（基础数学专业论文）素子模的推广.pdf

硕士学位论文 摘要 本文首先讨论了环与模范畴中一个重要的子模类一弱素子模的一些性质，然 后，通过弱素子模给出弱孤立子模的定义，并且证明了若m - m 。o 膨：为d u o 模，且满足l 为m ，的弱孤立子模，：为m ：的弱孤立子模，则10 2 为m 的 弱孤立子模最后，引入了局部弱孤立子模的概念并讨论它的一些性质以及等价 刻厨 关键词：素子模；弱素子模；孤立子模；弱孤立子模；局部孤立子模；局部弱孤 立子模 素子模的推广 - 自e i = 目= 自自自= ；= = 自晕自g = | | 自e = i | 自= = ! 自自= ! ! = ! = g = e 自目= l ip i e l = ! _ 一 a b s tr a c t t h ew e a k l yp r i m es u b m o d u l e sp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h es t u d yo fr i n g sa n d c a t e g o r i e so f m o d u l e s i nt h ep a p e r , s o m ep r o p e r t i e so fw e a k l yp r i m es u b m o d u l e sa l e d i s c u s s e d a tt h es a m et i m e ，t h ed e f m i t i o no fw e a k l yi s o l a t e ds u b m o d u l 伪i sg i v e n a n di t sp r o p e r t i e sa l ei n v e s t i g a t e d i ti sp r o v e nt h a ti fm m 1 o 肘2i sd u o m o d u l e s u c ht h a t li s w e a k l y i s o l a t e ds u b m o d u l eo f m l ，2 i s w e a k l yi s o l a t e d s u b m o d u l eo fm 2 ，t h e n lo 2i sw e a k l yi s o l a t e ds u b m o d u l eo fm f i n a l l y , t h e n o t i o no fl o c a l l yw e a k l yi s o l a t e ds u b m o d u l c si sp o s e da n di t sp r o p e r t i e sa r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：p r i m es u b m o d u l e ；w e a k l yp r i m es u b m o d u l e ；i s o l a t e ds u b m o d u l e ；w e a k l y i s o l a t e ds u b m o d u l e ；l o c a l l yi s o l a t e ds u b m o d u l e ，；l o c a l l yw e a k l yi s o l a t e ds u b m o d u l e 素子模的推广 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 卢，3 、往 日期：劲i 。年6 月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文 收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服 务。 作者签名：芦、7 ，棱 神檄、彦 日期：如。年占月厂e 1 日纱年占只| 日 硕士学位论文 第一章引言 1 1 模论的研究背景及其意义 模是向量空间的直接推广，同时我们可以看到很多的数学对象可以统一到模 的旗帜之下，用模论的观点统一的叙述，并加以研究，使得其结构得到彻底的解 决我们可以将交换群看作整数z 上的模，线性变换对线性空间的作用可以看作 以入为不定元的多项式环f 入 上的模研究这样的模结构，实际上是研究主理 想整环上的有限生成模的结构，这将导致有限生成的a b e l 群和线性变换的矩阵 的标准型的理论和矩阵相似性问题得到彻底的解决这让我们看到两个看似不相 关的课题在模论那里得到统一，并且用模论的统一术语阐述我们知道数学的重 要任务是研究客观物质世界的内部结构，而真正能够研究清楚的并不多二十世 纪八十年代，有限单群结构的解决在数学的发展历史上具有重要的里程碑的意 义，而这个探索的发展经过了漫长的发展进程当今研究代数系统的结构仍然是 代数学的一个艰巨的任务，模论依然是研究他们的一个非常有力的工具模的概 念在代数学中似乎首先出现于代数数论中，也就是出现在对代数数环的一些子集 的研究中，这些子集在加法和已指定的子环的元相乘的乘法下是封闭的模在代 数学里第一次成为一个重要工具是在本世纪二十年代后期很大的程度上应归功 于e m m yn o e t h e r 的洞察力，她首先认识到模这个概念的潜能特别地，她注意这 个概念可以沟通数学里两个各自独立进行的重要的进展：f r o b e n i u s ，b u r n s i d e 和s c h u r 的有限群的矩阵表示论以及m o l i e n ，c a r t a n 和w e d d e r b u r n 的代数结构 论到了四十年代，由于环论的需要以及同调代数的兴起，模的理论更进一步得到 了发展模和环的发展是相互促进的，也就是说研究模为更好地刻划环，环也为 研究模提供了基础我们提出及研究一类特殊的模并研究其性质是为了更好地研 究相关的环特殊的模与模之间的一些性质与联系刻划了特殊的环与环之间的一 些性质与联系一个新定义给出的意义就是看它是否与已经存在的事物具有联系， 只有具有联系才能更有力地说明我们给出的新定义具有很好的价值在环与模范 畴中，素子模和根子模都起着很重要的作用，也是研究很多重要环类的工具在这 两类子模的基础上提出了孤立子模，是为了更好地研究这两类子模，也为进一步 刻划一些常见的环起了重要作用本课题就是把环与模范畴中这一重要子模类一 素子模的推广 素子模进行延拓，引入弱素子模，并进一步研究它们的性质以及与其他模之间的 联系，通过弱素子模，引入弱孤立子模，希望能为进一步研究环和代数提供一种 好的方法众所周知，素子模包括素理想是素数的推广，这让我们看到素子模在环 与模范畴中起着类似与素数在整数环中的重要作用，在某种程度上，子模也有唯 一分解的属性，不仅如此，素子模也在代数数论，代数几何和代数拓扑中扮演着 越来越重要的角色我们在素子模的基础上给出的弱素子模，包括弱孤立子模， 这推广了素子模与孤立子模的研究范畴，这必将给代数学的研究带来新的气息 1 2 素子模，弱素子模与孤立子模的研究现状 自四十年代模理论得到重视以后，国内外许多的数学工作者在进行环与模这 方面的研究有关这方面的成果也层出不穷文献【1 卜1 5 j 都介绍了有关素子模一些 性质文献l 6 h l o 】介绍了有关弱素子模一些性质我们知道环上有素理想的概念， 它在代数数论，代数几何与代数拓扑中有广泛的研究，并且它具有很好的性质 最近素理想也被引入到模糊数学的领域文献【1 5 j 给出了半环上的模糊素理想 的概念和几种刻画方式，得到了它的一些性质，进一步定义了模糊素理想，获得 了很好的结果环r 上的许多性质要利用环r 的素理想来刻画，自然许多数学工 作者把素理想的概念推广到素子模关于这方面的研究可参见文献【1 6 j 这样 我们就可以利用模本身的内在性来研究模模的维数就是利用素子模链的长度来 定义的当然素子模也有很好的性质，有关这方面的成果不断涌现1 9 9 5 年， f g w a n g 和r l g c c a s l a n d | 2 1 j 研究了具有秩为t 的极大子模；2 0 0 1 年肖民卿和 辛林【1 6 j 讨论了广义逆多项式模的相伴素理想和素子模，指出它们与交换环r 上模 m 的相伴素理想和素子模的关系：2 0 0 3 年，p y d il e k 2 2 j 研究了交换整环中有限 生成自由模的素子模；2 0 0 5 年宋传宁1 2 3 j 对自由模f 的素子模进行了刻画，并给 出了自由模的素子摸的结构为( p f 肛，：，心，p 是r 的素理想，段是剐p 上线 形性无关元，1 墨f 墨s ) 现在做这方面的数学工作者也很多，国内有福建师范大学 的肖民卿，辛林和上海师范大学的宋传宁等，四川师范大学的王芳贵：国外的有 j d a u n s ，r l m c c a s l a n d ，p f s m i t h ，a z i z i ，m b e h b o o d i 和h k o o h y 等代数 工作者下面介绍弱素子模的研究现状自素子模的概念提出以后，许多代数工作 者志立于推广素子模的研究范畴在2 0 0 3 年，m b e h b o o d i 和h k o o h y 6 引入了 弱素模，随后研究了弱素子模的根，弱素子模的维数，同时研究了弱素子模在乘 2 硕士学位论文 法模的条件下是素子模孤立子模是在素根的基础上提出的，是一个比较新的课 题2 0 0 0 年，t h f a y 和s v j o u b e r t 在文献1 2 4 j 定义了铲孤立子模并讨论了当 q = r 时每个子模是孤立子模与r 是除环是等价的2 0 0 6 年苏格兰数学家 r l m c c a s l a n d 和p f s m i t h 【1 1 j 提出了孤立子模的概念，他们给出了孤立子模 的每个真子模被包含在它的素子模中，在一般情况下这个结论的逆命题一般不成 立，但当n 是直和项时逆也是成立的，进而推出有限生成的直和项是孤立子模 同时并给出孤立子模的一些等价条件：m 的子摸n 是孤立子模当且仅当对n 的 每一个真子模h ，存在m 的素子模k ，使得h k ，但旺k m 的子摸n 是孤立 子模当且仅当对m 的每个子模n 和r 的每个理想i 有n a i n m 的子摸n 是孤立子模当且仅当对m 的每个子模n 和r 的每个左本原理想p ，有 n 肼一p n p 是r 的左本原理想，尺肛是a r t i n a n 环，左r 一模m 的有限生成 子模n 是孤立的当且仅当对r 的每一个左本原理想p 使尸一n 跗等孤立子 模与有限生成子模，直和项的关系是在r 是交换环，m 是r 上的投射模，n 是m 的有 限生成子模的条件下n 是孤立子模与n 是直和项是等价的：在r 是主理想整环，m 是r 上的模，n 是m 的有限生成的根子模的条件下n 是孤立子模与n 是纯子模是 等价的，等等 1 3 本文的主要工作概述 在本文中，我们首先讨论了弱素子模的一些性质，并证明了通过满同态建立 了包含同态核的弱素子模与弱素子模的一一对应；其次，我们给出了弱孤立子模 的概念，并探讨了它的一些性质，给出了它的等价刻画，并证明了若 m a m 。o m ：为d u o 模，且满足l 为m ，的弱孤立子模，：为m ：的弱孤立子模， 则1o ：为m 的弱孤立子模，且通过同态映射建立了包含同态核的弱孤立子模 与弱孤立子模的一一对应 3 素子模的推广 第二章基础i l i 知识 弟一早 荃田刘状 本章所涉及到的环r 为有单位元的结合环，模m 为左r 模m 表示n 是m 的子模，c 肘表示n 是m 的真子模，尺表示i 是r 的理想 定义2 1 【1 】设kcm ，称k 为m 的素子模，是指对任意m 和，r ，若 i ngk ，则k 或者i m k 定义2 2 【l 】在交换环r 中，设kcm ，称k 为m 的素子模，是指对任意 ，r ，m m ，若 m k ，则m k 或者r m k 在交换环中，定义2 1 与定义2 2 是等价的 定义2 3 【l 】设kcm ，称k 为m 的准素子模，是指对任意cm 和，gr ， 若肼k ，则k 或者存在ke z + ，使得，m k 定义2 4 f l 】在交换环r 中，设kcm ，称k 为m 的准素子模，是指对任意 ，e r ，me m ，若册e k ，则me k 或者存在ke z + ，使得，m k 在交换环中，定义2 3 与定义2 4 是等价的 定义2 5 【2 】设_ cm ，厶为包含n 的素子模，则称所有厶的交为n 在m 中 的素根，记为t a d ( ) 定义2 6 n 设kcm ，称k 为m 的弱素子模，是指对任意m 和么，b r ， 若a b nc a _ k ，则删k 或者b n k 定义2 7 7 】在交换环r 中，设kcm ，称k 为m 的弱素子模，是指对任意 a , b g r ，肌u m ，若a b m k ，则口m k 或者b m k 在交换环中，定义2 6 与定义2 7 是等价的 定义2 8 m 设kcm ，称k 为m 的弱准素子模，是指对任意c _ m 和 a ，b r ，若a b n k ，则州k 或者存在k z + ，使得曰k 4 硕士学位论文 定义2 9 【l o 】设kcm ，称k 为m 的弱准素子模，是指对任意n ，b e r ，朋e m ， 若a b m k ，则a m k 或者存在k e z + ，使得b 小k 在交换环中，定义2 8 与定义2 9 是等价的 定义2 1 0 7 。设nc - m ，厶为包含n 的弱素子模，则称所有厶的交为n 在m 中的弱素根，记为w r a d ( ) 定义2 1 1 1 2 称模m 为乘法模，是指对m 的任意子模n ，都存在r 的理想i ， 使得n = i m 定义2 12 【2 6 j 设肘，称n 为m 的完全不变子模，若对m 的任意自同态厂， 有厂( ) n 定义2 1 妒3 】称m 为d u o 模，若m 的任意子模都是完全不变的 定义2 1 4 a 2 1 称m 为单列模，若m 的任意子模按包含关系可以比较大小的 定义2 1 5 2 5 1 称环r 是局部环，若r 有唯一的极大理想 定义2 1 6 t 2 1 称m 为分配模，若对m 的任意子模f ，g 满足下列两个等价条件 1 ) fn ( g + ) i ( fng ) + ( fnh ) 2 ) f + ( gn 日) t ( f + g ) n ( f + 日) 定义2 1 7 【矧设s 为r 的乘法子集，称s 为r 的乘法集，若s 满足以下两个 条件： 1 ) 1 s 2 ) 若a ，6 s ，贝i j 口6 s 定义2 1 8 f 2 6 j 设彳肘，称a 为m 的极大子模，是指若存在口肘，使得 a cb m ，则b = m 引理2 1 9 1 2 6 1 i 漫a ：m _ 为模同态，恤雌，m ；肘 和饥 ，n i m j ， 分别表示m 。n 的子集则下列条件成立： 5 素子模的推广 1 ) 口( 旧m r ) ；日a ( m ；) ，a 1 ( n 日n ；) = n 目口4 ( ；) 2 ) g - 1 ( 斟m ) 魁口( j r ；) ，a ( n 甜m r ) n 旧a ( m t ) 3 ) 若对任意的f ，有i i m a ，则口以( 树j ) = 魁口。( f ) 若对任 意的f ，有k e r ac _ m i ，则口( n 日m j ) c n 旧a ( m i ) 引理2 2 d 2 6 1 设a ：a 一b 为模同态，那么 1 ) u a ，则口以 ) ) = u + k e r ( a ) ； 2 ) v b ，则a 似- 1 ”。y n i m ( a ) 引理2 2 p a j 设彳cm ，则下列说法等价： 1 ) a 是m 的极大子模 2 ) 对任意的m m 、a ，有m ，o n + a 硕士学位论文 第三章弱素子模 本章所涉及到的环均为有单位元的交换环，模m 为r 模m 表示n 是m 的子模，j r r 表示r 的理想关于素子模及弱素子模的研究，参见文献 q - 1 0 素子模是弱素子模，但弱素子模不必是素子模，相应地，准素子模是弱 准素子模，弱准素子模也不必是准素子模例如r 是整环，p 是r 的非零素理想， 可以验证p o ( 0 ) ，( 0 ) 0 p 和p g l ) 是弱( 准) 素子模，但不是( 准) 素子模下面给出 弱素子模的一些性质 命题3 1设m 是限生成的r 一模，q 是m 的弱准素子模，且对任意的me m ， ( q ：m ) 是根理想，则q 是弱素子模 证明假设a b m e q ，j j a m 圣q 由于q 是弱准素的，则6 ( q ：掰) ，又 ( q ：m ) 是根理想，所以( q ：m ) = ( q ：朋) 故b e ( q ：所) o j b m q 所以q 是弱素 子模 定理3 2 如果n 和l 是m 的子模，则n 工；w r a d nnw r a d l 当且仅当 n 是弱素根子模且w r a d ( n ) 一w r a d nn w r a d l 证明假设n ；w r a d nn w r a d l ，则w r a d ( nn ) 2w r a d nn w r a d l 由于w r a d ( nal ) w r a d nnw r a d l 总是成立的，所以可以得到w r a d ( nn 工) = w r a d nnw r a d l 同时nl w r a d nn w r a d l1 w r a d ( nnl ) 反之，由n 是弱素根且w r a d ( n o aw r a d nn w r a d l 则显然可证得 nl a w r a d nnw r a d l 引理3 3 设m 是有限生成的r 一模n 和l 是m 的子模，则阳州+ r a d l m 当且仅当n + l = m 证明见文献 3 ，定理2 6 】 定理3 4设m 是有限生成的r 一模n 和l 是m 的子模，则 w r a d n + w r a d l m 当且仅当n + l = m 7 素子模的推广 证明 由于n w r a d | i f ( ) 和lcw a a d | i ，伍) ，显然如果n + l = m 则 w r a d n + w x a d l m 反之，假设w r a d n + w r a d l m ，且n + l m 由于m 是有 限生成的，则存在m 的极大子模k 满足+ l k 由于k 是极大的，所以是素 的，也是弱素的由k 得w r a d n k ，由k 得w r a d l k ，所以 w r a d n + w r a d lgk ，与1 段设矛盾 推论3 5 设m 是有限生成的r 一模n 和l 是m 的子模，则r a d n + r a d l 。m 当且仅当w r a d ( n ) + w r a d 犯) 一m 证明由引理3 3 与定理3 4 立即可得 推论3 6 设r 是有单位元的交换环，i ，j 是r 的理想，则7 + 7 。r ，当 且仅当i + j ：r 定理3 7 设m 是r 一模如果对任意的l ，2 ，虬m ，且对任意f j ， 任意的朋m ，满足( n ；：胁) 与( ；：m ) 是互素的，则成立 w r a d m ( ln 2n 。) 2 w s a d j | i ，n 1n w r a d j i f n 2n o w r a d m 乙 证明w r a d 肘( 1n 2n 乙) w r a d j i ，n ln w r a d 肘n 2n n w a a d j i f n 。是 显然的如果p 是m 的一个弱素子模，满足，n 2n 。尸，则 ( m ：朋) n ( 2 ：m ) n n ( m ：m ) 一0 v , a n 2n 虬：m ) ( p ：m ) 由于p 是一个 弱素子模，得到( p ：所) 是素理想，不失一般性，我们有( m ：m ) ( p ：m ) 如果对 b 1 ， ( j ：册) ( p ：朋) ，则同时有( 1 ：m ) ( p ：历) 与( i v i ：朋) ( p ：胁) ，则 ( j r 。：小) + ( j ：历) ( 尸：朋) 这与( m ：肌) 与( i ：历) 是互素的条件矛盾因此我 们有( 1 ：小) ( p ：册) 且对b1 ，( i ：朋) 旺( p ：朋) 下面证明l p 设 m e v , p 取( m ：肼) p ：朋) o 1 ) 令rir 2 r 3 考虑朋v h y me n l ， 我们有朋1 ，同时由于，的取法，我们得到册m ，( f 1 ) 因此 删1an 2n 虬p 另一方面，由于p是弱素的， 8 硕士学位论文 e o v , ：肌) 妒：朋) ( f 1 ) ，得到堋诺p 矛盾因此n 1 p 这样我们就证明了 对包含n 。n n ：n 虬的弱素子模p ，必包含其中的一个m ，这意味着 w r a d j i f ( n ln 2n 。) w r a d j l ，n lf 3w r a d m n 2r l r lw r a d j i f 虬完成证明 引理3 8 设r 是有单位元的交换环，m 是有限生成的r 一模则下面条件等价： 1 ) 不存在m 的素子模p ，使得n p 且( ：m ) + ：肘) ( p ：m ) 2 ) ( ：m ) + 仁：m ) = r 证明见文献 3 ，定理2 7 】 定理3 9 设r 是有单位元的交换环，m 是有限生成的r 一模则下面条件等价： 1 ) 不存在m 的弱素子模p ，使得n 三p 且( ：m ) + 犯：肘) ( p ：肘) 2 ) ( ：m ) + 犯：m ) 一r 证明 1 ) j2 ) 假设( ：m ) + 但：m ) 一r 则由z o r n 引理，存在r 的极大理想 m ，满足( ：m ) + 伍：m ) gm ，显然也有( ( nl ) ：膨) gm 则由文献 5 存在m 的素子模，也是弱素子模p ，满足n p ，且p ：m ) j i l lm ，这意味着 ( ：m ) + 犯：肘) ( p ：m ) 但( 尸：m ) r 矛盾 2 ) 兮1 ) 假设存在m 的弱素子模p ，使得nl p 上l ( n ：m ) + o ：肘) ( p ：m ) 由( n ：m ) + 犯：m ) = r 得到( p ：m ) tr 矛盾 推论3 1 0 设r 是有单位元的交换环，m 是有限生成的r 一模则下面条件等 价： 1 ) 不存在m 的素子模p ，使得n l p 且( ：m ) + ：m ) ( p ：m ) 2 ) 不存在m 的弱素子模p ，使得n 工p 且( ：m ) + ：肼) 妒：m ) 定义3 1 1 模m 的弱素子模的维数定义为 w d i m m = s u p 慨c 只c c 丑l 为m 的弱素子模 定理3 12 如果r 是一维整环，m 是有限生成的一维扭模，则下列叙述等 价： 1 ) 0 是m 的弱素子模 9 素子模的推广 2 ) 对任意有区别的弱素子模只，最，有只n 最= 0 3 ) 每个非零子模只包含在一个弱素子模中 4 ) 每个非零弱素子模是极大的 证明1 ) 号2 ) 首先由m 为有限生成扭模，贝l j a n n 似) 一0 由0 是弱素的，我们 有a n n ( m ) 是r 的素理想，且0ca n n ( m ) 如果p 是m 的任意非o 的弱素子模， 则0c a n n ( m ) ( p ：m ) 由r 是一维整环，得a n n ( m ) 一( p ：m ) 因此对任意有 区别的弱素子模置，最有( 只：m ) ；( 最：m ) 一a n n ( m ) ，且毋n 只是弱素的我们 有弱素链0 c _ 只n bg 只，但由于m 是有限生成的一维扭模，所以包含中必有等 号如果置nb 一只，则只c 只，这与有区别的弱素子模矛盾因此只一0 同理 b 一0 所以丘n 最- 0 2 ) j3 ) 因为每个子模包含在一个极大子模中，也即素子模，弱素子模中现 在设n 是m 的非零子模，满足丑，且b ，则只n 只= 0 ，矛盾 3 ) 辛4 ) 由每个极大子模是弱素子模，立即可得 4 ) 辛1 ) 由于m 是有限生成的一维扭模，则存在弱素子模只c 最又由于每个非 零弱素子模是极大的，因此只= 0 从而0 是m 的弱素子模 定理3 1 3 如果r 是一维整环，m 是r _ 模，o 是弱素子模，则对m 的所有 真子模n ，或者( 0 ：m ) l0 ，或者( 0 ：m ) 一( n ：m ) 证明 假设( o ：m ) ，0 ，由于o 是弱素子模，则( o ：m ) 是r 的素理想，又 由于r 是一维整环，得( 0 ：m ) 是r 的极大理想对m 的任意子模n 有 ( 0 ：m ) ( ：m ) 如果n 是真的，则( ：m ) 一r 由于r 是一维整环，得 ( 0 ：m ) i ( ：m ) 定理3 1 4 如果r 是一维整环，m 是有限生成的扭模，0 是弱素子模，则存 在r 的素理想p ，满足如果r 岱p ，则r m m 1 0 硕士学位论文 证明 取p 一( 0 ：肘) 则由m 是有限生成的扭模，得到pa ( 0 ：m ) ，10 任意 的，隹p ，如果r m 乒m ，r m 是m 的真子模，则根据定理3 1 3 ，有 ( r m ：肘) = ( 0 ：m ) ，这蕴含着，( 0 ：m ) 矛盾 素子模的推广 第四章弱孤立子模 本章所涉及到的环均为有单位元的结合环，模m 为左r 模m 表 示n 是m 的子模，尺表示r 的理想 在文献 6 】中，m b e h b o o d i 和h k o o h y 引入弱素子模，并且指出弱素子模不 必是素子模，而且与素理想比较，弱素子模的定义更加自然而在文献【1 1 】中， r l m c c a s l a n d 和p f s m i t h 通过素子模讨论了孤立子模受其启发，本文将 通过弱素子模，在孤立子模基础上给出弱孤立子模概念，并给出一些相关性质 定义4 1设l 为m 的子模，如果对l 的任意真子模n 满足 w r a d 但) 一w r a d ( ) ，则称l 为m 的弱孤立子模 命题4 2设r 是环，n 为m 的子模，则n 是弱孤立子模当且仅当对n 的 每个真子模h ，存在m 的弱素子模l 满足日l ，但是旺工 证明 兮)假设h l ，l ，对所有的m 弱素子模l 成立， 贝0w r a d ( h ) mw r a d 脚( ) 矛盾 d假设n 不是m 的弱孤立子模，则存在n 的真子模h 使得 w r a d 肼饵) - w r a d ( ) 如果存在弱素子模l 包含h ，则l 包含n 矛盾 孤立子模是弱孤立子模因为n 为m 的子模，则n 是孤立子模，当且仅当 对n 的每个真子模h ，存在m 的素子模l 满足日，但是岱己因为素子 模是弱素子模，所以由命题4 2 立即可以得到孤立子模是弱孤立子模 引理4 3设r 是环，n 为m 的子模，l 是m 的弱素子模满足岱工，则 工n 是n 的弱素子模 证明设a ，b 是环r 的理想，k n ，a b k ln ，则a 隧l 由于l 是m 的弱素子模，则似l 或b k l 注意到k ，则魃或者b k n 因此a k ln 或者b k lon 硕士学位论文 推论4 4设r 是环，n 是m 弱孤立子模，则n 的每个真子模包含在n 的 一个弱素子模中 证明根据命题4 2 和引理4 3 命题4 5设r 是环，n 是m 的直和项，则n 是m 的弱孤立子模当且仅当 n 的每个真子模包含在n 的一个弱素子模中 证明必要性根据推论4 4 相反，假设n 的每个真子模包含在n 的一个弱 素子模中，假设m non ，其中是m 的子模设h 是n 的真子模，则存在n 的弱素子模k 满足日k 则ko 是m 的弱素子模且满足日gk k ，但 旺ko 。根据命题4 2 ，n 是m 的弱孤立子模 定义4 6称n 的弱素子模k 可以提升到m ，如果存在m 的弱素子模l 满足 k = lnn 命题4 7设r 是环，m 的子模n 是弱孤立子模当且仅当n 的任意真子模h 存在n 的弱素子模k 满足日k 并且k 能够提升到m 证明首先假定n 是弱孤立的设h 是n 的真子模根据命题4 2 ，则存在m 的弱素子模l 满足日并且旺则由引理4 3 知道三n 是n 的弱素子模， 显然可以提升到m ，并且满足h n 反之，设g 是n 的任意真子模根据 假设，存在m 的弱素子模k 满足kn 是n 的弱素子模，并且g kn 因此 g k 但是旺k 根据命题4 2 ，n 是弱孤立的 引理4 8 设a ，b 是r 的理想，n 是m 的子模，则 w r a d 吖) 2 w r a d o wa b n ) 证明 首先注意到a 鲥州a b n ，则w r a d ( 彻n ) w g a d ( 删nb n ) 设l 是m 的任意弱素子模且满足九附l ，则删三或者b n l 因此无 论在何种情况下，a nab nel 则a n a b n w r a d j ，( a b l y ) 因此 w r a d j l f n 斛) w r a d j i f ( a b j v ) 推论4 9 设a ，b 是r 的理想，a n 是m 的弱孤立子模，则心b n 当 素子模的推广 且仅当刷一删 证明如果a n 一御，则显然制b n 相反，根据引理4 8 ，如果 a n b n ，贝i j 州，a nn b n w r a d 脚o 重nb n ) 一w r a d j i ，g 4 b ) 由于a n 是m 的弱孤立子模，则洲一九附 定理4 1 0 设m ，n 为r 模，厂是m 呻的满同态，则通过厂可以诱导出 1 ) m 的包含k e r r 的弱素子模与n 的弱素子模的一一对应 2 ) m 的包含k e g 的弱孤立子模与n 的弱孤立子模的一一对应 证明1 ) 因为，是m 呻的满同态，所以通过满同态映射，可以诱导出 m 的包含段汀的子模与n 的子模的一一对应并且对于m 的子模h ，如果 放万h ，贝t j m h 簟i ( m ) i ( h ) 设p 为m 的一个包含殷万的弱素子模，于是m e 为弱素模又由 m e 簟i ( m ) i ( e ) 得到f ( m ) f ( e ) 为弱素模从而，( p ) 为n 的弱素子模 反之，若，( p ) 为n 的弱素子模，则同理可得，以，( p ) 一p 为弱素子模 2 )设k 是m 的弱孤立子模，厂( 日) 是f ( r ) 的任意真子模，其中 & 彳h k 因为k 为m 的弱孤立子模，所以存在m 的弱素子模l 使得h ， 但k 旺l 由1 ) 知道f ( l ) 是n 的弱素子模，并且满足f ( n ) cf ( l ) ，但 ，( k ) 啦，伍) 所以，( k ) 是n 的弱孤立子模 反之，设，( k ) 是n 的弱孤立子模，h 是k 的任意真子模，其中救矿h k 则f ( h ) 是厂( k ) 的真子模因为，( k ) 是n 的弱孤立子模，所以存在n 的弱素子 模f ( l ) ，其中& 矿l ，使得f ( h ) gf ( l ) ，但f ( k ) 岱f ( l ) 由1 ) 知道l 是m 的弱素子模，并且满足日l ，但k 旺工所以k 也是m 的弱孤立子模 命题4 1 1 设r 是环，m h 是m 的真子模，如果h 是m 的弱根子模， 贝1 w z a d m 俾) 一h w r a d ( ) 由此得如果n 的每个真子模是m 的弱根子模，则 1 4 硕士学位论文 n 是弱孤立子模 引理4 12 设r 是环，m ，如果a b n 是m 的弱根子模，其中a ，b 是 r 的理想，则删nb n a b n 证明由引理4 8 立得 定义4 1 3 1 1 1 1 称模m 为余循环的，如果m 包含一个单本质子模 定义4 1 4 1 1 1 1 称环1 t 的理想p 为余循环的，如果p 是一个单左r 一模的零化 子 引理4 1 5 设m 是环r 上余循环模，l 为m 的单本质子模若对r 的任意左 本原理想a ，b 有舭nb l a b l ，则0 是m 的弱素子模 证明类似与文献 1 1 ，引理2 5 的证明 定理4 1 6 设r 是环，m ，则下列条件等价： 1 ) m 的任意子模是弱素子模 2 ) m 的每个真子模是弱根子模 3 ) 对环r 的任意理想a ，b 和m 的任意子模n ，成立a nnb n = a b n 4 ) 对环r 的任意本原理想a ，b 和m 的任意子模n ，成立a n1 3b n a b n 证明 1 ) 辛2 ) 设n 是m 的真子模f i ：i 亏：w r a d ( ) 是m 的弱素子模， 贝, l j w r a d ( ) 一n 则n 是弱根子模 2 ) 兮3 ) 根据引理4 1 2 3 ) 号4 ) 显然 4 ) 辛2 ) 假设4 ) 成立设n 是m 的任意真子模，对任意me m ， 以为满足疋7 f i lm 硭如的极大子模显然n ，n ，如设k r m + i o n ，则 k 是l 的极大子模且。kf l m k , 0 由此工。k 是肘如的单本质子 模，从 m k , 是余循环模现在由4 ) 得：对r 的任意左本原理想a ，b 有 彳旺。k ) n b ( m k ) = a n ( i 。k ) 根据引理4 1 5 得，k 是m 的弱素子模 因此对每个i ne m ，k 是m 的弱素子模因为m 是任意的，所以k 是包含n 1 s 素子模的推广 的所有弱素子模故n 是m 的弱根子模 2 ) 辛1 ) 显然 命题4 仃设r 是环，n 是m 的真子模n 是m 的弱素子模当且仅当对任意 的k m ，k 旺n 满足( ：k ) 是r 的素理想特别地，( ：m ) 是r 的素理想 证明 设n 是m 的弱素子模a b ( ：k ) ，其中彳尺，b r ，则4 豚 由于n 是m 的弱素子模，故胀n 或脒n 所以彳( ：k ) 或b ( n ：k ) 反之，设a b k n ，其中彳r ，b r ，k m 则仰( n ：k ) 如果kg ， 则a k n 且b k n 如果k 旺，则由题设( n ：k ) 是r 的素理想则 a ( n ：k ) 或b ( ：k ) ，即a k n 或b k n 故n 是m 的弱素子模 引理4 1 8 设r 是环，n 是m 的有限生成子模，则下列叙述等价： 1 ) n 是弱孤立子模 2 ) 对n 的每个极大子模k ，w r a d | ，( ) 一w r a d j i ，伍) 3 ) 对n 的每个极大子模可以提升到m 的弱素子模 证明1 ) 号2 ) 净3 ) 显然 3 ) 辛1 ) 设h 是n 的真子模因为n 是有限生成的，则存在n 的极大子模k 满足h k 根据3 ) ，存在m 的弱素子模l 满足k = lf ln ，因此旺三注意到 日三根据命题4 2 ，1 ) 成立 定义4 1 9 1 2 】称n 为m 的强不可约子模，如果k ，lc _ m 满足kn 工，则 k 或l 命题4 2 0 设a ，b 是r 的理想，a b n 为m 的弱素子模，若b n 在m 中是强 不可约的，则a b n 在n 中强不可约的 证明设厶k ，且lnkga b n ，贝j j t , f lk b n 因为b n 是强不可 约的，三sb n 或k b n 因为a b n 为m 的弱根子模，根据引理4 1 2 ， a nnb n a b n ，从而ga ni 1b n a b n 或k a nf lb naa b n ，故a b n 在 1 6 硕士学位论文 n 中强不可约的 命题4 2 1kgm ，且对m 的任意真子模k ，有a b k a knb k ，若n 的任 意真子模h ，存在m 的强不可约p ，使日p ，但旺p ，则n 是弱孤立子模 证明设h 为n 的任意真子模，由条件知，存在m 的强不可约p ，使日p ， 但旺p ，因为对m 的任意真子模k 有a b k = a knb k ，所以p 为m 的弱素子 模由命题4 2 ，n 是弱孤立的 命题4 2 2 设n 是m 的弱素子模，则n 的极大子模是m 的弱根子模 证明设h 为m 的极大子模，因为n 是m 的弱孤立子模，由命题2 ，存在m 的弱素子模l ，使日l ，但旺l ，由hg ，因而日工n ，又因为h 是n 的极大子模，故有hzlnn 因为n 是弱素的，从 w r a d ( 1 4 ) n 一h ， 所以w r a d 肼( h ) 一h 故h 为弱根子模 命题4 2 3 设m 为r 上的单列模，n 是m 的子模，若n 是弱孤立的，则n 的极大子模在m 中是弱素的 证明设h 为n 的极大子模因为n 是m 的弱孤立子模，由命题4 2 ，存在m 的弱素子模l ，使l ，但旺l 由m 为单列模，因而l 从而得到h = l 所以h 为m 的弱素子模 引理4 2 4 1 1 2 1 设( r ，a ) 为局部环，m 为r 上的模n 是m 的强不可约a 一准素子 模，假设g ( ：j i f 彳) ，则有： ( 1 ) ( ：肼a ) 是循环子模 ( 2 ) n 一( ：m a m ( 3 ) 对m 的每一个子模k ，或者k ，或者( ：j i i f a ) k 命题4 2 5 设( r a ) 为局部环，m 为r 上的模n 是m 的强不可约a 一准素子 模，且( ：脚彳) ，则( ：m 彳) 是m 的弱素子模当且仅当n 是m 的弱素子模 证明 辛) 因为( ：脚a ) 是m 的弱孤立子模，所以对真子模n 必存在m 的弱 素子模l ，使得n ，但( ：j i i ，a ) 旺l y 由引理4 2 4 可知：l ( ：j l ，彳) ，从而 1 7 素子模的推广 l = n 所以n 是m 的弱素子模 q 由条件可知：n 是( ：吖a ) 的唯一极大子模因为n 是弱素子模，所以 w r a d m ( ) 1nc ( ：m a ) ，从w r a d m ( ) - w r a d 村( ：m a ) 故( ：m a ) 是m 的弱 素子模 推论4 2 6 设( r a ) 为局部环，m 为r 上的模n 是m 的强不可约a 一准素子模， 且( ：m 彳) ，则( ：膳彳) 是m 的弱孤立子模当且仅当n 是m 的弱孤立子模 引理4 2 7 设肼一鲁膨；，nc _ m ，若n 是全不变的，则= 鲁( n n m 。) 定理4 2 8 设r 为任意环，m m lo m 2 为r 上的d u o 模，l 为m 1 的弱 孤立子模，n ：为m ：的弱孤立子模，nn 。o ：为m 的弱孤立子模 证明设v hc n is n ：，因为m 是d u o 模，所以m 的任意子模都是全不变 子模，由引理4 2 7 可知：h 一( ha m 。) o 僻am 2 ) 1h ，0 日：同样我们可得 h l 一饵am 。) g ( ( 。o 2 ) a m l ) = n 1 ，所以日。g 1 同理何：2 因此由 日c lo 2 ，得到日1c n l 与日2c n 2 至少有一个成立否则产生矛盾不妨设 h ，c n ，因为n 。为m 。的弱孤立子模，所以存在m 。的弱素子枇1 ，使h 。c l ；