（基础数学专业论文）有限反射不变测度下的调和分析.pdf

有限反射不变剖度下的调和分析 摘要 本文主要研究在有限反射群( c o x e t e r 群) 下不变测度的调和分析c d u n k l 自 1 9 8 8 年以来的一系列工作开创了研究与反射对称和根系有关的多元特殊函数的有效途 径，对数学中的多个领域产生了重要影响，也为调和分析带来了一个新的研究领域。 其一，d u n k l 理论把欧氏空间r “上和球面s 扣1 上关于在正交群下不变的l e b e s g u e 测度的f o u r i e r 分析推广到带有在有限反射群( 作为正交群的子群) 下的不变测度的情 况；其二，d u n k l 理论又是单变量的h a n k e l 变换、超球展开和j a c o b i 展开的高维推 广；其三，在一些特殊参数下，d u n k l 核函数的群不变部分( 广义b e s s e l 函数) 就是 欧几里德型对称空间上的球面函数，d u n k l 理论对其有着很大的促进作用：这一方面 反映了d u n k l 理论的广泛性应用前景，另一方面反映了d u n k l 理论具有巨大的研究潜 力和可能性 本文选择d u n k l 理论中一些重要的调和分析问题作为研究课题，取得了许多有重 要价值的结果，其中包括： 研究了d u n k l 变换的b o c h n e r - r i e s z 平均b ( ，；z ) 和相应的球形和算子b o ，确定 了它们在口空间上有界性的指标范围，这个范围对副上的径向函数来说是充分必要 的通过建立d u n k l 变换的球面( 口，l 2 ) 限制定理，证明了对胪( ，礤出) 中具有紧支 集的函数来说，该指标范围也是充分的。 研究了d u n k l 变换的p o i s s o n 积分、共轭p o i s s o n 积分以及相应的r i e s z 变换和 一类奇异核函数的d u n k l 变换。给出了p o i s s o n 积分的极大函数估计，并证明对反射 群g = 雹，相应的p o i s s o n 积分是几乎处处收敛的；通过给出刑上关于反射不变测度 ”。( 。) 如局部可积函数作为缓增广义函数的适当解释，给出一类奇异核函数的d u u k l 变换表示；利用d u n k l 算子引入c a u e h y r i e m a n n 方程组，定义了相应的共轭调和函数 系( 广义s t e i n w e i s s 系) ，由此给出共轭p o i s s o n 积分的表述，并研究了其基本性质。 在此基础上，引入主值意义下的r i e s z 变换，并对群g = 犁的情况证明了这样的r i e s z 变换与共轭p o i s s o n 积分的边值在一定意义下是一致的。 研究了关于反射不变测度的广义h e r m i t e 展开的收敛和求和问题，确定了上 径向函数的广义h e r m i t e 展开的r i e s z 平均s ( ，；z ) 按妒范数一致有界的充要条件 这一结果推广了t h a n g a v e l u 关于通常多变量h e r m i t e 展开的工作 借助微分一差分技术建立了一类( 一元) s t u r m l i o u v i u e 算子的测不准原理。作 为应用，我们得到了关于j a c o b i 展开，广义h e r m i t e 展开和l a g u e r r e 展开的测不准不 等式，并分别证明由此得到的这些测不准关系中的常数是最优的 关键词：调和分析，有限反射群，微分差分算子，b o c h n e r r i e s z 平均，d u n k l 变换，p o i s s o n 积分，r i e s z 变换，广义c a u c h y - r i e m a n n 方程组，广义h e r m i t e 函数， s t u r m l i o u v i l l e 算子，测不准原理 查堕垦堑丕奎型垒! 堂塑塑坌堑 一一一 2 a b s t r a c t t h e p u r p o s eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d yt h eh a r m o n i ca n a l y s i sa s s o c i a t e d w i t hm e a r s u r e sw h i c ha r ei n v a r i a n tu n d e rf i n i t er e f l e c t i o ng r o u p s t h i ss u b j e c tb e g a nw i t has e r i e s o fp a p e r so fc d u n k l ，w h i c hb u i l tu pt h ef r a m e w o r kf o rat h e o r yo fs p e c i a lf u n c t i o n sa n d i n t e g r a lt r a m f o r m s i ns e v e r a lv a r i a b l e sr e l a t e dw i t hf i n i t er e f l e c t i o ng r o u p s w es e l e c ts o m e b a s i ca n di m p o r t a n tp r o b l e m si nh a r m o n i ca n a l y s i sa s s o c i a t e dw i t hd u n k l st h e o r y ，w h i c h a r e ( 1 ) t h e b o c h n e r - r i e s zm e a n so ft h ed u n k lt r a n s f o r m ； ( 2 ) t h e p o i s s o ni n t e g r a la n dr i e s zt r a n s f o r m so ft h ed u n k lt r a n s f o r m ； ( 3 ) t h eh e r m i t ee x p a n s i o n sa s s o c i a t ew i t hm e a s t t r i n v a r i a n tu n d e rf i n i t e r e f l e c t i o n g r o u p s ； ( 4 ) u n c e r t a i n t yp r i n c i p h sf o rs t u r m - l i o u v i u eo p e r a t o r s k e y w o r d s ：h a r m o m c a n a l y s i s ，f i n i t er e f l e c t i o ng r o u p s ，d i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c eo p e r a - t o r ，b o c h n e r - r i e s zm e a 3 1 s ，d u n k lt r a n s f o r m ，p o i s s o ni n t e g r a l ，r i e s zt r a n s f o r m ，g e n e r a l i z e d c a u c h y r i e m a n ns y s t e m ，g e n e r a l i z e dh e r m i t ep o l y n o m i a l ，s t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r ，u n c e r - t a i n t yp r i n c i p l e s 有限反射不变测度下的调和分析 引言 本文主要研究在有限反射群( c o x e t e r 群) 下不变测度的调和分析。c d u n k l 自 1 9 8 8 年以来的一系列工作开创了研究与反射对称和根系有关的多元特殊函数的有效途 径，也为调和分析带来了一个新的研究领域。经典的调和函数满足l a p l a c e 方程，而相 应的l e b e s g u e 测度是在正交群下不变的唯一测度在d u n k l 的理论中，代替l a p l a c e 算子的是一类二阶微分一差分算子( 称为h - l a p l a c i a n ) ，相应的权函数是若干线性函 数幂的乘积，这类权函数在某有限反射群( 作为正交群的子群) 下是不变的d u n k l 构造了一族可交换的一阶微分差分算子( 称为d u n k l 算子) ，它们起到了经典情况下 偏微分的作用，而h - l a p l a c e 算子恰可表示成这些d u n k l 算子的平方和( 算子运算) 。 在d u n k l 理论中，还有相应的球面调和展开结构，称为缸球面调和在二维时相应于 群d 2 = 霉的h 调和展开就是超球展开和雅克比展开( 二维时的一般情况是相应于 二面体群仇的h 一调和展开) 具体地说，设g 为欧氏空间上的一个有限反射群，+ 为其正根集，一。g 表示相应于向量口i i + 的反射变换我们考虑欧氏空间和单位球面。上的测 度 ：( z ) 如和域( 一) d 盯( 一) ，其中d a ( x ) 为单位球面。上的l e b e s g u e 测度， 。( o ) = 【】l n v s h + 这里，一( ”) ：- c 是重数函数，当吼与共轭时，k 。= k 。对比r d ， d u 2 定 义的微分差分算子为 d j ( z ) = 睡- f 避掣 ， v e h + 、7 这里睡是对应于通常意义下的方向导数如果e - ，e 2 ，e d 是上的一组标准正 交基，则简记d i = d 在【d u 2 l 中证明了取是可交换的而前述的h - l a p l a c e 算子可 表示为a 。= d + d ；十+ d ：，它是群g 下的不变算子( 类似于l a p l a c e 算子在正交 群下的不变性) 如果用础表示d 个变量的n 阶齐次多项式空间，我们称础n k e r a 。 中的多项式为n 阶h 调和多项式。 d u l 】证明p 为n 阶缸调和多项式当且仅当对任 何q 咧( o 曼n 1 ) ，有正交关系屈一- p g 磙打= 0 在这一理论的研究中，一个重要的工具是d u n k l 算子生成的代数与通常的微分算 子代数间的缠绕算子，d u n k l 用代数方法证明了这个算子的存在性，而且是由条件 k 捌c 础，k l = 1 和b k = k a jo = 1 ，d ) 唯一确定的利用算子k 可以把经 典调和分析的某些基本结果自然地推广到d u n k l 理论中但是从分析的角度看，这样 得到的结果只是结构性的，很多本质的信息在这个过程中被忽略了。为了得到深刻的 结果，必须利用缠绕算子具体的封闭表示，然而到目前为止，已知的表示只有关于岛 ( 对称群) 和硎= z 2 z 2 z 2 ( d 是欧氏空间维数) 的。 有限反射不变测度下的调和分析 2 d u n k l 理论是近十多年来发展起来的前沿领域，是多个数学分支的交叉领域，已 成为热门课题。1 9 9 8 年，i gm a c d o n a l d 在柏林数学家大会上的一小时报告中，较详 细阐述了d u n k l 理论在组合学中的作用，特别是与根系、w e y l 群以及h e c k e 代数的深 刻联系。在数学物理中描述量子多体系统的、c a l o g e r o - s u t h e r l a n d 模型可以解释为关于 对称群的d u n k l 算子，以关于对称群下不变的权函数兀1 x i 一1 2 e h 的正交多项式 i o ) ，而且对任意的 口e 1 7 ，总有 + 或一 + 。 对于欧氏空间，不可约的根系可以分成四类厶，& ，g ，d 。和五种特殊情况g 2 ，f 4 ，凰 厮，e s ( 参看f h u 】) 这里根系的下标是相应的欧氏空间的维数 定义g 不变重数函数一( ”) ：h + - - + c ，使得当吼与“共轭( 即存在w g ，使得 w - 1 0 - u w a 。) 时，取一。= 因此，一( ”) 取不同值的个数最多与群g 的共轭类数相 同对于v v h + ，假设r e ( 一( ) ) 0 ，我们考虑上的权函数w 。( z ) d z = h ：( x ) d x ，这 里如是上的l e b e s g u e 测度， 。( z ) = i ii i “v ， k 。0 ，( 1 ) 1 1 + 实际上，k ( z ) 是一个g 不变齐次函数，其次数是： 7 = 口i i + 有限反射不变测度下的调和分析 4 对于， d u 2 中定义了一阶微分- 差分算子哦( 人们称为d u n k l 算子) ： d f ，= 吨+ 萎一。鬯书笋 ， ( 2 ) u + 一 这里馥是对应于通常意义下的方向导数由于一( 。) 的g 不变性，域的定义不依 赖于n + 的特殊选择，并有下列性质： 命题1 。1 ( i ) 若，c ”( ) ，则风，c m - 1 ( ) ； ( i i ) 若定义群g 对上函数，的作用为g 。，( 。) = f ( g 一1 岱) ，g g ，z r 4 ，则 g 。d fo g = d 虻， g g ； ( i i i ) 若，为上g 一不变函数，则d j = ，若 ，2 g 1 ( 础) ，并且至少有一个 函数是g 不变的，则 块( f l f 2 ) = d f ( f 1 ) f 2 + 4 ( ，2 ) ； ( i v ) 对给定的重数函数k ( 口) ，d f 嬉r a ) 是可交换的 ， 如果8 l ，e 2 ，e d 是上的一组标准正交基，简记d i = d 利用d i ( 1 i d ) 定义h - l a p l a c e 算子。： 。= d + d ；+ + 明 ( 3 ) 。与群g 的作用可交换，即go 乱= a 。g ，v g g ，并有下面的显式表达式： 。f ( x ) 叫+ z m ) ( 错一紫) ， u e i i + 、。7 其中，与v 是通常意义下的l a p l a c i a n 与梯度如果对讹+ ，k ( ) i0 ，皿和a 一 就回到了杀与在h 一调和理论中，d i 和。的作用类似于经典调和分析中i o 石 与起的作用对定义在上的函数，( z ) ，如果。，( z ) = 0 ，则称，( z ) 为r 4 上的 h 一调和函数。 1 2 缠绕算子 对于每个有限反射群g 和给定的非负重数函数一( ”) ，【d u 4 用代数的方法证明 存在一个线性算子k ，它把偏微分算子代数与由d u n k l 算子生成的交换代数缠绕起 来，称为缠绕算子。它由下列条件唯一确定， k 群c 硝，k 1 = 1 ，d ：k = k a ， 1 i d 这里础是r 。上n 阶齐次多项式的集合。它把通常意义下的调和函数映成h 一调和函 数。而且 r 5 s 3 i 用半群的方法证明k 是正算子。 有限反射不变测度下的调和分析 命题2 1 ( r s s 3 ，i t , 1 1 ) 设重数函数一( 口) 0 上存在唯一的概率测度，使得 k ，( ) = ，( ) 础。( ) ， ，形 5 则对v x r o ，在剐的b o r e l o - 代数 f c ( r d l 这里是具有紧支集的概率测度：s u p p g 。 r 4 ：蚓) ，而且对于任意的 b o r e l 集b ，概率测度p 。满足： i a t x ( b ) = p 。( r 一1 b ) ， “9 。( b ) = p 。( 9 1 b ) ， v r o ，g g 在d u n k l 理论中的一些重要工具都是通过算子k 表述的( 见1 3 ，1 4 ) ，这样就 可以把经典调和分析中某些结构性的结果自然她推广到d u n k l 理论中，但是通过研究 发现( 见1 3 或【l x l ，i x 5 ) 很多本质的信息在这个过程中被忽略了，从而得到的结果 从分析角度看并不是深刻的为了得到更深刻的结果，必须利用缠绕算子k 具体的 封闭表示但k 的具体形式现在知道的只有相应于反射群刃和对称群岛的形式 在 x u 2 ) 中给出了相应于刎关于权碡( z ) 如= h 1 2 亿- 1 2 a 出的缠绕算子k 的具体形式： ，dd 埘( 垆也 。f ( x l t l , - - 芦d t d ) 要( 1 + 里( 卜国“。d t ， ( 4 ) 这里 和f ( 一) a - l d t l t 2 dtl= 者端， 1 = ( 一) = 南焉， j i i “十1 ， 当d = 2 时，i i l 】z 面体群d 2 ( 参看f d u 4 】) 在i d u 6 】中给出了相应于对称群岛关于权碡( z ) 如= l ( x l z 2 ) ( z 2 一z 3 ) ( z l x 3 ) 1 2 d x 的缠绕算子k 的具体形式，对于”= ( w 2 j 。m 2 ( r ) ，1 令了( 曲) - _ ( 击) 1 1 - 3 妻嵋一 3 ( d e t ( w ) ) 2 + 2 w h ( 矗一3 邑- 3 w 2 2 1 + 3 乞) + 1 2 t ) 2 l 1 2 2 2 】，积分区域n i 是： m 2 ( t r ) ： 一1 2 w l l 1 ，i w 2 l l t 2 ，瓯是正交常数， c 0 = 3 s a - 1 2 ( d 一1 2 ) r ( + u 3 ) r ( a + 2 3 ) ( ”r ( d ) ) 2 当母( w ) = 1 时，k 是g 一不变函数的缠绕算子 从上面两个例子可以看出，相应于一个具体反射群的缠绕算子k 的形式是非常 复杂的，对一般反射群给出k 的统一表述是很困难的但在【x u l 中得到了带有坛 的一种积分变换形式，即 上。坛m ) “：扛) d w = a r e f ( z ) ( 1 一m 川如， ( 5 ) 有限反射不变测度下的调和分析 这里a 。= 晰，唧，d ，吒：= b 。( 1 一2 ) ，一1 d z = 名等警，h 2 1 = f s 一 ：d w 注：本文中采用记号 = 1 + 譬 1 3 球面h - 调和理论 6 在刑的单位球面s d _ 1 上，我们考虑测度 ：( z ) d a ( x ) ，( 6 ) 这里d a ( x ) 是s d - 1 上的标准化l e b e s g u e 测度由于d u n k l 算子现和h - l a p l a c e 算子 。良好的结构性质，在s d - 1 上关于测度( 6 ) 有相应的球面调和框架，称为h 球面调 和在二维时，相应于g = z l 的h 调和展开就是超球展开和雅克比展开 令硎是r 。上关于z = ( 3 7 1 ，x d ) 的n 阶齐次多项式空间不难证明块幢r 。) 与。分别是一1 与一2 次齐次算子，即呸硎c 碓1 ，。e 2 c 礤2 【d u l 】证明了如下 正交关系： 命题3 1 如果p p 2 ，那么，对于v q 可瑶， p q h ：d w = 0 的充要条件是：p 是h ，调和的，即a 。p = 0 我们用础= 9 2 ，8 ：= 删f - i k e r a 。表示n 阶齐次h 调和多项式空间，它与通常意 义下( 对应于h 。= 1 ) 的r l 阶齐次调和多项式空间风的维数n ( n ，d ) 相同，即 ( n ，a ，= d i m h ：= d i m p d d i m p d _ z = ( ”+ 。d 一1 ) 一( ”：! ：3 ) 与经典的球面调和理论类似，我们可以将n 阶齐次多项式空间础分解成昭= 。由1 吲“h 2 2 女( 参看【d u l l ，p p ，3 7 ) ，即如果p n 焉，那么有唯一分解 “ n 2 】 r ( z ) = h 2 2 r 一2 女( 。) ， p n 一2 h h2 k = 0 如果令k ，i 是聊的一组标准正交基，空间砩的再生核可以表述为 n ( n d ) r ( 砖x ，y ) = k l ( x m ，。( y ) t = l ( 7 ) 对于，l 2 ( 磷；s “1 ) ，我们记f 在砩上的投影为p n ( 醒；f ，x ) ，也就是说， r ( h ：；，x ) = 正。，( y ) r ( ：；x y ) ：( y ) 咖( y ) ( 8 ) 注意，再生核r ( 醒；x ，y ) 和投影算子r ( 碌；，x ) 不依赖于正交基 碥，i ) 的选择唯一确 定。那么，对于f l 2 ( h ：s “1 ) ，它的h - 调和展开是： 有限反射不变测度下的调和分析 7 ，( x ) 一登1 1 3 2 ，x ) a ：0 为了研究正交展式的收敛性与可和性，我们需要知道再生核更具体的信息。借助 缠绕算子k ，h - 调和再生核p n ( 砖z ，g ) 可表示为( 见 d x p 1 9 0 推论5 32 ) ： r ( ：；。，g ) = n + 、a v , ，。( ( ，) ) ( z ) ，( 9 ) 其中蕊、是指标为 的n 阶g e g e n b a u e r 多项式( 见 s z 】) ，而对于x , y 刚， 竿+ 一。：a ( 1 3 ) + 时，在l 1 ( 2 ；s d - 1 ) ( 或c ( s d _ 1 ) ) 上的函数的h 一调和展开是d 阶c e s 缸。平均按范数 收敛的。 求和阶的范围( 1 3 ) 并不是最好的。比如，当d = 2 时，s 1 上的h 调和展开对应 着( 一1 ，1 ) 上关于权( 1 一t ) z - 1 2 ( 1 + t ) 2 - 1 2 d f 的j a c o b i 展开，而j a c o b i 展开的临界求 和阶是f i i d x 一；1 ，k 2 ) ，小于( 1 3 ) 所确定的一1 + k 2 原因在于直接利用k 的积分表示， 相当于把o 上的问题归结为一点，从而转化为超球多项式展开这个过程与经典球 面调和展开中的作法是类似的因为在l e b e s g u e 测度下_ 1 在正交群作用下是可迁 的，但对h - 调和来说，情况就不同了。在测度h ：( x ) d x 下，s 扣1 在有限反射群g 下 不再是可迁的如果要得到深刻的结果，必须采用另外的方法 对群g = 冽和由( 1 1 ) 式给出的k ( 甸，阻x 利用k 的积分表示( 4 ) 式给出的缸 调和再生核( ( 1 2 ) 式) r ( 峨；。，y ) 证明了在l 1 ( 醒；s d _ 1 ) ( 或c ( s d _ 1 ) ) 上的函数的h 调 和展开是d 阶c e s a r o 平均按范数收敛的，当且仅当 ( 1 4 ) 对于一般的有限反射群下球面s 4 1 上 调和展式的( c ，6 ) 临界可和指标，由于 k 的具体表达式不清楚，到目前为止还没有更具体的结果 1 4d u n k l 核与d u n k l 变换 d u n k l 在 d u l l 中首先研究了单位球面旷1 上的h 一调和结构，在 d u 2 】和【d 删 中引入了一阶微分一差分算子，证明了缠绕算子的存在性，并用缠绕算子引进了指数 型函数一d u n k l 核，在上建立了相应的f o u r i e r 变换结构，即d u n k l 变换，它既是 上f o u r i e r 变换的推广，也是一元积分变换h a n k e l 变换的推广我们先来介绍指数型 函数一d u n k l 核：e ( z ，y ) = e g ( z ，y ) e g ( x ；y ) ：= k ( e ( ，) ) ( 。) ，z ，y r 。 e o ( x ，y ) 不仅可以全纯地延拓到c 4 伊上，而且关于x ，y 对称如果重数函数一( ”) ；0 ， 则e ( 。：9 ) 就是通常的指数函数e ) ，此时z ( i z ，y ) = e i w 因此，称e ( 毛y ) 是广义指 数函数如果我们定义 她计2 i u l _ i 面v e g ( 9 。，砒。， r j 当 一 。 + 字 有限反射不变测度下的调和分析 9 则j a 就是e c 的g 不变部分，称为广义b e s s e l 函数由【r s s 3 中的定理1 2 知，对 于固定的y r 8 ，e c ( x ，i y ) 和如( z ，匆) 作为r 4 上z 的函数是正定的。 对于实的非负重数函数一( ”) ，e g 可以写成幂级数e v ( x ，y ) = k n ( z ，) ，其中 k o = l ，( g ，y ) ：= k ( ( ，) “加! ) ( ) 是一个n 阶齐次多项式，且k n ( x ，y ) 关于。y 对 称，即( z ，) = 珞( ，。) ( 看【d u 4 ，5 】) 由【o p 知，对于固定的y c 8 ，函数z 卜+ e g ( z ，y ) 是上微分方程组 f 岛，：幻f ，o ：l ，d ) 1 ，( o ) = 1 的唯一解析解。此外，还有下面的性质( 见 d u 4 1 ， j e u ，【o p ) ： 定理4 1 ：对于任意的毛 c 4 ，a c 和g g ，有 ( i ) e ( a z ，w ) = e ( z ，o u ) ； ( i i ) e ( z ，w ) = f ( ，z ) ； ( i i i ) e ( g z ，9 w ) = e ( z ， ) ； ( i v ) e ( z ， ) = e ( z ，由) ； ( v ) 如果对于任意的z r o ，”+ ，重数函数，c ( ) 总取实值，则 d ；e ( x ，z ) = z j e ( z ，z ) ， j = 1 ，d 定理4 2 ：对任意的z ，w c 8 和z r ，有 ( i ) i e ( = ， ) i j g ie x p ( m a x 9 e gr e ( ( 9 ) ) ) ； ( i i ) i 醚e ( 。，z ) l 缸i = i ”e x p ( m a x 口g ( 9 。，r e z ) ) ) ； 特别地，对于z ，r d ，时，有 ( i i i ) l e ( $ ，i ) i 阿；当重数函数一( ”) 取实值时，i e ( z ，匆) l 1 ； ( i v ) i e ( o ，i y ) j m r , ”； ( v ) ( 正性，看 r s s 3 】) e ( z ，) 0 此外，d u n k l 核e ( i z ，y ) 与球面h 调和再生核r ( 硅；恼，9 ) 有下面的关系 定理4 3 ： r s s 4 】令d 2 ，对v ，y r 。，d u n k l 核e ( i x ，y ) 有下面的表示： 聃泸曼两筹州圳蛐肼扣2 础) 这里a 一1 2 ，j 。是b e s s e l 函数： 川加啦+ 1 ) 曩龋， 且( 1 5 ) 式在r 4 r 4 的紧子集上一致收敛。 作为此定理的推论，有h 调和的f u n k h e c k e 公式。 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 有限反射不变测度下的调和分析 1 0 推论4 1 ：( f u n k - h e c k e 公式) ( r 6 s 4 j 令d 2 ，k j 是r “上n 阶球面h 一调和多项 式，那么，对v z r d ，有 f s 。- ie ( 记蛹“9 如，) d 删= 鑫警端m 州硼( 妫( 1 7 ) 这里d 。= 如一- w 。( 一) 曲( z ，) - 下面，我们来看一个例子。 例4 1 在r 上，对于群g = z 2 ，由k 的显示表达式( 4 ) ，有d u n k l 核点童。( z ，y ) ： 励。( 刚) = 丘叫2 ( 洳) + 妄备j 州2 ( 咖) ， 圳g 这时，g 一不变核儿( z ，i y ) = 如( z g ) 。 给定重数函数一( ) 后，对于，l 1 ( ，”。( x ) d x ) ，我们可以用有限反射群g 上的 广义指数核e ( z ，) = e a ( z ， ) 来定义上的d u n k l 变换( 它是f o u r i e r 和h a n k e l 变 换的推广) r ： 最【，1 ( ) ：= f ，( z ) e ( z ，一m 。( z ) 如 ，儿。 它有与f o u r i e r 变换类似的下列性质f j e u 定理4 4 ：对于，l 1 ( r d ，删。( 。) 如) ，有： ( i ) r 与群g 的作用可交换； ( i i ) 令( 以，) ( 2 ) = f ( s x ) ( 5 0 ) 是伸缩算子，则r 以= 8 - d - 2 7 d l r ； ( i i i ) ( r i e m a n n l e b e s g u e 引理) 当_ + 时，f j f f ) 趋于o ； 当，属于s c h w a r t z 空间5 时，对于j = 1 ，2 ，d ，定义m j f ( z ) = ，( z ) ，则有 ( i v ) r 【d j ，】( ) = 岣( r ( ， ) ( f ) ； ( v ) r 隅，】( ) = i d j ( r ， ) ( f ) ( v i ) r 是s 上的同胚映射 定理4 5 ：( 乘法公式) 对于 g l 1 ( r 。，w 。( 。) 如) ，有 厶。r 【，】( z ) 9 ( z ) 一( 。) 4 z 出2 厶，( 。) r 9 】( 。) ”一( 。) d z 出 定理4 6 ：( 逆定理) d u n k l 变换取是s ( n 4 ) 到自身的同胚，其逆变换为巧1 ，】( f ) = r 州一f ) 如果，l 1 ( 冗d ，魄( z ) d z ) 且r 1 月l 1 ( 舻，硼。( 。) d z ) ，那么 ，( 。) = 4 - 1 4 2 c 2 。f 二i ， ( ) e ( i 。，) t u 。( ) d ， ，h “ 这里= 厶ae 斗1 2 。( z ) 如d 。1 定理4 7 ：( p l a n c h e r e l 定理) 令k ( ”) 取非负实数，如果，属于l 1 ( ， 。( z ) d z ) 与 l 2 ( r d ，w 。( z ) d z ) 的交集，那么r ，】l 2 ( ，w 。( z ) 如) ，且| | r f i l l 2 = c i l i i f 1 2 ；而且兄 可保范延拓到l 2 ( r d ，”。( z ) 如) 上。 有限反射不变测度下的调和分析 定理4 8 ：( p a l e y w i e n e r 型定理) 阻2 d u n k l 变换是下列空间之间的拓扑同胚： ( i ) r o 上有紧支集的沪函数空间到c 4 上指数型速降整函数空间； ( i i ) r 4 上有紧支集的分布空间到g o 上指数型缓增整函数空间； ( i i i ) 上缓变分布空间s ( 矗o ) 到自身。 定理4 9 ： d x 】如果，是工1 ( 刑，w 。( z ) 如) 上的径向函数，即f ( x ) = 妒( ) = ( r ) l 1 ( r + ，r 2 1 d r ) ，其中a = 7 + ( d 一2 ) 2 则其d u n k l 变换仍是径向函数，且 f 。 f l f f ) = 2 7 + d 2 1 巩【纠( ) ， 这里， ，。 凰【纠( o ) = 咖( s ) j x ( s t ) d m a ( s ) j u 是妒的h a n k e l 变换，其中测度d m a ( 8 ) = 端如，a 是指标为 的b e s s e l 函数( 1 6 ) 式 1 5 广义平移 函数的平移和相应的卷积结构是调和分析中的重要工具。 中的函数，利用d u n k l 变换r 可以引进广义平移勺： r y f ( z ) = 4 - 7 - d 2 厶j k 【，】嬉) e ( 缸，亭) e ( i 玑) 。f f ) d 薯， 它还等价于( 见【m 0 1 ) ： t y f ( x ) ：= v 善昭( v 丁1 ，) ( + y ) 对s c h w a r t z 空间s ( n 8 ) z ，g r “ 这里k 是1 2 中介绍的缠绕算子，其上标标注的变量是指磙对相应变量的作用特 别地，当重数函数一( ”) = 0 ，它就是通常的平移r y f ( m ) = ，扛+ y ) 一 广义平移h 具有下列性质： ( 1 ) 当= 0 时，下0 ，= f ； ( 2 ) t y f ( x ) = ，( y ) ； ( 3 ) d t t y f ( x ) = t y d i f ( x ) ， i = l ，2 ，一，d ； ( 4 ) r h ， ( ) = e ( i y ，) r i l l ( c ) ，r e ( i t ，y ) ( t ) l ( x ) = l y r 州z ) ，f s ( r 4 ) 上述( 1 ) - ( 4 ) 反映了q 的结构性质，其中( 3 ) 所描述的一阶微分一差分算子d 与 q 的关系，类似于偏导运算杀与通常平移之间的关系；( 4 ) 所描述的d u n k l 变换与 q 的关系，类似于f o u r i e r 变换与通常平移之间的关系由以上论述我们可以看出h 确实是平移的推广。 利用广义平移h 可以形式地定义两个函数，和g 的卷积，+ 9 ( z ) ： r ，+ 9 ( z ) = ff ( t ) t _ t g ( x ) w 。( ) d f 有限反射不变测度下的调和分析 1 2 由p a l e y w i e n e r 型定理知，对，9 s ( r , e ) ，+ 9 ( z ) 是有意义的，而且由q 的性质( 4 ) 有r f + 9 ( ) = r f 州f ) r 1 9 ( f ) 因此，对，g ，h s ( r “) ，有 ( 1 ) 交换性：，+ g = g ，； ( 2 ) 结合性：( ，+ g ) h = ，+ ( g + ) ； ( 3 ) 平移不变性：q ( ，+ 口) = ( t ”，) + 9 = ，+ ( 气9 ) 尽管广义平移勺和相应的卷积+ 具有与通常平移r y f ( x ) = y ( x + y ) 和卷积，+ g ( x ) = j 高，( ) 9 ( z y ) d y 完全类似的结构性质，但到目前为止，人们还没有证明q 在 l p ( r 8 ；h ：( x ) d x ) ( 1sps 。) 中的有界性( 有界扩张) ，更没有卷积的h a u s d o r f f - y o u n g 型不等式j ，t 列，g f j 刘。廖吲! ，i 1 = i 1 + i 1 一l 。i t s 2 只证明了对固定的$ ，y r 。， 映射，叶勺，( z ) 确立了一个具有紧支集的分布( ) 跏即勺，( 。) = ，且u 的支 集包含于球b ( o ，i 十i ) 像h a n k e l 变换，j a c o b i 变换，超球展开和j a c o b i 展开 等情况一样，给出的显示表示，并确定其关于y 一致有界的关键是建立d u n k l 核 e ( i x ，y ) 的乘积公式，即 e ( i x ，z ) e ( i y , z ) 2 厶。e 洙j z ) 举：，( f ) ( ) r s s l e r 在 r 6 s l 】中，针对r 1 上的群g = 历，建立了这样的乘积公式，它导致r 上的 一个变号超群结构，并以自然的方式给出了上关于g = 刎的乘积公式但到目前 为止，对除此以外的其它有限反射群g ，还