（基础数学专业论文）布朗表示定理之研究.pdf

a b s t r a c t t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w op a r t s t h ef i r s tp a r ti sas u r v e yo nc l a s s i c a lr e p - r e s e n t a b i l i t yt h e o r e m s t h ee m p h a s i si so nt h er o l eo ft r i a n g u l a t e ds t r u c t u r e ，i e k r a u s e st h e o r e ma n df r a n k e st h e o r e m d u r i n gt h ed i s c u s s i o n ，w em a d et h eo b s e r - v a t i o nt h a tn o to n l yd ot h et w ot h e o r e m sh a v ed i f f e r e n tp r o o f s ，b u ta l s ot h e ya r eo f v e r yd i f f e r e n tn a t u r e s i nt h es e c o n dp a r t ，w es h o wt h a tf r a n k e st h e o r e m ( a n d i t s p r o o f ) a d m i t sad i r e c tg e n e r a l i z a t i o nt ou n s t a b l ec a s e ，i e k e l l e r sr i g h tt r i a n g u l a t e d c a t e g o r i e s k e y w o r d s ：b r o w nr e p r e s e n t a b i l i t y , t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y , r i g h tt r i a n g u l a t e dc a r e - g o r y , h o v e y sp r e - t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y , s t a b l em o d u l ec a t e g o r y i n t r o d u c t i o n i nt h el a s tc h a p t e ro f 1 0 ，m a r kh o v e ys u g g e s t e dt h ep r o b l e mo fg e n e r a l i z i n gb r o w n r e p r e s e n t a b i l i t yt h e o r e m t oh o v e y sp r e - t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y ( n o t et h a tt h e r ea x e s e v e r a lm e a n i n g so fp r e - t r i a n g u l a t e dc a t e g o r yi nt h el i t e r a t u r e ) t h i st h e s i si se s - s e n t i a u ya nu n s u c c e s s f u la t t e m p tt og i v es u c hag e n e r a l i z a t i o n t h ea t t e m p tf a i l e d ， s i n c et h ec o f i b e rs e q u e n c e ss o l e l yc o u l dn o tc a p t u r ee n o u g hi n f o r m a t i o nt oe s t a b l i s h r e p r e s e n t a b i l i t yr e s u l t sl e a v i n gt h ea d d i t i v es e t t i n g f o re x a m p l e ，h o wt oc o n s t r u c t h o m o t o p yp u s h o u tu s i n gc o f i b e rs e q u e n c ei nan o n a d d i t i v es e t t i n g ? i n s t e a d ，r i g h tt r i a n g u l a t e dc a t e g o r yi sa s u i t a b l es e t t i n gf o rs u c hag e n e r a l i z a t i o n i nt h ec a s eo fc l a s s i c a lt r i a n g u l a t e dc a t e g o r y , t h e r ea r et w ov e r s i o n so fr e p r e s e n t a b i l i t y t h e o r e m s ，n a m e l y , k r a u s e st h e o r e m ( t h e o r e ma i n 【1 3 】) a n df r a n k e st h e o r e m ( t h e o r e m2 4 i n 【5 】) w i t hc o m p l e t e l yd i f f e r e n tp r o o f s s o m ee f f o r t sh a v eb e e nm a d e t or e l a t et h e m ，e g t h e o r e mc i n 【1 3 h o w e v e r ，i tt u r n so u tt h a tt h et w ot h e o r e m s a r eo fv e r yd i f f e r e n tn a t u r e s ：t h ep r o o fo fk r a u s e st h e o r e mb r e a k sd o w ni nt h e “u n s t a b l e ”c a s ew h i l ef r a n k e st h e o r e mt o g e t h e rw i t hi t sp r o o fg e n e r a l i z e sr e a d i l y t or i g h tt r i a n g u l a t e dc a t e g o r y 1 i ts h o u l db ep o i n t e do u tt h a tn e e m a n sw o r ki s p i o n e e r i n gi nt h i ss u b j e c t 】 t h er e a s o nw h yt h ep r o o fb r e a k sd o w ni n d i c a t e st h ee x i s t e n c eo far i g h tt r i a n - g u l a t e dc a t e g o r yw i t hp e r f e c tg e n e r a t o r s ( t h u ss a t i s f y i n gt h eh y p o t h e s e so fk r a u s e s 2 t h e o r e m ) t h a td o e sn o ta d m i tb r o w nr e p r e s e n t a b i l i t y t w os o u r c e so fr i g h tt r i a n g u - l a t e dc a t e g o r ya r ep r e s e n t e di nt h es e c o n dc h a p t e r ，a n dap o s s i b l ec a n d i d a t ef o rt h e f a i l u r eo fk r a u s e st h e o r e mi n t h i su n s t a b l es e t t i n gi sg i v e n a n o t h e rt h i n gw o r t h m e n t i o n i n gi st h a ti ts e e n l st h a tn oo n eh a sc o n s i d e r e dr e p r e s e n t a b i l i t yp r o b l e mi n t h i su n s t a b l es e t t i n g e v e nf o r s i m p l e c a s e ss u c ha st h e “s t a b l e c a t e g o r yo fa b e l i a n g r o u p s t h i sl a s ts e n t e n c ew i l lb ed e l e t e d i n1 9 9 9 ，s o m eg u yc o n s i d e rr e p r e s e n t a b i l o i t yo ft h es t a b l em o d u l ec a t e g o r i e so fa r t i n i a nr i n g su s i n gb r o w n so l da p p r o a c h 】 w h e nt h i st h e s i sw a sa b o u tt ob ef i n i s h e d ，t h ea u t h o rn o t i c e dt h es u b j e c td e v e l - o p e db ya l e x a n d e rr o s e n b e r gu n d e rt h et i t l eo f h o m o l o g i c a la l g e b r ao fn o n c o m m u - t a t i v es p a c e s ”( 【l7 】) t h es t a r t i n gp o i n to fh i sw o r ki st or e p l a c ee x a c tc a t e g o r i e sw i t h am u c hw i d e rc l a s so fr i g h te x a c tc a t e g o r i e s ( n o tn e c e s s a r i l ya d d i t i v e ) i tm i g h tm a k e s e n s et oc o n s i d e rb r o w nr e p r e s e n t a b i l i t yi ns u c hg e n e r a l i t y a f t e ra 1 1 h o m o t o p y t h e o r yi sk i n do fn o n - a b e l i a nh o m o l o g i c a la l g e b r a c h a p t e r1 c l a s s i c a lr e p r e s e n t a b i l i t y r n l 。上。n e o r e m s t h i sc h a p t e rs e r v e sa sas u r v e yo nc a t e g o r i c a lb r o w nr e p r e s e n t a b i l i t yt h e o r e m s t h e p o i n to fd e p a r t u r ei sm a r k e db yh e l l e r st w ot h e o r e m s t h e o r e mai sa na b s t r a c t f o r m a l i s mo fb r o w n sc e l e b r a t e dt h e o r e m ，w h i l et h e o r e mbp r o v i d e sa n o t h e rw a yo f p r o v i n gr e p r e s e n t a b i l i t yr e s u l t s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w eo f f e ras e c o n dp r o o fo ft h e o r e ma ，w h i c hi si nf a v o ro f i t so r i g i n a lt o p o l o g i c a lf l a v o r ，h o p i n gt h a ti tw i l li l l u s t r a t et h em e t h o do f “a t t a c h i n g c e l l s ”t h e nw em o v eo nt ot h ec a s eo ft r i a n g u l a t e dc a t e g o r y , d i s c u s s i n gt w or e p r e - s e n t a b i l i t yt h e o r e m sf o rt r i a n g u l a t e dc a t e g o r yh a v i n gs m a l lc o p r o d u c t s t h ec h a p t e r e n d sw i t hac o m p a r i s o nb e t w e e nt h et w ot h e o r e m s ，p o i n t i n go u tt h a tn o to n l yd o t h e yh a v ed i f f e r e n tp r o o f sb u ta l s ot h e ya r eo fv e r yd i f f e r e n tn a t u r e s n o n eo ft h ea b o v ee x c e p tt h ef i n a lo b s e r v a t i o ni sn e w t h es o - c a l l e d s e c o n d p r o o f o ft h e o r e mai nt h ec o n c r e t et o p o l o g i c a lc o n t e x th a sa l r e a d ya p p e a r e di n t e x t b o o k ss u c ha s 1 9 ，a n dt h ea u t h o rl e a r n e dr e p r e s e n t a b i l i t yt h e o r e m sf o rt r i a n g u - l a t e dc a t e g o r yf r o ms e v e r a lp l a c e s ( 5 】， 1 1 ， 1 3 ，a n d 1 5 】) 3 1 1h e l l e r st h e o r e m s l e t sq u i c k l yr e c a l ls o m eu s e f u ln o t i o n sf r o m 4 d e f i n i t i o n1 1 1 ac a t e g o r y 够i sc a l l e dap - c a t e g o r yi fi th a sa l ls m a l lp r o d u c t s a n dw e a kp u l l b a c k s d u a l l y , t h ec a t e g o r y 够i sap + - c a t e g o r yi f 够卵i sap c a t e g o r y r e m a r k1 1 1 t h ea d j e c t i v e “w e a k ”m e a n st h a tt h em e n t i o n e du n i v e r s a ls a t i s f i e st h e u s u a lu n i v e r s a lp r o p e r t yb u tn o tu n i q u e n e s s b yt h es a m ed e v i c e ，w ec a l lm o d i f y t h ev a r i o u st y p e so fu n i v e r s a l s ，d e f i n i n gw e a kp r o d u c t s ，w e a kl i m i t s ，w e a kc o p r o d u c t ( e x i s t e n c eb u tn o tu n i q u e n e s si ne a c hc a s e ) p r o p o s i t i o n1 1 1 ap c a t e g o r yp o a s e 8 8 e 8a l lw e a kl i m i t s p o f i ti sw e l l - k n o w nt h a tl i m i t sc s a lb ec o n s t r u c t e df r o mp r o d u c t sa n dp u l l b a c k s u s ew e a kp u l l b a c k si n s t e a do fo r d i n a r yp u l l b a c k st oc a r r yo u tt h es a m ep r o o f 口 d e f i n i t i o n1 1 2 i f 够i sa 尸一c a t e g o r y , af u n c t o rf ：够一s e t si sh a 驴e x a c ti f i t p r e s e r v e sp r o d u c t sa n dw e a kp u l l b a c k s ，o re q u i v a l e n t l y , i fi tp r e s e r v e sp r o d u c t sa n d w e a kl i m i t s p r o p o s i t i o n1 1 2 a l lr e p r e s e n t a b l ef u n c t o r sd 佗够a r eh a t - e x a c t p r o o f b yd e f i n i t i o n aw e a kl i m i to fad i a g r a my ：j _ 够i sa no b j e c tyt o g e t h e r w i t hac o n ey j _ y ，j js ot h a tt h ef o l l o w i n gf u n c t i o n h o m ( x ，y ) _ l i mh o m ( x ，y j ) j e d i ss u r j e c t i v ef o ra l lo b j e c t sxo f 够o nt h eo t h e rh a n d as e t v a l u e df u n e t o rf b e i n g h a l f - e x a c tm e a l l st h a tt h em a p f ( y )匦f ( 巧) j ， i ss u r j e c t i v e t h ep r o p o s i t i o nt h e nf o l l o w s 5 口 r e m a r k1 1 2 w h e n 够叩i st h eh o m o t o p yc a t e g o r yo fp a t h c o n n e c t e dp o i n t e dc w c o m p l e x e sh o ( w t 0 ) ，t h ec o n v e r s ea l s oh o l d s t h i si se h b r o w n sc e l e b r a t e d r e p r e s e n t a b i l i t yt h e o r e m ( s e e 2 】) m o r e o v e r ，i tt u r n so u tt h a tb r o w n sr e s u l ti sj u s t as p e c i a lc a s eo fat h e o r e mo fp u r ec a t e g o r yt h e o r y w h i c hi sn a m e da f t e ra h e l l e r t os t a t et h i sr e s u l t ，w eh a v et os t e a lab i tm o r et e r m i n o l o g i e sf r o mh e l l e r sp a p e r d e f i n i t i o n1 1 3 as e tso fo b j e c t si na p * - c a t e g o r y 够i sf 啦c a r d i n a l l yb o u n d e di f f o ra n ys u f f i c i e n t l yl a r g er e g u l a rc a r d i n a l8af u n c t o rx ：g _ 髻a l w a y sp o s s e s s e sa n s - p r i v i l e g e dw e a kc o l i m i t t h a ti saw e a kc o l i m i txw i t ht h ep r o p e r t yt h a tf o ra n y y s ，t h ec a n o n i c a lm a p i sb i j e c t i v e 1 一i mh o r n ( y , 墨) 1 卢 h o r n ( r , 贾) d e f i n i t i o n1 1 4 af u n c t o rf ：够- s e t si sh y p o r e p r e s e n t a b l ei fi ti sar e t r a c to f ar e p r e s e n t a b l ef u n c t o r o re q u i v a l e n t l y , t h e r ee x i s t sa no b j e c tx 够t o g e t h e rw i t h t h ef o l l o w i n gd i a g r a mo ff u n c t o r s ： s u c ht h a troi = i d f f 三h o m 管( x ，) 二f r e m a r k1 1 3 n o t et h a tb yy o n e d al e m m at h e r ei sau n i q u ei d e m p o t e n te ：x _ x s ot h a te + = ior t h e ni ti se a s yt os e et h a tfi sr e p r e s e n t a b l ei fa n do n l yi ft h i s i d e m p o t e n ts p l i t s 6 d e f i n i t i o n1 1 5 as o l u t i o ns e tf o raf u n c t o rf ：够一s e t si sas e tso fo b j e c t so f 够s u c ht h a tf o ra n yo b j e c tx 够a n dz f ( x 1t h e r ea r eam o r p h i s mf ：y _ x w i t hy sa n day f ( y ) s u c ht h a tf f ( y ) = z n o ww ea r er e a d yt os t a t et h eh e l l e r st h e o r e m s t h e o r e m1 1 3 ( h e l l e r st h e o r e ma ) 仃t h ep 4 - c a t e g o r y 够c o n t a i n sas e td ，g e n e r a t o r ssw h i c hi sl e f tc a r d i n a l l yb o u n d e dt h e na u n c t o rf ：够印_ s e t si sr e p r e s e n t a b l e i a n do n l y 谴i ti sh a 毡一e x a c t t h e o r e m1 1 4 ( h e l l e r st h e o r e mb ) 玎够i sap c a t e g o r yt h e naf u n c t o rf ：够_ s e t si sh y p o r e p r e s e n t a b l e 毽a n do n l y 毽i ti sh a q - e x a c ta n dh a sas o l u t i o ns e t w es h a l lg i v eas e c o n dp r o o fo ft h e o r e ma ，a n dr e f e rt h er e a d e rt oa p p e n d i xa o f 9 】f o rt h ep r o o fo ft h e o r e mb t h es t r a t e g yo ft h ep r o o fg i v e nb e l o wi st of i n da “u n i v e r s a l e l e m e n t i tw i l lt u r no u tt h a ts u c ha ne l e m e n ti sn i c ee n o u g ht op r o v i d e a r e p r e s e n t i n go b j e c tt o g e t h e rw i t ht h ea s s o c i a t e dn a t u r a li s o m o r p h i s m d e f i n i t i o n1 1 6 u n d e rt h eh y p o t h e s i so ft h et h e o r e m s u p p o s et h a tzi sa no b j e c t o f 够，a ne l e m e n tu f ( z ) i ss a i dt ob eu n i v e r s a li ft h en a t u r a lm a p u 。y ：h o r n ( y , z ) 一f ( y ) i n d u c e db y 乱v i ay o n e d al e m m ai sb i j e c t i v ef o ra l ly s a c t u a l l yw ec a na c h i e v em o r et h a nm e r ee x i s t e n c eo fu n i v e r s a le l e m e n t s l e m m a1 1 5 f o ra n yo b j e c tx o 够a n da n yu f ( x ) ，t h e r ee x i s t sam o r p h i s m 。：x _ yt o g e t h e rw i t ha ne l e m e n t f ( y ) ，w h i c hi ss e n tt o 乱b yf ，s a t i s f y i n g t h ef o l l o w i n g ： u 弘7 a n yz s ，口：h o m ( z ，y ) _ f ( z ) i ss u r j e c t i v e ，a n d 2 ) | o ra n yp a i ro f m o r p h i s m szjx ， 的c 7 w h o s ei m a g e su n d e r 仳刍c o i n c i d e ，i sc o e q u a l i z e d p r o o f c o n s i d e rt h es e to fa l lp a i ro fm o r p h i s m sf r o mg e n e r a t o r sw h o s ei m a g e su n d e r u + c o i n c i d e t h a ti s f = ( a ，p ) ：zjx l u ( q ) = u ( p ) ，z s f o r mt h ef o l l o w i n gw e a kp n s h o u td i a g r a m u ( q ，p ) r zh z ) u c 印膨上 u ( 。，口) rz ox ll ll z s 。f ( z ) z ) w h e r e i st h ec o m p o s i t i 。n 。ft h em 。r p h i s m11 ( 口，卢) r zhz 塑xa n dt h ei n j e c - 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三。1 ：8 ) j ，( 1 e e1 ) 上 x 。xi 迎x 。x 上皿x 。x 上业 w h e r et h ev e r t i c a lm o r p h i s m sa r ei n v e r t i b l e ( w i t ht h e m s e l v e sa st h ei n v e r s e s ) t h e n y ozi si s o m o r p h i ct ot h eh o m o t o p yc o l i m i to ft h es e c o n dr o w a n dt h es e c o n dr o w i st h ed i r e c ts u l no f x 生x 生x 生 a n d x 三x 卫x 三 b yl e m m a1 2 8a n dl e m m a1 2 9 ，yozi si s o m o r p h i ct ox f r o mt h ef o l l o w i n gt w ol a d d e r s x 上z 上x 三_ e 上e 上e 上 xj oxj ox o x 马x 旦x 旦 ，一e 上h 上h 上 x 三x 三x 三 w eh a v em o r p h i s m si n d u c e db e t w e e nh o m o t o p yc o l i m i t sv ：y _ xa n d ：z _ x s u c ht h a t y o z 旦2xi sa ni s o m o r p h i s m n o w 、eg e tt w oc o m m u t a t i v es q u a r e s a th a n d x 二y e 上t ，l x 骂x a n d x ! ，z ，一e 上t ，上 x 骂x i ti sc l e a rt h a tt h ef o l l o w i n gc o m p o s i t i o n x 旦yoz 蛆x i st h ei d e n t i t y a sw ea i r e a d yn o t e d ，yoz 旦2xi sa ni 8 0 i i 】【o r p h i s m ，w h i c h i i n p l i e st h a tx 旦y 。zi s j l l s ti t s ( t 附s i d e d ) i n v e r s e t l l 璐w eh a j v e 钉。仳：ea n d 让o 秒= i d y 口 1 2 2k r a u s e st h e o r e m l e t9b eat r i a n g u l a t e dc a t e g o r yh a v i n ga l ls m a l lc o p r o d u c t s d e f i n i t i o n1 2 9 as e to fg e n e r a t o r s 弓o f9i ss a i dt ob ep e 砖e c ti ft h ef o l l o w i n g h o l d s ： ( a ) i ti sc l o s e du n d e rs u s p e n s i o n ，i e 6 = 6 ( b ) f o ra n yc o u n t a b l ef a m i l yo fm o r p h i s m s 协：咒一m ，i ro f 岁t h ei n d u c e dm a p h o m s ( s ，i ix ) _ h o m z ( s ， i m ) 0 i ss u r j e c t i v ef o ra l ls 6a ss o o na sh o m y ( s ，五) _ h o m y ( s ，) i ss u r j e c t i v ef o ra l l i ia n ds 6 r e m a r k1 2 9 g i v e nc o n d i t i o n ( a ) ，as e t6o fo b j e c t si n 少i sas e to fg e n e r a t o r si f f a n yx 少w i t hh o m ：r ( s ，x ) 型0f o ra l ls 6i si s o m o r p h i ct o0 i n d e e d ，f o ra d t x 二y 三z 三e x ，i sa ni s o m o r p h i s mi fa no n l yi fz 竺0 p r o p o s i t i o n1 2 1 0 t h ef o l l o w i n g sa r ee q u i v a l e n t 幻c o n d i t i o n ( b ) ： ( 6 ) f o ra n yc o u n t a b l ef a m i l yo ym o r p h i s m s 慨：x _ m ，i i 吖少t h ei n d u c e dm a p h o m 少( s ，h x ) _ h o m s ( s ，m ) i v a n i s h e si o ra l ls 6a 8s o o na sh o m 寥- ( s ，五) _ h o m 岁( s ，k ) v a n i s h e s ，o ra l li i a n ds 6 ( 6 ) f o ra n yc o u n t a b l ef a m i l yo ym o r p h i s m s 忱：x m ，i io l 夕t h ei n d u c e dm a p h o m f f ( s ，x ) _ h o m y ( s ，) t 诂i n j e c t i v ey o ra l ls 60 , 8s o o na sh o m $ - ( s ，j ) _ h o m y ( s ，k ) i si n j e c t i v ef o rn z z i ia n ds 6 p r o o f t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e na n yt w oo ft h et h r e ef o l l o w sf r o mt h ef a c tt h a tf o ra d t x 二y 与z 生e xi n 少，t h e r ei sa ne q u i v a l e n c e h o m y ( s ，x ) _ h o m s ( s ，e y ) i ss u r j e c t