（工程力学专业论文）含夹杂两相材料界面裂纹问题的研究.pdf

摘要 论文题目：含夹杂两相材料界面裂纹问题 的研究 专 业：工程尘堂 姓名：杨成( 签名) 指导老师：! ! 篷垩麴援 ( 签名 摘要 运川m u s k h e l i s h y i n 复势弱1 论，采j j 级数澎：得剑j ，单向拉甜j 状态f ，台有树】蚓 火啪0 均匀_ ) i j 艇人、板的基本斛，根删辫i f f il 、i 力和位移的连续条件，街到了单向拉 f | i 状，sl 、，龠有椭吲夹j 叫内无限人舣制料 台扳的复辨解。在该复势斛的基础卜，揪 掘裂纹嵌面的零威力条件和理想粘接界而上的位移哥= | | 应力连续条件，通过求解 ml h e tt 叫题，得到了含有夹杂和、- 无限界面裂纹的无敝人板的庶力场，并山此给出 了裂尖的成力强度因子k 。计算_ _ r 夹杂的形状、夹杂的位置、夹杂的材料选取以及上、 r 、f “r 而制料与夹杂栩判的不同纠合列裂失成力强度的影响。计算结果表明夹自￥化硝1 f 夹j ：刺料刈k 影响铰人+ 面且刘r 不刖利利 n 台时，该影响仃较大差异。另外，夹 朵离裂尖较近j ，会对k 产生明显屏敝作川，随着夹杂远离裂尖，对k 的影响也逐渐 减小，丽炙杂形1 扶列k 几乎段锅影响。 关键词：夹杂界面裂纹两相材料应力强度因子屏蔽作用 兰堕兰竺三查兰壁主鲎堡堡圭 s u b j e c t ：i n v e s t i g a t i o nt ob i n a t e r i a l s i n t e r f a c ec r a c kw i t hi n c l u s t i o n m a j o r ：e _ n g i n e e r i n g m e c h a n i c s n a m e ：一y a n gc h e n g _ ( s i g n a t u r e ) i n s t r u c t o r ：里兰q 至：墨廷i 坚旦卫i 旦g( s i g n a t u r e ) a b s t r a c t t i l ef u n d a m e n t a l s o l u t i o n sf m la n i f l f i n i t ep l a t ew i t ha n e 1 1 i d t jc a l 1 “。l “8 l o ” u n d e r“n i a x i a l t e n s i l e s t r e s sa r e g i v e n b yu s i n gt h e m ”s k h e l is h v i l i c o m p le xp o t e n t i a lsa n dp r o g r e s s i o nm e t h o d w i t ht h ea i do f t h eo b t a i n e df u n d a m e n t a ls o l u t i o n sa n dt h ec o n t i n u i t yc o n d i t i o n so fs t r e s s a n dd 1s p l a c e m c 。i to nm a t e r i a l i n t e r f a c e ，c o m p l e xp o t e n t i a lss 0 1 u t io 【1 sf r 8 ”b 1 一a a t e r i a lf n f i n i t ep a t ew i t ha n c 1 1 i p t i e a ii n c l u s i o nu n d e rp u l l i n g s t r e s sa r eg iv e d 8 yu s eo ft h es t ie ssf r e ec o n d i t i o n so nc r a c ka n dt h e 。o 力t j ”o i t yc o n d i t i o n so fs t r e s sa n dd is p a c e m e n to ni d e a lb o n d e dm a t e r i a i 1 “t 8 。t a c e ，t h es t r e s sf i e l d ( ) ra nb j m a t e r i a l i n f i n i t e 口l a t ew i t ba n e l l i p t i c a li n c l u s i o na n dad e m i n f i n i t ei n t e r f a c ee r a c ka r eg i v e no nt h eb a s e o f t h ec o m p l e xp o t e n t i a l ss o l u t i o n so b t a i n e da b o v e k n dt h ec o r r e s p o n d i n g 8 t l - e s si f ll e n s i t yf a c t o rk sg iv e n t h ei nv u e n e eo ft h eij c l u s i o nd o s j t i o l l t h es h a p ea n dm a t e r i a lo fi n c l u s i o na r e g iy e n a n dt h ed i f f e r e n t a t e r i a l c o m b l l l “t o n st ot h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o rk a r ec a l c u l a t e d t h er e s u ll s i n d i c a t et h a tt b ei n f l u e n c e so ft h ei n c l u s i o np o s i t i o na n dt h em a t e r i a l o f i n c l u s i o nt ot h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o lk a l e r e m a r k a b l e ，a n dt h e s e i n f l u e n c e sv a r yn o t a b l yw it hd i f f e r e n t m a t e r i a le o m h i n a t i o n s w h e nt h e 1 “e l u s i o nc l o s e st ot h ei n t e r f a c ec r a c kt i p ，t h es h i e l de f f e c tiso c c u r r e d 2 摘要 t h es h a p eo fi n c l u s i o nh a sn oi n f l u e n c eo i lkn e a r y k e yw o r d s ：i n c l u s i o n ，i n t e r f a c ec r a c k ，b i - m a t e r i a l ， s t r e s s i n t e n si t yf a c t o r ，s h i e l de f f e c t 西安理工大学硕士学住论文 1 绪论 1 1前言 随着现代生产的发展，新材料、新产品和新工艺的不断出现，在产品 安装、试验和运行过程中往往发生脆断事故，多数是在低于材料的屈服极 限时发生，造成的损失特别严重。在传统的强度设计思想中存在着一个严 重的问题，即把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件总是存在的诸 如夹杂、气孔、裂纹等形式不同的初始缺陷，因而实际材料的强度大大低 于理论模型的强度，大量的灾难性事故，正是由于上述出初始缺陷在一定 外部条件下迅速扩展而造成的。从本世纪2 0 年代起至5 0 年代末期，逐渐 形成了断裂力学这门新兴的强度科学。断裂力学恰恰就是为了弥补传统设 计思想这一严重不足而产生的。断裂力学研究的主要目的就是为了工程实 际提供一种符合实际的描述不稳定裂纹扩展的准则。与传统的强度理论不 同，断裂力学是从构件内部具有初始缺陷这一实际情况出发，研究构件在 外载荷下裂纹的扩展规律，从而提出裂纹的安全设计准则。所以，断裂力 学在理论和应用两个方面的发展都异常迅速，引起理论工作者和工程技术 人员的极大兴趣和关注。 早期的断裂力学研究是基于能量守恒定律和能量释放率( e n e r g y r e l e a s er a t e ) 观点所建立的。本世纪2 0 年代初，o r i f f i t h 最先采用弹性 体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出 了脆性材料裂纹扩展的能量准则，即裂纹发生的必要条件是裂纹端区释放 的能量等于形成裂纹新表面所需的能量。通过分析，建立了完全脆性材料 的断裂强度和裂纹尺寸之间的关系，从而奠定了经典断裂力学发展的基础。 在o r i f f i t h 能量平衡理论基础上，i r w i n 和o r o w a n 于1 9 4 8 年各自独 立地将g r i f f i t h 理论推广常用金属材料上。他们认为，对含有塑性性能的 绪论 金属材料，在裂纹扩展过程中，裂纹尖端不可避免地要出现塑性变形，因 此，在能量平衡理论中应当计及塑性变形能对断裂的影响。这些仍属于经 典断裂力学的范畴。他们的共同缺点是没有考虑裂纹尖端应力集中的影响， 也未分析裂纹端区的应力应变场与能量释放的关系。因而未能揭示裂纹扩 展和断裂的物理本质。近代断裂力学是i r w i n 在对裂端应力场的形式进行 分析后，引出了应力强度因子的概念，并与g r i f f i t h 能量释放观点联系之 后才逐步发展起来的。应力强度因子s i f ( s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r ) 是 断裂力学中表征裂端应力应变场强度的一个极为重要的参数，与裂纹的能 量释放率有着必然的联系，当应力强度因子达到临界值( 即材料的断裂韧 度) 时，就发生断裂。这一准则与g r i f f i t h 能量准则联系起来使得线弹性 断裂力学得到了迅速的发展。1 9 6 3 年，e r d o g a n 和s i h 提出了关于混合型 裂纹扩展问题的最大拉应力理论。1 9 7 3 年，s i h 又提出了混合型裂纹的应 变能密度理论，使得线弹性断裂力学的研究日臻成熟。 弹塑性断裂力学研究始于o r o w o n 和i r w i n 提出的塑性材料裂纹的能量 判据。1 9 6 0 年，d u g d a l e 运用m u s k h e l i s h v i l i 的方法，研究了裂纹尖端的 塑性区，即d _ m 模型；1 9 6 1 年w e l l s 提出的裂纹张开位移( c o d ) 准则，可 作为弹塑性条件下裂纹的起裂准则，但这个准则的理论基础较为薄弱：1 9 6 3 年，b i l b y ，c o t t r e l 和s w i n d e n 从位错概念出发研究裂纹尖端的塑性区( b c s 模型) 。1 9 6 8 年，r i c e 提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分( j 积分) ， 它的物理意义即为裂纹尖端的能量释放率。j 积分与其他守恒积分( 如m 积分和l 积分) 相结合，已广泛应用于求解裂纹尖端的应力强度因子【“2 。3 ”： 同年h u t c h i n s o n ，r i c e 与r o s e n g r e n 分别发表了i 型应力应变场的弹塑性 分析，即著名的h r r 奇异解，这是j 积分可作为断裂准则的理论基础。 断裂力学研究的迅速发展，对于诸如金属物理、冶金学、材料科学以 及航空、机械、建筑和地震工程等各工程技术部门都产生了重大影响。但 由于断裂力学发展的历史较短，因此在理论分析和实验基础上，很不完善， 应用实践上的经验尤感不足，有待进一步丰富和提高。 7 西安理工大学硕士学位论文 1 2 断裂力学中的微缺陷问题 脆性材料的微观断裂机理是和材料中的微观缺陷机遇密相关的，这些 缺陷通常以众多的夹杂、孔洞，微裂纹形式出现。对这些微观缺陷的研究 是断裂力学的一个重要方面，这些微观缺陷的处理方法通常被认为是无穷 大介质中的裂纹、孔洞和夹杂问题，并作用有无穷远处应力场。对无穷大 介质中单个夹杂、裂纹、孔洞问题的研究已相当充分，但实际问题中由于 微观缺陷存在的形式并非只是单个缺陷形式，往往是许多缺陷并存，这些 缺陷之间相互干涉，相互影响。因此研究它们之间的干涉显得特别重要。 研究多裂纹之间的干涉效应有很多种分析方法，其中较为常见的为叠 加原理法。c h e n “1 78 ”利用叠加原理，借助于裂纹面上某点作用有单位法向 和切向集中力的基本解，化多裂纹干涉问题为普通f r o d h o l m 积分方程组， 再利用c h e b y s h e l v 数值积分法求解积分方程组，并计算出每个裂纹尖端的 应力强度因子。k a c k a n o v “”则利用叠加原理，借助于应力平均法，同样化 多裂纹干涉问题为线性方程组，从而计算出每个裂纹尖端的应力强度因子。 除了以上的叠加原理方法外，还有r u b i n s t e i n “采用的位错模拟法， u k a d g a o n k e r 和n a ik 【”1 采用的s c h w a r z 变换法，此外还有罗论( l a u r e n t ) 级数展丌法和有限元，边界元，边界点配置等数值方法 1 4 1 。 相对微裂纹来说，微空洞的研究相对较少。界面裂纹前端的微空洞对 于界面裂纹的断裂韧性及扩展有影响，也具有屏蔽效应及反屏蔽效应 “l “。其理论研究仍局限于连续模型中采用界面主裂纹与微孔洞无干涉及 j 积分守恒假设。离散模型采用微孔洞释放的残余应力，通过主裂纹与微孔 洞的干涉评价其屏蔽机理。 对于夹杂问题，所研究的夹杂对象所在基体大多数为单相材料。 n a k i n o d e 和t r m m a t s u o “7 1 研究了含椭圆形夹杂单相材料的平面问题； c h e n “8 1 研究了平面内椭圆形夹杂与裂纹的干涉问题；l e e 和i a l “”用体积 法研究了平面内多个夹杂与裂纹的干涉问题：f a n 和q i n “”研究了均匀线 弹性基体含椭球形夹杂的三维问题。 1 3 界面断裂力学的研究现状 不同材料的粘接在工程实际中的应用日益增加，如纤维增强的复合材 料，层合板结构，涂层基体系统，陶瓷金属系统，许多机敏结构和电子装 置，人造器官和人体原生组成的结合等。而且在粘结工艺中，常常在粘结 的界面和界面附近出现许多缺陷，这些缺陷经常以裂纹、夹杂，孔洞等形 式出现，他们决定了界面及整个系统结构的强度。因此为了更好地了解界 面及整个系统结构的失效过程，大量的科学研究都用于分析界面及界面附 近的缺陷问题。 早在1 9 5 9 年，w i l l i a m s “”采用特征展开方法得到界面裂纹尖端的应 力场存在着振荡奇异性，“2 “。e n g l a n d “3 1 采用求解r i e m a n n h il b e r t 问题 的方法得到了有限界面裂纹的全场解，同时也得到了裂尖应力场的振荡奇 异性，并最早认识到近裂尖裂面有相互交叠和嵌入这一物理上不真实的现 象。他还估计出这个交叠和嵌入区的尺寸量极为1 0 1 ，另外，e n g l a n d 1 ， s i h 和r i c e “，e r d o g a n 剐，r i c e 和s i h ，m a l y s h e v 和s a l g a n i k 埘， s m e l s e r 和g u r t i n 。1 等也作了相当的早期研究并验证了裂尖应力场的振荡 奇异性。其中r i c e 和s i h ”1 利用复势理论结合特征展开法得到了界面裂纹 问题完整形式的复势解，并给出了相应的应力强度因子的表达式，发现了 界面裂纹问题张开型和滑移型断裂固有的耦合。m a l y s h e v 和s a l g a n i k 给出了能量释放率的表达式，它和两相材料参数有关。s m e l s e r 和g u r t i n 曲 则给出了积分的表达式，等于能量释放率。之后c o m n i n o u 一1 提出了著名 的闭合区理论，用位错理论进行了模拟，消除了裂尖应力场的振荡奇异性 和近裂尖裂面相互交接和嵌入这一物理上不真实的现象，使人们对界面裂 纹问题有了更多地了解。更为重要的是，r i c e 汹于1 9 8 8 年提出了小范围 接触区和小范围非线性区的假设，排除了裂尖附近极小区域内存在的应力 西安理工大学硕士学位论文 振荡奇异性和上下裂面相互交接和嵌入现象，从而使界面裂纹问题仍然可 用振荡奇异解来描述，而且此后研究两项材料界面裂纹问题的文献更是层 出不穷。b a n k s s i l l s “”和g a o ”研究了界面裂纹的权函数，s y m i n g t o n “6 1 研究了界面裂纹的特征值问题，c h e n 和h a s e b e “7 1 研究了界面裂纹特征展 开式的伪正交特性和高阶权函数( 均质材料中裂纹特征展开式的伪正交特 性) ，c h e n 和h a s e b e 嬲1 研究了c o m n i n o u 闭合界面裂纹特征展开式的某些 特性，h a y a s h i 和n e m a t n a s s e r ”，h e 和h u t c h i n s o n “1 ，i s i d a 和n o g u c h i 4 2 1 l u 和e r d o g a n “3 14 “，w a n g “”等研究了界面裂纹的分叉问题，l u 和l a r d n e r “，s u o 和h u t c h i n s o n “7 。”1 则借助于位错理论分析了界面裂纹问题，s h i h 和a s a r o “”讨论了界面裂纹的弹塑性问题和小范围屈服问题。 由于界面裂纹问题张开型和滑移型固有的偶合，即使作用单一载荷类 型也会产生复合的应力强度因子，因此在计算中需要用适当的方法把复合 的应力强度因子进行分解，在实际问题中，大都采用有限元，边界元，边 界点配置和变分原理计算界面裂纹的应力强度因子。详见h o n g 和s t e r n “”， s t e r ne ta l ”“等。此外，【。u 和c h a n g “”还采用光弹实验法确定界面裂 纹的应力强度因子。 对于界面附近的裂纹的研究，也颇为活跃。在实际问题中，如涂层基 体结构，夹层结构中裂纹常常会在界面附近萌生，其同样决定了整个系统 结构的强度和稳定性。对于界面附近的裂纹的研究详见c h e n 和l a r d n e r “， l a r d n e re t5 1 “等，他们大都采用的是位错理论，用连续分布位错来模 拟裂纹，通过求解奇异积分方程得到裂纹的应力强度因子。 对双材料界面附近夹杂问题的研究则很少。文献 2 1 】研究了界面裂 纹对下半平面中若干夹杂、孔洞和微裂纹的影响，计算了微缺陷附近的应 力强度因子。 本文主要研究的是双材料界面附近夹杂对界面主裂纹的影响问题。 o 1 4 本文的主要工作 如前所述，对含有夹杂的两相材料组合板的界面裂纹问题的研究十分 欠缺，为此，本文将完成以下工作： ( 1 ) 论证含有夹杂的无限大平板结构中夹杂内( 包括边界上) 各点的应力性 质相同且应力大小相等，并据此对夹杂边界上的应力分布作出假设，然 后利用级数法和m u s k h e l i s h v i l i “1 复势理论求解出夹杂边界上的实际 受力状况，从而得出了含有夹杂的单相材料无限大平板问题的复势解。 ( 2 ) 根据双材料界面上应力和位移的连续条件，利用已有的含夹杂无限大平 板问题复势解，得出了含有夹杂的无限大双材料组合板问题的复势解。 ( 3 ) 运用m u s k h e l i s h v i l i 复势理论，在含夹杂的无限太双材料组合板问题 复势解的基础上，利用裂纹面上的零应力条件和理想粘接界面上的应力 和位移连续条件，界面边界条件，并借助对h i l b e r t 问题的求解，得出 了含有夹杂和半无限界面裂纹的两相材料无限大平板问题的复势解，并 通过该复势解得到了相应的半无限界面裂纹裂尖处应力强度因子k ( 4 ) 通过数值计算的方法将本文得到的理论结果和已有研究成果进行了对 比验证，并对影响裂尖处应力强度因子的各种因素进行了分析。计算了 夹杂的计算了夹杂的形状、夹杂的位置、夹杂的材料选取以及上、下半 平面材料与夹杂材料的不同组合对裂尖应力强度的影响。对计算结果进 行了分析。 西安理工大学硕士学位论文 2 含夹杂的无限大平板 2 1 概述 本次课题的研究对象( 如图2 - i ) 为一块无限大双材料组合板，在材 q 川 u lv ： u 己v ： l fo 图2 - i 含夹杂及界面半无限裂纹的两相材料结构 料界面处含有一条半无限裂纹，在下半平面材料中存在一个倾斜的椭圆形 夹杂。结构在无穷远处受垂直界面方向的均匀拉力作用。下标“l ”和“2 ” 分别代表材料“l ”和材料“2 ”，“、_ 和：、v 2 分别代表上下平面两种 材料的剪切模量和泊松比。本文计算中所用到的实际材料的参数如表2 - l 所示。 表21 不同材料的弹性常数 含夹杂的无限大平板 课题研究的目标是寻求上述结构所对应的应力场，以及应力因子强度 的表述形式。 根据m u s k h e l i s h v i l i “1 的复势理论，对于无限大双材料板有如下复势 解： 2 ( + 押) = z 妒，( z ) 一z 西( z ) 一瓦( z ) 叮f + 盯掣= 珥巾( z ) + 面，( z ) 】 盯+ i r j x y2 巾肜) + 巾肜) + 弛小) + 一( z ) ( 2 1 ) 可见，对应力场和位移场的寻求即是对复势庐，( 和f 矽的寻求。而这 里所求的复势可认为由两部分复势组成，见( 2 2 ) 式。其中，函，和町伍) 相应于无界面裂纹的双材料无限大平面含有相同夹杂，受相同载荷时所产 生的复势；q 例和町是使西，丘和向) 满足界面含有界面裂纹时 的连续条件的附加复势。而0 f 纠和哆f 矽又可认为各由两部分复势组成， 见式( 2 3 ) 。 中，( z ) = 中：( z ) + m ：( z ) h ( z ) = 甲? ( z ) + q ( z ) ( 2 2 ) 【中；( z ) = 中：( z ) + m ；。( z ) 怫( z ) = 掣二( z ) + 咚( z ( 2 3 ) 其中中0 例和咚倒相应于均匀介质无限平面( 不存在材料界面) 含有 同样夹杂及受相同载荷时所产生的复势：庐和弘0 6 是使中0 和 哆纠满足界面( 不存在界面裂纹) 上应力和位移连续条件的附加复势。 根据上述思路，可将本课题的研究任务分为三个部分： ( 1 ) 求解均匀介质无限平面( 不存在材料界面) 的复势中0 例和 妒p ( z ) t 西安理工大学硕士学位论文 + + ；广 原问题 = 子问题一 + 子问题二 + 子问题三 图2 2 叠加原理 该问题又可利用叠加原理化为对三个子问题复势的求解( 如图2 2 ) ： 1 ) 子问题一：含倾斜椭圆孔( 孔壁为自由边界) 的无限大平面单向 拉伸问题： 2 ) 子问题二：含倾斜椭圆孔且孔壁受分布力作用的无限大平面( 无 拉伸) 问题； 3 ) 子问题三：与椭圆夹杂几何尺寸相同且边界受分布力的均质椭圆 板问题。 ( 2 ) 利用界面处应力和位移的连续条件，裂纹面上的零应力条件以及 界面裂纹处位移单值条件等边界条件，将原问题化为h i l b e r t 问题， 通过求解奇异积分方程来获得复势c b ，亿，和哆叫。 ( 3 ) 由复势中，f 和哆求得原问题应力场，并在此基础上求解能够 描述界面裂纹对开裂抵抗能力的物理参量，即应力强度因子。 最后将对所述理论进行数值验证，并通过数值计算对一些相关问题进 行讨论。 根据上述思路，本章将给出含夹杂均匀无限大平板的复势解。 。， l 舍夹杂的无限大平板 2 2 含椭圆夹杂的无限大板问题 2 2 1 基本模型的有限元分析 建立几何模型 j 上 对几何模型施加载荷 与位移约束 j 上 确定模型中所 用材料的属性 上 对模型进行单元划分 上 对划分单元后的模型 进行分析计算 图2 3 有限元分析软件砌印s 主要分析步骤 本文的有限元分析是借助大型有限元分析软件a n s y s 完成的，用a n s y s 分析构件的主要步骤如图2 3 所示。 本文在建立几何模型时，以含有相对尺寸很小的夹杂的有限尺寸平板 来模拟含有夹杂的无限大平板。有限尺寸平板在上、下边界处受到y 方向 均布拉力q = 1 0 0 0 ，选取平板材料为4 5 钢，夹杂材料为铝，材料属性将由 a n s y s 自带的材料库自动输入。 为使计算结果更加精确，在程序对模型自动划分单元时，需要对夹杂 内部及其附近区域的单元进行多次细划。单元划分情况如图2 - 4 所示。 通过a n s y s 的后处理程序，我们可以查看分析结果。模型中夹杂内部 及其附近区域的应力状况如图2 5 和图2 - 6 所示，图中夹杂内部( 包括其 西簧理工戈学硕士学位沧丈 边界处) 鳓包基本均匀，这表刚j 灾杂内部以及夹杂与丛体的交接处丝本处 _ 均匀应力状态。这与j de s h e l b y ”( 1 j 结论是一致的。 阁2 - 4 单几划分结果 25 模，诅刁：z 方向的应山状况 舍夹杂的无限炙平板 图26 模型在r 方向的应力状况 2 2 2 基本模型的相关假设 对于如图2 7 所示含自任意位置的椭圆形夹杂的无限大平板 图2 7 含央杂无限大、r 板 j d l s h e lb y ”“1 认为该模型中央热内部( 包括其边界) 戍力场为一均匀 西安理工大学硕士学位论文 场，所谓均匀就是指夹杂内( 包括边界上) 各点的应力性质相同且应力大 小相等。上节的有限元计算同样表明，夹杂与基体的交接处基本处于均匀 应力状态。 对上述结构进行保角变换，变换后坐标参量f 和变换前坐标参量z 的 关系为： z = 月( 孝+ 詈 c 2 一。， 变换后结构如图2 8 所示。根据前面的分析可知，此时的圆形夹杂内部应 力场仍为一均匀场，因此可针对圆板假设其边界应力分布如图2 9 所示 ( o ，o 。 0 ) ，即圆板边界上各点受到x 方向和y 方向的均匀拉应力，拉 应力大小待定。 图28 保角变换 ， 一，。一 含夹杂的无限大平板 0 o e a 巴一一 乡 三三_ ， 长号 ? ；07 ；三1 。l j 、_ - - = i7 。7 | t 0 1 i o 图2 9 圆板外边界受力状况 为方便后续计算，在圆形夹杂边界上取极坐标系，方向为边界的外法 线方向，0 7 5 - 向为边界上逆时针方向( 如图2 - 9 ) 。从而可求取夹杂边界上各 点在，和萌向上所受的应力为： 0 【o ，州2 】 口h 2 ，万】， 日e 【万，3 ，r 2 】 0 【3 = 2 ，2 口】 i 口，= 仃，s i n+ 盯。c o s p 【2 盯yc o s o o r s i n o i 盯，2 圹，s i n o 一盯，c o s o 【= qc o s o + c r r s i n o i 盯，= 一盯，s i n o 一盯jc o s o i r 2 一qc o s o + t r ，s i n o i q = 一qs i n r + t r 。c o s o 【l r 92 一盯y c o s o 一盯j s i n o ( 2 5 a ) ( 2 - 5 b ) ( 2 - 5 c ) ( 2 5 d ) 显然在无限大板上与夹杂相配合的孔的边界上，其受力与夹杂边界 上受力情况呈等值反向关系。 1 9 西安理工大学硕士学位论文 2 2 3 夹杂受力的待定解 此时对椭圆形夹杂边界受力的求解化为对上述圆板问题的求解。根据 m u s k h e l i s h v i l i 的复势理论可知，结构中的应力场可通过结构所对应的复 势来确定，因此本文采用级数法来对上述圆板问题进行求解，针对此类问 题可取复势为“”： p7 ( 毒) = 4 ，善” 妒( f ) = e 。f ” ( 2 6 ) 其中善= r e ”为复变量，4 ，吃，为待定系数，脚标“f ”表示夹杂对应的参 量。而边界载荷可写为： 其中付利叶级数c 。可写为 = 加) = c 。e ”8、 ( 2 7 ) e f t = 击f ”他d 口 将上式中的积分化为各象限积分之和，可得： c = e 。 ( 七等同j i 图2 - 3 巾的象限数) 其中： ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 牛去妙”d 口 利用式( 2 5 c ) ，式( 2 7 ) 和式( 2 一l o ) 对c ，进行化简整理可得 ( 1 ) 在第一象限( 日 0 ，2 ) ： 取n ：4 m 时，c 。 取n = 4 m + l 时， 叮：) 书训 + 以 防 h 上 一1 = j | 含夹杂的无限大平板 取n 2 4 m + 2 时， e = i l _ p j , - i t - i ( o 。，+ c r j ) 】 取n = 4 m + 3 时， c 。i = 0 ( 2 1 1 ) l z ，征弟一冢限f l 2 ，”jj ： 取n 2 4 m 时t e z = n + l l b y + g - i ( c r ，一吒) 】 取n 2 4 m + 1 时， e ：= i 1 万 - 2 t r y - 2 i t r 取n 2 4 m + 2 时，c o z = n + l l b y - o r + i ( o - yq - o x ) 取n = 4 m + 3 时， q 2 = 0 ( 2 - 1 2 ) ( 3 ) 存第2 象阳f 口r 3n 2 1 1 取n 2 4 时， e ，= n + l _ l b ，+ q + f p ，一吒) 】 ，- - t l = 4 m + 1 时， c n 3 - 嘉【_ 2 - 2 i t r 取n 2 4 m + 2 时e ，= 上n + l b y - - o r + i ( o ，+ a ，) 】 取n = 4 m + 3 时， c = 0 ( 4 ) 在第四象限( 口 3 2 ，2 ) ： l 玟i i = 4 m 时， c ，六b ，也一f ( c r y - - o ) 】 取n 2 4 m + 1 时- g = 吾【_ 卜2 盯，+ 2 f q 】 取n 2 4 m + 2 时， c = j n + 一l b ，一巳+ f p ，+ q ) 】 取n = 4 m + 3 时， e 4 = 0 上述式子中m 为非负整数。 将式( 2 一1 1 ) 一( 2 1 4 ) 代入( 2 - 9 ) 可得： 取n 。4 m 时， e = i j b ，+ q ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 2 1 西安理工大学硕士学位论文 取n = 4 m + l 时， c 。= 鬲4 f 口， 取n = 4 m + 2 时， g = 击 2 p ，一叽) + f b ，+ 吒l + 1 。 c 。= 0 ( 2 1 5 ) 对于在式中( 2 6 ) 的复变量孝，满足条件1 ，同时考虑式( 2 1 5 ) ， 可以认为( 2 6 ) 式中前四项起主导作用，因此，为便于计算，可对式( 2 6 ) 中的无穷级数取n = o ，1 ，2 ，3 ，则剥夹杂而言： c 0 ，= 4 ( q + 吒) c j ，= 一2 i o - 。 c 2 。= 吾 2 ( c r y 一吒) + r ( q + q ) c 3 ，= 0 ( 2 1 6 ) 脚标“i ”表示夹杂对应的参量。 待定系数： a ，= 妻c 4 ，= e ，( n 2 1 ，2 ，3 ，) l2 1 7j 峨，= 一 ( 川) + i ( 栅，1 2 3 ，) 在式( 2 - 1 7 ) 中取n = o ，l ，2 ，3 ，并将式( 2 1 5 ) 代入( 2 1 7 ) 整理可得： 含夹杂的无限大平板 4 = 2 ( o - x + a y ) 4 | ，= q 2 0 = 1 ，2 ，3 ) 玩，= a 2 ( 吒一q ) + j ( q + q ) 马=0(2-18) b 。，3 1 5 2 、( o ，+ q ) 马。：i 1 7z 吒 毛疑坐标r 位移与夏势的夭糸刚与为： ( “r - - i v o ) 叶等荆一半l 硐+ 嘲( 2 - 1 9 ) 将( 2 - 6 ) 代入上式可得： u r + i v a ) i ：e - t o 等薹熹一等匡 万+ 薹击巩可 ) ( 2 2 0 ) 在上式中取n = o 1 ，2 ，3 ，可得： ( 坼+ 她) = e 一b ( 2 2 1 ) 其中： 6 等p 知+ 知+ 矧 一! 半 尹+ 4 尹+ 4 。手+ a 3 尹+ 岛，手+ 骂尹+ 岛。f + 玛，f 止，l- i i 2 2 4 夹杂所在平板受力的待定解 对于带有圆孔的无限大板可类似于上述圆板问题用级数法求解，这里 取复势为： 西安理工大学硕士学位论文 ( f ) 妒( f ) 爿。尸 “2 。 。 e 。尸 n ：0 ( 2 - 2 2 ) 其中舌= w 8 为复变量，4 。、瓦为待定系数，脚标“6 ”表示基体对应的参 量。 由于无限板上孔内边界载荷与上述圆板边界载荷有等值反向关系，则 由式( 2 - 8 ) 可得： c m = 一g ， ( 2 - 2 3 ) 若取n = o ，1 ，2 ，3 ，可得： c 矗= 一4 ( a 声+ 吒。) c 1 = 2 i o - 6 c j 。= 一詈 zo ) b - - o x b ) + ，( q 。十o - x 。) c 3 = 0 ( 2 - 2 4 ) 在该无限火板上无限远处( 当r 一一时) 如图2 8 所示，有载荷q 作用， 从而可得到平板上无限远处各点的应力状态为： 盯= qc o s 口 口。2q s f f l 口 f 。= 0 ( 2 2 5 ) 根据m u s k h e l is h v i l i “6 1 的复势理论，对于无限大板有如下复势解： o-，x+一。仃-y。+=4r，。eo-2 i ! 芝乙，。：，+ 少，。：， c z z 。， i ，一q + r 。= 2 团”【z ) + 少7 ( z ) j 2 4 含夹杂的无限太平极 在( 2 2 2 ) 中，当f 斗a 埘有： 妒g ) = 彳。 g ) = 岛 和。= 0 综合式( 2 - 2 5 ) ，( 2 - 2 6 ) 和( 2 - 2 7 ) ，得到： 4 。= i 19 ( c o s 口+ s i n 口) 壤，= 委g ( s i l lc z - - c o s 。2 ) 又知： 玩_ 3 - 正v , c 如一l + 4 v 1 。 马s = 2 4 。一c 0 。 如= 瓦+ 瓦 n 3 时， 如= i ， ：( 卜i ) 4 一p c ( ：p ， 将( 2 2 4 ) 代入上述式子，可得： 玩= 一_ 3 - - v ij 铲一半r = 墨( c o s 口+ s i n 瑾) + 4 ( o - 。+ ) 如= 兰( s i n o t - - c 0 $ 0 r ) 一詈 2 ( 一) 一r ( + ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 西安理工大学硕士学位论文 a 3 6 = 0 马。= 一( 1 + ) f t 6 ( 23 1 ) 同样引入极坐标下位移与复势的关系式，并取n = o ，l ，2 ，3 ，可得 ( 蚱+ i v o ) 。= e “8 a ( 2 3 2 ) 其中： n = 牌( 锚饥吣一薹3 磊1a - + 1 刮 半卜喜石 f 瓦手+ 瓦l 。手 2 2 5 夹杂外边界上实际受力的求解 * 心。 在如图2 8 所示的含有夹杂的无限大平板上点0 处建立极坐标系。根 据位移连续条件，在夹杂与基体的连接处( 即r = l 处) ，应满足： 0 ，+ i v o ) ，= ( “，+ i v 8 ) ： ( 2 3 3 ) 将( 2 2 1 ) ( 2 3 2 ) 代入上式可得： d = b 对上式两端取对数，并利用关系： f = r e 7 8 经过运算整理可得 其中 l n f = i o( 2 3 4 ) c 旷r = 酬h ( a - b c 。) ) 。s ) 含夹杂的无限大平板 h = 一詈b s 口( 3 + 2 h ) 一s i i i 口( 1 砌- ) 】 a = ( 1 8 7 e t + 2 7 e , v 2 3 0 e 2 3 0 e 2 v i ) ，1 5 局e 2 b = ( 2 5 7 e , + 3 7 e y 2 1 5 0 e 2 1 5 0 e 2 v , ) 1 5 e i e 2 c = ( 5 8 e 1 + 4 2 e l v 2 + 2 1 e , + 3 0 e 2 嵋+ 9 e 2 v ) 1 6 e i e 2 p 2 这样就确定了图2 9 中待定的夹杂边界上的应力。 将式( 2 3 5 ) 代入式( 2 1 8 ) ，可以确定式( 2 - - 6 ) 中的系数4 和e 。 ( n = 0 ，l ，2 ，3 ) ： 4 = 2 ( h ，( 口一b c ) + h c l ( a 一6 c ) ) 4 ，= - 2 i h ( a b c ) 4 ，= 氯2 ( c ( 口一6 c ) 一日，o 一6 c ) ) + f ( 月i ，( 口一6 c ) + n ( 口一6 c ) ) a 3 。= 0 & ，= ； 2 ( 日，( 口一6 c ) 一h c l ( 口一k ) ) + r ( 日，( 口一6 c ) + h c ( 口一幻) ) 日，= 0 耻一詈( 日小_ 6 c ) + h c ( - 6 c ) ) 马，：等i h ( 口一6 c ) 。 2 2 6 无限平板上圆孔外边界实际受力的求解 ( 2 - 3 6 ) 显然无限平板上圆孔边界上的受力状况与上节中圆板外边界受力呈等 值反向关系。则由式( z 一3 5 ) 可得无限平板上圆孔外边界受力状态为： 西安理工大学硕士学位论文 frh = ：酬t t ( b 肛c - a 。) ) ( z 埘) 将式( 2 3 7 ) 代入式( 2 3 1 ) ，可以确定式( 2 2 2 ) 的系数如和鼠。 ( n = 0 ，1 ，2 ，3 ) ： a o b = ac o s a + s i n 口) 4 。：一半i h ( b c a ) 爿：。= 兰( s i n 口一c 。s 口) 一导 2 h ( c 一1 ) ( 6 c 一口) 一r ( h c l ( b c 一“) + h ( b c a ) ) a = 0 玩。= 去q ( s i n 口一c o s a ) b i 6 = 一3 - ，v j l i h ( b c - a ) b 3 = 一( 1 + v 1 ) ，( 6 c 一“) ( 2 - 3 8 ) 2 。2 7 保角映射逆变换 上述计算结果所对应的结构是含有圆形夹杂的无限大平板，如图2 2 所示。若要将这些结果用于图2 一l 所示的含有椭圆夹杂的无限大平板结构， 则需要进行保角逆变换。 已知f 为图28 所示结构中的复变量，z 为图2 一l 所示结构中的复变 量，则由( 2 4 ) 式可得： f ：0 扫= 而) 脚( 2 - 3 9 ) 其巾： r ：旦生 含夹杂的无限大平板 。：尘生 口+ b 考虑到当h _ o o 时，应该有蚓斗m - 因此( 2 3 9 ) 式可确定为： 善：z + z 2 - _ 2 ( 一a + b ) ( 2 - 4 0 ) 式( 2 - 4 0 ) 即为保角映射逆变换中变换参量的关系式。 将( 2 - - 4 0 ) 代入式( 2 - - 6 ) ，并取n = o ，1 ，2 ，3 ，可以得到无限平板所含 夹杂的复势解： 胖窆如f譬)(2-41a)n=o u 0u oi t l 僻引娅, ，o + b o t j c z 其中如和由式( 2 - - 3 8 ) 给出。 将( 2 - - 4 0 ) 代入式( 2 - - 2 2 ) ，并取n = o ，1 ，2 ，3 ，可以得到含有椭圆夹 杂的无限平板的复势解： 北嘻 譬厂 沪t z a ， 嘶) = 壹n = o f 尘等 1 - 盟l c z io 峋j 其中4 和且。由式( 2 - - 3 8 ) 确定。 西安理工大学硕士学位论文 3 含夹杂的两相材料无限大平板 第二章中求得了含夹杂的单项材料无限大平板的复势解。本章，将在 上一章的计算结果的基础上，求得下半平面含夹杂的两相材料无限大平板 ( 材料界面理想粘结) 的复势解。 在第二章的计算过程中所用的直角坐标系以椭圆夹杂的形心为坐标原 点，如图3 1 中的坐标系o x y ，它等价于图2 7 中的坐标系o x y 。但为了 便于后续计算，需要把坐标系移至图3 - 1 中的o x y