（基础数学专业论文）2有限图的分类.pdf

2 一有限图的分类 基础数学专业 研究生：耿圣飞指导老师：彭联剐教授 摘要：本文给出t 2 有限图的一种分类，具体刻画了所有与型为a ，b 和d 的d y n k i n 图m u t a t i o n 等价的2 一有限图，以及列出了所有其它型的2 - 有限图。 关键词：分类，m u t a t i o n ，2 - 有限图，d y n k i n 图 ac l a s s i f i c a t i o no f2 - f i n i t ed i a g r a m s m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：s h e n g f e i g e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r l i a n g a n g p e n g a b s t r a c t ：i nt h i sa r t i c l e ，w ew i l lg i v eac l a s s i f i c a t i o no f2 - f i n i t ed i a g r a m sb ye x - p l i c i t l yd e s c r i b t a ga l ld i a g r a m so ft y p ea ，ba n dd ，a n db yl i s t i n ga l l2 - f i n i t ed i a g r a m s o fo t h e rt y p e s k e yw o r d s ：c l a s s i f i c a t i o n ，m u t a t i o n ，2 - f i u i t ed i a g r a m , d y n k md i a g r a m 四川大学硕士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归四川大学所有，特此声明。 作者签名：坠垒兰： 日期：! 生电：1 。1 爱 导师签名： 日 期： 四川大学硕士学位论文 1引言和准备工作 s f o m i n 和a z e l e v i u s k y 在f f z l l 中介绍了c l u s t e r 代数。一个秩为1 1 的c l u s t e r 代数幻是由一个初始种子( z ，q ) 通过一系歹l j m u t a t i o n 得到的，其中的f 表示n 个 不同的不定元的一个集合，q 是以这些不定元为顶点的q u i v e r 。对中每个元素 做m u t a t i o n 都得到一个新的种子( 一，) ，对z 中元素继续做m u t a t i o n ，不断重复 下去( 每个种子仕，q ) 中的z 都称为c l u s t e r ，z 中的元素称为c l u s t e r 变量) ，以所有 的这些c l u s t e r 变量为生成元即可生成c l u s t e r 代数幻。事实上每个种子都可成为 初始种子，都可得到同一个c l u s t e r 代数。f o m i n 和z e l e v i u s k y 构造c l u s t e r 代数 的初衷是为研究半单代数群上的c a n o n i c a l 基及其全正性提供一个基本的代数框 架。首要的一个结果是任意给定一个初始种子( z ，q ) ，4 口的每个c l u s t e r 变量均可 由z 中元素用l a u r e n t 多项式表示出来。若一个c l u s t e r 代数只有有限多个c l u s t e r 变量，则称之为有限型的c l u s t e r 代数。在 f z 3 1 中，f o m i n 和z e i e v 做y 得到有限 型c l u s t e r 代数的一个重要结果：一个c l u s t e r 代数4 。是有限型的当且仅当q 与 一个型为x 的d y n k m 图m u t a t i o n 等价，此时4 0 中的c l u s t e r 变量与x 的根系 中的几乎正根( 即正根和所有的负单根) 一一对应。这个结果表明了c l u s t e r 代 数与l i e 理论之间的某种自然联系。另一方面，c l u s t e r 代数与代数表示论之间也 有诸多的联系。2 0 0 3 年，文章 m a z 从表示论的观点解释了c l u s t e r ，建立了表示 论与c l u s t e r 代数之间的联系。2 0 0 4 年，文章 b m r r t 介绍了一个新的范畴c o ， 称为c l u s t e r 范畴，这是一个有限维遗传代数q 的导出范畴伊( q ) 的商范畴，并 证明了当q 为型为a ，d 和e 的d y n k m 图时。c o 的每一个不可约对象与相应 的c l u s t e r 代数。4 0 的c l u s t e r 变量之间有一一对应的关系，同时c 口中的倾斜模 与山的c l u s t e r 之间有相应的一一对应关系( 当q 为型为a 的d y n k i n 图时，也可 参见 c c s l ) 。在文章 s m m l 中又介绍了一个新的代数- c l u s t e r 倾斜代数，它是 由c l u s t e r 范畴c o 中的一个倾斜模t 的自同态得来记为e n d c d 严，并对该代数 的模结构进行了讨论，证明了该c l u s t e r 倾斜代数e n d c 。t o p 的不可约模与q 的不 可约模之间有一一对应关系。在文章 b m r 2 1 中，进一步讨论了由两个相邻的倾斜 模r 与rf 即对应的c l u s t e r 可通过一步m u t a t i o n 实现彼此) 生成的c l u s t e r 倾斜代 数j 汛d c 。t o p ，e n 如。r o p 的模范畴之间的关系，接着在文章【b m r 3 中对有限表示 型的c l u s t e r 倾斜代数e n d c 。z 印做了讨论，证明了一个c l u s t e r 倾斜代数e n 叵p p 是有限表示型的当且仅当qm o r t i a 等价于一个d y n k i n 图的路代数。在文章【b r 】， 【c c s 2 中讨论 c l u s t e r 倾斜代数e n d c o t o p 的q u i v e r 和c l u s t e r 代数山中与丁相 应的c l u s t e r 的q u i v e r 以及e n d o t 的q u i v e r 之间的关系。关于c l u s t e r 代数与q u i v e r 表示、倾斜理论、l i e 理论之间的联系还可参见文章【c q ，【c k l 2 】，f f z 2 ，i f z 4 ， 蹿川大学硕士学位论文 f i r l ，【i ，【l q ，【k r l ，【z 】等。随着对c l u s t e r 的研究的不断深入，人们发现c l u s t e r 代数与数学的许多其它分支也有联系，如与代数组合、p o i s s o n 几何，等等( 参 见i s f z l ，f c s v l ) f o m i n 和z e l e v i n s k y 在i f z 3 对有限型的c l u s t e r 代数进行分类的过程中引入 了互有限矩阵和2 _ 有限图的概念他们的一个结果就是一个图q 是2 一有限的当且 仅当q 与一个d y n k i d 图m u t a t i o n 等价，从而可判断一个d u s t e r 代数山是有 限型的当且仅当q 是2 有限的。这里我们称一个图q 是x ( x = a 。，b 。，d 。，e s ， 易，晶，日或g 2 ) 型的，如果qm u t a t i o n 等价于一个型为x 的d y n k i n 图一个自 然的问题是如何判断一个给定的型为x 的d y n k i n 图是否2 - 有限的? 当然如果能通 过m u t a t i o n s 把其变为d y n k i n 图，则其显然是2 - 有限的，但有时m u t a t i o n s 的过程 很复杂，所以希望找得到一个简单的方法去判断，最好是利用一个图本身的信 息来直接判断它是否是2 _ 有限图a s e v e n 在i s l 给了一个解决办法，事实上，它 列出了所有的极小的2 有限的图f 即不是2 有限的，但其任意非平凡满子图是2 - 有 限的) 。因而一个图是2 一有限的当且仅当它不含有极小的2 有限满子图，同时他也 对所有型为a 的2 - 有限图做了刻画。在本文中。我们通过运用m u t a t i o n 作为证明 方法，对所有型为a ，b ，d 的2 - 有限图傲了一个直接的刻画，用其很容易判断一 个给定的图是否m u t a t i o n 等价于型为a ，b ，d 的d y n k i n 图，并且我们列出了所 有其它型的2 有限图。我们的判断和证明方法更基本，更直接，这一点与s e v e n 的 是不同的。 注：在本文中，除非特殊说明，我们均假设一个图q 是一个边权均为正整数，且q 中 的任意一个圈的边权之积均为完全平方数的有限定向图 作为准备让我们先回忆一下【b g z 】， f z l - i ，i f z 3 1 和【s 】中的相关定义和结 果 对于图0 中的任意一个顶点k ，定义在顶点k 的m u t a t i o n 鲰如下： 1 与顶点k 相连的所有边的方向反向，权值不变 2 对于q 中任意由通过顶点k 的长为2 的定向的路连接的两个顶点 ，j ， 在肌( q ) 中，边( i ，j ) 的方向与权值d 有下式决定： 、 士以 4 - 扼= 届， 其中、，尼( 类似的彬) 的前面的”+ ”表示圈( 1 ，正，i ) 在q 中是循环定向的。其它 情形用”表示这里c 和一也可以为0 ，此时则表示顶点i 和之间无边相连。 2 四川太学硕士学位论文 3 0 的其它边的方向与权值均保持不变( 见f i g u r e1 ) kk 乜 tc j t cj f i g u r e 从m 的定义，很容易得到肌( q ) 也是一个图，即肌( q ) 的边权均为正整数，m ( q ) 的任意一个圈的边权之积均为完全平方数，而且易知是对合的，即p t ( q ) = q 。 对于两个图q 和q 7 ，如果一个可由另外一个通过一系列的m u t a t i o n 得到，我们就 说q 和q 7 是m u t a t i o n 等价的 为方便起见，我们仍用q 表示图q 的底图。如果q 的一条边权值为l ，则称该 边w e i g h l e s s ，并且今后在图上不再特别标出如果q 的所有的边的权值均为l ，则 称q 为s i m p l y l a c e d 。 z k 习q 一 广 一 i 2 f i g u r e4 ：d l m k i nd m g r a m 注：本文中，除非特别说明，我们均假设所有的图都是连通的，并且对任意 的一个图q ，在满足每一个c h 肿d l e 船圈均是循环定向的前提下，可具有任意的方 向。 在下一章，我们先从最简单的型为局和6 的2 - 有限图开始讨论，然后对所 有型为a ，b 和d 的二有限图分别给出一个具体的刻画，最后我们讨论并列出所有 型为晶，岛，风的2 一有限图 4 四川大学硕士擘住论文 2 2 有限图的分类 2 1 型为f 4 和g 2 的2 - 有限图 在这一节，我们将讨论并列出所有型为日和g 2 的2 一有限图 定理2 1 ( 0 图qm u t a t i o n 等e - ：- - - 4 霆! 为g 2d y n k i n 当且仅当q 本身是g 2 3 _ ( 田图qm u t a t i o n 等价于一个型为日t d d y n l z i n 丑当且仅当q 是下面的图之一 ；l 一口b c d图a2 ：审 ( 3 ) d c 证明：( i 1 是显然的 ( i i ) ”售”：如果q 本身是图( 1 ) ，结论显然。否则由m ( ( 2 ) ) 是图( 1 ) ，( ( 3 ) ) 是图( 2 ) 。脚( ( 4 ) ) 是图( 3 ) 可知结论成立。 ”号”：只须证在q 上任意一点做m u t a t i o n 得到的图仍然在上面的几个图 中。由m u t a t i o n 的定义，我们只需考虑由q 在顶点既不是_ s m k 点又不是s o u i c e 点 做m u t a t i o n 得到的图。由m ( ( 1 ) ) 是图( 2 ) ，鳓( ( 2 ) ) 是图( 1 ) ，芦。( ( 2 ) ) 是图( 3 ) ，p 。( ( 3 ) ) 是图( 2 ) ，地( ( 3 ) ) 是图( 4 ) ，脚( ( 4 ) ) 是图( 3 ) 和图中顶点的对称性，可得结论。 口 2 2型为a ，b 的2 有限图 在这一节，我们将对所有型为a ，b 的2 _ 有限图给出一个具体的刻画 定理2 2 一个图qm u t a t i o n 等价于一个型为a 的d y n k i n 图当且仅当其满足下 面的五个条件： ( 1 ) q 由三角形连接而成，并且q 中不存在l ( 2 4 ) 边形 ( 2 ) 如果k 是q 中某一个三角形的顶点，则q 中至多存在一条非三角形边与其 相连，或恰有另外一个三角形与其相连 5 冬 四川大学项士学位论文 ( 3 ) 如果不是三角形的顶点，则q 中至多存在两条边与其相连 ( 4 ) q 中的每个三角形均是循环定向的 f 5 ) q 是s i m p l y 1 a c e d 证明： ”号”：只须证在q 上任意一点k 做m u t a t i o n 得到的图q ，仍然满足上面的五 个条件。 由条件( 2 ) ，( 3 ) 易知图q 中至多存在四条边与k 相连。下面我们将分别讨论 c a s el ：如果只有一条边与k 相连，由m u t a t i o n 的定义易知q 仍然满足上面 的五个条件。 c a s e2 ：如果恰有两条边与k 相连，则q 只可能为f i g u r e5 和f i g u r e6 k 一k f i g u r e5f i g u r e6 由条件知与k 相连的顶点至多再连另外一条边或三角形，所以在f i g u r e5 中，如 果k 是一个s o u r c e 点或一个s i n k 点，显然q ，仍是f i g u r e5 ，否则f h m u t a t i o n 的定 义知q = 肌( q ) 蔓j f i g u r e7 ( 易知新得到的三角形仍然是循环定向的) ，所以q 7 仍然满足上面五个条件。如果q 为f i g u r e6 ，有q ，= 脚( q ) ，9 f i g u r e8 ，仍然满 足上面五个条件 k 7 ：j f i g u r e7 f i g u r e8 c a s e3 ：如果恰有三条边与k 相连，则q 只可能为f i g u r e9 。同c a s e2 地证 明，易知q ，= u k ( q ) ( i e f i g u r e1 0 ) 仍然满足上面五个条件 一， 七 。一 - - 一 f i g u r e9f i g u r e1 0 c a s e4 ：如果恰有四条边与相连，则q 只可能为f i 弘r e1 1 。仍n c a s e2 地 证明，有q ，= 触( q ) ( i e f i g u r e1 2 ) 仍然满足上面五个条件 6 四川大学硕士学位论文 i t 区 f i g u r e3 2 其次假设q 属于情形( 3 ) ，如果是通过q 在除顶点k l ，a s l 做m u t a t i o n 得到 的，由m u t a t i o n 的定义和定理2 2 易知属于情形( 2 ) 或( 3 ) 。故不妨设q 7 是通过0 在顶点5 3 l ( 类似的对：j = d 3 1 ) 做m u t a t i o n 舶1 显然如果q 中除顶点0 3 1 ，d 3 1 ，c 3 1 外 不再有顶点与6 3 1 相连，q ，属于情形( 4 ) 。如果q 中除顶点口3 1 ，西1 ，臼l 外只有一个 顶点( 不妨设为6 诒) 与6 3 1 相连，此时若顶点6 3 2 ，如1 是由通过顶点6 3 l 的长为2 的定 向的路连接的，则q ，属于情形( 4 ) ( 参见f i g u r e3 3 ) ，否则仍属于情形( 3 ) ( 参 见f i g u r e3 4 ) ，但如果q 中除顶点1 ，如l ，c 3 1 有两个顶点与6 3 1 相连，有q ，仍属 于情形( 3 ) ( 参见f i g u r e3 5 ) 卫- 0 3 7 i c 3 l 陟i 3 一l 6 3 p 一哳一c 3 1 醛铲一c 3 1 f i g u r e3 4 投i 一：砭e f i g u r e3 5 下假设q 属于情形( 2 ) ，如果q 7 是通过q 在除顶点6 2 1 ，d 2 l 做m u t a t i o n 得到， 1 4 知q， 弋0 四川大学项士学位论文 i 扫m u t a t i o n 的定义和定理2 2 易知q 属于情r e ( 2 ) 或( 3 ) 。故不妨设q ，是通过q 在 顶点6 2 1 ( 类似的对于也1 ) 做m u t a t i o n 得到的，由于顶点6 2 1 要么再连一条边或一 个三角形，要么什么都不连，故类似于上面的证明方法易知属于情形( 1 ) ( 参 见f i g u r e3 6 ) 啦r 壶l t lj虹 6 2 p + 6 2 1 一c 2 l 赶 些l f i y u r e3 6 么区e 最后假设q 属于情r e ( 1 ) ，同上面的证明思路，我们不妨假设q ，是通过q 在 多边形( 设f 一边形) 上的顶点做m u t a t i o n 得到的。如果z = 3 ，即q 如f i g u r e3 7 所示，此时多边形为三角形( 口，6 ，一，口，) ，设q ，是q 通过在顶点a ( 类似的对于 顶点b i ，) 做m u t a t i o n 得到如果q 中不存在项点b ，则q ，= 地，) 属于情形( 4 ) ，否则= p ( q ) 属于情形( 2 ) 如果f24 ，即q 如f i g u r e3 8 所示，此时 多边形为( d ，b ，c ，e ，a ) ，由于q 是q 通过在多边形上的顶点做m u t a t i o n 得 到的，如果没有其它边与该点相连如f i g u r e3 8 的顶点， 有q 7 = p ，( 0 ) 仍然属 于情形( 1 ) ，但如果有一条非多边形的边与该点相连如f i g u r e3 8 的顶点b ，有q = m ( q ) 仍然属于情形( 1 ) ( 参见f i g u r e3 9 ) ，否则如果恰有两条非多边形的边与该 点相连如f i g u r e3 8 的顶点a ，有9 = p 。( q ) 为f i g u r e4 0 。仍然属于情形( 1 ) o 。一d 公公。 f i g u r e3 7 d b e ： f i g u r e3 8 四川太学硕士学位论文 6 司 e ”# ”：如果q 属于情形( 1 ) 且i = 3 ，由上面的讨论可知如果我们在此多边形 上的项点作m u t a t i o n ，易知新得到的图属于情形( 2 ) 或( 4 ) ，但如果z24 ，仍在多边 形上的顶点作m u t a t i o n ，易知新得到的图仍属于情形1 ，只不过多边形变为2 1 边形，对z 进行归纳，我们可得到结论：情形( 1 ) 的q 一定可通过m u t a t i o n 变 为情形( 2 ) 或( 4 ) 如果q 属于情形( 3 ) ，有p 。( q ) 属于情形( 2 ) ，如果q 属于情 形( 2 ) ，有卢，p b ，( q ) 和。( q ) 属于情形( 4 ) ，所以只需证情形( 4 ) 的o 与 型为玖的d y n k i n 图m u t a t i o n 等价。由于由顶点“1 ) 构成的q 的满子 图与型为厶一2 的d y n k m 图m u t a t i o n 等价，由顶点c d i 2 ) 构成的q 的子 图与型为k 一3 的d y n t d n 图m u t a t i o n 等价，所以由定理2 4 地证明可得到q 与 图f i g u r e4 1m u t a t i o n 等价，即与与型为口。的d y n k i n 图m u t a t i o n 等价 一一一。 f i g u r e4 1 2 4 型为玩，曷，岛韵2 - 有限图 在这一节，我们将讨论并列出所有的型为j 1 6 ，易，晶的二有限图 口 定理2 6 一个图q 与型为昂d y n k i n 臣 m u t a t i o n 等价当且仅当0 属于下面 的省个图j l l 】 1 6 ， 0一一伽 “ 一 一 一 脚 一 矗陟 毫 四川太学硕士学位论文 口口囫 盟囫医困 卜匪卜防 区卜t 且且 伞 证明：可验证上面的所有图与型为晶的d y n k i n m u t a t i o n 等价，并且由上面 的任意一个图m u t a t i o n 得到的图仍然属于上面。 口 定理2 7 一个图q 与型为易的d y r d d n 图m u t a t i o n 等价当且仅当q 属于下面 的础个图： l 龇i 一 吐匠殴口丕 1 7 囫丕区区 且 皿 匝匪 殴随及 盯 酉 盯 吐区匝 口医睑 卜舻口) 因) 口口少困 困少圈口困 岛咕勋吣吣 电ppp 兮兮p 兮卜p 沪够一萨 争一拶 拶拶妒铲 尹 四川大擘硕士学位论文 证明：可验证上面的所有图与型为e 7 的d y n k i n 虱m u t a t i o n 等价，并且由上 面的任意一个i 圈m u t a t i o n 得到的图仍然属于上面。 口 t ：强2 8 一个图q 与型为马1 的d y n k i ni 习m u t a t i o n 等价当且仅当q 属于下面 的2 0 0 个图： i一。!：!i一 一渺 区应 趣 口二医 区 因二皿殴 恐区医 田囫 一跳 因 口翌：困翌 囫翌田殴 孤 吸殴 ul l 忙k 睦 q q 组 怠厶l l 台址囱址 址仓址l i 广立广蟑 全广立广立广 妒心心 息四鱼 pppd pppp p 兮pp 咖诊诊睁 诊p 诊珍 诊诊 o 0 区区区医区一 圈 酗 劂 囫区囫囫囫 吲劂 必 皿 如翻 匦 晒圆 圆 圆圆黝 2 囫医囫 叮一匝匾 瓜瓯 瓜殴瓜 瓜风恐 弧 西 险医 脚 俭 心 俭 兮兮 兮兮 口一口 囫卜囫 囫 卜 囫乙一因乙卜 一心心一一一一一一一 四川大学项士学位论文 口吕匝 k 艮k 吐艮& 良艮& 诊 证明：可验证上面的所有图与型为风的d y m k i n 图m u t a t i o n 等价并且对上 面的任意一个图做m u t a t i o n 得到的图仍然属于上面。 口 四川大擘碛士学位论文 参考文献 b f z l a b e r e n s t e i n ，s ，f o m i na n da z e l e v i m k y , c l u s t e ra l g e b r i i i ：u p p e rb o u n d s d d o u b l eb r u l a n tc e l l s , d u k l ! m a t h 上1 2 6 ( 2 0 0 5 ) ，o ，1 ，1 - 5 2 i b gz l mb a r o t ，c g e i 雎，az e l e v i m k y , c h m e ra l g e b r a so fl l n i t t y p e dp o s i t i v es y m - m e t r i z a b l em a t r i e ，z , , o t l d o t lm a t h 8 0 e ( 2 ) 7 3 ( 2 0 0 6 ) ，5 4 5 - 5 6 4 i b r la b 啪，1 r e i t , e n ，f r o mt i l t e d t oe l u j a x , r - t i l t e d8 1 9 e b r a so fd y n 虹nt y p e ，l l r x i v ： m a t h r t o , 5 0 9 1 9 s 【b m r l 】a b m ，r m a r s h ，ir e i t e n ，c l u s t e rt i l t e da l g e b r a s ，t m n , 8 a m e r m a t h , q o c1 1 5 9 ( 2 0 0 7 ) ，3 9 3 - 3 3 2 ， 1 3 m r 2 1a b u 衄，1 t i 蚺_ a r s h ，i r e i t , e n ，c l u s t e rm u t a t i o nv i nq u i v e rr e p r e s e n t a t i o n s ，t oa p p e a r i nc o m m e n t m a t h t i e l v ， 【b m r 3 a b t t s n ，兄m a r s h ，i 1 l e i t e n ，c l u s t e rt i l t e da l g e b r a so ft l a i t er e p r e s e n t a t i o nt y p e ，正 a t g e b m3 0 6 ( 2 0 0 6 ) ，4 1 2 - 4 3 1 1 3 m a r t a b t m l a ，i lm l t 词a ，mr e i r t e k e ，i r e i t e n ，g t o d o r o v ，t d t i n gt h e o r ya n de l m a , e r e o m b i n a t o r i c s ，a d v m a t h2 0 4 ( 2 ) ( 2 0 0 6 ) ，5 7 2 - 6 1 8 【c q p c a l d e r o ，f c l m p o t o n ，( 3 h m t , ra l g e b r a s t t 自1 l8 1 9 e b r a so fq u a v e rr e p r e s e n t a t i o n s ， c o m m e n t m a t h i i e l v 8 1 ( 2 0 0 6 ) ，5 9 5 - 6 1 6 【c , c s l 】p c s j d e r o ，f c l p o t o n ，r s e h i f l t e r ，q u i v e r 8 诚hr e l a t i o n sa r i s i n gf i o mc l u s t e r s ( 厶 c a s e ) n b w a m e r m a t h 8 0 c s s s ( 0 0 6 ) 1 3 7 4 - 1 3 6 4 f c c s 2 】pc a l d e r o ，f c h a p o t o r a ，r s c h i t t t e r ，q u i v e r sw i t hr e l a t i o n sa n d c l u s t e rt i l t e d8 1 9 e b r a s ， a l g e b r r e p r e s c n l | t h e o r , , 9 ( 2 0 0 6 ) ，3 5 9 - 3 7 6 ， 【c k l 】pc a l d e a - o ，bk e l l e r ，m mt r i a n g u i n t e dc a t e g o r i e st oe l t u a , e ra l g e b r a s ，t oa p p e a ri n n v c n t m a t h 【c k 2 】pc a l d e r o ，b k e l l e r ，f r o mt r i a n g u l a t e de a 协g o r i e st oe h t s t e rs l g e b r m , t oa p p e a ri n a n n 瓶c l u 疵e l - 砌kn o n t 1 , 脚( 4 ) 【f z l l s f o m i n ，az e l e v i m l g l , c l u s t e ra l g e b r l g 1 f o t m d a t i o n s ，王a m e r m a t h s o c ， t 5 ( 2 0 0 2 ) ，n o 2 4 9 7 - 5 2 9 【f z 2 】 s 1 2 0 m i n ，az e l e v i m k y , t h ei u r e n tp h e n o m e n o n ，a d v a p p l i e dm a t h 2 8 ( 2 0 0 2 ) ， 2 ，1 1 9 - 1 4 4 【f z3 】s f o m i n ，a z e l e v i n s k y , c l u s t e ra l g e b r i i f i n i t et y p ec l e s s i f i c a t i o n ，i n v e n t m a t h 1 5 4 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 0 1 ，6 3 - 1 2 1 【f z 4 】s f o m i a , a z e l e v i m by - s y s t e m sa n dg e n e r a l i z e d c i 蛐，a n n o lm a t h 1 5 8 ( 2 0 0 3 ) ，9 7 7 - 1 0 1 8 【g s v 】m c l d a t m m a ，m s h a p i r o a v a i r b h t e i n ，c l u s t e ra l g e b r a sa n dp o i s s o ng e o m e t r y , m o s c o wm a t h ，肌丌l “( 2 0 0 3 ) ，n o 3 ，8 9 9 - 9 3 4 ，1 1 9 9 四川大学项士学值论文 【m 】 【l ( 】 【k r l m r z 】 阁 o 1 y d m a ，i r e i t e n ，f o m i n g e l e v i m k ym u t a t i o na n dt i l t i n gm o d u l e so v e rc a l a b i y a u a l g e b r a s ，a i 嘣v ：m a t hr t 0 6 0 5 1 3 6 oi y a