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有限元最佳起收敛后处理技术 摘要 本文主要研究有限元超收敛后处理理论，通过投影型插值建立一种新的 误差估计方法，用来对非光滑问题的超收敛性进行分析，从而获得非光滑 解双线性元的外推结果。借助于对高阶g r e e n 函数的精致估计，讨论了 二次三角形元恢复导数的最佳估计及奇次矩形元恢复导数的最佳估计 本文主要内容有 第一章主要介绍本文需要用到的基本定理，常用的记号以及模型问 题。 第二章详细地介绍了高阶离散g r e e n 函数理论，这一理论是一阶离 散g r e e n 函数的推广。通过对高阶离散函数的一些精致估计，为高次矩 形元的最佳超收敛性研究提供了有力的工具 第三章介绍了投影型插值算子理论，并由此给出了一种新的误差估 计阶，使非光滑问题的超收敛及后处理更为简便 第四章利用第三章给出的新的误差估计方法，探讨了高阶矩形元的 超收敛性。 第五章利用新的误差估计方法讨论了双线性元的超收敛性及非光滑 解双线性元的外推。 第六章利用高阶离散g r e e n 函数估计对二次三角形元的恢复导数进 行分析，获得了最佳估计，同时对奇次矩形元的恢复导数进行理论分析 获得了3 次矩形元的最佳估计 关键词：g r e e n 函数，超收敛，后处理，投影型插值，外推 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 ii i i i - _ _ _ - - a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d ys u p e r c o n v e r g e n c ep o s t - p r o c e s s i n gt e c h n i q u eo f f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s i no r d e rt oa n a l y s i st h en o - s m o o t hp r o b l e m ，w eg i v ean e w e r r o re s t i m a t em e t h o db yp r o j e c t i o nt y p ei n t e r p o l a t i o na n do b t a i ne x t r a p o l a t i o n r e s u l t so fb i l i n e a rf i n i t ee l e m e n tw i t hn o s m o o t hs o l u t i o n b ym o r ef i n ee s t i a m t e f o rh i 曲o r d e rg r e e nf u n c t i o n ，w ed i s c u s st h eo p t i m a le s t i m a t eo fr e c o v e r yd e r i v - a t i v ea b o u tq u a d r a t i ct r i a n g u l a rf i n i t ee l e m e n ta n do d d - o r d e rr e c t a n g u l a rf i n i t e e l e m e n t t h i st h e s i si sa r r a n g e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ee l e m e n t a r yt h e o r e m s ，u s u a ln o t a t i o n sa n d m o d e lp r o b l e m sn e e d e di no t h e rc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eh i g ho r d e rd i s c r e t eg r e e n sf u n c t i o nt h e o r yw h i c h b eg e n e r a l i z a t i o no fo n eo r d e rd i s c r e t eg r e e n sf u n c t i o n b yf i n ee s t i m a t ef o rh i g h o r d e rd i s c r e t eg r e e nf u n c t i o n ，i ti sm o r ec o n v e n i e n tt os t u d yt h eo p t i m a ls u p e r - c o n v e r g e n c eo fh i g ho r d e rr e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h et h e o r yo ft h ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o ro fp r o j e c t i o n t y p ea n dd e f i n ean e we r r o re s t i m a t eo r d e ra n di tw i l lb ee a s et oa n a l y s i st h es u p r e - c o n v e r g e n c ea n dp o s t - p r o c e s s i n go fn o s m o o t hp r o b l e m i nc h a p t e r4 ，b yt h en e we r r o re s t i m a t em e t h o dg i v e ni nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s t h e s u p c o n v e r g e n c eo fh i g ho r d e rr e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h es u p e r c o n v e r g e n c ea n de x t r a p o l a t i o no fb i l i n e a r h i t ed e m e n tw i t hn o s m o o t hs o l u t i o nb yt h en e we r r o re s t i m a t em e t h o d i nc h a p t e r6 ，b yu s i n gt h ee s t i m a t i o no f h i g ho r d e rd i s c r e t eg r e e nf u n c t i o n ，w e d i s c u s st h er e c o v e r yd e r i v a t i v eo fq u a d r a t i ct r i a n g u l a rf i n i t ee l e m e n ta n do d d - o r d e r r e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n ta n do b t a i nt h eo p t i m a le s t i m a t i o n k e yw o r d s ：g r e e nf u n c t i o n ，s u p e r c o n v e r g e n c e ，p o s t - p r o c e s s i n g ，p r o j e c t i o n i n t e r p o l a t i o n ，e x t r a p o l a t i o n i i 有限元最佳超收敛后处理仅术 前言 有限元方法是求解偏微分方程进行科学、工程计算的一种行之有效的数值方 法，然而它又受到计算机的制约随着应用问题的日益复杂化及对解的精度的要求 越来越高，问题维数越高，网格剖分越密，有限元次数愈高，则有限元法产生的未 知数个数里几何级数急剧增加，计算机的发展速度远赶不上科学计算的要求这样 计算量小，精度高的超收敛研究应运而生，成为有限元研究中非常重要的一个研究 方向早在1 9 6 7 年，z i e n k i e w i c z - c h e l m g 就在专著结构与连续力学中的有限元 方法 1 1 2 1 中指出在计算中发现线性有限元解的导数在某些特殊点上有特别高的 精度这种奇特的现象后来被d o u g l 瓢s - d u p o n t l 2 1 j 称为有限元的超收敛性通常， 这些特殊的点称为应力佳点不久还发现有限元解本身在一些特殊点上也有超收敛 性，这些特殊的点称为位移佳点应力佳点和位移佳点统称为超收敛点，也称为天 然超收敛点 1 9 6 9 年，苏联人o g a n e s j a n - r u h o v e t s t i ；z 】对一次三角形元( 直角元) 得到一个 重要估计( 第一型弱估计) a ( u 一u ，口) = a ( u u 7 ，秒) = o ( h 2 ) l l u l l 3 ，2 i l ，2 ，v v 黠( q ) ，( o 1 ) 从而得到 i i u 一缸l ，2 = o ( h 2 ) ( o 2 ) 上述估计被林群( 4 8 】) 称之为超逼近尽管o g a n 联s j a n r u h o v e t s ( 【6 2 j ) 没有直接得 到逐点的超收敛点，但开辟了一条研究超收敛的新途径直到1 9 7 7 年和1 9 7 8 年才 由捷克人z l a m a l ( 1 2 0 1 ) 和我们中国人c h e n - z h u ( 【1 8 】) 各自独立地发现这种方法 迅速地在中国开花结果，逐步形成了一套具有中国特色的超收敛理论( f 1 3 】，【1 5 】，f 4 6 】， 【5 4 】， 1 0 6 ) 随着超收敛的发展，超逼近被广泛应用。1 9 8 2 年，在。北京中法有限元国际 讨论会* 上，朱起定1 1 0 5 j 把超收敛估计归结为两个基本估计( 弱估计) ； a ( u h - - t 正7 ，钉) = a ( u u j ，t ，) = o ( h 7 ) l l v l i l ，p ，v v 5 台( q ) ，( r 之2 ，1sp 2 ) ，( 0 3 ) n ( 扎一j ，移) = o ( h + 1 ) l l v l l ：，p ，v v s 台( q ) ，( r 芝2 ，1sp 2 ) ( o 4 1 利用离散g r e e n 函数的基本估计，给出了解决逐点超收敛问题的基本框架“离 散g r e e n 函数一两个基本估计”框架 i i i 湖南师范大学2 0 0 9 屡博士学位论文 在美国，以s c h a t z 、s l o a n 、w a h l b i n 为代表形成了i t h a c a 团队( 【6 4 】一 6 9 1 ) ， 在他们确立的内估计理论的基础上，利用。局部对称处理技巧。得到一个较普遍的 超收敛结果 然而直接从有限元解计算所得的应力场在单元边界不连续且精度不高因此如 何利用有限元的天然超收敛性质来改善有限元的精度成为计算研究者所关心的问 题，因而有限元超收敛后处理技术引起了人们极大的兴趣。由此产生了平均局部插 值技术( 【2 9 1 1 3 6 】) ，整体投影技术( 【6 0 】， 6 1 1 ，【1 1 3 】) 及外推技术( 4 2 1 ，【5 5 】， 5 4 1 ，【3 l l ，f 6 3 】) 及超收敛块恢复技术( s p r 技术) 其中外推技术及s p r 技术是目前比较重要的两 种超收敛后处理方法 外推法是一种古老而行之有效的方法而关于有限元的外推，其主要贡献则属 于中国学者，林群吕涛、沈树民等人【q u 】 降硐作出了开创性工作1 9 8 3 年，林 群，吕涛，沈树民( 4 2 1 ) 接受了。离散g r e e n 函数一两个基本估计4 框架，提出了 “离散g r e e n 函数一渐进展开式”的新框架，利用一个渐进展开式( 对一次元) ； a ( u 一乱，耵) = c 铲d 4 u v d z d y 十d ( 允4 ) l l v l l l ，l ，v v 黠( q ) ( 0 , 5 ) j 0 9 和离散g r e e n 函数的几个估计解决了有限元外推问题，从而开创了对有限元的外推 等问题的系统研究然而外推研究中，常常依赖于解的光滑性，而在实际问题中这 种要求很难达到为了解决在非光滑解情况下方便的研究超收敛，我们抛开传统的 以剖分尺寸h 的幂次来度量超收敛的观念，把u 日1 ( e ) 在p k ( e ) 中的最佳平均逼 近量 七，e ( 让) 三x i n 靠f ( 。) 1 e 1 一l 缸一x h 2 x i 最n f ( 。)佩面磊 或者所有单元最火者a 七= m a x 。a k ，。来作为参照，其中l e f 为e 的测度这样，我 们就可以重新定义超收敛：导数误差比高一阶，就说有高一阶的超收敛。至于 奄有没有o ( h 岛1 这么高，在什么条件下有这么高，都是无关紧要的 经过以上的重新定义，我们就可以在缸h 1 的条件下( 而不是缸w k + 2 ，o 。 的强条件下) 讨论超收敛了，并且根据这一观念，探讨了高次矩形元的超收敛性及 双线性元在非光滑解情况下的外推 1 9 8 7 年z i e n k i e w i c z z h u ( 1 1 4 1 ) 提出了一种基于后处理技术的误差估计方法一 一z z 方法，并于1 9 9 2 年在文【1 1 5 , - , 1 1 9 】中完整系统地提出了超收敛单元片应力 恢复技术( s u p e r c o n v e r g e n c ep a t c hr e c o v e r y ) ，简称s p r 技术由于它具有计 i v 有限元最佳超收敛后处理技术 算简单效果显著、易于理解，和现有的有限元应用软件接口方便等等特点，因此 一经提出就受到了工程界的广泛欢迎，并被b a b u s k a 等人认为是用于渐进准确的 后验估计效果最好的技术之一( 【4 1 ) 自从z i e n k i e w i c za n dz h u 提出一类有限元块恢复超收敛算子( s p r ) 以来， 数值分析家们对各类问题提出了各种恢复超收敛算子，得到了许多超收敛结果。比 如，张、n a g a 提出了p o l y n o m i a lp r e s e r v i n g 融c 0 、，e u ( p p r ) 方法( 9 5 1 ) ：z h a n g - z h u ( 9 6 1 一 9 7 ) l i z h a n g ( 3 9 ) 研究了s p r 方法并且第一次理论上证明了这个 技巧的超收敛性；z h a n g 还对两点边值问题及矩形网格下p o i s s o n 方程证明了在节 点处偶次有限元的s p r 强超收敛性( 9 8 】 f 9 9 】) 而后，z h a n g - l i n 对矩形网格偶 次有限元得到了在所有对称点上的s p r 强超收敛性( 1 0 0 ) 2 0 0 1 年张铁( f 9 2 】) 提出了“导数小片插值恢复技术”这种技术可以用于计算 有限元内节点处导数的近似值，并且在小片恢复区域上具有整体超收敛性在一定 的条件下，利用这种技术甚至可以获得节点的强超收敛性 2 0 0 3 年朱起定和赵庆华( 1 1 1 ) 对两点边值问题给出了一种新的校正格式，利 用投影型插值分别得到了应力和位移o ( h 七+ 2 ) 和o ( h 七+ 3 ) ( k 为有限元的次数) 的强 超收敛结果最近，文【1 0 7 利用局部对称技巧和s p r 技巧对二次三角形元证明了 一致三角形元在局部对称点上导数有o ( h 4 “) 的超收敛性，文【1 0 8 在一致矩形网 格上对奇次矩形元获得了结点导数的o ( h 2 ) 阶强超收敛结果 从理性上讲，矩形元导数的超收敛性最佳阶应当是o ( h 2 ) ( 见【1 0 1 ) 前面的 结果表明，对于k = 1 ，2 ，这个结果是成立的，对于k = 3 ，文【5 7 】从实算中证实 有o ( h 6 ) 阶对于一维问题，早在7 0 年代初，文 2 0 】【2 1 】就得到o ( h 2 七) 阶的超收 敛性，值得强调的是，工程师袁驷 8 8 8 9 】从力学角度获得一个校正格式，使得导 数也有o ( h 弘) 阶的超收敛性，这说明一维问题已有完满的结果 最近，文 5 1 】对于矩形元利用积分恒等式及插值处理得到了局部对称点上导 数o ( h 。+ 3 ) 的强超逼近性： o u 7 ( 劲) 一o u h ( 翔) l c h k + 3 il nh 1 2 i l u l l 七“， ( k 3 为奇数) ，这是二维问题的一个创纪录的超逼近结果，并且文【1 0 1 】提出了 双2 p 猜想 然而，在一个小单元片内的局部对称点很少( 只有2 5 个) ，而且随着k 的增加 保持不变，运用这些对称点不能构作一个具有o ( h 七+ 3 ) 阶超收敛性的插值恢复导数 v 渤南师范大学2 0 0 9 届| 荨士学位论文 格式来 按照4 离散g r e e n 函数一两个基本估计”框架，要想得到2 k 的最佳估计，必 须对g r e e i l 函数作出更精细的估计，由此得到更好的超逼近结果基于此，本文引 进了高阶g r e e n 函数概念并作出了精细的估计，结合s p r 技巧和局部对称技巧。 获得了任意阶导数在局部对称点2 0 处的新超逼近结果： 当k 3 为奇数，且l i k 为奇数时，或当k 4 为偶数，且0 i k 为 偶数时，有 i 2 。( z o ) 一让 ( 询) i c h 七“一ll nh 1 2 f f 缸肌+ 4 ，。 运用这足够多的的资源，采用文【1 0 8 】所用的s p r 后处理法，构作了导数恢复 算子r ，证得在矩形网格局部对称点如上导数有o ( h 妊+ 3 ) ( 惫3 为奇数) 的强超收 敛结果； j o 牡( z o ) 一只牡h ( 约) i c h + 3 ll nh t 2 f 孔f 七+ 4 ，。 从而证实至少对k = 1 ，2 ，3 导数均有o ( h 2 奄) 阶的最佳超收敛性同时对三角形二 次元证得导数具有o c h 4 ) 的最佳结果 当然有限元超收敛后处理的双2 k 最佳估计仍然没有得到彻底解决，本文也只 从一些特殊情况探讨了这个同题并获得了一些好的结果，但是随着g r e e n 函数理论 的不断完善，这种2 k 最佳估计猜想会取得重大进展的 v i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 魏诧百、 日期：2 0 0 9 年3 月2 8 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：耋息诧蕾 导师签名2 珈乙 日期：2 0 0 9 年3 月2 8 日 日期：2 0 0 9 年3 月2 8 日 有限元最佳超收敛后处理技术 第一章预备知识 本章主要介绍本书要讨论的边值问题及需要用到的基本记号，概念和基本定 理，所用的一些记号均保持与专著【1 0 6 ，【5 4 】以及 1 9 】所用的记号一致，所引用结 果和定理的证明均可在这三本书中找到 1 1 常用记号及s o b o l e v 空间 1 1 1 常用的记号 设q r 2 为一有界开域，我们规定： r ( q ) ：q 上的完全k 次多项式空间； q 七( q ) ：q 上的双k 次多项式空间； 下面是与导数有关的几个记号及其它记号： ( 1 ) u ( z ) 的k 阶偏导数： 磷缸 ) = 豢，z = 。，z ：) ，七为非负整数 ( 2 ) u ( z ) 的q 阶分布导数： 矿就( z ) = 瓦赫= 曙鸳哪珏( 站 其中z = l ，x 2 ，黝) ，口= l ，q 2 ，q d ) 为重指标，c q ( i = 1 ，2 ，d ) 是非 负整数，l 乜j = q l + 晓2 + + 蚴 ( 3 ) u ( z ) 的七阶导数的张量：v 七u ( x ) ，k 为非负整数且 i v k u ( 。) 1 2 = 眇缸( z ) 1 2 l a l = k ( 4 ) 我们常用c 表示与s o b o l e v 空间中的函数，剖分的单元及网格大小h 均无 关的正常数用g d u ( z ) 来表示缸( z ) 的k 阶导数的线性组合，其中的常数与函 数缸等无关 1 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 _ 一_ - l - l _ _ _ _ l l _ l _ - _ _ _ i _ - - _ - - _ _ _ _ 一 ( 5 ) u ( z ) 的七阶原函数：d 一七缸扛) ， k 为非负整数 ( 6 ) 通常用口，表示1 q 。c 的共轭数，即满足i 1 + 争= 1 的数q 1 1 2 s o b o l e v 空i 司 m ，p ( q ) 表示通常的s o b o l e v 空间，且 ”，p ( q ) = 移：d 抄l p ( q ) ，l q l m ， 其中，n 0 为整数， q = ( o r l ，a 2 ，q d ) 为重指标， i q l = o t lq - q 2q - + q d ， d a u 为钉的分布导数，1 p 。 这个空问依范数 i i m m n = ( i 蠹加泸出卜小。， l l v l l ，q 2 嚣要。蒜慨s u p d 。u ( 砒，p 。 构成一个b a n a c h 空间此外，对于这个空间，还有下面的半范。 川w 旷眇计妇卜一， i v l 邺，。2 h m ：a x 。i n 。f ( 目删d 。 ( 删，p 2o o - 四( q ) 按范数i i - i 。，b o 的闭包记为时拶( q ) ，显然 昭( q ) cw p ( q ) 另外，我们还简记 日m ( q ) = w m , 2 ( q ) ，”l i m ，n = i i | m ，。，n ， w ( q ) = 昭2 ( q ) ，。q = 2 q 显然日m ( q ) 和三留( q ) 依范数m ，q 构成h i l b e r t 空间 在不致混淆的情况下，我们有时把上面的范数和半范简记为 i i - i | m ，p ，i 1 m ，p ，i i i i m ，1 1 m ，1 1 l l 。，。，1 1 m ， 有限元最佳超收敛后处理技术 另外，在剖分t h 上的有限元空间妒( q ) 中，我们定义 i i ，m 矿训，。广 1 2 模型问题 为简单起见，本文均只讨论。f 面的模型同题： 1 ，使对任何q ( 1 ，q o ) ，映射 工：2 9 ( q ) nw 0 q ( q ) _ ( q ) 是一个同胚映射，即存在常数c ( q ) 0 ，使 i l u l l 2 , q , n c ( q ) l l l u l l o ，q ，n ，讹w 2 窖( q ) nw o 。( f 2 ) 关于系数c ( q ) 和q o 有如下一些估计： ( 1 ) 若q 的边界充分光滑或q 为矩形域，则q o = + o 。，且 c c q 一, 与，：耄嚣 ( 2 ) 若q 为角域，吾为q 的最大内角，则 钧= 慨篷 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 ( 3j 若12 的边界充分光滑，还有 l i l i 。+ 2 ，m n c l l l 2 , l l 。忍n ，m 0 设增( 1 2 ) 为有限元空间，则( 1 2 2 ) 的离散问题为：找 i t 黠( q ) ，使得 a ( u ，秽) = ( ，u ) ，v v s 台( q ) ( 1 2 4 ) 显然有f 面的g a l e r k i n 正交关系。 o ( 牡一乱 ，v ) = 0 ，v v 醋( q ) 1 3 基本定理 定理1 3 1 ( s o b o l e v 嵌人定理) 对所有整致m 0j f 【l 所有的p 【1 o 。l ，确 w m , p ( q ) - - , i f ( q ) ，歹1 = 三一i m ，m p d ； w ”，p ( q ) ql 9 ( q ) ，v q 1 ，。o ) ，如m p = d ； w m , p ( q ) q 。弘) ，v 1s 口 0 ，使得 i a ( u ，u ) i m 1 1 u l l l l v l l ，v u ，u y ； ( 2 ) 双线性型仃( ，) 是y 椭圆的，即存在常数q 0 ，使得 q l l v l l 2 a ( v ，口) ，v v y ； ( 3 ) 线性型，是连续的 则抽象变分同题：找一个元札v ，使得 n ( “， ) = j f ( ) ，v v v 有且仅有一个解 定理1 3 4 ( l p 先验估计) 设q r d 为角域，则存在与最大内角有关的常数 1 q o 。c ，使得对任何1 p 0 ，使 6 1 i l o ，p + 九l i 以6 1 l i o ，p + h i i i 绣6 1 i | o p c h 一2 + ；( 2 1 4 ) 证明：只需证明最后一项，由( 2 1 3 ) ， 慨驯。护= ( 矗1 6 h ( x ) l p 如) ； sc ( 矗 ( 一2 一i ) p e - c h - t p z z l 出) ； c h 一2 一件；( 铲e 一侥出) ；( 专) ； 但后一因子有与p 无关的界。证毕 2 2权范数及估计 考虑与h 有关的量 0 = o ( h 1 = 7 h 其中7 为适当大的常数，引进权函数 撒) = 南 ( 2 2 1 ) 其中牙q 为固定点，且0 1 f ( z ) d z c ( p ) il n o i 引理2 2 1 如0 g 1 ，则 证明：由( 2 1 3 ) 有 0 晓i 叱h | i 2 一： 令缸= h 一1 r ，则 证毕 晓i h l i 西一- 一。c h m ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) = f 矽- 1 - 6 i 晓i t ，：h 1 2 d z cf ( i z z 1 2 + ( 7 h ) 2 ) l + e h 一4 2 i e 一2 c h 以i z 一：i d x ( 2 2 5 ) c 铲( r 2 + h 2 7 2 ) 1 托h 一4 嘞e 一躬一7 r d r ，o o 晓i h 妒2 一l 一；sc ( 乜2 + ，y 2 ) 九2 主+ 2 6 e 2 c u u d u c h 一戳+ 钯 ( 2 2 6 ) j 0 2 3 一阶g r e e n 函数及离散g r e e n 函数 定义2 3 1 考虑问题以2 圳称定义在qxq 上的函数g ( x ，石) 叫做g r e e n 函数， 如果满足 o ( u ，c z ) = 让( 名) ，v u 嘣p 7 ( q ) 其中g z ( z ) = c ( x ，z ) ( ；+ 歹1 = 1 ，l p 2 ) 由于a ( u ，秽) 是对称的，因此 c ( x ，z ) = c ( z ，z ) 1 0 ( 2 3 1 ) 有限元最佳超收敛后处理扳求 例：如果o ( 乱， ) = ( v u v v ) ，那么g r e e n 函数的表达式是 = 芴1l o g 南+ 彬二w i j 0 一石i 其中w 是充分光滑函数，且满足 ( z = 。，比q ； 彤( z ，z ) = 一磊1 1 0 9f 与比a q 因此一般我们总假定g r e e n 函数在z z 是充分光滑的，而且满足 i d 呈d 多( z ，z ) i c i z z l i 。+ 芦f ： ( 2 3 2 ) 其中q ，是重指标 由l a x - m i l g r a m 定理容易证明，存在唯一的函数谚s 满足 a ( v ，g ：) = u ( z ) ， v v s h 因为o ( 缸，v ) 是对称的故 g ! ( z ) = o ( g ! ，磷) = n ( g ：，g ：) = g ! ( 2 ) ， 而且 o ( q 一谚，秒) = 0 ， v v s h 这说明离散g r e e n 函数g ! 就是g r e e n 函数的g a l e r k i n 逼近同样地，我们定义 导数型离散g r e e n 函数晓g ! 也是以g ：的广义g a l e r k i n 逼近，这里的导数算子也 是指关于2 的沿任意指定方向的导数 关于g r e e n 函数和离散g r e e n 函数有如下一些基本估计：( 以下结果均参见 【1 0 6 第五章) i i g ：一谚1 1 0 巾c 争，萌 p 0 ( 3 ， ( 2 3 3 ) l l a z 一砖i l o ，l c h 2 il nh 2 ，q 0 = 。， i c h jl n p = 1 ； i l g ：一谚巾 罢2 ；一。i 。n 川；，：三三兰嘉2 口o 2 + o o ； c 2 3 4 ， 【c ；，q 6 p 2 ，；1 = ；1 + ，即p = 1 + e 2 ，则1 慧= i 口o ，w ) l = i 晓i h 彤) i = j a ! p w ( z ) l 。c h l 一i i p w i i ：5c h 一1 一j0 尸w ，p c h 卜扣jl lw i l 2 护c h 卜一壤主l 即 例：，毕 2 ，那么对任何z q 有 | i 硬g ：一晓i u ：h i l l 伊c h l 一一争( 2 4 1 3 ) 其中c 与z 无关， l p q o ，；1 + 专= 1 证明：设9 = 晓g ：，g = 晓i u 。h ，作函数g 的插值9 j ，由先验估计及( 2 1 4 ) i i g g ，1 1 1 护c h l l v 2 9 l l o 巾c 危l l 晓砖i | 0 ，psc h l 一i 一号 1 4 有限元最佳起收敛后处理技术 其次由逆估计有 0 夕j 一夕 i i l 护c h 一矿2i i 夕，一9 l l l ，l 上式对p = l 也成立，这是因为( 2 4 8 ) 成立，从而由三角不等式 l | 9 7 一夕h i l l ，p c h l 一一号+ c h 一号l l 夕一9 h l l l ，l 又由( 2 4 9 ) 有 f l y - y h l l - - c ( 1 + 6 d x ) l l g - y h l l l , 4 , - i - c c h 一6 九1 一i + 。 2 ，那么 l l o z g z l l o + i i 晓i u h ：l l o c h l _ 证明：设g = o z g z ，矿= 晓i u h ：，作w 础( q ) 满足 a c v ，w ) = ( u ，夕) ，咖硪( q ) 1 5 ( 2 4 1 5 ) ( 2 4 1 6 ) 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 , i l l j 由逆估计及稳定性估计 “引曙翥c h 黧i i p w 秽i ic h ) l 一；i i w i l 2 c h h ( 2 4 1 7 ) 1 一。 ： 1 一 1 1 i i 夕i i o 、叫 所以 i i g l l o c h l 一 又 证毕 9“。三11q2-llaq：ull：oi+i。+iiqllloch2112qlb+一l11iq+lloch ih i g l l o c h c hc h l 一； 扎，h = m a x 。k 2 3 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 易见，h ( e ) 按内积 。= ( f l a 2 札，a l 晓询。十7 i 、d l “i hl i ，。+ h i t ( 0 2 u ，o r ) 力+ ( 。7 i e ) 一1 札( z o ) v ( z o ) ( 3 2 3 ) 成为一个h i l b e r t 空间 考虑l 2 ( e ) 上的一个完备的规格化的正交系 f 。c x ) l j ( y ) ，( 3 2 4 ) 其中易( 秒) 是l 2 ( 眦一h e ，y e + 危。】) l - _ $ jl e g e n d r e 多项式系 任给u h ( e ) 有0 1 0 2 u l