（基础数学专业论文）积分变形正算子的保持性质.pdf

摘要 本文着重研究了一般k a n t o r o v l c h 型算子的保持性问题和几个经典的b e r n s t e i n 型算子的d u r r m e y 口变形算子的保持性问题 正线性算子形式简单且具有良好的保持性和逼近性。其研究有重要的理论意义 和广阔的应用前景最近。通过分析的方法对几个经典的b e r r e t t a 蛩算子的k a m t o r o v l c h 变形算子的保持性有较为丰富的研究。并得到了不少结论陂献3 固但对 于一般的k a n t o v i c h 型算子的保持性还没有研究结果这里我们所说的般k a m t o r o v i c h 型算子是指具有如下表示形式的算子 _ n ( ，；甸；厶( 磁：7 ；功 其中。工。是个正线性算子， 黜t ) - 熹广。训u 川 ( t ) 是j 上的非负函数，矗是伸缩算子矗，( u ) = ，( ”) ，是与n 有关的常 数当i = 【o ，1 】时，要求0 s l ；0 ( t ) s 1 一t 本文所要考虑的问题是，在什么情况下算子瓦仍具有算子k 的保持性质对 此，我们在第二章中给出了算子瓦的保单调性、保凸性，保星形性、保半可加性 和变号减少等保持性质的结论( 定理2 1 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 8 ) 对于b e r n s t 七i n - d u r r m e y e r 算子，s z k s z - d u r r m e y e r 算子和b a s k a k o v - d u r r m e y e r 算子这几个经典的b e r n s t e i n 型算子的d u r r m e y e r 变形。我们发现了它们的概率表 示，从而运用概率的方法得到了它们的保单调性、保凸性、保光滑性和有界变差减小 性等一些结论( 定理3 1 3 3 ) 这就是本文第三章的内容 本文的研究使得对经典b e r n s t e i n 型算子及其两种积分变形保持性质的研究相 对完备，对一般k a n t o r o v i c h 型算子保持问题的研究更进了一步 】 关键词t 般k a n t o m v i c h 型算子，b e r n s t e i n 型算子d i 螗m q m 积分变形，保 持性，凸性。星形性，半可加性，平均函数，有界变差减小，符号减少，随机过程， 数学期望 2 t h ep r e s e r v a t i o np r o b l e mo fi n t e g r a l d e f o r m a t i o np o s i t i v eo p e r a t o r s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e do na p r i l1 3 , 2 0 0 7 i nf u l l f i h n e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n o m b e i j m g1 0 0 0 3 7 c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em 8 i n l yd i s c u s st h ep r e s e r v a t i o np r o b l e mo f g e n e r a lk a n t o r o v i e h - t y p e o p e r a t o r sa n ds e v e r a ld u r r l n e y e ri n t e g r a ld e f o r m a t i o no p e r a t o r so ft h ec l a s s i c a lb e r n s t e i n - t y p eo p e r a t o r s t h ep o s i t i v el i n e a ro p e r a t o r sh a v eas i m p l ef o r ma n dag o o dp r e s e r v a t i o na n da p p r c - i m a t i o np r o p e r t y , t h es t u d yo fw h i c hh a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dw i d ea p - p l i c a t i o np r o s p e c t a tp r e s e n t l y , t h e r eh a v eb e e na b u n d a n ti ns t u d yf o rt h eh e n t o r o v i c hi n - t e g r a ld e f o r m a t i o no fc l a s s i c a lb e m s t e i n - t y p eo p e r a t o r sb ya n a l y t i c a lt e c h n i q u e sa n dh a v e o b t a i n e dn m n yc o n c l u s i o n s d o c u m e n t s3 1 5 1 b u tw ed o n th a v ea n yr e s u l ta b o u tt h ep r e s e r - v a t i o np r o p e r t yo f g e n e r a lk a n t o r o v i c h - t y p eo p e r a t o r s h e r e ，t h eg e n e r a lk a n t o r o v i c h - t y p e o p e r a t o r sa t et h e s eo p e r a t o r st h a tt h e yc a nb ew r i t t e ni nt h ef o r m ： l ( ，；z ) = 厶i ( 磁7 ；z ) 3 w h e r e 厶ti sap o s i t i v el i n e a ro p e r a t o r , f t - ( t ) = 赤厂郇酬蚺， 妒n ( t ) i sn o n n e g a t i v ef u n c t i o nd e f i n e do n ia n d 死i ss t r e t c ho p e r a t o r ：死= f ( c n u ) ，c ni s c o n s t a n t i n d e p e n t i n g n w er e q u e s t 0 c n 1a n d0 ( t ) 1 一ta 8 i = 【0 ，1 1 i nt h i sp a p e rws h a l lc o n s i d e rt h ep m b l e mt h a tu n d e rw h a tc o n d i t i o n ，t h eo p e r a t o r 瓦s t i l lp c a s a s a s st h ep r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so fl n i nt h es e c o n ds e c t i o n ，啪g i v et h e p r o l 均r t i a sa b o u tt h eo p e r a t o r 瓦w h i c hp r e s e r v e sm o n o t o n i c i t y ，c o n v e x i t y ，s t a r s h a p e ， s u b a d d i t i v i t y 喊i 伽一i 皿i n j 8 h i n gp r o p e r t ya n ds oo n ( t h e o r e m2 1 ，2 - 3 ，2 4 ，2 5 ，2 8 ) w ef o u n dt h ep r o b a b i l i s t i cr e p r e s e n t a t i o na b o u tb e r n s t e i n - d u r r m e y e r ，s z a s z - d u r r m e y e s a n db a s k a k o v - d u r r m e y e ro p e r a t o r ，t h e r e b yv l eo b t a i nt h e i rm o n o t o n i c i t yp r e s e r v a t i o n p r o p e r t y ，c o n v e x i t yp r e s e r v a t i o np r o p e r t y ，s m o o t h n e s sp r e s e r v a t i o np r o p e r t ya n dd i - m i n i s hb o u n d e d - v a r i a t i o np r o p e r t yb yp r o b a b i l i s t i cm e t h o d ( t h e o r e m3 1 - 3 3 ) t h e s ea r e t h ec o n t e n to ft h et h i r ds e c t i o n t h er 目u l t si nt h et h e s i sr e l a t i v e l yc o m p l e t et h es t u d yo ft h ep r e s e r v a t i o np r o p e r t i e s o ft h ec l a s s i c a lb e m s t e i n - t y p eo p e r a t o r sa n di n t e g r a ld d o r m a t i o a0 fw h i c ha n df u r t h e r t h es t u d yo ft h ep r e s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h eg e n e r a lk a n t o r o v i c h - t y p eo p e r a t o r k e yw o r d sa n dp h r a s e mt h eg e n e r a lk a n t o r o v i c h - - t y p eo p e r a t o r s ，t h ev u r - r m e y e r i n t e g r a l d e f o r m a t i o n o f b e r n s t e i n - t y p e o p e r a t o r s ，p r e s e r v a t i o n p r 叩e r t y ，c o n v e x i t y , s t a r s h a p e , s u b a d d i t i v i t y , a v e r a g ef u n c t i o n ，d i m i n i s hb o u n d e d - v a r i a t i o n , v a r i a t i o n - - d i m i n i s h i n ，m a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n ，r a n d o mp r o c e s s e s 4 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明t 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名t 王古专一 f t 期：五瞬弘月朋 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定 学位论文作者签名：王寻予 e t 期；弘哆年弘月房日 积分室形正幂予的保特性问题7 为使m - k - z 算子 f n ( ，；甸可以再生一次函数，1 9 6 4 年。e w c t m e y 和丸 s h a r e m a 将该算子修正为m ： ( 4 ) 珊瑚2 三，( 忐) 咄( z ) 联) 该算子的两种变形为t 珊湖=董咄型2i掣铲川如，kf f i 0。蔫 瓤加薹+ o o 啪) 型掣胁州归 = o 。一 。o 其中m k 0 ) = 磷+ k z k ( 1 一z ) 件1 这两个算子分别称为修正的m - k - z - k a n t o r o v i c h 算 子和修正的m - k - z - d u r r m e y e r 算子 上述算子是我们保形逼近问题研究的一类重要对象 1 2 关于经典b e r n s t e i n 型算子的k a n t o r o v i c h 变形的保持性质 经典b e r n s t e i n 型算子的保持性已经有了一系列深刻的结果，这些结果主要是 用概率方法得到的近几年对b e r n s t e i n 型的k a n t o r o v i c h 积分算子的保持性问题也 有了大量的研究结果，尤其对平均保持性的研究有了新的突破( 文献降5 1 ) 我们先 来介绍一些本文常用的符号和概念， 用a 0 表示i 上的连续函数类，对于，a o 定义其平均函数为t 1z a ，( 。) 2 ；上，( 膨 z n 0 ， 由于 ，( + 0 ) = ，( 0 ) ，所以定义a s ( o ) = ，( o ) 我们用山a = 1 ，2 ，6 ) 表示a 0 中依次变大的六个子类 a l = ，a o ：，( 刁是j 上的凸函数l i 也= ，a o ：a l ( z ) 是，上的凸函数 i a 3 = ，a o ：z “( ，( 一，( 0 ) ) 在n ( o ) 上是增的 ； 8 酋毒师范大学硕士研究生擘位论文 血= ，山：“动是z 上的上半可加函数 i 如= ，4 0 ：x - 1 ( 由( $ ) 一a s ( o ) ) 在n o ) 上是增的 ； 也= f ，山：a ，扛) 是f 上的上半可加函数 我们称a 2 中的函数为平均凸函数 f 是关于点知o ，f ( z o ) ) 的星形函数是指t 丛掣在n 跏 上是单调的，( 2 ，霉。d ，是j 上的上即半可加函数是指t ，仨1 。有 ，和+ 订，( 动+ ，( 幻 ( ，和+ 计s ，p ) + f c y ) ) ， 因此也，氐中的函数分别是关于点( 0 ，( o ) ) 的星形函数和平均星形函数；山， 山中的函数分别是上半可加函数和平均上半可加函数我们注意到如中的函数有 明显的几何解释在文献 1 0 1 的引理4 告诉我们，若，( 甸0 。茹i 且f ( x ) = 0 ， 那么f 也营，( 。) 2 a s ( x ) 。也就是f ，( t ) 疵；，p ) ，这表明函数曲线，下 的面积受控于( o ，o ) ，扛，0 ) ，p ，( z ) ) 为顶点的三角形面积 对于1 1 中的赢( ，甸、瓦( ，；甸、玩( ，；$ ) 算子的保持性质，通过算子特殊 结构的分析方法已经得到了不少结论( 见文献f 2 5 1 ) | 1 ) 保单调往 若，如) 在i 上单增( 减) ，则对v n n 有再0 动、瓦( ，；刁、可( ，z ) 关 于z 在i 上也单增( 减) 2 ) 保凸性t 若f ( x ) a l ，则对n 有t 玩( ，；z ) a a 、瓦( ，；z ) a 1 ，- n ( ，；z ) a t 3 ) 保星形性； 若，( 山且是，( o ) = 0 的非负函数。那么若x - 1 r ( z ) 不增， 则对n 有t $ “瓦( ，汹、r 1 晶( ，；习、z - x v ( 厶z ) 不增，即瓦、巩瓦 关于原点是保星形的 4 ) 保半可加性 若，( z ) 在1 0 ，1 1 上下半可加且不减，则t 百。( ，曲在【o ，l 】上也是下半可加且不 减的函数；若，( $ ) 4 4 ，贼对n 有，巩( ，；功山，瓦( ，；z ) e 凡 积分变形正鼻子的保持性同意 9 5 ) 保平均凸性 若，( z ) a 2 ，则对咖n 有_ n ( ，；$ ) a 2 ，瓦( ，；甸a 2 、瓦( ，；甸a 2 6 ) 保平均星形性， 若，( z ) 山且是i ( o ) = 0 的非负函数，那么若x - 1 a j r 0 ) 不增， 则对v n n 有，- 1 瓴( z ) 、霉一1 电( z ) $ - 1 a “( $ ) 不增。即瓦，瓦。审 关于原点是保平均星形的 7 ) 保平均半可加性。 若，扛) 山且如0 ) 在( o ，o o ) 上减，则对n 有t 瓦( ，$ ) 也 记u ( ，；毋= 肌p i ，( 刁一，( 们i ：睁一| 一5 ；，弘ej ) 是，的连续模i , o l ( 1 ；0 = s u pf i ，( t + ) 一，( t ) 陋称为，的积分模设，( t ) 是连续模函数，即u ( t ) 是【o ，) 0 0 ( 1 3 3 ) m ，= ：嚣 n s 田 1 0 ， z 0 ，1 只加i 踹蹦1 一) 0 似l o 3 砷 这里耀是取值于j 的双参数随机变量，嚷是其分布；e ，( 露) 是随机变量瑶在 函数，下的数学期望函数，须使得右式有定义，比如，关于测度d g ：( t ) 可积 积分变形正算子的保持性质 口1v 玩( ，z ) = e ，( 等) ，露2 鲁 2 【0 ，1 1 ( 2 ) 龇垆吖( 警) ，露= 等 ( 3 ) 叫，妨= 酬警) ，瑶= 警 ( 4 ) ( 埘= 研( 器) ， ( 4 ) 幅( 加) = 酬糌) ， 露= 器z 【0 1 ) 露= 器z 【0 - ) 1 1 其中( 4 ) 和( 4 ) 里的h 为函数， h ( z ) = t 二： 正是基于这些算子的概率表示，用概率论的方法得到了它们的一系列保持性质 ( 文献【6 ，8 ，9 ，1 7 2 0 1 ) ，如保单调性、保凸性、保光滑性等以下几个引理，对我 们在第三章利用概率方法研究算子的保持性质十分有用： 引理1 1 ( 见f 9 】命题1 ) ，若k 是个可以表示成( + ) 式的算子，那么对v n n ， 厶保持单调性等价再当$ ”时，瑶“露 其中，z ：“露被称作是在随机阶意义下随机变量名比嬲要小，指的是概 率不等式p ( 瑶 t ) p ( 碟 t ) 成立易知，由露z 嚣，n 可得p ( 髹 t ) p ( 露 ) ，但反之不然 引理1 2 ( 见【9 l 命题2 ) ，若厶是一个可以表示成( + ) 式的算子， 那么对v n n ，l n 保持凸性等价于； ( i ) e ( 瑶) = $ + 屯z ，( c - n ，如是仅与n 有关的常数) 1 2 首彝师范大学硕士研兜生学位论文 ( i i ) l b e 蕾，v t i ( 是在j 端点处连续的凸函数类) 其中，我们定义豳：= 扛一t ) + ，z j ( 。+ = m a x z ，o ) ) 引理1 3 ( 见【6 】定理1 ) t 若工。是一个可以表示成( ，) 式的算子，并且满足 ( i ) 当z y 时。j 瑶s z 毛n d ( i i ) e ( 兹) = c n z - i - d az i ，c - n ，矗是仅于n 有关的常数 则t ( 口) 当，l i p ( a ，口) 时，三。，工咖( e 嚣a ，8 ) ； ( 若，ec ( j ) ，有4 l 。f ；6 ) ( 1 + 灿( ，；6 ) ； ( c ) 若，g ( d 且有一个凹的连续模，那么，w ( l 。厶毋su ( ，；c r l 6 ) 其中6 0 定义1 4 i s ：用圣表示j 上严格单增凸实值函数l p 且妒( o ) = 0 的全体对妒壬 0 o ，可( 功是，上的凸( 凹) 函 数 于是由( 2 2 ) 式有 定理2 & 设瓦( ，；功是( 2 3 ) 形式的算子k ( ，z ) 有保凸( 凹) 性，姗对v n n 瓦( ，功也有保凸( 凹) 性 评注1 ( i ) 对于算子瓦( ，；。) 、瓦( ，；$ ) ，瓦( ，；甸，由于b e c r e i n 、s 矗。 m i r a k j 。b 蛐算子具有保单调性和保凸性旧，且( t ) 一：，因此由定理2 1 和定理2 3 可以得到它们的保单调性和保凸性 ( ) 对于算子丽。( ，；z ) 和丽：( ，z ) 由于m n ( f ；x ) 和肘：( ，；功具有保单调性旧， 而对应的( t ) = ：；i 笔，易知以( t ) ( 一1 ) ，因此由定理2 1 可以得到它们的保单 调性但是算子尬。( ，；z ) 、丽。( ，；z ) 和磁( ，z ) 都不具有保凸性 事实上，正算予保凸的必要条件是将直线变为直线斜，经计算可得t ( t 加z + 萼兰孚z f l ( 1 ，2 肘2 ， 矾似功= 1 一；z 。+ 1 ) 唔l - + z ) ”戤 瑶( t ；功= 下z + l n 。，f 。( ，1 - 十x ) 计1 疵， 这里：f l ( 口风7 ；z ) z 薹訾蔷是超几何级数，其中( n h = n 如+ 1 ) ，缸+ k 一 1 ) ，i l ；( a ) o = i 显然它们都不是直线 ( m ) 对于】霸( ，- z ) 算子，由于 k ( ，；z ) 有保单调性嚼，而对应的( t ) = ：；专笔， 易知戎2 ( 一1 ) ，因此由定理2 1 可以得到它的保单调性另外。由文献【6 1 可知 首牟师范大学明士研究生学位论文 z k ( ，；妨有保凸性，而它的k a n t o r o v i c h 变形算子，；( ，i 是否具有保凸性还是个有 待解决的问题 2 2 星形性和半可加性 定理2 4 设己( ，；z ) 是( 2 3 ) 形式的算子l 。( ，；功有保星形性，则t 对v n n ， 瓦( 只甸也有保星形性。 证明t z 1 i 躜5 ( 磁5 ( 0 ) 】 由，是星形知 ! 鱼竺鱼生= ! ! 垒竺! c 缸z 是单调的。因此z 一1 【乒搿( o j 粥( o ) l 是单调的。再由k 的保星形性结论得证 定理2 5 设l ( ，2 ) 是( 2 1 ) 形式的算子如果f ( x ) 在j 上是上( 下) 半可加 的减( 增) 函数且( t ) 在i 上是下半可加的，k ( ，；$ ) 保持上( 下) 半可加性， 则。对v n n ，瓦( ，；习在j 上也是上( 下) 半可加的 证明：由( 2 2 ) 式可知 磁化) = 高f 矗，似+ x ) d u = z 1 心嘶刊胁 同理可得- 礤锄) = z 1 ，b ( 卅洲如 磷7 扛捌= j ( 1 ，k 陬( 时卅。刊 ，l渤。摊 一 他一 钳一_ 似 + 甸一庐翼 帕 八竺 愿一 l l r 一妒 一例 l l m n 一 一 q一峙霈 积分变形正鼻子的保持性最是 那么 礤乍) + 磁m ) = 上1 ，b ( 蝓( z ) + 训+ ，( 蝓( 卅州出 由，的上半可加性知 礤7 扛) + 磁7 ( ) - o ，h ( t ( z ) + 枷，i 白) + z + f ) 】以 1 由( t ) 的下半可加性知 t m a n ( x ) + u 妒n ( y ) u 4 0 n ( z + ，) 再利用f 的递减性知t 磁乍) + 研) 0 1 ，b ( 撕( 蚪p ) + z + p ) m = 磁化+ ) 1 7 即t 磁7 ( 。) 在i o 上是上半可加的，由l n 的保上半可加性结论得证 定理的另一部分同理可证 因为i p ( n ) 是个只与n 有关的非负常函数，所以一定是下半可加的。由定理 2 5 可知一 推论2 6 设l ( ，) 是( 2 3 ) 形式的算子那么，如果f ( x ) 在j 上是上( 下) 半可加的减( 增) 函数且k ( ，；z ) 保持上( 下) 半可加性。则对v n n ，l ( ，；z ) 在j 上也是上( 下) 半可加的 评注2 由文献陋5 】知，若f ( x ) 是j 上的非负函数且，( o ) 一0 ，当z - 1 f ( x ) 在， 上单调减时，z 一1 风( ，；。$ 一1 & ( ，功、$ 一1 k ( ，；z ) 也在j 上单调减，由这里的 定理2 4 便可得到1 2 中的性质3 ) ；由于晶，& ，算子保持半可加性，因此， 由推论2 6 可得到1 2 中的性质4 ) 首鼻师范大学硕士研究主学位论文 2 3 符号减少性 对任意个实数列 ) ，我们用y 【t ) 】表示这个数列的符号变号数对f c ( n 我们用y 【，】表示，的变号数，也就是 y l ，】= s u py 【厂( z o ) ，( z 。) l 这里的上确界取遍所有的单增数列- 当i = 【0 ，1 1 时0 z 0 l ；当 j = 【0 ，) 时0 w 0 o ，使得如( y 0 一最y o + 毋c ，妇) ，有，( 功 0 那么t 广p1，o+d，妇 f ( m ) = f ，( t ) 疵 o 相互独立的g a m m a 随机过程 是【o ，1 j 上服从均匀分布的随机变量 ( 们磁( 加) = 吖【麓赫w + 杀( 1 一w ) l 2 0 首尊师范大学硕士研览生学位论文 其中 腿) t o 是标准p o i m 随机过程， u t t z o 是与 腿) t 2 0 相互独立的g a m m a 随机过程 是【0 ，1 1 上服从均匀分布的随机变量 在( 4 ) ，( 4 + ) 中的函数联z ) = i _ 笔 利用它们的概率表示，我们用概率论的方法也可以得到上述算子的一些保持性 质，这里不再赘述。 第三章一类d u r r m e y e r 积分型正算子的概率表示 对于b e r n s t e i n - d u r r m e y e t s 口t s z - d u r r m e y e r b a s k a k o v - d u n m e y e r 算子， 我们发现了它们的概率表示，并用概率论方法得到了它们的一些保持性质 3 1b e r n s t e i n - d u r r m e y e r 算子的概率表示及保持性质 对于b e r n s t e i n - d u r r m e y e r 算子，我们得到了如下形式的概率表示， 彘i f ；x ) = 彤( 露) ，露= b ( 露+ 1 ；，l + 1 一t d ，( 3 1 ) 其中。露是贝努利实验过程，b 是b e t a 分布 事实上，由全概率公式及( 1 3 1 ) ，( 1 3 5 ) 知t露的分布函数 “：【”= p 【z 嚣s t ) = p c b ( 7 嚣+ l ；，l + 1 一t 等) s t ) = p ( 露= k ) p ( b ( k + 1 ；t l + 1 一) s t ) = 塾z 昕却叫麒以 2 荟扛) ( n + ”上似m 明琢) = 办t ) 蛾= 薹n 咻+ 1 ) 办洲妣 从以上过程中，我们还得到了随机变量名的密度函数 p ( t ) = 五d g z | 。t ) = ( z ) + 1 ) ( t ) n k = o 利用它的这一概率表示，可得到如下的保持性质， 定理3 1 ( i ) 鼠( ，；z ) 具有保单调性 ( ) 磊( ，；z ) 具有保凸性 2 1 首都师范大学硕士研览生学位论文 ( i i i ) 着，l i p ( a ，a ) ，则b r , ( f ；x ) l i p ( ( 惫) o a ，q ) 。 若，c ( n 则有u ( 瓦；6 ) 暑箬u ( ，；6 ) ；若，还有凹连续模， 则有u ( 百。；6 ) 曼u ( ，燕) ，6 0 ( i v ) 磊( ，) 有有界变差减小性 证明，( i ) 由文献 6 1 及引理1 1 可知结论成立 ( n ) ( 3 1 ) 式中的随机变量兹其数学期望为 e 缓2 o 缸“幻拈j c 篆啡“m “出 =kk(z)协+1)上k(t)出k= o 。” =d-女o)(n+1)上c：#“1(1一o”山班k= o 。” =壹晰坳+1)菇婴帮寄业k= o 、7、7 2 壶篆州壶 2 希轰+ 壶。希+ 壶 届，( 也；z ) = k 女( $ ) 伽+ 1 ) 0 咖( u ) k ( u ) d u k = o 2 薹忸) ( 1 ) z 姒乏扛) ( 叶1 ) 上州) k “托 2 k 壹= o “州州) 小叫咻胁 由于( z ) = n k - 1 , k - 1 ( z ) 一6 ，i - l , k ( 功】，k = 0 ，1 ，记k 一l ( z ) = 0 d b 。( o r ；$ ) d x屹“。) + 1 ) 1 ( u 一) k t ( “) d u 帆_ 1 如) ( n + 1 ) ，1 ( “叫“) - ( u ) m n k _ l t ( z ) ( 一1 ) 1 ( n t ) 碥+ l ，t + 。( u ) 如 n “z ) 1 h 斛。( “肌 。黜脚“黜脚 积分变形正算子的保特性问题 腿毪笋；n 篆- 2 小_ 1 ) 莉1 砌) 0 因此，由引理1 2 知菇i f ；z ) 保凸 ( i i i ) 由( n ) 的证明过程及引理1 3 知结论成立 ( i v ) 由引理1 5 知结论成立 3 2 s z 矗s z - d u r r m e y e r 算子的概率表示及保持性质 对于s z a s z - d u r r m e y e r 算子，我们得到了如下形式的概率表示 2 3 瓦( ，x ) f f i e i ( 耀) ，瑶一竿 ( 3 2 ) 其中 n j t o 是标准p o i s s o n 随机过程。 巩 伽是与 j v d t o 独立的g a m n m 随机 过程 事实上。由全概率公式及( 1 3 2 ) ，( 1 3 3 ) 知兹的分布函数 嚷( t ) = p ( 瑶t ) = p ( 旦曼导曼s t ) = p ( + 1 t “) 0 0 = p ( v 矗= 女) p ( 巩+ l 茎n t ) = 薹眦，j ( 城字如 可( 确= f 巾胤t ) - 妻k = o “咖j ( 。触觯) d t 从以上过程中，我们还得到了随机变量瑶的密度函数 p ( t ) = 缸= 丕o o 嘶弦阳 利用它的这一概率表示，可得到如下的保持性质 定理3 2 ( i ) 磊i f ；x ) 具有保单调性 首都师范大学硕士研完生学位论文 ( n ) 品( ，z ) 具有保凸性 ( i i i ) 若i l t p ( a ，a ) 则蟊( ，；功工酬且， 若，c ( j ) ，则有( 磊；6 ) s 缸( ，；6 ) ；若，还有凹连续模， 则有，( ：l ；d s u ( ，；毋，6 o ( i v ) 蕊( ，z ) 有有界变差减小性 证明，( i ) 由文献 6 j 及引理1 1 可知结论成立 ( n ) ( 3 2 ) 式中的随机变量兹其数学期望为 坛2 j ( “础皿。j c 。篆“咖5 一”出 = 薹船。n j ( o o c 啦= 薹n f 等出2 未船”j c ：( 啦2 荟1 z ! = = ：筹f 出 = ：薹s 躺宇1 ：薹霉竽+ 磊1 2 等篆础) + 石12 1 氟( 妃。) = 薹( 疹n z 。也( n ) 如 = 妻( 咖n 。也( “) 缸+ - 妻如h 厂也扣) s 岫( 。协 = k = o ( 咖“o 也( “) 如+ 如) “j ( “也扣) 8 岫( “协 ：妻女扣) n 厂扣一力 如 由于晶k ( z ) = h i 8 。，k l ( z ) 一，k 0 ) 】 自2o 记如一1 臼) = 0 堕掣= 塾如) n 厂( 蹦懒 = 争讪) n 厂( 一帅“砷飞删如 i = o 。 = 妻n 嘲 ( 砷( 一1 ) f 。m t ) m m ；妻n k ( 。) f 。晰删如 同理，! 兰墨：等边：妻n h “z ) 。( ) 。 因此。由引理1 2 知蠡，；) 保凸 积分变形正算子的保特性闩逼 ( i j i ) 由( 赶) 的证明过程及引理1 3 知结论成立 ( i v ) 由引理1 5 知结论成立 3 3b a s k a k o v - d u r r m e y e r 算子的概率表示及保持性质 对于b a s k a k o v - d u r r m e y e r 算子，我们有如下的概率表示 讫z ) = 盯( 瑶) ，露一f b 而( n = u 瓦“+ 丽1 ；n - 1 ) ， ( 3 3 ) 其中 肌) t 0 是标准的p o i s s o n 随机过程， u j t o 是与 肌 t 邳独立的g a m m a 随 机过程。b 是b e t a 分布 事实上，由全概率公式及( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ，( 1 3 5 ) 知兹的分布函数 嚷( t ) 令( 1 + z 如= ，则 g 嚣( t ) = 虬= 砷 2 如上”丽e - w t j n - 1p 叫由 2 如丽i 尝- 面f e 一1 托p c ，b 1 缸 一u p - 2 出面南fc 弋毒r “( - 刊。2 面 一u ) k - 2 如南譬第 一u ) d u t 机( e ，( 绷= z ”) 蛾o 。= 薹( 州n 一1 吃”巾d t 研) - j c “幻蛾 卜丕 ) ( 一1 ) j c “。 ) d t 。 协 弘 廿 0 ( i v ) 讳( 厶z ) 有有界变差减小性 证明，( i ) 由文献【6 】及引理1 1 可知结论成立 ( 动( 3 3 ) 式中的随机变量兹其数学期望为- e 露= 7t p ( t ) 出 2 z 。薹如- 1 ) o = e q 诸扛) ( n 一1 ) t t ( t = 邑o o 嘶肌1 ) ，。铩哥帅十t ) - ( n d t j 0 = t 睹( ) 伽一1 ) 气暑之瑞萨+ 1 ( 1 + t ) + 埘 = 0“二v ，5 积分室形正鼻子的保特性同意 令t 2 击则 蹈= 黑( 功加一1 ) j ，0 1 黼1 ( 1 一” e 露= ( $ ) 加一) 等三j 竿1 ( 1 一” b = 0 ：”1 ，； 暑，一 、加+ i 1 ) ! 伪+ 1 ) ! 似一3 ) t 。磊( 霉) ( n 一1 ) 铺箭1 -鼍= o“o - 1 ，5v j 3 2 盏刍c 功磕+ 薹刍2 蔷高磕+ 南 =曼击铩等却硝i+1)-i-21 ) t 南2 毒南n 一削( n 一一7 n 一 = 墨圣t 扛) + 上n - - 2 2 雨备1 忙) + 一 y 1 1 2 五o - i - a 由于t 缸( ) = n 【l 一1 ( 牡) 一珥i + l ，i ( u ) 】，七0 记。一l ( 髫) = 0 同理。 ( 九；z ) ；，k ( z ) 一1 ) 也( t ) t 讯( d u l f f i ：oj o 。，t 1 0 0 = 。k ( ) 唧一1 ) ( f 也( “) u 咄扣) d + ，也( ) t 机m ) d u ) = 0j oj t ，o o = ，t ( z ) ( n 一1 ) ( 一t ) t - 小( ) 如 鼍笋= 黑掣协- 1 ) z 。( = 住， + l ( 茹) ( n 一1 ) f( t i t ) 陋。k - i - l ( 1 9 ) 一t 机( t ) l d u ；n i + 1 ( 功( 一1 ) ( 一) 嵋- 1 , i + l ( u ) 如 ；n ，k + l 1 ， - i - ! ( t m 生蔓亳笋= 薹咖+ ，) 站击珏乏础( u ) 2 。 因此，由引理1 2 知讫( ，z ) 保凸 进) 由( i i ) 的证明过程及引理1 3 知结论成立 ( i v ) 由引理1 5 知结论成立 【1 1 i 1 2 】 3 1 【4 l 【5 l 嘲 册 【8 l 【1 0 】 【1 l j 【12 】 【1 3 j 【14 1 f 1 7 j 【l8 】 参考文献 陈文忠编著。算子逼近论，厦门大学出版社( 1 9 8 9 ) z b o n g i 国il i ，b e r u s t e i np o l y n a n m i l sa n dm o d u l u so fc o n t i n u l t y , j 九t 1 0 2 ，1 7 1 1 7 4 ( 2 0 0 0 ) z h a n g k a il ia n dc h u g o uz h f f i z ，s h a p ep l 馏汀诚唱p r o p e r t i e so fb e r n s t e i n - l m u t o r o v i c ho p - e r 8 啪“da p p e a r ) 张春苟，s 嘶洳删血算子的保形性质，应用数学学报第镐卷第3 期。埘z - 5 c