（基础数学专业论文）效应代数的几个问题.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 效应代数的几个问题 摘要 本文主要研究h i l b c r t 空间日上的效应、凸效应代数及h i l b c 譬t 冉模上 的效应代数的序列积等问题，全文共分四章 第一章介绍了效应代数及序列效应代数的定义，给出了它们的一些基本性 质，以及给出了用一列效应代数构造出新效应代数的方法最后，介绍了效应代 数间几种映射的定义，给出了他们的基本性质及其之间关系 第二章主要研究h i l b c t t 空间日上的效应本章刻画了两个不同h i l b c v r t 空间的效应代数间保持j o r d a n 三重积的双射的结构，证明咖具有咖( a ) = u a u 的形式，其中u 是酉算子或反酉算子由此，证明了两个不同的h i l b c r t 空间效应代数间保持序列积的双射是同构映射此外，本章引入了h i l b c r t 空 间上n 个效应顺序独立的概念，证明了h i l b c t t 空间日上n 个效应元顺序独 立当且仅当它们是可置换的 第三章主要研究凸效应代数，本章证明了凸效应代数中数乘的保序性，并 且用凸盯效应代数的阿基米德性，证明了凸盯效应代数对于序列积满足数乘 结合律最后，证明了凸仃一效应代数中保持序列积的双射在精确元上的限制保 偏二元运算且为双射 第四章给出了h i l b c t ta - 模日上效应代数ea ( h ) 的定义，考虑了_ ( 日) 上的序列积，得出了一些与h i l b c r t 空间效应代数( 日) 关于元的序列积与元 的比较关系类似的结果 关键词效应代数，凸效应代数，c + 模，投影，酉算子，正算子，同 构，序列同构 曲阜师范大学硕士学位论文 o ns o m ep r o b l e m so ne f f e c ta l g e b r a s a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e sas e p a r a b l ee f f e c t so nt h eh i l b e r ts p a c eha n d s e q u e n t i a lp r o d u c t so fac o n v e xe f f e c ta l g e b r aa n de f f e c ta l g e b r ao na h i l b c w t c * - m o d u l c t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h en o t i o n so fe f f e c ta l g e b r a sa n ds e q u e n t i a le f f e c t a l g e b r a s t h e nw eg i v ct h ep r o p e r t i e so ft h e m w ca l s og i v eam e t h o db y w h i c hc o n s t r u c t san e we f f e c ta l g e b r af r o mas e r i e so fe f f e c ta l g c b r a s a tl a s t ， w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fm a p sb e t w e e ne f f e c ta l g e b r a sa n dg i v es o m e p r o p e r t i e sa n dr e l a t i o n so ft h e m i nc h a p t e r2 w em a i n l ys t u d yt h ee f f e c t so nah i l b e r ts p a c eh w bc h a r - a c t c r i z ct h es t r u c t u r eo fab i j c c t i v cm a pp r e s e r v i n gj o r d a nt r i p l ep r o d u c t so n e f f e c ta l g e b r a so ft w od i f f e r e n th i l b e r ts p a c ea n dp r o v et h a ts u c ham a p 西h a s t h ef o r m 妒( a ) = u a u ，w h c r cui su n i t a r yo ra n t iu n i t a r yo p e r a t o r a n d a l s op r o v et h a tab i j c c t i v cm a pw h i c hp r e s e r v e ss e q u e n t i a lp r o d u c t si na ni s o - m o r p h i s m i nt h i sc h a p t e r ，w ci n t r o d u c et h en o t i o no fs e q u e n t i a l l yi n d e p e n d e n t o fne f f e c t so nh i l b e r ts p a c eh ，a n ds h o wt h a tne f f e c t so nh i l b e r ts p a c eh a r cs e q u e n t i a l l yi n d c p c n d c n ti fa n do n l yi ft h e ya r cp e r m u t a b l e i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys o m ep r o b l e m so nc o n v e xe f f e c ta l g e b r a s w e p r o v em u l t i p l i c a t i o no fs c a l a r sp r e s c - v c st h eo r d e ro nc o n v e xe f f e c ta l g e b r a u s i n gt h ep r o p e r t yo fa r c h i m c d c a no nc o n v e x 仃一e f f e c ta l g e b r a ，w ep r o v et h a t s e q u e n t i a lp r o d u c t so nac o n v e xa - e f f e c ta l g e b r as a t i s f yc o n n e c tl a wo fs c a l a r m u l t i p l i c a t i o n f i n a l l y , w cs h o wt h a tt h er e s t r i c t i o no fe a c hb i jc c t i v cs e q u e n t i a l p r o d u c t so fa c o n v e x 盯一e f f e c ta l g e b r at ot h es h a r pe l e m e n t si sa l s oap r e s e r v i n g 1 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 b i n a r ya n db i j c c t i v cm a p i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no ft h ee f f e c ta l g e b r aa c t i n go nh i l b c r t c * - m o d u l c ，a n ds t u d yt h es e q u e n t i a lp r o d u c t so nc a ( h ) a n dg e ts o m cs i m i l a r r e s u l t st ot h ee f f e c ta l g e b r a ( 日) 8o nh i l b c r ts p a c eh k e y w o r d s ：e f f e c ta l g e b r a ，c o n v e xe f f e c tm g e b r a ，c * - m o d u l e s ，u n i t a r yo p e r a t o r ，p o s i t i v eo p e r a t o r ，i s o m o r p h i s m ，s e q u e n t i a li s o m o r p h i s m l v 符号说明 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定： 1 日表示h i l b c r t 空间： 2 4 表示c 一代数： 3 c 表示复数域，z + 表示正整数集合； 4 e ( h ) 表示日上所有大于等于0 小于等于，的有界线性算子之集： 5 b ( h ) 表示日上的所有界线性算子之集： 6 占( 日) 表示日上的所有有界4 线性算子之集； 7 尸( 日) 表示日上的所有投影之集，p l ( 日) 表示日上的所有秩一投影之集 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文效应代数的几个问题，是本人在 导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成 果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研 究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的 法律结果将完全由本人承担 作者签名： 磋舌峥喻 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 效应代数的几个问题系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导 师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论 文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他 复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 日期： 日期： p 孥t 雩 j 沙 孑劣 名 名 签 签 者 师 作 导 第一章效应代数的概念 1 1 引言 随着量子计算研究的发展，与其相关的代数结构的研究正引起人们的广 泛注意近年来众多学者提出了一些新的代数结构作为量子计算的模型1 9 9 4 年，d f o u l i s 等人给出了一种新的代数结构：效应代数效应代数是个带有部 分二元运算的代数系统，被认为是h i l b c r t 空间全体效应( 即小于或等于j 的正 算子) 之集的推广，它对于量子理论有着重要的作用效应代数中的部分二元运 算。仅表示两个效应间的平行的测量，而在实际应用中，还需要有一个可以刻 画效应的序列测量的工具( 【1 】【2 】【3 】) 为此，s g u d d c r 在文献1 中引入了效应 代数的序列积( 记为o ) 带序列积的效应代数称为序列效应代数，而h i l b c ”r t 空 间效应代数就是个序列效应代数，因此研究它的代数结构有重要的意义本 章以此为出发点，主要介绍效应代数和序列效应代数及其相关的基本概念，同 时给出了用一列效应代数构造出一个新效应代数的方法 1 2 基本概念 定义1 2 1 1 5 l 设e 是个集合，0 和l 为e 中的两个“特殊”元素，其 中( 0 1 ) ，令。是e 上的部分二元运算，如果。满足： ( e 1 )如果aob e ，则boa e ，而且ao b = bo n ； ( e 2 )如果boc e ，ao ( boc ) e ，则aob e ，( aob ) oc e ，并 且ao ( b0c ) = ( aob ) 0c ； ( e 3 ) 对任意的a e ，存在唯一的a e ，使得aoa = 1 ； ( e 4 ) 如果10a 有定义，则a = 0 ， 那么称( e ，0 ，1 ，o ) 为个效应代数 注1 2 1 设( e ，0 ，1 ，0 ) 是个效应代数，对于a ，b e ，下列性质成立： ( i ) 若nob 有定义，则称a 与b 正交，记为a 上6 ； 1 第一章效应代数的概念 ( i i ) 由( e 3 ) ，对于e 中每个元a ，存在唯一的a e ，使得aoa t = 1 ，此 时称为a 的正交补； ( i i i ) 由部分二元运算o ，我们可以得到个差运算e ，即cea 有定义且 等于b ，当且仅当aob 有定义且aob = c ； ( i v ) 若aaa = 0 ，则称a 为e 的个精确元，e 的所有精确元之集记为 e 例1 2 1 设日是个h i l b c t t 空间，e ( h ) = a i a b ( 日) ，0 a j ) ， 对任意的a ，b ( 日) ，定义a 上b 当且仅当月+ b ( 日) ，并且令ao b= a + b ，则( e ( 日) ，0 ，i ，o ) 是个效应代数，称e ( h ) 为h i l b c r t 空间效应代数 ( 日) 中的元素称为量子效应，其中精确元就是日上的正交投影 例1 2 2 设4 是个由单位元的c 一代数，令“”为4 的自伴元上 的算子偏序记e = a a0 a ，) ，对于e 中任意的元a ，b ，定义 a 上b 当且仅当a + b e ，并且令a0b = a + b ，则易验证( e ，0 ，i ，o ) 为 一个效应代数 由效应代数的定义可以得到以下性质： 命题1 2 1 设( e ，0 ，1 ，0 ) 为效应代数，则对任意a ，b ，c e ，有 ( 1 ) 0 ，= 1 ，1 = o ； ( 2 )( n ) = n ； ( 3 ) ao 0 = 0o a = n ； ( 4 ) 若aob = 0 ，则a = b = o ； ( 5 ) 若ao b = ao c ，则b = c ； ( 6 ) 若aob = a ，则b = 0 ； ( 7 ) aob = c ，当且仅当a = ( boc ，) 7 ； ( 8 ) a 上b ，当且仅当a 6 ， 证明( 3 ) 若a e ，则存在唯一的a 7 e ，使得a0a = 1 ，而1 e ，那 么存在唯一的c e ，使得( aoa t ) oc = 1 o c = 1 由( e 3 ) 得c = 0 ，即得 ( aoa t ) o0 = 1 由( e 2 ) 得ao0 e ，且( ao0 ) oa t = 1 由注1 2 1 ( i i ) 得 2 曲阜师范大学硕士学位论文 no0 = n ( 4 ) 若qob = 0 ，则存在唯一的e ，使得bo6 ，= 1 ，则口0bo 6 ，= 0o6 ，= 6 ，即口o1 = 6 ，由定义1 2 1 得口= 0 同理可证6 = 0 ( 5 ) 若no b = no c ，由定义1 2 1 得，存在唯一的0 1 , e ，使得 ( nob ) od = ( 口oc ) 0d = 1 ， 又 ( nob ) od = no ( bod ) ，( noc ) od = ao ( cod ) ， 且 b0d = do b ，c0 d = do c ， 那么 ( nod ) ob = ( nod ) oc = 1 ， 由( 3 ) 得b = c ( 6 )因为任意n e ，存在唯一的n e ，使得oon = 1 ，又no6 = n ， 所以o fo o jo b = 1 即口o ( nob ) = ( n 0n ) ob = 1ob = 1 ，所以b 亍0 ( 7 ) 若口ob = c ，由定义1 2 1 得，存在唯一的c ，e ，使得 ( no6 ) o c ，= co c ，= 1 ， 又( nob ) oc ，= 口o ( boc ，) = 1 ，所以n = ( bo c ，) 若0 1 , = ( b e d ) ，则a e ( b e c ) = 1 ，即( a e b ) e d = l ，由唯性得，n 0 6 = c ( 8 ) 若n 上6 ，则a b 有定义，那么存在唯一的c e ，使得( a e b ) o c = l ， 则no ( boc ) = 1 ，又b0 c = co b ，所以( noc ) ob = l ，即得1 7 1 , oc = 6 ， 若n 6 ，则存在c 1 7 , ，使得n0c = 6 ，那么( n0c ) 06 = 1 ，又 ( noc ) o6 = no ( co6 ) = no ( 6oc ) = ao ( boc ) ，所以nob 有定义，即得 nb 3 第一章效应代数的概念 注1 2 2 利用e 上的部分二元元算o ，我们可以定义e 上的一个偏序 “ ：对于a ，b e ，若存在c e 使得ao c = b ，则称a b 下面断言，“” 是e 上的个偏序 反身性：a a 由命题1 2 1 ( 3 ) 知，ao0 = a ，即存在c = 0 ，使得a0c = a ，所以a a 传递性：若a b ，b c ，则a c 如果a b ，则存在d e ，使得a0d = b 如果b c ，则存在，e ，使 得bo ，= c 所以aodo ，= c ，即a c ，反对称性：若a b ，b a ，则a = b 如果a b ，则存在c e ，使得aoc = b 又b a ，则存在d e ，使 得bod = a 所以b0doc = b ，又存在唯一6 ，e ，使得b ob = 1 ，即 b obod0c = 1 则得到do c = 0 ，由命题1 2 1 ( 4 ) 得d = c = 0 ，所以a = b 故( ，e ) 是个偏序集，0 为最小元，为最大元 若偏序集( ，e ) 中的任意两个元a ，b 关于偏序“”的上确界avb 或 下确界aab 存在，则称( e ，0 ，1 ，o ) 为个格效应代数 注1 2 3 由两个元正交及效应代数定义中第二条性质，我们类似的可以定 义有限个元和可数个元正交性e 中有限个元构成的序列 a l ，a 2 ，n ，。】，如 果0 ：。啦有定义，则称a l ，n 2 ，n t 。是正交的 我们称( a 口，q a ) 是正交的，如果它的每个有限子族是正交的并且当 q 取遍a 中的所有有限子集f ， o n f ) 的上确界存在时，定义0 n aa a = v f ( 0 a fn 口) 定义1 2 2 1 4 】- 4 效应代数( e ，o ，1 ，o ) ，如果对于每个可数正交族( a a ，q a ) 来说，它们的和0 口 n a 是有定义的，则称此效应代数是仃一正交完备的 注1 2 4 h i l b c r t 空间上的效应( 日) ，可构成个盯一正交完备的效应代 数 注1 2 5 类似地我们可以给出区间效应代数的定义设a ，b b ( 日) ，0s a b 为给定的两个元，令五b ( 日) 表示日上所有大于等于a 小于等于b 4 曲阜师范大学硕士学位论文 的有界线性算子，即毋占( 日) = 丁b ( h ) i o a t b ) 如果对于任 意的e ，f ，g 既日( 日) ，定义e 上f 当且仅当e + f e a ，日( 日) ，并且令 e 0 f = e + e 则易验证( 既日( 日) ，o ，a ，b ) 满足下列条件： ( 1 ) eof =fo e ，即等式左边有意义则右边也有意义且相等； ( 2 )( eof ) og = eo ( fog ) ，即等式左边有意义则右边也有意义且 相等； ( 3 ) v e e ( 日) ，存在唯一的e e ( h ) 使得eoe = b ； ( 4 ) 如果eob 有定义，则e = a ， 此时称( e a 日( 日) ，o ，a ，b ) 为一个区间效应代数 定理1 2 1 设 ( 最，仉，1 i ，o t ) ) t + 是一列效应代数，层= b o t ，1 t ) ，而 且层n 层= o ( i j ) ，取o ，1 簪层( v i n + ) ，令e = u 矧层u o ，1 ) ，在e 中定义部分二元运算o ，满足： ( 1 ) 对于任意的a 层，有ao 0 = 0oa = 0 ； ( 2 ) 对于任意的a 层，有aoa = 1 ； ( 3 ) 对于任意的a ，b 层，若no ib 易，且b n ，定义n0 b = ao i6 ； ( 4 ) 1o0 = 0o l = 1 ，则( e ，0 ，1 ，o ) 是效应代数 证明首先验证( e 1 ) 成立 设a ，b e ，并且aob 有定义若a 层( n + ) ，b = 0 ，则由( 1 ) 得 口ob = 口o0 = 0on = bo 口： 若a 层( n + ) ，b = a ，则由( 2 ) 得 aob = no a t = 口+ ( 口) = a to a = b o 口； 若a ，b g ，ao tb 晟且b ，则由( 3 ) 得ao b = 6 o 口； 若a = 0 ，b = 1 ，则由( 4 ) 得boa 有定义，并且bo 口= 口o b 下证( e 2 ) 成立设aob 有定义，并且( aob ) oc 有定义 5 第一章效应代数的概念 ( i )当b = n 时，由( no6 ) oc = ( 口on ，) oc = 1 oc 有定义，得c = 0 那么口o ( boc ) = no ( n 7o0 ) = 1 = ( no6 ) o c ( i i )当b n 7 ，c = ( no6 ) 时，由( 2 ) 知，( 口ob ) oc = 1 因为c ，= no6 所以可分以下两种情况讨论：如果c ，b ，那么boc = n ，若否，设b0c ， 那么no ( bo c ) = 似ob ) o c = l i ，矛盾所以 口0 ( 6oc ) = 1 = ob ) oc 如果c ，= b ，那么a e ( b e c ) = a l ，因此，口= 0 ，并且( a e b ) e c = 1 = a e ( b e c ) ( i i i ) 当口，b ，nob ，c 层，且b n ，c ( 口o6 ) 时，由3 ) 得 ( 口ob ) oc = ( no i6 ) o ic = 口缺( 6o ic ) ， 并且c 6 ，boc n ，事实上，若c = 6 ，则口= 0 ，矛盾所以c 6 ，从而 bo c 是有定义的，且b0 c = bo ic 若b0 c = ，则( nob ) oc = 1 ，并且 ( oo6 ) oc = no ( boc ) = 口o i = 1 i ，矛盾所以boc 口，从而ao ( boc ) 也是有定义的且no ( bo c ) = 口o i ( bo ic ) ，即得( no6 ) oc = no ( 6oc ) 下证( e 3 ) 成立对任意口e ，规定其正交补口7 ：当n 层时，规定n 的 正交补为。在易中的正交补：当口= 0 时，规定n = l ：当n = 1 时，规定 = 0 ；那么由0 及o 的定义知，对于任意n e ，存在唯一的n e ，使得 口en = 1 由( e ，o ，1 ，o ) 的定义直接可得，若10 o 有定义，则n = o ，即( e 4 ) 成立所以( e ，o ，1 ，o ) 为个效应代数 定义1 2 3 【5 】设( e ，o ，1 ，o ) 是个效应代数，o ：exe _ e 为e 上的 个二元运算，且满足如下性质： ( c 1 ) 结合律：对于e 中的元n ，b ，c ，若aob = bo 口，则no6 ，= 6 ，oo ，且 口o ( 6 oc ) = ( nob ) o c ； ( c 2 ) 分配律：设n ，b ，c e ，若b 上c ，则n ob 上口oc ，且口o ( 6o c ) = nob0noc ： 6 曲阜师范大学硕士学位论文 、 ( c 3 ) 设a ，b ，c e ，若c o a = a o c ，且c o b = b o c ，则c o ( a o b ) = ( a o b ) o c ， 且c0 ( aob ) = ( aob ) 0c ； ( c 4 ) 对于任意的a e ，有1 0a = n ； ( c 5 ) 若a ob = 0 ，则aob = b0a = 0 ， 此时称代数系统( e ，0 ，1 ，o ，0 ) 为一个序列效应代数 我们称上述定义中的二元运算0 为e 上的一个序列积若e 中的元素a 与b 关于二元运算。交换，即aob = bo 口，则用符号口1 6 表示此交换关系 例1 2 3 若在例1 2 1 中，对于任意a ，b ( 日) ，定义a ob = 而且锕， 则( ( 日) ，0 ，1 ，o ，o ) 是个序列效应代数 对于h i l b c r t 空间序列效应代数( 日) ，g u d d c r ，n a g y 给出了如下定理： 定理1 2 2 【2 】对于h i l b c r t 空间序列效应代数( 日) ，设a ，b ( 日) ，若 a ob 尸( 日) ，则a b = b a 定理1 2 3 1 2 】对于h i l b c r t 空间序列效应代数( 日) ，设a ，b ( h ) ，下 面结论等价： ( 1 ) a 0b = b ； ( 2 ) b 0a = b ； ( 3 ) a b = b a = b ， 定理1 2 4 【2 1 对于h i l b c r t 空间序列效应代数( 日) ，下列结论成立： ( 1 ) 若a ，b p ( h ) ，则a ob b 当且仅当a b = b a ； ( 2 ) 若a ，b 尸( 日) ，则a ob b 当且仅当a b = b a = b ； ( 3 ) 若d i m h o o ，且a 0b b ，则a b = b a = b 定义1 2 4 【4 】设e 和f 为效应代数，对于e 中元a ，b ，如果映射妒：e _ f 满足： ( 1 ) 若a l b ，贝0 妒( n ) 上妒( 6 ) ； ( 2 ) 妒( 口ob ) = 妒( n ) o 妒( 6 ) ； ( 3 ) t o ( 1 s ) = 1 f ， 则称映射映射妒：e f 为个态射 7 第一章效应代数的概念 注1 2 6 其中条件( 1 ) 和条件( 1 ) ：若a b ，则妒( n ) 妒( 6 ) 是等价的 命题1 2 2 设e 和f 为效应代数，态射妒：e _ e 对于e 中元a ，b 有： ( 1 ) 妒保正交补，即妒( n ) = 妒( n ) ； ( 2 ) 妒保序，即若a b ，贝0 妒( n ) 妒( 6 ) ； ( 3 ) 妒保差运算，即妒( neb ) = 妒( n ) e 妒( 6 ) 证明( 1 ) 因为妒保单位，所以1 = 妒( 1 ) = 妒( 口oa ) = 妒( n ) o 妒( n ，) ，即 妒( n ) = 1e 妒( 口) = 妒( o ) ，即妒保正交补 ( 2 ) 如果a b ，则存在c e ，使得a c = b ，所以妒( n o c ) = 妒( 口) o 妒( c ) = 妒( 6 ) ，所以妒( n ) 妒( 6 ) 即妒为保序的 ( 3 ) 设c = aeb ，即a 亨boc 因为妒( 6oc ) = 妒( 6 ) o 妒( c ) = 妒( n ) ，又 c = ae b ，所以妒( 口) = 妒( 6 ) 0 妒( ne6 ) 即妒( neb ) = 妒( n ) e 妒( 6 ) 定义1 2 5 【4 】设e 和f 为效应代数，妒：e _ f 是个态射，且对于e 中元a ，b ，满足：若妒( n ) 上妒( 6 ) ，则a 1 _ b ，此时称映射妒：e _ f 为个单态射 注1 2 7 单态射妒为单映射，即对于e 中元a ，b ，若妒( 口) = 妒( 6 ) ，则 a b 如果妒( 口) = 妒( 6 ) ，则可得到妒( 口) 妒( 6 ) ，且妒( 口) 妒( 6 ) 若妒( 口) 妒( 6 ) ， 则a b ，若妒( 口) 妒( 6 ) ，则口b 又因为由a b ，b a ，可得a = b ，所以妒 为单映射 定义1 2 6 【4 l 设e 和f 为效应代数，妒：e _ f 是态射，如果妒保存在 的有限的上确界和下确界，则称映射妒：e _ f 为个同态映射 定义1 2 7 【4 】设e 和f 为效应代数，妒：e f 是单的满的态射，如果 妒_ 1 ：f _ e 也是态射，则称映射妒：e f 为个同构映射 定义1 2 8 【1 l 设e ，f 为两个序列效应代数，如果映射妒：e f 是一 个同构映射，并且对于任意的a ，b e ，有妒( nob ) = ( 口) o 矽( 6 ) ，则称映射 妒：e _ f 为个序列同构映射 8 第二章h i l b e r t 空间日上的效应 2 1 引言 在效应代数研究中，很重要的一部分就是对h i l b c r t 空间效应代数e ( h ) 的研究1 9 8 3 年g l u dw i g 在文献f 2 0 】中研究了e ( h ) 的正交自同构；近年 来，l m o l n d r 等人通过保持( 日) 中效应的偏序、共存性、零乘积以j 及保持( 嚣) 上各种运算，如凸组合运算、j o r d a n 三乘积运算和序列积等性质刻画了e ( h ) 的宣同构及亭列宙同构( 嘲圈圈【王q 【n 1 ) ，这些童同构的刻唇基本上都通过胃 上的酉算子或反酉算子导出的本章前半部分主要证明了两个不同的h i l b c r t 空间效应代数间保持j o r d a n 三重积的双射具有f a ) = u a u 的形式，其 中u 是西算子或反酉算子由此，还证明了两个不同的h i l b c r t 空间效应代数 间保持序列积的双射也是同构映射。 一 顺序量度在量子力学中是非常重要的，g u d d c r 和n a g y 在文献【2 1 】中引入 了效应独立性的概念，并给出了h i l b c x t 空间上三个效应元顺序独立性的刻画， 本章后半部分内容推广了这个结论，证明了h i l b c r t 空闻露上弦个效应元顺序 独立当且仅当它们是可置换的 2 。2 保j o r d a n 三乘积映射 h i l b c r t 空间效应代数是指( 日) = ( a i a b ( 日) ，0 a 竖，) ( 例1 2 1 ) ， 令p ( 嚣) 表示嚣上的所有投影之集，最嚣) 表示嚣主的所有秩一投影之集 本节首先给出不同效应代数间同构的一种刻画 定义2 2 。1 1 6 1 一个效应a e ( h ) 瑟越做一个弱原子，如果对每个e e ( h ) ，esa ，都存在a 【0 ，l 】，使得e = a a 所有弱原子之集记为u ( 日) 引理2 2 。1 1 6 1 任给e ( 嚣) ，都有e v ( a w 日) ，a e 。 定理2 2 1 卅设e k 分别是复数域c 上的h i l b c r t 空间，：h ( 日) 一 只( k ) 是双射，并且对于任意的p ，q 1 1 ( 劈) ，满足：p q = 0 ，当且仅当( p ) ( q ) = 9 第二章h i l b c r t 空间日上的效应 0 则存在酉算子或反酉算子u ：h _ k ，使得对于任意的p 片( 日) ，有 矽( p ) = u p u 推论2 2 1 【7 】设映射砂：p ( h ) _ p ( ) 双边保投影正交性，且p ：p q = 0 ， 当且仅当咖( p ) 矽( q ) = o ，并且i n ( 日) 满足定理2 1 1 的条件，则存在酉算子 或反酉算子u ：h _ k ，使得对于任意的p p ( 日) ，有( p ) = u p u 下面给出不同h i l b c r t 空间效应代数间同构的一种刻画，这里我们考虑的 h i l b c r t 空间的维数大于等于3 定理2 2 2 设日，k 都是复数域c 上的h i l b c r t 空间，：e ( 日) 一e ( k ) 是双射，且对于任意的a ，b ( 日) ，满足多( a b a ) = ( 4 ) ( b ) ( a ) ，则存在 酉算子或反酉算子u ：h k ，使得对于任意的a ( 日) ，有( 4 ) = u a u 一 本定理的证明需要以下几个引理 引理2 2 1 西保投影 证明若p p ( 日) ，则p = p 2 = p 3 ，( p ) = 矽( p 3 ) = 矽( p ) 3 又( 尸) 是e ( k ) 中的正元，则由谱映射定理得 仃( ( p ) ) 曼 【o ，1 ) ， 所以矽( 尸) = ( p ) 2 ，即矽( p ) p ( k ) 引理2 2 2 西对投影双边保序 证明若p q 尸( 日) ，且p q ( 不妨设p o ) ，则p q p = p ，从而 ( p ) = ( p ) ( q ) 矽( 尸) ，所以 ( 咖( p ) ( q ) ) 2 = 矽( p ) ( q ) 因此 0 矽( 尸) 矽( q ) 0 = i i ( ( 尸) ( q ) ) 2 l i i i ( p ) 矽( q ) l | 2 ， 由于妒( 尸) 矽( q ) o ( 否则矽( p ) = 0 ，此导致p = o ) ，所以( p ) 矽( q ) i i 1 又 0 矽( p ) 0 1 ，0 ( q ) l i 1 所以 忪( p ) ( q ) i l = l ， l o 魏卑师蔻大学硬士学位论文 因此( p ) ( q ) p ( ) 。从而( p ) ( q ) = ( p ) 妒( q ) ) + = 妒( q ) 矽( p ) ，所以 多p ) 一( p ) ( q ) p ) 一多q ) ( p ；p ；一多q ) ( 尹) ， 则( p ) ( q ) ，对于_ 1 有同样的性质，所以对于任意的只q p ( 日) ，有若 p q ，则当且仅当( p ) 多( q ) ，并且( o ) 一0 ，( 霸) = k 引理2 2 3 对于任意的只q p ( h ) ，有若p q 一0 ，则当且仅当( p ) 矽( q ) = o 证明若p ，q p ( ) ，且p q = 0 ，则0 = 砂( p q p ) = 妒( p ) ( q ) 妒( p ) ， 扶丽 0 = 砂( p ) 矽( q ) ( p ) = ( p ) ( q ) 渺( p ) ( q ) ) + ， 所以( 聊多问) 一o _ 1 有同样的性质，所以妒对保投影双边保正交巍推论 2 2 1 知，则存在酉算子或反酉算子u ：h 叫k ，使得对于任意的p p ( h ) ， 有多( p ) 一u p u 引理2 2 4 西保投影的正交补 证明若p 尹f 嚣) ，剃p 上= i 一郝么f p ) ( j p ) 瀚0 。令( 国) = 咖( p ) + ( j p ) ，则 。 多( q ) 2 一多( p ) + 多( j p ) ) 2 = ( p ) + f f 一尸) = q ) ， 所以矽( 纠多( j 一纠是一个投影。又烈f p j ( p ) 手( j 一鞠，所以 p ，j p 句，即得q = i ，所以砂( p ) + 妒( j p ) = 妒( j r ) = i 引理2 2 5 对任意有限秩投影p ，任取天1 0 ，l 】，有( 天p ) = ( p ) 证明只需证明对秩一投影p 成立即可 ( a p ) = ( p ( a p ) 一= 多( p ) 天p ) ( p ) p ) ， 由的保秩性可得存在如( a ) ，使得( a p ) 一如( 柚多( p ) ，办( a ) 【0 ，1 】。 第二章h i l b c r t 空间日上的效应 首先证办是可乘的任取p 【0 ，1 】，有 舟( 入2 一弘) ( p ) = ( a 2 一p 尸) = 矽( ( a p ) 似p ) ( a p ) ) = ( a p ) ( p ) ( a p ) = ( a ) 2 ，p ( p ) 矽( p ) 所以扫( 入2 一p ) = 如( a ) 2 如( 肛) 令p = 1 ，则有扛( a 2 ) ( p ) = 扛( 入) 2 从而对 于任意a ，p 【0 ，1 】，有 扫( 入2 一p ) = ( 入2 ) 扛( p ) ， 即得舟( 灿) = 扛( a ) ( p ) 下证扛的值与p 无关任取秩1 投影p ，q ，若尸q 0 ，则p q p = ( p q ) ( p q ) + 0 ，且对于任意入【0 ，1 】，有 南( a 2 ) 妒( p q p ) = 南( 入2 ) ( p ) ( q ) ( p ) = ( p ) ( a 2 q ) 矽( p ) = 矽( j p 芹q p ) = ( ( a p ) q 入p ) = ( 入尸) ( q ) ( a p ) = 扛( a 2 ) 矽( 尸q 尸) ， 危( a 2 ) = ( a 2 ) ，因此如= 南 若p q = 0 ，则存在秩1 投影r ，使得r p 0 ，明0 从而南= 舟= 厶， 即得( a 尸) = ，( 入) ( p ) ，入【0 ，l 】，( a ) 【o ，1 】 下证，是可加函数，设z ，y 是日中的两个单位向量，任取a ，p 【0 ，1 】 且a 2 + 肛2 = 1 ，则z = 妇- i - p 秒是单位向量，且只( 只+ b ) 只= 只，那么 ( 只) = 矽( 只( 只+ b ) 只) ，又矽( 尸) = u p u ，则( 只+ b ) = ( 只) + ( 局) ， 1 2 黧阜师范大学硬士学位论文 因而 ( 只) = ( 尼( r + b ) 只) = ( 只) 多( 只+ b ) ) ( 只) = 矽( 只) ( 只) 矽( 只) + 矽( 只) ( 岛) ( 只) 亏疋只只) 多弓览) = 咖( a 2 只) + 矽( 弘2 只) = ( f ( x 2 ) + ，( 舻2 ) ) 只) = l = f ( a 2 + 黟2 ) 若入1 ，a 2 ，a l + a 2 1 0 ，1 】，贝0 歹( a - + a 2 ) 一，( 焉等瓦) 2 衰) 2 ) ( 支t 丰爻2 ) ) = ，( ( 、蕊) 2 + ( 燕) 2 ) 朋- + a 2 ) = ，( 焉每忘) 2 ；，( a ，+ 天z ) + 歹( 麓孥忘；2 ) ，( 久t + 爻2 ) = ，( 入1 ) 十f ( a 2 ) ， 则f 是可加蘑数，那么歹在瓣，l 】上单漏递增，又f ( 1 ) = 1 ，劐，( 击) = 丽1 ，m z + ，从而对任一有理数曩【0 ，1 】，有，( 兰) 窭蔫对任一无理数r 【0 ，l 】，设 p 尹 q ，p ，g 是p ，王】上有理数蠢f 单调递增得 ，= p f ( r ) g = ，( 口) ， 由【0 ，l 】上全体有理数在f o ，1 】上是稠密的，得f ( r ) 一7 因此对于任意a p ，l 】，有，( a ) = 天所以对于任意入f 0 ，1 】及p r ( 露) ，有f ( a p ) = 入，扫) 定理2 2 2 的证明由命题2 2 3 得毋双边保秩一投影正交性，由定理2 1 1 知，存在酉算子或反酉算子u ：h 砷k 使得对于任意的p p ( 日) ，有 矽( p ) = u p u + 丽多( a p ) = a 多一，所以对于任意p p ( 嚣) ，a 【0 ，羔】，有 多( a p ) = u ( a p ) u + ， 1 3 第二章h i l b c r t 空间h 上的效应 又e 是个弱原子当且仅当e = 入己，其中a 【o ，l 】，只p l ( 日) ，由此可知， u ( k ) = u w ( h ) u ，那么对任意a ( 日) ，由引理2 2 1 得 ( a ) = v _ u ( k ) ：f ( 4 ) ) = v u e u ：e a ，e u ( 日) ) = v ( u e u ( 日) ：e a u ) = u ( v e u ( 日) ：e 4 ) ) = u a u 定理2 2 3