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多线性分数次积分的双权弱型不等式 中文摘要 对于q ，0 0 、，船n 其中1 p q 0 0 关键词：多线性分数次积分，权函数，弱型不等式，y o u n g 函数 2 t w o - w e i g h tw e a kt y p ei n e q u a l i t i e sf o rm u l t i l i n e a rf r a c t i o n a l i n t e g r a l s a b s t r a c t g i v e no ，0 1a n df o ra l lc u b eq ， 州州护枷( 南以u ( 矿d x ) 叫”叫训啪墨g o w h e r e1 p q 枷c ( 上。j ( 圳9 巾) 如) v k e y w o r d s ：m u l t i l i n e a rf r a c t i o n a li n t e g r a l ，w e i g h t ，w e a kt y p ei n e q u a l i t y y o u n gf u n c t i o n 3 多线性分数次积分的双权弱型不等式 1引言及主要结果 议o ，0 口 1 及对任意方体q ， q “( 南五乱( z ) 7 出) v 印( 南厶 ( z ) 一加出) v ”c 是厶满足双权强( p ，p ) 型不等式的充分条件，1 p 1 及对任意方体q ， 俐吖”( 南厶u c z ，如) “”( 南厶”c 。广伽d x ) v 7 e 则厶满足双权弱( p ，p ) 型不等式，1 p o 。l i u 与l u 6 研究了厶与 b m o 函数b 构成的交换子【b ，翻的双权弱，p ) 型不等式m a r t e l l 【7 】7 对齐 型空间上的位势型算子得到了双权弱国，g ) 型不等式，1 p q o o 其它 相关的结果参见【8 ，9 1 设a 是p 上所有一阶偏导数都属于b a z o ( r “1 的函数定义与厶及 a 相联系的多线性分数次积分为 x a f ( 垆厶型鼍生吕学趔m 胁 众所周知，类似的算子如多线性奇异积分被许多人研究，参见 2 ，3 ，5 】对于 多线性分数次积分，w u 与y a n g 【1 1 1 证明了霹是( r ”) 到l q ( r “) 的有 界算子，1 p ，q 。，1 q = 1 p q 加本文使用文献 4 ，7 ，8 】中的方法， 得到了多线性分数次积分髫的双权弱( p ，q ) 型不等式，1 我们的主要结果为下列定理 定理1 1 设1 psq 0 0 ，0 0 、j r “ 2 基本知识与引理 本节我们给出一些基本概念及证明定理1 1 需要的引理 对任意y o u n g 函数b ，我们用百表示b 的共轭y o u n g 函数，它们满足 对所有t 0 ， t b 一1 ( t ) 百一1 ( t ) 2 t 对于任意三个y o u n g 函数a ，b 及c ，若满足对任意t 0 ，a - 1 ( t ) c 。( t ) s b z ( t ) ，则有下列广义h s l d e r 不等式成立：对任意方体q 以及任意函数f 与 f 9 l l b ，口2 l l f l l a ，q l l 夕i i g ，q ( 2 1 ) 特别对于任意y o u n g 函数b ， q - 1 - 玎厂i f ( z ) 夕( z ) 陋2 i l f l l b ，。i i 洲瓦口- ( 2 2 ) 5 我们要用到方体上l u x e m b u r g 范数的下列特征： j l f l l 日程麟尚工b ( 掣) 出) 1 及权函数t ，集函数屯满足； 以j 若ecf ，则a ：( e ) ( e l t e l ) 1 r , a ：( f ) ， r 矽“( e ) a ：( e ) ， 俐若 弓) 是一列互不相交的集合且t j j 马= e ，则有 a ：( 局) 4 ：( e ) j 6 引理2 2 【2 】设b 是r “上所有一阶偏导数都属于l 。( r “) 的函数，q 他 贝i j j 6 ( z ) - b ( y ) l 蚓z 刊( 志怠v 胪如) v 4 ， 其中q ( x ，可) 是以z 为中心边长为5 何l z 暑，i 的方体 引理2 3 6 】给定a ，0 4 “t ) cl j3 c 等 j 方体列 q ) 称为，联系于b 及。在高度为t 时的c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解 引理2 4 4 】设非负函数，l q ( r n ) ，1sg 0 ，存在，在高度t 时的经典c a l d e r d n z y g m u n d 分解得到的极大二进方体列( q ) 的子列( q i ) 满足 南加一f q i i d x x t ， 且使得 s u p t ( z 戤：m 4 m ) 毋) 0 ) 0 一 。 其中常数与g 仅依赖于r ，p 与n 引理2 5 【6 】设a ，0 q 0 ，以及，联系于b 及q 在高度为t 时 的c a l d e r s n z y g m u n d 分解得到的极大二进方体列 c ) 的- y 歹, l r ) ，满足 对每个j ，存在某个k 使得q c3 r 7 如果在假设中用m 鲁。代替m b m 则在结果中可取p = 扩以及得到p k 使得qc p k 3 定理1 1 的证明 我们首先推导出多线性分数次积分譬的离散形式 1 口f ( x ) l ：l 坐l 掣某等迎型m ) d y jvt 急2 卜眶驴 i z 一”叶1 “9 善2 ( - k + 1 ) ( n - a ) 水型型警署姓趔ii f ( 可) j d y j 2 i i 玄 v z s 2 t 。 j z yj 。 2 赢：。姒巾叫k 一睇。i 盟巡篙产b 洲咖 c 乏俐x 。( z ，、即帮幽型訾罱燮坚型叭蚓屯 其中表示r “中所有二进方体组成的集合对每个方体q ，令 a q ( y ) = a ( y ) 一m q ( v a ) y 容易验证对任意o ，可融， a q ( x ) 一a q ( y ) 一v a q ( v ) ( x y ) = a ( x ) 一a ( y ) 一v a ( y ) ( x y ) 因此 f 丘a ，p ) i 乏俐, 1 n - i x q 厶舶孚，盥生哗哥幽i m 凇 s 乏i q | 口州洲l 舶等， 巡掣叩矧训m 凇 注意到对x q 以及y b ( x ，( q ) ) b ( z ，孚) ，以z 为中心边长为5 v 伍l x 一可l 的方体亩( z ，剪) 包含在6 狐q 方体中由引理2 2 以及j o h n n i r e n b e r g 不等 8 式，我们有 ( 圹削训c i x - - y i ( 志厶v 北) 一吲v a ) l 吡) v 4 c x - y i ( 虿毒丽z 饬口i v a ( z ) 一m e 何。( v a d z ) v 。 + c i x y l i m q ( v a ) 一m 6 v 石q ( v a ) i sc i z y l | i v a i i s m o ， 其中n q o 。由于当z q 及l ( q ) = 2 2 时，球b ( z ，2 。) c3 q ，因此 i 0 f ( x ) l c i i v a i i s m o 俐咖_ ) ( 。( z ) i f ( y ) l d y q e a 。3 v + 俐a , 1 - i x q ( z ) z 口l v 删y m q ( v a ) lt f(y)ldyqea 。o v c h v a l l b m d 蚓咖。1 x q ( 。) j f ( y ) l d y q e a j 3 q + i q l 。加一1 x q ( x ) i i v a m q ( v a ) i i 。p l ，a q h f l t l i 。g l , a q l 3 q c l l v a i i a m o 俐一x q ( z ) i i i i 此“s 。 q 我们定义露的离散形式为 霹，( z ) = 蚓。7 “l l o g 即日) ( 。( z ) ， q e a 因而我们有l 毋f ( z ) i c i w a i i b m o z 2 f ( z ) 由于 z 2 f ( x ) = s u 堡蚓咖i i f l l l o g l , 3 q x 口( z ) “z 口云一) 2 m 。 = s u pz 2 ”，( z ) 因此 i 口f ( x ) l c i i v a i i b m o 霹f ( x ) = c i i v a h s m ol i m 露”，( z ) ( 3 1 ) i + o 。 引理3 1 设m z ，f 为具紧支集的有界函数则霹，”f 也是具紧支集的有 界函数，因而对任意1 q o 。，霹，“f l q ( r n ) 9 证明设，的支集包含于方体q o 中，其边长l ( q o ) = 2 b ，则存在有限个边 长为2 “的二迸方俸， q ；) 篓1 ，满足3 q inq o o ，i = 1 ，如果一 个边长为2 m 二进方体0 满足3 国nq o = 0 ，则对任意二进方体qc 国，有 i i f l l l l 。g l ，3 q = 0 因此s u p p 名“fcu 墨。q 下面证明髫”f 有界 露，“，( z ) = 蚓咖l l o g 。x 。( z ) = 蚓。“l i o g 印口 口j z - 石) 2 m e 篆俐“麟南厶了i f ( y ) l ( 1 + l o g + 掣) 句) q - 3 j ：，( q ) s 2 “ 。 。 c 2 妇磷 芦+ i l f l l o o ( 1 + l o g + 了i l f l l o o ) ) c 2 ”。 1 + l i f l l o o o + l o g + i i f l l o 。) ) 0 ，存在常数c 使得任意二进方体q o ， i q l l + 6 i i 删l l o g l , 3 q c l q o l l + 6 i l f l l l l o g 厶s 。 0 ，q c _ q o 证明设t ( q o ) = 2 k o ，则 引理证毕 l q ”6 i l f l l l l 。g l c，三。lq【l+6蕊沁南厶b(掣)d分)k o 其中c 不依赖于m 露，”，( z ) a ) ) c ( f ( x ) p v ( x ) d x ) 9 加 j r “ 1 l 由引理3 1 ，我们有z 2 ，”f l q ，1 0 存在一列互不相交的二进方体 q ；) 使得 南厶 暇”，( 卫) 一( 霹”f ) q ；l 如娃 以及 s u pa g “( a ) a 0 s u pa g u ( $ r “：m d ( z 2 m ，) ( z ) a ) ) a o s c s 瑚u p ”莩氍r w ) a 由引理3 3 ，对每个j ， q ；cx l 破，：m 社，d ( z 2 m ，) ( z ) e a ) c z 珏p ：均，n ，( 嚣) p a ) ， 其中p = c r l e 对p = 1 应用引理2 5 ，对每个a 0 存在一列互不相交的 二进方体 磁) 使得对每个j ，存在某个k ，谚c3 砖，且 i 罐| 。加i i f l i b ，礤 眺 其中p 0 仅依赖于卢与n 则由引理2 1 ，对每个a 0 ”a 。rl q ，a ) j = a ：( 研) 四c 3 露 s a 水r “a ) s p 1 莩1 3 罐磁刊刷口，研) 9 ( 南厶“( 玎如) v 对于p ，1 p q o o ，令圣( t ) = t n ( 1 + l o g + 妒7 ，则西一1 ( t ) 1 ( 1 + l o g + t ) ， 且有t l p ( 垂一1 ( ) b 一1 ( t ) 由h s l d e r 不等式( 2 1 ) ，( 1 1 ) 以及注意到 磁) 互 1 2 不相交，我们有 s c k 嘲删蚪h 加( 南厶科d z ) v 7 i i v - 1 p 崛，罐( 厶m m ( 州z ) 咖 g 莩懈p m h 加( 南厶u d x ) v i i v - 1 p 峰趔( 厶m m ( 枇) “ c 莩( 厶m m ( 拙) “ c ( 。m ) ，出) 如) “ 这就完成了定理1 1 的证明 1 3 参考文献 1 】c b e n n e t ta n dr s h a r p p l e y , i n t e r p o l a t i o no fo p e r a t o r s ，a c a d e m i cp r e s s ， b o s t o n ，m a ，1 9 8 8 2 】j c o h e n ，as h a r pe s t i m a t ef o rm u l t i l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a lo n 玻“，i n d i a n a u n i v m a t h j 3 0f1 9 8 1 ) ：6 9 3 7 0 2 f 3 】j c o h e na n dj g o s s e l i n ，ab m d e s t i m a t ef o rm u l t i l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r s ，i l l i n o i sj m a t h 3 0 ( 1 9 8 6 ) ：4 4 5 4 6 4 4 】d c r u z u r i b ea n dc p 6 r e z ，t w o - w e i g h t ，w e a k t y p en o r mi n e q u a l i t i e sf o rf r a c t i o n a li n t e g r a l ，c a l d e r o n - z y g m u n do p e r a t o r sa n dc o m m u t a t o r s ，i n d i a n am a t h j 4 9 ( 2 0 0 0 ) ：6 9 7 7 2 1 5 1s h o f m a n n ，o nc e r t a i nn o n s t a n d a r dc a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r s ，s t u d i a m a t h 1 0 9 ( 1 9 9 4 ) ：1 0 5 - 1 3 1 【6 1 z g l i ua n ds z l u ，t w o - w e i g h tw e a k t y p en o r mi n e q u a l 址i e sf o rt h ec o m i n u - t a t o r so ff r a c t i o n a li n t e g r a l s ，i n t e g r e q u ，o p e r t h e o r y4 8 ( 2 0 0 4 ) ：3 9 7 4 0 9 【7 】j m m a r t e l l ，f r a c t i o n a li n t e g r a l s ，p o t e n t i a lo p e r a t o r sa n dt w o - w e i g h tw e a k t y p en o r mi n e q u a i i t i e so ns p a c e so fh o m o g e n e o u st y p e ，j m a t h a n a l a p p l 2 9 4 ( 2 0 0 4 ) ：2 2 3 2 3 6 【8 】c p 6 r e z ，t w ow e i g h t e di n e q u a l i t i e sf o rp o t e n t i a la n df r a c t i o n a lt y p em a x i m a l o p e r a t o r s i n d i a n au n i vm a t hj 4 3 ( 1 9 9 4 ) ：6 6 3