（流体力学专业论文）纤维悬浮流中粒子取向分布及其对本构关系的影响.pdf

感谢 国家杰出青年科学基金 ( n o 1 9 9 2 5 2 1 0 ) 和 国家自然科学基金 ( n o 1 0 3 7 2 0 9 0 ) 资助9 j斟j 浙江大学博士学住论文张凌新2 0 0 55 学号量9 量壁墨壁q 量 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得堑姿盘茎或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 涨躲锯毒绎瓤腓伽了目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿盘堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝姿盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ，b、 学位论文作者签名：鸽惩、侈翩签名：怅患 签字魄护舜r 月1 曰 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 签字嗍：埘年辱月7 月 电话 邮编 浙江大学博士学位论文 张凌新2 0 0 55 摘要 纤维粒子悬浮流具有广泛的应用背景。与一般悬浮流不同的是，纤维悬浮流 中的纤维粒子具有方向性，这种方向性极大地影响了悬浮流的宏观物理特性，因 而研究纤维粒子在流场中的取向分布是有别于其它悬浮流的重要的研究内容。 本文分别研究了稀相平面收缩层流、半稀相平面剪切层流和稀相平面剪切湍 流的纤维悬浮流中，纤维粒子的取向分布特性以及取向分布对悬浮流宏观应力应 变关系的影响。 在稀相平面收缩层流中，数值模拟了取向分布函数随时间以及流场位甓的变 化关系，同时计算了纤维四阶取向张量，得到了收缩流场的附加粘度。结果显示， 粒子在短时间内形成的取向分布已经较为接近稳态分布，速度梯度是影响取向趋 于稳态分布快慢的因素。通过改变流量和收缩流场的收缩角度，发现稳态时的悬 浮流粘度分布与r e y n o l d s 数无关，而仅依赖于流场的收缩角。 在半稀相平面剪切层流中，首先数值模拟了包含取向扩散的取向分布函数方 程。在计算模型中，考虑了由粒子附加应力导致的正应力差，它的影响被考虑成 等效应变的形式。通过对不同长径比纤维的计算，给出了粒子取向分布与悬浮流 粒子浓度的关系，所得的四阶取向张量的计算结果与现有文献中的实验结果比较 吻合。另外，对纤维长径比为1 0 的半稀相悬浮流进行了粘度测量实验，结合其 它对不同长径比纤维的实验结果，提出了适用于半稀相纤维悬浮流的修正的粘度 表达式。 在稀相平面剪切湍流中，首次采用霄诺平均的方法，从理论上建立了包含脉 动函数的平均取向分布函数的控制方程。通过分析求解脉动分布函数方程，将平 均方程中的脉动关联项表示成平均函数的形式，由此建立了平均分布函数的封闭 方程。将以上方程和模型用于圆管及平面槽流纤维悬浮流场，数值模拟了纤维平 均取向分布函数方程，部分计算结果同文献中的实验结果进行了比较，说明流体 湍动导致了粒予取向分布的扩散效应，纤维取向分布随着r e y n o l d s 数的增大趋 于平缓，由此导致纤维粒子附加切应力的增大和附加正应力差的减小。 ：竖奎兰堡圭耋垡童耋 。，釜鎏錾! ! ! i 兰 a b s t r a c t u n d e r s t a n d i n gt h ep h y s i c a lp r o p e r t i e so ff i b e rs u s p e n s i o n si sc u r r e n t l yo fg r e a t i n t e r e s ti nm a n ya r e a s d i f f e r e n tf r o ms p h e r i c a lp a r t i c l es u s p e n s i o n s ，t h ep r o p e r t i e so f f i b e rs u s p e n s i o n sm o s t l yr e l y0 nt h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o no ff i b e r sd u et ot h e i r s l e n d e rb o d i e s i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ep a r t i c l eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o no ff i b e r s s u s p e n s i o n sd u r i n gf l o w s i nt h i st h e s i s ，t h ep a r t i c l eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o no ff i b e rs u s p e n s i o n sa sw e l la s t h eb u l ks t r e s s e so ff i b e rs u s p e n s i o n si si n v e s t i g a t e d t h r e ec a s e sa r et r e a t e d ，i e ( 1 ) d i l u t ep l a n a rc o n v e r g i n gc h a n n e lf l o wi nl a m i n a rr e g i m e ；( 2 ) s e m i - d i l u t ep l a n a rs h e a r f l o wi nl a m i n a rr e g i m e ；( 3 ) d i l u t ep l a n a rs h e a rf l o wi nt u r b u l e n tr e g i m e i nt h ed i l u t ep l a n a rc o n v e r g i n gc h a n n e lf l o wi nl a m i n a rr e g i m e ，t h eo r i e n t a t i o n d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ( o d f ) a n dt h eo r i e n t a t i o nt e n s o ra r en u m e r i c a l l ys i m u l a t e d ，a n d t h ee f f e c t i v ev i s c o s i t yo ft h ef i b e rs u s p e n s i o n sa r eo b t a i n e d t h ec a l c u l a t i o ns h o w s t h a tt h et r a n s i e n to r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o no ff i b e r si sd e p e n d e n to ft i m ea n dt h e v e l o c i t yg r a d i e n t so fc o n v e r g i n gc h a n n e lf l o w s t h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o no ff i b e r s a p p r o a c h e st h es t e a d ys t a t ew i t hr e l a t i v e l ys h o r tt i m e t h et i m er e a c h i n gs t e a d ys t a t e d e p e n d so nt h em a g n i t u d eo fv e l o c i t yg r a d i e n t s t h es t e a d yv i s c o s i t yd i s t r i b u t i o ni n w h o l ef l o wf i e l dd e p e n d s0 1 1t h ec o n v e r g i n ga n g l e so f f l o wf i e l d s ，b u tn o to nr e y n o l d s n u m b e r s t h e r ea r et w op a r t si nt h es e m i - d i l u t ep l a n a rs h e a rf l o wi nl a m i n a rr e g i m e i nt h e p a r to n e ，t h ee q u a t i o nf o ro d f , w h i c hi n c l u d e st h eo r i e n t a t i o nd i f f u s i o nt e r m s ，i s n u m e r i c a l l yc a l c u l a t e d i na d d i t i o n ，t h em o d e lo fo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o ni sm o d i f i e d b yc o n s i d e r i n gt h en o r m a ls t r e s s e s ，w h o s ee f f e c ti se x p r e s s e di nt e r m so fe f f e c t i v e s t r e t c hs t r a i n s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o na n df i b e r c o n c e n t r a t i o n si ss t u d i e d t h ec a l c u l a t e dr e s u l t so ft h ec o m p o n e n t so fo r i e n t a t i o n t e n s o ra r ew e l lc o m p a r e dw i t ho t h e r s e x p e r i m e n t a ld a t a i nt h ep a r tt w o ，a n e x p e r i m e n to nt h ev i s c o s i t yo ft h es e m i - d i l u t es u s p e n s i o n so fa s p e c tr a t i oo f10i s d e r f b r m e d c o m b i n e dw i t ho t h e r s m e a s u r e m e n t so fv i s c o s i t yw i t hd i f f e r e n ta s p e c t 2 r a t i o s ，an e we x p r e s s i o nf o rt h es h e a rv i s c o s i t yo fs e m i d i l u t ef i b e rs u s p e n s i o n si s p r o p o s e d i nt h ed i l u t ep l a n a rs h e a rf l o wi nt u r b u l e n tr e g i m e ，t h em e a n e q u a t i o nf o ro d f i s d e r i v e df i r s tt i m eb yu s i n gr e y n o l d sa v e r a g i n gm e t h o d b yo b t a i n i n gt h ea n a l y t i c r e s u l to ft h ef l u c t u a t i o ne q u a t i o nf o ro d f , t h ec o r r e l a t i o nt e r m si nm e a l le q u a t i o na r e r e l a t e dt ot h et e r m so ft h em e a no d f t h u s ，as e l f - g o v e r n e de q u a t i o nf o rt h em e a n o d fi nd i l u t ef i b e rs u s p e n s i o n si nt u r b u l e n tr e , m ei sd e r i v e d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o ni sn u m e r i c a l l ys i m u l a t e di nap i p ef l o wa n dac h a n n e lf l o w s o m eo ft h e c a l c u l a t e dr e s u i t sa l ec o m p a r e dw i 1t h em e a s u r e dd a t ai nt h el i t e r a t u r e t h er e s u l t s s h o wt h a tt h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o ni sd i s p e r s e dd u et ot h er a n d o m i z i n ge f f e c to ft h e t u r b u l e n c e ，a n db e c o m eb r o a d e rw i t ht h ei n c r e a s e so fr e y n o l d sn u m b e r s ，w h i c h i n d i c a t e st h a tt h ea d d i t i o n a ls h e a rs t r e s si n c r e a s e sw h i l et h en o r m a ls t r e s sd i f f e r e n c e d e c r e a s e s 3 塑兰垄兰堡圭兰竺兰圭 堡垒竺：! ! ! ! 常用的基本符号说明 三 纤维粒子长度 d 粒子直径 ，粒子半长 a 粒子长径比，等于上d 兄 粒子长径比参数，等于( 口2 1 ) ( 口2 + 1 ) 单位体积内的粒子数目 粒子总数 v 悬浮流体积 c 粒子体积分数，等于三删2 p 粒子轴向单位矢量 一p 的时间变化率，指粒子的转动速度 p ( p ) 粒子取向分布函数 二阶取向张量 四阶取向张量 d 。 二阶取向张量分量 d 。 四阶取向张量分量 ， 粒子点力 t t 流体速度 e 流体应变率张量，等于( v u + v u 7 ) 2 缈 流体涡度张量，等于( v u v u 7 ) 2 置流体速度梯度张量，等于v u 7 “流体粘度 塑兰奎兰箜圭兰堡丝圭 璧壅耋：竺i 耋 盯 一 仃， 悬浮流总应力张量 粒子附加粘度 粒子附加应力 悬浮流有效粘度系数 浙江走孝博士学位论文张凌新2 0 0 55 第一章绪论 绪论主要是纤维悬浮流的一般性描述和本文研究工作的来龙去脉。包括四部 分内容：背景及意义、一般性理论、相关研究综述、本文内容和创新点。其中在 “一般性理论”中介绍了纤维悬浮流的基本模型假设，在“相关研究综述”中每 个领域叙述的结尾，简要地点到了本文所提炼的方向。 1 1 论文背景及研究意义 多相流是流体力学的一个重要分支，其中流固两相流是非常普遍的现象和重 要的研究领域。流固两相流通常是指一种运动的液体或气体中含有某种固体粒子 而形成的混合物流动。若将流体相认定为牛顿流体，例如空气、水或者其它流体， 那么这些流体不仅遵守物质守恒定律和牛顿运动定律，还将满足牛顿流体的本构 方程。固体粒子方面，粒子的物理特征主要取决于粒子的尺度和形状，相对而言， 尺度有大小之分，形状可以粗略地分为球状和非球状。本篇论文研究的就是一般 的牛顿流体中含有较小的细长圆柱状纤维粒子的混合物的流动，我们称这种两相 流为纤维悬浮流。 流固两相流中，近似球状粒子的研究较为普遍。在日常生活中，比较熟悉的 有烟气、风沙等的运动，在工业应用中，有煤灰等粒子的气力输送、煤粉燃烧、 石油催化裂化等。 但是在自然界和工业技术中，非球状的粒子也极为常见，例如大气中的冰晶、 河流中的众多污染物、水气中的微生物、粮食加工和输送中的谷物、化工成型中 的短纤维等。由于非球状粒子不是各向同性的，那么它们的受力、转动和取向分 布必定需要额外地加以考虑，这就增加了研究它们的难度。 纤维粒子就是这样一类极有代表性的非球状粒子：首先，它的形状在轴向上 占优；其次，轴向以外的两个方向各向同性，用轴向矢量即能描述它的角度位最。 因此纤维粒子悬浮流在开拓非球状粒子两相流的研究上具有一定的理论意义。 纤维悬浮流本身也有广泛的应用，例如： 浙江大学博士学位论文张凌晰2 0 0 55 1 ) 环境方面，研究悬浮流的性质可以了解某些柱状粒子污染物的分布、扩 散和沉积等特征，评估它们对环境的影响并进行有效控制； 2 ) 医学方面，研究纤维在肺中的运动，可以更深入地认识相关职业病的发 病原因，从而采取措施加强预防和保护； 3 ) 化工方面，短纤维复合材料的成型和加工与悬浮流的动力学特性密切相 关，加工过程中由流动引起的纤维取向分布直接决定了成品的质量； 4 ) 纺织方面，大部分纺织品的成型与加工都是短纤维分组成束、成片的过 程，纤维在气流中的取向、均匀度、绕卷度、扭曲度等直接决定了成品的强度和 手感； 5 ) 造纸方面，纸张的强度和质地也极大地依赖于纸浆流动过程中木纤维的 浓度分布和取向分布： 纤维悬浮流的研究涉及到多相流动力学、流变学、统计力学、湍流理论、多 体动力学等多个学科分支。在流动过程中，流体介质与悬浮粒子相互耦合作用， 同时纤维粒子之间也存在相互影响。因此，纤维悬浮流构成了一个复杂的动力系 统。虽然对这一流动系统的理论及实验研究早己开始，并且取得了一定数量的阶 段性成果，但是仍有大量难点问题亟待解决。 1 2 纤维悬浮流一般理论 这一节中主要是有关纤维悬浮流的一般性描述、物理模型和基础理论。介绍 中包括粒子长径比、粒子浓度、粒子取向分布等概念以及粒子的受力分析、转动 速率和连续介质的理论，最后总结模型及其相应的假设。其中取向分布和悬浮流 附加应力理论仅是初步的，详细内容将在第二章中阐述，因为它们是本文研究的 主线。 1 2 1 纤维动力学 迄今为止，纤维悬浮流的研究大部分是采用如下假设：纤维假设为刚性的柱 状粒子。周围的悬浮液为牛顿流体。单根纤维在牛顿流体中的运动状况及其对周 围流体的影响是纤维悬浮流研究的基本问题之一。 浙江大学博士学位论文 张凌新2 0 0 55 。卜一。一 8 享 二；三寸 o p 圈1 1 纤维粒子的物理描述。 纤维粒子的形状为细长的圆柱状，大致上象火柴棒，如图1 1 所示，其中卢 为粒子轴向的单位矢量。它的特征尺度可以由它的长度来确定，常见的为从几 十微米到几十毫米的量级。它的细长程度由长度工和直径d 共同描述，d 即为 粒子的长径比a ( a s p e c tr a t i o ) ，一般彳的范围从几到几百这个量级，这是纤维悬 浮流运动中重要的参数。 不管粒子的形状如何，粒予所受的力的种类大致相同。在定常的流动中，粒 子主要受到s t o k e s 力，即流体对粒子的粘性力：非定常运动中，要考虑到与粒 子加速过程相关的b a s s e t 力和附加质量力等：另外的情况是，当粒子尺度极小时， 要考虑b r o w n 效应，当粒子之间非常接近时，要考虑粒子间的作用力。 对于纤维这种细长体，所受的各种力的描述要比球状粒子复杂。但是总体而 言，纤维粒子所受的力可分解为平行和垂直粒子轴线的两个分量f ，和f ，。 2 0 世纪7 0 年代开始，b a t c h e l o r ( 1 9 7 0 b ) 、c o x ( 1 9 7 1 ) 等人在定常s t o k e s 流动 中，利用渐近匹配和多级展开方法，建立并发展了细长体理论，并应用该理论计 算任意截面细长形粒子在流场中所受的粘性力和力矩。 分析纤维粒子在流体中的非定常运动，除考虑粘性s t o k e s 力之外，还应包 括与粒子加速运动过程相联系的b a s s e t 力和附加质量力。在f o u r i e r 频域，纤维 受力可以表示为： fz b + 蛾+ 甜2 + ；c o + 1 f 1 6 i 丌( 、f ，b ) bi ， ( 1 1 ) 其中是振荡频率参数，b 、b 和分别是s t o k e s 阻力、b a s s e t 力和附加质 量力。 如果纤维粒子的尺度极小，则不能忽略b r o w n 运动和b r o w n 力f 8 。体现 塑兰叁耋竺圭茎竺耋耋 釜鎏誓 ! ! 竺i b r o w n 运动影响的参数是p e c l e t 数 肌掣， ( 1 2 ) 其中k 为b o l t z m a n n 常数，r 是温度，为流体动力粘度，为流场应变率张量。 当p p 数很小时，b r o w n 运动的影响明显，纤维的取向分布趋于均匀，纤维悬浮 液呈各向同性。 如果两报纤维之间的距离厅足够小，则粒子之间存在长程动力相互作用，只 用细长体理论将产生很大误差。这时就要再考虑纤维间的润滑效应。y a m a n e 等 人( 1 9 9 5 ) 得到的润滑力的表达式为： 一篇知 ， i a ，2 f 舟 其中i r ，是垂直于纤维，2 轴线的单位向量，d 为纤维直径。 以上是对各类力的概述。而在本文中，因为研究的重点不在单根粒子的运动 分析上，所以对粒子受力的考虑就有一定的取舍： 1 ) 在定常流中，粒子主要受到粘性力，不考虑b a s s e t 力和附加质量力： 2 ) 不考虑b r o w n 效应； 3 ) 在粒子浓度较高的情况下，考虑粒子间的长程动力相互作用； 另外对第一条还有一个重要的补充：假定粒子的尺度较小，则忽略粒子的体 积力和惯性力，即粒子中心点跟随流体质点移动。 在只考虑粘性力的情况下，j e f f e r y ( 1 9 2 2 ) 计算了椭球形粒子在简单剪切流中 运动，并推导出粒子方向矢量p 的变化率方程： 声= o e 一缈) p o e 一缈) ? p p p ， ( 1 ，4 ) 其中e = ( v u + v u 7 ) 2 和= ( v u v u 7 ) 2 分别是流体的应变率张量和涡度张 量，a = ( a 2 1 ) ( a2 4 - 1 ) 是粒子长径比参数。j e f f e r y 的奠基性工作成为悬浮纤维 动力学的理论基础。随后b u r g e r s ( 1 9 3 8 ) 提出o s e e n ，b u r g e r s 方法，假设流体作用 在圆柱状粒子上的力沿粒子轴线呈多项式分布，并由此计算了柱状粒子绕垂直轴 线的轴转动所受的力矩，证明此公式适用于柱状粒子。 浙江大学博士学往论文张凌新 2 0 0 55 1 2 2 取向描述 纤维粒子是非球状粒子中典型的具有明显方向性的粒子，它们的取向状态对 于悬浮流的宏观属性有着极大的影响。 一般而苦，对悬浮流的研究有两大方法：一是拉格朗日方法，即从微观角度 出发，立足于纤维个体的运动和受力。通过分别求解纤维粒子和周围流体的动力 学方程，得到所有粒子的运动状态，经过统计给出悬浮体系的结构信息。另一方 法是欧拉方法，即把悬浮系统视作单一的连续介质，着眼点是大量纤维的统计规 律，由统计的观点建立流场中纤维的取向分布函数，然后进一步探讨与取向分布 函数相关的有效粘度等悬浮体系的宏观性质。本文是基于欧拉方法，这种方法的 优点，一是计算量小，二是可以统一考虑粒子间的相互作用以及粒子的存在对流 体的影响。 单根纤维的取向可以用方向矢量p 来表示，但是大量粒子的取向则要用统计 量来描述，这是基于欧拉方法必然要面临的问题。取向分布函数就是这样一种统 计量，它的定义是：在时刻f 、位景与x 。+ d x 之间、粒子端点位于p 。与风+ 印 之间的粒子数目是h 少o ，x 0p 。k 咖，其中n 为单位体积内的粒子数目，妒为分 布函数。 为了更好地理解分布函数的概念，可以假设一个平面的运动，即纤维粒子的 轴线在二维的平面内移动和转动。假定在单位体积内有1 根粒子，粒子在位鼍空 间上均匀分布，又假设粒子取向在各个角度上的概率均等，那么分布函数成为一 个常数，它满足关系式： q 叫口= 1 ，( 1 5 ) 因此，v = 二。 2 z r 现在我们来考虑粒子转动过程中的物质守恒问题，依然假定在二维空间内， 粒子在位置空间上均匀分布。设粒子在二维平面内的转动速度为参，它依赖于粒 子的角度位置妒。而在角度和驴+ 却之间的粒子数量为缈蚴，这个量的时间 变化率取决于纤维粒子流进和流出这个角度控制体的流量。因为流经角度毋的粒 浙江大擘博士学往论文张凌新2 0 0 55 子流量为_ c ，砀) ，所以平衡方程可以写为： 导砂船脚】= 妒弦移) 一膨+ 形弦船+ 印) ， ( 1 6 ) 当彩斗。时，有 詈一品) 。 ( 1 7 ) 研a 彩 这就是纤维粒子的物质守恒方程，也就是著名的f o k k e r p l a n c k 方程。 在三维情况下，依据同样的原理，分布函数的控制方程为： 詈= 一言忡) ， ( 1 s ) 研劫7 、 其中，p 为沿粒子轴向的单位矢量，声满足方程( 1 ，4 ) 。一般三维情况下的控制方 程可以转换成球坐标下的形式，这在第四、五章中有详细的阐述。 1 2 3 悬浮流连续介质理论 欧拉场的描述有利于用连续介质的观点考虑纤维悬浮流的宏观属性。根据连 续介质的理论，将纤维悬浮流视作统一的连续体系。这个体系有两个基本的前提： i ) 悬浮流运动的尺度远大于粒子之间的平均距离，因此悬浮流被认为是准 均匀的流体，这使在控制体内求平均成为可能； 2 ) 以流体与粒子相对速度为特征速度的粒子r e y n o l d s 数很小，此时悬浮流 是准牛顿流体，即应力与速度梯度成线性关系，当然这种线性关系不再是牛顿流 体的形式。 作为统一考虑的连续体系，粒子的浓度是悬浮流重要的概念。根据粒子体积 浓度，悬浮流可以划分为不同的浓度范围： 1 ) 稀相，止3 l 且n l 2 d 1 ，满足刀札d 2 1 ，此时粒子间的直接碰撞将成为主导因 素。 浙江太学博士学位论文张凌新 2 0 0 55 本文的研究范围不涉及浓相。首先我们从稀相的问题出发来介绍悬浮流的连 续介质理论，此时，忽略粒子间的作用。悬浮流的本构方程描述了纤维粒子对悬 浮流的宏观应力的影响： 盯= 一印+ 2 e + 盯。，( 1 9 ) 右端第一、二项是牛顿流体的应力，d 是单位张量，e 为流体的应变率张量，第 三项是纤维的附加应力。 根据b a t c h e l o r 的细长体理论( 1 9 7 0 b ) 和他所建立的本构关系( 1 9 7 0 a ，1 9 7 1 ) ， 纤维的附加应力表示为： 盯，= ，( p p p p t 一扣( 即) ) ：e ， ( 1 1 0 ) 其中，2 ，= 吉x p n l 3 i n ( 2 a ) 。为粒子的附加粘度，2 是流体粘度，) 表示在取 向上的平均，取向张量的定义如下： ( p p ) = g 即呻， ( 1 1 1 ) p p p p ) = f 船即脚。 ( 1 1 2 ) 可见，引入分布函数的概念使得应力方程表述得非常简洁。 刻画悬浮流运动特征的流变属性是瞬时粘度+ 、第一和第二正应力差系数 妒+ 和妒+ 2 等，这些量可以由下式来表达： ( 7 1 2 = 2 ， 盯1 l 一盯2 2 = 伊+ i 户2 ， ( 1 1 3 ) 仃2 2 一盯3 3 = 尹+ 2 户2 其中是应力张量的分量，户是剪切流的剪切率。把取向张量代入应力分量， 能清晰地看出取向张量和流变系数关系： 正一1 】_ c 1 里1 = c 2 ( 一 ) ，( 1 1 4 ) 卢 兰2 = c 3 ( 一 ) 浙江犬学博士学位论文 张凌新2 0 0 55 其中，c ，c ：和c 。只是一些常系数。如果已知纤维粒子的取向分布，那么悬浮 流的应力方程以及宏观的流变属性均可给出。 这里需要指出的是，在考虑悬浮流的本构方程时，将粒子看作是静态的分布， 或者说是将粒子分布看作是已知的。但是，粒子的取向一直随流动而变化，粒子 受到流体的作用，流体也受到粒子的作用，这是耦合的。单方面的求解分布函数 以及单方面给出应力应变关系都是简化的做法。 在半稀情况下，对于随机取向和有序排列的纤维悬浮流，p h a n t h i e n ( 1 9 9 1 1 和s h a q f e h & f r e d r i c k s o n ( 1 9 9 0 ) 等都分别提出了自己的应力模式，在第二章中将 详细介绍s h a q f e h & f r e d r i c k s o n ( 1 9 9 0 ) 的多体作用理论。 1 2 4 物理模型说明 本节前文己经对本文所研究的纤维悬浮流物理模型作了穿插介绍，这里对前 文提及或没提及的模型假设作一概括。 纤维粒子为刚性细长圆柱状粒子，粒子长度、直径等形状参数都整齐划一； 粒子在位置空间均匀分布，即单位体积内的粒子数目均匀。 粒子r e y n o l d s 数很小，粒子流为k e s 流；同时s t o k e s 数也很小，即粒子 跟随性好，忽略粒子惯性。 受力方面，粒子只受s t o k e s 阻力，不考虑与非定常运动相关的其它力，同 时也不考虑b r o w n 运动；粒子平均距离接近时，即粒子浓度较高时，考虑粒子 间的动力作用，这种作用不是通过力的形式，而是通过取向扩散、附加粘度等物 理模型来考虑。 悬浮流运动的尺度远大于粒子之间的平均距离，悬浮流被认为是准均匀的流 场。 本文涉及的粒子浓度为稀相( n f 0 ( 1 ) 且 n l 2 d d ( 1 ) ) 。 1 3 相关研究综述 本文的中心任务是考察纤维悬浮流中纤维粒子的取向分布情况，涉及的流场 浙江大学博- t - 学住论文张凌新2 0 0 55 有层流和湍流，涉及的研究内容有粒子的取向分布和悬浮流的流变特性，同时在 半稀相的情况下，还要考虑粒子间的相互影响。因此，以上提及的这些领域的研 究成果为本文的工作提供了很好的参考。同时，综合这些成果，本文也提炼出相 应的研究内容。 1 3 1 受力分析 对于稀相纤维悬浮流，可以认为纤维的运动直接由流体作用在纤维上的力决 定，通常采用e u l e r - l a g r a n g e 模型进行分析。鉴于纤维的几何尺寸较小以及所处 流场的多样性，现有的研究大多将此问题进行了简化，分析纤维受力时有意忽略 了形式多种、复杂且较难定量描述的外力。大多数研究结果只考虑纤维所受粘性 阻力，少数研究对附加质量力和b a s s e t 力也进行了分析，至于其它性质的力如 s a f f m a n 力、m a g n u s 力、压力梯度力、热泳力以及高频振荡效应等则鲜有问津。 流场中的刚性纤维粒子呈长圆柱形，它所具有的强各向异性使得分析过程与 结果同一般的圆球形粒子显著不同，处理起来更为复杂。最早的研究可追溯到 1 9 2 2 年j e f f e r y 所做的非球形粒子受力分析的奠基性工作，他计算了常速度梯度 下s t o k e s 流场中椭球形粒子所受的合力与力矩，推导出简单剪切流中椭球形粒 子的运动公式。b a t c h e l o r ( 1 9 7 0 b ) ，c o x ( 1 9 7 1 ) 等拓展了j e f f e r y 的工作并建立了细 长体理论，他们采用级数形式表示s t o k e s 流中纤维轴向的受力分布，求出细长 粒子在流场中所受的粘性力与力矩。 y o u n g r e n & a e r i v o s ( 1 9 7 5 ) 推导了任意形状粒子s t o k e s 绕流的运动方程，并对 绕圆柱状粒子的s t o k e s 流进行了数值模拟，得到s t o k e s 阻力。l o e w e n b e r g ( 1 9 9 3 ) 采用边界积分方法计算了有限长柱状粒子在平行和垂直予主轴方向运动时受到 的s t o k e s 力、附加质量力和b a s s e t 力，其中后两者是首次得到。朱泽飞等( 2 0 0 0 ) 分析并计算了柱状粒子分别作平行和垂直予轴向运动时所受的s a f f m a n 力、 m a g n u s 力、压力梯度力、热泳力和静电力，并利用风洞进行了实验测量，总结 出柱状粒子在层流中受到的阻力、升力和力矩随粒子长径比和取向变化的经验公 式。张卫峰等( 2 0 0 0 ) 计算了平面收缩流中柱状粒子受到的s t o k e s 力、b a s s e t 力、 附加质量力、压力梯度力、m a g n u s 力和s a f f m a n 力，比较了各力的量级并对各 种影响因素作了分析。以上结果均显示，s t o k e s 力依然是最为占优的力。 浙江大学博士学往论文张凌新2 0 0 55 本文主要考虑s t o k e s 力，对于非稀相纤维悬浮流，还要考虑粒子之间的相 互作用。 1 3 2 层流场中的运动 1 3 2 ，1 纤维在混合层流场中的运动 混合层是一类典型的自由剪切流动，广泛存在于自然界和工农业生产中。2 0 世纪7 0 年代以来的实验及数值模拟结果显示，在混合层中大尺度涡结构居于主 导地位( w i n a n t & b r o w a n d ，1 9 7 4 ；余钊圣，1 9 9 9 ) 。混合层流场的这一特点，使得运 动粒子的扩散、传播性质与其它流场不同。 目前为止，关于柱状纤维粒子在混合层中运动的研究尚不多见。l i n 等( 1 9 9 9 1 采用单相耦合方法，数值模拟了纤维在混合层中的运动。流场采用拟谱方法模拟， 得到大涡的卷起过程；纤维采用l a g r a n g e 模型，考虑纤维所受s t o k e s 力、附加 质量力、b a s s e t 力和力矩。计算结果表明，纤维的平移和转动受流场拟序结构控 制。 林建忠等( 2 0 0 2 ) 用拟谱方法求解混合层流场，得到了纤维的位置和取向分 布。研究表明，当s t o k e s 数较小时，大部分纤维聚集在涡核内，并且基本呈水 平或垂直分布；而在大s t o k e s 数条件下，纤维聚集在涡核边缘，呈现不均匀分 布，此时纤维取向受涡核边缘的流场支配，呈现包络涡核的特征。同时，由纤维 导致的流场附加应力张量的最大值和最小值出现在涡核边缘，导致流场应力不均 匀。 1 3 2 2 纤维在收缩流中的运动 楔形收缩流场是壁面剪切流的一种。在已有大量针对均匀流动的研究结果基 础上，现在的研究方向正逐步转向更为复杂也更接近实际的流场，楔形收缩流作 为一类较简单而又广泛应用的流场具有重要的研究意义。 l i n 等( 2 0 0 0 ) 采用e u l e r - l a g r a n g e 模型，数值模拟了悬浮纤维在楔形收缩流 场中的运动，考虑作用在纤维上的粘性阻力、b a s s e t 力、附加质量力和高频作用 力，得到纤维的位置、速度、取向及角速度随时间的变化规律。结果表明，s t o k e s 数越小，流量越大，纤维的转动就越明显，纤维迹线与流线近似重合；s t o k e s 数 较大时，纤维趋向于朝壁面运动，且纤维几乎不转动。小s t o k e s 数时，纤维大 浙江大学博士学位论文张凌新 2 0 0 55 部分通过楔形区而不碰到壁面；随着s t o k e s 数的增大，通过楔形区的数量减少， 碰到壁面的数量增加。 l i n & w a n g 但0 0 2 ) 在以上工作的基础上作了改进，计算纤维受力时，进一步 考虑到流场速度沿纤维轴向的变化。通过对改进前后不同s t o k e s 数条件下纤维 轨迹图的比较，发现改进后的结果更符合实际，纤维运动随s t o k e s 数变化的连 续性和规律性更加明显。 可以看出的是，s t o k e s 数是纤维粒子在空间位置分布的控制参数，s t o k e s 数 越小，表明粒子对流体的跟随性也越好。 本文不考虑粒子复杂的空间位置分布，因此，将研究范围限制在小s t o k e s 数流。将利用取向分布函数模型，研究收缩流层流中的纤维粒子取向分布情况。 1 3 3 湍流场中的运动 由于湍流场与纤维粒子运动的双重复杂性，导致纤维在湍流中的运动分析难 度很大。对于纤维，运动是平移和转动的组合：湍流场中的粒子要受到流场平均 速度和脉动速度的影响，因而也具有平均运动和脉动的特征。因此和层流悬浮流 相比，湍流悬浮流的研究成果尚不多见。 对湍流场中粒子扩散问题的研究，主要是湍流对于粒子聚集的影响，此时可 以有两种方法来进行研究，即欧拉途径和拉格朗同途径。前者视扩散粒子为连续 的，湍流扩散类似于分子扩散，由f i c k 扩散方程描述；后者假设一个已知的湍 流场，通过求解粒子的运动方程得到其运动轨迹，粒子的浓度通过对大量粒子轨 迹的统计得到。 t a y l o r 首先研究了湍流扩散，在其经典文章中，建立了从一个点源出发的粒 子扩散的均方根位移与流体的拉格朗日速度关联之间的关系，并且假设固粒的扩 散特性与流体粒子相同。尽管这一假设建立了固粒的扩散与湍流场的关系，但流 体粒子的拉格朗日速度关联仍然未知，使得直接应用比较困难。因此，后来的许 多研究虽然都建立在t a y l o r 的工作基础之上，但都有所改进，例如，s h u e n 等( 1 9 8 3 ) 建立了拉格朗日速度关联的积分时间尺度和湍动能k 以及耗散率8 的关系，这种 关联被广泛应用于固粒扩散的随机走步模型以及非均匀流场的粒子扩散研究，但 迄今为止拉格朗日和欧拉统计关联的普适关系式仍是个有待解决的问题。近年 浙江大学博士学往论文张凌新 2 0 0 55 来，n s 方程的直接数值模拟己被应用于研究固粒的扩散( m c l a u g h l i n ，1 9 9 4 ) ，虽 然这一方法有很多优点，但目前还只限于研究低r e 数和具有简单流动条件的流 场。 对于纤维粒子，其扩散和取向分布都可以采用以上方法计算。但相比于已有 的圆球粒子在湍流场中扩散的研究结果，目前对于具有方向性的诸如纤维这样的 粒子在湍流场中的扩散研究则较少。 最早研究者之一是c h o 等( 1 9 8 1 ) ，他们研究了大气湍流对积雨云中具有大长 径比的纤维状冰晶体的占优指向，通过比较纤维指向趋于稳定所需的时间和涡相 互作用所需的时间，说明大气湍流对纤维平均指向的影响不是很大。 k a g e r m a n n 等( 1 9 8 4 ) 假设纤维尺度比最小的湍流尺度小，用s t o k e s 阻力、 j e 脏r v 旋转方程和k r a i c h n a n 湍流模型，建立了固粒在湍流中平动和有方向性扩 散的方程。 k r u s h k a l 等( 1 9 8 8 ) 用f o k k e r - p l a n c k 方程，计算了小纤维粒子在湍流中运动 的取向分布函数，给出了表征典型速度梯度和旋转扩散系数之比的p e 数。 b e m s t e i n 等( 1 9 9 4 ) 直接测量了玻璃纤维在管道湍流中沿轴向和横向的分布， 发现低r e 数时，管中心附近的纤维取向在流线方向附近占优，当r e 数和p e 数 增加时，纤维的指向分布开始集中，在高r e 数和低p e 数流场，湍流的随机性使 得纤维指向几乎是均匀分布。 o l s o n & k e r e k e s ( 1 9 9 8 ) ，o l s o n ( 2 0 0 1 ) 将连续介质中的f o k k e r p l a n c k 方程引 进湍流纤维悬浮流，并在无速度差的前提下通过理论方法得出扩散系数与速度关 联之间的关系，推导了无惯性的刚性纤维在湍流场中平动和转动的平均和脉动速 度方程，并用该方程计算了纤维的运动，得出扩散系数与湍流特征量以及纤维特 征量之间的关系式。结果发现随着纤维长度和湍流l a g r a n g i a n 积分长度尺度之比 的增加，粒子的扩散系数变小。 张卫峰( 2 0 0 3 ) 等采用l a g r a n g i a n 方法研究了管道悬浮流中柱状粒子的取向分 布，统计得出柱状粒子的取向分布，计算结果表明，柱状粒子长径比和s t 数的 变化对粒子取向分布的影响并不明显，而流场区域所造成的流场横向速度梯度对 粒子取向分布有重要的影响。 本文将从分布函数的角度，即采用f o k k e r - p l a n c k 方程，研究流体湍动对纤 浙江大学博士学位论文 张凌新 2 0 0 55 维粒子取向的影响。 1 3 4 粒子间的相互作用 纤维粒子间的相互作用可分为长距离作用和短距离作用两类。长距离作用即 长程动力相互作用，粒子之间通过流体介质间接作用，且不会随粒子之间距离的 增加而很快衰减；短距离作用只有在粒子之间距离很近甚至直接接触时才显著体 现，如接触力和润滑力。纤维粒子之间的相互作用对纤维悬浮流的微观结构以及 宏观结构都有重要影响。 b a t c h e l o rf 1 9 7 1 ) 研究了半稀相纤维呈排列形式的运动。此时纤维粒子的平均 距离远小于纤维的特征长度，但任意两个纤维之间的最小距离远大于纤维的特 征宽度d ，这种流场存在纤维之间的长程相互作用。为了体现这种相互作用而又 避免问题的复杂性，b a t c h e l o r 采用晶格模型，即假设由纤维造成的扰动随空间 迅速衰减。s h a q f e h & f r e d