（基础数学专业论文）达布方法与雅可比多项式的一致渐近展式.pdf

达布方法 与雅可比多项式的一致渐近展式 专业：基础数学 姓名：白晓玺 指导老师：赵育求教授 摘要 在数论和组合论的很多应用中，需要考虑麦克劳林级数，( z ) 2 磊z 疗的 系数a 。当n 趋向于无穷时的渐近展开。1 8 7 8 年，达布( d a r b o u x ) 引入了一种 方法，用以解决当f ( z ) 的收敛圆周上有有限个代数奇点时，a 。渐近展开的问题。 尽管d a r b o u x 方法的应用日益广泛，方法本身却直到19 7 0 年前后才有本质的改 进。包括容许奇点同时包含代数奇性和对数奇性，以及奇点之间可相互重合的问 题。后者被称为d a r b o u x 方法的一致处理。w o n g 和z h a o 6 在2 0 0 5 年解决了 两个或更多枝点重合时d a r b o u x 方法的一致处理问题。 雅可比( j a c o b i ) 多项式碍口，卢o ) 是一类古典正交多项式，关于其渐近性 质已有充分的研究。但由于其生成函数在0 一o ( o a r c c o s x ) 附近行为复杂，所以 不仅经典的d a r b o u x 方法难以应用， 6 的结论也不能直接应用于碍口声( c o s o ) 在0 ；0 附近的一致渐近。 本文本质上应用【6 】的基本想法，构造出一个迭代格式，解决了用一致 d a r b o u x 方法研究j a c o b i 多项式的一致渐近这一问题。主要的结论是 耳口，卢( c o s 口) 关于b e s s e l 函数j 。( 口) 及其导数j 。( 口) 的渐近展式( 2 1 5 ) 。 关键词：达布方法，雅可比多项式，一致渐近展式 au n i f o r ma s y m p t o t i ce x p a n s i o no fj a c o b i p o l y n o m i a l s 啊ad a r b o u x s methodsm 7 a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fo b t a i n i n gt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rt h ec o e f f i c i e n t sa 。o ft h e m a c l 疵e x p a n s i o nf ( z ) 。磊q z a r i s e si nm n yi n s t 撒鹊i nf i e s u c h 弱 n u m b e rt h e o r ya n dc o m b i n a t o r i c s w h e n ，( z ) h a so n l yaf i n i t en u m b e ro f s i n g u l a r i t i e so ni t s c i r c l eo fc o n v e r g e n c e ，a l lo fw h i c ha l ea l g e b r a i ci nn a t u r e ， d a l b o u x sm e t h o da p p l i e sa n da na s y m p t o t i ce x p a n s i o no fa ac a nb eo b t a i n e d h o w e v e r , t h ev a l i d i t yo ft h i se x p a n s i o nc e a s e st oh o l d ，w h e nt h es i n g u l a r i t i e sa x e a l l o w e dt oa p p r o a c he a c ho t h e r t h u su n i f o r mt r e a t m e n to fd a r b o u x sm e t h o di s n e e d e d , o f w h i c hw o n ga n dz h a o 【6 1i st h el a t e s tv e r s i o n j 猢b ip o l y n o m i a l s 碍口声f u r n i s has y s t e mo fc l a s s i c a l o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l sa n da r ew e l l s t u d i e d b u tt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no f 碍a , f 1 ) ( c o so ) s h o w sac o m p l i c a t e db e h a v i o ra t0 0 ，t h e r e f o r eb o t ht h ec l a s s i c a ld a r b o u x s m e t h o da n dt h er e c e n tu n i f o r mt r e a t m e n t 【6 】s e e mn o ta p p l i c a b l et ot h i sc a s e i nt h i sp a p e r w eu s ee s s e n t i a l l yt h em a i ni d e ai n 【6 】，b yc o n s t r u c t i n ga ni t e r a t i o n p r o c e e d u r e ，p r o v i d eas o l u t i o n t ot h ep r o b l e mo fo b t a i n i n gu n i f o r ma s y m p t o t i c e x p a n s i o nv i ad a r b o u x sm e t h o d t h em a i nr e s u l tw eo b t a i n e di s a na s y m p t o t i c e x p 哪i o n ( 2 1 5 ) f o r 群助( c o s o ) ，i nt e r m so f t h eb e s s e lf u n c t i o nj a ( 口) a n d i t sd e r i v a t i v ej 。( n o ) k e y w o r d ：d a r b o u x sm e t h o d ，j a c o b ip o l y n o m i a l ， u n i f o r m a s y m p t o t i ce x p a n s i o n 2 雅克比( j a c o b i ) 多项式是一古典正交多项式系，通常记为碍口， ) 。 y = 碍口，户o ) 满足微分方程 ( 1 一x 2 ) y + 【卢一口一( 口+ 卢一2 ) x y + 刀( 万+ 口+ f l + 1 ) y = 0 除此之外，雅可比多项式还满足差分方程： 2 n ( n + a + 卢) ( 2 一+ 口+ 卢一2 ) 碍口卢0 ) = ( 2 甩+ 口+ 一1 ) ( 2 ，l + 口+ 卢) ( 知+ 口+ 卢一2 ) + 口2 + 卢2 ) 碍口们( x ) - 2 ( n + a 一1 ) ( n + f l 一1 ) ( 扫+ 口+ 卢弘恕声 其中n = 2 ，3 ，4 ， 头两项为 碍口户 ) = 1 ， 引入权函数 耳峨助o ) = 丢 + + 2 弦+ 三 一) w 0 ) = 0 一x ) 口( 1 + x ) 卢， x ( 一1 ，1 ) ，口，卢 - 1 则 嚣口朋) ：o 在r ( 【一1 ，1 】，w ( x ) d o 中正交。 雅可比多项式可由以下的r o d r i g u e s 公式表出 ( 1 口( 1 伴棚 ) = 鬻白( 1 椰 利用超几何函数， 群力o ) = 去蠢e 砌+ 口+ 卢+ 1 ) o + a + 卢+ 吐。( 口+ y + 1 ) + 刀) # ” 所以该名i 面式也称为招几何名踊式 1 2 雅可比多项式的一致渐近分析 由【1 ，p 7 7 】可知，当口 一1 卢为实数并且= 刀+ 丢( 口+ 卢+ 1 ) ，o sps 万一 时，雅可比多项式有以下渐近逼近 4 ( s i n 0 口( c 。s 争伴( c o = 1 掣产( 击 + i 1 。3 1 嚣摹 其中c 和f 都是正数。 1 ) 2 j 口( 臼) ( 1 1 ) 在【1 】中，s z e 9 6 实际上给出了曩口朋( c o s 0 ) 的一个无穷渐近展开，其中的第m 项 为： 口历厶，( 口v 刀m ) ( 1 2 ) v _ 0 其中 j ，。( ) = 薹) ，。一z 一+ ，( ) ( 1 3 ) d d 2 ，最初的几个函数厶，( 可以准确地计算出来，并且余项在p 阶截断后满 足 f r p ，= ：0 p - a 口p - 一a p o ) ，( 以一) ，n os ccr o ( n n o ( 1 4 ) i p= 口- p ) ， sc v 其中c 是正常数， 寺【譬】 ( 1 5 ) 除了s z e 9 6 在前面得到的结果外，f r e n z e n 和w o n g 在1 3 中通过 j a ( 臼) ，j a + l ( 口) ，j a + 2 ( 口) 。给出了曩。，芦( e o s o ) 的一致渐近展开。他们证明 了当口 一丢，口一声 一2 p ，a + 卢2 1 时，有 ( s i n 妒0 。s y 0 掣( c o s 胪堕产( 南：【塾铲呜】 ( 1 6 ) 其中2o o ( n p ) 并且当口【0 石一】时，o ( n 一，) 是一致的。在【3 ，p 1 0 0 5 1 中，他们也提到口一卢 一砌这个条件可以去掉，误差估计可以被 = 0 a o ( n 叩) 取代，式 ：1 ： o e o , u - e l ，f 0 。( 1 6 ) 式的前2 项系数为4 p ) - 1 和 ( 1 7 ) 删彬一烨一竿t 柚i 0 。 ( 1 8 ) 注意到( 1 6 ) 式中的第m 项明显包含一个递减因子口- 历，而( 1 2 ) 中相应的项却 不是严格递减序列。即使把级数( 1 6 ) 和级数 等产计【1 + 掣+ a ( a - 1 1 ) ( 3 a 矿2 + 5 一a + 2 ) + 】 ( 1 9 ) 万! 。 知 2 4 以2 。 、7 相乘，并且重新排序形成关于曩口( c o s 0 )的渐近展式。得到的展式也与 s z e 9 6 的展式不同。 b r a r a t e l l a 和g a t t c s c h i 5 】应用o l v e r 的微分方程方法( 【4 ，c h 1 2 1 ) ，得到了一 个等价- z ( 1 6 ) 的结果。他们证明了当口 一1 ，任意时成立 蛐导) 口+ - 1 汹s i 0 ) 1 曩郇佃s 口) ，2 一j 1 口坠萼业 厅! 泖b m 凌笋+ 氖蓬鬻嵋m ( 1 1 0 ) 其中一以+ 三( 口+ 卢+ 1 ) ， f 2 p 3 p ( ，8 ) ： 阳婴2 ) ，州1 鲥s 刀， 10 “z o ( u 一2 p + a ) ，0 s0s c n 一1 c 和同样是确定的正数，首项系数为 6 ( 1 1 1 ) 4 ( 口) 一1 船。p ) = i 1g p ) ， 们) l t 西1 删一半竽一夏1 棚， 其中 ； g ( 口) a 1 一口2 ) ( c o t 兰一吾) 一与1 一卢2 ) t a n 罢。 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 在数论和组合论的彳艮多应肿，需要考虑麦克劳林级数f ( z ) 2 磊印厅的 系数口当n 趋向于无穷时的渐近展开。 达布( d a r b o u x ) 最先处理了这种类型的一般问题，当f ( z ) 在收敛圆周上只 有有限个代数奇点时，可以获得系数口。的渐近展式( n 趋向于无穷时) 。 达布方法产生于1 8 7 8 年，尽管其应用日益广泛，但直到1 9 7 0 年左右，对 方法本身才出现了实质性的改进。1 9 7 4 年，w o n g 和w y m a n 给出了达布方法 较一般的形式，使得f ( z ) 在收敛圆周上可含有对数形式的奇点。 若f ( z ) 依赖于某一参数，且当参数变化使收敛圆周上的枝点相互重合时， 经典的d a r b o u x 方法就失效了。以如下的生成函数 f = 一z ) 矿一z ) ( z ，口) 2 弘( 口) z “ ( 1 1 4 ) 为例。( 1 1 4 ) 式中的f ( z ，日) 是任意半径大于1 的圆内的解析函数。很明显，上式 中z = e “口为枝点，并且当p 一0 时，两个支点重合到z = l 。此时就不能直接用 d a r b o u x 方法进行一致渐近分析，而w o n g 和z h a o 6 对d a r b o u x 方法作了一致处 理，讨论了两个和多个枝点重合时的一致渐近问题。 根据雅可比多项式碍口 卢 ) 的一个生成函数，我们有 2 叶声尺d o - w + r ) 吨( 1 + w + r ) 叩= 荟曩q 助 ) w 一( 1 1 5 ) 其中r = 1 一撕+ w 2 ， 当w 。o 时，r ：1 ，( 1 一+ r ) = 2 一口，( 1 + w + 固声= 2 一卢。 很显然，函数有2 个支点w e “口，如果口一0 ，石时，我们可以用d a r b o u x 方法得到渐近展开，但当0 呻o 石的时候，2 个支点在w 。1 处重合，这便给直 接用d a r b o u x 方法造成了困难。当0 一o , z 时，( i 1 5 ) 式左端的函数只有一对枝 点w = e “口，当日o m t ，两个枝点在w 1 重合，此时w 。1 点既是尺一1 的一个一 阶极点，同时又是( 1 一w + r ) - 口的一个枝点。因此当日- - * o 时，奇性的变化较 为复杂。 6 的结论此时也不能直接应用。口_ 石的情形是类似的。 本文所提出的解决方法，是本质上应用w o n g 和z h a o 6 的基本想法，利用 相似的迭代格式，得到j a c o b i 多项式当0 一o 时的一致渐近展开。在正文中，我 们将给出该方法的若干细节。主要的结论是碍口卢关于，。( 口) 和- ，。( 口) 的渐 近展式( 2 1 5 ) 。 8 第2 章推导 由柯西定理可得： 耳郇g ) = 瓠2 州( 1 - w + r ) 川( 1 + w + r ) - # w - n q 挑o ( 2 1 ) 其中r 是一条包含w ，0 而不含w = e 8 的闭曲线，x = c 。s o ，口【0 ，刀】，显然 当日一0 ，石时，两个枝点w = e 加重合。 当以 一a 一时，- - r 将r 变形为以下路径：从无穷远出发沿正实轴下沿到 达w ：i + r 。( r 0 ) 处，顺时针环绕w = e 治，然后沿正实轴上沿回到无穷 远处。为分离两个枝点w = e 阳，引入变换 w ：e 一。 ( 2 2 ) 此时相应的枝点w = e i o 对应s ：千f ，r 对应曲线一r ，负号表示反方向。r 是 一条围绕s = - t i 的h a n k e l 曲线。 把( 2 2 ) 代入( 2 1 ) ，我们有 掣”警上町k 坛2 - e l z o sw 飞1 ：0 s _ l o s 地广扩出 ( 2 3 ) 其中墨一。自托一一2 c o s 口) i ，n - n + 竿。 在计算( 2 3 ) 前，我们先引入b e s s e l 函数 ： l ( z ) - z 1 7 z f - 珩- r h y 心) ， ( 2 4 ) 对于l a r g z i 0 使得 i s 庸悻肘喏) 一口叫 i j 口( p ) i + pi - ，二( 口) i ) ，p 【o ，万一】。 ( 2 1 7 ) 第3 章证明 为了证明( 2 1 0 ) 我们首先引入 叩g ) 笨j 钔 z z 很明显，7 q ) 在ii m zl 万中解析，我们对，7 ( z ) 进行泰勒展开得到 由 可以得到 ，7 ( z ) = 1 1 1 2 z 2 + 其中l zi o ，使当i5 0l 时，k 有界。当s e f ， ss 一吼0 时，e 陆= o ( e 一) ， 故沿这一部分的积分较( 2 1 7 ) 的右端是指数小的。故( 2 1 7 ) j 挝。 【4 】4e w j o l v e r , a s y m p t o t i c sa n ds p e c i a lf u n c t i o n s , a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o 血1 9 7 4 ； r e p r i n t e db ya k p e t e r s ，l a d ，w e l l e s l e y , m a , 1 9 9 7 【5 】r b a r a t e l l aa n dl g a t t e s c h i ，t h eb o u n d sf o rt h ee l t o rt e r mo fa na s y m p t o