（基础数学专业论文）多复变数双全纯映照子族的性质及其之间的关系.pdf

摘要 本文较系统地研究了多复变数双全纯映照子族的性质及其之间的关 系。全文共分四章。 在本文的第一章，我们简要地介绍了本文常用的一些定义和记号，以 及本文的主要结果。 在第二章，我们在复b a n a c h 空间中的单位球上和铲中的有界星形 圆型域上分别引入映照类衍。和m 。并考虑了零点的阶数( 即z = 0 是映 照，( 。) 一z 的k + 1 阶零点) ，从而得到映照，( z ) 的增长、掩盖定理和齐次展 开式的估计。作为推论，我们统一了以前关于星形映照及其子族、卢型 螺形映照及其子族的所有相关结果。特别地，从推论的证明中，我们可 以更加清楚地看出星形映照子族之间、口型螺形映照子族之间的内在联 系，而且也进一步地说明了最近在文 f e n 9 1 中引入卢型螺形映照子族的 合理性。 在第三章，我们从l o e w n e r 链的角度给出了一类双全纯映照子族的解析 特征。同时，我们在两类重要的有界凸圆型域上研究推广的r o p e r s t 曲i d g e 算子，证明了两种推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子能嵌入l o e w n e r 链这一重要性 质。作为推论，我们还证明这两种算子在对应的区域上都保持星形性、卢 型螺形性和a 次殆星形性，从而为我们在两类重要的有界凸圆型域上构 造星形映照、口型螺形映照和a 次殆星形映照提供了有效的途径。 在本文的最后一章，我们在复b m l a c h 空间中的单位球上引入准凸映 照的子族一n 次准凸映照，建立了增长、掩盖定理，得到了它的齐次展 开式第二项的估计，并在某些具体的复b a n a c h 空间的单位球上讨论了它 与凸映照的关系。作为推论，我们也给出准凸映照的增长、掩盖定理以 及齐次展开式第二项的估计。 本文主要工作的意义在于对已有结果的推广和改进。特别地，我们揭 示了某些双全纯映照子族的本质联系，将许多已有结论在形式上进行了 统一，使得一切都显得自然、明了。由此，我们对双全纯映照一些子族的 性质及其之间的关系便有了一个全新的认识 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e sa n dr e l a t i o n so fs u b c l a s s e so fb i h o l o m o r p h i c m a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e ss y s t e m a t i c a l l y i tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n s ，n o t a t i o n s ，a n dt h em a i nr e s u l t s o ft h i st h e s i sb r i e f l y i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et w oc l a s s e so fh o l o m o r p h i cm a p p i n g sm 9a n dm 目o n t h eu n i tb a l li nac o m p l e xb a n a c hs p a c ea n db o u n d e ds t a r l i k ec i r c u l m d o m a i ni nc ”， r e s p e c t i v e l y , a n dc o n s i d e rt h eo r d e ro fz e r or i , e t h eo r i g i n0i saz e r oo fo r d e rk + 1o fa m a p p i n g ，( z ) 一z ) t h eg r o w t h ，c o v e r i n gt h e o r e m sa n dt h ee s t i m a t i o n so fh o m o g e n e o u s e x p a n s i o nf o rt h em a p p i n g ，( z ) a r eo b t a i n e d a sc o r o l l a r i e s ，w eu n i f ya l lt h er e l a t e dr e s u l t s a b o u tt h ec l a s so fs t a r l i k em a p p i n g sa n di t ss u b c l a s s e s ，t h ec l a s so fs p i r a l l i k em a p p i n g s o ft y p e 卢a n di t ss u b c l a s s e s e s p e c i a l l y , f r o mt h ep r o o f so fc o r o l l a r i e s ) w ec a nn o to n l y s e et h ee s s e n t i a lr e l a t i o n so ft h e s em a p p i n g sm o r ec l e a r l yb u ta l s or a t i o n a l i z a t i o no ft h e s u b c l a s s e so fs p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 卢w h i c ha r ei n t r o d u c e di n 【f e n 9 1 i nc h a p t e r3 ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fas u b c l a s so fb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si n t e r m so fl o e w n e rc h a i n sm e a n w h i l e w ea l s oi n v e s t i g a t et h eg e n e r a l i z e dr o p e r s u f f r i d g e e x t e n s i o no p e r a t o r so nt w oi m p o r t a n tc l a s s e so fr e i n h a r d td o m a i n si nc “ a n dp r o v et h e p r o p e r t yt h a tt h e yc a nb ee m b e d d e di nl o e w n e rc h a i n s a sc o r o l l a r i e s ，w ea l s oo b t a i n t h er e s u l t st h a tt h e yp r e s e r v et h ep r o p e r t i e so fs t a r l i k e n e s s ，s p i r a l l i k e n e s so ft y p e 卢a n d a l m o s ts t a r l i k e n e s so fo r d e ras o w eo b t a i ne f f e c t i v em e t h o d st oc o n s t r u c tt h es t a r l i k e m a p p i n g s ，t h es p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 卢a n da l m o s ts t a r l i k em a p p i n g so fo r d e ra o n t w oi m p o r t a n tc l a s s e so fr e i n h a r d td o m a i n si nc “ i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yas u b c l a s so fq u a s i c o n v e xm a p p i n g s - - q u a s i - c o n v e x m a p p i n g so fo r d e rd o nt h eu n i tb a l l o fac o m p l e xb a n a c hs p a c et h er e l a t i o n sb e t w e e nq u a s i c o n v e xm a p p i n g so fo r d e roa n dc o n v e xm a p p i n g sa r eg i v e nt h eg r o w t ha n d c o v e r i n gt h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e dm o r e o v e r ，w eg e tt h es e c o n do r d e rt e r m sc o e f f i c i e n t e s t i m a t i o n so ft h eh o m o g e n e o u se x p a n s i o no fq u a s i - c o n v e xm a p p i n go fo r d e r 。d e f i n e do n t h ep o l y d i s ci nc “a n do nt h eu n i tb a l li nac o m p l e xb a n a c hs p a c e ，r e s p e c t i v e l y a sc o r o l l a r i e s w ea l s oo b t a i nt h eg r o w t ha n dc o v e r i n gt h e o r e m s ，t i l es e c o n do r d e rt e r m sc o e f f i c i e n t e s t i m a t i o n so ft h eh o m o g e n e o u se x p a n s i o no fq u a s i - c o n v e xm a p p i n g 2 0 0 6 年中国科学技术大学博士论文 t h es i g n i f i c a n c eo ft h em a i nw o r ko ft h i st h e s i sl i e si ne x t e n d i n go ri m p r o v i n gs o m e k n o w nr e s u l t si np a r t i c u l a r ，w er e v e a lt h ee s s e n t i a lr e l a t i o n so ft h es u b c l a s s e so fb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g sa n du n i f ya l lt h er e l a t e dr e s u l t s s ow em a k et h e mn a t u r a l n e s sa n d p e r s p i c u i t y t h e r e f o r e lw eh a v ead e e pr e a l i z a t i o na b o u tt h ep r o p e r t i e sa n dt h er e l a t i o n s o ft h es u b c l a s s e so fb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s 引言 单复变数的几何函数论有着悠久的历史，有着极其优美的结果和丰 富的内容。在二十世纪，尤其是上半叶，许多著名的数学家都为此作了重 要的贡献。目前已有大量著作叙述这方面的工作，例如 d u r l g o l l l 【p o r e l 等。 多复变数理论源于单复变，如何将单复变数几何函数论中许多优美 的结果推广到多复变数空间，这是一个十分自然的课题。但单复变和多 复变理论有着许多本质的差别，比如r i o m a n n 映照定理在多复变就不再 成立；再如多复变中有h a r t o g s 现象，而这在单复变中并不会发生；还有 很多其它形式的本质区别。故在推广的过程中，困难重重。例如，1 9 3 3 年，数学家h c a f t a n 在文f c a r l l 中指出：即使像“在单位圆上全纯单叶函 数的展开式的系数的模是有界的”这样的基本结果，在多复变数中也是 不成立的。他还指出，相应的增长定理及掩盖定理等，若只要求映照是双 全纯，这在多复变数中也是不成立的。但他指望多复变数的双全纯映照 的偏差定理有可能成立。其实很早以前就有人知道，这也是不可能的。 因此，要指望在多复变数空间中得到一些正面的结果，必须对映照加上 一些限制。于是，在这篇文章中，hc a f t a n 建议应考虑双全纯映照的子 族，如凸映照和星形映照等。 hc a r t a n 之后，不少数学工作者致力于这个领域的研究，但是总得来 说进展不大。 直到1 9 8 8 年，随着龚升教授和c h f i t z g e r a l d 教授等一批国内外数学 家的工作问世以来，多复变数的几何函数论才有了长足的发展。之后， 国内外的不少学者，如tjs u f f r i d g e 、王世坤、余其煌、郑学安、刘太顺、 i g r a h a m 、h h a m a d a 和g k o h r 等，作了很多有影响的工作，详细的内容可 参见由龚升教授撰写的专著【g o n 9 1 】【g o n 9 2 】 g o n 9 3 g o n 9 4 c o n g y u z h e n g l 】 等。现在这些专著已成为该领域的基本文献。 在单复变中，r i e m a n n 定理断言，凡边界点多于一个的单连通域必与 单位圆盘全纯等价，因此单位圆盘在单复变中是具有代表性的域，但在 引言 多复变中此定理不再成立，故在多复变中所要研究的定义域是极其丰富 的，如c n 中的欧氏单位球、单位多圆柱、有界星形圆型域以及复h i l b e r t 空间或复b a n a c h 空间的单位球等。 如前所述的原因，在多复变几何函数论中，星形映照和螺形映照是我 们的主要研究对象之一。由单复变数的星形函数子族得到启发，自上个 世纪九十年代起，中外数学工作者在多复变几何函数论中也相应地引入 星形映照的子族，如“次星形映照、n 次殆星形映照、n 次强星映照以 及强星映照。最近，在刘太顺教授的指导下，在p 型螺形映照的基础上， 结合星形映照子族的几何性质，冯淑霞在文 f e n g l j 中引入p 型螺形映照 的子族，如。次的殆p 型螺形映照、n 次的卢型螺形映照和。次的强卢 型螺形映照。 研究双全纯映照子类的增长、掩盖定理及齐次展开式的估计是多复 变几何函数论主要内容之一。在上述不同空间特定的区域上，中外许多数 学工作者分别得到了星形映照及其子族的增长、掩盖定理；冯淑霞f e n g l l 则得到了上述的卢型螺形映照子族的增长、掩盖定理；而刘小松i a u l 】考 虑了零点的阶数( 即x = 0 是映照，( z ) 一z 的k + 1 阶零点) ，在不同空间特 定的区域上，得到了p 型螺形映照、n 次殆星形映照和。次星形映照的 增长、掩盖定理。同时，在考虑零点的阶数的情况下，刘小松i l i a l 】也研 究了序型螺形映照予族的齐次展开式的估计。 综上所述，我们实际上已经解决了星形映照及其子族、卢型螺形映 照及其子族的增长、掩盖定理和它们齐次展开式的估计( 本质上是第二 项) 。但给我们的总体印象是零散的，不系统。而且他们使用的方法也不 尽相同，有的利用映照类的解析和几何性质，有的利用l o e w n e r 链理论。 有鉴于此，我们的想法是能否抽象出其中最本质的东西，从而用一种统 一的方法来处理这些问题? 这无疑是个很有意义的提法。本文第二章的 工作主要就是围绕着这个想法展开研究的。在该章，我们在复b a n a c h 空 间中的单位球上和c n 中的有界星形圆型域上分别引入映照族m 。和朋。 并考虑了零点的阶数( 即z = 0 是映照，( z ) 一z 的k + 1 阶零点) ，从而得到 映照f ( x ) 的增长、掩盖定理和齐次展开式( 从第k + 1 项到第2 项) 的估 计。作为推论，我们统一了前述的所有结果。特别地，从推论的证明中， 中国科学技术大学博士论文 我们可以更加清楚地看出星形映照子族之间，卢型螺形映照子族之间的 内在联系，而且也进一步说明了在文 f e n 9 1 中引入p 型螺形映照子族的 合理性。以上关于有界星形圆型域上结果即将发表在c h i nq u a r tjo f m a t h 杂志上。 最近，在任意有限维复b a n a c h 空间单位球上， l h a m a d a 等人在文 【i m h o n k o h l 中引入映照族m 。并得到映照i ( x ) 的增长、掩盖定理和 齐次展开式的估计。在此需要特别指出的是：第一，由于本文引入的映 照族丽。比文 h a m - h o n k o h l 中引入映照族m 。更为一般，故所得结果 尽管在形式上相同，但内涵不同，前者的内涵更加丰富，后者只是前者 的特例( 卢= 0 时的情形) ；第二，前者充分利用映照族的几何性质和从属 原理在无限维复b a n a c h 空间单位球上得到结果，而后者利用l o e w n e r 链 理论只能在有限维复b a n a c h 空间单位球上得到结果；第三，关于齐次展 开式的系数估计，前者得到从第十1 项到第2 k 项的估计，而后者只得 到第+ 1 项的估计。 l o e w n c r 链与l o e w n e r 微分方程是上个世纪二十年代初由k l o c w n e r l o e l 】首先建立并为pp k u f a r e v k u f l 所发展的一种研究单叶函数的理 论。这一理论广泛地运用于研究单叶函数中的许多重要内容，如系数估 计、函数的单叶性判别等，并且得到许多有意义的结果。特别地，在解决著 名的b i e b e r b a c h 猜测中，l o e w n e r 链与l o e w n e r 微分方程也发挥了十分重 要的作用，从而使人们对这个理论更加刮目相看。一个很自然的想法是能 否将这一理论推广到高维? 最先考虑这件事情的数学家是j a p f a l t z g r a f f f p f m l 。1 9 7 4 年，他把单复变的l o e w n e r 理论推广到妒中的欧氏单位球并 给出了许多应用，其中包括双全纯性的判别；从l o c w n e r 链的角度给出双 全纯映照子族如星形映照族、卢型螺形映照族、近于星映照族的解析特征 等。我们知道在单复变中任一双全纯函数都可嵌入l o e w n e r 链，但在多复 变数中，这一结论不再成立。因此，在多复变中构造能嵌入l o e w n e r 链的 映照类引起了人们很大的兴趣。另一方面，为了能通过单复变中单位圆盘 上的正规化双全纯凸函数、正规化双全纯星形函数构造出多复变数中特 定区域上相应的映照，1 9 9 5 年，k a r o p e r 和t js u f f r i d g ef r o p s u f l l 引人 所谓的r o p e r s u f f r i d g e 算子，它可以从复平面c 中单位圆盘d 上的一个正 引言 规化局部双全纯函数，构造出c n 中欧氏单位球上的一个正规化局部双全 纯映照，而且它还保持星形性、凸性和b l o c h 性质。随后，龚升、刘太顺等 将该算子进行了推广。有意思的是，人们最近发现推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子与l o e w n e r 链理论也有密切的联系。i , g r a h a m 、h h a m a d a 、gk o h r 等人( 分别见文献【g r a - k o h - k o h l 】、 g r a - k o h 2 】、【g r a - h a m - k o r s u f l ) 证明 了几种推广的r o p e r ，s u f f r i d g e 算子在c “中的欧氏单位球上能嵌入l o e w n e r 链这一重要性质。作为推论，他们还证明了这些算子在c ”中的欧氏单位 球上都保持星形性和p 型螺形性。本文的第三章，我们首先从l o e w n e r 链 的角度，分别在单位圆盘d 上和任意有限维复b a n a c h 空间中的单位球b 上给出a 次殆星形函数和a 次殆星形映照的解析特征。进而，我们在前 述工作的基础上对两种更广泛的推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子进行了研究， 证明了这两种算子分别在两类重要的有界凸圆型域上能嵌入l o e w n e r 链 这一重要性质。作为推论，我们还很容易地证明了这两种推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子分别在两类重要的有界凸圆型域上保持星形性、卢型螺形 性和a 次殆星形性。以上结果，已部分地发表在jm a t ha n m a p p l 杂志上。 在单复变数中，有刻画凸函数与星形函数之间关系的a l e x a n d e r 定理， 在多复变中，a l e x a n d e r 定理不再成立，且存在介于凸映照族与星形映照 族之间的映照族，而这些映照族在单复变数时是不存在的，因此对这些 映照族进行研究是很有意义的。k a r o p e r 和tjs u f f r i d g ef r o p s a t 2 i 、刘 太顺和刘浩 l i u l i u l 通过分析一元函数的凸性不同刻画条件先后在c “ 中欧氏单位球上和c “中有界凸圆型域上分别引入a 型准凸映照族和准 凸映照族，从定义形式看，准凸映照族更为简洁，而且有较明显的几何 意义。最近在文f l i u z h a n g l l 中，刘太顺和张文俊将以上两种映照族拓广 到一般复b a n a c h 空间中的单位球上，证明了在所有b a n a c h 空间中，a 型准凸映照族就是准凸映照族，因此统称为准凸映照，并且还证明了它 具有与凸映照族完全相同的增长定理和掩盖定理。本文的第四章，在上 述工作的基础上，我们在复b a n a e h 空间中的单位球上引入准凸映照的子 族n 次准凸映照，建立了a 次准凸映照的增长、掩盖定理，得到了它 的齐次展开式第二项的估计，并在某些具体的b a n a e h 空间中的单位球上 中国科学技术大学博士论文 讨论了a 次准凸映照与凸映照的关系。作为推论，我们也给出准凸映照 的增长、掩盖定理以及齐次展开式第二项的估计。 第一章内容概要 1 _ 1通用的记号与定义 为了后面叙述方便，本章给出全文最常用的一些符号、基本概念和基 本知识。 我们用x 表示具有范数的复b a n a c h 空间，b 表示x 中的开单位 球，0 1 3 表示b 的边界，百= b u o b ，b n 表示n 维复欧氏空间c n 的开单 位球，伊表示n 维复欧氏空间c ”的开单位多圆柱，d 表示复平面c 的 开单位圆盘，符号“”表示转置。另外我们用i v , 表示自然数集，而用腿 表示实数集。 假设x 、y 是两个分别具有范数，、。的复b a n a c h 空间。为行文 方便，在不引起? 昆淆的前提下，都用表示。设u 为x 中的一个开集， ，：u y 。若对任一已给的z u ，有一个有界线性映照d f ( x ) ：x y ， 使得 l i 。坦生坐兽霉型：o ， h o j 凡j j 其中d f ( x ) 称为，在点z 的f r d c h e t 导数，则称，为u 上的全纯映照。若 ，在v 上全纯，z u ，则有有界对称n 一线性映照d ”，( z ) ：nx 一n = j = l 1 ，2 ，使得 c o 11 舳) 2 圣嘉d “m ) ( ( g z ) 4 ) 2 三者d “m ) 吨= 芝：! 二岁 一u u r 在点zeu 的邻域中的点y 上成立。 一个映照f ：u y 称为是双全纯的，若逆映照，一存在，且在一个 开集v y 上全纯，而f - 1 ( v ) 一u 。一个映照，称为局部双全纯的，若任 给y ，( ，有y 的邻域y ，使得厂1 在v 上存在且全纯。设q 是x 中一 个包含原点的开集，f ：n y 是一个全纯映照，若f ( o ) = 0 和d f ( o ) = ， 则称，是正规化的，其中表示将x 映到x 内的单位算子。当x = y 时，将n 映到x 内的全纯映照的全体记为日( n ) ，而将q 映到q 内的全纯 映照的全体记为h ( n ，f 2 ) ，另外将n 映到x 内的正规化双全纯映照的全体 2 0 0 6 年中国科学技术大学博士论文 记为s ( q ) 。与此相对应，我们用h ( d ) 表示d 上全体全纯函数所组成的 集合，而用s ( d ) 表示d 上全体正规化双全纯函数所组成的集合。 若x + 是x 的对偶空间，z x o ) ，我们定义t ( x ) = 瓦x ：l l 疋| | = 1 ，l ( z ) = 恻) 。根据h a h n b a n a r c h 定理知，t ( 。) 非空。对于任意a ( 0 ) c ， 我们总用咒。表示粤瓦。 在c t 【中，对于域n 伊一h i t 全纯映照，其3 a c o b i 矩阵用以( z ) 表 示，有时也用d f ( z ) 表示，这可从上下文来判定，它的含义是 f a z ，= ( 罄) h 肛。 若以( 。) ( 或d r ( z ) ) 可逆，其逆用打1 ( z ) ( 或( d ，( z ) ) _ 1 ) 表示。用d ”( ，) ( z ) ( m = 2 ，3 ，) 表示，在# 点的m 阶f r d c h e t 导数。设u = ( “，。) 咿， 它在9 萼c 几上的限制d “( 门( z ) ( u 一1 ，) 为一个n 阶复方阵，其含 ：= 一 义为 矿( ，) ( 俨，鼍霉一，蕊u l l u l m _ 1 ) l 卅如 b ，“，j m 一1 2 l ”1 ” 下面介绍双全纯映照的一些有关定义。 定义1 1 1 设q 是x 中的域。若对任意的z n 和0 r 1 ，都有 r z q ，则称n 为相对于原点的星形域；若对任意的z ，y q 和0sr 1 都有r 。+ f 1 一r ) y n ，则称n 为凸域。 定义1 1 2 设q 是x 中包含原点的域，f ：q y 是双全纯映照， 如果f ( o ) = 0 ，( f 2 ) 是y 中相对于原点的星形域，则称，是n 上的星形映 照；如果f ( a ) 是y 中的凸域，则称，是n 上的凸映照。 当x = y 时，域n 上正规化双全纯星形映照的全体和正规化双全纯 凸映照的全体分别记为s ( n ) ，k ( u ) 。 下面的两个定义可参看文献【s h i l 】。 定义1 1 3 设q 是中的域。若对任意z 9 t ，0 r ，有e i o z n 则 称域q 是圆型域。 定义1 1 4 设n 是中的域。若对任意z = ( z l ，) 7 n ，0 h 一， 第一章内容概要 0 。豫，有( e 。，2 - ，e 1 “) 7eq ，则称域q 是r e i n h a r d t 域。 下面分别在复b a n a c h 空间中的单位球b 上和p 中有界星形圆型 域q 上介绍星形映照的一些子族。其中定义1 1 5 和定义1 1 6 分别由 h h a m a d a 、g k o h r 和pl i c z b e r a k i h a m k o h - l i c l 】以及刘浩和卢克平【l i u l u l l 给出。 定义1 1 5 设f ：b x 是一个正规化局部双全纯映照，且0 血 1 。 若 f 高叫d ，( 圳_ 1 m ) 1 _ 五il 瓦1 ，。烈埘， 则称，是b 上的q 次星形映照。 定义1 1 6 设q 是c “中的有界星形圆型域，其m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 除去一个低维流形外是一阶连续可微的，：n 一妙是一个正规化局部 双全纯映照，且0 d 1 。若 i 高名字丐1 ( z ) ，( z ) 一甄1i 五1 ，ze 叭 叭 则称，是q 上的次星形映照。 定义1 1 7 设f ：b x 是一个正规化局部双全纯映照，且0 兰“ 1 。 若 乳e 咒f ( d ，( z ) ) 一1 ，( z ) 】) o i l 。| | ，z b ， 则称，是b 上的n 次殆星形映照。特别地，当x = c ，b = d 时，上式可 简化为豫e 端。， 。ed ，此即d 上的a 次殆星形函数的定义。 上面的定义见文 f e n g l 】和文 m i l m o c l 。 下面的定义由冯淑霞和卢克平 f e n g - l u l 给出。 定义1 1 8 设n 是妒中的有界星形圆型域，其m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 除去一个低维流形外是一阶连续可微的，f ：n c “是一个正规化局部 双全纯映照，且0 o 1 ，我们在c “中引人范数1 i z l l ，= ( 鼍1i 勺i ，) 1 p ，r e i n h a r d t 域 b = z c n ：| i z l l ， 1 ) 。特别地，当p = 2 时，记j = i 。= 再y 。 ，：b ”一c “为局部双全纯映照，有许多关于，成为b “上的星形映照判 别准则，可参见 g o n 9 2 。最近，ig r a h a m 【g r a l 】给出下面的命题，它提 供了b “上的全纯映照成为双全纯星形映照的又一有趣的方法。 命题1 1 1 1 设，是b n 上的正规化全纯映照，若妻坐趔絮；! 地址1 ，则 ，是b ”上的星形映照，且是1 2 次星形映照。 在下面的两个命题中，我们分别给出玩上的全纯映照成为n 次星形 映照和。次殆星形映照的判别方法。 命题1 1 2 设，是b ，上的正规化全纯映照，若登堑竺狴掣业l 一 1 2 0 1 ( o o 1 ) ，则，是岛上的。次星形映照。特别地，当p = 2 ，d = 1 2 时，命题l12 即为命题111 。 证明根据b 对称线性算子：m ：nc ”一c ”的范数为 i i m 峙= s u p i i a k ( z ”，z ( ) 忆 i b f ：) l l p = 1 ，l 兰j 兰 若，h ( b p ) ，有，( z ) = z + 妻旦；铲( 驴) ，z b ，于是 打( ：) ：，+ 壹笔掣( z k - - 1 3 ) 当z 玩时，由命题的题设得 ，耋警弘牝惦。 耋与掣忙忆 塞等哿忙忆州l ， l 因此算子由( z ) = j 一( ，一乃( z ) ) 为可逆线性算子( 参见文献( t a y l a y l ) ，且 1 f 矿丽j 9 豇甄1 ，( ) 第一章内容概要 从而f 为岛上的局部双全纯映照。 - - ：y i g ，易知域b p 上的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) = 1 ，故当z b p o ) 时，有 悟，一知，廿8 等z + 薹堕筹幽虬 m ， 噬2 a + 坠鲨掣；，( 1 拍) 一 幺 2 k ! 和 州彬( 沪五1z 炉 1 ，1 p + 1 q = 1 ，由引理232 得2 掣z 2p ( z ) ，于是 2 0 0 ( z ) j ，- 也) ，( 沪五1 比忙【l 。掣( 础州一割1 ( 1 ) 画( 11 1 ) 、( 1 15 ) 、( 1 1 6 ) 、h s l d e r 不等式及命题的条件得 1 1 2 0 p 跳( z ) j ，_ 1 ( z ) ，( z ) 一五1 比) 虬0 丐1 ( z ) ，( z ) 一五1z 忆 刮州k ( 鼍磐+ 妻坚驾掣必 型l 一2 a 紫 妻k l i d k 。f ，( o ) 1 1 1 1 圳，1 色 “ ” 故由定义1 1 6 知，为岛上的。次星形映照。 类似于命题1 1 _ 2 的证明，我们可得如下命题。 命题1 1 3 设，是岛上的正规化全纯映照，若是监型竖掣出 1 一n ，则，是b y 上的a 次殆星形映照。特别地，当p = 2 ，a = 0 时，命题 11 3 即为命题111 的部分结果。 1 0 p，lk z 力 毋 以土撕 土地 一 一 z 刁i r“叫 丐 、， 2 0 0 6 年 中国科学技术大学博士论文 下面关于。次的强星映照的定义，在伊的情形，最先是由p c u r t k o h - l i c l 给出的，然后冯淑霞 f e n 9 1 以及刘浩和李小申 l i u - l i l 分别将 其推广到复b a n a c h 空间中的单位球上和c n 中的有界星形圆型域上去。 定义1 1 9 设f ：b x 是一个正规化局部双全纯映照，且0 。1 。 若 l a r g 击刚d ，( 圳。1 m ) j ；。，虮b 0 ) 则称，为b 上的a 次强星映照。 定义1 1 1 0 设n 是p 中的有界星形圆型域，其m i n k o w s k i 泛函p f z 除去一个低维流形外是一阶连续可微的，f ：n c n 是一个正规化局部 双全纯映照，且0 a 茎1 。若 l ”s 高掣删化) l 叩7 r ，恍叭 0 ) ， 则称，为n 上的q 次强星形映照。 下面关于强星映照的定义，在b “的情形，最先是由mc h u a q u i c h u l l 给出的，然后hh a r n a d a ( h a m l 将其推广到c n 中的有界星形圆型域上。 本文将其推广到复b a n a c h 空间的单位球上。 定义1 1 1 1 设，：b x 是一个f i r - 规化局部双全纯映照，且0 c 1 。若 l 志则训训。1 m ) _ 篙1 尚，忱叫( 0 ) ， 则称，为b 上的强星映照。 定义1 1 1 2 设q 是c “中的有界星形圆型域，其m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 除去一个低维流形外是一阶连续可微的，：q c n 是一个正规化局部 观全纯映照，且0 c 1 。若 l 志掣删化卜篙i 0 。若对任意t 0 ， 都有e - t a f ( s ) c ，( 日) ，其中e 。4 = 上学栌a ，则称f 是相对于a 的螺形 映照。当a = e - i # i ( 一； 卢 。 在卢型螺形映照的基础上，结合。次星形映照、。次殆星形映照及 。次强星映照的几何性质，冯淑霞 f e n g l 】在复b a n a c h 空间中的单位球b 上引入了卢型螺形映照的三类子族。 定义1 1 1 4 设f ：b x 是一个m i 见4 t 局部双全纯映照。若d ( 0 ，1 ) ， p ( 一j ，；) ，且 卜高刚d ，( 圳_ 1 ，h 警- is i n 卢) 5 等，z b 0 ) ， 则称，为b 上的“次的卢型螺形映照。 在上面的定义中取卢= 0 时，它即为b 上的a 次星形映照的定义。 定义1 1 1 5 设f ：b x 是一个正规化局部双全纯映照。若口 0 ，1 ) ， 卢( 一i ，；) ，且 驼e ( e - i f l 咒 ( d ，( z ) ) 一1 ，( ) 】) 血c o s z l l x l l ，z b ， 2 0 0 6 年中国科学技术大学博士论文 别称，为b 上的o l 次的殆卢型螺形映照。 在上面的定义中取卢= 0 时，它恰好是b 上的a 次殆星形映照的定 义。 定义1 1 1 6 设f ：b x 是一个正规化局部双全纯映照。若。( 0 ，1 ) ， _ 臼( 一j ，j ) ，且 l ”e p 击刚d ，( 瑚。m ) 】+ is i n 卢) l 0 ，z b o ) ，l t ( z ) ) 为了在复b a n a c h 空间中的单位球b 上统一卢型螺形映照及其子族、 星形映照及其子族的结果，本文将映照族朋进行如下推广。 第一章内容概要 定义1 1 1 8 设g ：d c 是双全纯函数，g ( o ) = 1 ，对任意d ，有 9 ( a = 9 ( ) ，瓣叼( ) 0 ，且对re ( 0 ，1 ) ，g 还满足如下条件 jm i n i i ：，琥e g ( ) = m i n 9 ( r ) ，9 ( 一r ) ) ， im a x l i ：，琥叼( f ) = m a x 9 ( r ) ，g ( 一r ) ) 我们定义映照族瓦为 m 9 2i “s ( b ) a n 卢+ ( 1 矧8 “卢) 高咒( ( z ) ) 9 ( d ) ， 。趴( o ) ，ee t ( x ) ， 其中一j 卢 j 。特别地，当p = 0 时，我们记上述的映照族为2 4 。，即 2 , 4 9 = 即) ：击e ( m ) ) eg ( 驯，z b 埘，g e t ( z ) ) 显然，若取9 = 誊fed ，则朋。一m 。 我们需要提及的是，当x = 铲，b = b n 时，映照族m 。最先是由 g k o h r k o h l 】引入的；而当b 为任意有限维复b a n a c h 空间单位球时，映 照族m ，是由i g r a h a m 等人给出的，参见文献【g r a - h a m k o h l j 。 为了在中的有界星形圆型域上统一星形映照及其子族的结果，依 据定义11 1 8 ，我们可在中的有界星形圆型域上定义映照族朋。 定义1 _ 1 1 9 设d 上的函数g 同定义1 1 1 8 ，q 是c ”中的有界星形圆 型域，其m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 除去一个低维流形外是一阶连续可微的。我 们定义n 上映照族m 。为 川。= 科高掣他) eg ( d 小叫 0 ) _ 定义1 1 2 0 是我们所熟知的。 定义1 1 2 0 设 g h ( d ) 。若存在妒h ( d ，d ) ，妒( o ) = 0 使得 9 0 ) = ，扣( 。) ) ，则称g 从属于， 若9 从属于，则简记为9 f 。 本文将其推广到复b a n a c h 空间的情形。 1 4 中国科学技术大学博士论文 定义1 1 2 1 设，g a r ( b ) 。若存在q o h 旧，b ) ，妒( o ) = 0 使得 9 ( z ) = ，( 妒( z ) ) ，则称g 从属于，。 若g 从属于厂，则简记为9 _ f 。 定义1 1 2 2 设 ，( z ，t ) ) 创，z d ，为一个全纯函数族，且f ( o ，t ) = 0 ，( o ，t ) = 一。若0 s t o 。，有f ( z ，s ) _ f ( z ，t ) ，则称 ，( z ，t ) ) t ! o 为从 属链。若，( ，t ) 为d 上的双全纯函数，则称从属链 ，( z ，o ) ) 酆为l o e w i l e r 链。 定义1 1 2 3 在b “的情形由jap f a t t z g r a f f 【p f a l 】引入，然后p o r e d a ( p o r l 将其推广到任意有限维复b a n a c h 空间中的单位球b 上去。 定义1 1 2 3 设 f ( z ，t ) ) 唧，z b ，为一个全纯映照族，且f ( o ，t ) = 0 ，d f ( o ，t ) = 一。若0 s t o 。，有f ( z ，s ) - 4 ，( 。，t ) ，则称 ，( z ，t ) ) 。o 为从 属链。若几，t ) 为b