（基础数学专业论文）结合代数若干性质的研究.pdf

摘要 由于w e d d e r b u r n m a l c e v 定理是代数中的一个非常重要的定理，曾有不少数学 家对它进行过研究作为上同调理论的应用，有人给出了对结合代数的w e d d e r b u r n - m m c e v 定理，也有不少人把w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理进行了推广，其中d s t e f a n 和 f v a no y s t a e y e n 给出了一种广义的w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理，也即对余模代数的 w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理以及它的对偶定理 本文第部分的主要工作是先给出了和本文相关的一些预备知识及w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理的各种不同形式，再采用类似于d s t e f a n 和f v a no y s t a e y e n 的方法将 w e d d e r b u r n m a l c e v 定理在模代数和余模余代数上进行了推广，并进行了相关证明 也即下面的两个定理： 定理日是一个有限维的半单的h o p f 代数且有一个非零的左积分a i i 。d ，a 是 日上的一个有限维模代数使得j ( a ) 是a 的一个子模且a j ( a ) 是一个可分离的代 数，则存在a 的一个子模代数b ，满足下面的等式： a=boj 注：上式分解是作为日模分解 定理日是一个有限维的余半单的h o p f 代数，假设有一个非零的积分t 日+ ， 满足a ( t ) = t 2o 铲( t 1 ) ，g 是一个右日一余模余代数，如果c 的余根岛是余可分的并 且是疗一稳定的，即日+ c occ o ，那么存在下面的一个日+ 线性的( 皿余线性的) 即余代数p r o j e c t i o n ：c 叶岛 本文第二部分的主要工作是采用了类似史美华关于s m a s h 积的复杂度的方法 把s m a s h 积的复杂度推广到了c r o s s e d 积的复杂度得到了如下的定理： 定理设日是一个有限维h o p f 代数且a 为一个日模代数，如果日和日+ 是 半单的，则： g ( a b h ) = c ( a ) 本文第三部分的主要工作是推广了一篇关于广义路代数的文章中的一个命题和 一个引理，即： 命题已知a ，口是域k 上的两个有限维单代数，且域k 的特征满足pf 、伍丽可可f d ：k 】( 其中d 垒e a e ，e 是a 的本原幂等元) ，那么对任意的a 一口 双模m ，我们有下面的同构关系成立且是作为口一a 双模同构 h o m a ( m ，a ) 垒h o m b ( m ，b ) 第3 页 引理假设a 是域上的一个有限维单代数，且的特征p 满足p f 而丽【d k 】( 其中d 皇e a e 。e 是a 的本原幂等元) ，那么对于任意的0 o a ，我们 有：t ( a a ) 0 将原来的代数闭域推广到了一般的域且有同样的结果成立 本文第四部分的主要工作是将p g u 的假设g 是一个群，是一个从g 到g 的 一个映射，如果矗( 曩y ) = ( ，( z ) ，( z ) - 1 ) ，那么r 满足q y b e 的充分必要条件是对 任意的毛y 属于g 都有下列等式： 中g 是一个群的条件推广到s 是一个c l i f f o r d 半群所定义的冗仍是q y b e 的解，即 是下面的定理： 定理假设s 是一个c l i f f o r d 半群，对任意的。，y ，z 属于s ，令r 1 ( z ，y ) = ( z 一1 ，z y z ) ，r 2 ( 。，y ) = ( z ，= y x 一1 ) ，兄3 ( z ，y ) = ( = - - l = ，z 掣) ，且r 4 ( z ，y ) = ( z z 一1 ，z 掣) ，那 么忍“= 1 ，2 ，3 ，4 ) 都是q y b e 的解 关键词：可分代数，上同调维数，余半单，余根，复杂度，代数闭域 第0 页 a b s t r a c t b e c a u s ew e d d e r b u r n m a l c e vt h e o r e mp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i na l g e b r a ，m a n y m a t h e m a t i c a ls c i e n t i s t sh a v ed o n er e s e a r c ho ni t ，a sa na p p l i c a t i o no fc o h o m o l o g yt h e - o r y ，s o m e o n es t a t ew e d d e r b u r n - m a l c e vt h e o r yf o ra s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，a n d8 0 m e o n es t a t e ag e n e r a l i z a t i o no fw e d d e r b u r n - m a l c e vt h e o r e m ，f o ri n s t a n c e ，d s t e f a na n df v a no y s - t a e y e ns t a t eag e n e r a l i z a t i o no fw e d d e r b u r n - m a l c e vt h e o r e mf o rc o m o d u l ea l g e b r a sa n d i t sd u a lt e s s i t i nc h a p t e r1 ，w ef i r s tg i v e8 0 m er e l a t e dk n o w l e d g ea n da l lo t h e rd i f f e r e n tf o r m so f w e d d e r b u r n - m a l c e vt h e o r e m ，i nt h ef o l l o w i n gw es t a t et h ew e d d e r b u r n - m a l c e vt h e o r e m f o rm o d u l ea l g e b r aa n df o rc o m o d u l ee o a l g e b r a t h e r o e ml e thb eaf i n i t ed i m e n s i o ns e m i s i m p l eh o p fa l g e b r as u c ht h a tt h e r ei sa n o n z e r ol e f ti n t e g r a l a h a d l e tab eaf i n i t ed i m e n s i o nm o d u l ea l g e b r ao v e rhs u c ht h a t j ，t h ej a c o b s e nr a d i c a lo fa ，i sas u b m o d u l eo faa n da j ( a ) i ss e p a r a b l e t h e nt h e r ei sa s u b m o d u l ea l g e b r abi nas u c ht h a t ： a=boj t h i sd e c o m p o s i t i o n 勰d i r e c ts u mo f 月m o d u l e t h e r o e ml e thb eaf i n i t ed i m e n s i o nc o s e m i s i m p l eh o p fa l g e b r a s u p p o s et h a t an o n z e r oi n t e g r a lo fh + s a t i s f i e sz x ( t ) = t 2o 铲( t 1 ) l e tcb ear i g h th c o m o d u l e c o a l g e b r a i ft h ec o r a d i c a lc oo fc i sc o s e p a r a b l ea n dh * - s t a b l e t h e nt h e r ei sa 1 1h + - l i n e a r c o a l g e b r ap r o j e c t i o n ：c - + c o i nc h a p t e r2 ，w es t a t ec o m p l e x i t yo fc r o s s e dp r o d u c t ，t h a ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e r o e m s u p p o s ehi saf i n i t ed i m e n s i o nh o p fa l g e b r aa n dai sah - m o d u l e a l g e b r a ，i fha n d h a r es e m i s i m p l e ，t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： c ( a i i ，日) = c ( a ) i nc h a p t e r3 ，w eg i v eap r o p o s i t i o na n dat h e o r e m w er e p l a c ea l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d w i t ha no r d i n a r yf i e l d ，t h a ii s ： p r o p o s i t i o nl e taa n dbb et w of i n i t ed i m e n s i o ns i m p l ea l g e b r a so v e rf i e l dkw i t h c h a r a c t e r i s t i cpi ss a t i s f i e dp 、何丽f d ：叫，t h e n ，f o ra na bb i m o d u l em t h e i s o m o r p h i s mo fb ab i m o d u l e sh o m a ( m ，a ) 兰h o m b ( m ，b ) h o l d s 第5 页 l e m m aa s s u m eai 8af i n i t ed i m e n s i o ns i m p l ea l g e b r ao v e rf i e l dkw i t hc h a r a c - t e r i s t i cpi 8s a t i s f i e dp f 、出m d ( a ) 【d ：乩t h e n ，f o ra n yd 0i na ，t h e r eh o l d st h a t t ( a a ) 0 i nc h a p t e r4 ，w er e p l a c esi sag r o u pw i t hgi sac l i f f o r ds e m i g r o u p ，a n dw eh a v et h e s i m i l a rr e s u l t t h a ti s ： t h e r o e ms u p p o s esi sac l i f f o r ds e m i g r o u p f o rz ，s ，l e t r l ( z ，y ) = ( z 一1 ，x y x ) ， 嘞忙，) = ( 正，x y x 一1 ) ，r 3 ( x ，y ) = ( x - 1 2 ：，z y ) ，r l ( x ，y ) = ( z 茁一1 ，z y ) t h e nr i o = 1 ，2 ，3 ，4 ) a r es o l u t i o 璐o ft h eq y b 昂 k e y w o r d s ：s e p a r a b l ea l g e b r a ，c o h o m o l o g yd i m e n s i o n ，c o s e m i s i m p l e ，c o r a d i c a l ，t o m p l e x i t y , a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d 第疗页 第一章有关w e d d e r b u r n m a l c e v 定理的一些结果 1 1 预备知识 不加说明地我们这里讨论的代数都是k 代数 定义1 1 1a 是一个有限维的k 一代数，e 是k 的任意一个域扩张，如果a o e 是一个半单的k 代数，则我们称a 是一个可分的k 一代数 注意：一个可分的k 代数是一个半单的弘代数；如果k 是一个代数闭域，则 一个半单的犯代数也是可分的k 代数即如果k 是一个代数闭域，半单的k 一代 数与可分的k 代数是等价的 定义1 1 2k 是一个域，a 是一个结合k 代数，如果a 能被有限维的理想所 生成，则我们称这个结合k 代数a 是理想有限的 定义1 1 3 一个元素a 属于日的对偶空间( 即o t 灯+ ) 称为是伴随不变的，如 果下面的等式对于任意的x , y 属于h 都成立，即a ( e x l y s ( x 2 ) ) = ( z ( ! ，) 定义1 1 4一个余代数g 称为是右余半单的，如果它的余模范畴是一个半单 的范畴，即每一个左c 一余模都是半单的 定义1 1 5n 是一个给定的单的k 余代数，它的对偶k 一代数+ 是一个单的 耳一代数，如果v 是可分的，则我们称是一个可分的弘余代数 定义1 1 6g 是一个给定的k 。余代数，c o r a d c 是c 的余根，如果任意一个 c o r a d c 的单盯子余代数都是可分的，则我们称c o r a d c 是一个可分的余根，其中 c o r a d c 是所有单子余代数的和，如果是一个代数闭域，则c o r a d c 一般都是可分的 定义1 1 7a 是一个非平凡的且代数，a 的上同调维数定义如下 d i m a = 5 u p n ：日盖( a ，m ) 0 ，f o r s o m e a b i m o d u l e m 如果对于任意的n 都存在一个a a 双模m 使得王唱( a ，m ) 0 ，则我们认为 a 的上同调维数是无穷其中哪( a ，m ) = z 曼( a ，m ) b 凳( a ，m ) ，z 盖( a ，m ) = k e r s ( “) 且b 嚣( a ， 彳) = j 竹1 6 ( n - 1 ) ，f o rn 1 第7 页 即 一个映射：a n _ + m 称为是多重线性的，如果它在每一个分量上都是r 线性的 ( z l ，2 f 口+ y i b ，$ n ) = ( z 1 ，茁，。n ) n + ( 。l ，玑，x n ) 6 对于任意的。l ，粕，y i ，$ 。属于a 和任意的d b 属于r 上式都成立 如果咖和妒是从小到m 的多重线性映射，c 属于r ，则 ( 庐+ 妒) ( 。l ，。) = ( 。1 ，z 。) + 妒( $ l ，z 。) ( 加) ( l ，$ 。) = ( z l ，茁n ) c 所有从到m 的多重线性映射在上面定义的加法和数乘下构成了一个r 模， 记为c 娶( a ，m ) ，或者简记为c “( m ) ，或e “，其中c o ( a ，m ) = m 6 ( “) 是从g 嚣( a m ) 到+ 1 ( a ，m ) 的映射，即 j ( “) ：c 曼( a ，m ) _ 铝+ 1 ( a ，m ) 其中j ( n ) 定义如下： “) ( 6 0 t ) ( $ ) = $ u t z ( i i ) ( 6 “垂) ( z 1 ，x 2 ，- ，$ n ，z n + 1 ) = z l 西( z 2 ， 圣( z l ，g g i x i + l ，+ 1 ) + ( 一1 ) n + l 圣( $ 1 ，霉n ) z n + l ，o r n 1 下面我们给出竹= 1 和n = 2 两种特殊情况的表达式： ( j 1 圣) ( 。l ，z 2 】= x l 圣( z 2 ) 一西( z l x 2 ) + 圣( z 1 ) z 2 ( 6 2 面) ( z 1 ，z 2 ，z 3 ) = x l 圣( z 2 ，z 3 ) 一圣( z l x 2 ，x 3 ) + 圣( z l ，z 2 2 3 ) 一西( 。l ，2 ) 。3 定义1 1 8m 和是右日余模，我们定义h o m k ( m , n ) 为l t o m k ( m ，n ) 的有 理部分或者说h o m k ( m ，n ) 是h o m k ( m ，n ) 的唯一极大有理日+ 子模 定义 定义1 1 9 对于任意的右日余模代数a 和任意的右a h o p f 模m 和，我们 h o m a ( m ，l v ) ：= h o m 4 ( m ，) nh o m 女( m ，) h o m a a ( m ，) ：= h o m a a ( m ，n ) nh o m j , ( m ，) 第8 页 一 。耐 + + n 茁 注意：当m 是有限维时，我们可以证明得h o m k ( m ，n ) = h o m k ( m ，) ，那么此 时h o m a ( m ，n ) ：= h o r a a ( m ，) ，h o m a a ( m ，n ) ：= h o m a a ( m ，) 定义1 1 1 0 如果m 是一个a a 双模同时也是一个右日余模v i ap ：m - m o h ，使得： p ( a m ) = a o t t l oo g l m l p ( m ) = m 咖o m l d l 那么，我们称m 是范畴a 朋置中的一个对象 如果态射，：m 是一个a a 双模和右日余模态射，则我们说态射，是范 畴 朋譬中的一个态射 定义1 1 1 1h 是一个h o p f 代数，a 是一个代数，我们称a 是日上的一个日余 模代数，如果a 是通过下面的映射赋予了一个余模结构，i i p ：p a ：a 叶aoh 一个右a 模m 称为是一个h o p f 模，如果映射p m ：m _ m o h 在m 上定义 了一个余模结构，使得： p f ( m = m o a o 。1 7 1 , 1 0 * 1 ，v m m ，v a a 一个态射，：m - + 称为是一个h o p f 模态射，如果映射即是a 线性的也是日 余线性的 所有从m 到n 的h o p f 模态射的集合记为h o m l 譬( m ，) 且所有右a h o p f 模 构成的范畴记为朋譬 定义1 1 1 2h 是一个h o p f 代数，我们称口h 是日+ 的一个左积分如果对 于任意的f h + ，都满足：o - - - - - 口 定义1 1 1 3z t ( a ，m ) 中的元素是下面的双线性映射垂：a a - + m 且满足 6 2 垂= 0 ，也就是说邵( a ，m ) 中的元素是满足下面等式的垂的集合： $ 垂( ，z ) 一, h ( x y ，z ) + 圣0 ，y z ) 一垂( z ，) z = 0 ( 1 ) 对任意的z ，y ，z a 都成立满足( 1 ) 式的双线性映射称为是a 的赋值在双模 m 中的因式集 第9 页 形如6 1 的因式集称为是可裂因式集，其中西：a _ + m 是线性的，根据定义 1 1 7 ，j 1 咖是下面的因式集圣定义如下： 圣( z ，可) = 。( ) 一妒( z 掣) + ( z ) 可 定义1 1 1 4 域k 上的代数a 的h o c h s c h i l d 上同调是系数在a a 双模m 中 的下列复型( c ”( a ，m ) ，“) 。n 的同调： 0 _ + m 粤h o r n k ( a ，m ) 鸟h o r n t ( a 圆a ，m ) 毒b 1h o m t ( a 肌，m ) ( 2 ) 其微分算子厶定义：d 0 ( m ) ( 口) = a r t , - m d 对n 1 我们令如一l ( ，) ：= ：o ( 一1 ) 。d ，i 一1 ，i ( ，) 且： l 口1 l ( a 2 0 o 扩) ， i = o ； d 。一1 ，t ( ，) ( d 1o o d ”) = l ( a 1o o a t a t + lo 固n “) ， 1 i 冬n 一1 ； i ，( n l o o a n - - 1 ) n “， i = n 命题1 1 1 假设m ，n 朋日，对任意的o t h + 且f h o m k ( m ，n ) 我们定义 ( o t ，) h o m k ( m ，n ) 如下： ( a 州m ) = a f ( m o ) l s ( m 1 ) f ( m o ) o 则”在h a m k ( m ，n ) 上定义了一个左h + 模结构 命题1 1 2 如果a 是一个右日余模代数，m ，是右a h o p f 模，那么h o m a ( m ，n ) 是h o m k ( m ，n ) 的一个左日+ 子模 命题1 1 3 已知a 是一个日余模代数，m 和是两个h o p f 双模，如果f h o m a a ( m ，n ) 并且o l 月刍贝4 ( o ，) h o m a a ( m ， r ) 注意：一般来说，h o m a a ( m ，n ) 不是一个右日余模因为h o m a a ( m ，n ) 仅仅 是一个屹模而不是日+ 模 命题1 1 4 已知日是一个余半单的h o p f 代数且存在一个非零的a d i n v a r i a n t ( 伴 随不变) 的左积分a 域d 假设以是一个h 余模代数，m ，n 都属于a m 署，是一个 从m 到的h o p f 双模同态，即： | ：m _ n 第j d 页 若，有一个s e c t i o n 在h o m a 一 ( ，m ) 中，则，有一个s e c t i o n 在h o m g _ ( ，m ) 中 命题1 1 5 如果日是一个h o p f 代数，a 是一个右h 余模代数且me am 署，那 么： 0 _ + m c o ( h ) 粤h o m h ( a ，m ) $ h o m h ( a 。a ，m ) 乌呜1h o m h ( a n ，m ) 岛 它是复型( 2 ) 的子复型，我们记为( 莎( am ) ，如) 。n ，且我们把它的上同调记为茸，m ) 命题1 1 6a 是一个h o p f 代数日上的右余模代数，以下几个条件是等价的： a ) 乘积映射a o a - + a 有一个s e c t i o n 在范畴 m ：；| 中 b ) 对于范畴a 朋薯中的每一个对象m 和n 0 ，都有雷n ( a ，m ) = 0 c ) 对于范畴 川署中的每一个对象m ，都有宜1 ( a ，m ) = 0 d ) 如果0 k - + m - q 0 是范畴 朋舞中的正合列，则0 _ + h o m g _ a ( a ，k ) - h o m a h _ ( a ，m ) - h o m a h _ j 4 ( a ，q ) _ 0 也是正合的 特别地：如果a 是一个可分离的代数，日是余半单的且有一个积分入，那 么以上四个条件还是成立的 命题1 1 7 已知g 是一个有限维的缸余代数且假设c 的余根是可分的，如果 d 是g 的一个一子余代数，那么一个从d 到dn ( c o r a d c ) 的投射可以扩张为一个 从c 到( c o r a d c ) 的投射 推论1 1 8 如果f 是一个完备域，则一个只代数a 是一个可分代数的充分必 要条件是a 的维数有限且a 是半单的 推论1 1 9 如果一个屉代数a 作为冗模是投射的，那么d i m as1 的充分 必要条件是a 的每一个赋值在双模m 中的因式集是可裂的 命题1 1 1 0a 是一个非平凡的b 代数，则础( a ，m ) = o ( 其中m 是任意的 a a 双模) 的充分必要条件是a 是一个可分的皿代数 由命题1 , i 1 0 和推论1 1 9 我们还可以得到下面的两个推论： 第j 页 推论aa 是一个非平凡的r - 代数且作为r 模是投射的，那么d i m a = 0 的 充分必要条件是a 是一个可分的b 代数 推论b 如果a 是一个可分的戽代数且作为r 模是投射的，则a 的每一个因 式集都是可裂的 第j 皇页 1 2w e d d e r b u r n m a l c e v 定理的不同形式 对于结合代数的w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理： 定理1 2 1b 是一个r 代数且满足以下三个条件： a ) b j ( b ) 的上同调维数小于等于1 ，即d i m ( b j ( b ) ) 1 b ) b j ( b ) 作为r 模是投射的 c ) 驴( b ) = o , k 21 则存在口的一个子代数a 满足： b = a o j ( b 1 注：上式分解是作为r 模分解此时a 作为代数同构于b j ( b ) ，即a 兰b j ( b ) 如果b 还满足： d i m ( b j ( b ) ) = 0 那么对于b 的任意两个满足等式： b = a o j ( b 1 b = a 0 j ( b ) 的子代数a 和a ，存在一个元素w 属于，( b ) ，使得 a = ( 1 一 ) 一1 a ( 1 一 ) 推论1 2 2 如果f 是一个完备域，且b 是一个有限维的b 代数，那么存在口 的一个f - 子代数a 使得： b = a o j ( b ) 且a 在元素( 1 一”) 的共轭下是唯一的，其中元素”属于，( b ) 推论1 2 3 a 是一个有限维的k 一代数，如果域k 是一个代数闭域，则存在a 的一个k 一子代数b ，使得有下面的向量空间分解： a = b o r a d a 第j 3 页 即a 等于b 与a 的j a c o b s o n 根的直和 推论1 2 4a 是一个有限维的代数且a j ( a ) 是一个可分离的代数，其中，是 a 的j a c o b s o n 根，则存在a 的一个子代数b ，使得有下面的向量空间分解： a=boj 对于余模代数的w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理： 定理1 2 5 日是余半单的h o p f 代数且有一个非零的左积分a 域d ，a 是日上 的一个有限维余模代数使得j ( a ) 是a 的一个子余模且a j ( a ) 是一个可分离的代 数，则存在a 的一个子余模代数b ，满足下面的等式： a=boj 注：上式分解是作为日一余模分解 且当考虑平凡的余作用h ：= k 时，定理1 2 5 就是推论1 2 4 对于模余代数的w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理： 定理1 2 6h 是一个有限维的半单的h o p f 代数，假设有一个非零的积分t h ， 满足( t ) = t 2 0 s 2 ( t 1 ) ，c 是一个左日一模余代数，如果c 的余根c o 是余可分的并且是 日- 稳定的，即h c occ o ，那么存在下面的一个h - 线性的余代数p r o j e c t i o n ：c - 岛 对于余代数的经典的w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理： 定理1 2 7c 是一个具有可分离余根岛的余代数，则存在c 的一个余理想j 满足下面的等式： c = ，o 岛 注：上式分解是作为弘向量空间分解 也就是说存在一个余代数p r o j e c t i o no fe o n t oc o ：g 叶岛 对于l o c a l l yf i n i t es e t t i n g 的w e d d e r b u r n m a l c e v 定理： 定理1 2 8a 是一个理想有限的结合k 代数，j 是a 的j a c o b s o n 根，则 a ) a j ( a ) 是半单的且a j ( a ) 是有限维单理想的直和 第“页 如果a j ( a ) 是可分离的，则 b ) 存在a 的一个半单子代数g ，满足下列等式： a=coj 如果k 是一个代数闭域，则 c ) 满足上式的所有c 构成的集合可以通过a 的自同构群传递置换得到 第j 5 页 1 3 主要结果 下面是本文第一部分的一个主要结果 对于模代数的w e d d e r b u r n m a l c e v 定理： 定理1 3 1h 是一个有限维的半单的h o p f 代数且有一个非零的左积分a 凰d ，a 是日上的一个有限维模代数使得j ( a ) 是 的一个子模且a j ( a ) 是一个可 分离的代数，则存在a 的一个子模代数b ，满足下面的等式： a=boj 注：上式分解是作为日一模分解 证明：分两种情况讨论： 1 1 沪= 0 取口：a 叶a j ( a ) 是经典的投射，因为日+ 是余半单的，所以存在一个日余线 性的口：a j c a ) - + 且口是7 r 的一个s e c t i o n 由假设户= 0 ，则s e c t i o n 盯在t ，上定义了一个双a j ( a ) 模结构，具体如下： a z = 口( a ) z $ a = z 口( a ) ，v x 正v a a j ( a ) 我们可以验证7e a jm 兢( 因为a 是h 余线性的) ，而且还可推断出 u 属于牙2 ( a j , ，) ，也即是伊的2 - c o c y c l e 的集合，其中u 定义如下： i ：a j o a 3 j u ( 岔口) = 口( 句) 一口( 童) 口( 口) 由命题1 1 6 可知h 2 ( a j , j ) = 0 ，所以我们可以找到一个0 h o m ( a d , j ) 使得d 1 ( 口) = u 可以验证映射p ：a j _ a ，p ：= d + 0 是一个代数同态 因为一和0 都是日余线性的，所以p 也是伊余线性的 最后，因为口是，r 的一个s e c t i o n 且i r a ( 0 ) e r ( ) ，所以p 也是 的一个s e c t i o n 此时，我们取b ：= ，m ( p ) 即可 2 ) 户0 下面我们对a 的维数做归纳： 1 。，当d i m ( a ) = 1 时，那么此时的a = k ，结果是显然的 第j 占页 2 。，假设当d i m ( a ) n 时，结论成立下面讨论当d i m ( a ) = n 时的情形 因为j 2 0 ，所以我们取a ：= a j 2 是一个驴余模代数( 是日子模) 由于d i m ( a ) d i m ( a ) ，a j 2 的j a c o b s o n 根是j ，2 ，所以由归纳假设我们可知 存在一个的护子余模代数b 7 ，满足： a s b 0 ( j j 2 ) 注：上式分解是作为右日+ 余模分解 假设风是a 的唯一的一个使玩，2 = b 的子模代数由于a 的j a e o l ：m o n 根 是幂零的，所以，2 ，且沪j ，又因为d i m ( b o ) d i m ( a ) 且玩的j a c o b 8 0 n 根是 l ，2 ，再由归纳假设可知存在b o 的一个子余模代数日使得： 风= b o j 2 再由前面的等式，所以我们得到a = b o j 证明完毕 下面是主要结果的对偶形式 对于余模余代数的w e d d e r b u r n - m a l c e v 定理： 定理1 3 2 日是一个有限维的余半单的h o p f 代数，假设有一个非零的积分 t h ，满足a ( t ) = t 2os 2 ( 吼c 是一个右皿余模余代数，如果g 的余根岛是余 可分的并且是日一稳定的，即日+ o oc 岛，那么存在下面的一个日线性的( 皿余 线性的) 即有余代数p r o j e c t i o n ：c 叶锄 证明：1 ) 如果g 是有限维的，则该定理可由定理1 3 8 对偶得到 2 ) 一般情况，也就是g 不是有限维的情形： 取( 只”) 是由日稳定的c 的缸子余代数f 和从f 到f n ( c o r a d c ) 的投射 线性的”组成即： 7 r ：f h f n ( c o r a d c ) 令孑是由上面所有的这种( f 7 r ) 构成的集合对，因为( c o r a d c ) 和单位映射属于这个 集合对，所以孑非空如果( f ”) ，( f ， r ) 孑定义： ( f ，丌) 耋( f 霄) = = f cfa n d7 ri f i = 7 r 这时笤是一个良序集，且满足z o r n 引理的条件，所以存在一个极大元为( f o ，7 r 0 ) 下面我们需要证明f o = d 第7 页 假设f o 三c 那么存在z c 使得$ 不属于f o 令d 是由$ 生成的c 的k - 子余代数那么我们有： i m o r oi f o n d ) = dn ( c o r a d c ) = c o r a d d 因为d 是有限维的，对局n d 和7 t oi 厢n d 应用命题1 2 2 ，我们知道存在一个从d 到d n ( c o r a d c ) 的投射啊它是伽l f o n d 的一个扩张 因为( d ，”) 和( f o ，仰) 到各自余根的满射和到他们相交部分的满射是一样的，所 以再由命题1 2 2 可知存在一个满射一从昂+ d 到( 晶+ d ) n ( c o r a d c ) ，h p ： 一：f o + d 一( f o + d ) n ( c o r a d c ) 因此，我们有： ( f 0 + d ，) 主( f o ，1 t o ) 这与假设( f o ，霄o ) 的极大性是矛盾的，所以f o = g 这样就完成了定理的证叽 第占页 2 1 引言 第二章c r o s s e d 积的复杂度 本文中，k 是一个域且所有的代数都是指k 一代数，设a 为一个任意给定的代 数，m 是一个有限维a 模设m 的极小投射分解为： _ + 马_ + - + 局- + m _ + 0 贝0m 的复杂度c ( m ) 定义为最小的非负整数m 使得存在非负常数c 且 d i m k ( p j ) 巧( m - 1 ) 如果这样的m 不存在，就定义g ( m ) = m ，定义： c ( a 1 ：= m a x c ( m ) j mi snf i n i t ed i m e n s i o na m o d u l e 如果a 是交换的则g ( m ) 就是其对应的支撑族的维数，而这个族则是代数群理论 中最重要的研究对象之一 一般来说，求出一个模的复杂度是比较困难的，而确定一个代数的复杂度则更不 容易，事实上，我们只知道少数几个代数的复杂度，例如多项式代数，外代数( 它们都 是k o s z u l 代数，这也是我们能够求出它们呢的复杂度的主要原因) 等从表示的角度 来说商代数似乎比原代数简单但我们有例子表明商代数的复杂度可能比原代数 还大! 例如，外代数g z ，圳( 2 ，y 2 ，x y + y x ) 的复杂度等于2 ，但其商代数k ku ( z ，g ) 2 的复杂度为m 我们旨在利用h o p f 代数的特殊性来确定c r o s s e d 积代数的复杂度，本文是在史 美华关于s m a s h 积复杂度有关研究的基础上的进一步讨论我们将不加解释地利用 一些h o p f 代数常用的记号和基本事实，详见【3 】 第j 9 页 2 2 主要结果 本文的主要结果是下面的等式： 定理2 1 设日是一个有限维h o p f 代数且a 为一个日- 模代数，如果h 和日+ 是半单的，则： e ( a b h ) = c ( a ) 为证明此定理，我们需要一些记号以及下面的引理( 引理2 2 ) 设r 为一个环，m ，n 为 皿模，如果m 作为犀模是n 的直和项，则我们记为m i n 如果s r r ，s m 来表 示m 是一个舅模 首先回顾一下有关交叉积的一些概念一个h o p f 代数日称为度量代数a ，如 果存在一个定义为：h oo h n 的k 线性映射h o a _ + ，使得对于任意的 h h ，8 ，b a 均满足： h 1 = e ( h ) l ，h ( 口6 ) = ( h i a ) ( h 2 6 ) 一个映射口h o m ( h o h ，a ) 称为是卷积可逆的，如果存在个映射r h o r n ( h 日，a ) ，使得对任意的 ，g h ，满足( 口 r ) ( 0 9 ) = a ( h l p 9 1 ) v ( h 2 0 啦) = ( ) e ( 9 ) l a = r ( h l0 9 1 ) a ( h 2 0 卯) = ( f 口) ( o g ) 假设日度量a ，口h o m ( h o e a ) 是一个卷积可逆映射，则a 与日的交叉积 a b 日定义为线性空间a o h 配上乘法： ( 0 4 ) ( 6 i | k ) = a ( h l b ) a ( h 2 ，k 1 ) l h 3 k 3 ， 其中口，b a ，h ，k h 这里把o o h 记作。舱 交叉积a 如日是一个以1 h 1 为单位元的结合代数当且仅当满足下面两个条件： ( i ) a 是一个模作用为的t w i s t e d 日模，即对任意的 ，k h ，8 a ，满足： h ( d ) = 口( ，1 1 ，k 1 ) ( h 2 k 2 d ) 口一( h a ，k 3 ) ( i i ) a 是一个c o c y e l e ，即对任意的 ，m h ，满足： 口( ，1 ) = o ( 1 ，h ) = e ( h ) l 第肋页 ( 1 口( h ，m 1 ) ) a ( h 2 ，k 2 m 2 ) = 口( h 1 ，k 1 ) a ( h 2 k 2 ，m ) 对任意的o a ，h h ，显然有( o 1 ) ( 1 4 ) = n 阮另外a 竺a b l 和h 兰l b h 因此a 和h 可以看作是a 峙h 的子代数于是，可把d # 1 和l l 简单地记为a 和h ， 从而我们有a h = o 帆注意：当口平凡作用时，即对任意的9 ，h h ，有： 口( 9o h ) = e ( g ) e ( h ) 此时交叉积就是我们比较熟悉的s m a s h 积，也就是说交叉积是s m a s h 积的一种推广 引理2 2 设日是一个有限维的半单h o p f 代数，a 为一个t w i s t e dh - 模代数，口 h o m ( ho 日，a ) 是c o c y c l e ，交叉积a b 日满足结合代数条件，设m 为任意一个a b 日 模，则有： m i ( a 如h ) o ( a m ) 定理2 1 的证明：我们首先证g ( 虹h ) g ( a ) ，事实上，设m 为任意一个a 虬日 模，考虑它的极小投射分解： - 马+ _ + 局- m _ + o ( ) 由于a 是a b 日的子代数，所以m 也是一个a 一模，记为 m ，注意到a b 日作 为a 一模是自由的，所以( + ) 也是a m 作为a 模的一个投射分解：考虑a m 的极小 投射分解： - + 巧。一- 瑞_ m _ 0 将其张量上a 日，我们得到： 。( a 虬日) o a 巧- _ ( a b 日) o 昂_ + ( a 虹日) o m + 0 这是( a 虹日) o am 的一个投射分解但是由引理2 2 可知，m i ( a 口，日) o a ( m ) ，从而 d i m k 巧d i m p j d i m k ( a 一日) o 巧= d i m k h ) 击m 巧 故 g ( ( a b h ) m ) c ( a m ) 由复杂度的定义可知g ( a 虬日) 冬e ) 因为交叉积是s m a s h 积的推广，所以上式对于s m a s h 积也成立，即有 c ( a 8 h ) e ( a ) 第舶页 所以同理，我们有： e ( ( a b 日) 4 日) c ( a b h ) 但是由m o n t g o m e r y b l a t t e r