（基础数学专业论文）orliczpettis定理与算子级数乘数收敛.pdf

摘要 本文讨论了一般对偶系统中的o r l i c z - p e t t i s 定理和不变性定理，发现新的全程不变性。 第一章绪论：介绍了线性对偶系统中不变性理论和算子级数理论。 第二章一般的o r l i c z - p e t t i s 定理：首先介绍了g 一值对偶对概念和该对偶系统中的o r l i c z p e t t i s 定理的最新结果，然后给出了该定理的两个应用例子。 第三章算子级数乘数收敛的不变性：利用算子级数乘数收敛、a k 一空问的定义，得 到了算子级数乘数收敛的不变性定理，从而将以往的普通级数乘数收敛的不变性定理作为 特殊情况。 空间 关键词：g 一值对偶对、一致收敛拓扑、o r l i c z p e t t i s 定理、算子级数乘数收敛、a k o r l i c z p e t t i st h e o r e ma n do p e r a t o rs e r i e s m u l t i p l i e rc o n v e r g e n t a b s t r a c t t h i st h e s i si n v e s t i g a t e st h eo r l i c z p e t t i st h e o r e ma n di n v a r i a n tt h e o r e mi ng e n e r a ld u a l s y s t e m ，s e e k i n gn e wf u l li n v a r i a n tr e s u l t ，e t c c h a p t e r l i n t r o d u c t i o n w ep r e s e n ts t u d yh i s t o r yo ft h ei n v a r i a n tt h e o r yi nl i n e a rd u a l s y s t e ma n dt h eo p e r a t o rs e r i e st h e o r y c h a p t e r 2 g e n e r a l0 r l i c z p e t t i st h e o r e m f i r s t w cp r e s e n tt h ec o n c e p to fg - v a l u e dd u a l i t yp a i ra n dar e c e n tg e n e r mo r l i c z p e t t i st h e o r e mt h e n ，w eg i v et w oe x a m p l e so ft h ea p - p l i c a t i o no ft h eg e n e r a lo r l i c z p e t t i st h e o r e m c h a p t e r 3i n v a r i a n tt h e o r e mo ft h eo p e r a t o rs e r i e sm u l t i p l i e rc o n v e r g e n tu s i n go p e r a t o r s e r i e sm u l t i p l i e rc o n v e r g e n t ，a k - s p a c eo fc o n c e p t ，w eo b t a i n e dt h et h e o r e mo fo p e r a t o rs e r i e s m u l t i p l i e rc o n v e r g e n ti n v a r i a n ta n dt h eo l dt h e o r e mo fg e n e r a ls e r i e sm u l t i p l i e rc o n v e r g e n t i n v a r i a n ti s1 0 0 k e da ss p e c i a lc a s e k e yw o r d s ：g v a l u e dd u m i t yp a i r ，u n i f o r mc o n v e r g e n c et o p o l o g y , o r l i c z p e t t i st h e o - r e i n ，o p e r a t o rs e r i e sm u l t i p l i e rc o n v e r g e n c e ，a k s p a c e 第一章绪论 1 1 线性对偶系统上的不变性理论 有关对偶空间上不变性的研究是局部凸空间理论乃至泛函空间理论的核心内容之一，随 着分析学中诸如泛函空间理论、测度理论、求和理论、无穷矩阵分析理论等研究的深入，各 领域相继出现不变性定理。例如，无穷矩阵求和理论中的s c h u r 引理、无穷级数求和法中的 o r l i c z p e t t i s 定理、局部凸空间理论的m a c k e y 定理以及m a z u r 定理均指出某种对偶不变 性。又如，测度理论中的v i t a l i h a h n - s a k s n i k o d y m 定理和紧空间上的t h o m a s 定理也指 出在某种特殊条件下某种不变性质。特别是泛函分析最重要定理之一的一致有界原理 1 1 ，实 际上就是指在序列完备条件下有界性是关于可允许极拓扑全体而言的全程不变性。 由此看出，对偶空间上不变性的理论不仅是泛函分析空间理论的核心内容，而且与h a h n - b a n a c h 定理、开映射定理、一致有界原理等基本原理共同奠定了局部凸空间理论基础，因此 深入研究不变性理论必将有助于分析学各领域进一步的发展。 设f x ，x ) 是一个对偶空间，由对偶对( x ，x ) 可得到x 上的各种可允许极拓扑，其 中最弱者为o ( x ，x ) ，最强者为f i ( x ，x ) ，而m a c k e y 拓扑t 伍，x ) 是介于o ( x ，x ) 和 f l ( x ，x 。1 之问的最强的相容拓扑。 若某种性质p 对某个可允许极拓扑成立蕴涵p 关于所有其它可允许极拓扑都成立，则 称该性质p 为可允许极拓扑全体上的不变性，简称为全程不变性：若某性质p 的不变范围 只是由弱拓扑a ( x ，x ) 到m a e k e y 拓扑r ( x ，x ) ，则称该性质p 为对偶不变性。 著名的s c h u r 引理f 2 j 指出：对空间( 1 1 ，p ) 而言z 1 上的序列收敛是对偶不变的。这是早 期最典型的对偶不变性结果。在1 9 3 0 1 9 7 0 年间出现了一批对偶不变性结果，与分离定理一 起奠定了局部凸空间理论基础1 3 - 9 。其中m a c k e y 定理断定：有界性为对偶不变性：m a c k e y a r e n s 定理指出：线性泛函的连续性为对偶不变性；o r l i c z p e t t i s 定理指出子级数收敛是对偶 不变性；b e s s a g e _ p e k z y n s k i 定理断定：若b a n a e h 空间x 不含c o ，则x 上级数的无条件 收敛对f x ，x 1 而言是对偶不变性：m a z u r 定理则指出：凸集的闭包是对偶不变性。 但是，1 9 7 0 年之后人们开始扩大已知对偶不变性的不变范围，乃至求得最大不变范围。1 9 7 0 年i t w e d d l e 1 q 扩大了子级数收敛的不变范围，并求得最大不变范围。1 9 7 7 年，p d i e r o l f “】 对子级数收敛求得了更加确切的不变范围，给出了与弱拓扑具有相同的子级数收敛( 有界乘 数收敛) 级数的最强可允许极拓扑，( ( ，( 旷) ) 。 硕士学位毕业论文 定理1 1 ( 1 1 j ) ，批) ( ，( 矿) ) 是与弱拓扑口( x ，x 7 ) 具有相同子级数( 有界乘数) 收敛 级数的最强可允许极拓扑。 一般地，( p ) 与，( 旷) 真强于m a c k e y 拓扑r ( x ，x ，) o 因此子级数收敛与有界乘数收 敛是较对偶不变性更强的不变性。 随后，崔成日【1 目给出d i e r o l f 拓扑，( 矿) 真弱于卢( x ，x ) 的情形存在，从而得到有 界乘数收敛( 子级数收敛) 未必是可允许极拓扑全体上的不变性。 1 9 8 9 年，c s w a r t z 13 将有界性的不变范围扩大到从弱拓扑o ( z ，x 7 ) 到c ( x ，x ，) 其中 l c ( x ，x 7 ) 是弱* k 一有界集上一致收敛的拓扑。 定理1 2 ( 【1 3 】) 设x 是局部凸空间，则x 的口( x ，x ，) - 有界子集是i c ( x ，x 乍有界 的，而且有界性未必是全程不变性。 因为一般地说庀慨，x 7 ) 真强于r ( x ，x ，) ，而真弱于z ( x ，x ，) ，所以定理1 2 也指出 有界性是较对偶不变性更强的不变性。 1 9 9 4 年，张金、楚兰英1 1 4 】找到了比j c ( x ，x ) 更强的可允许极拓扑u ( x ，x 饥从而 将有界性的不变范围从口( x ，x ) 扩大到u ( x ，x ，) ，改进了c s w a r t z 的结果。u ( x ，x 7 ) 为 x 上的在每个“中集上一致收敛的拓扑，其中“为在每个o ( x ，x 有界集上一致有界的 x 的子集全体。有关这类研究结果的详细资料见f 1 5 2 3 l 。 对一般的局部凸空间而言，己知的全程不变性只有一些平凡事实。诸如局部凸性、连通 性、由桶做成的基本邻域系之存在等等； 不变性方面的重要突破是在1 9 9 8 年，李容录，崔成日f 2 4 】首次发现了在一般对偶系统 情况下不平凡的全程不变性，即可允许极拓扑全体上的不变性： 定理1 3 ( 2 4 】) 设x 是局部凸空间，其对偶x 在x 上是全的。s c o ，p ( 1 p + ) ) ，对 o f ) x 下列( n ) ，( b ) 等价： ( o ) v t a s ，级数罂1 是口( x ，x ，) _ 收敛的； ( b ) v t a s ，级数暑l t j x j 是卢暇，x7 ) 一收敛的。 定理1 3 就是说c 。，l v ( 1 p + ) 一乘数收敛是全程不变的。 此结果立即带动了对全程不变性的研究。首先c s w a r t z 与c s t u a r t 2 q 对数列空间的 k s t h e 对偶建立了同类结果：随后，武俊德，李容录 2 6 1 利用无穷矩阵方法证明了l p ( o p 1 卜乘数收敛也具有全程不变性，并且较之有界性更强的瓦一有界性也是全程不变性。武俊 德，崔成日1 2 q 进一步证明了u ，c s ，b y o 一乘数收敛也都具有全程不变性。m i n h y u n gc h o 与 h o n gt a e kh w a n g 2 “、l ir o n g l u 与l il o n g s u o l 2 9 1 ，l ir o n g l u 与s i nm i nk a n g l 3 0 j 等人在 这方面也取得了相应的研究成果。 2 0 0 0 年，文松龙1 3 1 通过对任意数列族s 的代数性质分析，归纳出易于判断的p 性 2 硕士学位毕业论文 质、g 性质、r 性质，给出了s 一乘数收敛及其对可允许极拓扑的不变性定理。 定理1 4 ( 3 1 1 )设x 是局部凸空间，s 是数列族，可得到如下三个结果： ( a ) 若s 具有p 性质，则s 一乘数收敛是全程不变性； ( b ) 若s 具有g 性质，则s 一乘数收敛是由弱拓扑o ( x ，x 7 ) 到k ( x ，x ) 拓扑的不变 性： ( c ) 若s 具有r 性质，则s 一乘数收敛不是全程不变性。 其中k ( x ，x7 ) 拓扑是在o ( x 7 ，x ) 相对可数紧集上一致收敛的拓扑，则u ( x ，x ) 拓 扑一般强于m a c k e y 拓扑r ( x ，x ，) o 由此得到c o ，t p ( 0 p + o 。) 一乘数收敛是全程不变性；c _ 乘数收敛不是全程不变 性：p ，8 0 = ( t 1 ，t 2 ，t l ，) lt i = 0 或1 卜乘数收敛是由弱拓扑o ( x ，x ) 到k ( x ，x 7 ) 拓扑的不变性，本质上推广了p d i e r o l f 的结论。 同年，文松龙，崔成日1 3 3 对任意数列族s 给出了与弱拓扑具有相同s 乘数收敛级数 的最强可允许极拓扑，( 脚) 的刻划以及吲。的定义，给出如下定理： 定理1 5 ( 3 2 】) 设x 是局部凸空间，s 是一数列族， q ，x ，那么级数暑，巧是 s 一乘数弱收敛的充要条件是墨。是s 一乘数，( m ) 收敛，并且，( p 。) 是与弱拓扑具 有相同5 一乘数收敛的最强的可允许极拓扑。 2 0 0 0 年，文松龙、崔成日首次给出了s 乘数收敛成为对偶不变性的充分条件，以及s 一 乘数收敛成为全程不变性的充分条件和必要条件： 定理1 6 ( 1 3 1 1 ) 设数列组成的集合s 具有性质g ，那么，( m ) k ( x ，x ，) 即s 一乘数 收敛是对偶不变性。 定理1 7 ( 3 1 】) 设数列组成的集合s 具有性质p ，那么，( ) = z ( x ，x ，) i 即s _ 乘数 收敛是全程不变性。 定理1 8 ( 3 1 】) 设数列组成的集合s 具有性质r ，则存在局部凸空间x 及( e 札) 是1 x ，对每个协) s ，墨，t i 岛依弱拓扑o ( x ，x ) 收敛，但级数# 0 0 1 t l e l 不能对每个托) s 按强拓扑p ( x ，x ) 收敛，因此这时7 ( u 。) 严格弱于卢( x ，x 7 ) 拓扑。 1 9 9 9 年，武俊德1 3 2 利用无穷矩阵方法证明了c s 一乘数收敛也是全程不变性，但c s 不 具有p 性质，这说明：p 性质仅是s 一乘数收敛成为全程不变性的充分非必要条件。 2 0 0 2 年，陶元红1 3 4 1 在李容录、崔成日、文松龙等人的研究基础之上，利用，( 地) 得出 了s 。乘数收敛成为对偶不变性的充要条件及5 一乘数收敛成为全程不变性的充要条件： 定理1 9 ( 3 4 1 ) 设s 是一数列族，则对一切局部凸空间x ，( 陆) k ( x ，x ) 成立 的充要条件是：对每个t s ，旧。依拓扑k ( s ，s 7 ) 收敛于t 。 3 硕士学位毕业论文 定理1 1 0 ( 3 4 ) 设s 是一数列族，则对一切局部凸空间x ，( 儿) = p ( x ，x ) 成立 的充要条件是：对每个t 5 ，嘲。依拓扑p ( s ，s ) 收敛于t 。 定理1 9 及定理1 1 0 的得出，不仅完善和推广了文松龙、崔成目的结果，还由此证明了 一乘数收敛是全程不变性。陶元红还利用，( p ) ，( ) ，( ) 的刻划，证明了厂( 胁。) = ，( p ) ，( 卢p ) = ，( 矿) ，其中8 0 = ( t 1 ，t 2 ，一，t ) h = o 或1 。 1 2 算子级数理论的研究历史及现状 无穷级数理论是分析学的一个重要研究方向，对无穷级数的研究已有三百多年的历史， 经过众多数学家的不懈努力，在经典级数理论基础上逐步开始研究向量级数、算子级数、以 及抽象级数等内涵丰富、应用广泛的重要研究内容，有关无穷级数的研究成果，如子级数收 敛、无条件级数收敛，s 一乘数收敛等重要研究方向及其应用，不仅属于分析学的核心内容，而 且成为分析学必不可少的工具。分析学各领域的飞速发展产生了有关无穷级数的许多新问题， 这些问题的解决又直接推动分析学各领域进一步发展。 本文所要研究的算子级数是由b l d t h o r p 3 5 首先开始研究的，经过b l d t h o r p 、 sr o l e w i c z 3 6 】、i m a d d o x 【3 7 、李容录，崔成日 a s 和文松龙等人的共同努力，算子级数理论已 逐步发展成为内容丰富、应用广泛的级数研究方向之一，并赋予算子级数理论新的内涵。 设s 是一族数列。拓扑空间x 上的级数o f 被称为s 一乘数收敛的或者，简单地，s m c 的，若对每个口，) s 级数t j o f 在x 中收敛。c 0 一m c 及俨一m c 在分析中有重要地位。 早在1 9 5 8 年及1 9 6 9 年，cb e s s a g a 与a p e l c z y n s k i 3 9 】及l s c h w a r t z 4 0 】得到：b a n a c h 空间 不含c o 当且仅当x 上级数z ，为c 0 一m c 之时级数z f 必收敛，当且仅当x 上级数 为c o m c 之时。0 。 1 9 6 9 年，b l d t h o r p 3 5 定义了一个更加一般的概念如下：设x ，y 是拓扑线性空间，正： x y ( j = 1 ，2 ，3 ，) 是线性算子，s ( x ) 是x 中序列族。称算子级数正为s 一赋值 收敛的，若对每个 x a s ( x ) ，级数乃o i 在y 中收敛。s ( x ) 可以取很多具体形式，如 c o ( x ) = ) x ：l i m j 。q = o ) ，类似地可以给出c ( x ) 、2 ，( x ) ，p ( x ) 的定义。 1 9 8 0 年，i m a d d 0 x 俐引入推广了的k 6 t h p t o e p l i t z 对偶： s 8 ( x ) = ( 山) ：a 3 ：x y 是线性的，凳。a j 是s ( x ) 一赋值收敛的) b l d t h o r p 、s r o l e w i c z ，i m a d d o x 逐渐给出豸( x ) 、一( x ) 、譬( x ) ，强( x ) 的刻化。 1 9 6 9 年与1 9 8 8 年b l d t h o r p 3 目与s r o l e w i c z 3 6 l 就s ( x ) 等于c ( x ) 或f ”( x ) 的情 形获得了著名的t h o r p r o l e w i c z 算子级数定理。 4 硕士学位毕业论文 定理2 1 ( 【3 6 ) 设x ，y 是b a n a c h 空问，如：x y ( j = 1 ，2 ，3 ，) 为连续线性算 子，则有： ( a ) 若x 是有限维的，并且对每个z x 级数a j x 是子级数收敛的，则对x 中任 一有界序列 ) ，级数山q 收敛： ( b ) 若x 是无限维的，则有 a j ) l ( x ，y ) 使级数a j 依算子范数为子级数收敛 的，但是对x 中某个有界序列 ) ，级数如发散，甚至有： x a 知x ：忪| 1 ) ， 使s u p 。0 警l a j z j0 = o 。； ( c 1 若y 是有限维的并且 ? 岬。f | a j x jh = m o 。 m n ， b 1 | s l ，j n j = l 则墨，l l 山| | o o ； ( d ) 若y 是无限维的，则有 山) l ( x ，y ) 使得尽管级数鸟( ) 对x 中每个有 界序列 z f ) x 收敛，但是 ：| | 鸟| | = ( d o j = l 1 9 9 7 年，李容录、崔成日f 3 q 将t h o r p r o l e w i c z 算子级数定理进行改进，并应用改进的 定理来界定一类重要的向量测度，详见1 3 8 1 。 2 0 0 0 年，李容录、崔成日、c h o m i n - h y u n g 4 1 1 在抽象对偶系统怛，f ) 中，通过引进i p ( p 1 ) 空间的子集是本性紧的概念( 即p 为本性紧当且仅当有j o n 使 ( 屯。+ l ，+ 2 ，) ： 白) 罂1 k ) 在i p 中相对紧) ，得出了最强o r l i c z p e t t i s 拓扑s o p ( e ，f ) 以及产生该拓 扑的最大映射集族，的表示，即与o ( e ，f ) 相同的子级数收敛序列的最强陋，f ) 一拓扑 s o p ( e ，f 1 就是在 ，= n m f ： ( 9 7 ( ，( 即) ) ) 置：9 7 g 7 ，1 1 9 7 i i 1 ，m ) 在z 1 中本性紧) ， e ， 的每个成员上一致收敛的拓扑。又，是最大的：若f 的子集b 隹，则有 x j ) 使级 数器，( q ) 的收敛关于，b 不是一致的( 其中是子级数o ( e ，f ) 一收敛的e 中序列 全体) 。 利用此结果，一方面搞清楚了现有两种o r l i c z - p e t t i s 拓扑即d i e r o l f 拓扑，( ) 和 t w e d d l e 拓扑t ( e ，t 1 的确切意义以及它们之间的相互关系。指出了，的最大性所蕴含 的理论意义和应用价值，证实了口( e f ) 一条件紧集和o - ( f , e ) 一可数紧集都含于，中，进 5 硕士学位毕业论文 而实质性地改变了矢值测度论中的g r a v e s r u e s s 定理，抽象函数论中的t h o m a s 定理等重 要结果；另一方面，此结果的发现彻底解决了子级数收敛的问题，而获得此终结性结果的关 键正是数列空间z 1 的本性紧集。事实上，最近，李容录、崔成日、c h o m i n - h y u n g 在抽象对 偶的一般框架下取得了富有终结性意义的结果，其特例便是如下定理： 定理2 2 ( 4 1 ) ( x ，x 7 ) 是通常的线性对偶，则对m x 7 下列等价： ( a ) 对每个子级数弱收敛的x 中的级数o j ，f ( x j ) 关于，m 一致收敛： ( b ) 对每个子级数弱收敛的x 中的级数巧， ( ，( q ) ) 器。：，m ) 在z 1 中本性紧。 于是最强o r l i c z - p e t t i s 拓扑就是在每个适合( 6 ) 的m x 上一致收敛的拓扑，产生 最强o r l i c z p e t t i s 拓扑的x 7 最大子集族便是适合( 6 ) 的m x 的全体。 2 0 0 2 年，李春花1 4 2 】通过引进了( s ，n ( s 7 ，s ) ) 拓扑空间子集是本性紧概念，给出抽象对 偶系统( e ，f ) 中最强s 一乘数收敛的局部凸拓扑s m c ( e ，f ) 以及产生该拓扑的虽大映射集 族，的表示。利用此结果搞清楚了，( ) 的确切意义以及s m c ( e ，f ) 与，( 肌) 之间的相 互关系。具体内容详见f 4 2 1 此外，李容录、王俊明h 在非线性对偶及抽象函数对偶的水平上对函数级数的向量序 列赋值收敛得到了一系列不变性结果。具体内容详看文f 4 3 1 。 随着分析学中诸如泛函空间理论、测度理论、求和理论、无穷矩阵分析理论等研究的深 入，各领域相继又提出了大量的形式不同、收敛方式各异的级数收敛理论。其实质是研究级 数在不同收敛方式下的不变性理论。因而将这些千变万化的级数收敛形式统一并揭示其内在 的相互关系及本质属性( 及不变性) ，从而既避免各个不同领域之间所进行的大量重复研究。 也为分析学的实质性进展提供新的突破点，是一个十分迫切和重要的内容。 本论文正是在这样的背景下，对算子级数乘数收敛不变性方面进行了研究，得到了算子 级数乘数收敛成为全程不变性的一个充分必要条件。 6 第二章一般的o r l i c z p e t t i s 定理 o r l i c z - p e t t i s 定理是泛函分析中的一个重要的问题。自1 9 2 9 年w o r l i c z 4 a 给出第一个结 果，稍后1 9 3 8 年b j p e t t i s 4 5 】得到改进结果之后，人们对定理的研究是不断的深入、不断的拓 展h 6 5 0 。特别地，m e a s u r e 学说里包含一个级数的o r l i c z - p e t t i s 定理问题。例如，h g r a v e s 5 q 和w r u e s s 5 2 】得到了经典的v i t a l i h a h n - s a k s 定理、n i k o d y m 收敛定理、p h i l l i p s b i 理和向 量m e a s u r e 上的结果，本章介绍g 一值对偶对的概念和在该对偶对上的极具一般性的o r l i c z p e t t i s 定理【5 3 1 ，我们将看到上述一系列结果是本定理的特殊情况。 2 1o r l i c z p e t t i s 定理 定义2 1 1 设g 是阿贝尔拓扑群，对于非空抽象集e 和非空子集f g e ，我们 称f e ，f ) 是g 的抽象对偶对，或简称g 一值对偶对。 设野g 是子级数收敛的，并且= j l ，j 2 ，) n ，j l m n 存在。即命题成立。证毕。 y l = l i m p k ( e 玑) u 9 第三章算子级数乘数收敛的不变性 3 1 级数乘数收敛的历史背景 普通级数乘数收敛不变性的研究已经有了二三十年的历史，经过不断的拓展、不断的深 化，得到了很多结果。 文【l l 】中，给出了与弱拓扑具有相同的有界乘数收敛( 或子级数收敛) 点列的最强可允许 极拓扑厂( 旷) ( 或，( p ) ) ，并指出它们是强于m a c k e t 拓扑，但弱于强拓 b z ( x ，x ) 的可允许极拓 扑，而且它们可以严格强于m a c k e y 拓扑、严格弱于强拓扑。文f 2 4 】中，首次给出了在局部凸空 间中对可允许极拓扑全体而言的非平凡的全程不变性：c 0 ( 或l p ，1 p o 以及y 上的连续拟范数p ，使得 l i ms u p p ( t ：正z ) ) 印 ( 1 ) n _ + 。x e d ：= 同时，h a h n - b a n a c h l 6 0 定理，存在一个y 的连续子集b ，使得 因为算子级数；正是依弱算子拓扑u o t ( x ，y ) 是s 一乘数收敛的，所以对每个( t i ) s 存在t l ( x ，y ) ，使得对每个z x 以及y y ，有 1 2 ( t 。置嚣，y ) = ( t x ，f ) ( 3 ) t 或 如( 正z ，y ) = ( t x ，y ) ( 4 ) 这说明，对每个z x 以及y y ，有( ( 正z ，g ) ) 鐾1 s p 。由( 4 ) ，且t l ( x ，y ) ，且d 是a ( x ，y ) 有界集，以及b 是y 的等度连续子集可得， ( 呱。，7 ) ) 墨。：z d ，y b ) 是口( 扩，s ) 有界集。 又由( s ，卢( s ，s 9 ) ) 是一个a k 一空间，则存在n o n ，使得对n n o ，有 这与( 2 ) 是矛盾的，从而充分性成立。 ( 必要性) 假设s ，卢( 5 ，s 9 ) ) 不是a k 一空间，则存在( t ：1 ) s 和a ( x ，y ) 有界集d ，使得 o 。 l i ms u p i t q o ) u 。i ：( ) d ) 0 ( 5 ) n * n 设x = s 口且y 是复数域c ，对每个u = ( u ；) s p ，定义正：扩一c 为丑u = u 。显然， 对每个i n ，有丑g ( s 8 ，c ) 。又由于对每个t = ( “) s 以及u 一( u ：) s 4 ，有 1 挚丑“；= 1 守锄t = 0 i = ni = n 如 一 可啦 一 凛 蚝 氅 印一2 f 嚣 旧妒 器 距 硕士学位毕业论文1 3 所以级数。互是依弱算子拓扑w o t ( x ，y ) 是s 一乘数收敛的。而由( 5 ) 知级数；噩是依一 致算子拓扑v o t ( s z ，s ) 不是s 一乘数收敛的。这两个命题是矛盾的。 证毕。 由3 2 1 的定理，武俊德在3 乏 5 9 1 中证明的主要定理很自然地成为我们本章主要定理的推 论。 推论3 2 1 ( 文【5 9 】，定理2 ) 设s c d o ，且x 是h a u s d o r f f j e 3 部凸空间，那么s 一乘数收敛级 数x i 具有全程不变性的充要条件为( s ，卢( s ，s 4 ) ) 是a k 一空间。 证明：若定理321 中，取y = x ，则五为x 上的恒等算子。即得结论。证毕。 结论 抽象对偶系统中级数收敛性理论是分析学的重要研究内容，有关研究成果不仅推动了其 自身发展，而且还推动其他领域的发展。本文的研究经历使我有如下的认识和思考： 1 、在对各结果进行具体分析的时候，应对该命题的产生及其演化过程有较详尽的了解。 只有这样，才能对所涉及结论做出正确的分析和评价，确定进一步的研究方向。 2 、本文只研究了依弱算子拓扑u o t ( x ，y ) 乘数收敛的算子级数是依一致收敛拓扑v o t ( x ，y ) 乘 数收敛的充要条件是( s ，卢( s ，s 4 ) ) 是一个a k 一空问。有关算子级数乘数收敛的其他性质以及在 分析学中的各种应用有待进一步深入研究。 总之，本文的工作还很不充分和深刻，还有待于在今后的工作和学习中不断总结和完善， 并期望利用更先进的理论和方法去开拓新的领域，获得更多的成果。 1 4 致谢 本学位论文是在导师崔成日教授亲自指导下完成的。在攻读硕士学位的三年时间里，笔 者始终得到崔成日教授多方面的关心、帮助和指导。无论是学业方面，还是在做人原则方面 都受到了深刻的启迪和影响。导师严谨的治学态度和敏锐的思考方法，使我终身受益。在此， 谨向导师致以诚挚的谢意。 借此机会特别要感谢哈尔滨工业大学李容录教授和浙江大学武俊德教授多次来我系讲 课，深受启迪。同时在攻读硕士学位的三年时间里，张玉峰教授对笔者的学业、生活都有极大 的帮助，在此表示感谢。 笔者还向曾经指导和帮助过我的所有老师和同学表示感谢。 ， 1 5 参考文献 1 】l ir o n g l ua n dc s w a r t z s p a c e sf o rw h i c ht h eu n i f o r mb o u n d e d n e s sp r i n c i p l eh o l d 8 s t u d i a s c im a t h h u n g ”2 7 ( 1 9 9 2 ) ：3 7 9 3 8 4 【2 i s c l l u r u b e r l i n e a r e t r a n s f o r m a t i o n e n i n d e r t h e o r i e d e r u n e n d l i c h e n r e i h e n j f + m a t h 1 5 1 ( 1 9 2 1 ) ：7 9 1 1 1 3 】g w m a c k e y n o t eo nat h e o r e mo fm u r r a y b a m s v 0 1 5 2 ( 1 9 4 6 ) ：3 2 2 3 2 5 1 4 】j h o r v a t h t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e sa n dd i s t r i b u t i o n s i a d d i s o n - w e s l e y1 9 6 6 ( 5 】n j k a l t o n s u b s e r i e s c o n v e r g e n c e i n t o p o l o g i c a j g r o u p s a n d v e c t o r s p a c e s i j m a t h v 0 1 1 0 ( 1 9 7 1 ) ：4 0 2 4 1 2 6 】n j k a l t o n s p a c e so fc o m p a c to p e r a t o r sm a ( 1 9 7 4 ) v o l2 0 8 ：2 6 7 - 2 6 8 7 n b o u r b a k ie s p a c e sv e c t o r i e l st o p o l o g i q u e sh e r m a n ne tc i c1 9 5 5 8 】j d i e s t e l ，jj u h l t h e o r yo fv e c t o rm e a s u r e s a m sm a t h e m a t i c a ls l l r v e y s1 9 7 7 9 】aw i l a n s k y m o d e r nm e t h o d si nt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s m c g r a w h i l l ，n e wy o r k1 9 7 8 1 0 】t t w e d d l e u n c o n d i t i o n a l c o n v e r g e n c e a n d v e c t o r m e a s u r e s jl o n d o nm a t hs o c1 9 7 0 ，2 ：6 0 3 - 6 1 0 儿 p d i e r o l ft h e o r e mo ft h eo r l i c z p e t t i st y p ef o rl o c a l l yc o n v e xs p a c e s j m a n u s c r i p t a m a t h 1 9 7 7 ，2 0 ：7 3 9 4 1 2 】崔成1 3 d i e r o l f 拓扑，( 挑) 不必是强拓扑卢( x ，x ，) 延边大学学报( 自然科学学 报) ( 1 9 9 8 ) 2 4 ( 9 1 0 ) 1 3 cs w a r t z ag e n e r a l i z a t i o n o fm a c k e y st h e o r e ma n du n i f o r mb o u n d e d n e s sp r i n c i p l e b u l l a u s t r a l m a t h s o c 4 0 ( 1 9 8 9 ) ：1 2 3 1 2 8 f 1 4 z h a n gj i n ，a n dc h ul a n y i n g m a c k e y s w a r t z 有界定理的改进哈尔滨工业大学学报1 9 9 8 2 ( 4 ) ：4 4 7 - 4 5 5 1 5 】l ir o n g l ua n d c s w a x t ze q u i e o n t i n u t ya n du n i f o r mb o u n d e d n e s sr e n d i n s tm a t u n i vt r i e s t e2 1 ( 1 9 8 9 ) ：9 1 9 6 硕士学位毕业论文 1 6 1l ir o n g l u ，c s w