（基础数学专业论文）smarandache相关函数及其序列的性质研究.pdf

中文摘要 数论作为一个古老的数学分支其中均值估计和对算术序列性质的研究是 数论研究的一个重要内容美籍罗马尼亚著名数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授于1 9 9 3 年在只有问题，没有解答! 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的 数论问题，从此之后，许多专家学者对此进行了深入研究与探索，取得了不少具 有重要理论价值的研究成果，极大地丰富和拓展了数论的发展 本文基于对上述s m a r a n d a c h e 问题的兴趣，主要利用初等及解析的方法 对s m a r a n d a c h e 相关函数及其序列进行了思考与研究，即研究了s m a r a n d a c h e 相关函数的均值性质，s m a r a n d a c h e 序列的敛散性估计和极限问题具体地可 阐述如下： 1 给出了一个与著名的s m a r a n d a c h e 函数的对偶函数密切相关的数论函 数酽( n ) 的定义，并利用初等方法，运用关于1 1 1 ( m ! ) 的渐近公式，s i n nz 的定 积分与他! ! 的关系，以及一些特殊幂级数收敛的性质，通过对正整数n 按奇偶 性分类讨论，研究了此函数的均值性质，给出了一个较强的渐近公式 2 给出了s m a r a n d a c h e 幂函数s p ( n ) 和s m a r a n d a c h et o t i e n t 函数s t ( n ) 的定义，利用初等方法和解析方法研究了与这两个函数有关的极限问题，得到 了极限l i m ，l + o 。 喜( 硼1 ) 2 睡高) 2 = 0 3 给出了s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列o ( 佗) 和s m a r a n - d a c h e 可乘序列b ( n ) 的定义，利用初等方法研究了序列的极限和收敛性问题， 矧了极限熙蒜= 。以及缴薹揣是收黼 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，s m a r a n d a c h e 序列，渐近公式，无穷级数，收敛 a b s t r a c t ( 英文摘要) n u m b e rt h e o r yi sa no l dm a t h e m a t i c a lb r a n c h ，i nw h i c hi t i si m p o r t a n t t os t u d yt h em e a nv a l u ea n dp r o p e r t i e so fs o m ea r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds e - q u e n c e s a m e r i c a nn u m b e rt h e o r i s to fr o m a n i a n d e s c e n tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h e p r o p o s e d10 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e si nab o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! a f t e rt h a t ，m a n yr e s e a r c h e r sa n de x p e r t s s t u d i e dt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e sa t t e n t i v e l y , a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n t v a l u e da c h i e v e m e n t s a no ft h e s ee n r i c ha n di m p r o v eh e a v i l yt h ed e v e l o p m e n t o ft h en u m b e rt h e o r y b a s e do nt h ei n t e r e s t si nt h e s ea b o v ep r o b l e m s ，w em a i n l yu s ee l e m e n t a r y a n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d ys m a r a n d a c h er e l a t e df u n c t i o n sa n ds m a r a n d a c h e s e q u e n c e s t h a ti st os a y , w es t u d yt h em e a nv a l u eo ft h es m a r a n d a c h er e l a t e d f u n c t i o na n dt h ec o n v e r g e n c ea n dd i v e r g e n c ee s t i m a t e so ft h es m a r a n d a c h es e - q u e n c e s s p e c i f i c a l l y , t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ： 1 t h ed e f i n i t i o no ft h ef u n c t i o ns 料( 礼) r e l a t i n gt ot h ef a m o u ss m a r a n d a c h e d u a lf u n c t i o ni sg i v e n t h em e a nv a l u eo fs ( 凡) i ss t u d i e db yu s i n ge l e m e n t a r y m e t h o d s ，a s y m p t o t i cf o r m u l ao fl n ( 蝌) a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n t e g r a t i o n o fs i n nza n d 佗! ! ，嬲w e l la sc e r t a i np r o p e r t i e so fp o w e rs e r i e s ，a n dc l a s s i f y i n g p o s i t i v ei n t e g e r 佗i n t oe v e na n do d d e v e n t u a l l y , as h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a f o ri t i sg i v e n 2 t h ed e f i n i t i o n so ft h es m a r a n d a c h ep o w e rf u n c t i o ns p ( k ) a n ds m a r a n - d a c h et o t i e nf u n c t i o ns t ( k ) a r eg i v e n t h el i m i ta b o u tt h e s et w of u n c t i o n si s d i s c u s s e db yu s i n gt h ee l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d s f i n a l l y , t h er e s u l t l l l i m 几一 孔 七= 1 s f ( s 尸( 五) ) 2 礼 七= 1s t ( s p ( k ) ) 2 = 0i so b t a i n e d 3 t h ed e f i n i t i o n so fs m a r a n d a c h ea l t e r n a t ec o n s e c u t i v ea n dr e v e r s ef i - b o n a c c is e q u e n c e 口( 佗) a n ds m a r a n d a c h em u l t i p l es e q u e n c eb ( n ) a r eg i v e n t h e l i m i ta n dc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sf o rt h e s es e r i e sa r es t u d i e db yu s i n gt h ee l e - m e n t 哪m e t h o d a tt h ee n d , t h er e s u l t st h a tn l i m 纵a n ( + n ) 可= 。a n dt h es e r i e s i sc o n v e r g e n ta r eo b t a i n e d k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，s m a r a n d a c h es e q u e n c e ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，i n f i n - i t ys e r i e s ，c o n v e r g e n c e u l 一” 彩一+“一几 一酞 f l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：j 凼啦指导教师签名：三笙二堕 舢。年6 月j 多日 例p 年6 月，弓日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：幼彳獭青 ) 2 。卜年6 月l 日 西北大学硕十学化论文 1 1 数论简介 第一章绪论 在数学中，研究数的规律，特别是整数性质的数学，称为数论数论作为一 门古老而又神秘的数学分支，它既是典型的纯粹数学，又可以被纳入日益广泛 应用的新应用数学之中目前，数论在计算机科学、组合数学、代数编码和密 码学等许多领域得到了广泛的应用，成为它们不可或缺的数学基础费马大定 理的证明和公钥密码体制的建立是2 0 世纪在数论领域中所取得的最辉煌的成 就，充分显示了数论在现代基础数学研究中所占据的重要地位，以及在实际应 用的前沿所做出的重大贡献 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论和高等数论 整除理论、同余理论和连分数理论是初等数论的主要内容，而高等数论包括了 更为深刻的数学研究工具和方法，如代数数论、解析数论、算术代数几何等 算术基本定理、中国剩余定理、欧拉定理、高斯的二次反转定律等都是初等数 论中的经典理论解析数论借助复变积分法、圆法、筛法等研究关于整数的问 题，例如，素数分布【1 卅、哥德巴赫猜想 4 ，5 】、华林问题f 6 】以及格点问题等而代 数数论【7 ，8 】是将整数环的性质的研究拓展到更一般的整环上，特别是代数数域 上，它更倾向于从代数结构的角度去研究各类整环的性质，从而更一般地解决 不定方程求解的问题 数论发展的历史源远流长，早在公元前3 0 0 年，古希腊数学家欧几里得就 发现了数论的本质是素数，同时他自己证明了有无穷多个素数这一结论而在 公元前2 5 0 年，古希腊数学家埃拉托塞尼就发现了一种能够求得任意大的数以 内的全部素数的筛法但是直到十九世纪，这些研究成果还只是被孤立地记载， 而没有形成完整统一的学科而黎曼在研究( 函数时，发现了复变函数的解析 性质和素数分布之间的密切联系，从而将数论引进了分析的领域另一方面，由 于人们对费马大定理的证明的深切关注，所以又产生了代数数论的研究课题 】 第一辛绪论 随着数学工具的不断发展和进一步深化，数论开始和代数几何深刻联系起来， 最终成为例如算术代数几何等的深刻数学理论 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论的实际应用得到了更加广泛 的拓展数论领域内的许多研究成果在代数编码、组合数学等方面都得到了广 泛应用据报道，现有国家运用“孙子定理”来测距，而用原根和指数来计算离 散傅立叶变换等特别地，随着现代计算机的飞速发展，用对离散的量的计算去 高度逼近连续的量而达到所要求的精度已成为可能从而，数论的发展和应用 也会更加广阔 1 2 研究背景与课题意义 数论作为一门独立的数学分支，随着其它数学学科的不断深入发展，数论 的研究范围不断地扩展，研究方法不断地更新，同时也引起了越来越多的数学 家以及广大数学爱好者的重视与兴趣在数论研究中，函数的均值性质 g - 1 3 是 其研究的一个重要课题，同时它也是研究各种数论问题不可缺少的工具自变 t 量他为某个整数的函数称之为数论函数，由于这类函数均取值于整数，从而在 很多情形下它们可以看成是特殊的序列来处理虽然很多重要的数论函数的单 个取值很不规则，然而它们的均值，m ) 却能体现出很好的规律性【1 4 - 1 9 | ，因 n z 而研究数论函数的均值性质就显得重要且有意义关于一些特殊数论函数及其 序列的算术性质，特别是均值性质的研究一直以来都是数论研究领域内的重要 问题，并且许多著名的数论难题都与之密切相关，从而在这一领域内取得的任 何实质性进展都将对数论的发展起到重要的推动作用 罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 2 0 】教授提出了1 0 5 个关尚未解决的数学 问题，许多专家学者对此进行了深入的研究，并取得了不少具有重要理论价值 的研究成剁2 1 2 9 | 2 西北大学硕士学化论文 例如，w a n gy o n g x i n g 2 6 】研究了s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的均值性质，得到 了渐近公式 三跏，= 鑫+ 。( 爰) ， 乐茂华教授f 2 7 】证明了方程 s ( 喜佗七) = 妒c n ，鱼s c 克， 仅有一个正整数解，其中，欧拉函数妒( 礼) 【1 】定义为不超过n 且与n 互素的正整 数的个数 x u e s h e j i a o 2 8 】研究了s m a r a n d a c h e 对偶函数伊( n ) 的均值性质，得到了 如下的一个渐近公式 晌zs * ，( 。 - - - - a _ ( e _ 1 ) z + 。( 1 n i n l i l 2x 孑) z h o uh u a n q i n 2 9 】研究了关于s p ( n ) 的无穷级数的收敛问题，证明了结论： 对于任意的复数s ，若有r e ( s ) 1 ，则可得 去， 七：1 ，2 ； ( s ) “ 工一 熹一攀， 七：3 ； ( s ) 4 s “ 志一掣4 + 掣9 ，5 ( ( s ) s s ” 一 本文基于对s m a r a n d a c h e 函数序列及其相关的一些问题的兴趣，应用初等 数论，解析数论等基本知识对提出的几个数论中未解决的问题进行研究，主要 研究了s m a r a n d a c h e 相关函数及其序列的均值性质及收敛性问题，从而得出许 多有趣的结果 3 去 d + z 一旧蛊 | l 、l，_ 佗一0，一r掣 噼 式公近渐 “一。“一。“一。 一一一 、， _ 、1 ，n一) ，l_c p 一一 、，一， 1 1 二浮踹 巴f 第一苹绪论 1 3 主要成果和内容组织 本文主要研究了s m a r a n d a c h e 相关函数及其序列的性质，包括与s m a r a n d a c h e 对偶函数密切相关的函数护+ ( 佗) 的均值问题，关于s m a r a n d a c h e 幂函数 和s m a r a n d a c h et o t i e n t 函数的极限以及s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列和s m a r a n d a c h e 可乘序列的收敛性问题这些内容分布在第二至四章具 体说来，本文的主要成果和内容组织如下： 1 第二章首先给出了一个与著名的s m a r a n d a c h e 函数的对偶函数密切相 关的数论函数驴4 ( 礼) 的定义，然后利用初等方法，分类思想，研究了此函数的 均值性质，给出了一个较强的渐近公式 2 第三章给出了s m a r a n d a c h e 幂函数s p ( n ) 和s m a r a n d a c h et o t i e n t 函 数( 竹，) 的定义，利用初等方法和解析方法研究了与这两个函数有关的极限问 题 3 第四章给出了s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列和s m a r a n - d a c h e 可乘序列的定义，利用初等方法研究了与这两个序列有关的极限和收敛 性问题 4 西北大学硕士学伊论文 第二章 关于数论函数s 料( n ) 的均值估计问题 2 1 引言及结论 在数论中，一个定义在整数集合上的函数被称为数论函数我们定义一 个新的数论函数扩( n ) 如下：对于任意正整数扎，当2ln 时，舻( 佗) = 2 m ， 其中m 为使得( 2 仇) ! ! in 的最大正整数，( 2 仇) l l = 2 4 ( 2 m ) ；当2tn 时， s ( 扎) = 2 m 一1 ，其中m 为使得( 2 m 一1 ) ! ! in 的最大的正整数，( 2 m 一1 ) ! ! = 1 3 5 ( 2 m 一1 ) 即 酽( n ) ： m a x 2 m ：m ，( 2 m ”2 i 耐， 如果佗为偶数； im a x ( 2 m 一1 ) ：m n ，( 2 m 一1 ) ! ! i 钆) ，如果n 为奇数 例如s 料( 扎) 的前几个值为s 料( 1 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s 料( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 2 ，s ( 5 ) = 1 ，s # ( 6 ) = 2 ，s 料( 7 ) = 1 ，s ( 8 ) = 4 ，s 抖( 9 ) = 3 ，驴幸( 1 0 ) = 2 ，关于这一函数，至今似乎没有人研究，甚至还不知道它的基本性质! 至 少在现有的文献中我们没有看到有人研究这个函数然而这一函数与著名 的s m a r a n d a c h e 函数的对偶函数s + ( n ) 【2 8 耻删密切相关，因而其研究工作有 一定的理论意义本章的主要目的是利用初等方法研究函数s 料( 几) 的均值性 质，给出一个较强的渐近公式具体地说也就是证明了下面定理 唧一( 2 e ”- 3 + 2 e ；，! 一e - 2d y ) + 0 ( h 2 矾 n ( x 、 。” 7 2 2 定理的证明 在这一部分，我们来完成定理的证明为此，先给出下面的 5 第一二章关于数论函数s ”( n ) 的均值估计问题 引理2 1 ：设x 1 为任意实数，则有渐近公式 证明：参阅文献 9 】 1 n ( 鲫) = x l nx z + o ( 1 n x ) 引理2 2 ：设7 , 为任意正整数，则有恒等式 卜= ( n 一1 ) ! ! 丌 一 2 n ! ! ( n 一1 ) ! 1 2i ( 扎+ 1 ) ； 2h 证明：记此积分为厶，利用分部积分法可得，厶= 一o 詈s i n ，l 一1 zd c o s z = ( 礼一1 ) ，n 一2 一( 仡一1 ) 厶，则，n = 竺 厶一2 ，n 一2 = 熹笺，n 一4 ，反复利用这些 递推公式即可得到引理2 2 则 下面利用引理2 1 及引理2 2 来完成定理的证明首先令 研= fs ( 2 n ) 及岛= - 2 n z ( 2 n 一1 ) s 霉 s ( 2 死一1 ) ， s ( 礼) = 舻+ ( 2 n ) + s * * ( 2 n - 1 ) = & + 岛 ( 2 1 ) n z 对于研，注意到 2 n o o ( 2 n - 1 ) 上：e ，我们有 2 r a m 2 e2 戎1 i j 伺 & = 矿( 2 佗) = 2 m = 2 n z 2 m ( 2 m ( ( e h ) 托f 二一 ( 2 m ) ! ! z 2 m 2 m 2 m ( 2 m + 2 ) ! 1 2 m ( 2 m + 2 ) ! !) + 0 ( 一z 薹( 赤一 + ol f j 3 i 一：i 2 、 + of f2 ml ( 2 瓤z = ( 2 e 一2 ) z + 岛l + ol ( 2 m ) ! ! s z 其中研1 = 一z 而对于d 2 仇) ( 2 m ) ! ! s z 2 ( 2 m + 2 ) ! 1 2 m 2 m ，) ( 2 2 ) l nx ，由引理2 1 得m l nm i n x ，从而得到m l n x ，则f2 m ( 2 m ) ! ! z f2 1 nx 2 i n 2z ，故 j 二- j ( 2 价) ! ! 霉 0 而对于s n = 一z ( 2 m ) ! ! z 的最小的正整数，即 ( ( 2 仇) ! 1 2 仇) = o ( i n 2x ) + zf 二一 ( 2 m ) ! ! o 2 m ( 2 m + 2 ) ! ! k = m i n m n + ：( 2 m ) ! ! z ) 7 设k 是使得( 2 七) ! ! 抄但 吵m圳 ，l 一 瞄 ， 一 ， e 二、 2 2z l 一2 ez= 嵝加 第一：章关于数论函数s “f n ) 的均值估计问题 于是 ) ! ! 柚_ 2 ) ! ! g 耐y 的泰勒展开式为薹嘉，其余项 从而得到 所以 肋，= 熹。羔= 高盎c 0 0 1 ， 脚) = 薪( 0 z 、 7 2 函2 k 一至志2 m 。 一(一2 ) ! !山兰三(+ 2 ) ! ! 。 ( 2 3 ) 下面估计s i x ，因为( 2 后) ! ! x ，( 2 k 一2 ) ! ! x ，则由引理2 1 可 知( k 一1 ) l n x ，故 而2 xf j ：一 m = k 0 0 此2 xf ：一 m = k 所以结合( 2 2 ) 式立刻得到 对于& ，同样可得 2 m z ( 2 m + 2 ) ! ! 研= ( 2 e 一2 ) z + 0 ( i n 2z ) 岛= 酽( 2 n 一1 ) = ( 2 n - 1 ) s z ( 2 m 一1 ) ( 2 n - 1 ) s z s “( 2 n 1 ) = 2 m 一1 8 = d ( 1 i l z ) 由哮 z 、， 础 生z 一p一动 而 一扣一动 而一一e一”可癫再坝 三一：一q d 面： 却 动 一驯 + 1 一+ m i 胁 阿 吵 南 吵 叼= & 西北大学颐十学f z 论文 其中 ( 2 m - - 1 ) = ( 2 m 一1 ) ( 2 m - 1 ) m n 2 z( 2 m - 1 ) ! ! x ( 2 m + 1 ) t 2 n 2 西寿砸 ( 2 m + 1 ) t n 2 2 阶裂2 ，( 南 一 南 ) ( 2 m _ 1 ) ( ( 2 m - 1 ) ! ! 。 2 m - 12 m 1 ( 2 m 一1 ) ! !( 2 m + 1 ) ! ! ( 2 4 ) 半径尺= i 骢半= + o 。，从而利用幂级数一致收敛的性质可 ( 2 m + 1 ) ! ! = 薹志测掣刊+ x , i e i 邶) - o 朋常鼢方程 9 第一二章关于数论函数s ”( n ) 的均值估计问题 的常数变易法求解删，m 壹- - - - 1 面= 一l + e 1 le - 测 & l = z - ( 小2 e 0 1e 出) 对于。( 。2 m 一。心z ( 2 m - - i ) ) ，由引理2 2 可得 z 詈s t n 2 m + 1z 如= 揣，z 暑s t n 2 m z d z = 三垡掰 故( 2 m ) ! ! 虿7 1 ( 2 m + 1 ) ! ! ，( 2 m 一1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! 则( 2 m 一2 ) ! ! 三( 2 m 1 ) ! ! z ( 啬 r 、 = z 量( 志 = z ( 志 =z ( 两可1 + 12 m 1 1 ) ! !( 2 m + 1 ) ! ! o 。 m = k 面而+ 南2 m ) (+ 1 ) ! ! 厂 ( 2 m + 1 ) ! ! ( 2 5 ) 由( 2 k 一1 ) ! ! z ，( 2 k 一3 ) ! ! z ，于是可得2 7 r ( 2 k 一4 ) ! ! ( 2 k 一3 ) ! ! z ，从 而南刊h 以地薹赤蚴量赤“椭 = 0 ( 1 ) ， 砸 未加 1 | z2 西北大学硕士学化论文 所以 2 = z 结合( 2 4 ) 式可得 研1 + 量南 = o ( 1 n z l 岛= z ( 一1 + 2 e f oe 一护匆) + 。( ，n 2 z ) 因此由研及$ 的估计式可得 p 洳卜& + 岛= 2 e ；- 2 ) x + s l l + 0 ( 。2 曩z2 m ) n z 、f 2 m 111 例如，s p ( n ) 的前几项是：s p ( 1 ) = 1 ，s p ( 2 ) = 2 ，s p ( 3 ) = 3 ，s p ( 4 ) = 2 ， s p ( 5 ) = 5 ，s p ( 6 ) = 6 ，s p ( 7 ) = 7 ，s p ( 8 ) = 4 ，s p ( 9 ) = 3 ，s p ( i o ) = 1 0 ， s p ( 1 1 ) = 1 1 ，s p ( 1 2 ) = 6 ，s p ( 1 3 ) = 1 3 ，s p ( 1 4 ) = 1 4 ，s p ( 1 5 ) = 1 5 ，s p ( 1 6 ) = 4 ，s p ( 1 7 ) = 1 7 ，s p ( 1 8 ) = 6 ，s p ( 1 9 ) = 1 ，s p ( 2 0 ) = 1 0 ，在文献f 2 0 】 中，s m a r a n d a c h e 教授让我们研究函数s p ( n ) 的性质从s p ( n ) 的定义，我 们很容易得到下面的结论：如果1 1 , = 矿，k p k + 1 a ( 后+ 1 ) p 七+ l ，则 有s p ( n ) = p k + 1 ，其中0 k o t 一1 即 s p ( n ) = p ，如果1 q p ； 矿，如果p - 4 - 1 a 2 p 2 ； p 3 ，如果2 p 2 + 1 q 印3 ； 矿，如果( q 一1 ) p q 一1 + 1 o l a p a 设t t = p 1 p 呈2 霹7 ，如果对所有的q i ( i = 1 ，2 ，r ) ，o t i p i ，则有s p ( n ) = u ( 扎) ，其中u ( 佗) = i i p ，i i 表示几的不同素因子的乘积显然可得s p ( n ) 是 p i np l n 不可乘函数例如，s p ( 8 ) = 4 ，s p ( 3 ) = 3 ，s p ( 2 4 ) = 6 s p ( 3 ) xs p ( 8 ) 但 是对大多数的佗而言，我们有s p ( n ) = 几p p i 几 关于这个函数，不少学者进行了研究，并得出了一些结论【2 9 3 汹7 】，例如在 文献 3 5 】中，徐哲峰博士研究了s p ( n ) 的均值问题，并得到了一个较强的均值 1 2 西北歹：学硕士学化论文 至州归互1 2 2 耳( 1 一志- , ) + 。( 籼e ) ， n 0 ，存在一个( e ) ，使得对于所有的n ( e ) ，有 妒( n ) ( 1 - - e ) 蒜， 其中c 为常数 证明：参阅文献【1 3 】 1 3 第二章一个和s m a r a n d a c h e 幂函数有关的极限 引理3 2 ：对于欧拉函数妒( 忍) ，设n 为正整数，则有渐近公式 丽1 = 紫。( 警) ， 其中细砉器一薹帮 证明：参阅文献 3 9 下面完成定理的证明我们把整数区间【1 ，叫中的所有整数k 分成如下两 个子集合a 和b 其中，a 表示【1 ，叫中的s q u a r e - f r e e 数，b 表示不属于a 的 所有的【1 ，佗】中的整数的集合，则有 羡丽丽12 苫丽茹丽+ 善丽茹研乏乏( 妒( s p ( 忍) ) ) 2急( 妒( s 尸( 七) ) ) 2 。急( 妒( s p ( 七) ) ) 2 从子集a 的定义可得 蚓理3 艮容易得到南_ d ( hh ”注意到篆譬- d ( 1 ) 如 果k b ，则k 可表示为k = 1 m ，其中l 是s q u a r e - f r e e 数，m 是s q u a r e - f u u 数 令s 记荟南测从跚帅蚶) 的性质，可得 s f 二1 一z 怎z 2 p l m p 2 p 骢( 1 一三) 2 h 9 f 2 引( 1 一去) l m 。 。 ：r 上3 - 幽鱼生 急p 2 2 2 妒2 ( 。m ) 布 糊 一 布 m | l 南 、liii， h i 黟 噼 2 彬 m ，-ii 西北大学硕士学化论文 删驴渺则高2 器御m 铀u 一舢 p l m 数论函数a ( k ) 定义如下： a ( k ) = 1 ，如果k 是s q u a r e - f u l l 数： 0 ，其它 注意到孝黠是可乘函数根据欧拉乘积公式，( 见文献 1 2 】和【1 3 ) 有 卜薹器= 珥( 1 + 赤) 根据p e r r o n 从式 1 2 】，对于6 = 1 + 而1 ，t 1 ，可得 七 0 是解析的，取c ：- 1 一，则有、7 s 。 1 1 1n 熹( e 郇，等幽+ e 郇，等蚺 注意到 郇) 等如+5 ，弘。万d yy 2 ：) = o ( 1 n n ， 且 e ，等幽= 。( 6 等如) = 。( 击) 类似地，还有e 郇，芋幽= 。( 击) 眦 黑：o ( 1 n n ) 急u 2 ( 后) “ 1 5 口( n ) 2 u 2 ( 死) ) 等如) 瓠 ，-l 第二章一个和s m a r a n d a c h e 幂函数有关的极限 所以 羡丽1 叫l ( 1 nh ) 2 ) ( 3 1 ) 现在我们来估计羡高，从州州定义 很容易得到州啦n 令n = p 芋p 呈2 p 孑。记n 的标准素数分解式，则s p ( n ) = p f l 谬p 争，其 中屈21 所以，p 争一1 l 一1 ) p 争一1 2 1 ) p 争一1 0 s 一1 ) 衍t 一1 ( p l 一 1 ) p 呈2 1 ( 仇一1 ) p 呈。一1 0 8 1 ) ，从而妒( p 争p 争毋) 妒芋t 谚：s ) ， 即妒( s 尸( n ) ) 妒( n ) ，由引理3 2 ，有 羡厕1 乏丽1 = 帮。( 警) ( 3 2 ) 结合式3 1 和3 2 ，可得，当佗一o 。时， o 妻k = l ( 赢) 2 睡高) 2 从而定理成立 里( 璺2 ：型型：2 写一o 一( 帮h + a + 。( 警) ) 2 西北大学硕十学化论文 第四章与两个s m a r a n d a c h e 序列有关的问题 4 1 引言及结论 对任意正整数n ，s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列口( 佗) | 3 8 4 0 】定 义为a ( 1 ) = 1 ，a ( 2 ) = 1 1 ，a ( 3 ) = 1 1 2 ，a ( 4 ) = 3 2 1 1 ，a ( 5 ) = 1 1 2 3 5 ，n ( 6 ) = 8 5 3 2 1 1 ，a ( 7 ) = 1 1 2 3 5 8 1 3 ，a ( s ) = 2 1 1 3 8 5 3 2 1 1 ，a ( 9 ) = 1 1 2 3 5 8 1 3 2 1 3 4 ， s m a r a n d a c h e 可乘序列6 ( n ) 【3 8 ，4 0 】定义为6 ( 1 ) = 1 ，6 ( 2 ) = 2 4 ，b ( 3 ) = 3 6 9 ，b ( 4 ) = 4 8 1 2 1 6 ，b ( 5 ) = 5 1 0 1 5 2 0 2 5 ，b ( 6 ) = 6 1 2 1 8 2 4 3 0 3 6 ，b ( 7 ) = 7 1 4 2 1 2 8 3 5 4 2 4 9 ，b ( 8 ) = 8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 ，b ( 9 ) = 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 ， 这两个序列均是s m a r a n d a c h e 教授提出的，见文献 3 8 】，并在此文献中， s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究这两个序列的性质关于这个问题，似乎没 人研究，至少在现有的文献中很少见而在文献【3 8 】中( 第3 章，问题6 和问 黝脚c e r u s s 濑授献研辩列蒜和级数薹揣的收龇 问题，并对极限进行估计及其它相关性质本章的主要目的是用初等方法研究 这些问题，得到定理 定理4 1 ：对于s m a r a n d a c h e 交错相邻倒序f i b o n a c c i 序列口( n ) ，成 立熙蒜- o 定理4 2 对于s m 盯a n d 础e 可乘蒯级数三o o 而b ( n ) 是收敛的 4 2 定理的证明 首先证明第一个定理 如果n 是奇数，则从a ( n ) 的定义可将a ( n ) 表示为以下形式： 口( n ) = f ( 1 ) f ( 2 ) f ( n ) ，n ( n + 1 ) = f ( n + 1 ) f ( n ) f ( 1 ) ， 其中f ( n ) 为f i b o n a c c i 序列 1 7 第网幸j i j 叮个s m a r a n d a c h e 序列有关的问题 设a n 为基于1 0 的f ( n ) 的数字位数，则 a ( n ) = f ( n ) + f ( n - 1 ) 1 0 a “+ f ( 扎一2 ) 1 0 口n + q n 一1 + + f ( 1 ) l o q n + q n 一1 + + ， 口( n + 1 ) = f ( i ) + e ( 2 ) 1 0 口1 + f ( 3 ) 1 0 a 1 + n 2 + + v ( n + 1 ) 1 0 口1 + q 2 + + 口t i 。 所以 a ( n )一，v ( n ) + v ( n 一1 ) 1 0 q n + + f ( 1 ) 1 0 a n + q n l + + q 2 a ( n + 1 ) 一f ( n + 1 ) 1 0 c q + r 2 + a n 竺1 2 2 十i 至( 兰二1 2 + + ! 盟 、，、，i、， 一 1 0 a ：+ + 口n 。l o a ：+ + q n l 。l o a ： f ( n + 1 ) 对于1 k n ，因为f ( k ) 的位数是o l k ，可假设f ( k ) = a l 1 0 d t 一1 + a 2 1 0 口女一2 + + a 口 ，其中0 a is9 且1 i q 惫从而 f ( k ) 10 a 1 + a 2 + + 口k 因此，当佗_ o 。时， 即 口1 1 0 口k 一1 + a 2 1 0 a 一2 + + a q k 1 0 q l + q 2 + + a k 9 ( 1 + 1 0 1 + 1 0 2 + + 1 0 x a ) l o a ：+ a 2 + + a k i + 1 1 0 ( 1 1 0 一毗) l o a ：+ a 2 + + a k 一1 + 1 1 0 a ：熹+ a 2 + + a k1 击1 0 k 一 一一 一1 。蒜坐生焉铲蒜加 如果几是偶数，则有 熙蒜a o f l 一l n 十上j n ( n ) = f ( i ) + f ( 2 ) 1 0 口1 + f ( 3 ) 1 0 a 1 + a 2 + + v ( n ) 1 0 q ，+ n ：+ + q n ， a ( n + 1 ) = f ( 竹+ 1 ) + f ( 佗) 1 0 口n + 1 + f ( n - 1 ) 1 0 a 时1 + o ”+ + f ( 1 ) 1 0 q n + 1 + d n + + 的 西北大学硕十学位论文 用类似的方法估计值虱警 可，得到 a ( n )f ( 1 ) + f ( 2 ) 1 0 a 1 + f ( 3 ) 1 0 a ，+ n ：+ + f ( n ) 1 0 口t + a 。+ + q n t a(n+1)一loa2+as+qn+l 对每一个1 k n ，相类似地，令f ( k ) = a l 1 0 a t 一1 + a 2 1 0 a k 一2 + + n 口。， 则有 f ( k ) 1 0 n l + q 2 + + a 女一1 ( a l 1 0 q k 一1 + 口2 1 0 a k 一2 + + a a k ) 1 0 q 1 + q 2 + + c 。k - 1 _ _ 。_ _ - 。i _ - - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - _ - - - _ _ _ _ 一= = ：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ = _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - 一 l o a 2 + a s + + a n + l1 0 a 2 + a s + + q n + 1 呈! ! ! 旦二：! 旦二：! 竺：二：生 一l o a k + l + a k + 2 + + a t i + 1 l o a k + l + a k + 三2 + 丽1 一 + a n + 1 一 因此 o 云揣i 爵i 五石+ 面孓；品晶+ + t 面妄击了 南( 1 + 1 0 1 + 1 0 2 + + 1 0 1 一n ) ) 羔加 所以l i m 黑：0 完成第一个定理的证明 n - - - , 0 0a ln 十工j 现在证明第二个定理 对序列6 ( n ) = n ( 2 n ) ( z n ) ( 佗n ) ，令7 ( n ) 记基于1 0 的舻的数字位 数，通过观察，有7 ( 2 ) = 7 ( 3 ) = 1 ，7 ( 4 ) = 2 ，7 ( 1 0 ) = 3 ，- y ( 4 0 ) = 4 ，- y ( 1 0 0 ) = 5 ，7 ( 4 0 0 ) = 6 ，3 , ( 1 0 0 0 ) = 7 ，当n 从4 1 0 口变化到1 0 0 + 1 时，- r ( n ) 渐增 即7 ( 4 1 0 q ) = 2 a + 2 ，且- y ( 1 0 a + 1 ) = 2 a + 3 ，其中o t = 0 ，1 ，2 ， 对每一个正整n ，明显的有k 佗k ( n + 1 )