（基础数学专业论文）球面渐屈线和球面渐伸线.pdf

摘要 b r u c e ，j w 和g i b l i n ，p j 利用高度函数和距离平方函数等作为 工具运用开折理论研究平面和空间曲线，裴东河等研究了三维 m i n k o w s k i 空间内的时间曲线和空间型曲线p o r t e o u si r 给出了球面 曲线和球面渐屈线的概念在这篇论文中，我们利用单位球上的测地距 离来定义球面渐屈线和球面渐伸线之间的关系并且讨论球面渐屈线的 一些性质最后我们按照b r u c e ，j w 和g i b l i n ，p j 的方法讨论球面 渐屈线的奇点类型 本文主要分四部分来研究球面曲线以及球面曲线的渐屈线和渐伸 线首先给出了球面曲线的性质，然后讨论球面曲线与测地圆的切触和 球面渐屈线的性质在论文的最后部分，主要研究了球面渐屈线和球面 渐伸之间的关系并且给出了球面渐屈线的微分同胚类型 关键词：开折；球面曲线；渐屈线；渐伸线；奇点 a b s t r a c t b r u c e ，j wa n dg i b l i n ，ej a p p l yt h eu n f o l d i n gt h e o r yt ot h es t u d yo f t h ep l a n ea n ds p a c ec u r v e sb ym e a n so ft h ed i s t a n c e s q u a r e df u n c t i o na n d t h eh e i g h tf u n c t i o n p e i ，d o n g h es t u d i e dt i m e - l i k ec u r v e sa n ds p a c e - l i k e c h iv e si nm i n k o w s k is p a c e p o r t e o u s ，i r i n t r o d u c e dt h en o t i o no ft h e s p h e r i c a le v o l u t e i nt h i sp a p e rw e 1 1d e f i n et h es p h e r i c a le v o l u t eu s i n gt h e g e o d e s i cd i s t a n c eo nt h eu n i ts p h e r ea n di n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so ft h e s p h e r i c a le v o l u t ea n dt h es p h e r i c a li n v o l u t e ，a n dt h e i rr e l a t i o n s h i p f i n a l l y w e 1 1u s et h em e t h o do fb r u c e ，j wa n dg i b l i n ，ej t od e t e r m i n et h el o c a l d i f f e o m o r p h i ci m a g eo ft h es p h e r i c a le v o l u t e t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rp a r t ss t u d y i n gt h es p h e r i c f le v o l u t ea n dt h e s p h e r i c a li n v o l u t e f i r s tw eg i v et h ec h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t yo fas p h e r i c a l c u r v e ，t h e nw ed i s c u s st h ec o n t a c tb e t w e e nt h eg e o d e s i cc i r c l ea n dt h e s p h e r i c a le v o l u t e ，a n dt h ep r o p e r t i e so ft h es p h e r i c a le v o l u t e i nt h el a s tp a r t w em a i n l yd e a lw i t ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p h e f i c a le v o l u t ea n dt h e s p h e r i c a li n v o l u t ea n dg i v et h el o c a ld i f f e o m o r p h i ci m a g eo ft h es p h e r i c a l e v o l u t e k e yw o r d s ：u n f o i d d i n g s ；s p h e r i c a lc u r v e s ；e v o l u t e s ；i n v o l u t e s ；s i n g u l a r i t i e s 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 敝储躲并3 - 芝 嗍。字年月j - 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密口。 日期：口苫年月f 日 日期：。g 年b 月歹日 青岛大学硕士学位论文 引言 作为极为重要的分支，曲线和曲面几何自牛顿时代以来，就一直受到数学家们的 关注和研究，当时他们的主要研究工具是微积分：直n - 十世纪六十年代，法国数 学家r e n et h o m 发明了奇点理论，作为微积分的一个直接的多样化的延续，奇点理 论除用于研究曲线和曲面外，还能够激励许多伟大的几何学家产生丰富的想象力， r e n et h o m 还把他的想法运用到几何之外的很多其他领域。 继r e n et h o m 之后，数学家们对奇点理论展开了一系列具有建设性研究在j w b r u c e 和p j g i b l i n 的曲线和奇点一书中，他们利用新的工具来研究曲线和 曲面的性质；他们给出了高度函数和距离平方函数的概念，并且给出了开折和通有 开折以及分支集和判别集的定义：基于这些基本概念，他们运用开折理论研究了空 间曲线和平面曲线；研究内容涵盖了法平面的包络、切平面的包络、从切平面的包 络，以及空间曲线和平面曲线的渐屈线的奇点分类i r p o r t e o u s 给出了球面曲线 的概念d o n g h e p e i 和t a k a s h is a n o 对三维m i n k o w s k i 空间中非类光曲线的焦可展 曲面和副法线标型的奇点分类进行了研究，对三维m i n k o w s k i 空间中非类光曲线的 从切可展曲面的奇点分类进行了讨论，并且研究了曲面的奇点和曲线的几何不变量 之间的关系s h y u i c h ii z u m i y a 研究了空间曲线的双曲达布像 本文主要研究球面曲线的性质以及球面渐屈线的奇点分类，在理论上给出了球 面渐屈线奇点类型的证明 本文的结构和主要内容为： 第一章预备知识概述了利用高度函数和距离平方函数研究空间曲线和平面曲 线的方法，并研究了它们的渐屈线的奇点分类 第二章球面渐屈线和球面渐伸线研究了球面曲线以及球面曲线的渐屈线和渐 伸线，同时给出了球面曲线的渐屈线的微分同胚像 第一章曲线和奇点 第一章曲线和奇点 本章主要概述一些定义和定理以及空间曲线和平面曲线的奇点类型，并且简述 一些对于本论文要用到的理论结果 1 1 预备知识 考虑椭圆x 2 + y 2 = 1 ，我们以( 2 c o s x ，s 逾x ) 作为参数，对于每一个f ，这个点都是 t 椭圆上的点，并且椭圆上的每一个点都可以以这种参数形式表示出来我们现在考虑 在每一个点p o ( p o = ( 2 c o s 而，s i n 知) ) 处，这个椭圆是如何逼近于一个圆我们先考 虑一个过风点的一般的圆，设它的圆心为( 口，6 ) ，方程为c ( x ，y ) = 0 c ( x ，y ) = ( x - - 口) 2 + ( y 一2 一五 在p 。处选择一个适当的力使得c ( x ，y ) 变为0 因此方程g ( f ) = 0 ， g ( z ) = c ( 2 c o s t ，s m t ) = ( 2 c o s t 一口) 2 + ( s m t - b ) 2 一力 有一个解f = ，但是忙可能是一个重根，这说明圆和椭圆在风点处有几个点重合 了这个重根主要是通过在t = t o 处g 的各阶导数为零的个数来确定 定义1 1 如果函数 g c t ) = f ( 7 。( m ，7 。( f ) ) = ，( 丫( f ) ) ， 并且 g ( t o ) = 9 7 ( 气) = = g 一( 岛) ，g a ) ( f o ) 0 则称丫和f 以( 0 ) 在f = t o 处k 点接触，并且称接触的阶数为k 定义1 2 函数g 去掉常数五， g ( 力= ( 2 c o s t 一口) 2 + ( s i n t - b ) 2 称为关于椭圆的距离平方函数距离平方函数主要测量椭圆上的点到( 口，b ) 点的距 离 在实欧氏空间r ”中的一条曲线就是一个映射 丫：1 一只” ，是r 中的一个开区间， r ( t ) = ( 丫i ( f ) ，丫2 ( f ) ，y 。( f ) ) 每一个分量7 ，对于所有j 中的f 有所有阶的导数，这样的7 i 称为光滑的 定义1 3 假定区间，中不存在任何一个t ，使得 丫：( f ) = 7 ：( f ) o oo = y ：( ，) = 0 则称这条曲线丫为正则的 2 青岛大学硕士学位论文 定义1 4 设丫：i r ”是一条正则曲线，对于丫参数的改变是一个映射： h ：j i ，是一个开区间，满足： ( 1 ) h 是光滑的： ( 2 ) 对于所有的s j ，有办( s ) 0 ： ( 3 ) h ( j ) = i 因此以j ) = 丫( 办( j ) ) 并且8 ：j r ”，曲线万是由丫通过参数h 的改变获得的h 称为是 从j 到j 的一个微分同胚 设口：i r 2 为单位速率的曲线，并且z ，= ( 口，b ) er 2 我们考虑距离平方函数 ( s ) = 0 烈s ) 一掰1 1 2 = ( 口( s ) 一掰) ( 口( s ) 一掰) 以下a ( s ) 简写为口，我们得出： 1 亡厂 ( s ) = ( o - - i g ) - 口= ( a - u ) t 委飞s ) ：岱，+ ( 口一甜) t ：1 + ( 口一z ，) x n 1 厂弋s ) = 口捌v + ( 口一”) r + ( 口一“) x n = ( 口一材) r n 一( 口一”) p 丁 并且丁t = 1 ，t n = 0 寻找前几阶导数为零的条件我们发现： 厂b ) = 0 甘o t - u = a n ( a er ) 甘甜位于点s 处确法线上 厂( s ) ：厂- ( s ) ：0 r 0 并且口一 ：一一n 铮r 0 并且材：口+ 一n kk 厂：fn ：f 一：0 舒r o ，甜：口+ 翌并且r t ：0 x 假定x t s ) 0 ，在s 处存在唯一的一个圆与口至少有3 点接触，这个圆称为在j 处 的密切圆或者曲率圆 设口：ijr 2 为单位速率的曲线，对于一个固定的单位向量z ，r 2 ， ( j ) = 口( s ) ” 所以 厂( s ) = 丁( s ) z f ，f 。( j ) = 一x ( s ) n ( s ) 我们发现 厂( s ) = 0 告n ( s ) = 3 第一章曲线和奇点 ( s ) = f ”( s ) = 0 n ( s ) = 勘并且x ( s ) = o 厂( s ) = ) = f ”( s ) = 0 铮n ( s ) = z ，并且砥s ) = 玳s ) = o 设口：_ r 3 为单位速率的曲线，r ( s ) 0 ，“r 3 ，f ：_ r = l l o ! ( s ) - u l l 2 = ( 似s ) 一掰) ( 口( s ) 一掰) ，我们计算得出： 1 去厂( s ) = ( 口一”) 7 1 去厂”( s ) = l + ( c r - u ) x n 1 厂卅( s ) = ( o t 一”) r n + ( o c - u ) d t o t + v b ) 所以 t ( s ) = 0 甜在s 处的法平面上， 厂( j ) = 厂v ) = 0 铮对于某一伽r ，z ，= 口+ r 1 n + f l b ， 厂b ) = 厂) = 厂_ ( s ) = 0 甘 f f o ，并且材：口+ 型一( 要) b ! x，( z if ：r ：o 并且：翌+ f i b lx 设口：，一月3 为单位速率的曲线，材是个单位向量，甜r 3 ，f ：i 只并且 f ( s ) = 口( s ) l ( j ) = 0 营“是在敢b 法平面上的向量 厂) = f ) = 0 u = b ( s ) ( j ) = _ ( s ) = f ” ) = 0 铮材= b 0 ) ，f 0 ) = 0 。 ( s ) = = f 4 o ) = 0 甘甜= 召0 ) ，f ( s ) = g - ( j ) = 0 定义1 5 假定一条单位速率的平面曲线丫，曲率权，) 0 ，我们考虑丫的曲率中心 的轨迹，即曲线 ( f ) = 7 ( f ) + 【l t c ( t ) l n ( t ) 这条曲线称为丫的渐屈线，反之，丫称为的渐伸线 定义1 6 设u ，i = 1 ，2 为实数r 的开子集，t i 是中的一个点，并且z ：u r 是 光滑映射，所以z 是定于在的某个邻域内的函数我们称在处z 和在乞处以是右 等价的如果存在开区间kc ，并且f ；形，微分同胚j i l ：k k 和一个常数c r ，使 得 4 青岛大学硕士学位论文 豇( ) = t 2 彳( ) = 五( 豇( ) ) + c ，f v 1 定义1 7 设k l 并且为整数，在f 0 处的k 阶节点是多项式： 。2t ( 乇j 2 矿。( 乇) + 刍厂) 十+ 乞似( f o ) 定义1 8 假定f ：r ，t o 一只右等价q - + t “1 ，则对于j i 0 ，我们称在乇处有4 奇 点，4 奇点即f ( t o ) 0 ，当f c p ) ( ) = 0 ( 1 p k ) 时，我们称厂有4 。奇点 5 第一章曲线和奇点 1 2 通有开折的概念及判断标准 定义1 9 设f ：r x r , ( r 。，) _ r 是一个光滑函数，我们可以把，看作含有，_ 个 参数的函数族互：r ，t 。_ r 或者看作含有1 个参数的函数族e ：r r 而寸r ，我们在这 儿看作前者，记作： = ：r ，t o r ( f ) = f ( t ，x o ) f 称为厂的一个r 一参数的开折 开折g ：r x r k - l , ( 0 ，0 ) 一r ，g ( t ，x ) = 由m + x l t + x f f 2 + + 以一l t 称为在t = 0 处 g ( f ) = 打“1 的一个( 夕) 通有开折 ( p ) 通有开折的判断标准： 命题1 1 f 是的一个开折，并且厂在处有4 21 ) 奇点，贝, t jf 为的( p ) 通有开折当且仅当次数k - 1 且没有常数项的每一个实多项式p ( t ) 都可以写成以下 形式 p ( f ) = 喜1 ( 挚批) c ，为实常数，歹卜1 代表( k 一1 ) 节点 等价判断标准： 命题1 2 l q 雨j - z j = i = 1 ，- 设歹扣1 ( o f 3 x , ( t ，而) ) ( f o ) = f t + a 2 ，f 2 + + a k _ i i f t ，则， 为厂的通有开折当且仅当( 七一1 ) x r 的系数矩阵口的秩为七一1 定义1 1 0 f 是的一个开折，f 的奇异集品包含点对( f ，x ) 并且在，处c 是奇异 的 品= 沁x ) r x r 7 ：o f ) t = 0 ，的分支集： 屏= x r 7 ：在( t ，x ) 处存在t ，使得a f a t = a 2 f 3 2 f = 0 ) 4 奇点的( p ) 通有开折： 命题1 3 对于，= 1 ，我们只需要考虑分支集屏， f ：r x r ，( o ，0 ) 一r ， 并且 v ( t ，x ) = t 3 + 群 所以分支集屏为 6 青岛大学硕士学位论文 工r ：对于某个f ，3 t 2 + x - - 6 t = o 这就是一个点 o ) 对于r 的更高的值，我们取 p ：r x r r , ( o ，o ) 一尺， 并且 妙( f ，x ) = ，3 + x _ i t ( x 2 ，弓，是独立的) ， 则 ， 屏= 屏x r 1 = o ) r ”1 所以4 奇点的厂参数的( p ) 通有开折的分支集的局部图形是r 7 中的维数为r - 1 的一 个线性空间 4 奇点的( p ) 通有开折： 命题1 4 n 1 设，：r x r , ( o ，0 ) r ( ，2 ) ， 鼬，x ) = 1 4 t 4 + 五h 三， 则f 是( z ) = t 4 的一个( p ) 通有开折，并且， 屏= x ：f 3 + x j + x ：t = 3 t 2 + 而= o = x ：五= 2 t 3 ，恐= - 3 t 2 】 = x ：2 7 # + 4 霹_ - 0 1 对于，= 2 ，这是一个尖点，对于r = 3 是一个尖嵴 4 奇点的( p ) 通有开折： 命题1 5 【u 设，浪尺7 ，( o ，o ) - 尺( r 3 ) 尸( f ，x ) = ；f 5 + 五f + 三恐f 2 + 三毛 则f 是( f ) = l 气t 5 的一个q ) 通有开折，并且 屏= x ： 4 + x i + x z t + x 3 t 2 = 4 t 3 + x z + 2 x 3 t = o ) 对于，= 3 ，它图形是一个燕尾 定义1 ，11 设g ：r x r _ r ，有 g ( f ，x ) = “l + “2 t + u 3 t 2 + + “t t 一1 + ，“ u d ( u , ，) ， 则f h l 的任何一个开折万都可以写成： 7 第一章曲线和奇点 f ( t ，x ) = g ( a ( t ，x ) ，6 ( x ) ) 对于0 领域内的所有的t ，有a ( t ，0 ) = t 开折g ：r x r 。- - r ，g ( t ，x ) = 蝴川+ 五+ x 2 t + + _ t h 称为在f = 0 处g ( f ) = 妇川 的一个通有开折 通有开折的判断标准： 命题1 6 1 1f 是的一个开折，并且在气处有4 ( 七1 ) 奇点，则f 为厂的通有 开折当且仅当次数k - 1 的每一个实多项式p ( t ) 都可以写成以下形式 此) = 喜勺昏川1 ( 挚挑) ) q 为实数，歹扣1 代表( k - 1 ) 节点 等价判断标准： 命题1 7 1 1f 是的一个开折，并且在气处有4 ( 七1 ) 奇点，记( 3 f l b x ) ( f ，x o ) 带有常数的( j | 一1 ) 节点为 + 喁i f + + 吼一i f t 一 则，为厂的通有开折当且仅当 k x r 的系数矩阵( ) 的秩为k ( j = 0 ，1 ，k - 1 ；i = 1 ，2 ，) 设，为厂的一个开折，f 的零点集m p 为 m r = ( f ，x ) r x r 7 ：，( ，x ) = o ) ，的判别集d ，为 d r = x r 7 ：存在一个t 足使得，= 护a f = o ) 4 奇点的通有开折( 厂1 ) ： 设 f ：r x r 7 , ( o ，0 ) 一r ( r 1 ) ， 并且 f ( t ，x ) = t 2 + x i ，x = ( 而，x ，) ，= 1 时f 的判别集d ，为一个点，= 2 时为一条直线，= 3 时为一个平面等等 4 奇点的通有开折p 2 ) ： 命题1 8 i x f ：r x r 7 , ( 0 ，0 ) 一r ( r 2 ) ， 并且 8 青岛大学硕士学位论文 t f ( t ，x ) = t 3 + 五+ 毛f ，x = ( 五9 1 9 ) 厂= 2 时，的判别集d ，为一个尖点，= 3 时为一个尖嵴 4 奇点的通有开折p 3 ) ： 命题1 9 f 1 】 设 f ：r r ，( 0 ，0 ) 一r ( r 3 ) ， 并且 f ( t ，x ) = f 4 + 一+ x d + x 3 t 2 ，x = ( 五9 - - - 9 x ，) ，= 3 时，的判别集d ，为一个燕尾曲线 定义1 12 对于任意的两个向量x = ( 五，x 2 ，x 3 ) 和y = ( y l ，y 2 ，乃) ，我们用 代 表两个向量的标准内积 设 丫：1 一r 3 ， 表示一条曲线并且丫( f ) 0 ，我们以i 代表向量的模，起点为v ( t 。) ，f 0 i 的曲线的 弧长为 j ( f ) = l 叭叫陋 t o 如果以弧长为参数则恬( s ) i l = 1 ，所以满足( s ) i i = 1 ，我们就称一条曲线是以弧 长为参数 我们定义 t ( j ) = 了( s ) 则t ( j ) 称为丫的单位切向量丫的曲率定义为砥s ) = 枷丫) 如果“s ) 0 ，则 曲线丫的单位主法向量n ( s ) 被定义为：丫”( s ) = 砥s ) n ( j ) 曲线丫的单位副法向量b ( s ) 被定义为：b ( s ) = t ( j ) n ( j ) 则f r e n e t - s e r r e t 公式为： it ) = 权s ) ( s ) n ( s ) = 一s ) t ( s ) + 硬s ) b ( s ) i b ( s ) = - r ( s ) n ( s ) 其中r ( s ) 为曲线的挠率 9 第二章球面渐屈线和球面渐伸线 第二章球面渐屈线和球面渐伸线 b r u c e ，j w 和g i b l i n ，p j 在 1 中利用高度函数和距离平方函数等作为工 具运用开折理论研究平面和空间曲线，在 2 中p o r t e o u s ，i r 给出了球面渐屈线 的概念在这篇文章中，我们利用单位球上的测地距离来定义球面渐屈线并且讨论球 面渐屈线的一些性质最后我们按照b r u c e ，j w 和g i b li n ，p j 的方法讨论球面 渐屈线的奇点类型 2 1 球面曲线的性质 设丫：，一尺3 为单位速率的曲线，t ，n ，b 为伏雷内标架假定挠率f 0 ，丫为一条 球面曲线( 球心不一定是原点) 当且仅当尺7 + ( 豫，) = 0r = 1 r ，盯为丫的曲率并且 t = 1 f 在本文中，如果没有另加说明丫就是表示对弧长s 求导数 情形1 ：对于区间上的某个j ，使f ( j ) = 0 假定丫为一条球面上的单位速率曲线，球的球心在原点，半径为口，且丫不是平 面的，即f ( s ) 不恒等于零则有丫( s ) 7 ( s ) = a 2 两边对s 求导得 t t = 0 jr ( n 丫) + t t = 0 j 砥丫) = - 1 ( 2 1 ) 对所有的s i ，有 r i ( i 1 ) = 1 a 0 进一步的对( 2 1 ) 两边求导，有 x n 丫+ d n + 巾) 丫= 0 j 丫+ t c r b 丫= 0 j r b 丫= 一矿 若r ( s ) 0 ，则b 丫= 一t r 7 ，所以 b 丫= 一豫j 伽丫+ b t = ( 一豫，) ，f x + ( t r ，) ，= 0 j r t + ( t r ，) ，= 0 ( 2 2 ) 因为丫为一条球面曲线，由 3 知，丫的密切球就与丫所位于的球重合并且对于 彳( s ) 0 ，我们有 尺2 + ( b 丫) 2 = r 2 + ( 豫7 ) 2 = a 2 ( 2 3 ) r = 1 t o , t = l f 1 b 丫l = i 豫l 表示从球心( 原点) 到丫的密切平面的距离y 的密切平面 的方程为( x + t r b ) b = 0 即 x b + 豫7 0 ( 2 4 ) 假定s 7 是 s f 攻j ) = o ) 中的一个点使得有一个包含s 7 的开区间，7c s i f ( s ) = o ) 并 且，7 是具有这种性质的最大区间，在开区间，7 上，一( s ) = 烈s ) = 0 ，所以丫在，7 上的 限制丫i ，7 是圆的一段设s 是，的一个边界点或者是 ji f ( j ) = o ) 中的一个孤立点， 1 n 青岛大学硕士学位论文 则我们可以找到一个序列 s 0 ：，f f 得r ( s ，) 0 且i i m s , = s ，根据( 2 2 ) ，可得， ；i m ( t r 7 ) b ) = ! i m ( - r r ( s ，) ) = 瑚及占) = 0 ( 2 5 ) 当r ( s ) = 0 时，我们单独定义豫7 为豫b ) = 一( 6 i 力( j ) 在区间，上，则 一( s ) = o j r ( j ) = 冗( ；) ， 所以对于s 辱1 7 ，( b ( s ) 丫( s ) ) 2 = f ( 豫，) ( j ) 2 _ - - 0 2 - - 月( ；) 2 ，即在区间，7 上， b 7 = 一t r 7 = 常数( 2 6 ) 在区间，7 上，由t r 7 为常数可得( 豫，) ，= o ，对于s s i “j ) = o ) 的情况，我们定义 ( t r ，) ，( s ) = o ，所以在区间，7 上，不管r ( s ) 是否为零( t r ，) ，都是连续的，( 2 2 ) 都是成 立的 反之，假定一条非平面的曲线丫满足( 2 2 ) ，由 3 知，若r ( s ) 0 ，丫的相对应一 部分就位于半径假定为a 的球上并且r 2 + ( 豫，) 2 = a 2 若r ( s ) = 0 ，则由( 豫，) ，= 0 可知 在 s i 烈s ) = o ) 上，t r 7 为常数设，c s i f ( s ) = o ) 如上面所设，一s 是1 7 的一个边界点， 则可以找到一个序列 s i ) 三。使得烈墨) 0e 1l i r a s ，= 点 我们有r ( s ) 2 = 尺( 了) 2 = 口2 一( 豫，) 2 ( 了) ，1 7 ，所以对应于，7 上的7 的那部分是半径 为口2 一( 豫，) 2 0 ) 的圆的_ 部分并且丫位于球心在原点半径为口的球上丫的不同的 非圆部分可以通过圆的部分连接并且7 的每相邻部分位于同一个球上所以整个丫 都位于圆心在原点半径为口的球上 情形2 ：对于r ( s 1 = 0 我们来计算b 丫( ；) ，假定f ( ；) = ，( ；) = = 一”( ；) = 0 ，一州( ；) 0 攻；) = 0 ， 则办丫= d 矿j ( s ) = 0 根据洛必达法则， 一一( b 丫) ( s ) = l i r a r = l i n 旦_ x r ( 2 7 ) 所以 ，( 万= o j ，( ；) = 0 ( 2 8 ) 同理，可得 一矿( b 丫) ( s ) = l i r a _ d ( s ) r ( s ) = 二l i 运”+ 2 ( s ) p 肿1 ( s ) ”5 r ( ) = z ，： = ”2 ( s ) 二，? 所以 。 ( b 丫) ( ；) = 一一枷( ；) 矿( ；) 一删( ；) 1 1 ( 2 9 ) 第二章球面渐屈线和球面渐伸线 如果7 在一个球上并且它的曲率圆是大圆，则称y 在s 处是大的，即在s 处丫的密 切平面通过球心 丫是大的b 7 = 0 甘丫= - r n 管丫= 一锄( p 丫= 口2 ) ，r = 1 r 0 所以我们 有： 命题2 1 2 1 在j 处球面曲线丫是大的铮在s 处，b 丫= 一t r 7 = 0 营在s 处， 丫2 一口n 1 2 青岛大学硕士学位论文 2 2 单位球上与圆的切触和球面渐屈线 2 2 1 单位球上与圆的切触 如果没有特殊注明，从这节起我们一直假定丫是单位球上的单位速率的曲线 设s 2c r 3 为中心在原点的一个单位球我们可以在s 2 上衡量丫和一个( 测地) 圆 的接触情况我们先考虑在s 2 上两点之间的测地距离假定在s 2 上有两点p ，q ，设0 为弦尸q 的中心角，d ( 只q ) 代表p 和q 之问的测地距离，则 d ( p q ) = a r e e o s ( 1 - l p - q 1 2 2 ) ( 2 1 0 ) i p - q i 为弦尸q 的长 给定一条单位速率的曲线丫：，一s 2 和一个点u s 2 ，我们通过噍：i x s 2 一r 来 定义v ( s ) 和u 之间的一个测地距离函数， ( s ，u ) = d ( 丫( s ) ，u ) = a r c c o s ( 1 , ( s ) u ) 丫( s ) 丫( s ) = u u = 1 考虑在单位球上到u 有相同测地距离c l 的所有点x 的集合，即d ( x ，u ) = c 1 设 c = c o s c , ，则x u = c 我们称所有这样x 的集合为具有测地心为u 、测地半径的余弦 为c 的测地圆 定义2 ，17 在丫( s ) 处的球面法线是通过丫( 5 ) 和且在丫( s ) 垂直于丫的大圆，其方程 为 j x x = 1 【x t ( s ) - 0 ( 2 1 1 ) 定义2 2 7 在丫( s ) 处的球面切线是相切于7 的大圆，其方程为 j f x = 1 ( 2 1 2 ) 【x ( 丫 ) t ( s ) ) = 0 在以下命题中，为了简单起见我们省略掉y ，t , n ，b 的依赖参数s 命题2 2 设丫为单位球s 2 上的一条单位速率的曲线并且u s 2 ，如果丫u ，则 ( 1 ) 以( s ，u ) = o 存在五，r ，使得u = 知+ 助，即u 位于7 e 7 ( s ) 处的球面法线 上 ( 2 ) 以7 ( s ，u ) = 以( s ，u ) = o 铮u = + b ( 3 ) 以( s ，u ) = 哝( j ，u ) = 以( s ，u ) = o 铮u = b ，f ( s ) = o ( 4 ) 畋7 ( 5 ，u ) = 以( s ，u ) = 哝。( s ，u ) = 噍4 ( s ，u ) = o 管u = b ，f ( s ) = o ，0 ) = o 1 3 第二章球面渐屈线和球面渐伸线 证明 ( 1 ) 或( s ，u ) = 一( u 丫) m 一( 丫u ) 2 ) “2 = 0 铮u 丫= o 铮t 上u 铮存在 五，r ，使得u = i n + , u b u 位于被丫( s ) 的法平面所截出的大圆上，即u 位于丫在 丫( s ) 处的的球面法线上( h es 2 ) ( 2 ) 以7 ( s ，u ) = 噍( s ，u ) = o 营u - 丫7 = ( 一u 丫，) ，= o 铮存在尢只，使得u = 加+ 肋且( 知+ 肋) k - n = 0 存在r ，使得u = b ( r 0 ) 由u es 2j c u b ) 2 = 1 j z = 土l ，所以 哝7 ( s ，u ) = 吱( s ，u ) = o 甘u = + b ( 3 ) 7 ( s ，u ) = 0 ，u ) = ( s ，u ) = o 专u 丫7 = 皿丫，= 一u 丫l = 0 甘u = + b 且一u ( 枷) 7 = 0 铮u = b ，千盯= 0 牟亨u = b ，f = 0 ( r 0 ) ( 4 ) 以7 0 ，u ) = 噍( s ，u ) = 噍一( s ，u ) = 吱( s ，u ) = o 亡亭u y 7 = 一u y ，= 一u t 一= 一u y 4 ) = 0 0 亡亭u t = 一丫5 一y = 一丫”7 = 车争u = b ，f = 0 ，一u ( + 以一n + 办) ) 7 = 0 u = 士b ，f = 0 ，= 0 ( r 0 ) 附注2 1u = 丫+ ( 1 砷n 一b r ) 称为丫的焦线( 极轴) 如果u s 2 ，则 ( 丫+ 【l d n 一l b ) ( 丫+ ( 1 砷n - # b ) = 1 j 2 2 2 ( 丫b ) 2 + ( 2 砷丫n + i 矿= 0 ( 2 1 3 ) s 2 的球心( 原点) 可表示为 y + r n + t r ，b = 0 ( 2 1 4 ) 所以y b = 一豫7 ，丫n = 一r ，从( 2 1 3 ) 中我们可以得出 z 2 + 2 t r 么一r 2 = 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 5 ) 式的解为 = 一t r 7 ( 豫) 2 + 尺2 = 一t r 7 1 由 3 知，( 豫，) 2 + 尺2 = l ，所以由( 2 1 4 ) 知， u = 丫+ ( 1 砷n 一, a b = 丫+ r n + t r 7 b b = b ， 所以由参考文献 2 ， u l ( s ，u ) = ( s ，u ) = o ) 为焦线和单位球的交点，称为丫在s 处 的焦心，用e = b 表示，它也称为s 处丫的密切测地圆的中心p o r t e o u s 称焦心所形成 1 4 青岛大学硕士学位论文 的曲线e 为丫的渐屈线所以我们证明了一条球面曲线丫的渐屈线就是7 的副法向指 示线我们在“渐屈线”前面加上“球面”，e 就称为丫的球面渐屈线 附注2 2 根据命题2 2 中的( 1 ) ，在单位球s 2 上测地圆在点s 处与丫有2 点接触 当且仅当通过丫( s ) 的测地圆的测地心位于丫( s ) 处的7 的球面法线上在单位球s 2 上 测地圆在点s 处与丫有3 点接触当且仅当通过丫( s ) 的测地圆的测地心为v ( s ) 处丫的 焦心 附注2 3 在命题中，我们以欧几里得距离平方函数以：i x s 2 一月来代替 ：i x s 2 一r ，a a s ，u ) = ( 丫( s ) 一u ) 2 = 2 ( 1 一丫( s ) u ) ，我们仍然可以得出相同的结果， 即 ( s ，u ) = 0 ( s ，u ) = 0 7 ( j ，u ) = 以( s ，u ) = o 彰( s ，u ) = 颤s ，u ) = o 以7 ( s ，u ) = ( s ，u ) = 哝。( s ，u ) = o 铮彰( j ，) = 根s ，u ) = 根s ，u ) = o 以7 ( s ，u ) = 以( s ，u ) = 以”( s ，u ) = 以4 ( s ，u ) = o 铮彰( s ，u ) = 根s ，u ) = 礤s ，u ) = 4 1 ( s ，u ) = 0 附注2 4 对于一条一般的正则球面曲线( 未必是单位速率的) 丫( f ) ，则 丫( f ) = 丫( s - 1 ( f ) ) 表示一条单位速率的曲线，并且丫( f ) = 丫( s ( f ) ) ，s 缸) = ( f ) 0 ，丫缸) = a t ( t ) a t ， 砥，) ，攻f ) ，t ( f ) ，n ( ，) ，b ( t ) 分别为丫( f ) 的曲率，挠率，单位切向量，单位法向量和单位副法 向量，则丫( f ) 的曲率，挠率，切线，法线和副法线分别为： 反，) = 砥s ( f ) ) ，f ( f ) = f ( s ( f ) ) ，t o ) = t ( s ( f ) ) ，n ( t ) = n ( s ( f ) ) ，b ( f ) = t ( t ) x n ( t ) 考虑 以( f ，u ) = a r c c o s ( , ( t ) u ) 按照命题2 2 的证明方法，我们可以证明 ( f ，u ) = 0 营存在五，口，使得u = 五n ( s ( f ) ) 十b ( s ( f ) ) 【f ，u ) = ( f ，u ) = o 甘u = + b ( f ) = + b ( s ( f ) ) ( f ，u ) = ( f ，u ) = 艰f ，u ) - - - 0 铮u = + b ( f ) = + b ( s ( f ) ) ，f ( f ) = “s ( 嘞= o 2 2 2 球面渐屈线的一些性质 命题2 3 丫的球面渐屈线e 就是丫的球面法线族的包络并且丫的球面渐屈线有 一个尖点当且仅当f ( s ) = 0 1 5 第二章球面渐屈线和球面渐伸线 证明7 的球面法线族是： jx x 、- - 1 ( 2 1 6 ) 【x t ( s ) = 0 所以包络是： f x x = l x t ( s ) = o ( 2 1 7 ) l x x ( s ) n ( s ) = 0 因为r ( s ) 0 ，我们有x n ( s ) = 0 ，又x t ( s ) = o ，我们可知存在，使x = ( s ) b ( s ) 但 是x x = lj ( s ) ) 2 = 1j x = + b ( s ) ，它为丫的球面渐屈线e x 7 = 7 ( j ) n ( j ) ，所以丫的 球面渐屈线在s 处有一个尖点当且仅当r ( s ) = 0 附注2 5 设e ( s ) 是+ b ( s ) 和丫( j ) 之间的夹角，如图所示 b n 则s i n 0 = 灭( = 1 矽连接b ( s ) ( - b ( s ) ) 和丫( s ) 之间的大圆部分的弧长z ( s ) 为 a r c s i n r ( s ) ( x - a r c s i n r ( s ) ) ，它是丫的密切测地圆的测地半径我们称，( j ) 为丫( s ) 的 测地曲率半径如果r ( s ) 1 ，即在s 处y 不是大的，则 厂( s ) = 尺7 ( s ) 4 1 - r 2 ( s ) = 月7 ( s ) 4 ( t r ) 2 ( s ) = f ( s ) 并且 ，7 ( s ) = 0 舒“s ) 0 铮b 7 ( s ) = 干f ( s ) n ( s ) = 0 因此丫的球面渐屈线在s 处有一个尖点当且仅当，丫的测地曲率半径在s 处有一个临 界点一条平面曲线丫( 砥s ) 0 ) 的渐屈线为 ( s ) = 丫( s ) + 【l 砥j ) 】n ( s ) ，d ( s ) i 1 f 砥s ) 】n ( s ) 所以e ( s ) = 千f ( s ) n ( s ) 就是球面曲线的渐屈线e 情形下相应于( s ) 1 x f s ) n ( s ) 的对 应方程，【1 h s ) 】，是s 处丫的曲率半径的导数，f 【j ) 是丫的测地曲率半径的导数( 至多 1 6 青岛大学硕士学位论文 差个符号) 附注2 6 如果丫( f ) 不是一条单位速率的曲线，则1 f 的球面法线的包络是： f x x = l f x x = 1 x - 丫0 ) = 0j s ，x t ( s ) = 0 r ： ( 2 1 8 ) l x 丫( r ) = 0i x - ( s 佗h s ) n ( s ) + s 气( s ) ) = 0 其中s 为弧长，s ( f ) = l