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关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 摘要 摘要 1 9 8 7 年j g t h o m p s o n 在给施武杰的一封信中提出了下面的一个与代数 数域有关的问题( 见【2 4 】的问题1 2 3 7 ) 特别在t h o m p s o n 的信中 4 8 】写到： “我已经把关于同阶型的问题告诉了很多数学工作者这个问题起源于研究 代数数域，这是我非常感兴趣的 t h o m p s o m 问题对于有限群g 和整数d 1 ，设g ( d ) = _ z6g x d = 1 ) 定义g 和日是同阶型的当且仅当i g ( d ) i = 1 日( d ) i ，d = 1 ，2 ，设g 和日是同 阶型，如果g 可解，是否日必然可解? 记丌e ( g ) 表示g 的元素阶的集合，r e ( g ) 表示g 的同阶元长度的集合 容易看出t h o m p s o n 问题也可以描述为以下的问题： t h o m p s o m 问题木设g 为有限群，令t ( g ) = ( m ，s m ) l m6 丌e ( g ) 且 8 m 丁e ( g ) ) ，这里s 仇表示g 中m 阶元的个数设t ( g ) = t ( 日) ，如果g 可解， 是否日必然可解? 本文主要从t h o m p s o n 问题入手，考虑t h o m p s o n 问题条件中的集合t ( g ) 中对象：元素阶的集合丌e ( g ) 和同阶元长度的集合( g ) 对有限群的结构的 影响 本文共分四章，主要有以下内容： 第一章介绍本文常用的符号和基本概念，及一些已有的结果 第二章讨论t h o m p s o n 问题 文 5 3 中给出了有限群g 的素图g k ( g ) 的定义，其顶点集v ( g k ( g ) ) = 丌( g ) = 如lp 为l g l 的素因子) ，边集合e ( g k ( g ) ) = 切一qlp q 丌e ( g ) ，p ，q6 y ( g k ( g ) ) ) 本章对t h o m p s o n 问题在素图非连通时给出了肯定的回答得到 了以下的结果： 定理a 若g ，h 是有限群使得g 和日是同阶型且g 的素图非连通，如 果g 是可解群，则日也可解 第三章考虑用元素阶的集合，r e ( g ) 刻画有限单群，证明了以下定理b ： 定理b 设g 为有限群，p 为奇素数若7 r 。( g ) = 7 r e ( 岛( 3 ) ) ，则当p 3 时 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 摘要 有g 竺b p ( 3 ) ；当p = 3 ，则g 兰b 3 ( 3 ) 或d 4 ( 3 ) 在1 9 8 7 年施武杰提出了单群的纯数量刻画：仅用群的元素阶的集合7 r 。( g ) 和群的阶来刻画有限单群，提出了以下的猜想： 猜想设g 和s 是有限群，s 为单群，则g 竺s 当且仅当i g i = 吲且 7 r 。( g ) = 7 r 。( s ) 上述猜想作为一个未解决的群论问题已载入【2 4 的问题1 2 3 9 目前已经 证明了该猜想除了d n ( 口) ( p 是偶数) ，b n ( g ) 和g ( g ) 外所有单群都成立本章 继续考虑如上的猜想在单群b 。( 3 ) 的情形，证明了如下的定理： 定理c 有限群g 竺b 2 m ( 3 ) 当且仅当l g l = i b z 。( 3 ) l 且r e ( g ) = 7 r e ( b 2 。( 3 ) ) 第四章考虑用同阶元长度的集合( g ) 来刻画有限群，证明了以下定理： 定理d 设g 是群( 不必为有限) 若( g ) = ，r e ( a l t n ) ，其中4 t t 6 ，则 g 竺a l t n 关键词：有限群；t h o m p s o n 问题；数量刻画 作者：沈如林 指导教师：施武杰教授 a b s tr a c t i n1 9 8 7 ，p r o f e s s o rj g t h o m p s o np o s e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e mi nh i sl e t t e rt op r o - f e s s o rs h i w h i c hi sr e l a t e dt ot h ea l g e b r i a cn u m b e rf i e l d s ( s e ep r o b l e m1 2 3 7i n 【2 4 ) i n t h o m p s o n sp r i v a t el e t t e r 4 8 】h ep o i n t e do u tt h a t “ih a v et a l k e dw i t hs e v e r a lm a t h e - m a t i c i a n sc o n c e r n i n gg r o u p so ft h es a m eo r d e rt y p e t h ep r o b l e ma r o s ei n i t i a l l yi nt h e s t u d yo fa l g e b r a i cn u m b e rf i e l d s ，a n di so fc o n s i d e r a b l ei n t e r e s t ” t h o m p s o mp r o b l e m f o re a c hf i n i t eg r o u pga n de a c hi n t e g e rd 1 ，l e t g ( d ) = _ 【z g i x d = 1 ) d e f i n eg aa n dg 2a r eo ft h es a m eo r d e rt y p ei f a n do n l y i fi g l ( d ) i = l g 2 ( d ) i ，d = 1 ，2 ，s u p p o s ega n dha r eg r o u p so ft h es a x n eo r d e rt y p e s u p p o s et h a tg i ss o l v a b l e i si tt r u et h a thi sa l s on e c e s s a r i l ys o l v a b l e ? d e n o t eb y 丌e ( g ) t h es e to fe l e m e n to r d e r si ng ，( g 1t h es e to ft h es i z e so fs a m e o r d e re l e m e n t si ng i ti se a s yt os e et h a tt h et h o m p s o np r o b l e mi sa l s od e s c r i b l e di n t o t h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： t h o m p s o mp r o b l e m 木l e tg b eaf i n i t eg r o u p d e n o t eb yt ( g ) = 【( m ，s i n ) i r a l r e ( g ) a n d8 m ( g ) ) ，w h e r e8 mm e a n st h en u m b e ro fe l e m e n t so fo r d e rm i ng s u p - p o s et h a tt ( g ) = t ( 日) i fg i ss o l v a b l e i si tt r u et h a thi sa l s on e c e s s a r i l ys o l v a b l e ? i nt h i sp a p e rw es t a r tt h ep o i n to ft h o m p s o np r o b l e m ，a n ds t u d yt h ei n f l u e n c eo n t h es t r u c t u r eo fg r o u p sb yt h es e tt ( g ) o fc o n d i t i o ni nt h o m p s o np r o b l e m ，t h a ti st h e s e to fo r d e r so fe l e m e n t s 丌e ( g ) a n dt h es e to ft h es i z e so fs a m eo r d e re l e m e n t s ( g ) t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ，t h ef o l l o w i n gi sm a i nr e s u l t s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m eu s u a ls y m b o l s ，b a s i cd e f i n i t i o n sa n ds o m ek o n w n r e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h et h o m p s o np r o b l e m i np a p e r 【5 3 ，t h ea u t h o rg i v e st h ed e f i n i t i o no ft h ep r i m eg r a p hg k ( g ) o ff i n i t e g r o u pgw h o s ev e r t e xv ( g k ( g ) ) = 7 r ( g ) = 妇ipi sap r i m ed i v i s o ro fi g i ) ，a n de d g e e ( g k ( g ) ) = p qlp q 之丌e ( g ) ，p ，q y ( g k ( g ) ) ) w eg i v eap o s i t i v ea n s w e rf o r t h o m p s o n sp r o b l e mi ft h ep r i m eg r a p ho fg i sn o tc o n n e c t i o n w ep r o v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m t h e o r e mal e tgb ef i n i t eg r o u ps u c ht h a tga n dha r eo ft h es a m eo r d e rt y p e i fgi ss o l v a b l ea n dt h ep r i m eg r a p ho fgi sd i s c o n n e c t e d ，t h e nhi sa l s os o l v a b l e i i i 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 a b s t r a c t i nc h a p t e r3 ，c o n s i d e rt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fs o m ef i n i t es i m p l eg r o u pb yt h es e t o fo r d e r so fe l e m e n t s 丌c ( g ) ，a n dw ew i l ls h o wt h ef o l l o w i n gt h e o r mb ： t h e o r e mbl e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dpo d dp r i m e s u p p o s et h a t 丌e ( g ) = 丌e ( 屏( 3 ) ) i fp 3 ，t h e ng 兰岛( 3 ) i fp = 3 ，t h e ng 笺b 3 ( 3 ) o rd 4 ( 3 ) i n1 9 8 7 ，p r o f e s s o rs h iw u j i ep u t sf o r w a r dt h ef o l l o w i n gc n j e c t u r e ： c o n j e c t u r e ：l e tga n dsb ef i n i t eg r o u p s ，a n dsb eas i m p l eg r o u p ，t h e ng 竺s i fa n do n l yi fj g i = l s ia n d 丌e ( g ) = 7 r e ( s ) a b o v ec o n j e c t u r ei sr e c o r d e dt h ep r o b l e m1 2 3 9o ft h eb o o k 【2 4 a sau n s o l v e d p r o b l e m a ss of a r ，t h i sc o n j e c t u r ei ss o l v e de x c e p td n ( 口) ( 礼e v e n ) ，b n ( 口) a n dg ( g ) i n t h i sc h a p t e r ，w ec o n t i u n et oc o n s i d e ri nt h ec a s eo fs i m p l eg r o u p sb 2 m ( 3 ) o ft h i s c o n j e c t u r e a n dw ep r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e mc ： t h e o r e mc af i n i t eg r o u pg 竺b 2 m ( 3 ) i fa n do n l yi fi g i = i b 2 - ( 3 ) ia n d 7 r e ( g ) = 7 r e ( b 2 m ( 3 ) ) i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z es o m ef i n i t eg r o u p sb yt h es e to ft h es i z e so fs a m e o r d e re l e m e n t s 兀( g ) ，a n dg e tat h e o r e ma sf o l l o w s t h e o r e mda g r o u pg ( w h i c hi sn o ta s s u m e df i n i t e ) i si s o m o r p h i ct oa ni nw h i c h 4 礼6i fa n do n l yi f ( g ) = ( a ) k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p s ；c h a r a c t e r i z a t i o n ；t h o m p s o np r o b l e m i v w r i t t e n b y ： s h e nr u l i n s u p e r v i s e db y ： s h iw u j i e 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：【磁力唱日期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： ! = 垒坠 日 期：皇21 导师签名： 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 引言 芦i 士 ji 置 有限群的阶，元素的阶，子群的阶是群论的基本数量有限群的数量关 系在决定群结构中起到很重要的作用，如l a g r a n g e 定理，s y l o w 定理，矿矿一 定理和著名的f e i t t h o m p s o n 奇阶定理对于元素的阶，从著名的b u r n s i d e 问题可以看出它在群的结构中起着很重要的作用一些著名的群论专家如 b h n e u m a n n ，g h i g m a n 以及m s u z u k i 等都研究过元的阶为特殊的集合的群 1 9 8 1 年有限单群分类定理完成后，不少群论学者试图用一些基本的数量 关系来刻画有限群在1 9 8 7 年施武杰提出了单群的纯数量刻画：仅用群的 元素阶的集合( 记为丌e ( g ) ) 和群的阶来刻画有限单群，提出了以下的猜想： 猜想设g 和s 是有限群，s 为单群，则g 笺s 当且仅当i g i = i s l 且 丌e ( g ) = 丌e ( s ) 上述猜想作为一个未解决的群论问题已载入 2 4 】的问题1 2 3 9 目前已经 证明了该猜想除了d n ( q ) ( n 是偶数) ，昂( 口) 和c n ( q ) 外所有单群都成立，见【3 3 】 若g 是有限群，令7 r t ( a ) ：= 尼n i g 有极大子群m 使i g ：m i = 七) ，即 仉( g ) 为g 的极大子群的指数的集合在文【2 3 】中黎先华证明了： 定理设g 和s 是有限群，s 为单群，则g 竺s 当且仅当i g i = l s i 且 丌t ( g ) = 丌t ( s ) 1 9 8 7 年f i e l d s 奖获得者j g t h o m p s o n 在给施武杰的一封信中提出了下面 的一个与代数数域有关的问题( 见【2 4 的问题1 2 3 7 ) 特别在t h o m p s o n 的信 中【4 8 】写到：“我已经把关于同阶型的问题告诉了很多数学工作者这个问 题起源于研究代数数域，这是我非常感兴趣的 t h o m p s o m 问题对于有限群g 和整数d 1 ，设g ( d ) = z a l z d = 1 ) 定义g 和日是同阶型的当且仅当i g ( d ) l = i h ( d ) l ，d = 1 ，2 ，设g 和日是同 阶型，如果g 可解，是否日必然可解? 容易看出t h o m p s o n 问题也可以描述为以下的问题： t h o m p s o m 问题宰设g 为有限群，令t ( g ) = ( m ，8 m ) 1 t m 7 1 e ( g ) 且 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 引言 s m 亿( g ) ) ，这里8 m 表示g 中m 阶元的个数，( g ) 表示g 的同阶元长度的 集合设t ( g ) = 丁( 日) ，如果g 可解，是否日必然可解? 在文【4 5 中，许明春博士证明了若t ( g ) = t ( 日) ，当g 幂零时，则h 也幂 零；当g 超可解时，则日可解同时t h o m p s o n 给出了具有同阶型的非可解 群的一个例子：单群3 的两个极大子群乏：a ，和三3 ( 4 ) ：z 2 但是到现在 为止还没有找到t h o m p s o n 问题的一个反例 本文主要从t h o m p s o n 问题入手，考虑t h o m p s o n 问题条件中的集合t ( g ) 的两个对象：元素阶的集合丌e ( g ) 和同阶元长度的集合( g ) ，考察他们对有限 群的结构的影响首先证明了t h o m p s o n 问题在素图非连通的时候是成立的 对于用元素阶的集合丌。( g ) 来刻画有限单群，施武杰首先发现交错单群a l t 。 仅用元素阶的集合来刻画，即如果有限群g 满足7 r e ( g ) = 7 r e ( a l t 5 ) = l ，2 ，3 ，5 ， 则g 兰a l t 5 ( 见【3 4 1 ) 在1 9 9 4 年施武杰和b r a n d l 【3 】3 证明了p s l 2 ( 口) ( q 9 ) 是可 用元素阶的集合刻画的对于p s l 。( 9 ) ，即单群a l t 6 ，他们在文【4 】中证明了不 能用元素阶集合刻画，即存在无限多个有限群使得他们的元素阶的集合和 a i r 。的一致本文继续前面的工作，证明了一类无限系列正交单群b p ( 3 ) p 是大于3 的奇素数) 是能够用元素阶的集合刻画的对于用同阶元素个数的 集合来刻画有限群，在邵长国博士的毕业论文【3 2 】的第二章证明了，有限群 g 竺a l t 5 当且仅当g 与a i r 。的同阶元个数的集合相等本文运用不同的方 法证明了这个结果，并且群g 可以是无限群 本文共分四章，主要有以下内容： 第一章介绍本文常用的符号和基本概念，及一些已有的结果 第二章讨论t h o m p s o n 问题 本节对t h o m p s o n 问题在素图非连通时给出了肯定的回答碍到了以下 的结果： 定理a 若g ，h 是有限群使得g 和日是同阶型且g 的素图非连通，如 果g 是可解群，则日也可解 第三章考虑用元素阶的集合丌e ( g ) 来刻画有限单群，证明了以下两个定 理： 2 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 引言 定理b 设g 为有限群，p 为奇素数若7 r 。( g ) = 丌e ( 岛( 3 ) ) ，则当p 3 时 有g 竺岛( 3 ) ；当p = 3 ，则g 掣b 3 ( 3 ) 或d 4 ( 3 ) 另外我们考虑以上施武杰提出的猜想，当单群是b 2 。( 3 ) 时，证明了该猜 想是成立的即我们证明了定理c 定理c 设g 为有限群，则g 竺b 2 m ( 3 ) 当且仅当i g l = i b 2 m ( 3 ) l 且7 r 。( g ) = 7 r e ( b 2 m ( 3 ) ) 第四章考虑仅用同阶元长度的集合( g ) 来刻画有限群，证明了以下的 定理d ： 定理d 设g 是群( 不必为有限) 若( g ) = ( a f 艺n ) ，其中4 佗6 ，则 g 垡a l n 最后我们讨论了i r e ( g ) i = 2 的群，分类了这样的群得到了以下的命题： 命题如果气( g ) = 1 ，珏) ，则他= 6 或矿一10 为素数) ，且g 为如下群之 一： ( a ) g 为p 群，l g l 3 且e x p ( g ) = p ( b ) g 为四元素群q 8 ( c ) g 为五 ( d ) g 为z 2 p ，这里p 是奇阶p 群且e x p ( g ) = p 本文的创新点： 1 结合非交换单群的素图的独立数目，证明了t h o m p s o n 问题在素图非 连通时是成立的 2 进一步讨论了有限单群元阶集的刻画问题，并用新的方法证明了无 穷系列单群b ( 3 ) 3 为素数) 是可刻画的进一步验证了施武杰提出的 “两阶刻画有限单群”的猜想的正确性，即对于单群b 2 。( 3 ) 是成立的 3 。用一种更为简单的方法证明了单群a l t 4 ，a l t 5 ，a l t 6 可以用同阶元长度 的集合来刻画 3 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画第一章基本概念及已知结论 第一章基本概念及已知结论 本文中的群一般指有限群，单群都是指有限单群我们所使用的群论的 术语和符号是标准的，参照r o b i n s o n 的著作【4 7 ，k u r z w e i l 和s t e l l m a c h e r 的 著作 1 9 】及徐明耀的著作【4 6 】未指出的符号可参考本文中文献 大写字母g ，日，表示群 蚓表示集合s 中元素的个数 h g 表示日为群g 的子群 h 里g 表示子群日为群g 的正规子群 i g ：h l 表示子群日在群g 中的指数 俨表示子群日在元素g 下的共轭子群，即g - 1 h 9 p 群表示阶为素数幂的群 磊表示死阶循环群 h ：k 表示群日被群k 的可裂扩张 0 p ( g ) 表示g 的所有s y l o wp - 子群的交 丌e ( g ) 表示g 的所有元素阶的集合 ( g ) 表示g 的所有同阶元素长度( 或个数) 的集合 s m ( g ) 表示g 中m 阶元的个数，简记为 丌表示某个素数集合 霄表示礼的丌一部分，即使得素因子为丌的n 的最大的因子并记l 礼i p 为扫) 丌( 佗) 表示群自然数他的素因子的集合并记丌( g ) 为刀- ( i a l ) 群g 中元素阶有时也称为群g 的谱集合丌e ( g ) 关于数字的整除关系构 成一个偏序，记u ( a ) 为集7 r e ( g ) 在这个偏序下的所有极大的元现我们在 素数集丌( g ) 上定义一种图，如下： 4 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画第一章基本概念及已知结论 定义1 1顶点集为丌( g ) ，两顶点r ，8 有一条边( 或者相连) 当且仅当 r s 丌e ( g ) 这种图称为群g 的素图或者g r u e n b e r g - k e g e l 图，记为r ( a ) 或 g k ( g ) 群g 的素图分支记为r ( g ) ，i = 1 ，2 ，s ( g ) ，这里s ( a ) 称为g 的素 图连通分支数并记n ( g ) 的顶点集为死( g ) 称i g i 以为g 的第i 个阶分量 若g 是偶阶群，规定2 7 1 1 ( g ) 并记胁( g ) ：= 似p ( g ) l 丌( p ) 孔( g ) ) 对于有限群的素图分支数s ( g ) ，从文【5 3 】，【17 】可以看出它是有上界的 定理1 2 有限群g 的素图分支数至多是6 素图分支数目大于1 ( 即素图非连通) 的群的结构由g r u e n b e r g 和k e g e l 给 出，见【5 3 的定理a 和推论如下 定理1 3 a 若g 为素图分支数大于1 的有限群，则g 是如下群之一： ( a ) f r o b e n i u s 群或2 - f r o b e n i u s 群 ( b ) 单群 ( c ) 丌，群被单群的扩张 ( d ) 单群被丌。可解群的扩张 ( e ) 丌，群被单群的扩张，然后被丌，群的扩张 如上定理1 3 a 不难可以描述为以下的定理( 如见文【5 0 】) 定理1 。3 b 如果g 是一有限群，其素图分支的个数s ( a ) 2 ，则 ( a ) s ( c ) = 2 ，且g 是f r o b e n i u s 群或2 - f r o b e n i u s 群，即g = a b c ，这里a 和 a b 是g 的正规子群，a b 和b c 是分别以a ，b 为核和b ，c 为补的f r o b e n i u s 群 ( b ) 存在非交换单群5 ，使得s 否：= g n5a u t ( s ) ，这里是g 的 极大可解正规子群且和- o n 是7 f l ( g ) 子群，s ( s ) s ( a ) 2 且对每个 2 i s ( g ) ，存在2 ；i s ( s ) 使得胁( g ) = r e ( s ) 。 定理1 3 a 的证明本质上依赖g 的素图r ( a ) 中顶点7 r ( g ) 包含一个与2 不 相连的奇素数这种非连通性成功的被更弱的条件代替，即r ( c ) 中素图非 连通改为r ( a ) 中存在一个与2 非连通的奇素数，见v a s i l e v 的文章【5 0 本文 沿用 5 0 】的记法记 5 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 第一章基本概念及已知结论 p ( g ) ：= 协u ( c ) l 任何i j 都有p i 与乃不相连，并使 得任意p 7 r ( g ) 存在某个a 与p 相连) 即p ( c ) 是r ( c ) 中顶点两两非连接的个数最大的丌( g ) 的子集，称为g 的素 图r ( c ) 的独立集当然p ( a ) 可能不唯一记t ( c ) ：= p ( c ) l ，称为g 的独立 数类似p ( r ，g ) 表示丌( g ) 中含素数r 的两两非连接的个数最大的丌( g ) 的子 集，称为g 的卜独立集。 t ( r ，g ) ：= l p ( r ，g ) i 为g 的r - 独立数在文【5 0 】中 v a s i l e v 推广了c r u e n b e r g 和k e g e l 的结果，刻画了t ( 2 ，g ) 2 且t ( c ) 3 的有 限群在文f 5 1 】中v a s i l e v 和g r o r s h k o v 修改了 5 0 】的结果，得到以下更好的 结果 定理1 4 设g 是有限群满足t ( 2 ，g ) 2 且t ( c ) 3 则以下成立 ( a ) 存在非交换单群s 使得s 召= c n a u t ( s ) ，这里是g 的极大 可解正规子群 ( b ) 每个g 的独立集的子集p 满足l p l 3 ，则p 中至多一个素因子整除 l n il - 百s 1 特另u it ( s ) t ( a ) 一1 ( c ) 下列之一成立： ( c 1 ) 每个不与2 连接的素数r 丌( g ) ，则r 不整除i n l i - o l s l 特别， t ( 2 ，s ) t ( 2 ，g ) ( c 2 ) 存在与2 非连接的素数r 7 r ( ) ，且t ( c ) = 3 ，t ( 2 ，g ) = 2 ，且s 竺a i t 7 或l 2 ( q ) ( g 奇数) 对于素图非连通的单群，由w i l l i a m s 5 3 】和k o n d r a t e v 1 7 】给出分类 定理1 5 若s 是单群且素图分支数s ( s ) 2 ，则s 为附录的表1 - 3 的群 在文 2 2 】中l u c i d o 给出了具有非连通素图的几乎单群的分类 定理1 6 设s 是单群若s g a u t ( s ) 且s ( a ) 2 ，则g 为附录的表 4 6 的群 若单群s 有非连通的素图，则胁( s ) ( i 之2 ) 的个数由k o n d r a t e v 和m a z u r o v 给出，证明了对于i 2 一直有( s ) i = 1 ，如见文【2 5 】的引理1 不妨记地( s ) 的唯一元为他( s ) ，或简记为啦对于交错单群和散在单群s ，容易看出，啦( s ) 6 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画第一章基本概念及已知结论 恰为s 的i 个阶分量对于l i e 型单群，k o n d r a t e v 和m a z u r o v 证明了 定理1 7 设s 是有限单群且素图非连通记仉为m ( s ) ( i 2 ) 则以下 成立： ( a ) 群s 包含一个交换的h a l l 丌( ) 子群正进一步正是仇阶循环子 群，除了以下两种情形： ( a 1 ) s 笺l 3 ( 4 ) ，( s ) = 3 且正是9 阶初等交换群 ( 0 2 ) s 竺l 2 ( 口) ，这里q 是不为素数的奇数，若是奇素数p 的幂，则啦( s ) = p 且正为q 阶初等交换p 群 ( b ) s ，7 f l ( s ) ，n ( 2 i s ( s ) ) 在表1 - 3 中给出 对于有限非交换单群sj d ( s ) ，t ( s ) ，t ( 2 ，s ) 及对特征为p 的l i e 型单群的 t ( p ，s ) 的值由v a s i l e v 和v d o v i n 在文【5 2 】中给出 定理1 8 若s 是交错单群和散在单群，则j d ( s ) ，t ( s ) ，p ( 2 ，s ) ，t ( 2 ，s ) 分别 在表7 ，8 中给出若s 是特征为p 的l i e 型单群，则p ( p ，s ) ，t ，s ) 在表9 中 给出，p ( s ) ，t ( s ) 在表1 0 中给出若p 2 ，则p ( 2 ，s ) ，t ( 2 ，s ) 在表1 1 中给出 综合定理1 5 和1 8 我们可得到素图非连通特征为r 的l i e 型单群s 的 t ( r ，s ) 和t ( s ) 的值 定理1 9 若s 是特征为r 的l i e 的型单群且素图非连通，则当t ( s ) ，( s ) 的值7 时，t ( ns ) ，t ( s ) 和m ( s ) 的值由附录表1 2 给出；其他的情形由附录 表1 3 给出 7 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画 第二章关于t h o m p s o n 问题 2 1 引言 第二章关于t h o m p s o n 问题 1 9 8 7 年f i e l d s 奖获得者j g 。t h o m p s o n 在给施武杰的一封信中提出了下面 的一个与代数数域有关的问题( 见 2 4 】的问题1 2 3 7 ) 特别在t h o m p s o n 的信 中【4 8 】写到：“我已经把关于同阶型的问题告诉了很多数学工作者这个问 题起源于研究代数数域，这是我非常感兴趣的” t h o m p s o m 问题对于有限群g 和整数d 1 ，设g ( d ) = z g = 1 ) 定义g 和日是同阶型的当且仅当l g ( d ) l = 1 日( d ) i ，d = 1 ，2 ，设g 和日是同 阶型，如果g 可解，是否日必然可解? 容易看出t h o m p s o n 问题也可以描述为以下的问题： t h o m p s o m 问题，c 设g 为有限群，令t ( g ) = ( m ，s i n ) i r a 孔( g ) 且 8 m 兀( g ) ) ，这里8 m 表示g 中m 阶元的个数，( g ) 表示g 的同阶元长度的 集合设t ( g ) = t ( 日) ，如果g 可解，是否日必然可解? 在文【4 5 】中，许明春博士证明了若t ( g ) = t ( 日) ，当g 幂零时，则日也幂 零；当g 超可解时，则日可解同时t h o m p s o n 给出了具有同阶型的非可解 群的一个例子：单群尬3 的两个极大子群乏：a ，和l 3 ( 4 ) ：历但是到现在 为止还没有找到一个反例 本章我们将证明如下的定理a ： 定理a 若g ，日是有限群使得g 和是同阶型且g 的素图非连通，如 果g 是可解群，则日也可解 2 2 一些引理 首先我们有数论的引理，见( 5 4 】，如下 8 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画第二章关于t h o m p s o n 问题 引理2 2 1 设口，死为整数且q 2 则除了以下两种情况外，一定存在某 个素数h 使得lq n 一1 ，但任意i 1 是m g ) 2 ) 的 任何元的因子，则l 尬( m ) l = l 蚝( m ) 1 1 n i ，i 崦( m ) i = i m s ( m ) 1 证明设z g 且o ( x ) = m 因为7 r ( ) 7 r ，( g ) = 7 r ，( f ) 和7 r ( m ) 7 r t ( f ) = 仉( g ) ( i 2 ) ，我们有( m ，1 9 1 ) = 1 因此o ( z ) = o ( x n ) 事实上，设o ( z n ) = 礼， 因( z ) m = z m = n ，则h i m 反之，根据n = ( z ) n = 扩n ，我们有扩n 当然，可以推出d ( 扩) il i ，但是o ( x n ) = 孟= 南，于是南ll l ，因此 焉= 1 ，我们有r a i n 即有m = 佗另一方面，如果存在g 中的元可使得 o ( y ) m 和o ( y l v ) = o ( z ) ，则o ( x n ) l o ( y ) ，即m l o ( y ) ，我们可以假定o ( y ) = m q ( q 1 ) 且存在q 的素因子r 使得r 乃( g ) ( i 歹) ，( 否则，q 是胁( g ) 的某个元 的因子，我们从上面有o ( y n ) = o ( y ) = m q ，矛盾) 这样丌t ( g ) 和乃( g ) 在g 的 素图中是连通的，矛盾因此，o ( y ) = m 于是l 崦( m ) l i m f ( m ) i = i m a ( m ) 1 进一步，陪集x n 中的每个元都有阶m ，这样就有l m a ( m ) i = i m 虿( m ) i l i v i 对于剩下的部分，因为召是几乎单群，吞是单群s 被虿s 的扩张我们 选择召s 的一个陪集表示_ 耖。，秒2 ，肌) ，这里y i 0 ，当然，根据陪集分解， 虿中每个元都能写成玑s 的形式，这里1 i c 且s s 因为o ( y t s ) = o ( y t s s ) ， 我们有o ( y i s ) l d ( 轨s ) 如果玑s s ，根据如上条件- o i s 是丌，( g ) 一子群，我们有 丌( o ( 玑s ) ) 丌。( 虿) ，因此存在存在o ( y i s ) 的一个素因子使得它也属于丌( g ) 如 果, f r o ( s ) ) 死( 召) ( i 2 ) ，因为r 1 ( 百) 和叽( 召) 在虿的素图中不连通，则召中 的每个不属于s 的元没有d ( s ) 因子的阶因此，l m y ( m ) i = i m s ( m ) 1 口 1 0 关于t h o m p s o n 问题及有限群的数量刻画第二章关于t h o m p s o n 问题 引理2 2 5 设s ，百与引理2 2 4 相同则t ( s ) = t ( - c ) ，这里s 不为a 1 ( 口) ， a 2 ( g ) ，a 3 ( 2 ) ，a 3 ( 3 ) ，a 3 ( 5 ) ，2 a 2 ( 口) ，2 a 3 ( 3 ) 证明首先，如果s = 吞，当然t ( s ) = t ( 召) 因此我们可以假定s 5 警】 2 1 z + 1 ，因此 np ( a l ( g ，) ) = 故t ( s ) = t ( 百) 如果z 3 ，则由【1 5 】很容易验证s = a 1 ( 口) ， a 2 ( 口) ，a 3 ( 2 ) ，a 3 ( 3 ) ，a 3 ( 5 ) 是例外的情况如果q 是图自同构，则r = 2 因为在 l 4 时，2 不属于p ( a l ( 口，) ) ，我们有t ( s ) = ( 虿) ( i i ) s = 2 a z ( ) ，这里l 或2 + 1 是奇素数我们可以假定q 是域自同 构，则“= 7 r ( 2 a l ( g ) ) ，这里9 7 = q r 且7 = l ( 或2 + 1 ) 如果z + 1 5 ，则 p ( 2 a l ( q 7 ) ) =