（基础数学专业论文）强symmetric环和广义armendariz环.pdf

摘要 本硕士论文分为四部分 第一部分：介绍s y m m e t r i c 环和a r m e n d a r i z 环的研究概述以及本 文的主要工作 第二部分：我们引入了强s y m m e t r i c 环的概念，并且研究了强 s y m m e t r i c 环上的一些扩张性质主要结果： 定理2 2 3 对于环r ，下面的结论等价： ( 1 ) r 是强s y m m e t r i c 环；( 2 ) r x 】是强s y m m e t r i c 环；( 3 ) r z ；x 。】 是强s y m m e t r i c 环 定理2 2 8 ：对于环r 的某个理想，设r i i 是强s y m m e t r i c 环若 j 是r e d u c e d 环，则r 是强s y m m e t r i c 环 定理2 2 1 0 ：假设存在兄的古典右商环q 则r 是强s y m m e t r i c 环9 当且仅当q 是强s y m m e t r i c 环 第三部分：我们继续对乜一a r m e n d a r i z 环进行研究、得出了q a r m e n d a r i z 环上的一些性质主要结果： 定理3 6 设o l a u t ( r ) ，如果r 是o t a r m e n d a r i z 环，则冗在 右( 左) 零化子上满足升链条件当且仅当冗p ；o l 】在右( 左) 零化子上 满足升链条件 定理3 8 设o t a u t ( r ) ，若冗是o l a r m e n d a r i z 环，则兄是右z i p 环当且仅当r 陋；o z 】是右z i p 环 定理3 9 设q e n d ( r ) ，如果r 是o l s k e wa r m e n d a r i z 环且兄陬q 】 是s y m m e t r i c 环，那么r 是q a r m e n d a r i z 环 定理3 1 2 设a e n d ( r ) ，n n 且n 2 ，则r 是q r i g i d 环当且 仅当r x ( x n ) 是丘一a r m e n d a r i z 环 定理3 1 6 设q e n d ( r ) ，若r 是o z a r m e n d a r i z 环，则下列结论等 价： ( 1 ) r 是。一s e m i c o m m u t a t i v e 环；( 2 ) 冗陆；o l 】是s e m i c o m m u t a t i v e 环 第四部分：我们引入了弱c e - a r m e n d a r i z 环的概念，并且研究了弱 o l a r m e n d a r i z 环上的一些扩张和性质主要结果： 定理4 2 1 设q e n d ( r ) ，则下列结论等价： ( 1 ) 冗是弱q a r m e n d a r i z 环； ( 2 ) u t m n ( r ) 是弱a a r m e n d a r i z 环，其中n n ； ( 3 ) l t m n ( r ) 是弱丘一a r m e n d a r i z 环，其中n n 定理4 3 6 设o l e n d ( r ) ，且q ( 1 ) = 1 ，e 是环r 的中心幂等元且 q ( e ) = e ，则下列结论等价： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) r 是弱q a r m e n d a r i z 环： 对任意e r 有e r e 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 是弱o 一a r m e n d a r i z 环； 存在某个e r 使得e r e 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 是弱q a r m e n d a r i z 定理4 3 7 设r 是弱o t a r m e n d a r i z 环若r 是s y m m e t r i c 环，则对 任意a ，b r 有： ( 1 ) 若a b n i l ( r ) ，贝i j 有o l n ( o ) 6 n i l ( r ) ，其中n n ( 2 ) 若a b n i l ( r ) ，贝i j 有o q n ( 6 ) n i l ( r ) ，其中n n ( 3 ) 若存在某个m n 使得a o l m ( 6 ) n i l ( r ) ，则有a b n i l ( r ) ( 4 ) 若存在某个m n 使得q m ( o ) 6 n i l ( r ) ，则有a b n i l ( r ) 定理4 3 1 1 设a e n d ( r ) ，r 是弱q a r m e n d a r i z 环若r 是 s y m m e t r i c 环，则r 是弱o l s k e wa r m e n d a r i z 环 关键词：r e d u c e d 环；s y m m e t r i c 环；强s y m m e t r i c 环；a r m e n d a r i z 环；q a r m e n d a r i z 环；弱o l a r m e n d a r i z 环 1 1 a b s t r a c t w eh a v ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r t h ef i r s tp a r t ：w ei n t r o d u c et h em a i nr e s u l t si nt h es y m m e t r i c r i n ga n da r m e n d a r i zr i n g ，a n do u rm a i nw o r ki nt h ep a p e r t h es e c o n dp a r t ：w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs t r o n g l ys y m m e t r i cr i n g ，a n di n v e s t i g a t es o m ee x t e n s i o n so fs t r o n g l ys y m m e t r i cr i n g t h em a i nr e s u l t sa r ea , sf o l l o w s ： t h e o r e m2 2 3l e trb ear i n g t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ri ss t r o n g l ys y m m e t r i cr i n g ；( 2 ) r x 】i ss t r o n g l ys y m m e t r i c r i n g ；( 3 ) n i x ；x - 1 1i ss t r o n g l ys y m m e t r i cr i n g t h e o r e m2 2 8 s u p p o s et h a tr ii ss t r o n g l ys y m m e t r i cr i n g f o rs o m ei d e a lio far i n gr i fii sr e d u c e dr i n g ，t h e nri ss t r o n g l y s y m m e t r i cr i n g t h e o r e m2 2 1 0 s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t st h ec l a s s i c a lr i g h t q u o t i e n tr i n gq o far i n gr t h e nri ss t r o n g l ys y m m e t r i cr i n gi fa n d o n l yi fs oi sq t h et h i r dp a r t ：w ec o n t i n u es t u d y i n gt h eo f a r m e n d a r i zr i n g a n dg e ts o m ep r o p e r t i e so fo 一a r m e n d a r i zr i n g 。t h em a i nr e s u l t sa r e a 8f o l l o w s ： t h e o r e m3 6l e to l a u t ( r ) ，i fri so l - a r m e n d a r i zr i n g ，t h e n rs a t i s f i e st h ea s c e n d i n gc h a i nc o n d i t i o no nr i g h t ( 1 e f t ) a n n i h i l a t o ri f a n do n l yi fs oi sr 扛；q 】 t h e o r e m3 8l e tq a u t ( r ) ，i fri sq a r m e n d a r i zr i n g ，t h e n ri sr i g h tz i pr i n gi fa n do n l yi fs oi sr k ；q 】 t h e o r e m3 9l e tq e n d ( r ) ，i fri s 口一s k e wa r m e n d a r i zr i n g a n dr k o l 】i ss y m m e t r i cr i n g ，t h e nr i so 一a r m e n d a r i zr i n g t h e o r e m3 1 2l e td e n d ( r ) ，礼na n dn 2 ，t h e nr i s n r i g i dr i n gi fa n do n l yi fn x ( x n ) i sa a r m e n d a r i zr i n g t h e o r e m3 1 6l e tq e n d ( r ) ，i frb eq a r m e n d a r i zr i n g ，t h e n n l t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ri sa - s e m i c o m m u t a t i v e ；( 2 ) 冗k ；q 】i ss e m i c o m m u t a t i v e t h ef o u rp a r t ：w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fw e a ko l a r m e n d a r i z r i n g a n di n v e s t i g a t es o m ee x t e n s i o n sa n dp r o p e r t i e so fw e a ko ! 一a r m e n d a r i z r i n g t h em a i nr e s u l t sa r ea u sf o l l o w s ： t h e o r e m4 2 1l e ta e n d ( r ) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ri sw e a ka - a r m e n d a r i z ； ( 2 ) u t ( r ) i sw e a ka a r m e n d a r i zf o re a c h 佗n ； ( 3 ) l t a 磊( r ) i sw e a ka a r m e n d a r i zf o re a c hn n t h e o r e m4 3 6l e to e n d ( r ) ，a n dq ( 1 ) = 1 ，ei sac e n t r a l i d e m p o t e n to fra n dq ( e ) = e ，t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r e e q u i v a l e n t ： ( 1 ) ri sw e a kq a r m e n d a r i z ； ( 2 ) e r ea n d ( 1 一e ) r ( 1 一e ) a r ew e a kq a r m e n d a r i zf o ra n ye 兄； ( 3 ) e r ea n d ( 1 - e ) r ( 1 一e ) a r ew e a k ( 3 一a r m e n d a r i zf o rs o m ee r t h e o r e m4 3 7l e tri sw e a ko 一a r m e n d a r i zr i n g i fri ss y m m e t r i cr i n g ，t h e nf o ra ，b r ，w eh a v et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) i fa b n i l ( r ) ，t h e nq 乱( o ) 6 n i l ( n ) f o ra n yn n ( 2 ) i fa b n i l ( r ) ，t h e na o 佗( 6 ) n i l ( r ) f o ra n yn n ( 3 ) i fa o 仇( 6 ) n i l ( r ) ( 4 ) i fa m ( o ) 6 n i l ( r ) f o rs o m em n f o rs o m em n t h e na b n i l ( r ) t h e na b n i l ( r ) t h e o r e m4 3 1 1l e tq e n d ( r ) ri sw e a ko l - a r m e n d a r i zr i n g i fri ss y m m e t r i cr i n g t h e nri sw e a ko 一s k e wa r m e n d a r i zr i n g k e yw o r d s ：r e d u c e dr i n g ；s y m m e t r i cr i n g ；s t r o n g l ys y m m e t r i c r i n g ；a r m e n d a r i zr i n g ；o t a r m e n d a r i zr i n g ；w e a ko l a r m e n d a r i zr i n g 1 v 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名：缝翊 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：硷型型指导教师签名：巫色 签名同期： y a 7 年夕月亏1 日 强s y m m e t r i c 环和广义a r m e n d a r i z 环 强s y m m e t r i c 环和广义a r m e n d a r i z 环 1引言 本文中的环均指有单位元的结合环，e n d ( r ) 表示环r 的自同态环，n i l ( n ) 表示环r 中所有幂零元形成的集合，n 表示正整数集 1 1 s y m m e t r i c 环的研究概述 交换环和r e d u c e d 环在环论的研究中起着非常重要的作用，因此得到了广 泛的重视和研究，并且对它们作了多角度的推广1 9 7 1 年，为了统一交换环和 r e d u c e d 环的层表示，j l a m b e k 在文献 2 】引入了s y m m e t r i c 环的概念环兄称 为s y m m e t r i c 环，若对任意a ，b ，c r ，当a b c = 0 时，则有a c b = 0 作为对交 换环的一个自然推广，p m c o h n 在文献 3 】中引入了r e v e r s i b l e 环的概念环 兄称为r e v e r s i b l e 环，若对任意a ，b r ，当0 6 = o 时，则有6 0 = 0 | 文献 4 】把 r e v e r s i b l e 环推广到满足z gn 2 ) 性质的环类称环兄满足z g ( 他2 ) 性质 ( 简称为r 是z g ( n 2 ) 环) ，对任意r 1 ，r 2 ，r ，若r l r 2 = 0 ，则 r o ) r 口( 2 ) ( 札) = 0 ，其中仃是集合( 1 ，2 ，n ) 的任意置换文献 4 】还证明了 r e d u c e d 环是z gn 2 ) 环，但是其逆不真r e v e r s i b l e 环与z q 环是一致的文 献 7 】证明了s y m m e t r i c 环未必是z g 环；对所有n 4 满足z g 性质的环未必 是s y m m e t r i c 环然而，如果r 是有单位元的环，则r 是s y m m e t r i c 环当且仅当 r 是z 岛环当且仅当对所有n 3 ，r 是z g 环 文献 5 ，6 】中作者研究了s y m m e t r i c 环的一些性质和扩张，主要结果： ( 1 ) 设r 是环，n n 且n 2 若r 是r e d u c e d 环，则r z ( 扩) 是s y m m e t r i c 环，其中( x n ) 是由扩生成的r x 1 的理想 ( 2 ) 设r 是a r m e n d a r i z 环，则r 是s y m m e t r i c 环当且仅当r x 是s y m m e t r i c 环当且仅当r k ；z _ 1 】是s y m m e t r i c 环 ( 3 ) 假设存在冗的古典右商环q 则冗是s y m m e t r i c 环当且仅当q 是 s y m m e t r i c 环 张春霞在文献 1 3 】中对s y m m e t r i c 环进行了推广，引入了弱s y m m e t r i c 环 的概念环r 称为弱s y m m e t r i c 环，若对任意a ，b ，c r ，当a b c = 0 时，则有 a c b n i l ( r ) 并研究了其相关的性质和扩张 塑翌里翌堕三笙堑塑亡墨垒! 翌呈呈壁垒! 垦墅 1 2 a r m e n d a r i z 环的研究概述 m b r e g e 和s c h h a w c h h a r i a 于1 9 9 7 年在文献f 1 0 1 中引入了a r m e n d a r i z 环的概念称环r 是a r m e n d a r i z 环，如果( x ) = a i x ，g ( x ) = 剐z 】 满足f ( x ) g ( x ) = 0 ，则有a i b j = 0 ( v i ，歹) 之所以称为a r m e n d a r i z 环，是因为e p a r m e n d a r i z 早在1 9 7 4 年在文献 1 】中已经发现r e d u c e d 环( 即不含非零的幂等 元的环) 满足这一条件，即r e d u c e d 环是a r m e n d a r i z 环a r m e n d a r i z 环的概念提 出后便成为国内外数学工作者研究的热点，它的性质逐渐被数学工作者所研究 对a r m e n d a r i z 环的研究主要分两种： 一种是研究a r m e n d a r i z 环本身的性质和扩张以及与相关环的关系 文献【1 0 ，1 l ，1 缸1 7 】等对a r m e n d a r i z 环进行了研究，并且讨论了a r m e n d a r i z 环与r e d u c e d 环，g a u s s i a n 环，s e m i c o m m u t a t i v e 环等之间的关系 另一种是对a r m e n d a r i z 环的概念进行推广从而得到更广泛的环类 文献f 2 8 1 对a r m e n d a r i z 环的概念进行了推广，引入了弱a r m e n d a r i z 环的定 义环r 称为弱a r m e n d a r i z 环，若对任意t 厂( z ) = a i x ，g ( x ) = r x 】满 足f ( x ) g ( x ) = 0 ，则有a i 如n i l ( r ) ( v i ，歹) 文献【2 8 ，2 9 】等研究了弱a r m e n d a r i z 环的一些性质和扩张 由于a r m e n d a r i z 环的定义与多项式环有关，因此文献f 3 1 1 将a r m e n d a r i z 环的概念推广到形式幂级数环上，引入了强a r m e n d a r i z 环的定义环兄称 为强a r m e n d a r i z 环，若对任意厂( z ) = a i x ，g ( x ) = r 陋】 满足 ，( z ) 夕( z ) = 0 ，则有a i 幻= 0 ( v i ，歹) 这样a r m e n d a r i z 环的相关性质就可以推广到 强a r m e n d a r i z 环上文献f 3 1 ，3 2 1 等研究了强a r m e n d a r i z 环的一些性质和扩张 对a r m e n d a r i z 环的概念的另一类重要推广就是将其推广到斜多项式环上 设q e n d ( r ) ，在r x 】上定义了新的乘法：z 7 = q ( 7 ) z ( v r r ) ，则称r p ；q 】为 斜多项式环文献 1 8 和 1 9 】分别将a r m e n d a r i z 环推广到了斜多项式环上，引入 了下面的两个定义环r 称为q s k e wa r m e n d a r i z 环，设q e n d ( r ) ，若对任意 p = a i x ，q = r k ；o l 】满足p 口= 0 ，则有o t a ( 吣) = 0 ( v i ，歹) 环r 称为 i - - - - 0 j = o mn c e - a r m e n d a r i z 环，设o e n d ( r ) ，若对任意p = a i x ，q = 如r 【z ；o l 】满 p q = 0 ，则有a i 6 j = 0 ( ，歹) 易知若如是兄的恒等自同态，则r 是a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是n a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是如一s k e wa r m e n d a r i z 环文献 f 1 8 ，2 1 ，2 2 1 和f 1 9 1 分别对a s k e wa r m e n d a r i z 环和o l a r m e n d a r i z 环进行了研究， 2 塑曼z 里里生! 堡堑塑亡墨垒! 翌旦翌璺塑! 圣堑 并且将a r m e n d a r i z 环的相关性质和扩张进行了相应的推广 对于a r m e n d a r i z 环本身以及其相关的推广还有一些研究成果可参见文献 2 3 ，3 5 3 9 】等，在此我们就不再一一赘述由于对a r n m n d a r i z 环的研究开始于 1 9 9 7 年，所以这还是一个比较新的研究方向，还有许多问题有待我们去解决 1 3 本文的主要工作 首先，由文献【5 】5 可知s y m m e t r i c 环冗上的多项式环r x 】不一定是s y m m e t r i c 环，但是当条件增强后，我们引入了强s y m m e t r i c 环的概念，并且研究了强 s y m m e t r i c 环上的一些扩张性质主要结果： 定理2 2 3 对于环r ，下面的结论等价： ( 1 ) r 是强s y m m e t r i c 环；( 2 ) r x 】是强s y m m e t r i c 环；( 3 ) r p ；z - 1 】是强s y m - m e t r i c 环 定理2 2 8 ：对于环冗的某个理想，设n i 是强s y m m e t r i c 环若，是 r e d u c e d 环，则冗是强s y m m e t r i c 环 定理2 2 1 0 ：假设存在r 的古典右商环q 则r 是强s y m m e t r i c 环当且仅当 q 是强s y m m e t r i c 环 其次，我们继续对a r m e n d a r i z 环进行研究，得出了q a r m e n d a r i z 环上的 一些性质主要结果： 定理3 6 设o l a u t ( r ) ，如果兄是q a r m e n d a r i z 环，则r 在右( 左) 零化子上 满足升链条件当且仅当剐z ；q 】在右( 左) 零化子上满足升链条件 定理3 。8 设q a u t ( r ) ，若r 是o l a r m e n d a r i z 环，则兄是右z i p 环当且仅当 剐z ；o l 是右z i p 环 定理3 9 设q e n d ( r ) ，如果r 是o l s k e wa r m e n d a r i z 环且剐z ；o z 是 s y m m e t r i c 环，那么r 是a a r m e n d a x i z 环 定理3 1 2 设q e n d ( r ) ，佗n 且礼2 ，则冗是a r i g i d 环当且仅当 r m ( z 珏) 是a a r m e n d a r i z 环 定理3 1 6 设a e n d ( r ) ，若兄是a - a r m e n d a r i z 环，则下列结论等价： ( 1 ) r 是q s e m i c o m m u t a t i v e 环；( 2 ) r 陋；o l 】是s e m i c o m m u t a t i v e 环 最后，我们统一了弱a r m e n d a r i z 环和q a r m e n d a r i z 环的概念，引入了弱 a a r m e n d a r i z 环的概念，并且研究了弱q a r m e n d a r i z 环上的一些扩张和性质主 要结果： 3 定理4 2 1 设o t e n d ( r ) ，则下列结论等价： ( 1 ) r 是弱q a r m e n d a r i z 环； ( 2 ) u t ( r )是弱a a r m e n d a r i z 环，其中n 5 i ； ( 3 ) l t m , 。( r ) 是弱a a r m e n d a r i z 环，其中n n 定理4 3 6 设q e n d ( r ) ，且q ( 1 ) = 1 ，e 是环r 的中心幂等元且q ( e ) = e ， 则下列结论等价： ( 1 ) r 是弱q a r m e n d a r i z 环； ( 2 ) 对于任意e r 有e r e 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 是弱a - a r m e n d a r i z 环； ( 3 ) 存在某个e r 使得e r e 和( 1 一e ) r ( 1 一e ) 是弱q a r m e n d a r i z 环 定理4 3 7 设r 是弱q a r m e n d a r i z 环若兄是s y m m e t r i c 环，则对任意 a ，b r 有： ( 1 ) 若a b n i l ( r ) ，贝0 有o z n ( o ) 6 n i l ( r ) ，其中n n ( 2 ) 若a b n i l ( r ) ，则有a a n ( 6 ) n i l ( r ) ，其中n n ( 3 ) 若存在某个m n 使得n q m ( 6 ) n i l ( r ) ，则有a b n i l ( r ) ( 4 ) 若存在某个m n 使得q m ( n ) 6 n i l ( r ) ，则有a b n i l ( r ) 定理4 。3 1 1 设q e n d ( r ) ，r 是弱a a r m e n d a r i z 环若r 是s y m m e t r i c 环， 则r 是弱a - s k e wa r m e n d a r i z 环 4 塑曼z 翌里皇! 曼竺堑塑! 墨垒! 翌旦呈堡垒! ! 圣墅 2 强s y m m e t r i c 环 2 1 强s y m m e t r i c 环的定义 定义2 1 1 【1 l 环r 称为r e d u c e d 环，若r 不含有非零幂零元( 即对任意 a r ，当a 2 = 0 时，则有a = 0 ) 定义2 1 2 【2 】环兄称为s y m m e t r i c 环，若对任意a ，b ，c r ，当a b c = 0 时，则 有a c b = 0 定义2 1 3 3 】环r 称为r e v e r s i b l e 环，若对任意a ，b r ，当0 6 = 0 时，则有 b a = 0 由文献 4 】知r e d u c e d 环是s y m m e t r i c 环，s y m m e t r i c 环是r e v e r s i b l e 环，但是 它们的逆均不成立，【4 】中的例i i 5 和例1 5 分别给出了反例 对于r e d u c e d 环，s y m m e t r i c 环，r e v e r s i b l e 环上的多项式环r m ，我们有下面 的结论： 1 环兄是r e d u c e d 环当且仅当r x 是r e d u c e d 环； 2 。若r 是s y m m e t r i c 环，则冗上的多项式环r x 】不一定是s y m m e t r i c 环，文 献 5 】给出了反例； 3 若r 是r e v e r s i b l e 环，则r 上的多项式环r x 1 不一定是r e v e r s i b l e 环，文献 i s l 给出了反例 文献 9 中，作者讨论了r e v e r s i b l e 环r 上的多项式环r x 】是r e v e r s i b l e 环的 情况，引入了强r e v e r s i b l e 环的概念并研究了它的相关性质 定义2 1 4 【9 j 环r 称为强r e v e r s i b l e 环，若对任意厂( z ) ，g ( x ) 引z 】，当 f ( x ) g ( x ) = 0 时，贝0 有9 ( z ) f - ( x ) = 0 受此启发，我们考虑s y m m e t r i c 环r 上的多项式环r x 】是s y m m e t r i c 环的 情况，引入了下面的定义 定义2 1 5 环r 称为强s y m m e t r i c 环，若对任意厂( z ) ，9 ( z ) ，h ( x ) 吲z 】，当 f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 0 时，则有y ( x ) h ( x ) g ( x ) = 0 易见强s y m m e t r i c 环是s y m m e t r i c 环，但是其逆不成立 5 ，例3 1 j 强s y m m e t r i c 环是强r e v e r s i b l e 环，但是由【9 ，例2 1 的强r e v e r s i b l e 环不一定是s y m m e t r i c 环可知其逆不成立任意r e d u c e d 环都是强s y m m e t r i c 环 5 塑兰z 里里呈! ! ! 曼堑塑亡墨垒! 翌竺翌堡垒! 堡墅 2 2 强s y m m e t r i c 环的扩张性质 命题2 2 1 强s y m m e t r i c 环的子环和直积仍是强s y m m e t r i c 环 命题2 2 2 对于环r ，下面的结论等价： ( 1 ) r 是强s y m m e t r i c 环； ， ( 2 ) e r 和( 1 一e ) r 是强s y m m e t r i c 环，其中e 是r 的中心幂等元； ( 3 ) - 1 r 是强s y m m e t r i c 环，其中是由r 的中心正则元构成的乘法封闭 子集 证明：( 1 ) 营( 2 ) 当e 是冗的中心幂等元时，易证e r 和( 1 一e ) r 是r 的理 想，且r = e ro ( 1 一e ) r ，由命题2 2 1 易得 ( 1 ) 号( 3 ) 设 ， ) = 仳f l o ，g ( z ) = 哼1 b j x j ， ( z ) = 叫i 1 c k x 詹( 一1 尺) k 】 t = 0 j = o k = o 满足，( z ) 夕( z ) 允( z ) = 0 那么有 f ( x ) = ( u m u m 一1 u o ) f ( x ) ，c ( x ) = ( 一1 v o ) g ( x ) ， h ( x ) = ( w 。w 。一1 w o ) h ( x ) r x 】 并且f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 0 因为r 是强s y m m e t r i c 环，所以有f ( x ) h ( x ) g ( x ) = 0 由于u i ，w k ( v i ，j ，k ) 都是中心正则元，则有f ( x ) h ( x ) g ( x ) = 0 所以1 r 是强 s y m m e t r i c 环 ( 3 ) 兮( 1 ) 因冗是- 1 r 的子环，则由命题2 2 1 可得 由所有形式和m t 按通常的加法和乘法构成的环，其中未知元x 的系数 m t r ，k ，n 为( 可取负) 整数，称为l a u r e n t 多项式环，记为r 陋；x - 1 】 我们知道，当r 是s y m m e t r i c 环时，r x 】不一定是s y m m e t r i c 环，但是对于强 s y m m e t r i c 环，我们有下面的结论。 定理2 2 3 对于环r ，下面的结论等价： ( 1 ) r 是强s y m m e t r i c 环； ( 2 ) r x 】是强s y m m e t r i c 环； ( 3 ) 剐z ；z _ 1 是强s y m m e t r i c 环 证明：( 1 ) ( 2 ) 任取 pq r ，( ) = f i y i , 夕( 可) = 毋矿，危( 可) = h 七y 良( r 【z 】) 刎 i = o j = o k - = o 6 强s y m m e t r i c 环和广义a r m e n d a r i z 环 且满足，( 可) 夕( y ) ( 秒) = 0 ，其中五，g j ，h k r m ( ，j ，忌) 设多项式 ，缈，h 惫( v i ，j ，尼) 中次数最高为n 令y = x n + l ，则 且f ( x n + 1 ) ，g ( x n + 1 ) ，h ( x 凡+ 1 ) 的系数集合分别是y o ，f l ，厶系数集合的并集， 跏，夕l ，蜘系数集合的并集，h o ，h 1 ，h ，系数集合的并集由于x 与r 中元 素可交换且f ( y ) g ( y ) h ( y ) = 0 ，则有f ( x n + 1 ) 9 ( z n + 1 ) ( 扩+ 1 ) = 0 因为r 是强 s y m m e t r i c 环，所以有f ( y ) h ( y ) g ( y ) = 厂( 扩+ 1 ) 九( z n + 1 ) 夕( z n + 1 ) = 0 由此可得r x 】 是强s y m m e t r i c 环 ( 2 ) 冷( 3 ) 令= 1 ，x ，z 2 ，) 显然是r x 】的乘法封闭子集因为 r z ；x _ 1 】= a - 1 引z 】，且r x 】是强s y m m e t r i c 环，所以由命题2 2 2 可得r k ；z 一1 】 是强s y m m e t r i c 环 ( 3 ) 专( 1 ) 因r 是冗k ；z _ 1 】的子环，则由命题2 2 1 可得 定义2 2 4 【1 0 l 环兄称为a r m e n d a r i z 环，若对任意f ( x ) = a i x ，g ( x ) = n i = 0 幻r x 】满足f ( x ) g ( x ) = 0 ，则有n t 幻= 0 ( v ，歹) 下面我们将给出强s y m m e t r i c 环的另一个例子，同时它还说明了强s y m m e t r i c 环不一定是r e d u c e d 环 命题2 2 5 设r 是环，n n 且n 2 若r 是r e d u c e d 环，则r x ( x n ) 是强 s y m m e t r i c 环，其中( 扩) 是由扩生成的r x 的理想 证明：由于r m ( z n ) 既是s y m m e t r i c 环 5 ，定理2 3 】又是a r m e n d a r i z 环 1 1 ， 定理5 】，则由 5 ，命题3 4 】可知r m ( 扩) 是强s y m m e t r i c 环 设r 是环，m 是( r ，r ) 一双模，r 通过m 的平凡扩张是指环t ( r ，m ) = 兄om ，其中加法运算为按分量相加，乘法运算定义为( r 1 ，m 。) ( r 2 ，m 。) = ，、目1 【r l r 2 ，r i m 2 + m l r 2 ) 勿让 t c r ，m ，竺 ( ：) i rer , mcm ) 其运算为一般的矩阵运算 推论2 2 6 若r 是r e d u c e d 环，则t ( r ，r ) 是强s y m m e t r i c 环 证明：因为t ( r ，r ) 型r x ( x 2 ) ，所以根据命题2 2 5 可得t ( r ，r ) 是强 s y m m e t r i c 环 1 zr 南+ n z 岛 忽 r 脚 = + n z危 +n z 缈 g 舢 = +n z g +n z 五 p 铷 = + n z ， 强s y m m e t r i c 环和广义a r m e n d a r i z 环 引理2 2 7 【9 l 对于环兄的某个理想j ，设r i 是强r e v e r s i b l e 环若j 是 r e d u c e d 环，则r 是强r e v e r s i b l e 环 对于强s y m m e t r i c 环，我们可以得到类似的结论 定理2 2 8 对于环冗的某个理想j ，设n i 是强s y m m e t r i c 环若，是 r e d u c e d 环，则兄是强s y m m e t r i c 环 证明：由于强s y m m e t r i c 环是强r e v e r s i b l e 环，则由已知条件和引理2 2 7 可 得r 是强r e v e r s i b l e 环设，( z ) ，9 ( z ) ，h ( x ) r x 】满足，( z ) 9 ( z ) ( z ) = 0 我们要 证f ( x ) h ( x ) g ( x ) = 0 由f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 0 可得9 ( z ) 厂( z ) 9 ( z ) ( z ) = 0 因为r 是 强r e v e r s i b l e 环，所以g ( x ) h ( x ) g ( x ) f ( x ) = 0 ，进而有0 一g ( z ) 危( z ) 夕( z ) 厂( z ) 危( z ) = 危( z ) 9 ( z ) ，( z ) 九( z ) 夕( z ) = ，( z ) 允( z ) 夕( z ) 厂( z ) 允( z ) 夕( z ) = ( ，( z ) ( z ) 9 ( z ) ) 2 另一方面，设，( z ) = 厂( z ) + ， z 】，则由f ( x ) g (