（基础数学专业论文）算子方程的解与可逆元的凸组合.pdf

算子方程的解与可逆元的凸组合 张慧 y ，6 1 0 0 9 , 5 摘要：算子方程是泛函分析的重要分支关于算子方程x + 4 + x 。a = r ( t 1 ) 正算子解的研究从九十年代已经开始了，并在控制论，动态规划和统计学等方面 都有很好的应用但是此方程的研究多数是在有限维上，本文主要研究此方程在 无限维的情况下解的特征进一步将研究另一类比较特殊的舞子方程，即关于幂 等算子的算子方程，探讨幂等算子的线性组合仍是幂等算子的一些充要条件算 子代数中的可逆元和酉元之间的关系一直受到人们的关注，本文将进一步研究 v 0 。，n e u n 。a n n 代数中可逆元和酉元之间的关系 下面介绍本文的结构和主要内容 第一章主要介绍了本文要用到的一些符号，定义及其一些比较著名的或已知 的定理等首先我们介绍了一些符号的表示，接着引入了数值域和算子的谱以及 数值域半径和谱半径的定义，又给出了一些特殊算子如正规算子，自伴算子，正算 子，酉算子等的定义同时我们给出了文中用到的一些预备定理如谱分解定理， 值域包含定理，指标连续定理等 第二章研究了无限维h i l b e r t 空间上的算子方程x + 月+ x 。a = z ( t 1 ) 的一 些性质蓖先研究了方程有正算子解时对a 的谱半径，数值域半径的范围限制 其次，给出了算子方程x + a + x 。a = i ( t 1 ) 有正赞子解的充要条件，并得到了 更为特殊的情况：方程的正算子解的范数为1 的充要条件是a 不足下有界的并 由此研究了a 是正规算子时方程有正算子解的充要条件以及利用迭代方法获得 方程的正算子解接着研究了如果a 的范数在一定范围限制下方程正算子解的 范围，并且由迭代方法证明了在一定区间上存在极大解和极小解最后在算子方 程x + a + x “a = z ( t 1 ) 的正算子解的研究基础上，进一步地研究了算子方程 x 8 + a + x “a = ，( s ，t 1 ) 的正算子解。 第三章涉及到h i l b e r t 空间上的幂等算子，证明了两个幂等算子的和与差仍是 幂等算子的充要条件并进一步研究了两个幂等算子的凸组合仍是幂等算子的充 要条件，而且还给出了两个幂等算子的线性组合在满足它们的差是自伴的情况下 仍是幂等算子的等价命题设p 和q 是两个幂等算子，得到了p q 土q p 是可逆 算子的等价命题最后还证明了幂等算子和它的伴随是相似的 第四章侧重于研究作用在h i l b e r t 空间上的v o i in c l l l l l a l l l l 代数中可逆元与酉 元之间的特殊关系证明了对于实数o 0 ；】和v o l ln e t l l l 2 ；i l l i i 代数中的元素a ，如 果a + 4 的谱在 1 2 a ，1 中，则存在两个酉元素u 】和巩使得a = n 叽+ ( 1 一o ) 巩 成立并由此得到r o l ln e u m a n n 代数中可逆元素全体的闭包与两酉元素的线性组 合之间的关系其次证明了v o nn e u m a n n 代数中范数不大于1 的元素属于可逆群 的闭包的充要条件最后给出了单位球上可逆元素的全体的闭包与两酉元素的凸 组合的全体的关系 关键词：算子方程幂等算子v o nn c t m t a m t 代数凸组合 i i s o l u t i o n so fo p e r a t o re q u a t i o n sa n dc o n v e xc o m b i n a t i o n s o fi n v e r t i b l ee l e m e n t s a b s t r a c t ：s i n c e1 9 9 0 s 、t h er e s e a r c h e so no p e t a t me q u a t i o n sx + a + x 。a ：，( 1 ) i naf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ew h i c hh a v ea l w a y sp l a y e ( ta ni m p o r t a n tr o l eo i lt i ms u b j e c t o ff u u c t i o n a la n a l y s i sa n dh a v eb e e na p p l i e dt ( ) s o n l ef i e l d ss u c ha sc o n t i 。0 1 d y n a n d cp l o g r a m m i n g a n ds t a t i s t i ch a v eb e e nc o n s i d e r e db ym a n ya u t h o r s i l lt h i sp a p e r ，w ec o n t i n u e t os t u d yt h eo p e r a t o re q u a t i o nx + a + x “a = i ( t 1 ) i na l li n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r t s p a c en o tf i n i t ed i m e n s i o n a l w em a i n l yd i s c u s ss o l n ep r o p e r t i e sa b o u tp o s i t i v es o l u t i o n s o ft i l l se q u a t i o n 1 n n t h e r m o r e ，w es t u d y8 0 u l er e l a t i o na b o u ti d e m p o t e n to p e r a t o r s o n t h eo t h e rh a r m w ef u r t h e ri n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s1 ) e t w e e ni u w ! r t i b l ee l e n m n t sa n du n i t a x ye l e m e n t sa n db e t w e e ni n v e r t i b l eg r o u pa n du n i t a r yg r o u po fy o nn e u m a n na l g e b r a a c t i n go nah i l b e r ts p a c e t h e s er e s u l t sp l a yaf u n d a m e n t a lp a r ti ns t u d y i n gs t r u c t u r eo f o p e r a t o r s t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s c h a p t e r1 m a i n l yi n t r o ( 1 u t e ss o m et e r m i n o l o g i e s a n dn o t a t i o n ，d e f i n i t i o n sa n ds o r t i es i m p l e rt h e o l e n lo rm o r ek n o w nt h e o r e m f i r s t l y , w e i n t r o d u c es o m et e r m i n o l o g i e sa n dn o t a t i o n ，a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fn u m e r i c a l r a n g e ，s p e e t r uo fo p e r a t o r ，r a d i u so fn u m e r i c a lr a n g ea n dr a d i u so fs p e c t r ae t c s e c o n d l y , w e g i v es o , h ed e f i n i t i o n so fn o r m a lo p e r a t o r ，h e r u f i t i a no p e r a t o r ，p o s i t i v eo p e r a t o r ，u n i t a r y o p e r a t o re t c a tl a s t ，w ei n t r o d u c es o l n ek n o w nt h e o r e n i ss u c ha ss p e c t r a lt h e o r m n ，r a n g e i n c l u s i o nt h e o r e m ，i n d e xt h e o r e me t c c h a p t e r 2d i s c u s s e ss o i n ep r o p e r t i e sa b o u t p o s i t i v es o l u t i o n so f0 1 ) e r a t o re q u a t i o nx + a + x “a = i ( t 1 ) i n a ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e f i r s t l y w ed i s c u s ss p e c t r a l r a d i u sa n dn u m e r i c a lr a n g er a d i u so fai fx + a + x 一a = ih a s o l u t i o n s e c o n d l y , w eo b t a i nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf i ) r p o s i t i v es o l u t i o n so fx + a + x 一a = i a n dg e tt h a ti fx + a + x 。a = ih a sas o l u l i o nx t i t a n l i xjj = 1 i fa n do n l yi fa i sn o tb o u n d e db e l o w w h e nai sn o r m a l w e ( ：a l lo b t a i ns o n i cn e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h i se q u a t i o nh a v i n gap o s i t i v es o l u t i o na n dp o s i t i v es o l u t i o n so fo p e r a t o r e q u a t i o nt h r o u g hi t e r a t i v em e t h o d sw ea p p l yi t e r a t i v el n e t h o ( 1t oo b t a i nt h em a x i m a l a n t tm i n i m a ls o l u t i o n s i nt h ee n dw e s t u d yo p e r a t o l 。e q u a t i o nx 8 + a 4 x “a = i ( s ，t21 ) b 越s e do nt h el a s ts e c t i o n 8 c h a p t e r3i sm a i n l ya b o u ts o m ep r o p e r t i e so fi d e m p o t e n to p e l a t o r s w eg i v en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u ts u n la n d ( t i f f e a e l i c ( ! o ft w oi ( h l i l p o t e n to p e r a t o r st o b ei d e m p o t e n t f u r t h e r m o r e ，w es t u d yn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t t ：o l i t t i t i o n sa b o u tw h i c h l i n e a rc o m b i n a t i o no ft w oi d e m p o t e n tp l m l a t o r si ss t i l li d e m p o t t 1 1 1 1 a s s l l m epa n d0a r e t w oi d e m t ) o t e n to p e r a t o r s w ec a ng e tl l e c e s s a i ya l i ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hp q - 4 - q p a r ei n v e r t i b l eo p e r a t o r s i nt h ee n dw e1 ) r o v et h a ti d e i n p o t e n l ，( ) p e r a t o fi ss i m i l a rt oi t s a e l j o i n t c h a p ! ，c 1 4d e a l sw i t i lt h e r e l a t i o n sb e t w e e ni n v e r t i b l ee l e n ( e ( 1 l ha n dm f i t a r ye l e m e n t s a n db e t w e e ni n v e r t i b l eg r o u pa n du n i t a r yg r o u po fv o un e u n l a n na l g e h r aa a c t i n go na n i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i b e r ts p a c e w es t a t et h a ti fo 0 ， 1a n dai si nv o nn e u m a n n a l g e b r a ，m i dt h es p e c t r ao fa a & r ec o n t m n c di n 1 2 a ，1 】，t h e nt h e r ee x i s tt w ou n i t a r y e l e n l e n tu 1a n d i nv o nn e u m a n n a l g e b r aa s u c ht h a ta2a u i + f l o ) 巩m o r e o v e i ， w e g e tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec l o s u r eo ft h es e to fi n v e r t i b l ee l e l a l ! n t sa n dl i n e a rc o m b i n a t i o n so fu n i t a r ye l e m e n t s t h e nw ep r o v el i e ( ：e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c ha l l e l e m e n t si si nt h ec l o s u r eo fi n v e r t i b l eg r o u pw h i c hn o r n li sn o tl l n ) l et h a n1a j l dc o n v e x c o m b i n a t i o no ft w ou n i t a r ye l e m e n t s k e y w o r d s ：o p e r a t o re q u a t i o ni d e m p o t e n to p e r a t o r v o nn c u u l a n na l g e b r a c o n v e xc o m b i n a t i o n 前言 算子方程是泛函分析学的重要组成部分，也是近代数学活跃的重要分支很 多数学物理问题可归结为求解算子方程如代数方程，微分方程和积分方程等，其 中最感兴趣的是由线性算子构成的方程讨论这类方程的性质，求解方法和近似 解法，对于解决各种实际问题具有重要的意义由于算子方程在不同领域以及不 同方面的应用，因而被研究的形式也是多种多样的从九十年代开始到现在，由 a n d e r s o n ，m o r l e y ，t r a p p 等人较先开始研究的算子方程x + a + x 。a = i 一直比较受 到关注由于这类算子方程在控制论，动态规划，随机过程，统计学，插值法等 方面都有较好的应用，所以吸引了越来越多的中外学者加入这方面的研究工作， 并且算子方程的研究形式上也变得更为一般化 2 0 0 2 年六月，在美国的奥本大学召开的第十次国际线性代数会议上r a n 总结 了当前非线性矩阵方程发展的最新结果，并且由 h e i l i n g ，1 w m o v ，r e u r i n g s 分别报告 了各自的最新研究工作，其中1 w n o v ，r e u r i n g s 报告的都是关于x + 岔x _ 1 a = j 方 面的工作这标志着从事这一领域的研究越来越受到关注但是，这类算子方程和 另一类关于幂等算子的算子方程方面的工作大多是用矩阵论作为工具来做的，只 在有限维上成立的其实，结合算子论的知识，许多结果可以推广到无限维上， 并且还能得到一些新的结论因此，作为一种有力的数学工具，算子方程的研究 和应用日益受到广泛重视 算子代数中的可逆元和酉元之间的关系一直比较受到人们的关注，k a d i s o n ， p e d e r s e n ，o l s e n 等人在这方面做了许多优秀的工作研究它们之间的关系有助于 进一步研究一般算子的结构 第一章主要介绍了文中要涉及到的一些符号，定义及其一些比较基本的或比 较著名的定理首先给出了一些文中通用的符号表示，以及数值域，谱的定义等 接着又给出了文中用到的一些基本定理如谱分解定理，值域包含定理，指标连续 定理，谱映射定理等 第二章主要讨论了算子方程x + a + x “a = ，( t 是任意一个不小于1 的正数) 具有的一些性质首先讨论了若方程有正算子解时算子a 的谱半径，数值域半径 受到的范围限制，接着又给出了算子方程x + a + x a = 有正算子解的等价命 题，并且给出了方程若有一个范数为1 的正算子解的充要条件是算子且不是下 有界的并且还给出了若a 是正规算子时可以利用迭代方法去获得方程的正算子 解其次，若要求 的范数在一定范围，可以得到方程正算子解所在的范围，并 证明了在一定区间上极大解和极小解的存在基于此基础上进一步研究了算子方 程x 5 + 4 + x “a = i ( s ，t 1 ) 的正算子解 第三章研究了另一类比较特殊的算子方程，h p 关于幂等贸子的算子方程证 明了两个幂等算子的和与差仍是幂等算于的等价命题在此基础上证明了两个幂 等算子的线性组合仍是幂等算子的等价条件进一步，又可以得到幂等算子与交 换子方面的一些等价命题对于两个幂等算子p 和q ，得到了p q 士q p 是可逆算 子时的充要条件最后并得到了幂等算子的一个特殊性质，即幂等算子与它的伴 随是相似的。 第四章侧重于研究v o i in e u m a n n 代数中可逆元和酉元的凸组合之间的关系 证明了a 是作用在h i l b e r t 空间上的v o dn m 一，代数中的可逆元素的充要条件是 存在两个不相等的非负实数aj 和a 2 以及两个酉元素巩和巩使得a = a l u t + a 2 啦 成立在此基础上可以证明y o nn e u m a n n 代数中可逆元素的全体等于系数的绝对 值是不相等的任意两个酉元素的线性组合组成的全体又进一步证明了v o nn e u i i t a i l n 代数中可逆群的闭包等于值域是不闭的或是指标为零的元素的全体，并且 由此可以得到可逆群和酉群的一些特殊关系 2 第一章预备知识 1 1 基本概念 设日表示一个无限维的复可分h i l b e t t 空间，b ( h ) 表示无限维的复可分 h i l b e r t 空间h 上的有界线性算子组成的全体令c 表示复数域，r 表示实数域， z 表示整数集，表示h 上的单位算子( ) 和j 分别表示复町分h i l b e r t 空间 日上的内积和范数设a 口( h ) ，令n ( a ) 和( a ) 分别表示筇子4 的值域和零 空间，a 表示a 的伴随c i ( k ) 表示一个集合的闭包，d i m n 表示空间的 维数，1 表示空间的正交补，0 表示空集约定。( a ) = d i m 厂( a ) 一d i m ( 4 ) 表示j 4 的指标 定义1 1 1 设t n ( 4 ) ，称w ( t ) = ( t x r ) 。h ，蚓i = 1 ) 为算子丁的数 值域 定义1 1 2 设t b ( h ) ，称( t ) _ s u p w ( t ) ) 为t 的数值域半径 定义l1 3 设t b ( 日) 称口( t ) = a c t a i 是不可逆的 为t 的谱， 称p ( t ) = a ec ：存在一个单位向量序列 z 。 器l h 使得| | ( t a ，) z 。| | _ + 0 ) 为t 的近似点谱 定义1 1 4 设te b ( 日) ，称7 ( t ) = s u p f , ，i ：r v 一( t ) 为7 1 的谱半径 定义1 1 5设teb ( h ) 若t t 4 = r t 则称r 为正规算子； 若t + = t ，则称t 为自伴算子； 若t t + = t + t = f ( 等价于t + = t _ 1 ) ，则称t 为酉算予； 若t = t + = t 2 ，则称t 为正交投影算予 定义1 1 6 设t b ( 日) 如果对于任意的，h 都有( a x ，：r ) 兰o ，则称t 是 一个正算子，记作t 兰0 若t s b ( h ) 是自伴算子，t s 0 则约定t s 或s t 若t s 0 ， 即t 1 一s 是正的并且也是可逆的，则约定t s 或s t 记- p 表示b ( 4 ) 中正算子 的全体设a ，b p ，则约定【a ，b = c ：as ( j b ) ，( a ：口) = ( ：a c 曰 ， ( a ，b = g ：a 0 ，对于任意的z h 都满足i t ( a a ) _ | f ( ：l l x l l 定理1 2 ，1 4 ( 指标连续定理) ( 【2 0 】) 如果妒芦作用在范数拓扑上，z u ：t ：o o ) 作用 在离散拓扑上，则n e d h o l m 指标i ：妒- zu 土。g ( t ( a ) = d i l n ( j 4 ) 一d i m 厂( a + ) ) 是一个连续函数 定理1 2 1 5 ( 谱映射定理) ( 2 0 ) 设舀是一个c 4 一代数如果n 8 且“是正 规的，则对于每一个，e ( a ( n ) ) 都有a ( ，( o ) ) = ，( o ( n ) ) 定理1 2 1 6 ( 极分解定理) ( 2 0 】) 设a 8 ( 判) ，则存在一个部分等距算子u 使 得( a ) 为其的起始空间，丽为终止空间，且满足a = u t a i 5 第二章关于算子方程x 十4 + x c a = ，的正算子解 2 1 引言 在本章中，如果p p ，令 o - m i n ( p ) = m l n a ： o ( p j ， ， o m a x ( p ) = m a x a ：a 仃( p ) ) 我们来考虑算子方程 x + a x a = ， f 1 ) 的正算子解，其中i 是b 旧) 上的单位算子，t 是一个不小于1 的正数，a b ( 日) 如果h 是一个有限维的h i l b e r t 空间，方程( 1 ) 已经被一些作者研究过，可以参 考文献 1 卜【1 8 】进一步地我们在无限维h i l b e r t 空间h 上讨论方程( 1 ) 的正算子 解 2 2 方程正算子解的特征 定理2 2 1 如果算子方程x + a + x 一。a = ，有一个正算子解x ，则有 ( 】) ，x ( a a ) ； ( 2 ) a a + ( a a + ) ，； ( 3 ) ，y ( a ) 南； ( 4 ) 7 ( a + a + ) s1 ； ( 5 ) 7 ( a a ) 冬1 ； ( 6 ) u ( j 4 ) 证明( 1 ) 由算子方程x + a * x a = i 容易知道xs ， 因为x 是一个可逆正算子，所以由a * x t a ：，一x 可以推得a * x t a i 因此| | x 圳 l ，也就是说，i i a + x 一钏 1 因此可以得到 x a 4 + x i ( a a + 1 + a 8 x a 6 由x ，可以获得x 一。兰j ，a + x a a + a ：= a + ( x 一一i ) a20 因此有 a + x a a a 即 所以由上式可以获得 即 ( a a + ) + a * x 一。a a * a + ( a a + ) a + a + f a a + ) 0 ，我 们可以得到 在这种情况下可以得到 因此 x t x ：，1 ( a a t + j ) 棚( a ) j n f i x 。- 掣“怄蚓m a 叫x 】i a t _ a t t | + l i 志 7 ( a ) ( 4 ) 易知0 x + a + x1 a x + a x l a + a + 且+ 所以j + a 4 + a 0 ，即a + a * 一， ( 。x + a ) 4 x 一1 ( 4 + x ) ( x ；( x 十a ) ) + ( x j 1 ( x + a ) ) 兰0 磊“v 类似地，我们可以得到 x + a + x 一1 a a a + = ( x 一4 ) + x1 ( x 一1 ) = ( x 一( x 一肖) ) + ( x j ( x 一) ) 2 0 因此j a + 一a 兰0 ，即a + a + ， 结合上述所得结果可以获得7 ( a + a + ) 1 ( 5 1 如果算子方程x + a + x 。a = ，有一个解，那么算子方程 x + ( i a ) 一x ( i a ) = ， 也有一个解，其中i 表示虚单位因此根据( 4 ) 中的结果可以得到7 ( 。a + ( 1 a ) + ) 兰l 又因为7 ( i ( a a + ) ) = 7 ( a a + ) ，所以可以获得，y ( a a + ) 曼1 ( 6 ) 如果算子方程x + 小x “ = j 有一个解，易知算子方程 。x + ( c 2 。a ) + x 一( p 御a ) = ， 也有一个解，其中0 一2 1 r ，2 7 r 由( 4 ) 我们可以得到7 ( g2 。a + ( c2 9 a ) + ) 1 又因为 e 扭4 + ( e 徊a ) + 对于所有的0 - ”，”】是自伴的，所以根据引理12 3 和上述不等式 我们可以得到u ( e 坩a + ( 一a ) ) 兰1 因此对于任意的o 【一” 和蚓卜1 有 i ( ( e 2 9 a + ( e 坩4 ) ) t ，g ) i 1 另一方面，对于一个单位向量zeh ，存在p ( z ) f 一”，”】使得 e i o ( 2 ) ( a x ，z ) = ( e i o ( 。) a x w ) 0 结合式子( 2 ) 和( 3 ) 可以得到 ( ( e 徊( 。) a 十( e 4 8 扫) a ) + ) z ：，z ) l = ( e 1 9 h ) a x ，z ) + ( ( f ，州) a ) 4g ：，z ) = 2 f c i o o ) a ：n 。1 l ( 2 ) ( 3 ) 其中z h 且恻i = 1 事实上，对于任意的zeh 且恻f = 1 都有 l ( a z ，z ) l = i ( e 埘扣) a z ) ； 因此w ( a ) s 注1 在有限维的h i l b e r t 空问上，定理2 2 1 中的( 1 ) 一( 3 ) 在文献 5 1 中已证 过，但是这种证明方法用的是矩阵论的方法，在无限维中一般不成立 注2 当t = 1 时，由定理2 2 1 中的( 3 ) 可以得到1 ( a ) 兰j 但是我们又可以 从( 4 ) 中获得更精确些的结果：u ( a ) 8 2 3 方程有解的充要条件 我们首先给出算子方程x + a + x a = ，有正算子解的充要条件 定理2 3 1 设aeb ( 日) 算子方程x + a + x a = 有正卿：子解x 的充要条 件是4 有因子分解a = ( + ) z ，其中w 和z 满足w 4 w 4z 4 z = ，且是 一个可逆算子在这种情况下，x = w + w 是方程的一个正钎：子解并且方程的所 有正算子解都有这种形式表示 证明如果算子方程x + 以+ x 。a = 的定义可知w = w + 且是可逆的 x + x 。a = ，可以改写为 ，有一个正算子解。y 令x = 形从 因此x = w + 在这种情况下方程 w w + ( ( 彤+ w ) 一；a ) + ( ( w + w ) 一i a ) = i ( 4 ) 令( w 4 阿) ；a = z 因此有a = ( w + w ) ；z 根据等式( 4 ) ，我们可以得到w + w + z = ，因此必要性得证 下面来证充分性根据已知条件可以知道a 有分解4 = ( + ) i z ，其中w 和z 满足4 w + z + z = i ，并且w 是可逆算子，令x = w 在这种情况下可以 获得 x + a x a = w + w + ( ( w ) z ) + ( w + w ) 一( w + w ) ；z = w + w + z + z = i ， 也就是说x 是方程的一个正算子解 推论2 , 3 2 设 是一个非零的数算子疗程x 一 a x a = 有一个正算子 解x 的充要条件是a 有因子分解a ：lar j ( + ) ；z ，其中如果a 0 ，w 和z 满足w + w z 4 z = j ；如果 0 如果p q = q p ，则有 p o q o 0 在有限维的情况下，文献【4 】证明了迭代序列 x n = i ，x 。+ l = 1 一a + x i 2 an = 0 ，1 ，2 ， 是收敛于一个正算子并且这个正算子也是方程x4 - a + x2 a = ，的一个解接下 来我们在无限维的情况下利用类似的迭代序列 x n = i ，x n + 1 = ，一4 + x ，i a ，n = 0 ，1 ，2 ， 去考虑算子方程盖4 - a + x 一。a = ，的正算子解 引理2 5 如果a 是正规算子且满足i i a i isv 厂孬鬲 a x n = x n a ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 5 ) 则迭代序列( 5 ) 满足 证明首先我们证明x 。( n = 0 ，1 ，2) 是可逆正算子由迭代序列( 5 ) 知 x o = ，所以有， 丽tj 因为 南赤 j 南 下面我们用归纳法来证明假设x 。 丽tj 我们须证x i 南，因为 x n + l = i a + x i a j 一( 击，) “a 4 a ，一( 击矿鼎j ：i 一南i = 南i ， 所以可以得到( n = 0 ，l ，2 ，) 是一个可逆正算子 接下来我们来证明a k = j a 由已知条件可知x o = ，所以a x o = 硒a 由 以是正规贫子知j 4 a + = a + a ，因此我们可以得到 a a a + a = a a + a a ，a ( t a 月+ ) = ( i a + a ) a ，a x l = x 】a 下面我们用归纳法证明假设对于每一个自然数n 都有a x 。= x 。a ，我们来证明 a x 。+ 1 = x 。+ 】a 由a x n = x 。a 可以得到 a x i = x ：a ，a a + x g6 a a = a 一 4 a x i a ，墨汁】a = a x , 。+ l 因此结果得证 弓| 理23 6 如果a 是正规算子且满足怕| | 、丢鬲则迭代序列( 5 ) 满足 + 1 = x n + 1 ，n = 0 ，1 2 一 证明从迭代序列( 5 ) 知x o = ，由此得到x l = 一且肖，所以有x o x l ：x 1 x ( 】 进一步来计算 x x 2 = ( ，一a + a ) ( j a + x f a ) = ，一a + a a + x v 。a + a + a a + x f 。a x 2 x l = u a + x f a ) ( ，一a + a ) = ，一a + a a + x f a + j 4 + x f a a + a 由a 是正规算子知4 a + = a 4 a ，进一步可以得到 a + a a a + = a j 4 + a + a 且+ 一a + a a a + = a a + 一a 4 + 4 + a ( ，一a 4 a ) a a = a a + ( j a + a ) x 】a 且+ = a + x 1 _ 从上面的最后一个等式可以得到 x f a a 4 = a a 4 x ， a a + x 7 = x i 。a a + 1 1 a + a 4 + x io a = a x f o a a + a 因此x i x 2 = x 2 x i 下面我们来假设对于每一个自然数k 都有 x k x k i = x t ：o xk 我们将证 x k + 1 x k = 爿* x r + l 屉成立的因为 x k x k 十i = x k ( i a + x f2 4 ) = x 一x k a + x i ：a 又根据引理2 3 5 我们可以得到a x = x 女a 和溉a = a + x k 因此可以得到 x k x i , + l = x k a + x i a x k = x t + l x k 注上面两个引理的证明也可以通过函数演算的方法去证 定理2 3 7 如果a 是正规算子，则x + a + x 。a = ，有正算予解的充要条件 足1 ( 4 ) 茎v 南 证明由定理2 2 1 可知必要性得证下面我们只须证充分性 由a 是正规算子知，y ( 以) 2 = i i a i l 2 = 峭+ a l l ，因此可以得到a + as 弭南，现在 我们来考虑迭代序列( 5 ) 从引理2 3 5 的证明中可以得到x ，。 由，n = 0 ，1 ，2 ， 对于凰我们有x o = i 击，对x - 进行计算可以得到 x t = i a x i t a = i a a 曼i = x o 假设x 。一l 曼x o 我们来证睨不等式x 。+ l 曼x 。是成立的根据定理2 3 4 我 们可以得到 5 碟_ l ，靠x - t 1 x n 札= i a j x i t a s i a x ：_ a = x 。i 因此算子序列 x 。) 墨。是单调递减的 从不等式x n 击，可以得到算子序列 x 。 岳。是单调下有界的且下界是 南f 因此根据定理1 2 6 可以得到这个序列强收敛到一个正贫子x 旦x2 南f ， 进一步可以得到 x ： 是。强收敛于x 。 因为墨 南j ，所以x i2 ( 丁t + 1 ) 2 ，由此可以得到对于任意：r h 有 l i ( x 一x 2 ) | | = i i x ( 嬲x ) x 一2 圳f sl i k f ( x i x ) ( x 。) i i _ 0 ， 所以 x i 籀强收敛于x 因此x 是算子方程x + a + x “a = j 的一个正算子解 2 4 在1 1 4 1 1 厮时的正算子解 由前一部分的结果可以知道如果方程( 1 ) 有解可以得到1 ( a ) 、雨毛干t 在 这1 节我们假设算子