（基础数学专业论文）对角算子的不变子空间和循环向量.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 不变子空间问题是一个引人瞩目的公开问题，它是说在一个可分 的h i l b e r t 空间上，是否每一个有界线性算子都存在非平凡的不变子空间? 研究表明它可以约化为对角算子的不变子空间的情形，具体地它有如下 的等价提法：对于a 算子t ( 丁可以取为对角算子) ，如果m 和是t 的两个 不变子空间，满足m 互且d i mj v m = 0 0 ，那么是否存在r 的另一个不 变子空间l 使得m 三? 考虑一般对角算子的不变子空间是非常困难 的，本文主要研究h i l b e r t 空间上一类对角算子的不变子空间和循环向量， 给出了这类算子不变子空间和循环向量的完整刻画。这一结果完全覆盖了 紧对角算子的情形。另外，在此基础上我们给出了f 0 c k 型空间上复合算子 循环性的一个不同的证明。 关键词：循环向量，不变子空间，对角算子，性质( + ) 复旦大学硕士学位论文“ a b s t r a c t t h ei n v a r i a n ts u b s p a c ep r o b l e mi sa l la t t r a c t i v eo p e np r o b l e m i ti s t oa s kw h e t h e re v e r yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ro na s e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e h a san o n t r i v i a li n v a r i a n ts u b s p a c ea n di tc a nb er e d u c e dt ot h ec a s eo f d i a g o n a lo p e r a t o r e q u i v a l e n t l y , i tc a l lb er a i s e da sf o l l o w s ：f o ra na o p e r a t o rt ( tc a l lb ead i a g o n a lo p e r a t o r ) ，i fm a n dna r et w oi n v a r i a n t s u b s p a c e so fts a t i s f y i n gmgna n dd i mn m = o o ，t h e nd o e st h e r ee x i s t a n o t h e ri n v a r i a n ts u b s p a c els u c ht h a tm 互l ? i ti sr a t h e rd i f f i c u l t t os t u d yt h ei n v a r i a n ts u b s p a c ep r o b l e mo fg e n e r a ld i a g o n a lo p e r a t o r s t h i s p a p e rm a i n l yd e a l sw i t hi n v a r i a n ts u b s p a c e sa n dc y c l i cv e c t o r so fc e r t a i n d i a g o n a lo p e r a t o r so nas e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e i nt h i sc a s e ，ac o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o ni sg i v e n t h ec a s eo fc o m p a c td i a g o n a lo p e r a t o ri sc o v e r e d a sa l la p p l i c a t i o n ，ad i f f e r e n tp r o o ff o rt h ec y c l i c i t yo fs o m ec o m p o s i t i o n o p e r a t o ro nf 0 c l 【t y p es p a c ew i l lb eg i v e n k e y w o r d s ：c y c l i c v e c t o r ，i n v a r i a n t s u b s p a c e ，d i a g o n a lo p e r a - t o r ，p r o p e r t y ( $ ) 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均己在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：燃 论文使用授权声明 日期：型乙生：f 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：弛 导师签名 第一章绪论及预备知识 泛函分析是上世纪三、四十年代发展起来的一门内容丰富、综合性很 强的数学学科。它的诞生和发展受到数学的抽象化、公理化以及量子物理 的推动，其研究己获得了丰富而有价值的成果。目前，对算子理论、算子 代数的研究是泛函分析的主要课题之一。 设石是一个b a n a c h 空间，t ：z z 是其上有界算子。对刀的一 个闭子空间m ，如果t mcm ，则称m 是t 的不变子空间。著名的“不 变子空间问题”是说在一个可分的b a n a c h 空问上，是否每一个有界线 性算子都存在非平凡的不变子空间【1 0 】? e n f l o 1 构造了一个反例，存 在b a n a c h 空间上的算子没有真不变子空间。r e a d 2 给出了一个更简单 的构造，并在【3 l 中证明在序列空间f 1 上，这样的算子是存在的；对于 一般h i l b e r t 空间中的不变子空间问题仍是一个引入关注的公开问题。 由b e r c o v i c i ，f o i a s 和p e a r c y 4 的工作可知，这等价于a n o 算子簇中的如下 问题：对于a 算子t ，如果m 和是t 的两个不变子空间，满足m 且d i mn m = 0 0 ，那么是否存在t 的另一个不变子空间l 使得m 工g ? 本文将构造一个对角算子，它属于a n 。簇，从而一般的不变子空间问题 可以约化为对角算子的不变子空间的研究。这也说明考虑一般对角算子的 不变子空间问题是非常困难的，我们将主要研究某一类对角算子的不变子 空间及其循环性。 算子的循环性和不变子空间有着紧密的联系。设日是h i l b e r t 空间， 对日中向量，显然i 阿 ，t f ，铲， 是t 的包含向量，的最小不变子空 复旦大学硕士学位论文 间。如果面丽 t ， 铲，) = h ，则称，是关于t 循环的，t 是一个循环 算子。算子t 没有非平凡的不变子空间当且仅当每一个非零向量关于t 都 是循环的。另一方面，如果m 是t 的一个非平凡的不变子空间，则m 中的 每一个非零向量都是非循环的。若 ，t ，t 2 ， = h ，则称向量，是超 循环的，算子t 是一个超循环算子。如果t 的任意一个不变子空间都可以 由? 的一些特征向量张成，则称算子? 是谱综合的。 对日上的算子d ，如果存在一组标准正交基 e 。) 是o ，使得 d e n = k ，v n z + ， 那么称算子d 是对角的，此时可将d 写成如下形式： d = d i a g ( , x o ，a l a 2 ，) 对于一般的对角算子，不变子空间的研究是困难的，我们将考虑一类特殊 的对角算子。设e c ，若存在一个良序集a ，使得e = i 口a ) 满足如 下条件： ( c 1 ) 对任意的口，p a ，若o p ，则n 。叩， ( c 2 ) v a a ，j a 。c ，使得i c 岫一a 。i o 。 则称e 具有性质( + ) 。本文的主要结果是对特征谱集具有性质( + ) 的对角算 子d 的不变子空间给出了完整的刻画，并且证明算子d 是谱综合的。 本文安排如下： 第二章介绍t a r o 算子簇，阐述了a 算子簇在不变子空间问题研究中 的重要意义，刻画了a r o 算子簇中对角算子的特征。 第三章定义了性质( + ) ，给出了具有性质( + ) 的例子。研究觚。算子簇 中的对角算子的不变子空间是相当困难的，我们只考虑特征谱集满足性 质( + ) 的对角算子，这一类对角算子不属于a 算子簇。我们对其不变子空 间和循环向量给出了完全刻画。主要结论如下： 定理1 1 设h 是一个i t i l b e r t 空间且 e 。) 是日的一组标准正交 基，d e 。= d r i e 。，假设 d ，l fn z 十 具有性质( ) ，则下述结论成立： 2 复旦大学硕士学位论文 ( 1 ) 如果厶d 。( y n m ) ，则【，】= 顶- e 。i ( ，) o ) 此时，循 环向量恰好有如下形式： o o ，= k ，y n z + ，其e e b 0 n - - - o m 为d 的不变子空问当且仅当有z + 的子集s 使得 m = 司丽 b 。i 仃s ) ( 2 ) 如果存在m ，仃z 十，且m n ，使得d 。= 厶，则存在z 十的唯一 的一个分割 r d ，满足如下性质： 对m ，仃z + ，d 。= 厶当且仅当存在一个i z + ，使得m ，n r 设凰= 聊 i n n ) ，只是日到风上的正交投射，则我们有： 【，】- 8 - - 厕 只i l l = 1 ，2 ，) ，v ，h 并且每一个不变子空间m 恰好具有如下形式： m = o 舰 这里坛是皿的闭子空间 作为定理1 1 的应用，我们有下面的 定理1 2 若d = d i a g ( d o ，d 1 ，d ，l ，) 是紧的，则d 是循环的当且仅 当厶，v n m 在这种情况下，：萎k e ，l 日是d 的循环向量当 n - - - - - o 且仅当k 0 ，v n z 十 第四章首先给出了特殊对角算子的不变子空间和循环向量，然后应 用这个结果给出y f o c k 空间上复合算子+ 6 循环性的一个不同于f 5 】的证 明。 3 第二章a n o 簇中的对角算子 不变子空间问题是说h l i b e r t 空间上的每一个有界线性算子是否都有 一个非平凡的不变子空间，这等价于a h 。算子簇中的如下问题：对于某 一个a 啦。算子t ，如果m 和是t 的两个不变子空间，满足m 互且d i m n m = o o ，那么是否存在t 的另一个不变子空间l 使得m 互l 互? 在这 一章里，我们将刻画a 中的对角算子的形式，并构造一个a n 。簇中的对角 算子，这表明一般算子的不变子空间问题与对角算子的不变子空间问题等 价。 首先我们引入一些标准的记号。 设是一个可分h i l b e r t 空间，c ( 日) 是日上的有界线性算子全体构成 的代数。如果acc ( 日) 是一个对偶代数，那么记q 4 为一4 的前对偶。令 d = 2 c ： 1 ) 为复平面上的单位开圆盘，单位圆周t = 。：h = 1 是d 的边界。下面我们介绍a 簇和控制集的概念： 定义2 1 心，定义2 口卸设mcc ( ) 是一个弱+ 闭子空间，如果每一 个具有如下形式的联立方程： 陋io 协】= 【l q ，0 t ，j 0 0 ， ( 这里【l 巧j 是q m 中的任意固定元) 都有一组由日中的向 量 ) o ( 屁，l i t 2 ) 当且仅当下述条件之一满足： i ) 文 8 西 2 ) 3 l = 魏。m l m 2 。 下面我们验证e 满足条件( a ) ，( c t ) 。 条件( a ) 显然成立 对于条件( c t ) ，首先记。的圆心为印c ，取知，。= 印一( 即，。一印) 注意到对任意的，m ) ，若( p l ，m 1 ) ，m ) ，则，。在圆周c 台上或者圆 周c 台内，并且总是有。叩，m 因此，由几何意义得 i 即，。一如，。i = 2 i 即，。一印i l ( d m ，m l 一印) + ( o 只。一印) i = l a 口t l , r a 。一粗。j 条件( q ) 得证。因此e 具有性质( + ) 值得注意的是，f 所包含的圆周不一定是同心的 倒3 2 设p ( z ) 是一个多项式。a c ，且 o ) ，在k 上 任取一个固定的点p ，通过计算可知存在一个。包含”的圆周p ，使 得g n k = 扫) 这里的“包含”是指相应于e 的圆盘包含伽+ i y lz ，y r ，学+ 岳 1 ) k 的任意可数子集e 具有性质( + ) 为此，无妨设e 为无限集，记e = in z + ) 对每一点都存在 一个圆周g 经过该点且包含椭圆设c k 的圆心为龟，取k = 2 龟一a n - 5 例子，。j 类似，由圆周c k 的取法，可以验证条件( g ) 条件( a ) 是平凡 的所以e 具有性质( + ) 。 在这个例子当中，如果我们用圆周代替椭圆，同样也可得到具有性 质( + ) 的集合我们也可以将例子只j 中的圆周换成椭圆 但是，我们可以验证集合“一1 ) m 彘im = o 或l ，n z + ) 不具有性 质( ) 。 下面是本章的主要定理： 定理3 2 设日是一个h i l b e r t 空问且 e 。) 甚。是日的一组标准正交 基，d 是日上的一个算子且d 岛= 如如果对佗m ，有厶， 并且集合 d o ，d l ，如，) 具有性质( + ) ，则，= k h 是d 的一个 循环向量当且仅当k 0 ，讹z + 证明? 首先我们证明若k 0 ，v n z 十，那z , f = k h 是d 的 一个循环向量。 假设k 0 ，讹z 十，由于e = d o ，d 1 ，磊，) 具有性质( + ) ， 则存在一个良序集a 和一个双射s ：a z + ，如果a t , = 以( 。，那么e = i a a ) 满足定义3 1 中的条件( c 1 ) ，( c 2 ) 。 令厶= 岛( 。) ，则，= 6 ：厶，这里吆= k ( 。) 。记。为a 中的最小元， 下面证明f o i f 。 由于e 具有性质( + ) ，则存在a o c ，使得： i 知一即i 0 ( 3 1 ) 令 = 糌硼， 9 复旦大学硕士学位论文 由上述假设，毋可写为如下形式： = 6 6 ，o + 篆而) 、o - a 8 ) “厶 据此得到 i f 一圳1 2 - 丢i 甓h 1 2 再由( 3 1 ) 式可得 j 1 巴9 5 _ 一b o f o l i = 0 n i + 因而而【，】，由o 可得t o 【，】。 接下来证明若对任意固定的咖a 厶【，】，v 口 锄 ( 3 2 ) 则，伽l r 。 记厂= 6 0 始= ，一后，由( 3 2 ) 可知，7 l 厂】。由于e 满足条 口口o 9 ”如下，( t , l ，m 1 ) ( t , 2 ，m 2 ) 当且仅 当下述条件之一满足： 1 ) n l r t 2 ； 2 ) n l 。几2 ，m l m 2 。 下面我们验证e 满足条件( c 1 ) ，( c 2 ) 。 条件( c - ) 显然成立。 对于条件( c 2 ) ，取h 。= 一饥。注意到对任意的( 佗，m ) ， 若( n 1 ，m 1 ) ( n ，竹d ，则。在。所在的圆周( 不妨记为c 1 ) 上，或 者圆周c l 内，并且吼。q n ，。因此 i q n , m h 。i = 2 r l 甄。肌+ 铷，。i = i q m ，m 1 一k ，m i ， 条件( c ：) 成立。 口 容易看出具有性质( + ) 的集合的任何子集都具有性质( + ) 。在引 理3 1 中，如果我们从每一个最取有限个点，我们就得到另一个具有性 质( + ) 的集合。由此我们得到如下定理。 定理3 4 假设对角算子d = d i a g ( d o ，d 1 ，厶，) 是紧的，则d 是 循环的当且仅当厶，v n m ，此时，f = b e 。h 是d 的循环向 量当且仅当k 0 ，v n z + 证明：由定理3 2 ，只需证明集合e = 厶i n z 十) 具有性质( $ ) 。 由于d 是紧的，故l i m d i = 0 。这样我f f - f 取d l 。，以，以。使得 i d o i = i 以。l 一= | 以。i = m a x i t i | t e ) 记e 1 = e t 以。，也。，也。) 类似的，我们可取以州，以啪，以一，使得 i 也。i = i + 。i 一= i d ，一i = m a x i t | it e l 依此类推，我们可知存在一个双射s ：z + 一z 十，使得瓯= 如并且 对 j 有l a , l i q l 。由引理3 1 和定理3 1 可得 n t ) 墨。具有性质( $ ) 即， d o ，d l ，) 具有性质( ，) ，定理得证。 口 1 2 复旦大学硕士学位论文 推论3 l 设p ( z ) 是一个多项式，a c ，且i o l 1 ，则算 子d i a g ( p ( o ) ，p ( 1 ) a ，一，p ( n ) a n ，) 是循环的当且仅当 p ( 竹) c ，p ( 0 a m ) v n f n 以上我们研究了特征谱集具有性质( + ) 的一类对角算子的循环向量和不 变子空间，并对其形式进行了刻画。在2 0 0 5 年，m a r i n 和s e u b e r t 【6 】对整函 数空间咒( c ) 上的对角算子的循环性进行了刻画，得出咒( c ) 上具有特征向 量 k ) 的对角算子d 是循环的当且仅当k k 对任意的仃m 成立，并给 出了d 是谱综合的一系列等价条件本文所得到的结果较之【6 】中结果更为 具体，并覆盖了其主要结果。 1 3 第四章特殊形式以及应用 在这一章里，我们将利用第三章的结果刻画出某类对角算子的循环向 量和不变子空间，同时使用再生核的方法给出一个直接的证明。在此基础 上，我们将给出k g u o 和k i z u c h i 的文章f 5 1 中推论2 1 的一个不同的证明。 我们先介绍再生核的知识【9 】。 设q 是c “中的一个区域，日是由q 上的一些解析函数构成的h i l b e r t 空 间。如果对a q ，映射，一，( a ) ( f 日) 是有界线性的，则称日是 一个再生核空间，并且对任意a n ，存在唯一一个函数风h ，使 得，( a ) = ( f ，峨) 。此时，我们称定义在q q 上的函数k ( a ，z ) = 凤( z ) ， 为日的一个再生核。 通常情况下，称定义在qxn 上的函数( a ，z ) 是n 上的一个解析再生 核，如果k ( a ，z ) 满足如下条件： ( 1 ) 关于确￥析，关于a 共轭解析； ( 2 ) 对任意有限多个点a l ，a 2 ，k q ，矩阵( 贸，沁) ) 。是半 正定的； ( 3 ) 对a l ，a 2 ，k q 和q l ，n 2 ，q 。c ，若等式 m o l t 砀( 九，) = 0 t = l 成立，则兰la i k ( a , ，z ) = 0 。 设俨= ，驴( 叨i 庐，( e 胡) e 神d e = 0 ，行= 1 ，2 ， 为单位圆 盘d 上的h 村d y 空间，它是以j 氏( z ) = 彘为再生核的再生核h i l b e r t 空间 接下来给出引理4 1 ，并给出两种不同的证明。 1 4 复旦大学硕士学位论文 引理4 1 设，= 6 n h ，d 是日上的一个算子，且d e 。= 矿e 。，这里o 0 ，设 = 眼h o l ( c ) i i h 炉= 刎11 i h ( 册”诎( 水毗 称空间只。为f o c k 型空间。对o = 2 ，我们将五。，简单的记为只。 设乃是正上的移位算子，对h ( z ) 五，定义t b h = h ( z + 6 ) 。 设c l + b 是无上的复合算子，对h ( z ) 兀，定义c k + b h = h ( a z + 6 ) 。 需要注意只有当0 8 1 时，移位算子死( 6 0 ) 才是有界的。下面给 出k g u o 和k i z u c h i 的文章嘲中推论2 1 的一个不同证明，也就是下面的定 理4 1 。 定理4 1 对0 8 1 ，设妒( z ) = 似+ b 。这里o i o i 1 ， 且驴l 对每一个正整数七成立设h ( z ) 五，若h ( z ) = 0 + 击) ”是 ( z ) 在z = i - ；b 的泰勒展开，则下述结论成立： 一j 危是g 的循环向量当且仅当n t l o 对任意的n o 成立； 俐mc 只是c 0 的不变予空问当且仅当存在一个集合ecz + ，使得 m = 骊 ( z + 圭) “l 佗研 1 6 复旦大学硕士学位论文 证明? 1 ) 容易验证 气抽= z l c k 疋l 注意到t 毛礓。，a 这说明九( z ) = ，o + 击r 是c l 和的循环向 量当且仅当i h = 扩是c k 的循环向量，由引理4 1 ，这又等价 于o 对任意的凡z + 成立。 2 ) 类似于1 ) ，若c o mcm 。 理4 1 即得结论。 则殳l m 是q ：的不变子空间，这样由引 1 - - d 口 1 7 参考文献 【1 】 e n f l op ，o nt h ei n v a r i a n ts u b s p a c ep r o b l e mf o rb a n a e hs p a c e ，a c t a m a t h ，1 9 8 7 ，1 5 8 ：2 1 3 3 1 3 r e a dc as o l u t i o nt ot h ei n v a r i a n ts u b s p a c ep r o b l e m ，b u l ll o n d o n m a t hs o c ，1 9 8 4 ，1 6 ：3 3 7 - 4 0 1 r e a dc ，as o l u t i o nt ot h ei n v a r i a n ts u b s p a c ep r o b l e mo nt h es p a c e1 1 ， b u l ll o n d o nm a t hs o c ，1 9 8 5 ，1 7 ：3 0 5 3 1 7 b e r c o v i c ih ，f o i a sc a n dp e a r c yc ，d u a la l g e b r a sw i t ha p p l i c a t i o n s t 0i n v a r i a n ts u b s p a c e sa n dd i l a t i o nt h e o r y ：r e a g i o n a lc o n f e r e n c es e r i e s i nm a t h e s m a t i c s ，r h o d ei s l a n d ，a m s ，1 9 8 5 g u ok a n di z u c h ik ，c o m p o s i t o no p e r a t o r so nf o c l 【t y p es p a c e s ， f d i m2 0 0 4 - 0 5 ，p r e p r i n t m a r i nj a n ds e u b e r ts m c y c l i cv e c t o ro fd i a g o n a lo p e r a t o r so nt h