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定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是平面内两个定点,点P0(x0,y0)分有向线段所成的比为,则有 (1) 而 特别地,当点P0为内分点或者与点P1重合时,恒有0,当点P为外分点时,恒有0(1)。定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。灵活应用这个公式,可使解题过程简洁明快,充分展现思维的独创性。下面举例说明它在解题中的应用。一、 用于求解数值的范围例2.已知求证:。证明:设是数轴上的三点,定比分点,则定比 的外分点,则 。二、 用于解决不等式问题例1.已知,求证:。证明:设是数轴上的三点,则 是的内分点,在-1与1之间,即。定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题,具有很明显的相似之处。1平面几何中的定比分点:命题1:设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2 若平行于底边的截线EF把梯形的腰(高)分成上、下两部分之比为(-1),则EF的长l=(0)。特别地,(1)当l1=l2时,条件为一平行四边形,结论仍成立;(2)当l1=0时,条件为一三角形,结论仍成立;(3)当1时,即可得到梯形的中位线公式。证明:设BA的延长线与CD的延长线交于O,由三角形相似可得由(1)(2)可得。依照命题1的推导方法,不难证明出以下命题:命题1:设梯形ABCD的上,下底边长分别为l1,l2,若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上下两部分之比为,则有(特别当l1=0梯形退化为一个三角形时,结论为=仍成立。)2、立体几何中的定比分点:命题2 :设棱台的上、下底面积分别为S1、S2,平行于底面的截面的面积为S0,此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为,则有: 。特别地,当1时,。证明:将棱台补成棱锥,设所补的小棱锥的高为x,截面到上、下底面的距离分别为h和h,则由截面性质定理可得:从而有: (1) (2), 由(1) (2)得即:依照公式2的推导方法,不难证明出以下两公式:命题2:设棱台的上、下底面积分别为S1、S2,平行于底面的截面的面积为S0,若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为,则有命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S1、S2,平行于底面的面积为S0若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为,则有注:以上三个公式,对于圆台也同样成立上述三个“定比分点”公式,形式整齐,结构对称,富有美感,便于记忆;而且在求解立体几何的有关问题时,有着广泛的应用。3数列中的定比分点:命题3:设是等差数列,其中ap、am、an,满足则。证明:ap=a1+(p-1)d , am=a1+(m-1)d , an=a1+(n-1)d(其中a1、d分别是等差数列的首项与公差)将ap、am、an 代入 中可得 命题3:设是等差数列,n是数列的前n项和,其中p、m、n满足(),则。证明:因为 =那么S=An2+Bn,即,所以数列是等差数列,由命题3,即有。三、 用于求函数的解析式对于函数y=f(x),如果能够化为,就与的形式完全相同(只须把t(x)看成),用数轴上两点P1、P2分别表示m、n,不妨设m0时,myn;当t(x)=0时,y=m;当t(x)0时,ym 。 例3.已知二次函数f(x)满足条件:(1) f(-1)=0;(2)对一切xR,都有成立,求f(x)的解析式。本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐,有些学生因为综合能力差,听完讲解后仍然似懂非懂,但如果运用定比分点公式解题则非常简
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