（基础数学专业论文）非线性波动方程外问题研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 上世纪九十年代至今，m n a k a o ，r i k e h a t a 等对外区域0 上 半线性波动方程进行了一系列有意义的研究，m n a k a o 利用构造乘 子方法解决了区域边界问题，但是非线性项1 球1 4 “的指数a 有较严 格的限制r i k e h a t a 解决了二维空间单位园外区域向径函数的能 量衰减，但不适合三维以上空间本文是对m k a o 和r i k e h a t a 工作豹推广，并迸一步研究了四阶波动方程 绪论中介绍波动方程外问题的研究现状和研究背景以及本文 要解决的问题和得到的些结论 在第二章，主要研究二阶带耗散项的线性和半线性波动方程 外问题首先利用一个s o b o l e v 型不等式得到了线性耗散波动方程 在外区域上的整体能量衰减估计，此结果用来证明 1 ( 口s4 【一4 】+ 的半线性波动方程解的整体存在性为此，本文主 要研究n 维( 3 主s 7 ) 外区域上球对称解的情形 第三章研究外区域上的四阶波动方程，非线性顼，国) 取为 i m1 4 “，口) o 首先，得到一般外区域上解的能量衰减估计，即边 界不加任何几何条件进而，提高初值的正则性，又得到更好的衰 减估计，同时也延拓了a 的范围 第四章在初始值去掉其紧支集的条件下，利用乘子方法及加 权函数的方法，得到外区域上带局部耗散项的波动方程的局部能 量衰减估计 关键词：波动方程；外区域 耗散；( 局部) 能量衰减 西南交远大学硕士研究生学位论文第页 h c h a p t e r4 ，l l s i n gm u m p l i c rm e 廿m da n dw c i g h t e df u n c t i o n m c t h o d ，w ed e r i v c dl o c a lc n e r g yd e c a yo fl h ew a v ee q u a t i o w i t h l o c a l i z e dd i s s i p a 幻nw l l i l et h e n d 掘o o f 锄p a c t 唧f to f 耐9 1 1 l a ld a t aw 弱f e l n a v e d k e yw o r d s ：w a v ec q u a t i o n ；d i s s i p a t i 0 ；e 】【t e r i o rd o m a i n ；( k l c a l ) 曲e r g yd e c a y 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 偏微分方程作为数学的一个分支出现于1 8 世纪，波动方程就 是最早得到系统研究的三类方程( 另有热方程、调和方程) 之一 关于波动方程的研究，基本问题可分为初值问题( 即c a u c h y 问题) 和初边值问题，后者又分内问题和外问题等文献中关于c a u c h y 问 题和内问题的研究成果颇多，研究方法也十分丰富，相比之下， 外问题的研究还有非常广阔的天地。本论文主要研究带线性耗散 项的波动方程外问题 1 1 外问题研究现状及研究背景分析 。二 2 0 世纪9 0 年代以来，国内外数学家李大潜，周忆，m n 8 k a o ， r i k e h a t a ，t o g 甜a ，y t u s t u s m i 等对外问题进行了一系列有意 义的研究探讨 对于方程一缸+ “。1 4 hr ，( 0 。) q ， ( 0 ，x ) = “o ( x ) ，h 。0 。，z ) 。n 1 ( x ) ；i q o ， 李大潜，周忆 3 5 中首先讨论了b l o w - u p 问题，其中 1 p 墨1 + 2 ，( 这里记p 一口+ 1 ) 接着，t o d o r o v a _ y o r d a n n o v 3 0 引入所谓的临界指数p ；一1 + 2 苫1 ) 该文证明了当 1 t p t p 二r ，对任何满足正。m ( x ) 出，o ，( f o ，1 ) 的初值，方程没 有任何整体解当p ；c p 【一2 】+ ，方程有一个小的整体解， 这个指数p 二，= l + 2 ，与半线性热方程f u j i t a 临界指数紧密相关 r 【e h a t a 6 首先考虑特殊条件下的一类波动方程外问题，那 里q 一忸r 2 ：l 石| 1 ) 初值是向径函数，即“o 。- “( i xd 这里得到 2tp c * 对较好的衰减估计，其中起关键作用的是一个s o b 0 1 e v 型 不等式。同样该文也使用小初值扰动法得到非线性方程解的衰减 估计 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 对于方程一血+ 4 0 ， r ，( o ，* ) q ， h ( 0 ，工) 一h 0 0 0 ，“，( o ，z ) 一h l ( x ) ；“f a o o ； 在 1 6 中，m n a k a o 和k o n o 处理c a u c h y 问题时利用位势阱和解的 p 范数有界，得到了4 ，c a 2 ，【一2 】+ ( n 是欧氏空间维数) 时 的能量衰减估计 s h i b a t a 2 7 对初值条件较强的情况作了研究y s h i b a t a 和y t b u t s u m i 2 8 证明了3 不带耗散项的拟线性波动方程的整体光 滑解s m i 也和s o g g e 2 9 研究三维外区域半线性波动方程，那里非 线性项为，m ) = 一“5 当4 ) 一0 时，解的局部能量衰减估计得到了详细的研究众 所周知，如果q 是非带形的，则当t m 时，局都能量b g ) 一o 进而如果y 。r ”、q 是星形的，乓o ) 成某代数衰减，特别地，当 乏3 且为奇数时以指数衰减 当d ) o 时，我们希望o ) 能衰减到。而边界不加任何几何 条件实际上，如果d o ) 苫，o ，a e z o ，容易得到解的整体 能量衰减估计近来，对于4 ) 一c d 舯f 0 ，d a n 和s h i b a t a 3 6 证明了如果2 ，有& ( f ) 主c e ( o 1 + t ) 一 3 6 文的证明基于谱 分析理论，这种方法却很难用于4 ( 砷不是常数的情形 对于口0 ) 有紧支集，即耗散是局部的情形，m n a l ( a o 1 7 ，1 8 ， 2 1 ，2 2 结合j l i o n s 1 3 引入的符号 r ( h ) - 缸a q l o 一) v 0 ) 0 ) ， 并巧妙地构造乘子h ( x ) ，成功解决了线性方程解的能量衰减估计 实际上，线性方程解的估计是基本的，一旦有了线性方程的估计， 利用标准的半群理论知非线性项的控制成为主要问题，这就用到 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 g a 啦a 以o d 婀瑚b c r g 不等式，用先验估计的方法得到非线性方程的 能量估计适当提高初值的正则性，指数口和维数的范围得到拓 广 器要说明的是，由于波的有限传播性质，所以一般总假设初 值具有紧支集，这给波动方程问题的解决带来很大方便r 玻c h a t a 对此提出了挑战，文献【7 ，9 】利用t 0 d o r o v 州b 耐a 如v 【3 0 】和n 【c h a t a m a t s l l y a m a 【4 】中的思想，引入重要乘予e 制不仅去掉了初值的紧 支集条件，同时也可以处理变系数问题，这种方法有很大应用前 景虽然得到的是局部能量衰减，但这无疑是十分有意义的 1 2本论文的主要工作 根据对上述参考文献的分析和思考，可以发现【6 】的结论仅仅 在二维空间成立，这是因为该文中起关键作用的两个不等式只在 - 2 时成立，能否把维数进行推广很大程度上取决于不等式推广 及其应用，本文第一个工作就致力于解决这个闻题。另外，大量 文献集中于二阶波动方程问题的研究，高阶问题的研究相对较少， 本文试图克服高阶方程产生的新问题，对四阶波动方程进行了一 个尝试由于波具有有限传播性质，假设初值具有紧支集可以保 证任一时刻，解也有紧支集，这个讨论带来了很大方便，也可以 考虑利用p d 拥地不等式等一些好的性质那么k 去掉初值的紧 支集条件，或者把条件变弱，如初值仅满足一定的衰减性，这就 迎来了新的挑战 诸如此类，波动方程外闯题还有很大的研究空间，本文就波 动方程的三个问题进行了研究，形成结果如下： 1 利用( 3 ) 维外区域上向径函数相应的s 曲o l c v 不等式，得到 了线性方程的整体能量衰减估计此不等式在非线性项的估计中 也起着至关重要的干乍用，它避开了h 占l d c 指标和g 础l i a r d o n 虹e n b c r g 指标的分配问题用小初值扰动法得到非线性方程在满足 1 a 量4 【一4 】+ ，3 s s 7 时解的整体存在性 2 综合参考文献的方法研究四阶波动方程“。+ a 2 “+ “，一l “r “首 先，类似【2 l ，2 2 】方法得到线性方程的估计，再用先验估计得到外 区域上非线性波动方程解的能量衰减估计；进而，适当提高初值 的正则性，对方程微分得到了更好的衰减率，同时也拓广了空间 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第二章二阶波动方程 2 1 引言 在本章中，我们研究外区域上波动方程的初边值问题解得整 体存在性： “。一a h + “暑l r ，o ( o ，) ，( 1 1 ) “( 【l 一“。( 力，“。( 0 ，x ) 一h l o - ) ；“i 。口to ， ( 1 2 ) 其中qa 厨( 0 ) 一矗矗”：i x 卜l 对于半线性被动方程的c a u c h y 问题 一+ 屿一l “r ， ( 0 ，) r ”， “( o ，x ) 一( 刁，“，( 0 曲- “，0 ) ， 已经有许多作者进行了研究，见【2 ，3 1 】及其参考文献他们证明了 上述初值问题f 一* 时解得渐进性 关于下述半线性波动方程混合问题 “。一缸+ d 0 。- ，0 ) ，( 0 ，m ) x q ，( 1 3 ) “( o ，砷。h o ，“。( o ，z ) 一砘0 ) ；“k - 0 ， 这里，0 ) 一h 4 “，a ) - o q 是矗”中的外区域，m n a k a o l 2 1 ，2 2 】证 明了广义解的整体性，在那里边界没有要求任何几何条件，n 和a 有着一定的限制，乘子方 击在其中起着重要作用本章在一定条件 下拓展了n 和口的范围 与之不同，r 攻e h 如引入一种方法( 参见f 4 ，6 1 ) 处理单位球 外区域上球对称解并得到了解和能量的更好的衰减估计，那里非 线性项为i h p ，2 tpc * 但是【6 】的结果严格依赖于两个不等式， 而这两个不等式仅在二维空间外区域上成立在本章中，我们利用 而这两个不等式仅在二维空间外区域上成立在本章中，我们利用 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 更一般的不等式推导出维( 3 9 s 7 ) 外区域上1 口西兰万 时相应的衰减估计，至于n - 1 时的外问题，读者可参见 5 ，2 1 】。 2 2记号和结论 本章中，”0 ，和”i l 。分别表示上，( q ) 范数( 1 s p 暑* ) 和 s “( 范数。为方便计，”8 表示r 范数。 设，0 ，我们记 且( 0 口一 z 胄”：i z i r ) ， 占：( o ) x 且：i 工i ，) 另外，规定三个函数空间： 工0 ( q ) t 伽r ( q ) ：“( 砷一“( 1 x d ， 日：州( q ) - 恤日：( q ) ：n 0 ) ；“( 1 工d ) ， 上e 。( q ) - m h 2 ( q ) ：“( 功- “( i z l ) 规定一个能量范数：8 ，v ) 7k 墨l l v “0 ：+ 0 v0 ： 下面是本章的几个结论，首先，我们考虑线性方程： h 。一a h + “。l o ；( 0 ，) x o ， ( 2 1 ) h ( x ，o ) 。l o ，址( z ，o ) 一l ti l 一o ， ( 2 2 ) 其中q = 研( 0 ) c r ” 定理2 1 如果缸。，“，) 日：。瞄( 0 ) ) 吃暇( o ) ) ，那么对线性 方程( 2 1 ) - ( 2 2 ) 的惟一解 h p ) c 1 ( p ，。) ；叠错( 0 ) ) ) n c ( f o ，m ) ；嚣：( 巧( o ) ) ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 有 i l o ，) i i ：墨c 1 厶。( 1 + f ) 刈2 ， 0s ( f ) ( “o ，配。) 78 5 c 。，。j ( 1 + f ) 。1 ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中， = 慨+ 慨i k + q i i ， 注记l 下一节我们将仅证明( 2 3 ) ，因为一旦有了( 2 3 ) ，( 2 4 ) 的 推导过程是标准的( 参见【3 】髓2 2 ) 关于非线性方程( 1 1 ) - ( 1 2 ) ，有下面的两个定理 定理2 2 设一3 ，1 c 口s2 ，且初值 舡o ，h 。) 瑶耐( 硝( 0 ) ) 圪( 8 ：( 0 ) ) 满足 s u p p “ou s u p p “1c 占。( 0 ) n 巧( 0 ) ， 其中p ，1 ，那么存在正数。，o 使得如果 ，o ：- 8 耽。| | + 忆i i cs 。 则相应非线性问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 有惟一解 “( f ) c 1 ( 【o ，m ) ；p ( 研( o ) ) ) n c ( 【o ，。) ；日：暇( 0 ) ) ) 满足 忆( f ，) i i s a 。( 1 + f ) - 1 心， “，( f ，) 0 + h v “o ，) 0 主c ( 1 + f ) - 1 ， c ，o 是一常数进而， “( f ，工) - “( f ，i 善d ，f o ，工曰：( 0 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 定理2 3 设3 s s 7 ，1 o ， r 玫e h a t 【3 6 】，& o n o 【2 5 】队及m n a 】【a o 【2 1 ，2 2 】讨论了二阶 半线性波动方程外问题，如 h 。一h + a 0 ，。，0 ) ，( 0 ，m ) q ，( 1 4 ) “g ，o ) 一醒o ，m 。0 ，o ) - m l g ) ；“i 一o ( 1 5 ) 其中a ( x ) 满足一定条件，特别地，a ) = 1 乘子方法和截断函数技 巧在这些文章中起着重要作用 对于四阶方程的c 卸c h y 问题，也有许多作者进行了研究，参 见【3 2 】及其参考文献在【3 2 】中，张宏伟和陈国旺利用位势阱理论 研究了初边值内问题但是，当前关于四阶方程外问题的结果还很 少 在本章中，我们将署q 用乘子方法和文献【2 1 】中的技巧来导出 一般外区域上解的能量衰减估计迸而，适当提高初值的正则性， 选择不同琢起阳盯的指标和g a 嘲j a r d o - n i r c 】曲e r g 指标，我们得到更 好了的衰减估计，同时a 的范围也得到拓广 3 2 记号和结论 为方便计，引入范数 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 0 0 ，v ) 7k 训血8 ：+ 0 ： 我们用”0 ，表示p 一范数( 1 墨p 。) ，特别地”0 表示l 2 范数常 数c ，o 在不同地方可以表示不同常数 下面是本文的几个结论 首先，我们考虑线性方程： “h + a 2 “+ h t1 0 ， ( 0 ，) q ， “0 ，o ) 一h o ，h 。0 ，o ) 一“1 ， 球。o ，；竺。o ， 工a q d 叮 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 不失一般性，我们设矿- q c 吼- 协矗”：i x l 工) ，工，o 下面关于线性方程的结果在本文中是基本的： 定理2 1设初始条件以。，吨) 日2 ( q ) r ( q ) ，那么线性方程 ( 2 1 ) - ( 2 3 ) 的解越( f ，力满足 i lh ( f ，) 1 1 2 五c 蛤， ( 2 4 ) e 秘) 一去【l l h ，( f ，) 8 2 + 0 “( f ，) l | 2 】c r ；( 1 + 0 - 1 ， ( 2 5 ) t 0 ，c 是某大于。的常数这里，。刈“。峙+ l f 吨 定理2 2 设初始条件以。，啦) 4 ( 0 ) 日1 ( 回，那么线性方程 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 的解h ( f ，曲满足 。o ，) 0 + 血，o ，) 0 s i z ( 1 + f ) 4 ， ( 2 6 ) 8 2 “e ，) 肛c ( 1 + f ) 4 胆，( 2 。7 ) t o ，c 是某大于。的常数这里，。卅“。+ 0 “。峙 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 下面是本章的主要结果，即关于非线性外问题( 1 1 ) - ( 1 3 ) 的 定理 定理2 3 设1 s n 五7 ，8 ，a s 4 【一4 】+ ，那么存在龟，o 使 得如果0 。，叱) 日2 ( q ) r ( q ) 且j 。t 6 ，则非线性方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解“( f ) 满足 胁0 ) 肛c ，0 ， ( 2 8 ) 0 h 。i + i 血忙c k ( 1 + f ) 2 ， ( 2 9 ) f 苫o ，c 是某大于。的常数 定理2 4 设和a 满足c 缸e 1 ：5 s s 8 及4 ，【一4 】 o 使得如果 0 0 ，“1 ) 日4 ( q ) 日1 ( q ) 且j 1 o ， a e 工q 注记2 ：定理2 3 _ 2 4 仍然成立，如果非线性项，仁) 满足假设h y p 1 h y p 1 设，以) 是r 上局部l 却s c h i t z 连续函数且 l ，0 l m 。b l “及i ，0 ) 一，9 l 主j i f 。啦l + r 睁一v i 对某m 。，o 和 口 0 成立 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 3 3 线性方程 在这节，我们将证明定理2 1 和定理2 2 定理2 1 的证明首先，分别用“。，“乘以方程( 2 1 ) 并积分，得 丢嘲+ 蚶= o 其中e ( f ) 一粤1 1 2 + i 阱】， 丢“) + l l 血0 2 一慨1 1 2 十丢丢2 t o 那么，有 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 去p o ) + 扣2 ) + 2 e 岫 组， 当七 3 时 设定z 0 ) 曩舾( f ) + 0 。，) + 去2 ，由y 0 g 不等式，我们有 并( f ) 一e 0 ) + 掷 ( 3 4 ) 对某较大的常数k 成立 对方程( 3 3 ) 在 o ，f 】上积分，得 恶仁刖+ f ( f ) 出薯似( o ) 墨a ；c * ( 3 5 ) 对某常数c 0 成立 既然( 3 5 ) 成立，e ( i ) 的估计是显然的实际上， ( 1 + o 兰e ( f ) o 及 兰 ( 1 + f ) e 0 ) ) 墨( f ) 所以 ( 1 + f ) 舌g ) s e ( o ) + i 五o ) 由s c 瑶 定理2 1 证毕 定理2 2 的证明设y ( f ) 一h 。( f ) ，有 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 1 页 + 2 v + ut 0 ，( 0 ，) x q v ( o ) _ “l ，v ，“，) 一一? m o 一“l ， y i 矿罢l 矿o u ， 重复定理2 1 的证明，我们得 茁：o + r ) 一丑：( f ) + 巧”e ：o ) 出s o ， o ， ( 3 6 ) 其中z ：o ) “砬o ) + q n 毛o ) 畸凹i i + 8 挑州，则 f e ，o ) 出c f ；* ( 3 7 ) 现在，我们只要证明 j f ( 1 + o e ：o ) 西s c 砰c 。o ( 3 8 ) 实际上，用1 + t + t 乘以( 3 6 ) ，得 ( 1 + f + f ) 工：p + 丁) 一( 1 + f ) z ：o ) + 2 f ”o + s ) 五：o ) 凼s 硝：g ) ( 3 9 ) 设f 一，l r ( 这里n 是自然数) ，我们得 须7 0 + s ) e ：o ) 如s t 薹x ：( m r ) + 盖：( 0 ) s c r 荟僻： ? ) + o h t 丁) 盼 “r 塞j ：= ：! 班d 把。淞 sc 弧俾：o ) + e o ) ) 凼 s c 研 o ，扫 1 ，则不等式 对f 0 成立 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 上q + f j ) 4 ( 1 + s ) 4 凼c ( 1 + s ) 1 ( 4 3 ) 对于非线性方程( 1 1 ) ( 1 3 ) ，由标准的半群理论，有 u ) - s ) u o + s 一s 妒0 ) 出， ( 4 。4 ) 其中u o ) 。0 0 ) ，h 。( f ) ) ，f o ) - ( o ， o ) ) ) 7 ，m ) _ h r “，s ( f ) 是线 性方程( 2 1 ) ( 2 3 ) 相应的算子半群 定理2 3 的证明既然关于线性方程的定理2 1 和定理2 ，2 已经建 立，下面的证明我们将采用所谓的小初值扰动法( c ，f 3 ，6 】) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 ，0 ) _ d “0 ) + ， 由定理2 1 ，得 雌一s 妒。a 6 x 1 + f s ) 4 门 ( 4 5 ) 这样，由常数变异公式( 4 4 ) 我们得u ( f ) 的估计如下 移e 。5 c f 。( 1 + 1 ) “1 + c 工( 1 暂一砖4 胆j o ) 凼 ( 4 - 6 ) 设k ，o ，假设下面的估计在区间 o ，t ，t o 上成立： 归 f 耻酊。( 1 + f ) - i 口，肛( f ) 1 c 。 ( 4 7 ) 妙仁- j 瓯( 1 + r ) 4 胆或肛仃l 一村。 ( 4 8 ) 注意到( 4 7 ) 在某区间上是合理的，如果我们取较大的常数置，0 。 因为函数f 一耖。及f 卜( f 】| 是连续的 那么，由弓i 理4 1 ，可得 端筘粥拶勘 住e ， 量肘。m 吣 其中岛a 譬( 1 一葡 由艋，如j _ 蠢霎凳薹i 。j i薹j蓥鬟二霉|磊薹霉篱j)叫2吖8“k“w“(1+s) 巾哪 2 幽 a 。( 1 + m 。“k 一增x 1 + f ) 4 拉 (410) 注意到上面的证明用到引理4 2 设q 。(，。， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 有 相似地， i p o i 。，。q 。( ，。，k ) ( 1 + f ) 。1 胆， ( 4 1 1 ) i i “o ) 忙，。q o u 。，目 ( 4 1 2 ) 现在取k ) c 充分大，。c 6 。对某小的6 。，o 使得q 。瓴，k ) 足， 那么对f 【o ， 】我们有 0 矿o ) l k 0 是某常数) 时， 有c a + 船“矸) k 这样，我们得到 8 “o ) 忙竭， l 。i | + 8 “+ i i 2 “i s 船。o + t ) 4 心， 0 h 。l 血，忙盯。( 1 + f ) - 1 对t 0 成立定理2 4 得证 ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 7 页 第四章局部能量衰减估计 4 1 弓l 言及主要结论 本文研究下述方程 uh 一u + a ( x ) u t 篁o ， ( o ，) o u ( o ，x ) 一u o ( x ) ，u 。( o ，x ) - u l ( x ) ； u l - o ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中q 是r ”( n 2 ) 中的外区域，即v r “q 在r “中紧。本文 中，我们假设v 关于原点是星形的( s t a r s h a p e d ) l a x _ p h i l l i p s 1 0 和砒z o h a t a 1 4 研究了a ( x ) = 0 时，初值 u 。，u ，有紧支集条件下解的局部能量衰减m n a k a 0 2 0 得到了带 局部耗散项波动方程解的局部能量估计，并在 2 3 文利用截断 ( c u t o ”) 函数方法得到解的整体能量衰减，这是一种很有效的 方法，但是在那里初值支集的紧性也是必要的t o d o r d a - y o r d a n o v 3 0 首先引入加权函数来研究波动方程r i k e h a t a 多次使用了这 种方法，在 8 中解决了初值不满足球对称条件时二维波动方程解 的能量衰减估计，在 7 ，9 中去掉了初始条件的紧性，这样 3 0 的方法得到了充分的应用 本文亦采用这种方法，并结合n a l 【a o 常用的乘予方法及积分因 子法和一些不等式技巧，来考虑耗散是局部的情况，即设 s u p p a ( x ) c b l ： x r “：l x bl ) ，且a ( x ) r ( q ) ，4 0 ) o ， 口暑j q ”训a ( ) 忆。) 。m 我 f 用0 k 表示r 范数( 1 c p so o ) ，为方便计用8 n 表示0 0 ： 常数c 在不同地方可能表示不同的常数并记 e ( t ) - 扣u l l l 2 + i l v u i | 2 】， e r ( t ) 一扛呱( 1 u i1 2 + m 1 2 ) d x 本文主要结论即： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 9 页 因为u l 拉一o ，我们有詈罢仇v u ，7 叩l ，从而 d x i叻 i ，。j = o v u 驰。蹦a 。j = 。1 嚣1 2 h 智d 仃一厶i 乳1 2 h 野d 仃( 2 2 ) 1 ：。正v u v ( 善h 。卜 。五军u 一v u 轴；d x + 正辜h v u v u 卅x - 正弘挚+ 正军告警血 。正孙u i j 等a x + b h v | v u l 2 a x 正孙u l j 等血! 扭酬2 h 吣- b m h ) d 【 由( 2 2 ) 及( 2 3 ) 即得( 2 1 ) 引理2 1 证毕 ( 2 3 ) 下面我们采取乘子方法来得到基本等式。 分别用u 。，t u 。，u ，x v u 乘以方程( 1 1 ) ，并在0 上积分得， 昙e ( 1 ) + 正a ( x ) i u 。1 2 d 】【乩 ( 2 4 ) 昙【t e ( t ) 卜e ( t ) + 正a ( x i u 。f 2 d 【to ， ( 2 5 ) 昙( u t ，u ) 一忆1 1 2 + i l v u i l 2 + 三詈正a ( x l u l 2 d x - 0 ， ( 2 6 ) 扣v u ( t m 呻u t 卜孚2 ， + 正a ( x k v 如td 】【却v u l 2 x 柙d 】【一o 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 2 页 又 l u 。( t ) 1s 扣t n 扣( t ) 1 1 2 ， 最后只剩下控制m t l 2 项，为此，我们需要如下引理 引理2 3 设u 。+ u l f “，那么 】| 2 吼圳+ 2 ( 2 1 8 ) 证明设“) 一上u s f ，则有 f 。一v + a ( x ) 。皇u ：+ a ( x ) u 。，( o ，) q 1 ( o x ) 目o ，峨( 0 ，x ) = u 。，j 。= o 方程两边同乘脚。并在q ( o ，t ) 上积分得， 丢宁t ( ”2 + 丢忡吐，( t ，1 1 2 + l 正a ( x 】q 1 2 d 【d t( 。) 。扣忆( u ，+ a ( x ) ! l 。龇x ) d x 由h 0 1 d 盯不等式、s o b o l e v 嵌入定理及y o u n g 不等式有， + a ( x ) i l 一( 1 ，) 】s 吼+ u 18 ：，l 嗽一： s 吼蝎8 嗽+ ：l 阿 s a + 争如肌 所帅。m ，卜吼+ u l ： 注记：容易看出( 1 3 ) 式包含了条件u 。+ u ，崩w ( 2 9 ) 一( 2 1 9 ) 是对( 2 8 ) 式各项的估计，从这些估计我 们得到： ( t r 皿s ( t ) s c i 。+ 吐e x ( r ) d f ( 2 2 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 3 页 处理( 2 2 1 ) ，我们利用积分因子【t r 厂1 实际上，用( t r ) 一。1 乘以( 2 2 1 ) 有 ( t r ) e n ( t ) 一d ( t r ) 。1 e n 扛如s a 。( t r r 即静一r ) 。j ：e x 扛m ) s a 。( t r ) 。4 对上式在 t 。，t 】上积分，缛 ( t r ) 一6 e ；g 如s 孚 ( t 。一r n ) 一。1 所以e 。和f 导“。一r m r 导， 代入( 2 2 1 ) 得 e 。( t ) s c i 。“一r ) “。对任意6 ，o 成立 定理1 1 得证 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 4 页 参考文献 【1 】n h a y 懿h i ，t i m ed e c a y0 fs o i u t i 锄st ot h es c h r 占d i n g e r e q u a l i o n j ne x t c r i o rd o m a j 丑s ，a n i h p ，髓e o r p h y s 5 0 ( 1 9 8 9 ) ，p 7 1 9 3 【2 】t i i o s o n 0 & t o g a w a ，k g e t i 屺b e h a v 妇a n d l p 一酽c s t i m a t e s o f 也es o l u 蛀o n so f 2 d 主m e n s i o n a ln o m i n e a rd a m d e dw a v e c q u a t i o n s ，j d i 也e q n s2 0 3 ( 2 0 0 4 ) 8 2 - 1 1 8 【3 】r 【e h a t a ，e n e r g yd e c a yo fs o l u t i o i l sf o rt h es c m i l e a rd i s s i p a d v e w a v ec q u a t i o 璐i n 缸e x t e r i o rd o m a i n ，f i m k c i a le k 、，a c 4 4 ( 2 0 0 1 ) 4 8 7 - 4 9 9 4 1r 【c h a t a t m a t s u y a m a ，b e h a v i 甜o fs o h m o 璐l ot h e1 i n c a r h e a ta n dw a v cc q u a t i si ne x t e i ：i o rd o m a i s ，s d m a t h l a p o n 5 5 ( 2 0 0 3 3 4 2 f 5 1r 歌e h a t a ，ar 锄r ko n ac r i t i c a le x p o n e n tf o rt h es e m n i n e a r d i s s i p a t i v cw a v ec q u a t i 衄i 也eo n e d i l n e n s i o n a lh a l fs p a c e ， d i 疏r e 州a li n t e 罩a ie q u a 曲璐1 6 ( 2 0 0 3 ) 7 2 7 7 3 6 f 翻r i k e h a t a ，g l o b a ie x i s t e n c c0 fs o l u t i 油s 蕾叫s 锄1 n i 缸d 锄p e d w a v ee q u a t i o ni n2 - de x t c r i o rd o m 血j d i ：e e r e n t i a le q u a t i o 璐 2 0 0 ( 2 0 0 5 3 6 8 【7 】r 皿e h a l a ，l d c a le e r g yd e o a yf o ru n c a rw a v ee q u a 廿o n sw i n l n 0 n - c o m p a c l l ys u p p o n e di n i t i a ld a 饥m a m m e m e d aa p p l s c i ”伦0 0 1 8 8 1 1 8 9 2 f 8 1r 破e h a t 毛- i 咖d i m e n s i a le x t e r i o rm i 秘dp r o b l e m 五 s e m i l i n e a rd a m p e dw 采v ee q u a l i o 璐，j m a 也。a a 1 a p p l3 0 1 ( 2 0 0 回3 6 6 3 7 7 【9 】r m e h a t a ，l d c a le n e r 酎d e c a y 叫n 北盯w h v ce q u a l i o sw i t l l i r i a b l co 伍渤t s ，】m a m a n a l a p p l 3 0 6 ( 2 0 0 5 ) 3 3 0 3 4 8 【1 0 】p d i _ a x r s p h i l l i p s ，s c a t t e r i n gt h e o i y ，r e v i s c de d ， a c a d e 加i cp r e 髓，n c wy 0 r k1 9 8 9 【1 1 】s p i 删越d o s 酶，d e ye s 曲a t e s 氯强f o h n h0 r d 盯w a wc q u a t i 0 ， j d i 凰咖l t i a le q u “o 邯1 4 3 ( 1 9 9 8 ) 3 6 0 一4 1 3 【1 动i 立t a t s i c n c h c ny l l n 啦d ，l 妞e a rc v o l u 垃a e q h a t i o s ， s d e n c ep r e s sc h i n a ( 1 9 9 9 ) 2 9 - 3 0 hc h i n e s e 【1 3 】j lu o n s ，a d 锄帅n a b i l i t y ，s 讪i i i z a d 叩蛆dp e n i l r b a t i o n s f o rd i s t i i b u t e ds y s t 唧s ，s l 蝴r e v 3 0 ( 1 9 8 8 ) ，p 1 “8 【1 4 1s m i z o h a l a 皿et h e o r y0 fp a r c i a ld i 豫n t i a le q u a 如i l s ， c 姐l b i i d g ev i 由p r e s s ，c a m b d d g c 毛1 9 7 3 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 6 页 ( 1 9 8 3 ) ，p 1 6 8 【2 8 】y s h i b a t a 柚d y t s u t s 砌i ，o ag l o b a l 商s t 酎m l h c o r 锄o f s m a l la m p l i t i l d cs o l u t i o n sf o r n l i n e 盯w a v ee q u a t i o n si n 强 c x t e 哟rd o m a i n ，m a m z 1 9 l ( 1 9 8 6 ) ，p 1 6 5 1 9 9 【2 9 】h f s m i 也龃d c d s o g g c ，0 l i 也e 廿i t i c a ls 锄i l i n 哪w a v e e q u a t i o no u t s i d ec o n v e x0 b s t a c l 锚，j a m c r m a 也s o c 8 2 ( 1 9 9 5 ) ， 8 7 9 - 9 1 6 【3 0 】gt 0 d o r o v a b 1 _ 0 r d 眦o v ，q m a le x p o n e t 蚤d ran o n l i n e a r w 打ee q u a t i o nw i t hd 锄p i n g j d i 慷i r c n t i a l e q u a t i o n s1 7 4 ( 2 0 0 1 ) 4 6 4 4 8 9 【3 1 】h y a n g a m n a n i ，o nt h ed i f i l s i o np h e n o m e n o no fq u 鹊i l i i l e a fh y p e r b o l i c 啪v e s ，b u l ls d 。m a m 。1 2 4 ( 2 0 0 0 ) 4 1 5 4 3 3 【3 2 】z h a n gh 0 n g _ w e i c h g u o - w 妞g ，p o t 削w e nm e 也o df o fa d 硒so fn o 1 i n e a rw a v ec q l 培t i o n so f 鼬一o r d c r 触a m a 血s c i 2 3 a ( 6 ) c 2 0 0 3 ) 7 5 8 7 6 8 hc l l i n e e z u 拗a ，e x p o n 训a l d c c a y f o r 也cs 锄e a r w a v ee q u a t i o n w i t hl o c a l l yd i s t r i b u t c dd 姐p i g ，c 咖p d e 1 s ( 1 9 9 0 ) ，p 2 0 5 2 3 5 【3 4 】e z u a z i l a ，e x p o n c n 垃a ld e c a y 五叩t h es e m i l i n c 盯w a v ec q l i a t i o n w i t hl o c a l i z e dd a m 西南交遁大学硕士研究生学位