（基础数学专业论文）超图c代数和格原子图c代数.pdf

容。 摘要 本篇论文主要研究超图c 代数和格原子图c + 代数，具体内容如下： 第一章主要介绍图c 叫弋数的历史和发展过程，并简要叙述本论文的主要内 第二章研究有限值超图。给定一个有限值超图9 ，我们构造一个有向图e 并 证明图一代数c ( e ) 同构于超图c + 一代数c ( 9 ) 。利用该结果，我们很容易地把 图俨代数的许多结论推广到了有限值超图c + 一代数。例如，分别获得了有限值超 图c 一代数是a f 、纯无限和简单的充要条件。此外，还获得了有限值超图9 一代数 稳定的等价条件和斜乘积超图的一些结果。 第三章讨论超图c + 一代数和半广群c 一代数。就目前所知，半广群c 一代数包 括e x e l - l a u e a 代数和高秩图c 一代数。本章我们证明半广群c 代数也包括超图c 一 代数。事实上，我们可以在一个超图9 上构造半广群a 并证明驴( 乡) 同构于0 ( 人) ， 其中p ( a ) 是半广群驴一代数。 第四章扩展超图，给出了格图和格原子图的概念并主要研究格原子图。我们 定义格原子图的c u n t z k r i e g e r 族并证明分配格原子图的c u n t z k r i e g e r 族是存在 的。对一般格原子 虱c u n t z - k r i e g e r 族是否存在的问题，我们也结合格理论进行了 探讨。在格原子图c u n t z - k r i e g e r 族存在的情况下，我们定义格原子图c 一代数并 证明在此情况下该格原子图可以用分配的格原子图来代替。而且，我们也讨论了 格原子图c 代数有单位元的充要条件并证明格原子图驴一代数在一定条件下可 以看作是c u n t z - p i m s n e r 代数。 关键词：超图；有限值超图；半广群；格原子图；格原子图代数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yu l t r a g r a p hc - a l g e b r a sa n dl a t t i c ea t o m i cg r a p hc a l g e b r a s w e o r g a n i z ei ta sf o l l o w s w ei n t r o d u c ei nc h a p t e r1t h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to fg r a p hc a l g e b r a s ，f o l - l o w i n gt h a ti st h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2w ec o n s i d e rr a n g ef i n i t eu l t r a g r a p h s ( s e ed e f i n i t i o n2 2 1 他ug i v e na r a n g ef i n i t eu l t r a g r a p h 缪，w ec o n s t r u c ta d i r e c t e dg r a p hef r o m 够a n ds h o wt h a tt h e g r a p hc + a l g e b r ac ( e ) i si s o m o r p h i ct ot h eu l t r a g r a p hc 一a l g e b r ac ( 侈) u s i n gt h i s ， o n ec a ng e n e r a l i z ei ne a s yw a y s ，m a n yr e s u l t sf o rd i r e c t e dg r a p h st ou l t r a g r a p h s f o r e x a m p l e w eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f l i c i e n tc o n d i t i o n sf o rar a n g ef i n i t eu l t r a g r a p h a l g e b r at ob ea f ，t ob ep u r e l yi n f i n i t ea n dt ob es i m p l er e s p e c t i v e l y m o r e o v e r , w e a l s og i v ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rar a n g ef i n i t eu l t r a g r a p ha l g e b r at ob es t a b l ea n dg e t s o m er e s u l t sa b o u ts k e wp r o d u c tu l t r a g r a p h s c h a p t e r3i sd e v o t e dt ou l t r a g r a p hc 。a l g e b r a sa n ds e m i g r o u p o i dc + 一a l g e b r a s a s f a ra sw ek n o w , s e m i g r o u p o i dc 一a l g e b r a si n c l u d en o to n l yt h ee x e l l a c aa l g e b r a sb u t a l s ot h eh i g h e r - r a n kg r a p hc a l g e b r a s i nt h i sc h a p t e rw ep r o v et h a ts e m i g r o u p o i d c + - a l g e b r a sc o n t a i na l s ou l t r a g r a p hc a l g e b r a s i nf a c t , w ep r e s e n tas e m i g r o u p o i da f r o mag i v e nu l t r a g r a p h 缪a n ds h o wt h a tc + ( 莎) i si s o m o r p h i ct od ( 人) ，w h e r ed ( 人) i s t h es e m i g r o u p o i dc a l g e b r a i nc h a p t e r4w es t u d yl a t t i c eg r a p h s ( s e ed e f i n i t i o n4 1 1 ) 。a n dw em a i n l yr e s t r i c t o u ra t t e n t i o nt ow h a tw ec a l l e dl a t t i c ea t o m i cg r a p h sw h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no fu l t r a - g r a p h s w 色d e f i n et h ec u n t z - k r i e g e rf a m i l i e so f l a t t i c eg r a p h m o r ep r e c i s e l y , w es h o w t l l a tc u n t z 碰e g e rf a m i l i e se x i s tf o rd i s t r i b u t i v el a t t i c ea t o m i cg r a p h s w ea l s og i v e ag r a p ht h e o r e t i c a lc h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h ee x i s t e n c e so fc u n t z k r i e g e rf a m i l i e sf o r g e n e r a ll a t t i c ea t o m i cg r a p h s m o r e o v e r , w ed e f i n et h ec a l g e b r ao fal a t t i c ea t o m i c g r a p ht 1 1 a ta d m i tac u n t z k r i e g e rf a m i l ya n ds h o wt h a ti nt h i sc a s e o n ec a nr e p l a c e t h eo r i g i n a ll a t t i c ea t o m i cg r a p hw i t had i s t r i b u t i o no n e i na d d i t i o n ，w ed i s c u s st h e n e c e s s a r ya n ds h 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rl a t t i c ea t o m i cg r a p hc + 一a l g e b r a st ob eu n i t a l a n ds h o wt h a tl a t t i c ea t o m i cg r a p hc + a l g e b r a sw i t hac e r t a i nc o n d i t i o nc a n b ev i e w e d a sc u n t z p i m s n e ra l g e b r a s k e y w o r d s ：u l t r a g r a p h s ；r a n g ef i n i t eu l t r a g r a p h s ；s e m i g r o u p o i d s ；l a t t i c ea t o m i c g r a p h s ；l a t t i c ea t o m i cg r a p hc * - a l g e b r a s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名拣璃年 山b 它年r 月刁日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 义- 4 强 学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：磷偏释 枷诲肭习日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n s i n c ec a l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e di n1 9 4 7 9 9 1 ，t h e yh a v eb e c o m ei m p o r t a n tt o o l s f o rm a t h e m a t i c i a n sw o r k i n gi nm a n ya r e a s b e c a u s eo ft h ei m m e n s i t yo ft h ec l a s s o fa uc a l g e b r a s h o w e v e r , i th a sb e c o m ei m p o r t a n tt oi d e n t i f ya n ds t u d ys p e c i a l t y p e so fc a l g e b r a s t h e s es p e c i a lt y p e so fc 一a l g e b r a s ( e g ，a f a l g e b r a s ，b u n c e - d e d d e n sa l g e b r a s ，a h - a l g e b r a s ，i r r a t i o n a lr o t a t i o na l g e b r a s ，g r o u pc + a l g e b r a s ，a n d v a r i o u sc r o s s e dp r o d u c t s ) h a v ep r o v i d e dg r e a ti n s i g h ti n t ot h eb e h a v i o ro fm o r eg e n e r a l c a l g e b r a s o n ei m p o r t a n ta n dv e r yn a t u r a lc l a s so fc + 一a l g e b r a sc o m e sf r o mc o n s i d e r i n gc 。- a l g e b r a sg e n e r a t e db yp a r t i a li s o m e t r i e s t h e r ea r eav a r i e t yo fw a y st oc o n s t r u c tt h e s e c a l g e b r a s b u tt y p i c a l l ya n ys u c hc o n s t r u c t i o nw i l l i n v o l v eh a v i n gt h ep a r t i a li s o m e - t r i e ss a t i s f yr e l a t i o n st h a td e s c r i b eh o wt h e i ri n i t i a la n df i n a ls p a c e sa r er e l a t e d f u r - t h e r m o r e ，o n ef i n d st h a ti np r a c t i c ei ti sc o n v e n i e n tt oh a v ea no b j e c t ( e g ，am a t r i x ，a g r a p h ，e t c ) t h a ts u m m a r i z e st h e s er e l a t i o n s i n19 7 7c u n t zi n t r o d u c e dac l a s so fc * - a l g e b r a st h a tw e r ek n o w na sc u n t za l g e b r a s 【19 1 f o re a c h 咒n ，t h ec u n t za l g e b r ao ni st h eu n i v e r s a lc 。一a l g e b r ag e n e r a t e db y ，l p a r t i a li s o m e t r i c ss l ，s 2 s ns a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n g a n ds 勰= 1 t h ec u n t za l g e b r a sw e r ei m p o r t a n ti nt h ed e v e l o p m e n to fc 一a l g e b r a sb e c a u s et h e y p r o v i d e dt h ef i r s te x a m p l e so fc 一a l g e b r a sw h o s ek t h e o r yh a st o r s i o n i n19 8 0c u n t za n dk r i e g e rc o n s i d e r e dg e n e r a l i z e dv e r s i o n so ft h ec u n t za l g e b r a si n t h es t u d yo ft o p o l o g i c a lm a r k o vc h a i n s 【21 g i v e na nn nm a t r i xa = ( a ( f ，d ) w i t h l = 1 s 研 n础 e n t r i e si n 0 ，1 ，w h e r ee v e r yr o wa n de v e r yc o l u m no fai sn o n z e r o t h ec u n t z k r i e g e ra l g e b r ao ai sd e f i n e dt ob et h eu n i v e r s a lc - a l g e b r ag e n e r a t e db yp a r t i a l i s o m e t r i c ss 1 ，眈s n ，s u b j e c tt ot h ec o n d i t i o n s ( 1 ) 1 = 羔1s j s ；，a n d ( 2 ) j ；毋= e j n = la ( i ，j 3 s j s ；，f o ra l li = 1 ，n i tw a sa l s os h o w nt h a tt h e r ea r ei m p o r t a n tp a r a l l e l sb e t w e e nt h e s ec - a l g e b r a sa n d e e l - t a i nk i n d so fd y n a m i c a ls y s t e m s ( e g ，s h i f t so ff i n i t et y p e ) t h ea b o v e c u n t z a l g e b r a s o na r i s ei nt h i sw a yf r o mt h en nm a t r i xa l lo fw h o s ee n t r i e sa r e1 f r o mt h e no n ，c u n t z k r i e g e ra l g e b r a sh a v eb e e ng e n e r a l i z e di na m y r i a do fw a y s e x e l - l a c aa l g e b r a sa n dt h ec - a l g e b r a so fd i r e c t e dg r a p h sa r et h et w oi m p o r t a n tg e n - e m l i z a t i o n s t h ee x e l - l a c aa l g e b r a sw e r es t u d i e db ye x e la n dl a c ai n1 9 9 9 【3 4 1 ，t h ea u t h o r s e x t e n d e dt h ed e f i n i t i o no fc u n t z - k r i e g e r a l g e b r a so at oa l l o wf o ri n f i n i t em a t r i c e s l e t u sr e c a l lt h ed e f i n i t i o n so ft h e m i fii sa n ys e ta n da = a ( i ，j ) i , j l li sa 0 ，1 一m a t r i x o v e r1w i t hn oi d e n t i c a l l yz e r or o w s ，t h e nt h ee x e l - l a c aa l g e b r ao ai sd e f i n e dt ob et h e u n i v e r s a lc + 一a l g e b r ag e n e r a t e db yp a r t i a li s o m e t r i c s s i ：i i w i t hc o m m u t i n gi n i t i a l p r o j e c t i o n sa n dm u t u a l l yo r t h o g o n a lr a n g ep r o j e c t i o n ss a t i s f y i n gs ；s , s j s ；= a ( i ，力s j ： a n d 。 hs * ，s x 兀( 1 一s $ ) = a ( x , y , j ) s j s ；， 难x 戗 汹 w h e n e v e rxa n dya r e 丘n i t es u b s e t so fis u c ht h a tt h ef u n c t i o n j ，ha ( x ，l ；：力：= 几a ( 工，力几( 1 - a f y ，j 3 ) i sf i n i t e l ys u p p o r t e d o b v i o u s l y , t h ee x e l l a c aa l g e b r a sa r ei ns o m es e n s et h em o s t d i r e c tg e n e r a l i z a t i o no fc u n t z k r i e g e ra l g e b r a s i t i ss l i g h t l yl e s sd i r e c tf o rt h eg e n e r a l i z a t i o no fc u n t z - k r i e g e ra l g e b r a st oc - a l g e b r a so fd i r e c t e dg r a p h s i n19 8 2w a t a t a n ip r o v e dt h a tc u n t z k r i e g e ra l g e b r a sc a n b er e g a r d e da sc - a l g e b r a s a s s o c i a t e dt oc e r t a i nf i n i t ed i r e c t e dg r a p h s ，b yc o n s i d e r i n ga 0 ，l 一m a t r i xa st h e 删a 。 c e n c ym a t r i xo fad i r e c t e dg r a p h 【11 2 a l t h o u g hw a t a t a n ip u b l i s h e dh i sp a p e r su s i n gt h eg r a p ha p p r o a c h 4 1 ，11 2 ，i tw a s a b o u t1 5y e a r sb e f o r eh i sw o r kw e r e l a r g e l yn o t i c e d i n1 9 9 7k u m j i a n ，p a s k ，r a e b u r n ， a n dr e n a u l tr e d i s c o v e r e dt h ec 一a l g e b r a sa s s o c i a t e dt od i r e c t e dg r a p h s 【6 3 t h i st h e o r yo fc 一a l g e b r a sa s s o c i a t e dt og r a p h sw a sd e v e l o p e di n 【6 3 ，6 2 ，7 】i n t h e s ep a p e r st h ea u t h o r sw e r ea b l et od e f i n ea n dw o r kw i t hc + 一a l g e b r a sa s s o c i a t e dt o 2 f i n i t eg r a p h sa sw e l la sc * - a l g e b r a sa s s o c i a t e dt oi n f i n i t eg r a p h st h a ta r er o w - f i n i t e ， i ea l lv e r t i c e se m i ta 丘n i t en u m b e ro fe d g e s b ya l l o w i n ga l l6 n i t eg r a p h sa sw e l la s c e r t a i ni n f i n i t eg r a p h s t h e s eg r a p ha l g e b r a si n c l u d e dm a n yc a l g e b r a st l l a tw e r en o t c u n t z 肼e g e ra l g e b r a s f u r t h e r m o r e i tw a sf o u n dt h a tt h eg r a p hn o to n l yd e s c r i b e d t h er e l a t i o n sf o rt h eg e n e r a t o r s b u ta l s om a n yi m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h ea s s o c i a t e d c + a l g e b r a sc o u l db et r a n s l a t e di n t og r a p hp r o p e r t i e s t h u st h eg r a p hp r o v i d e sat o o l f o rv i s u a l i z i n gm a n ya s p e c t so ft h ea s s o c i a t e dc * - a l g e b r a s i na d d i t i o n b e c a u s eg r a p h a l g e b r a sc o n s i s to faw i d ec l a s so fc * - a l g e b r a sw h o s es t r u c t u r ec a nb eu n d e r s t o o d ， o t h e ra r e a so fc * - a l g e b r a st h e o r yh a v eb e n e f i t e dn o n t r i v i a u yf r o mt h e i rs t u d y d e s p i t et h e s es u c c e s s e s m a n yp e o p l ew e r es t i l lu n s a t i s f i e dw i t ht h ec o n d i t i o no f r o w f i n i t c n e s sa n dw a n t e dat h e o r yo fc + a l g e b r a sf o ra r b i t r a r yg r a p h s t h i sd e s i r ew a s f u r t h e rf u e l e db yt h ef a c tt h a ti nh i so r i g i n a lp a p e rf 1 9 1c u n t zd e f i n e dac a l g e b r a s c k ，w h i c hs e e m e da st h o u g hi ts h o u l db et h ec 一a l g e b r a sa s s o c i a t e dt oag r a p hw i t h o n ev e r t e xa n dac o u n t a b l yi n f i n i t en u m b e ro fe d g e s d e s p i t em a n yp e o p l e sd e s i r e t oe x t e n dt h ed e f i n i t i o no fg r a p ha l g e b r a st oa r b i t r a r yg r a p h s 。i tw a su n c l e a re x a c t l y h o wt om a k es e n s eo ft h ed e f i n i n gr e l a t i o n si nt h en o nr o w 丘i l i t ec a s e i tw a sn o t u n t i l2 0 0 0 l a tf o w l e r , l a c aa n dr a b u r nw e r ef i n a l l ya b l et oe x t e n dt h ed e f i n i t i o no f g r a p ha l g e b r a st oa r b i t r a r yd i r e c t e dg r a p h s 【3 8 1 t h e s eg r a p ha l g e b r a sn o wi n c l u d e d t h ec u n t za l g e b r ao 。，a n da se x p e c t e di ta r i s e sa st h ec * - a l g e b r ao ft h eg r a p hw i mo n e v e r t e xa n di n f i n i t e l ym a n ye d g e s i nt h ea f t e ry e a r s m a n yr e s u l t so fr o w f i n i t eg r a p h s w e r eg e n e r a l i z e dt oa r b i t r a r yg r a p h s 【3 8 ，10 2 ，1 0 5 ，4 ，8 8 ，2 7 1 h o w e v e r , g r a p hc 。a l g e b r a sa r en o tc o i n c i d ew i t ht h ec l a s so fe x e l l a c aa l g e b r a s t h e yb o t hc o n t a i nc a l g e b r a st h a ta r en o ti nt h eo t h e r i nf a c t , i tw a sp r o v e di n 【3 8 ， t h e o r e m1 0 1t h a tt h ec * - a l g e b r a so fg r a p h sw i t h o u ts i n k so rs o u r c e sa r ee x e l l a c a a l g e b r a s i tw a sa l s os h o w ni n 【10 2 ，2 6 】t h a tt h e r ea r eg r a p hc - a l g e b r a sa r ed i f f e r e n t f r o me x e l l a c aa l g e b r a s o nt h eo t h e rh a n d ， 8 8 ，e x a m p l e4 2 1s h o w e dt h a tt h e r ei sa e x e l l a c aa l g e b r aw h i c hi sn o tg r a p ha l g e b r a f o rm o r ei n f o r m a t i o na b o u tt i l er e l a t i o n s b e t w e e ne x e l l a c aa l g e b r a sa n dg r a p ha l g e b r a s ，w er e f e ra n yi n t e r e s t e dr e a d e rt os e e 1 0 8 ag e n e r a l i z a t i o no fad i r e c t e dg r a p h ，c a l l e da nu l t r a g r a p h ，w a ss t u d i e di nf 1 0 8 ，1 0 9 i na n a l o g yw i t ht h ec a l g e b r ao fd i r e c t e dg r a p h s i tw a sa l s os h o w nh o wt oa s s o c i a t eac * - a l g e b r ac ( 缪) t oa nu l t r a g r a p h 缪t h e s eu l t r a g r a p ha l g e b r a si n c l u d et h e g r a p hc a l g e b r a sa sw e l la st h ee x e l l a c aa l g e b r a s i nf a c t ，f1 0 8 ，s e c t i o n3 】p r o v e d t h a te a c hg r a p ha l g e b r ai si s o m o r p h i ct oa nu l t r a g r a p ha l g e b r aa n d 【1 0 8 ，s e c t i o n4 】 s h o w e dt h a tt h ec * - a l g e b r a so fu l t r a g r a p h sw i t hn os i n k sa n dn oi n 丘i l i t ee m i t t e r sa r e p r e c i s e l yt h ee x e l l a c aa l g e b r a s f u r t h e r m o r e i tw a ss h o w nt h a tm a n yo ft h et e c h n i q u e su s e df o rg r a p ha l g e b r a sc a nb ea p p l i e dt oo b t a i ns i m i l a rr e s u l t sf o ru l t r a g r a p h a l g e b r a s f o re x a m p l e ，【1 0 8 】p r o v e dt h ec u n t z 1 “e g e ru n i q u e n e s st h e o r e ma n dt h e g a u g e i n v a r i a n tu n i q u e n e s st h e o r e mf o ru l t r a g r a p h s w h i c he x t e ：n d e dt h ec o r r e s p o n d 一 3 i n gr e s u l t so fg r a p ha l g e b r a s i na d d i t i o n ，【10 9 】g a v ea ne x a m p l eo fa nu l t r a g r a p ha l g e b r at h a ti sn e i t h e rag r a p ha l g e b r an o ra ne x e l l a c aa l g e b r a t h u st h eu l t r a g r a p h a l g e b r a ss t r i c t l yi n c l u d et h eg r a p ha l g e b r a sa n dt h ee x e l l a c aa l g e b r a s w es t u d yi n t h i st h e s i st h eu l t r a g r a p hc + 一a l g e b r a sa n dl a t t i c ea t o m i cg r a p hc - a l g e b r a s i nc h a p t e r2w ec o n s i d e ras p e c i a lk i n do fu l t r a g r a p h ，n a m e l yw h a tw ec a l l e dr a n g e f i n i t eu l t r a g r a p h ( s e ed e f i n i t i o n2 2 1 ( b ) ) w | es h a l lc o n s t r u c tad i r e c t e dg r a p hef r o ma g i v e nr a n g ef i n i t eu l t r a g r a p h 锣a n ds h o wt h a tt h eg r a p hc + 一a l g e b r ac + ( e ) i si s o m o r p h i c t ot h eu l t r a g r a p hc 一a l g e b r ac + ( 缪) u s i n gt h ea b o v ec o n s t r u c t i o n ，o n ec a ng e n e r a l i z e i ne a s yw a y s ，m a n yr e s u l t sf o rd i r e c t e dg r a p h st ou l t r a g r a p h s f o re x a m p l e ，w eo b t a i n t h en e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rar a n g ef i l l i t eu l t r a g r a p ha l g e b r at ob ea f t 0b ep u r e l yi n f i l l i t ea n dt ob es i m p l er e s p e c t i v e l y t h e s er e s u l t sw e r ep r o v e di nf10 9 1 f o rg e n e r a lu l t r a g r a p h su s i n gt h et e c h n i q u e sf o rt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rd i r e c t e d g r a p h s m o r e o v e r , w ea l s og i v ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rar a n g ef i n i t eu l t r a g r a p h a l g e b r at ob es t a b l ea n dg e ts o m er e s u l t sa b o u ts k e wp r o d u c tu l t r a g r a p h s t h e s ea r e a l s og e n e r a l i z a t i o n so ft i l ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rd i r e c t e dg r a p h sa n d a sf a ra sw e k n o w , t h e ya r en o tm e n t i o n e da n y w h e r ee l s eb e f o r e c h a p t e r3i sm a i n l yc o n c e r n e dw i t hu l t r a g r a p hc + 一a l g e b r a sa n ds e m i g r o u p o i dc + a l g e b r a s e x e lg a v et h ed e f i n i t i o no fs e m i g r o u p o i dw h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no fa c a t e g o r yi n 【3 2 ，a n dt h es e m