（基础数学专业论文）中心仿射超曲面的唯一性与存在性.pdf

p 蛔占彳6 中心仿射超曲面的唯一性与存在性 专业基础数学 研究生陈子春指导教师李安民赵国松 摘要：对任意超曲面浸入x ：m 斗a ”“，若位置矢量x 横截于点工 处的切平面矗( t m ) ，则t m 上存在在中心仿射变换群g 作用下不 变的对称的双线性形式g 和对称的三次协变形式a ，如果g 非退 化，我们则称x 为中心仿射超曲面。在本文，我们首先介绍中一心 仿射超曲面m 的中心仿射度量g 和三次微分形式a 的关系，然后 我们研究如果g 和a 满足了这些关系，那么能否决定出a ”“中的 一张超曲面，它是否唯一。本文对此作了研究，得到了中心仿射 超曲面的唯一性和存在性两个结果。 关键词：中心仿射超曲面，中心仿射度量，中心仿射三次微 分形式。 t h e u n i q u e n e s s a n de x i s t e n c eo f c e n t r o a f f i n eh y p e r s u r f a c e s m a j o r p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t ec h e nz i c h u nd i r e c t o rl ia n m i nz h a og u o s o n g a b s t r a c t ：i ti sw e l l k n o w nt h a tf o ra n yh y p e r s u r f a c ei m m e r s i o n x ：m a “s u c ht h a txi st r a n s v e r s a lt ox 。( t m ) t h e r ee x i s t sa g i n v a r i a mb i l i n e a rf o r m g a n dc u b i cf o r ma xi sc a l l e da c e n t r o a f f m e h y p e r s u r f a c ei fgi sn o n d e g e n e r a t e i nt h i sp a p e r , w e w i l lf w s ti n t r o d u c ec o n n e c t i o nf o r m ga n d c u b i cf o r ma ，t h e nw e s t u d i e dc e n t r o a f i i n eh y p e r s u r f a c e si n ( + 1 ) 一d i m e n s i o n a la f f i n e s p a c e a ”+ 。a n dg o tt h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c eo fc e n t r o a f f i n e h y p e r s u r f a c e s k e yw o r d s ：c e n t m a f f i n eh y p c r s u r f a c e s ；c e n t r o a f f i n em e t r i c ； c e n t r o 撼ec u b i cf o r m 前言 在仿射微分几何中，( n + 1 ) 维仿射空间a ”“中的局部严格凸 的超曲面m 有唯一确定的仿射法向量场y ，它与欧氏微分几何中 超曲面的单位正交法向量场一样，具有下面两个共同的性质： ( 1 ) 横截于m ；( 2 ) 法向量场在每点的微分都落在m 在该点 的切空间中。于是自然想到把法向量场作一些推广，考虑m 上仅 具有性质( 1 ) 和( 2 ) 的向量场，并称具有这两条性质的向量场 为超曲面m 上的相对法向量场，或称给定了m 一个法化。一般 地在朋上取定一个相对法向量场，照着仿射微分几何的方式就能 建立起一种微分几何学。 如果能够选择4 ”。的坐标原点，使m 的位置向量x 与m 横 截，则位置向量x 具有上面的性质( 1 ) 和( 2 ) ，因而可以取x 作 为m 的相对法向量场。而它所对应的法化称为中心仿射法化，所 对应的几何称为中心仿射微分几何。 对于中心仿射微分几何，我们主要研究的是+ 1 ) 维仿射空 间a ”“中的超曲面m 在中心仿射变换群g = g l ( n + l ，r ) 的作用下 保持不变的一些量的性质，其中g 是保持原点0 r ”“不动的仿 射变换群的子群。众所周知，对任意超曲面浸入x ：m _ “， 若位置矢量z 横截于点x 处的切平面x ( t m ) ，则t m 上存在在g 作用下不变的对称的双线性形式g 和对称的三次协变形式4 ，如 果g 非退化。我们则称x 为中心仿射超曲面，而g 和a 则分别称 为相对于位置向量x 的中心仿射度量和中心仿射三次微分形式。 特别地，当x 是a ”。中的局部严格凸超曲面时，g 是可定向的。 于是我们可以选择中心仿射法化y = z 或y = 一z ，使g 是正定的。 反过来，我们自然要问：中心仿射超曲面m 的中心仿射度量 g 和三次微分形式4 的系数h 。和a 。之间是否存在着某些关系? 如果2 和4 满足了这些关系，那么能否决定出a ”中的一张超曲 面，使得它的中心仿射度量和中心仿射三次微分形式的系数正好 是预先给定的 。和爿。? 并且这样的超曲面是否唯一? 与仿射微 分几何类似( 参看【1 】、 3 】) ，在本文，我们将依次回答上述各问 题，并得到如下两个主要定理： 定理1 ( 唯一性)设m 、面为a “1 中的两个局部严格凸的中 心仿射超曲面，g 、喜和a 、j 分别是其中心仿射度量和中心仿 射三次微分形式，f ：m 。面是一个微分同胚，使得g = 厂百， a = f 万，式中的厂+ 为、厂的切映射工的对偶映射，则m 、面 只相差r ”中一个中心仿射变换。 定理2 ( 存在性)设m n ( n 2 ) 维黎曼流形，g = 脚0 3 ， 为上的一个正定黎曼度量，如( i , j ，k = 1 , 2 ，一，疗) 是m 上给 定的三阶对称协变张量场。 并满足条件 尺洲= ( 4 栅m - a m 一酬) + 够m h 。一d ) ，其中r 珊，为m 关于 j g 的黎曼曲率张量。则存在一个局部严格凸的浸入x ：m 斗a ”， 使a 。和a 珊分别为这个浸入的中心仿射度量和中心仿射三次微分 形式。 第一章中心仿射超曲面的基本公式 1 中心仿射超曲面的_ 般理论 以中心仿射法化y = z 为例( 参看【4 】) 。设工：m 斗+ 为局 部严格凸的中心仿射超曲面，沿着超曲面m 选择中心仿射标架场 e i ，e 2 ，。p e ，其中e 。l = x ，e ip 2 ，e 。0 m ，并记 c 0 1 ，d - 0 2 ，”) 为切标架场的对偶标架场。则有结构方程： 出= 珊q ，”。0 ，= z( 1 ) d e ，= w e ，+ 件，( 2 ) d e m = ：“巳，搿= 0 ，：+ l = 国7( 3 ) 外微分( 1 ) 一( 3 ) 得如下可积性条件( 4 ) 一( 6 ) ： d w = 国“国：，”= 0 如? 5 掣“f + 国；”队，如j 2 莩埘? “ d 曲：+ = 0 “； 由方程( 4 ) 的第二式及c a f t a n 引理( 参看【2 】) 有 m ，= h 。，h h = j ， ， 因为x ( m ) 是局部严格凸的，所以二次微分形式 ( 5 ) ( 6 ) g = 国。m ( 8 ) 是正定的，它称为超曲面的中心仿射度量。众所周知，g 不依赖 于标架场 e ，e ：，e 。 的选取，并在中心仿射变换群g 的作用下 不变。为此，在m 上选取关于g 的单位正交切标架场 蛾，e ! ，e ，) ，则有： h , j = 瓯，国= 珊7 ( 9 ) 外微分( 9 ) 并结合( 5 ) 有： d o ) = ，0 0 ) 于是f h c 4 ) 和( 1 0 ) 得到： 如= 珊- n 【要( j 一脚，) 】 ( 1 1 ) 式子圭( 国j - m ；i ) 是反对称的，根据黎曼几何基本定理( 参看【2 】) ， ( 1 1 ) 表明在上述标架场下g 的l e v i - c i v i t a 连络为： 面? = i 1 ( ? 一国j ) ，面，= 彩j ( 1 2 ) 定义 ，一面，= 妻( ? + 脚j ) = 彳一国。 ( 1 3 ) 由( 1 3 ) 易知a 擀= 4 埘，g f a o o ) 、( 1 1 ) 和( 1 3 ) 易得 如珊”0 3 = 0 由此推出a 时= a 由，因此，a 触关于3 个下标是对称的， 即 a 眦= a 由= 4 肚 考虑形式 a = 厶国 ，j t 4 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 它被称为超曲面的中心仿射三次微分形式，与g 一样，彳也不依 赖标架场( e ，p ：，。e 的选取，并在中心仿射变换群g 作用下不 变。 2 中心仿射超曲面的基本公式 下面推导中心仿射度量g 和三次微分形式a 的系数h 。和一驸之 间存在的关系，我们称之为中心仿射超曲面的基本公式。 首先外微分( 1 3 ) 的第二个等式，我们便得到 国? “；+ j “：+ ? “国 ，+ 珊；“：+ 女k 2 e d a ， + 2 a 时国h 钟 再把( 1 3 ) 的第二个等式代入上式便有 2 ( 出帅一e 矿纨7 一a ，t k o ) ，7 一a o k o ) ， i1， ， = o g “0 l + o ) n ，t l ：+ l 其次把国? = 西? + a ，j k c o 代入上式，并由a 卅的对称性便得到 k 2 e ( 正一一咿峨7 一一。每，7 - e a o , 8 ，7 ) “国。 k ， ， = o g + 国0 i + 7 + 。“国二+ i 即是 2 a 呻， 国= o g “ 基i + 国；“ ：+ l 式中a 叶表示爿耻关于中心仿射度量g 的协变微商。 最后在所取标架场下，把c 0 7 “= h , 珊7 = 瓯国c o 及国：+ i = c o 7 代入上式便得 2 如，国7 “国= ( 8 i 1 6 n + 已民徊7 “c o 。 ，女j 这即是 1 a 。| 一a m k = 三嫡| f 6 捧+ 6b i 6 一6 m 6h 一6 i k 6 n 、= q 于是我们便得到中心仿射超曲面的第一个基本公式 a 触，2a 0 1 女 ( 1 6 ) 设q ? 、胄。分别为m 关于中心仿射度量g 的曲率形式和黎 曼曲率张量，则由黎曼几何的基本公式有 q 净枥? 一科“亩； ( 1 7 ) t q j = 一去胄删c o k 7 ( 1 8 ) k j 把( 1 3 ) 代入( 1 7 ) ，整理得到 q 净一( 出弛一向舐一如西，一如c o “i ) “ k，t ， + c 0 7 “曲0 i + 彳脚如脚7 “ j 因此 r 悔l = t a m - a 恤j 1 + 4 # h a 一a 。a ，口、+ 姬m 8 , 一6 m 6 l 、0 9 ) 把( 1 6 ) 代入( 1 9 ) 得到中心仿射超曲面的第二个基本公式 r 州= ( 爿脚爿删一4 胁一州) + ( 巧腑爵一颤占一) ( 2 0 ) 有了上述基本公式，现在就不难证明中心仿射超曲面的唯一 性和存在性定理了。 6 第二章中心仿射超曲面的唯一性与存在性 1 中心仿射超曲面的唯一性 定理1 ( 唯一性)设m 、面为a ”。中的两个局部严格凸的中 心仿射超曲面，g 、酉和a 、- 2 分别是其中心仿射度量和中心仿 射三次微分形式，：m - - + 砑是一个微分同胚，使得g = 厂+ 酉 a = ，2 ，式中的，+ 为，的切映射工的对偶映射，则m 、面 只相差掣“中一个中心仿射变换。 证明沿着m 选取局部中心仿射标架场 x ；e 。，e ：，e 。e 。j ，使 y = e “= x ， e l , e 2 ，p 。t m，h t , = 5 1 。 令 巨= 工( p ，) ，1 i 兰r l ，瓦。沿着砑在点厂( x ) 的位置矢量厂( 工) 的 方向，若把厂万与面等同，则由对偶性易知 万。= 国， 又由题设条件知 y = 瓦+ l = 厂( x ) h h = h 口，a 母= a 吨 ( 4 ) 、0 3 ) 及( 2 1 ) 、( 2 2 ) 相结合就推出： 嚣i = 面，历= l = f 从( 3 ) 、( 7 ) 及( 2 2 ) 还可以得到： 7 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) + ；一搿：。鹾“= 搿2 4 ) ( 2 3 ) 、( 2 4 ) 畿明对任懑a ，b = 1 2 ，胛+ 1 ，i ，；1 2 ，胛有： 钟= 脚：，耐= 国：( 2 5 ) 墩x o 芒m 为一阉定点，j c 垂露俸一中心傍射交羧疗( 行翔式菲 0 ，且保持聪点不动) 可使 一t r ( f ( x o ) ) ，e ，( ) = 盯( 薛( ”，e n + l ( x o ) = 盯( 瓦+ l ( ) )( 2 6 ) 竣茗是掰上翡强意蕊，俸藏线球) m ，荚起点程掩，澄蘩这条 曲线，结构方程( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 变成常数微分方程组，由( 2 5 ) 、( 2 6 ) 及常微分方程斡耪稳闯惩静解的曦一住定耩可知，x ( f ) 与拶( 辩) ) 重会。于是国j 豹镶意缝熟，材必与玎( 露) 重会，辩掰、妨只 相熬矗”。中一个中一心仿射交换。 诞筚。 2 中心仿射超曲面孵存在性 定理2 ( 存在性)设m j 睦n ( n 2 ) 维黎照流形，g = 0 3 7 为 i 、 m 上的一难定黎曼度量，a 摊( f ，k = l ，2 ，丹j 是肘上给定的 三除对称谤变蠢璐，势盈瀵是条磐 r 删= 舯一，w 一屯爿删) + ( h d 一6 , h m ) ，其中胄触，为m 关于 m 8 g 的黎曼曲率张量。则存在一个局部严格凸的浸入z ：m _ a 一- ， 使和a 计分别为这个浸入的中心仿射度量和中心仿射三次微分 形式。 证明在m 上选取按g 的局部单位正交的中心仿射标架场 x ；e i e 2 ，p 。 ，设其正交余标架场为细l ，珊2 ，” ，这时 = 6 ，g = ( 国1 ) 2 + 2 ) 2 + + 沏”) 2 。 ( 2 7 ) 由黎曼几何基本定理知，存在唯一的一组连络形式亩，使 d c o = 国7 “蟛，科+ 彰= 0( 2 8 ) ， 令 c o ；= 西7 + 一班国，国? “= z c o ，c o + f = 甜 ( 2 9 ) k 则由a 。的对称性不难推出 7 十：= 2 4 肚国，d c o 。= 珊7 n 珊j ( 3 0 ) 而由脚= h o = 毛国。= 可得 珊“国? “= e c o 国7 = o ( 3 1 ) 再由：+ i = 0 , 2 d o ) = 国7 “国：有 如：+ i = 如= e c o “c o j = 国厶n 国；( 3 2 ) j， 因此可积性条件( 4 ) 和( 6 ) 成立。 现在来看可积性条件( 5 ) 是否成立，首先。由( 2 8 ) 及印j r + - = o f 有： 9 a e e ；”l = d w 。= e e ”面：= 一c o 掣 = 一国7 “曲? = ，7 “e e = c o ij , , c o ，”l ( 3 3 ) ， ， 这表明( 5 ) 的第二式成立。 其次，( 2 9 ) 第一式两边取外微分有： d e e ? = a g + a i i k d o ) + d a 弹“e e ( 3 4 ) tk 注意到 4 觯d e e = 彳卅m7 c o ? = 一a f ，面t 7 n 曲。 ( 3 5 ) = ( 彳珊国+ 爿：，酬+ 4 舭面j + a o k 届j ) ( 3 6 ) 倒= 霹“科一i 1 “国7 k ， 。2 ( e e ：一军如国f ) ( f 一莓爿伽”) 一三善r 洲m 翻， = ? “o , l 一( 7 “f + 社? e e ) + a 州爿脚7 “一去胄州“7 , i t i 上 ， = ? “叫一( 如每，+ 如亩j ) “珊 k ，(37) + a 栅a 。 国7 一去胄珊， m 7 t j 把( 3 5 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) 代入( 3 4 ) 就有 0 把 如，7 = 珊? “印：+ 4 衅，0 3 7 翻。 + 一柚，爿。国 曲一寺月忡， i ，口t ， = 脚? “国：+ 去( 4 舭，一爿。) 国7 “国。 j 。爿胁a 。_ - t a 7 。a 叫。出，一要月叫翻。珊，( 3 8 ) + ( 爿胁。m 叫“出7 一去月叫翻“珊7 r 州= h a “一a b ? a v + 哺 - c y l h i k ) = t j h a 。# - a 。h a 耐、一哺* 6 * 一6 6 。一 代入( 3 8 ) 并利用彳。的对称性就有： d t o ；= 国? 珊f + 0 9 = 国? 埘f + 由，p l + l a 珊川7 ( 3 9 ) i 即可积性条件( 5 ) 的第一式成立。 部满足，这表明结构方程组( 1 ) 、 因此可积性条件( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 全 ( 2 ) 、( 3 ) 可积，从而存在局部严 格凸的浸入j ：m _ a ”，并使和a 呻分别为这个浸入的中心仿 射度量和中心仿射三次微分形式。 证毕 参考文献 1 】李安民，赵国松仿射微分几何 m 】四川：四川教育出版社 1 9 9 0 2 】陈省身，陈维桓微分几何讲义【m 】北京：北京大学