ o o ) ) ，a ( t ) c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ o o ) ) b yu s i n ga l le f f e c t i v eo p e r a t o r ：口：c 0 ，1 】_ + c 0 ，1 】 ( o x ) ( t ) = m a x x ( t ) ，留( t ) ) f o rz c o ，1 】， 扣( t ) c o ，1 】i san o n n e g a t i v ef u n c t i o n ) ，w i t hw h 烛w e d e f i n ea no p e r a t o r f r o mc o n et oc o n ea n dt h e nt h ek r a s n o s e l s k i it h e o r e mc a nb ea p p h e d 曲阜师范大学硕士学位论文 i ne h a p a t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs i n g u l a rs u p e r - l i n e a rs e m i - p o s i t o n e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i 一( t ) ( t ) ) = ，( 厶t ( t ) ) + g ( t ，t ) ，0 t 1 ， 伽( o ) 一。l i m 。+ p ( t ) u ( t ) = o ， ( 3 1 1 ) i ( 1 ) t 骢p ( t ) ( t ) = 0 w h e r e e ( ( o ，1 ) 【o ，+ o 。) ，【0 ，+ o 。) ) ，g c ( ( o ，1 ) x o ，+ o o ) ，【一，+ o o ) ) ， g c a d b es i n g u l a ra tt = 0 t = 1 b yu s i n gt h em e t h o do f 缸e dp o i n ti n d e xa n d p a r a l l e lt r a n s f o r m a t i o n ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f 四【o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o no f ( 3 1 1 ) i nc h a p a t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f p o s i t i v es o l u t i o n f o rt h ef o l l o w i n gs m g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ： 一( t ) = 口( t ) ，( t ( t ) ) ，0 t 1 ，幻e t l ， ui 矧。= 【( a l a 2 ) t l + 岛一# l l l ( u ( t 1 ) ) ， t i t ：t 。= ( 口1 一a z ) i ( u ( t 1 ) ) + p n ( u ( t 1 ) ) ， ( 4 1 1 ) 冗l ) = a l u ( o ) + 尻( o ) = 0 ， r 2 ( = a z u ( 1 ) + 岛( 1 ) = 0 ，：矿一矿i s c o n t i n u o u sa n df ( u ) i sn o n - i n c r e a s i n gw i t hr e s p e c tt o “ r + a ：( 0 ，1 ) _ ( 0 ，o o ) i sc o n t i n u o u sa n dc a nb es m g u l 雅a tt = 0 ，1 i ：矿一r ，n ：矿_ ( 一o o ，o l a r ec o n t i n u o u sa n dn o n d e c r e a s i n g b y u s i n gs c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fp o s i t i v es o l u t i o nf o r ( 4 1 1 ) k e yw o r d s ：。d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u - t i o n ；s e m i - p o s i t o n e ；i m p u l s i v ee f f e c t s ；c o n e 第一章绪论 随着人们对自然界认识的不断深入。已逐渐认识到非线性科学在数学，物 理学，化学，生物学，医学，经济学，工程学，控制论等科学领域的重要性， 特别是近年来，人们认识到在有限维空间中，系统产生混沌的本质原因是非线 性目前，非线性泛函分析已成为现代数学中的个重要分支，并且在其他分 支中发挥重要作用，非线性泛函分析是处理非线性问题的重要有力工具，尤其 是处理应用中出现的大量微分方程中发挥不可替代的作用在非线性泛函分析 中，用锥理论( 半序方法) 来处理方程是直观而又实用的方法，并和拓扑方法 相结合有力的推动了现代非线性泛函分析的发展在这方面，很多专家都取得 了辉煌的成就其中，非线性边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是 目前分析数学中研究最为活跃的领域之一非线性泛函分析理论能够成熟的运 用于解决非线性微分边值问题中去，并把解的存在性转化为某个非线性算子的 不动点存在性本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等研 究了几类微分方程奇异边值问题解的情况，得到了一些新成果 近年来，人们对二阶奇异微分方程边值问题的研究十分活跃奇异微分边 值问题起源于核物理，流体力学，边界层理论，非线性光学等应用学科中有 关奇异微分边值问题解的存在性问题，近年来也得到了广泛的研究，其中超线 性问题的研究因为其相对困难而研究偏少另外，研究也大多围绕非线性项非 负的情况( p o s i t o n e 问题) ，但对半正的情况，到目前为止，仍没有十分有效的 解决方法就我们所知，二阶奇异半正问题的研究工作较少 在应用数学和物理学中有大量模型归结为s t u r m - l i o u v i u e 方程的特殊情 形特别的，对于大部分实际问题，只有s t u r m - l i o u v i l l e 方程的正解才有实际 意义本文用不同的方法研究了奇异，半正和超线性s t u r m - l i o u v i l l e 方程的 边值问题，得到了新的结果 脉冲微分方程描述了自然界及工程领域类在某些特定时刻突变的过程 由于其在控制论，人口理论，传染病模型等问题中有着深刻的背景，近年来得 到了系统的研究，但对解的唯性的研究相对较少本文最后一章将脉冲与奇 异结合起来，研究了脉冲微分方程奇异边值同题正解的存在唯性 第二章s t u r m - l i o u v i l l e 方程奇异半正边值问题的正解 2 1 引言 考虑下列奇异半正s t u r m - l i o u v i u e 边值问题 ( p ( t ) u ( t ) ) + 地( t ) f c t ，t ( t ) ) = 0 ，0 o ； ( h 4 )d ( t ) g ( ( o ，1 ) ，( o ，+ o o ) ) ，0 口g ( t ，s ) 口( 5 ) 幽 + 0 0 ，其中 g c t ，8 ) = 脚3 + a 潲td 6 + 1 。蜀, 胚o t 倒 s n 1 协，脚z 。高) ( z 1 高) ，岣娜一。 是相应于( s 五盯) 的线性问题的格林函数 ( h 5 ) ，c ( 【o ，1 】x 【o ，+ o o ) ，( 一o o ，+ ) ) 在应用数学和物理学中有大量模型归结为( s l 的特殊情形特别的， 对于大部分实际问题，只有( s l 盯) 的正解才有实际意义具体的情形可参见 文【1 | 7 】及其中的引文 近年来，对二阶奇异微分方程边值问题的研究大多围绕f ( t ，1 1 , ) 0 的情况 ( p o s i t o n e 问题) 但对半正的情况，实际背景见 8 】，到目前为止，仍没有十分有 2 ，一，、 曲阜师范大学硕士学位论文 效的解决方法就我们所知，二阶奇异半正问题的研究工作较少本文受二阶 半正问题的启发，见文【9 - 1 2 在奇异和半正的条件下，研究边值问题( s l 盯) ， 得到了其正解存在的一个新结果另外，本文研究的不仅是半正问题，更重要 的是没有对附加较强的增性假设为了克服奇异和半正带来的困难，我们将 不采用通常的上下解方法，而通过一个算子p ：c o ，1 】_ c o ，1 】 ( 目b ) ( t ) = m a x z ( t ) ，c 口( t ) ) ，写c o ，1 】， ( 其中仍0 ) c o ，1 】是个非负函数) 来定义个映锥到锥的算子，从而应用 k r a s n o s e l s k i i 定理来证明本文的主要结果 2 2 预备知识和引理 本节给出要用到的引理 引理2 2 1 设( h i ) 一( h 4 ) 成立，那么对任意的廿l ( o ，1 ) ，t i ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，边值问题 l ( t ) t ，( 亡) ) + u 0 ) = 0 ，0 o ，t ( 0 ，1 ) ( 2 2 3 ) 这里表示c o ，1 】上的上确界显然当盯= o ， ( t ) 兰o ( t ) 时，岫( t ) 是边 值问题( 2 2 1 ) 的唯解 引理2 2 2 【1 3 】令x = c o ，1 】，耳= 扣x ：z ( t ) o ) 如果 t ：x x 是全连续算子定义算子口：t x k 如下 ( 盼) ( 力= m a x ! ，( t ) ，四o ) ) ，掣t x ， 其中刁c 1 【0 ，1 】，仍( t ) 0 那么 也是全连续算子 4 曲阜师范大学硕士学位论文 令x = g 【o ，1 】，k = 扛x ：z ( 。) o ) ，a 。罐警上g ( 。，8 ) 。( s ) 幽 r m a x ( m z l 斋) ) 。 。 磊勤：a a ：必a m a x f ( t , u ) c 。3 ， 成立，那么当n a b 时，边值问题( s l 至少有一个正解y ( t ) 满足 以驰，韶，：三徽 仁s 国 t u c t ) = a g ( t ，8 ) 口( s ) ，。( 8 ，t ( s ) ) d s + 盯 ( t ) ，0 t 1 ( 2 3 3 ) 那么易见算子t 是定义在锥蜀上的全连续算子对于如下定义的算子伊： x k ( o y ) ( t ) = m 觚妇( t ) ，o t ( 2 3 4 ) 由引理2 2 2 可知复合算子0 0 t ：k k 也是全连续的 5 第二章s t u r m - l i o u v i h e 方程奇异半正边值同题的正解 令q = 伽k ：0 uj i r 给定“贷2 ，令i = p 【0 ，1 】：，( t ，( t ) ) o ) 那么 ( e o t ) u ( t ) = m a x a f 0 1 。a ( 如) n ( 彬印州s ) ) 幽+ 州如。) a g ( t ，s ) a ( s ) l ( s ，让( s ) ) d s + a h ( t ) j j 钏唧爨时，+ ( 。，牡j c g ( ，8 ) 。o ) d s + a h ( ) 一ab，max，(tu)+口!(m厂1丽dtotslm。ct)s 0 并且m w ( o ) 一( t y ) ( o ) = 0 下面我们证明 m w ( t ) ( 了) ( t ) ，t 【0 ，1 】 ( 2 3 6 ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 同样用反证法，若不成立，一定存在t l ( 0 ，1 】使得 m w ( t ) 一( t y ) ( t ) 0 ，t 0 ，t 1 ) ，m w ( h ) 一( t y ) ( h ) 0 ( 2 3 7 ) 那么对于t ( 0 ，t l 】， p ( t ) m w 印) 一p ( t ) ( 勋) ( t ) = p ( o ) m w ，( o ) - p ( o ) ( t y ) ，( 0 ) 一 十 p ( s ) m w 怡) 一p ( 8 ) ( 巩) ( s ) 】d s j 0 ，t = 一口( s ) 【m a ，+ ( s ，( s ) ) 】d 3 0 ， 即m w ( t ) 一( t y ) 静) 0 ，那么 m w ( t 1 ) 一( t y ) ( t x ) 2m w ( o ) 一( t y ) ( o ) = 工 0 ， 与( 2 3 7 ) 式矛盾所以( 2 3 6 ) 式成立 如果t o = 1 ，我们也可以类似的得到( 2 3 6 ) 式、 最后，如果t o ( 0 ，1 ) ，那么 m w ( t o ) 一口! ，) 7 ( t o ) = 0 我们可以用同上面类似的方法在区间【o ，亡o 】和 t o ，1 】上分别证明m w ( t ) ( 勋) ( t ) 因此( 2 3 6 ) 式在所有的情况下都成立 然而 一m 。) = f 。lg ( 扪) 小) m d s m w ( t o ) m d s - z 1 g ( t o ，咖( s ) ，( s 州s ) ) 幽 一) ( 。) 2 。( 训。o上g ，8 ) 口( s ) ，( 刚( 8 ) ) 幽 = g ( t o ，8 ) o ( s ) f m a ，( s ，u o ) ) l d s ，l m - a 0 0 使得 6 石运面r - 丽盯h ( 厕0 ( 2 3 1 。) 事实上，固定6 口 0 ，由条件( 2 3 9 ) 式可以得到存在l 0 使得 是答瑞 l 使得 m w ( t ) u la h ( t b a，r 一) 唧9 m a x 时差 、 m引删max蜓。ff(t,uo)0蝉m，ax(ostsla h ( tl s n r 篓a 堕h ( t ) ) 一 ，批( t ) s 口s 工ro t s l ， r j 0 使得 。：尝缫地 仁3 m ， 那么当a b 时，边值问题( s 工盯) 至少有个正解v ( t ) 满足 0 i | r - 8 曲阜师范大学硕士学位论文 证明令 “舢，= 雠权蒜 偿。舶， 用同样的方法可以证明0 0 t 有一个不动点掣q ，其中q = 和k ：忙l i r ) ，t 由( 2 3 3 ) 式定义 我们断定( 珊) ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】用反证法，若否，必存在t o 【0 ，1 】使得 ( 研) ( 如) 2o 恕m z ( t y ) ( t ) = 一工 0 我们指出 ( z _ ) ( t ) 0 ，t 0 ，1 】( 2 3 1 3 ) 若t o ( 0 ，1 ) ，那么( 珊) 7 ( t o ) = 0 如果( 2 3 1 0 ) 式不成立，那么一定存在 t l 【o ，t o ) u ( t o ，1 】使得 ( t ) 0 1 ) = 0 ( t y ) ( t ) 0 ，t 0 l ，幻) p ( 钿，t 1 ) ) ( 2 3 1 4 ) 不失般性，我们假设t l 【0 ，t o ) 那么p ( t o ) ( t y ) ( t o ) = 0 且对于t ( t l ，t o ) ， p ( t o ) ( t y ) ( t o ) 一p ( t ) ( t y ) 协) = 【p ( s ) ( 研) ( s ) 】d s = - a o ( 8 ) ，( s ，s ，( s ) ) 如0 因此我们有 p ) ( 珊) 7 ) 0 ，t 0 l ，t o ) ， 即 ( t y ) ( t ) 20 ，t ( t 1 ，t o ) 这说明 ，i l，阳 ( 2 ) ( t 1 ) = ( t y ) ( ) + ( t f ) ( s ) d 8 = 一工一( ? ) 7 ( s ) d o - l 0 ， j 幻，t i 9 第二章s t u r m - l l o u v i l l e 方程奇异半正边值问题的正解 与( 2 3 1 4 ) 式矛盾则 ( t y ) ( t ) 0 ，t 【o 1 】 当t o = 0 或者t o = 1 ，利用边值条件，运用类似于定理3 1 的方法，我们也可 以证明以上结论那么! ，= 9 0 t y = t y ，即( t ) 是边值问题( s l 盯) 的非负解，且 有0si l y l i r 除此以外还有，( t ，0 ) 0 ，a 詹a c t ，s ) a ( 8 ) ( s ，o ) d s + a h ( t ) o ，可以得到可( t ) o ，t 【0 ，1 1 因此0 i r 推论2 3 2 如果( 日j ) 一( 风) 和条件( 2 3 9 ) 成立， r 1 f ( t ，0 ) 0 ，a o ( t ，8 ) a ( 8 ) f ( 8 ，o ) d s + a h ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ， j 0 那么对于任意的a ( - - c o ，+ o o ) ，边值问题( s l 仃) 至少有一个正解f 满足 0 i l y l i o o 证明条件( 2 3 1 1 ) 式可以由( 2 3 9 ) 式得到由定理2 3 2 可以得到此推 论 第三章奇异超线性s t u r m - l i o u v i l l e 方程半正边值问题 的正解 3 1 引言 本文研究如下奇异超线性半正边值问题 i 一仞( 力( 力) = f ( t ，t ( t ) ) - t - 9 ( t ，“) ，0 t 1 ， d t ( o 卜。l i r a u 十p ( t ) u ( t ) = 0 ， ( 3 1 1 ) l7 u ( 1 ) - i - 6 1 卸p ( 力( 力= 0 其中，e ( ( o ，1 ) x o ，+ ) ，【0 ，+ o o ) ) ，g c ( ( o ，x ) x o ，+ o o ) ，【一o o ，+ o 。) ) ，尊 在t = 0 ，t = 1 处可以具有奇异性 近年来，人们对二阶奇异微分方程边值问题的研究十分活跃，例如f 1 4 - 2 0 1 及它们的参考文献，其中超线性问题的研究因为其相对困难而研究偏少另外， 研究也大多围绕g ( t ，t ) 三0 的情况本文为了克服奇异和半正的困难，采用不 动点指数结合平移变换的方法来研究边值问题( 3 1 1 ) 得到了其q 【o ，1 1 正解 存在的个新结果这里我们允许奇异，半正和超线性三者同时存在，这也是 以往结果中所少见的 为了方便起见，我们列出本文使用的假设 ( 日1 ) p c 1 ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ o o ) ) ，且片南d s o ，对任意的o 0 ，0 s o 南d 8 0 ，使得伽( t ) k g ( t ，t ) ，t 【0 ，1 】 序b a n a c h 空间，锥的有关讨论和引理见【2 1 2 3 】 3 2 预备知识 下列有关不动点指数的引理对本文证明至关重要 引理3 2 1 1 2 2 】 设x 是实b a n a c h 空间，q 是e 中的有界开集， p q ，p 是x 中的个正锥，a ：p n u j p 是全连续映射， ( 口) v t p n 鲫，p 1 ，有a u 肛，则t ( a ，p n q ，p ) = 1 ( 6 ) v t e p i 1 a f 2 ，有a u 菇t ，贝! l i ( a ，p n q ，p ) = 0 我们引入要用的函数 阶n 书l 搿竺 、鱼州鱼州p足r以 7 7 十 + r 九r、鱼州鱼州 z z 口 口 + + 8 疗 ，一，一， l p 1 一p ，ii_，、l_l 一一 曲 g 第三章奇异超线性s t u r m - l i o u v i l l e 方程半正边值同题的正解 令x = c 【0 ，1 】，定义1 1 牡1 12 t m l 。a ，x 。j i t ( 。) i 为x 中的范效，令p = u x i u ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】，q = u pi “( t ) 0 训忙( 1 一力，t 【o ，1 1 ) ，显然p ，q 都是x 中的正锥，且qcp 由( 甄) 可知 故可令 z 1 g ( 以田口( s ) 出sf fg ( t ，力a ( s ) 出 一 。m s t a x 。g 以t ) z 1 q ( s ) 幽 + o 。， z ( t ) = l g ( t ，s ) g ( 8 ) 豳t 【0 ，1 】 黧瑟一“ 的解下面说明z ( t ) 为c j o ，1 】正解事实上，由上面的方程和( 3 1 4 ) 式知 z 1 一( p ( 功z 他) ) ，= z 1 q ( t ) 出 f + 即。( t 矽( 。) 在【0 ，1 】上可积，于是t l 觋( t ) 一( 啪p ( ；) 州；) = 石1 ( p ( t ) 一( 啪出 存在即t 骧p c t ) x ( t ) 存在，同理得姆p ( t ) 一( t ) 存在，于是。( t ) 为四【o ，1 】 正解 另外，对固定的“( t ) p i 不妨设= 。m s 烂a x l ( 亡) ，则阻( 8 ) 一z ( 8 ) 】+ 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 t ( s ) i l u l i n ，故由( 日1 ) 一( 风) 可知， ，1 g ( t ，s ) 【，0 ，阻( s ) 一z ( s ) 】+ ) + 9 0 ，【钍( s ) 一z ( 8 ) 】+ ) + g ( s ) 】d s j 0 ，1 s g ( s ，s ) c s ，阻( 8 ) 一z ( s ) 1 + ) + g ( 8 ，阻( s ) 一z ( s ) 】+ ) + g ( s ) 1 d s j 0 ，l a ( s ，s ) 睁( s ) ( m ( s ) 一z 0 ) 】十) + 2 q ( s ) 】如 o ，l og ( s ，s ) 【妒( s 。m s ，a s x ( 下) + 2 9 ( 3 ) 】d 5 r l 0 辫 ( 丁) + 2 】上g ( 即) 【妒( 8 ) + g ( s ) l d 8 + o 。 因此可定义算子a ：p - + p 如下t r 1 a u ( t ) = g ( t ，s ) 【，0 ，【u ( s ) 一z ( s ) 】+ ) + 9 ( s ，【钍( s ) 一z ( 8 ) 】+ ) + g ( 8 ) 】d s ，0 t 1 j 0 若u ( t ) 为算子a 的正不动点，即u ( t ) = a u ( t ) ，简单计算显然有 一( t ) u ( t ) ) 7 = f c t ，【u ( t ) 一z ( t ) 】+ ) + g ( t 【u ( t ) 一z ( t ) 】+ ) + 口( t ) ， 且 o l u ( o ) 一卢。呱删钍他) = 0 ， y u ( 1 ) 州。骢p ( t ) t ( ) = 0 引理3 2 2 若( 风一z ) 成立，则算子a 在c o ，1 1 中的正不动点必为 下列二阶边值问题 i 一( p ( t ) t ( t ) ) = ，( t ，陋( t ) 一z ( t ) 】+ ) - 4 - g ( t ，( u o ) 一z ( t ) 】十) + q c t ) ，0 t 0 ，使得l l 1 ， 仍有阻( s ) 一z ( s ) j + u ( s ) l l u l l l ，所以 ，( s ，【u ( 8 ) 一z ( s ) 1 + ) - t - g ( s ，阻( s ) 一z ( s ) 】+ ) 4 - q ( s ) 妒( s ) h ( 【u ( s ) 一z ( s ) 】+ ) - 4 - 2 q ( a )( 3 3 1 ) m a 0 ，使得当i t l t 2 6 时，对任意( f 0 ，1 】有 i g ( t l , 0 一g ( 匕( ) i o ，对任意的 o t 有f ( t ，u ) s 羞则由( 风) 可知，对v u o q i i a u i i2m a x j o c ( t ，s ) ( ，( s ，【u ( s ) 一z ( s ) h ) + 夕( 岛【u ( 8 ) 一z ( s ) 】+ ) + q ( s ) ) d 3 2 v ( 1 - u ) ，m ；。a ；x 。，f ， 。g ( t ，s ) d s 一1 由( 丑j ) 知，存在常数r i r l ，使f ( t ，u ) m u ，t f 王，u 】，u r i 令 r m 扣【 薪，2 r 1 ) ，显然r r 1 r h 下证a u ，t o q r 事实上，若不然，则存在y l q 冗，使y l a 掣1 ，因为1 ( t ) e l l ! , l l a c t ，t ) = e r g ( t ，t ) 而 z ( t ) = z 1g ( t ，s ) g ( s ) d s g ( t ，t ) z 1g ( s ) 幽蕴1y - ( t ) z 1 口( s ) 如，( 3 3 6 ) 故 秒。( t ) 一z o ) ( 1 一蔓学) 饥( t ) 互1 e j l y ，f i g ( 岛力 ；冗王，( 1 一u ) r 1 ，te 【棚 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 所以 冗鲈l ( f ) 芝g ( t ，s ) 【，( s ，【y 1 ( 8 ) 一z ( s ) 】+ ) + g ( 8 ，【y 1 ( 8 ) 一z ( s ) 】+ ) + q ( s ) d 8 g ( ，8 ) f ( 8 ，( y l ( 8 ) 一z ( s ) ) ) d s g ( t ，s ) m y l ( 8 ) 一x ( s ) d 8 芝；兄( 1 一u ) 彳g ( 南8