（基础数学专业论文）基于拟常曲率度量拟deturck流的几何分析.pdf

y z o o z 3 9 6 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：鍪童銎加侔台月刁日 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d e t u r e k 流的几何分析 摘要 c g u e n t l a e r 承 用中心流形以及极大正规性原理，讨论了常曲率空间中d e t l l r c k 流 昙g = - 2 血一只( g ) ， g ( o ) = g o 的稳定性问题。 本文将常曲率空间推广为拟常曲率空间，讨论了拟d e t u r c k 流的稳定性问题，得 到类似的结果，即： 如果( m 。，g o ) 为拟常曲率流形，孝为一单位向量场，且其对应的r i c c i 主曲率r 满 足丁万一l ，g 的变分 为= 阶对称协变张量，则存在g o 的c 2 邻域( g o ) 使得度量 磊( 岛) 所对应的拟a 髓础流的解雪( f ) 指数趋近于含g o 的中心流形 其次，本文应用同样的方法，讨论了在某k i l l m g 条件下，初值为e i n s t e i n 度量对 应的碰c c i 流的稳定性，得到： 如果膨“为连通的闭紧爱因斯坦流形，且0 砌8 9 a ，令z 为0 1 1 2 。范数下醚( 3 s f ) 的闭包，则z 上g o 邻域d ，中存在c 7 中心流形j j l 绲，且存在g o 的c 2 邻域( 岛) 使得 度量萌( g o ) 所对应的硒c c i 流的解季( f ) 指数趋近于该中心流形 关键词：r i e e i 流，d e t u r e k 流，拟d e t u r c k 流，中心流形，拟常曲率流形 皇塞翌三查兰塑主丝奎 苎三丝苎些兰塞墨垫望塑! 鎏堕凸塑坌塑 a b s t r a c t c g u e n t h e ru s e sc e n t e rm a n i f o l da n dm a x i m a lr e g u l a r i t yt h e o r yt os t u d ys t a b i l i t yo f 1 ) e t u r c kf l o w 鼻 素g = _ 2 震c 一只( g ) ， g ( 0 ) = g o i nc o l l b t a tc u r v a t u r es p a c e w e 唧锄dt h i sc a s et oq u a s ic o n s t a n tc u r v a t u r es p a c e , a n dg e t 恤s i m i l a rr e s u l t t h a ti s t os a y , l e t ( 肘。，g o ) b ea q u a s ic o n s t a l i tc u r v a t u r em a n i f o l d , a n dt h em a i n 鼬c c ic u r v a t u r et w i t hf e 恻t o 孝s a t i s f i e s ：t n - 1 ，t h ev a r i a t i o no fgi sas e c o n ds y m m e t r i cc o v a r i a n t t e 虹s o lt h e nt h es o l u t i o n sw h o s ei n i t i a ld a t al i es u f f i c i e n t l y n e a r g om - ea t w a c t e da ta n e x p o n e n t i a lr a t et ot h ec e n t e rm a n i f o l dw h oc o n t a i n sg o o nt h eo t h e rh a n d , w eu s et h es a m em e t h o dt od i s c u s st h es t a b i l i t yf o re i n s t e i nm e t r i c u n d e r8 0 m ck i l l i n gc o n d i t i o n t h er e s u l ti s ：l e tm 。b eac l o s e dc o n n e c t e dc o m p a c t e i n s t e i nm a n i f o l d ，a n dl l r 研8 茎a ，l e t zd e n o t e st h ec l o s u r eo f 掣( 3 蹬) w i t hr e s p e c t t ot h e 恍+ ，h s l d e rn o r m , t h e nf o re a c h r ，t h e r ei sap c e n t e rm a n i f o l d 蚝e x i s t i n gi n an e i g h b o r h o o do , o f9 0 ，a n dt h es o l u t i o n sw h o s ei n i t i a ld a t al i e s u f f i c i e n t l yn e a r g oa r e a t r a c t e da ta ne x p o n e n t i a lr a t et ot h a tc e n t e rm a n i f o l d k e yw o r d s ：r i c c if l o w , d e t u r c kf l o w , q u a s id e t u r c kf l o w , c e n t e rm a n i f o l d , q u a s ic 删眵锄a 毗v 确鹏 m a n i f o l d 2 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d e l a r c k 流的几何分析 1 1 研究意义 第一章绪论 微分几何是一门古老的学科，有着悠久的历史，但这门学科的生命力依然很旺盛。 自h a m i l t o n 1 2 弓 入r i c ：c i 流以来，基于它的物理背景，以及其重要的几何意义，硒c d 流成为了几何研究中的一个热门领域。 1 9 8 2 年，受e l l e , 和s a m p s o n 1 的关于熟调和映射流的文章的启发，h a m i l t o n 引 入了p d c c i 流： a g = - 2 r c ，g ( o ) = 孙 ( 1 1 ) 删 i - l a n l i l t o n 指出，在一个闭的3 维黎曼流形上，其初始度量有正的r i e e i 曲率，则 正规化r i c e i 流的解g ( f ) 对所有时间来说是存在的，并且当t - - i o o 时，g ( f ) 快速指数 收敛到膨3 上正的常截曲率度量，于是，若给定任意同伦3 维球，如果它有一个正 r i e e i 曲率的度量，则p o i n e a r e 猜想成立。 以上事实说明对来源于实际问题的非线性偏微分方程及其相关的问题作深入细 致的研究不仅有利于实际问题的解决，而且推动了偏微分方程本身以及微分几何理论 的发展。 我们知道，寻找黎曼流形上的标准度量是微分几何中的个基本问题。标准度 量指的是不同形式的常曲率度量，它的存在性在流形上通常有重要的拓扑意义，一个 著名的例子是闭曲面的单值化原理。然而，要在给定黎曼流形上寻找符合条件的标准 度量是非常困难的，例如有名的y a m a b e 问题【2 】，寻找的是常数量曲率度量，而对常 r i e e i 曲率，例如e i n s t e i n 度量，我们需要解e i n s t e i n 方程。而关于硒c c i 流的实际研 究也正是寻找满足给定条件的标准度量，对r i e e i 方程求解，它最初是通过下面的短 时问存在性的结果引出的。 命题：给定任意光滑的紧的黎曼流形( 肘，g o ) ，存在唯一一个定义在某个时间间 隔f 【o ，f ) 的光滑的解g ( f ) ，使g ( o ) = g o 由以上定理知对任意光滑的初始度量，短时间存在性成立，和融c c i 流相关的另 一主要问题是判断在何种情况下长时间存在性成立，且硒c c i 流的解还将收敛到一个 常曲率度量，这方面的研究大部分考虑的是正曲率的情况 1 2 1 ，相应的，解的奇异性 问题 3 ，2 1 ，以及在不同p i n c h 条件下对黎曼几何量的估计问题【4 】也有比较成熟的发 展。黜c c i 流是研究黎曼几何量与流形的关系的重要工具，尽管我们对由m c c i 流所定 义的几何量的性质有了一定的了解，然而关于硒c c i 流稳定性的问题目前还没有完全 4 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟t u r c k 流的几何分析 解决，这也是本文所涉及的内容。 d e t u r c k 流是d e t u r c k 1 3 为 f 化h a m i l t o n 关于贼d 流的解的短时间存在性证 明而引入的，它和r i c c i 流的解的短时间存在性等价。之后，c g u e n t h e r 等人【9 】借用 d e t u r c k 流的思想方法讨论了常曲率空问d e t u r c k 流的稳定性，本文将在第三章将其 推广到拟常曲率空间，讨论拟d e t u r c k 流的稳定性问题。 1 2 研究现状 h a m i l t o n 自引入础c c i 流以来，发表了一系列关于m c c i 流的文章 1 2 ，1 8 ，1 9 ，于 是我们发现黜c c i 流的引入为研究流形与在其上的黎曼度量之间的关系提供了一个很 好的工具，之后很多学者也对r i c c i 流所定义的度量进行了研究【7 ，8 , 2 2 。然而一些 非线性分析的基本问题至今仍没有解决，其中之一为收敛r i c c i 流的稳定性。即假设g o 为初值，它所对应的p d c c i 流的解g ( ，) 收敛，那么若磊属于g o 的任意邻域，初值为磊 的r i c d 流的解雪( ，) 是否收敛7 1 9 9 3 年- y e 在文献【4 】中讨论了当g o 为非零常曲率度量，以及用体积正规化的 融c c i 流 昙g = _ 2 鼢+ 吾( 叮脚。) g ，g ( o ) = g o 代替原r i c c i 流时方程解的稳定性( 其中叮r d = j 蛳j 缸) 另外，y c 还讨论了 当g o 为充分r i e m a n n - p i n c h e d 爱因斯坦度量且数量曲率非零时，存在g o 的俨邻域 i v ( g o ) ，使对任意磊e v ( g o ) t 它所对应的解季( f ) 收敛到g o 。 然而，【4 】没有解决平坦度量对应r i c c i 流的稳定性，也就是说，数量曲率为零的 爱因斯坦度量g o 对应r i c c i 流的稳定性 于是，2 0 0 1 年，c g u e n t h e r 等人在文献【9 】中讨论了： ( 1 ) 当初值9 0 为平坦度量时，它所对应r i c c i 流的稳定性； ( 2 ) 初值岛为m c c i 平坦但非平坦的度量时，它所对应的r i c c i 流的稳定性； ( 3 ) 毛复平面上k a h l e r e i n s t e i n 度量对应的p d c c i 流的稳定性： ( 4 ) 非零常曲率度量对应的d e t u r c k 流的稳定性。 文献 9 】主要是应用中心流形和极大正规性定理证明p d c c i 流的稳定性，这是第 一次将中心流形应用到r i c c i 流上。极大正规性定理告诉我们，如果存在一个作用在 一个合适的函数空间的恰当的拟线性微分算子彳，并且它在某个平衡点线性化后有一 南京理工大学硕士论文 基于拟常曲率度量拟d e l m c k 流的几何分析 个特征值在虚轴上，那么从那个固定点附近开始的解的发展可以通过指数吸引中心流 形的存在性来刻画。 首先因为r i c 贮i 流方程： 鼻 云g = - 2 五c ，g ( o ) = g o 不是严格抛物的，所以不能直接应用该定理，但是可以找到一个严格抛物的发展方程， 即d e t u r c k 方程【1 3 】； 鲁g = - 2 鼢【g 】一只( g ) ， g ( 。) = g o 来代替它，这个方程的解和方程( 1 1 ) 的解只相差一个微分同胚的单参数群， 可以通过讨论d e t u r c k 流收敛的稳定性来讨论鼬c c i 流收敛的稳定性。 ( 1 2 ) 因此 其次找出合适的b a n a c h 空间，石，岛，毛，使得d e t l 酩k 算子满足定理的假 设，文章 9 】取的是下面这组空间； 岛= _ i ，咐3 = h o + p 38 1h t m 3 石= h 2 + 9( 1 3 ) o 盯 p 1 ，其中，h r + p ( ，n ，户e ( o ，1 ) ) 为特殊的小i t d l d e r 空间【1 0 】，即是将一般 的定义推广到定义在光滑闭流形m 上，取值于m 上对称协变2 张量丛是( 肘) 的函数， 记| | | | ，+ ，为c 7 ( 肘，岛( 肘) ) 上的上玷z 扬。范数 于是i r o = ( p - u ) 2 e ( o ，1 ) ，由所取空间性质得 兰( 岛，毛k和石兰( 岛，蜀k 对固定的0 占s l 和去 翩指对任意石满足眦= l ，有g ( z ，x ) f 。注意到对每个g e g ；，a ( g ) 可以被看成是一个线性算子 ( 4 ( 咖l = 口( 训，g ) 南巧 拍似抛，g ) 专肠+ c ( 墨虬抛垮否了肠 6 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟i k t u r e k 流的几何分析 作用在炉”。毛上，对g 仨嘭，记 ( g ) ：毛毛哼毛为岛上无界线性算子，其稠密 域d ( a ( g ) ) = 毛，相应的，我们记吃k ) ：石而_ 局为局上无界线性算子，其稠 密域d ( 气皓) ) = 石，并且函数g 寸厶( g ) 和g 一气( g ) 分别定义了瓯卜工( 石，) ， 郇卜上如，岛) 的解析映射，对每个g e 嘭，4 ( g ) 是三( 氏) 上强连续解析半群的极小 生成元。 然后将d e t u r c k 流线性化，当选择l f i g , 时，线性化的表达式只剩下通常的 l i c h e r o w i c z l a p l a c e 算子项h ，又因为9 0 平坦，则4 h = a h ，为普通的l a p l a c e 算 子，显然它在是上半负定，符合定理的假设 最后，由极大正规性定理可知中心流形存在，且初始值充分接近平坦度量9 0 的 d e t u r c k 流的解雪( r ) 指数收敛到g o 附近的平坦度量。当然，对于平坦度量而言，由 d e t u r c k 流和r i e e i 流收敛的等价性可知，对于慰c c i 流。结论同样成立 1 3 问题的提出以及本文的工作 前面我们说过，c g u e n t h e r 在文献【9 】的最后讨论了非零常曲率度量对应的 d e t u r c k 流的稳定性，这时候直接讨论d c t u r c k 流并不能满足极大正规性定理的要求， 因为它虽然是强椭圆算子，但是，无论u 取何值，该方程都不存在稳定点，所以将 d e t u r e k 方程正规化，得到 昙g = - 2 r c 一只( g ) + 吾( 叮脚) g ，g ( o ) = 函 ( 1 4 ) 这时候只要选择甜= g o ，就有e ( g o ) = o ，所以g o 是该方程的稳定点，然后通过 分析，选择合适的空间，使该方程线性化后在岛点的谱满足该定理的条件。 基于拟常曲率流形是特殊的拟e i n s t e i n 流形【5 ，2 9 这个事实，我们很自然地想到 将上述方法推广到拟常曲率流形上，将( 1 4 ) 式推广为： 昙g = _ 2 肌( g ) + 百r - t 岛+ 号筹，g ( o ) = g o ( 1 5 ) 其中善为任意单位向量场，并称满足( 1 5 ) 的方程为拟d e t u r c k 方程。这是本文所要做 的第一个工作。 另外，我们知道文献【9 】中的d e t u r c k 流，是通过加上- e , ( g ) 将r i c c i 流中除去 ! 塑竺望之堕! 燮奎 苎三塑苎堕兰鏖墨丝旦燮鎏箜凸堡坌堑 l a p l a c e 算子以外的所有二次项消去而得到的，因此它和【丑p l 辩算予有相同的主特 征受d e t u r c k 流构造的启发，我们令r i c c i 流中除去l a p l a c e 算子以外的所有二次 项的和为零，巧合的是为零的这些项刚好可以看成度量g 关于某个向量场的李导数。 这样我们就避开d e l h r c k 流，直接考虑r i c c i 。这是本文的第二个工作。 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d e t u r e k 流的几何分析 2 1d e t u r c k 方程 第二章预备知识 我们先给出一些记号，并介绍一些函数空同： m 为一个光滑连通的闭流形，m 上的对称2 阶协变张量丛记为是( 肘) ，譬( m ) 为 最( 膨) 中由正定张量组成的子集，本文中( 光滑) 黎曼度量g 为c ”( 譬( 肘) ) 中的元 素，为方便应用，将c ”( 誓( ) ) 简记为s ：，c 。( 最( 膨) ) 简记为是( 膨) ，把和g 有 相同体积元素的度量组成的空间记为c 4 ( 掣( ) ) ，简记为蹬，相应的，其中由正定 度量张量组成的子集c 。( 5 f ( m ) ) 简记为s 尹，a = a 9 ( r ) 记为m 上p 形式丛， q ，= c 。( a ) 为微分p 形式的空间。d ( m ) 为作用在譬上的微分同胚群： ( ，) 卜妒_ l ，容易验证，g 为爱因斯坦当且仅当妒g 是爱因斯坦【3 3 】 g 为m 上的黎曼度量，体积形式为咖【3 1 】，定义6 = 名：足。0 1 为映射： 6 ：向卜 占矗= 一矿v ，_ i l 击， ( 2 1 ) 在上2 内积( 。) = l ( ，跏下的形式伴随矿= ：q 1 一是为映射； 万：脚卜三乞g = 三( v ，q + v ，q ) 出。蠢一 ( 2 2 ) 其中，是和国度量同构的向量场。 根据【1 3 】，我们定义g ：墨最一是： ( g ，“) 卜g ( g ，“) = ( 瞻一寺g 盯1 g i ) 彬oc ( 2 3 ) 然后( 对正定的u ) 定义，：霹墨专最： ( g ，) 卜_ p ( g ，) = 只( g ) = 2 ( “- 1 吒( g ( g ，t ) ) ) 并得到下面的发展方程】r c k 方程) ： 昙g = _ 2 r c 【g 】一只皓) ， g ( o ) = g o ( 2 4 ) ( 2 5 ) 9 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d e t u r c k 流的几何分析 d e t u r c k 方程最初出现在1 9 8 2 年，其作用是简化了h a m i l t o n 给出的关于短时间 存在性的复杂证明，方程右边和l a p l a c e 算子有相同的主特征，故具有抛物方程的很 多好的性质，所以后来被多次引用。 为了方便比较，i e 以( g ) g = - 2 r 4 9 - p ( g ) ，并称其为d e t u r c k 算子，故( 2 5 ) 式可写成： j 兰g = 4 ( g ) g ， g ( o ) = g o 该方程右边可以看成一个关于g 的拟线形算子，事实上我们有： 引理2 1 唧若将4 ( g ) g 在局部坐标下写成g 的一阶或二阶导数的形式，则有： ( 4 ( g ) g l = 口( 矾g 炉南翻 拍( 五，锄，g ) 坳专岛+ c “，0 u ) o “g m 函数口( 和，) ，6 ( z ，) 和c ( 和，) 关于xe ，光滑，且对其他变量是解析的 引理2 2 9 1 ( 2 5 ) 式右边和l a p l a c e 算子有相同的特征，因此对任意“s ，式( 2 5 ) 是抛物的。它的唯一解g 给出了方程( 1 1 ) 唯一解万g ，其中微分同胚识由下面的向置 场生成： 肚岛秽旷( v 舻j 1v ) 。； 给定m 上一个m e m a n n i a n 度量g ，i 己a - - g ”v ，v ，为简略的l a p l a c e 算子，记a ，为 l i c h e r o w i c z l a p l a c e 算子，使得，- - - & 一是： a ，= + 2 r 蜘h ”一对呜一彤 引理2 3 耕d e t u r c k 算子4 ( g ) g 关于g o 的线性化为： ( n t ( g ) ) kh = a ，h - 妒h ( 2 j 7 ) 其中，h 为g 的变分， ( ) ，= ( v 一v ，嘭一v ，嘭) 对( v ”以一三v ，u ) + ( e 臂靠+ v ，带) b v 7 u v ”疋 + ( v j 磁+ v ，磁) b v 妒一v ”砰) l o 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d c t m c k 流的几何分析 + 臂( 扣一v - 肌( ( 扣卅以) ) + 磁 e ( ( 扣川带肌( b 即v 。谚) ) 2 2 中心流形及极大正规性定理 2 2 1 中心流形 在动力系统中一个集合s c 舻肜称为局部不变流形是指，对任何( 而，) e s ， 系统初始值为o ( o ) ，j ，( o ) ) = ( 而，y o ) 的解始终在集合s 内，剿el t l o ，有g ( f ) ，) ，( f ) ) e ( ，则称( ，) 为稳定的 微分几何中有关稳定性的讨论通常是将子流形作为一个整体加以研究的【2 3 ， 2 8 ，3 2 ，3 4 而本文研究的则是另外一类稳定性问题 2 2 2 极大正规性定理 众所周知，将发展p d e 转化为o d e 通常可以简化问题，这正是动力系统理论在 抛物发展方程领域得到广泛应用的原因 1 6 2 0 ，2 5 】，下面给出的这个极大正规性定理 也是来源于动力系统理论。 定理2 1 1 9 工o ) 令石c 为b a n a c h 空间的连续稠密包含，对固定的o o ，艿( o 1 ) ，使得对所有叩毛， 有 m l c 胁e 呲 令营q 为( 1 2 ) 的固定点，假设线性算子d a i i 的谱有分解u s ，其中 c z ：r e z o ，且。n 氓彩，则： ( 1 ) 若s u ) 记为五。的代数特征空间，则对所有的口( o ，1 ) ，厄可分解成 石= z o z ? ，其中z ? = o 知k s ( 五) c 2 ) 对每个，存在4 o 使得对所有d 【o ，4 】，存在一个c 有界映射： y = 彤：b ( z f ，謇，d ) _ 窟 矿( 雪) = o ，d y ( 雪) = o ，的像依赖闭球吾( 彳，雪，d ) ，并且它的图为一个c 7 流形： 蛾= 鼽( ，) ) ：，e 丑( ，雪，d ) ) c 石 墨坛兰，若。c 识，称蛾为局部中心流形，否则称为不稳定流形只要在 b ( z f ，喜，d ) b ( 彳，0 ，d ) 上，对方程的解来说蛾是局部不变的。 ( 3 ) 对所有口( o ，1 ) ，存在与蜃无关的常数g 0 和常数缈 0 ，使得对每个 d ( o ，o ，有： h ( r ) 一( 石4 9 ( r ) ) 忙每e “h ( o ) 一( 万“g ( 0 ) ) l l 使得对g ( o ) b ( 屁，誊，d ) 的所有解g ( r ) ，t o ，它仍然在曰( ，雪，d ) 内，矿和万。记 为到z 兰( 硝，届l 和露的投影 2 3 极大正规性意义下的d e t u r c k 流 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d e t u r c k 流的几何分析 为了应用极大正规性定理，我们必须寻找合适的b a n a c h 空间筋，石，岛，岛， 使得d e t u r c k 流和它的线性化满足定理2 1 的假设，为了应用定理2 1 方便起见，下 面将介绍文章【9 】所取的空间。 ( 1 ) 注意到对r ，尸( o ，1 ) ，常规的h d l d e r 空间c ”为 ：戤- ，r i c 7 ，l ，i l r + ， q 定义小t f d l d e r 空间j l ”为0 8 ，+ ，范数下c 。函数的予空间在c 7 9 中的闭包，不难得出 _ i l ”为一b a a a c h 空间，且对，s ，o t r p l ，h ”9c 乙 ”是连续稠密包含。 b u t z e r 和j o h 乩【1 0 】将这些定义推广到光滑闭流形m 上，且记州j ，+ ，为 c 7 似，最( m ) ) 上的上茹厅矗! ，范数，_ j i 唧记以这种方式定义的小箴；z 出r 空间，特别地， 有： h r + p c ” 保持连续稠密包含 ( 2 ) 指数为口的一个插值方法厶( 在不同的文献中有多种等价定义【1 7 ，2 6 ，1 4 】) ， 将一对b a n a c h 空间骂岛对应到b a n a c h 空间厶( 岛，墨) ，使置厶( 岛，置) s 岛，并 且若r 三( 岛，4 ) n 上( 且，4 ) ，则 r 三( 厶( 岛，尽) ，厶( 4 ，4 ) ) 且 咿k ( 焉 m ( 例瞌一j 肛， ) 为了应用定理2 1 ，我们需要的关于连续插值定理的关键性质为；对j ， o 盯 p l ，以及0 0 l ，若指数口p + p ) + ( 1 一口) 0 + 盯) 不是整数，则存在一个 b a n a c h 空间同构 ( 一，h ”l 耋硝州1 卸h 州m p 同时，存在c c o 使v ，7 j j l w ， 怕l - s c 忉惦协已 因此，对固定的0 盯 p l ，定义下面的空间： 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d e t m c k 流的几何分析 岛圭矿”，筋士矿+ ，毛- - h 2 + a ，石- h 2 + 9 易知：岛d x 0 3 毛3 石 注意到对口= p 一盯) 2 e ( o ，1 ) ，由上式得 2 o 兰( 岛，毛) ， 和 石冬( 岛，q ) l 柑 对固定的o 占1 和三s 棚指对任意x 满足p e = 1 ，有g ( x ，z ) 占，由引理2 1 ，对每个g e q ， a ( g ) 可以被看成作用在h 2 ”= 毛上的一个线性算子对g e g ；，记以( g ) ： 毛岛寸岛为岛上无界线性算子，其稠密域d ( ( g ) ) = 岛，相应的，我们记 屯( g ) ：石而专局为觞上无界线性算子，其稠密域d ( 如( g ) ) = 石 另外再给出两个引理： 引理2 4 嘲函数g _ 如( 譬) 和g _ 厶( g ) 分别定义了 q 卜工阮，x o ) ，嘭卜三如，岛) 的解析映射。 引理2 5 唧对每个g g j ，以( g ) 是工( s ) 上强连续解析半群的极小生成元 2 4 拟常曲率空同和拟爱因斯坦流形 2 4 1 拟常曲率空间 设( m ，g ) 是黎曼流形，如果m 在任意一点p ，沿着任意一个二维截面万c z ；m 的 截面曲率都等于常数c ，则称( 盯，g ) 是有常截面曲率的黎曼流形，简称为常曲率空间。 与其等价的代数特征为： z c ( 颤缸一鼠印) 拟常曲率空间是对正定度量的黎曼空间用纯几何的方法引出的，简称为o c 空 间。其几何特征是指在这样的空间( m ，g ) 中，存在向量场x ，使在每一点p e m ，都 1 4 南京理工大学硕士论文 基于拟常曲率度量拟d c t u r g k 流的几何分析 有k o ，且所有截面仃e c ( 乃，口( p ) ) 的截面曲率彼此相等，其中口( ，) e ( o ，2 万) 是口 在点p 与j 0 的交角，从文【2 7 ，3 0 ，3 3 1 臼讨论，可知与其等价的代数特征，即q c 流形的 黎曼曲率张量满足： r 蛳= d b 。g m g 。gj 1 1 + b b 。 蓐。一g 嚣j 磊+ g 茹专t g i 专毒 式中如是函数，f 是x 方向上的单位向量，显然，当b 为零时，q c 流形就成为常 曲率流形当= e 时，口= 两, ( r ) - ( 2 丽t ) ，6 = 丽e ( r - r ) 拟常曲率空间及其上的几何分析研究已相当完善 5 ，6 ，2 8 ，2 9 ，3 0 但对于拟常 曲率空间中r i e e i 流等问题的研究就我所知，还是个空白。 2 4 2 拟爱因斯坦流形 设( 肘，g ) 是黎曼流形，如果存在常数五使得吗= 慨，则称( 肘，g ) 是爱因斯坦流 形若它的r i c c i 张量满足：吩= 爿岛+ 彭，其中f 为一单位向量场，则称( m g ) 是拟爱因斯坦流形 5 ，3 0 ，用旦匠( f ) 表示，显然，当占so 时，q 匠流形成为爱因斯坦 的当偌，f ) = p 时，不难求得： 4 ：丝曰：e ( n t - r 其中r 是数量曲率，t 是善对应的r i c c i 主曲率满足玛= 6 ，2 9 ，3 0 。 另外，我们发现将拟常曲率空间曲率张量的表达式与g “缩并可得： 毛= 等岛+ 等的 由此可见，拟常曲率空间是拟e i n s t e i n 空间 2 5 变分公式 引理2 6 嗍设g 霹，_ i l 是，定义h = t r g h = 9 9 ，幽魂= v ，令季= g + 动， 分别记季的c h r i s t o f f e l 系数，曲率张量，体积形式为f ，r 。，础则有： 堕塞翌三查兰塑主笙兰 苎三塑堂堕兰星苎型2 1 里唑塑竺墨塑坌堑 l 、昙( 季) 【。= ( e + l + 已) 2 、昙歙皓l = 三( v ，取嘭一e v 。嘭一已v 。碍+ v j r + 硌譬一砖) 3 、丢缸( 季) l = 一三( 咏+ l 巩日一嘲一v k d i v h j + 2 矿一彤噬一心嘭) 4 、昙船l = 础+ 咖2 州她 ) s 、昙印( 雪) l = z h d , u 6 、昙( 呼脚) ( 雪) l = 吼三( r 一叮脚) 日一( 酬卜 7 、昙( 乓季) ，i s - = z r + l z + v 。z ，j 为任意向量场。 s 、争l a = - g * g 4 = 卅 引理2 7 刎设( 盯”，g ) 是有向紧致的n 维无边黎曼流形，则对于任意的 x 6 z ( m ) ，有如下的积分公式： l ( 嬲p 屹= o 定义2 1 1 2 7 1 设流形膨“上二阶协变张量h 满足： e + v ，= o 则称h 为k i l l i n g 张量；若h 满足v = o ，则称h 为二阶对称协变张量；若h 满足 e v k = 0 ，则称h 为二次二阶对称协变张量。 南京理工大学硕士论文基于拟常曲率度量拟d c l 、础流的几何分析 3 1 引言 第三章基于拟常曲率度量拟d e t u r c k 流的稳定性 c g u e n t h e r 在 9 中讨论了非零常曲率度量对应的d e t u r c k 流的稳定性，基于拟 常曲率流形( q c ) 是拟爱因斯坦流形这个事实，我们很自然地想到将上述方法推广到 q c 流形 3 0 上 对于一个拟常曲率的黎曼流形( m ”，g o ) ，由 9 】中的讨论可知，仅仅考虑d e t u r c k 流并不能满足定理2 1 的要求，因为它虽然是强椭圆算子，但是无论u 取何值，该方 程都不存在稳定点，所以我们根据q c 流形的性质及其特定的代数结构，类于 9 中的 方法将d e t u r c k 方程推广为拟d e t u r c k 方程，得： 昙岛= 之吗一( 只( 观+ 2 ( 等轳等的) ，g ( 0 ) = 岛 其中毛是r i c c i 张量，r 是数量曲率，善是单位向量，t 是f 对应的r i c c i 主曲率。因 为考虑的是正定度量t 则( 善，善) = 口= 1 故拟d e t u r c k 方程变为： 昙岛= 之岛一化( 砒+ 糌驴等蟛) ，g ( 0 ) = 岛( 3 1 ) 另外，如果我们选择“= g o ，则只( g ) = o ，且拟常曲率空间也是拟爱因斯坦的，即： 毛；r 。- t l 。，+ n t = - r r 缶_ 旬 ( 3 2 ) 局刀一lv ，j 一缶旬 ( 3 2 ) 故g ( f ) ；岛是拟d e t u r c k 流的稳定点 接下来我们将按下列步骤展开讨论： 1 、计算拟d e t u r c k 流在岛点的线性化。 2 、分析它在该点的谱，看是否满足定理2 1 的条件 3 、由2 3 节的结论，极大正规性定理及中心流形分析得出结论。 3 2 拟d e t u r c k 算子 为了和定理2 1 中的记号保持一致，记 ( 地) g x = 之岛一( 球) ) ，+ 2 ( 等岛+ 号竿) 1 7 且称4 ( 占) 为拟d e t u r c k 算子。 则拟d e t u r c k 方程可以写成： 昙g = 4 ( g ) g ， g ( o ) = g o( 3 3 ) 首先为了说明拟d e t u r c k 方程是拟线性的，给出下面的引理： 引理3 1 在局部坐标下，将4 ( g ) g 写成一阶导数和二阶导数的形式，有： ( 4 ( g ) ，l = 4 ( 墨站，g ) j 善巧 + 6 似抛，g 垆专托+ c 似“，锄垮托 ( 3 4 ) 函数口( z ，) ，6 似，) ，c 似，) 对任意x e 是光滑的，对其它变量解析。 证明：这是引理2 1 的直接推论，因为方程( 3 3 ) 只是在原来d e t u r c k 流的基础 上加了一个线性项。 3 3 拟d e t u r c k 算子线性化 下面我们将研究拟常曲率空间中拟d e t u r c k 方程的线性化结构，我们首先给出一 个引理： 引理3 2 ( m ”，g ) 为拟常曲率空间，令雪= g + 砌，芋是对应于季的单位向量，设 m 为孝的变分，则 2 砚f = 一手f ( 3 5 ) 证明：由题意， 季( 手，手) = l 直接计算有： 。= 昙季( 裾l 即5 o = j l 候芋) + 雪( 研，孑) + 蜃( 肌，手l = ( f ，f ) + 2 9 ( m ，孝) 写成分量形式： 2 9 ( 所未毛) = 勘p 喜毛) 2 m l i9 4 = 一 t j k 1 8 南京理工大学硕士论文 基于拟常曲率度量拟1 ) e t u r c k 流的几何分析 即2 m a 2 善7 嘞，命趑得证。 由引理2 6 的变分公式以及上面的引理，我们可以计算拟常曲率流形上拟 d e t u r c k 方程的线性化 引理3 3 设( ，g o ) 为拟常曲率流形，则拟d e l 、l f c k 算子4 ( g ) g 关于g o 的线性 化为： ( ( 现( g ) ) k _ i l 工= 击( 划+ v p v q 一等日一百n t - r 磊) ( 州白) + 堇b 兰- - 1f 、- 2 + v ，r + v ，v ，一一吼v ，日) ( 岛一蟛乞) + l l f - 2 + v 9 r + v v ，一一吼v ，日) ( 岛一蟛乞) + 峨+ 2 r 柳h ”一帆 l ( 3 6 ) 其中，h = 9 9 ，善是任一单位向量，t 是善对应的r i c c i 主曲率 ( x = ( v 呜一审，嘭一l 衅) ( v “一三u ) + ( v 。带+ v ，衅) b u - v d ) + ( v ，! - i + l 碡) b 矿矿一v “带) + 带 v ( t 曩gv ，u v ”以 j v ，( z c ( 圭v 留一v ”以) ) + 碟l ( b v 矿一甲。露 + l ( b v 矽一v ”群) ) 证明：由定义，我们有 昙= ( 。( 4 ( g ) 比吐= - - z ( o r c 匕l 一( 。( e ( 观l 砣d ( 等岛 + n t - r 钏。 由文章【9 】， - z ( o 幔c kl 一( d ( 只( g ) ) n - ， 一 ( 3 7 ) ，= + 2 置。， ”一8 7 一r ：k 墼里三查堂塑主笙奎 苎三塑苎些兰室苎丝望型亟塑垦塑坌堑 又由引理2 6 珊l = 埘+ v 9 v 4 一( j l ，r c ) d 叱= d ( 善f 毛) = 朔吗一尹加毛+ f f 上吗 = 一珊1 f 7 凡一手。毛+ j 1 善善7 ( v v ，+ v 已一一v , v h ) 黝瞄勖咒= 石2 即卅岛+ 击忙啦 =告(埘+v叩一(蛐c、)面-i p q 刀 、 、 ，o ， + 刍( 所+ f m 岛一i i 善( v v 。+ v 一- v k v , h ) i g ， + 两2 ( r r ) ( 3 8 ) 2 。( 等咒= 石2 嘶m 牖+ 石2 叫。( ) = 专军的一石2 d r + 击( 肌r ) 。( )2 二= i - 缶白一j i + 石i 加。一只j d 【磊彭j = 甩2 一h 八f - - m 7 粕一善。脚7 + 三f 7 ( v 吼+ v v ，一一r e 口) 毒白 一普( 瑚柙v 。k 一( 枷c ) ) + 石2 ( n t - r ) 。( 的) ( 3 9 ) 由于拟常曲率流形亦是拟e i n s t e i n 流形，并且r i c c i 曲率： 毛= 箬岛+ 等的 则 岛= + 2 ”一嘭一心带 = 咏+ 2 肌( 等既+ 等点磊 矽一( 等缸+ 等锨 时 = 觇+ 2 肌2 ( 矧一( 矧n t - r 嘲k 咏时) 将( 3 7 ) - ( 3 9 ) 式相加，再将( 3 1 0 ) f 入其中，化简得： 昙= 击( 日+ v v 9 k 一( 矗，鼢) ) 岛 曼墨里三奎堂要主堡壅 苎三塑茎些墨堕墨垫里坚! 鎏箜凸塑坌塑 证毕。 + 刍( 肌忍+ 善珊一吾f ( v v 。+ v ，v 一一r h 日) 岛 + 各( 一所掣毛一用+ 三尹( v 9 v 。+ v h 一一r r 日) ) 参与 一等- 1 陋+ v 勺。一( 蛐、)拧 、月、7 ， + 魄+ 2 丹一帆 ) ， = 击( 础+ v p v q 一等日一百n t - r 岛) ( “) + 等( - 2 + v ，r + v p v i k 一觇- v k v i h ) ( 岛一蟛乞) + a h + 2 r 蜘h ”一帆 ) ” 3 4 主要结论 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 定理3 1 ( 盯”，g o ) 为拟常曲率黎曼流形，为一单位向量场，其对应的r i c c i 主 曲率r 满足丁疗一1 呜为二阶对称协变张量，对固定的p ( o ，1 ) ，令z 为l h l 枷范数 下蹬p 掣) 的闭包，则 ( 1 ) 乇掣+ 兰z 有分解： f i 拳= 它勺它 ( 2 ) 存在磊 o ，使得对所有d e ( o ，盔】，存在有界c 。映射妒：曰( 矿，g o ，d ) 哼矿 满足y ( g o ) = o ，印( g o ) - - o ，缈的像依赖闭球面( 矿，g o ，d ) ，