（基础数学专业论文）退化抛物方程的若干问题.pdf

退化抛物方程的若干问题 中文摘要 本文讨论了非线性退化抛物方程的几个问题，全文分为三部分 第一章讨论下面非线性奇异抛物方程的初边值问题重整化解的存在性及惟一性 6 ( u ) t d i v ( 口( u ，v u ) ) = 日( u ) ( ，+ d i v g ) 这里，三1 ( q ) ，g ( 上，p ，( q ) ) ，= 壬r ，口( 让，v u ) 对l v t i 满足p 一1 次增长条件和 单调性条件此类问题来源于化学反应扩散问题一般地。这类方程不存在弱解，原因 是口( u ，v u ) 不属于( l k ) 且由于g ( ( q ) ) ，h ( u ) ( f + d i v g ) 的意义不明确为了 克服这些困难，我们在本章利用重整化解的理论讨论比通常弱解更弱的解的存在性，即 重整化解的存在性重整化解的概念是l i o n s 和d ip e r n a 在研究b o l t z m a n n 方程中提 出的，后来被应用到一类非线性抛物方程本章的贡献在于利用重整化解的理论和技巧 克服了由日( u ) ( ，+ d i v g ) 项带来的困难，证明了其重整化解的存在与惟一性 第二章是研究p - l a p l a c e 方程 u t = d i v ( i v u l p 一2 v u ) 和带有的吸收项的p - l a p l a c e 方程 u t = d i v ( i v u i p _ 2 v u ) 一铲 c a u c h y 问题和d i r i c h l e t 问题弱解邯( z ，t ) 当p 0 0 时的渐近极限性质对于c a u c h y 问题，e v a n s 2 1 】对初值铷( z ) 具有紧支集情形讨论了弱解的渐近极限，明确给出弱解 t | p ( z ，t ) 当p 一o o 时的渐近极限；当初值t 1 0 ( z ) 不具有紧支集时，易青和赵俊宁教授 【3 4 】证明了存在 坳) 的子列 ) 和函数牡c ( r ) ，使得对任意紧集gcq t 有 j l i m 。u p ，( x ，t ) = 牡( z ) 在g 上一致成立在本章，我们改进了上述结果，对c a u c h y 问题和d i r i c h e l e t 问题证 明了解序列 ) 极限的唯性，从而给出解序列的整体渐进性质，即； p r i m u p ( x ，亡) = u ( z ) 退化抛物方程的若干问题 在j 的任何紧集g 上一致成立 第三章首先对l k ( 冗) 初值和强非线性热源的p - l a p l a c e 方程 地= d i v ( i v 址l 一2 v u ) + i u l q 一1 牡 的c a u c h y 问题讨论解的局部存在性证明了当s u p r n ( 如( z ) 1 铷( 秒) h d y ) 1 肛 警( 口一p - t - 1 ) ，则所论问题存 在局部解 本章还对具有特殊扩散系数的p - l a p l a c e 方程 舞一肇= a 研, 址p - 1 ( 枣) 讨论了解的整体存在性及解的性质得到结果如下设1 p 0 ，0 q n ， 咖( z ) l ( q ) ，在q 上u o ( x ) 0 并记入，p = ( ( 一p ) 屈) p 定理1 若u o w 1 , p ( q ) ，入 a n ，p ，对任意1 p 入咖，1 p m i l l ( 2 n ；，2 ) ，则问题( 木) 存在整体解 定理3 若a 入p ，隔2 n p t 。 定理4若入u n , p ，1 r 关键词；退化抛物方程；重整化解；渐近极限；整体存在性 退化抛物方程的若干问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d ys o m en o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s i i i i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fr e n o r m a l i z e ds o l u t i o n s f o rac l a s so fd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s 6 ( u ) t d i v ( a ( u ，v u ) ) = 日( u ) ( ，+ d i v g ) ， w h e r e ，l 1 ( q ) ，g ( ( q ) ) ，=寿，口( 让，v u ) i n gc o n d i t i o n sf o r w u l t h e s ep r o b l e m sa r em o t i v a t e db yc o n t r o lp r o b l e m sa r i s i n gi n c h e m i c a lr e a c t i o n s u n d e rt h e s ea s s u m p t i o n s ，t h i sp r o b l e md o e sn o ta d m i t ，i ng e n e r a l ， aw e a ks o l u t i o n ，s i n c et h ef i e l d sn ( u ，v u ) d on o tb e l o n gt o ( l l ) a n dt h em e a n i n go f t h et e r m 日( t ) ( ，+ d i v g ) i sn o tc l e a r t oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t y , w eu s ei nt h i sp a p e r t h ef r a m e w o r ko fr e n o r m a l i z e ds o l u t i o n s t h i sn o t i o n 瑁圆i n t r o d u c e db yl i o n sa n dd i p e m af o rt h es t u d yo fb o l t z m a n ne q u a t i o n a n dm a n yp e o p l ea p p l i e st h i sn o t i o nt o e v o l u t i o np r o b l e m si nf l u i dm e c h a n i c s i nt h i sp a p e r ，w ef i r s tg i v eas u i t a b l ef o r m u l a t i o n o ft h ep r o b l e mt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t yt h a tt h et e r mh ( u ) ( f + d i v g ) b r i n g s ，t h e nt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e s so fw e a ks o l u t i o na r ep r o v e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o nt ot h e u t = d i v civ u l p - 2 v u ) a n dt h ep - l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t ha b s o r p t i o n 饥= d i v ( i w l p _ 2 v u ) 一伊 f o rt h ec a u c h yp r o b l e ma n dt h ed i r i c h l e ti n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma sp o o f o rt h ec a u c h yp r o b l e m ，w h e nt h ei n i t i a lv a l u eu o ( x ) h a sc o m p a c ts u p p o r t ，t h es a m e p r o b l e mh a sb e e ns t u d i e db ye v a n se ta 1 【2 1 】，w h e r es o m er e f i n e dr e s u l t sa r eo b t a i n e d f o rt h ec a s e ，w h e nt h ei n i t i a lv a l u e - o ( x ) h a sn oc o m p a c ts u p p o r t ，t h ef o h o w i n gr e s u l t w a sp r o v e di n 【3 4 ，t h e r ee x i s t sa s u b s e q u e n c e ) o f 邯) a n daf u n c t i o n 仳c ( r n ) ， 退化抛物方程的若干问题 s u c ht h a tf o ra n yc o m p a c ts e tgcq t j l i r a 。u , , ，( x ，亡) = 牡( z ) u n i f o r m l y 饥g i v i nt h i sc h a p t e r ，w ei m p r o v et h ea b o v er e s u l t sa n ds t u d yd i r i c h l e tp r o b l e m w e p r o v e dt h et h ea s y m p t o t i cl i m i to ft h es o l u t i o ni su n i q u e s sa n do b t a i n e dt h er e s u l t s ： l i mt 哆( z ，t ) = t 正( z ) u n i f o r m l yo ng p _ 一 t h et h i r dc h a p t e ri sd e v o t e df i r s t l yt ot h el o c a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt ot h e c a u c h yp r o b l e mo ft h ep - l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hs t r o n g l yn o n l i n e a rs o u r c e sw h e nt h e i n i t i a lv a l u e 咖( z ) l l ( 冗) ， u t = d i v ( w u l p 2 v u ) + i u l q _ 1 牡 s u p ( i 伽( 可) l d y ) 1 n ( q p + 1 ) ，t h es o l u t i o nt ot h ec a u c h y i nt h i sc h a p t e r ，w ea l s od i s c u s st h e g l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt ot h ed i r i c h l e t i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ep - l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hp a r t i c u l a rc o e f f i c i e n t 一镡u = a 簖 t h ef o l l o w i n gr e s u l t sw eo b t a i n e d l e t1 p 0 ，0 q ，咖( z ) l ( q ) ，o nq ，铷( z ) 0 d e n o t ea 蜥= ( ( - i o ) p ) p t h e o r e m1l e tu 0 w 1 p ( q ) ， 入 a p ，f o ra n y1 p a p ，1 p n u 。儿l 丙军2 n 磊，2 ) ，t h e nt h ep r o b l e m ( 木) e x i s t sa t h e o r e m3l e t 入 入 p ， p t 舞 t h e o r e m4 l e t 入p n , p ，1 p t + 1d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n ；r e n o r m a l i z e ds o l u t i o n s ； a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；g l o b a le x i s t e n c e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 绘乡亏 匆朋 彦 f 记 年 、_ 、 名 、内1 入明 声 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“4 ) 作者签名易罗况垮日期：砷年，月q e 新獬毫私勺醐：年月日 退化抛物方程的若干问题 第一章一类奇异抛物方程重整化解的存在性及惟一性 1 1 问题与结论 本章考虑下列非线性问题： 6 ( 牡) t d i v ( c - ，v 钍) ) = h c - ) ( f + d i v g ) ，扛，t ) q ， u ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q ( 0 ，t ) ， t 正( z ，0 ) = t 幻( z ) ， z q ， 其中q = q ( 0 ，t ) ，q 是r 上的有界域并且假设 1 ( i i 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 玩) 6 ( s ) c 1c a ) 是严格递增函数且满足正则条件b c 0 ) = 0 ； ( 2 )口( r ，) ：r r _ r 是连续向量，对l 0 ，考虑下列 g ，锄的逼近函数 五，g c c 1 ( 劲，她( z ) c 1 ( - ) 在三1 ( q ) 中五一，在( ( q ) ) 中珧一g ，( 1 3 1 ) 在三1 ( q ) 中6 ( 仳瞻) 一6 ( 伽) ，并且在q 中几乎处处收敛( 1 3 2 ) 不失一般性，可设a ，b 是适当光滑且使得下列问题具有古典解让， b ( u e ) t 一( 1 i v ( o ( 乱，v u 。) ) = h ( u ) ( 厶- kd i v g ) ，( 。，t ) q ，( 1 3 3 ) 乱( z ，t ) = 0 ，( z ，亡) 1 5 l q ( 0 ，t ) ，( 1 3 4 ) t 正e ( z ，0 ) = u 瞻( z ) ，z q ，( 1 3 5 ) 否则可利用逼近过程以得到结果 式( 1 3 3 ) 的两边乘以死( ) ，k 0 并在q 上积分。得 上z k 砷死( s ) 6 ，( s ) d s 血+ z 口他，v ) v 死( u e ) 血出 = 么日( ) 孔( ) ( 厶+ d i v g ) d x d t + zz 址t k ( s ) 6 ，( s ) 幽出 ( 1 3 6 ) 由于( 研) 一( 凰) ，对k 0 有s u p p h 8 ) c ( - k ，后) ， o ( ，w u 。) v t k ( u e ) = a ( ，v t k ( u e ) ) v t ku ) a l v t , u 。) i p ， fh ( “e ) 孔( ) 出出d t - - - z q ( h 7 ( 让e ) 死( ) + 日( 仳) ) 。死( u e ) 珧血出 退化抛物方程的若干问题 4 由( 1 3 6 ) 式及y o u n g 不等式 上z 扛以( s ) 6 ，( s ) d s 如+ 兰上i v 疋( 让圳p 出出c ( 功+ 后1 6 ( 咖儿) ， ( 1 3 7 ) 其中c ( k ) 是与s 无关的常数 对任意m 0 ，设跏是俨增函数且使得当川警，跏( r ) = r ；当川 m ，( ，) = m s n g ( r ) 下证明对任意m ，序列s k ( 6 ( 魄) ) 满足 s 0 ( 6 ( 牡e ) ) 于胪( o ，t ：w 1 p ( q ) ) 一致有界( 1 3 8 ) 且 掣于l 1 ( q ) + ( o ，t ：w _ 1 ( q ) ) 一致有界 ( 1 3 9 ) 当( 1 3 8 ) 式及( 1 3 9 ) 式成立，由a u b i n 引理( 【1 3 】，引理4 ) 可推得对任意m 1 ， s h ( 6 ( 让。) ) 在l 2 ( q ) 意义下紧 现证明( 1 3 8 ) 式及( 1 3 9 ) 式如果1 6 ( 牡) i m ，s k ( 6 ( 仳) ) = 0 ，得 d s m ( b ( u ) ) = ( 6 ( ) ) 6 ，( ) d 玖m ( ) ， 其中k m = m a x - b _ 1 ( 一m ) ，6 - 1 ( m ) ) 由此及( 1 3 7 ) 可证得( 1 3 8 ) 为证( 1 3 9 ) 式，( 1 3 3 ) 式乘以s 缸( 6 ( u ) ) 得 掣= 出v ( ( 6 ( t 上) ) ) 口( 地，v ) ) 一翰( 6 ( t 正e ) ) ) 6 ，( 魄) 。( t 正，v u e ) v t k m u 言 + ( 6 ( 札) ) ) 日( ) 厶+ d i v ( 纯( 6 ( ) ) ) 日( ) ) 一班d 豫肼( ) ( ( 6 ( 魄) ) 日( ) ) 这可推得( 1 3 9 ) 式由( 凰) 及( 1 3 7 ) 式得 口( 疋( 魄) ，v t 七( u ) ) 于( ( q ) ) 一致有界( 1 3 1 0 ) 为了证明( 1 2 3 ) ，对任意整数扎1 ，考虑l i p s c h i t z 连续函数6 l l ， 以。r ，：冗+ 。r ，一瓦。r ，：j 嚣i n ，s g n 。吐 s 萨( r ) ， 他， n l r i 佗+ 1 ， 他+ 1 退化抛物方程的若干问题 5 注意到对任意n 1 ，0 l 靠i 1 ，且对任意7 ，当n _ ，以( r ) 一0 用靠( 让) 乘( 1 3 3 ) 式的两边并在q 上积分，得 上广扪蝴( s ) 姚+ z a ( 蚺坍喇血a t = z 日( 也。) 以( u 以五+ d i v g e ) 妇m + 上z 毗 以( s ) 6 ，( s ) d s 血( 1 3 1 1 ) 因 上口( ，v ) v 以( 仳) d x d t qf q l v 靠( 牡圳p 血出 且 h ( u , ) o n ( u e ) d i v 9 奎妇d t = - z qh ( ) 以( ) 。死( u ) 珧出出一f h ( 让s ) v 口( 地) 驱d z m 其中s u p p h c 【- k ，翻由( 风) ，y o u n g 不等式及( 1 3 7 ) ，可推得 f 口( 钍g ，v 魄) v 如( u g ) d x d t 0 ，他1 ， 在q 上，几乎处处收敛于牡，( 1 3 1 4 ) 在妒( o ，t ；w 1 p ( q ) ) 上，以( 牡e ) 弱收敛于以( 牡) ， 在护( o ，t ；w 1 p ( q ) ) 上，疋( ) 弱收敛于t k ( u ) ， 在( i q q ) ) 上，a ( 噩( 也) ，v t k ( u 。) ) 弱收敛于o k ， 其中o k ( l f ( q ) ) 现证b ( u ) l ( o ，t ；l 1 ( q ) ) 由( 1 3 7 ) 式，得 乞z u 扛疋( s ) 6 ，( s ) d s d z 后1 6 ( 咖) i l t ( n ) + c ( 后) 则 后1 6 ( u p ，t ) ) l 如k l b ( u 。) l l t ( n ) + c ( 忍) + c k b ( k ) m e s f t j 1 - 1 ( 1 3 1 5 ) ( 1 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) 退化抛物方程的若干问题 6 且b ( u ) l ( 0 ，2 。；厶1 ( s2 ) ) 由( 1 3 1 1 ) 式及( 风) ，得 甄l i r a 厶啦，乳坍靠( ) 揪 鲡l i m ( z 酬删川t 睢脚亡+ 上厂俐她) 3 m ， 注意到 z 日( 牡e ) 以( 啦) 出v 珧d z d r - - - f q ( h 7 ( 魄) p ( 牡) 珧。死( ) + 日( 让) v 以( u ) 魄) d z 出， 其中s u p ph c 【- k ，纠则 甄上脚c ) 坼以 + d i v g ) d x 拈f h ( 牡) 帅) f d x d g 一上靠m ) 日( u ) v t k ( u ) 9 如出一f h ( u ) v 以( 牡) 9 出出 ( 1 3 1 9 ) 以( u ) 一0 弱收敛于p ( o ，t ；越p ( q ) ) ， 当n o o 因而由( 1 3 1 8 ) ，( 1 3 1 9 ) 及v o ( u 。) = x n t l i s n + 1 ) v 毗，得 熙甄厶弛柳。，啦，v 诮v 批扎 ( 1 3 2 0 ) 为证吼= 口( 死( u ) ，v 死( 牡) ) ，利用l a n d e s 3 1 】的正规化方法如下定义瓦( u ) 关于 时间的正规化 ( 狮m ( 础) = z ，卜t ) 瓦( 丽) d s ( 1 3 2 1 ) 其中当3 o ，厕= u ( x ，s ) ；当s o ，丽= 咖( z ) ( 疋( ) ) p 具有下列性质 笔竽州( 孙m t k ( 钍) ) - o 在d ， ( 1 3 2 2 ) ( t k ( 仳) ) p i t = o = 死( 札o ) ，在q ， ( t k ( 心) ) p _ 死( ) 几乎处处于q ，且弱+ 收敛于l ( q ) ， 退化抛物方程的若干问题 7 强收敛于妒( o ，t ；耽p ( q ) ) ，当_ 0 0 ，( 1 3 2 3 ) 对任意v 0 ， 0 ( 瓦( u ) ) pi k * ( q ) m a x ( i i 瓦( u ) i i p ( q ) ，i l 死( 咖) i i 沪( q ) ) k ( 1 3 2 4 ) 引理1 3 1 议口钟( 0 ，2 ) ，盯0 ，且设h w b ( 剧，h 0 ，且具碉菜_ 文果， 则 两l i m 丽。l i m 。，i 。t o 。 d 亡d s 。 ( 1 3 2 5 ) 证明引理1 3 1 的证明类似于【1 6 1 中( 2 9 ) 的证明事实上，由分部积分及( 瓦( 牡) ) y 的性质，得 o t o 。 d s 出 = o t 0 2 d s 出 = 一z 吼z 死( r ) d b h ( r ) + 正c r t 风( u 以死( u m + z 仃陬( 也) 一( 孔( u ) ) - ，) 玩他) 一一oo , ；or ) d 鼠( r ) + z 巩玩( 钍) ( 死( u ) ) p + 上叫瓦( 让) 一( 死( 让m ) 玩( 牡) = 1 1 + 厶+ 厶 其中风( r ) = 石h ( s ) d b ( s ) 注意到 ， 厶= 盯( 瓦( u ) 一( 死( u ) ) p ) ( 玩( 牡) 一b h ( 靠( u ) ) ) ，口 ， + 盯( t k ( 乱) 一( 死( 札) ) p ) ( 写，l ( t k ( u ) ) 一b ，l ( ( 疋( 仳) ) p ) ) ，口 ， + 口( 瓦( u ) 一( 死( u ) ) p ) 玩( ( 噩( 让) ) y ) - ，q = i ；+ i 专+ 珐 由( 1 3 2 4 ) 及玩的单调性且l ( 噩( u ) ) y i k ， 霹= a v ( k 一( 死( u ) ) p ) ( 玩( u ) 一b h ( t k ( u ) ) ) 0 ，们 让 k ) 退化抛物方程的若干问题 类似地霹0 因此 则 厶上盯( 死( u ) 一( 死( u ) ) p ) 风( ( 疋( 牡) ) y ) = 上仃妄( 删y b h ( ( t k ( 训p ) = z 盯妄z 陬“ ”玩c r ，d r = 一上c r t 广 ”耻，妣 旁l i me l i m 。- ， 。t o 。 d s 出 一j 乞c r tz 缸t k ( r ) d 上k ( r ) + 已吼上k ( 钍) ( t k ( “) ) p 一j 乞吼z 孔u ”b h ( r ) d r 由此 z u 死( r ) d 玩( r ) = o 剐训( 玩( h ) 一风( 州d r 故引理1 3 1 可证 口 引理1 3 2 对任意后 0 ，满足 甄z t 仃( 亡) 上口( 牡，v 死( 仳s ) ) v m ( u e ) ) 如出z o to o ) 上a k v ( t k ( 让) ) 血m甄上仃( 亡) 上口( 牡，v 死( 仳s ) ) v m ( u e ) ) 如出 o让) ) 血m 其中吼，仃( t ) 分别由( 1 3 1 7 ) 及引理1 3 1 定义 证明取& c ( r ) 使得对任意他 1 ， 当i ，- i 佗时，& ( r ) = ns u p p s c 【一n 一1 ，n4 - 1 】，i i 碟i i l 一( 励1 ， 设 成= 死( 乱) 一( 死( u ) ) p 用口& ( 让) u ：乘( 1 3 3 ) 的两边并在q 上积分，得 上虻盯( d 妄z 6 ，( s ) 畿d s 出m + z 仃( d 畿( 牡也e ，v u s ) v u ：血出 + 锱( 魄) n ( ，v u ) v u e w ：a ( t ) d x d t ，q 8 ( 1 3 2 8 ) 6 7 2 2 3 3 l l ，-l，il 退化抛物方程的若干问题 由引理1 3 1 ，则 9 = a ( t ) h ( u ) ( 五十出v 珧) 畿( 缸) 以d z d t ( 1 3 2 9 ) j q l i m l i m f qw ：, 盯( t ) j af o 6 ，( s ) 畿d s d x d t _ 。，v n 七 ( 1 3 3 。) 因s u p p s ：ch ，n + 1 】u - n 一1 ，- h i ，则 l 磁( 崛) 。( ，v 牡) v 叫( 亡) 出出l - n + 1 a ( t ) h ( u s ) 畿( ) 以= a ( t ) h ( t k ( u ) ) 畿( 死( ) ) 啦 j 盯( t ) 日( u ) 畿( 让) ( 死( u ) 一孔( 牡) p ) 弱收敛于口( o ，t ；w 1 p ( q ) ) 由( 1 3 1 ) ，当s _ 0 ，得 觋厶盯( ) h ( u e ) 畿( 也e ) 啦( 五+ 出毗) 如出 ， = 仃( 亡) 日( u ) 畿( u ) ( 噩( “) 一瓦( u ) p ) f d x d t ，q ， 一a ( t ) d i v ( h ( u ) & ( 让) ( 死( u ) 一t k ( 让) y ) ) g d x d t 这样 。l i ml i mz q 盯( 亡) 日( 让) & ( ) u ；( 五+ d i v 珧) d z d t = 。 由( 1 3 2 9 ) 一( 1 3 3 2 ) ，得 熙恕觋z 盯( 亡) 畿( ) 。( 魄，v 毗) ( v 死( u ) 一v 死( u ) p ) d x d t 0 序列魄满足 躲上仃( t ) 卜( 死( 牡av 砟( ) ) 一口( 死( 魄) ，v 死( “) ) ( v t k ( u e ) 一v t k ( u ) ) 出出= 。 ( 1 3 3 6 ) 证明设k 0 为固定，由假设( 凰) 得 s l i 棚r a ，j f 口仃( t ) 。( 死( ) ，v 死( ) ) 一n ( 死( 魄) ，v 死( 仳) ) ( v 死( ) 一v 死( 让) ) 出出。 。( 死( ) ，v 死( u ) ) _ n ( 瓦( 仳) ，v t k ( 仳) ) 强收敛于( ( q ) ) 由( 1 3 3 8 ) 及引理1 3 2 ，得 ( 1 3 3 7 ) ( 1 3 3 8 ) l i - - m - , o 石盯( ) 。( 噩( 乱av 取( u g ) ) 一。( 死( ) ，v 死( t 正) ) ( v 死( 似) 一v 死( u ) ) 出m 。 ( 1 3 3 9 ) 因而由( 1 3 3 7 ) 及( 1 3 3 9 ) 可推得引理1 3 3 口 退化抛物方程的若干问题 1 1 引理1 3 4 对固足k 0 ，则 吼= n 皿( u ) ，v t k ( 牡) ) ( 1 3 4 0 ) 且当s 一0 时，有 口( 死( ) ，v 疋( u ) ) v 瓦( ) j 口( 噩( u ) ，v t k ( u ) ) v 取( u ) 弱收敛于l 1 ( q ) ( 1 3 4 1 ) 证明由引理1 3 3 及( 1 3 3 8 ) ，得 觋上盯( 亡) n ( 死( 让av 死( u e ) ) v 疋( 仳e ) 如m = l 仃( 亡) 吼v 孔( 缸) d z d t ( 1 3 4 2 ) 由( 1 3 4 2 ) 及利用m i n t y 推论，可得( 1 3 4 0 ) 由引理1 3 3 及a 的单调性，得 n ( 疋( 乱；) ，v 疋( 魄) ) 一n ( 孔( ) ，v t k ( 让) ) ( v 死( 钆) - - v t k ( u ) ) 一。弱收敛于厶1 ( q ) ( 1 3 4 3 ) 此外，由( 1 3 1 5 ) ，( 1 3 1 6 ) ，( 1 3 3 8 ) ，( 1 3 4 0 ) 则 n ( u e ) ，v t k ( u ) ) v t k ( 让) j 。( 以( u ) ，v 死( u ) ) v 死( “) 弱收敛于三1 ( q ) ， n ( 甄( ) ，v t k ( u ) ) v 瓦( ) jn ( 死( 牡) ，v 死( u ) ) v 死( 仳) 弱收敛于l 1 ( q ) ， 且 n ( 孔( 也g ) ，v 死( u ) ) v 死( u ) 一。( 死( u ) ，v t k ( u ) ) v 死( 牡) 强收敛于工1 ( q ) ， 当_ 0 利用上面收敛结果及( 1 3 4 3 ) ，可得对任意k 0 仃( t ) 口( 死( 魄) ，v t k ( 乱e ) ) v 疋( ) j 盯( 亡) 。( 疋( u ) ，v 孔( u ) ) v 疋( u ) 弱收敛于l 1 ( q ) 证得引理1 3 4 口 下面证明( 1 2 3 ) 注意到 t 胁 t ) i n 枷巾门魄) v u s 妇d t 2 z 口他，v 魄) ( v 瓦+ ( 魄) 一v 瓦沁) ) 出m 2 z 口( 瓦+ t ( 让av 死+ t ( u ) ) v 兀+ - ( u ) d x d t 一么口( 咒( u e ) ，v 死( 乱暑) ) v 孔( u ) 如出 退化抛物方程的若干问题 由( 1 3 4 1 ) ，得 她厶脚 k k 圳 n 圳n ( 魄，v ) v u g 出m = 么口( 瓦+ ( 毗v 瓦+ ( 让) ) v 瓦+ - ( u ) 出出一z 口( 瓦( u ) ，v 瓦( 让) ) v 瓦( u ) 出m = 口( 牡，v u ) v u d x d t ， ( z ，t ) e q ，n i u ( 卫，t ) i 住+ 1 由( 1 3 4 4 ) 及( 1 3 2 0 ) 可推得( 1 2 3 ) 1 2 ( 1 3 4 4 ) 现证明i f , 满足( 1 2 4 ) 及( 1 2 5 ) 设i l ( s ) 础( 冗) ，础( q ) ，( 1 3 3 ) 乘以九( 仳g ) 并在q 上积分，得 厶z 撕6 ，( s ) ( s ) d s t d x d t 一 巴n ( u e ，v ) v 毒九( 钍e ) d x d t 一上( 魄) 口( ，v 魄) v u 血出= 以日( u e ) 危( t 正) ( 五+ d i v g e ) d z d t ( 1 3 4 5 ) 因s u p phc 【- k ，纠，则 n ( ，v u e ) h ( u s ) = a ( t k u 。，v t k ( u 。) ) ( u ) ， 九( ) 口( 也e ，v ) v = h ( u e ) a ( t k ( u e ) ，v t k ( u , ) ) v t k ( u e ) ， 日( 魄) ( ) = 日( t k ( 札e ) ) 危( u e ) 在( 1 3 4 5 ) 式中令一0 ，得( 1 2 4 ) 注意到 象z 撕九( s ) 6 ，( s ) d s 关于s 一致有界于l 1 ( q ) + ( 。，t ；- 1 ( q ) ) 相似于【1 6 】的讨论，可推得 6 ( u ) i t = o = 6 ( 咖) 定理1 2 1 得证口 退化抛物方程的若干问题 1 4 定理1 2 2 的证明 1 3 丢j ( - s s l = l _ m = 上z u 躁1 ( r 刖磁( r ) d r l 括础 一 厂u + l ( r ) ( r ) 磁( r ) d r l t = o 血一厶6 ( 咖) i x i 如i 。_ l 出 ( 1 4 2 ) ，nj o，n 丢厶酬斜占n ( u ，v u ) v u 出m 2 厶。邯。+ 2 。( u ，v u ) v u 如m + 2 i h ( u ) f l d x d t + i b ( u o ) l x i 如| 。一l d x ( 1 4 3 ) j i u l s - 1 j n 退化抛物方程的若干问题 1 4 c 巧，c r ，= s + 仃一i ，m 翼三二+ 吼 妻o t o d s d t + i 1z tz 2 上( ( 碍) ) 8 ( u ，v u ) 一( 碍) 铷) n ( 口，吼) ) v 死( 巧( u ) 一巧( 州d z d s m = 一i 1z t o 。上( 碍) ) t k c t 了( u ) 一巧( 训口( u ，v u ) v u 出d s 出 + 丢z t o 。上( 巧) ，( 可) t 。a ( u ) 一巧( 州。( 口，吼) v 口出d s m + 丢z t o 。上，(