（基础数学专业论文）关于伪smarandache函数的性质及包含一些算术函数的方程.pdf

摘要 众所周知，解析数论是数论中以分析方法作为主要研究工具的一个分支，而研究数 论函数的性质也是解析数论的一个重要课题，许多著名的数论难题都与之密切相关因 而研究它们的性质具有很大意义 为了数论的进一步发展，罗马尼亚著名数论专家e s m a r a n d a c h e 教授在1 9 9 3 年提出 了一系列问题在他所著的( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中，总共有1 0 5 个尚未解 决的问题，其中大多数问题都与数论有关 本论文基于对以上所述问题的兴趣，应用初等数论、解析数论等相关知识对一些特 殊函数的性质进行了研究，并得出非常重要的结果与此同时，还对s m a r a n d a c h e 的第 5 7 个问题即s c h u r 问题进行了研究具体来说，本论文的主要成果和内容包括在以下几 个方面： 1 伪s m a r a n d a c h e 函数z ( 刀) 定义为最小的正整数聊使得拧im ( m + 1 ) 即就是 孙胁；n h 掣彤) 第二章主要利用初等方法去研究z ( n ) 的分布性质，并且得出关于z ( 刀) 分布的两条重要 的性质 2 关于s c h u r 问题的研究，即：对任意正整数r ，设，为正整数且满足：集合 1 ，2 ，3 ，) 可被分拆为r t 类且每一类中均不含有元素x , y ，z 使得x y = z 成立， s c h u r 建 议我们去寻找最大的，第三章利用初等方法研究这个问题，并给出，更精确的下界 3 。设k 是一个给定的整数，对任意正整数r ，著名的e s m a r a n d a c h e k 次补数函数 a k ( 刀) 定义为最小的正整数m ，使得乘积m n 为某一整数u 的完全k 次方幂即就是 口。( 刀) = m i n m ：m n = u k , ” 第四章主要利用初等及组合方法研究了包含e u l e r 函数及s m a r a n d a c h e k 次补数函数的方 程，并给出三类特殊方程的所有正整数解 关键词 伪s m a r a n d a c h e 函数，分布性质，s c h u r 问题，分拆，s m a r a n d a c h ek 次补数函数，e u l e r 函 数，特殊方程，正整数解 o nt h ep r o p e r t i e so ft h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o na n dt h ee q u a t i o n si n v o l v i n g a r i t h m e t i c a if u n c t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i saw e l l k n o w nf a c tt h a ta n a l y t i cn u m b e rt h e o r yi sab r a n c ho fn u m b e rt h e o r y , i t s s t u d y i n gi m p l e m e n ti sa n a l y s i sm e t h o d s t u d y i n go ft h ep r o p e r t i e so ff u n c t i o n so fn u m b e r t h e o r yi sa ni m p o r t a n tp r o b l e m b e c a u s et h e yr e l a t e dt om a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i c p r o b l e m s ，i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c et os t u d yt h e i rp r o p e r t i e s f o rt h es a k eo fm a k i n gp r o g r e s si nn u m b e rt h e o r y sr e s e a r c h p r o f e s s o re s m a r a n d a c h e i sar o m a n i a nf a m o u sn u m b e rt h e o r i s t i n19 9 3 ，p r o f e s s o re s m a r a n d a c h ep r e s e n t e d10 5 u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m si n o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) ，s o m eo f t h e ma r er e l a t e d t on u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d yt h e p r o p e r t i e so fs o m es p e c i a lf u n c t i o n sw h i c hw e r eg i v e ni n ( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) ， a n do b t a i n e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s w ea l s os t u d i e dap r o b l e mo ft h es c h u r t h em a i n a c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r 刀，t h ef a m o u sp s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( 疗)i s d e f i n e da st h es m a l l e s ti n t e g e rms u c ht h a t 刀d i v i d e s k t h a ti s ， k = l 拗，一卜i 掣彤) i nc h a p t e rt w o ，w em a i n l yu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h ed i s t r i b u t i o no fp r o p e r t i e so f t h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( 疗) a n ds o l v et w op r o p e r t i e s 2 o nap r o b l e mo ft h es c h u r ：f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rn ，l e t ，b et h ep o s i t i v ei n t e g e r s u c ht h a tt h es e t i ，2 ，3 ，) c a l lb ep a r t i t i o n e di n t o 疗c l a s s e s ，a n dn oc l a s sc o n t a i ni n t e g e r s x , y ，zw i t h x y = z ，s c h u r a s k e du st of i n dt h em a x i m u mr i nc h a p t e rt h r e e ，w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h i sp r o b l e m ，a n dg i v eas h a r pl o w e r b o u n de s t i m a t ef o rr 1 1 1 3 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r 刀，t h ef a m o u ss m a r a n d a c h ek - t hp o w e rc o m p l e m e n t f u n c t i o n a k ( 刀) i sd e f i n e da st h es m a l l e s ti n t e g e rms u c ht h a tm n = u k t h a t i s ， a , ( n ) = m i n m m n = 材i ，材 i nc h a p t e rf o u r , w em a i n l yu s et h ee l e m e n t a r ya n dc o m b i n a t i o n a lm e t h o dt o s t u d yt h e e q u a t i o ni n v o l v i n gt h ee u l e rf u n c t i o na n dt h es m a r a n d a c h ek - t hp o w e rc o m p l e m e n tf u n c t i o n , a n dg i v ei t sa l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s k e y w o r d s t h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，p r o p e r t i e ，s c h u r sp r o b l e m ，p a r t i t i o n ，t h ee u l e rf u n c t i o n ， t h es m a r a n d a c h ek - t hp o w e rc o m p l e m e n tf u n c t i o n ，e q u a t i o n ，p o s i t i v ei n t e r g e rs o l u t i o n 1 v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：盏丝指导教师签名： 至告盖四蠡 劢听年f 月r 日咖7 年f 月汐日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：暂亚搋 川年f 月r 日 西北大学硕- ：学位论文 1 1 数论概述 1 1 1 数论简介 第一章绪论弟一早珀下匕 数学正如其它许多学科一样，是从人类生存时期开始的，由于生产力和生产关系的 发展，以及人类生产和实践生活的需要，所以逐渐产生了最初、最简单的数学概念，特 别是数的概念人类从“多 这个概念中分出“一的概念，这被认为是人类做出的最 初的数的概念随着数的发展，人类逐渐产生了自然数的概念，后来由于实践的需要， 数的概念进一步扩充，即出现了正整数，为了指明缺位的单位，在古代印度，零的使用 也得到了推广，与此同时，印度人又引进了负整数这就在数的理论中引进了新的因素 把正整数、零、负整数合起来称作整数这些看起来简单的整数，却是我们从日常生活 到尖端科技所不可缺少的至于其它的像有理数、无理数、实数等数字都是以正整数为 基础定义的，所以研究正整数的性质非常重要而数论，就是研究数的规律，就是专门 研究整数性质的一门学科 数论，它研究的对象始于最简单不过的整数，却有着最丰富的内涵早在公元前四 世纪，希腊数学家欧几里德在他最伟大的数学著作几何原本一书里，就有专章证明 了刻画自然数的基本规律算术基本原理：即自然数分成1 、素数和和数，每个和数 都可以惟一地表示成素数的乘积素数分布是数论中最早研究的课题之一欧几里德在 几何原本中证明了素数有无穷多个，并且还给出了求两个自然数中的最大公约数和 最小公约数的算法，即欧几里德算法数论除了研究整除理论外，还研究不定方程的求 解问题由于在三世纪的亚历山大代数学家丢番图研究过此类方程，所以又称此方程为 丢番图方程丢番图在他的算术这本著作中，研究了一次和二次方程的解法，并主 要注意到不定方程最简单的不定方程是一次方程a x + b y = l ，其中a ，b 为互素的整数，利 用欧几里德算法可以求出它的解同余方程属于不定方程关于不定方程的研究有久远 的历史，但完满解决的问题并不多，如著名的费尔马大定理：x 一+ y ”= z ”当玎3 时没 有j 下整数解，此问题直到19 9 6 年瓦依斯才证明了它数论还研究将整数表示为某种整数 之和的问题，例如每一个大于4 的偶数恒可以表示为两个素数之和，这就是著名的哥德 巴赫猜想，至今也尚未解决除此之外，研究数论函数的性质也是数论的一个重要课题 第一章绪论 所谓数论函数就是定义于自然数集上的函数称为数论函数，例如欧拉函数数论上往往 会研究它们的渐近性质，如有名的高斯圆问题与狄利克雷除数函数问题就是研究渐近计 算的误差估计，对于它们的误差的猜想也是一个未解决的难题数学家都喜欢把数论中 的这些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠 ，以鼓励人们去“摘取 总之，数 论中的这些有趣而复杂的问题，吸引了古往今来许多数学家和数学爱好者去不断的探索 和研究数论具有难以抗拒的魅力，不光是因为它在数学中的地位独特，还因为它的问 题浅显易懂，不需要过多的预备知识，只要掌握一般高中程度的数学知识就可以理解它 的许多内容 数论是历史最悠久的数学分支之一，数论的历史大约有3 0 0 0 年，同时又是始终活 跃着的前沿数学领域，尽管如此，但对于数论的科学探索却是迟至十九世纪初的事十 七世纪法国数学家费尔马被认为是数论这门学科的创始者，而1 8 0 1 年高斯发表的算 术研究这一名著被公认为是数论作为一门独立学科诞生的标志，也是现代数论的基础 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支 近3 0 年来，随着计算机和科学技术的发展，使得数论有了非常广阔的应用途径在 离散数学中，在编码和数字信号处理问题中，数论成果被广泛应用，这也就改变了传统 思想对数论的看法，改变了对数论功能的认识例如1 9 9 0 年格莱姆称赞数论为最有用的 数学分支：闵可夫斯基比喻数论“以柔美的旋律来演奏强有力数论音乐 等等总之“数 学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠 1 1 2 数论的分支 数论是研究整数性质的一个数学分支，它是数学中最古老的分支之一，在它形成一 门独立的学科后，随着其它数学学科的发展，研究数论的方法也在不断发展从方法上 来讲，数论可以分为初等数论、代数数论、解析数论、几何数论四个部分，除此之外还 有其它分支，如计算数论、超越数论等等 ( 1 ) 初等数论 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它不求助于其他任何数学 学科的帮助初等数论是仅仅利用初等数学的方法而不借助于其他数学工具，去研究整 数性质，是数论的最古老的分支之一它主要包括：整除性、不定方程、同余式、连分 数等初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科发展的基础解决一些孤立问 题，绝不是研究初等数论的唯一目的通过对初等数论中某些问题的研究来促成新的数 西北大学硕：l 学位论文 学分支的产生，反之新的数学分支的发展可以用来研究数论，使之达到一个新阶段，获 得新的结果，与此同时，数论的应用也是多方面的，如在计算机科学、组合数学、密码 学、计算方法、信号的数字处理等多个领域内都得到广泛的应用初等数论是数学中“理 论与实践 相结合的最完美的基础课程初等数论的内容和方法已是研究近代数学和应 用学科所不可缺少的工具所以它的重要性是不容忽视的 古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱他与他的学派致力于一些特殊整数( 如亲和 数、完全数、多边形数) 及特殊不定方程的研究整除理论是初等数论的基础，除此之 外还有同余理论、同余方程的基本理论、不定方程等，这些都是初等数论的基本内容， 其中算术基本定理和最大公约数理论是整数理论的中心内容，而同余理论是初等数论的 核心，求解不定方程是推进数论发展的最主要课题 ( 2 ) 解析数论 解析数论是以解析方法作为研究工具来解决数论问题的分支而数学分析又是以函 数作为研究对象，以极限作为研究工具建立起来的数学学科或者说，解析数论是把一 个算术问题转化成一个分析问题，然后用分析的方法与成果来处理，从而得出算术的结 果解析数论开始于1 8 世纪l 欧拉的一些研究，其中之一为关于素数有无穷多的证明， 用的方法是反证法欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一，是算术基本定理的解析等 价形式，揭示了素数与自然数之间的关系解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、 华林问题以及格点问题的研究狄利克雷( 剩余) 特征标与狄利克雷l 函数奠定了解析 数论的基础，而解析数论的创始人为德国数学家黎曼除此之外，俄国数学家车比雪夫 等也对解析数论的发展做出过贡献解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、指数和 方法、特征和方法等 解析数论在我国的研究始于本世纪3 0 年代，著名数学家华罗庚教授是它在中国的 创始者，华罗庚教授在解析数论方面的工作主要收集在堆垒素数论、数论引导及 指数和的估计及其在数论中的应用这三本著作中其中他对三角和的估计、华林问 题、哥德巴赫问题、塔利问题及高斯圆内格点问题等都有研究，并且作出重要贡献同 时还有越民义、陈景润、丁夏畦、潘承洞、王元等一批数论专家也在此方面作出贡献 解析数论是解决数论中艰深问题的强有力工具，数论中有些问题必须由解析方法才 能解决，例如，欧拉用解析方法证明了素数有无限多个，苏联数学家维诺格拉夫提出“三 角和方法”解决了许多数论难题，我国数学家陈景润在证明哥德巴赫猜想时也使用了解 析方法，这些方法已经解决了并正在解决着许多经典问题 第一章绪论 解析数论本身是在和其它学科互相渗透的过程中逐步发展起来的，从历史和近几年 的发展来看它们都对解析数论的发展起到过一定的促进作用，同时它们也从解析方法里 面吸取营养，又导致新的分析、代数及几何方法被引进来，继续推动解析数论向前发展 所以，解析数论始终是- i 1 具有强大生命力和光辉前景的重要学科 ( 3 ) 代数数论 代数数论是研究代数数域( 即有理数域的有限次扩域) 和代数整数的一个分支，是 用代数来研究数论问题代数数论是数论的主要现代分支本来的意义是“代数数的理 论，是作为“有理数的理论 的古典数论的自然的发展，后来研究范围大为扩展，成 一r “：= = = 为现代数学最主要的学科之一象2 ，2 + 一3 都是代数数一般地说，代数数就是满 足代数方程( 即有理系数多项式方程) 的复数( 不一定能用根式表示出来) 如果一个 代数数口满足的多项式方程是首项系数为一的( 即最高次项系数为1 ) ，系数是整数，则 称口为代数整数，简称为整数而普通整数( 即正负自然数和零) 有时称为有理整数， 以作区别非代数数称为超越数代数数论的最基本研究对象是代数数域，简称为数域， 就是有理数域的有限次扩张它以代数整数，或者代数数域为研究对象主要的研究目 标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间 的关联尤其紧密，不少问题的解决都要借助于或者归结为代数整数的研究所以代数数 论的产生是数学发展的必然规律，同时它也带动了代数学的发展 代数数论主要起源于对费尔马猜想的研究，代数数论至今整整有2 0 0 年的历史，它 的奠基者为德国数学家高斯和库默尔，高斯和库默尔分别对于二次型和分圆域所进行的 研究成为用深刻代数工具研究数论问题的奠基性工作代数数论的系统理论创始于德国 数学家库默尔( e e k u m m e r ) 库默尔的理想数后来称为理想，是代数数论的最基本 概念，同时库默尔对分圆域也进行了非常深入的研究后来德国数学家戴德金将库默尔 的理想数和分圆域等理论系统发展到一般数域，建立了代数数论的基本理论，也开辟了 现代代数的发展道路 目前，代数数论发展迅速，也是活跃的数学前沿理论，一方面是对一些古典问题得出 新的结果；另一方面又不断开辟新的研究领域研究范围和手段已大为扩展，与代数、 函数论、代数几何等有很多交融例如费尔马大定理在1 9 9 6 年的最终被证明，就用到了 椭圆曲线、模形式等理论代数数论的一大特点是：它的结果可以应用到每一个数学领 域中去 两北大学硕十学位论文 ( 4 ) 几何数论 几何数论主要是通过几何观点来研究整数( 在此即格子点) 的分布情况的一个数论 分支，它研究的基本对象是“空间格网”，所谓空间格网就是给定一个直角坐标系，坐 标全是整数点，所有整点构成的组叫空间格网几何数论是由德国数学家、物理学家闵 可夫斯基等人开创和奠基的在1 8 9 6 年出版了数的几何一书，从而使几何数论成为 一个数论的独立分支，其中最著名的定理为闵可夫斯基定理由此定理还可推出狄利克 雷关于实数的有理逼近定理，研究实数的种种有理逼近问题是数论研究的一个重要课题 由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有深厚的数学基础的人才能深入研究 总之，数论是一门既古老又高度抽象的数学分支长期以来，它的研究属于纯理论 状态，直到近三十年来计算机科学和应用数学的发展才使得数论这门学科得以广泛发展 和应用比如在计算机上进行数值计算，就用到了离散数学，而离散数学的基础之一为 数论，在编码和数字信号的处理问题中也广泛应用到了数论知识总之，数论已日益展 现出直接应用的途径随着数论的不断发展，除了以上四个分支外，数论还有其它分支： 计算数论：计算数论是研究数论中计算方法的- n 学科，其中两个最核心的问题是 大整数的素性检验和因子分解同时它又是借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数 测试和因数分解等都和密码学息息相关 超越数论：以超越数( 全体复数可分为两大类：代数数和超越数如一个复数是某 个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数不是代数数的复数，叫做 超越数) 为研究对象的数论分支之一，j 刘维尔开创了对超越数的研究，他于1 8 4 4 年 构造出历史上第一个超越数超越数也是数论较早研究的课题研究数的超越性，其中 对于欧拉常数是否为超越数，都是至今尚未解决的难题，而对于特定的z a t a 函数值的研 究也令不少人非常感兴趣 组合数论：就是利用组合和机率的技巧，非构造性的证明某些无法用初等方式解决 的复杂问题，是数论的一个分支这是由艾狄胥开创的思路 1 1 3 数论的发展 数论既是最早开始研究的一门数学，也是发展的较好的数学领域之一，但是直到十 九世纪，对于数论的研究还没有形成完整统一的学科，这些研究成果还只是孤立地记载 在各个时期的算术著作中在公元前四世纪欧几里德在他的几何原本一书中证明了 算术基本定理及提出了最大公约数的算法素数分布是数论最早研究的课题之到公 第一章绪论 元三世纪，代数学家丢番图写了算术一书，在这本著作中丢番图研究了一次和二次 方程的解法，并主要注意到不定方程后来把此方程称为丢番图方程十七世纪法国数 学家费尔马在阅读了算术后提出了最为著名的“费尔马大定理”费尔马被认为是 数论这门学科的创始人后来德国数学家高斯又集中前人的大成，在1 8 0 1 年发表了重要 的数学著作算术探讨，在此部著作中，高斯发展了二次剩余理论及对二次型的探讨 算术探讨开始了现代数论的新纪元 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一，出现了杨武之、华罗庚、闵嗣鹤、 柯召等第一流的数论专家，同时他们也是这一领域在中国的创始人华罗庚教授在三角 和估计及堆垒素数论方面的研究是享有盛名的随后又出现了中国数论的第二代骨干陈 景润、潘承洞、严士健、孙琦、王元等，其中陈景润关于哥德巴赫猜想的结果，至今仍 处于世界领先地位数论作为一门古老的学科近期正在经历着历史性惊人的发展，在数 论的发展中有着伟大的成就，还有更广袤的领域有待征服 1 2 研究背景与课题意义 数论最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论数论的历史大约有3 0 0 0 年它与 几何学一样，是最古老的数学分支之一在我国，数论也是发展最早的数学分支之一它 历史悠久，而且有着强大的生命力 定义在整数集上的函数称为数论函数，研究数论函数的性质是数论的一个重要课 题，因为许多数论问题的研究都要借助于数论函数，而且许多著名的数论难题都与之密 切相关，所以研究数论函数的性质是非常有意义的事情 1 9 9 3 年，罗马尼亚著名数论专家e s m a r a n d a c h e 教授为了数论的进一步发展，为了 那些初次涉及研究工作的人以及那些虽然更为成熟但缺乏合适的数学问题刺激的人，提 出了一系列出色问题，汇编成( ( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书，在此书中他提出 1 0 5 个尚未解决的问题这些问题都可以作为一定理论意义上的研究课题，对于问题的 完整解决是非常具有实际意义的 基于对s m a r a n d a c h e 问题的兴趣，本论文将应用初等方法、解析方法等对其中的几 个问题进行研究，并给以一定程度上地解决主要研究了伪s m a r a n d a c h e 函数的一些主 要性质及关于分拆的问题，并得到了较为有趣的研究结果 西北大学硕十学位论文 1 3 主要成果和内容组织 关于伪s m a r a n d a c h e 函数的研究是数论中的一个重要课题，也是一个非常复杂和吸 引人的课题所以本论文主要利用初等方法对伪s m a r a n d a c h e 函数进行研究，并得出两 条重要的结论；同时也运用初等方法研究了分拆问题，为以后研究一些重要的分拆问题 提供帮助具体说来，本论文的主要成果和内容包括在以下几个方面，内容主要分布在 第二章至第四章： 1 主要利用初等方法去研究伪s m a r a n d a c h e 函数z ( 刀) 的分布性质，并且得出关于 z ( 力) 的两条非常重要的性质即i z ( 刀+ 1 ) 一z ( 刀) f 和等罢茅是无界的 2 利用初等方法研究s c h u r 所建议的问题并给出了更精确的下界即：对任意正整 数刀，设，为正整数且满足：集合 1 ，2 ，3 ，) 可被分拆为胛类且每一类中均不含有元素 x ，y ，z 使得x y = z 成立， s c h u r 建议我们去寻找最大的， 3 主要利用初等及组合的方法去研究包含s m a r a n d a c h e k 次补数函数的方程，并且 得出三类特殊方程口，( 刀) = ( 聍) ，口50 ) = 0 ) 及吼( 刀) = ( 以) ( 七为偶数) 的所有正整数解 第二章关于伪s m a r a n d a c h e 函数及其性质 2 1 引言 第二章关于伪s m a r a n d a c h e 函数及其性质 对任意正整数门，著名的伪s m a r a n d a c h e 函数z ( n ) 定义为最小的正整数朋使得 叫掣成立蹴是 z c 刀，= m i n ，行：行 m ( m + 1 ) , m e n ) 它是罗马尼亚著名数论专家j o z s e f s a n d o r 教授首次引入的例如它的前几个值是： z o ) = 1 ，z ( 2 ) = 3 ，z ( 3 ) = 2 ，z ( 4 ) = 7 ，z ( 5 ) = 4 ，z ( 6 ) = 3 ，z ( 7 ) = 6 ，z ( 8 ) = 1 5 ， z ( 9 ) = 8 ，z o o ) = 4 ，z ( 11 ) = 1 0 ，z ( 1 2 ) = 8 ，z ( 1 3 ) = 1 2 ，z ( 1 4 ) = 7 ， 关于伪s m a r a n d a c h e 函数的研究是数论中非常重要和有意义的课题，许多学者研究了它 的性质并提出了有意义的结论例如d a v i dg o r s k i 在参考文献 1 】中用初等方法研究了 z ( n ) 并得到这样的结论： 1 ) 对任意素数p 3 时，z ( p ) = p 一1 ； 2 ) 对任意的r l = 2 时，z ( n ) = 2 “1 一1 同时，乐茂华教授在参考文献【1 4 】中对方程z ( n ) = ( 刀) 和z ( n ) = g ( n ) 的解的问题进行研 究给出以下结论： 1 ) z ( n ) = f ( n ) ，刀n 仅有解刀= 2 ，其中，是非负整数； 2 ) z ( n ) = g ( n ) ，刀n 仅有解疗= 1 ，3 ，1 0 其中f ( n ) ，g ( n ) 是两类非常经典的数论函数 苟素在参考文献【3 3 】中也对z ( n ) 的性质进行了研究得出z ( n ) = z ( n + 1 ) 无正整数解等结 论，不仅如此k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士建议我们研究： ( 1 ) i z ( 刀+ 1 ) 一z ( 刀) l ； 两北大学硕上学位论文 等 是否有界关于这两个问题似乎还没有人研究过，所以本节的主要目的就是用初等的方 法来研究它们，并且得出无界的结果 2 2 一个引理 首先，我们定理的证明需要如下引理 引理2 1 令七和j l i 是任意正整数且( 办，七) = 1 ，那么在算术级数础+ 厅中存在无穷多 个素数，其中疗= 0 , 1 ，2 ，3 ， 这是著名的d i r i c h l e t 定理，关于此定理的证明可参阅文献 3 2 3 主要结果 我们将要证明如下定理： 定理2 1 对任意大的正整数m ，有无穷多个正整数刀满足： 等 m 和i z ( 川) - z ( 以) l m z ( ，1 ) 7 、1 由此可知等和i z ( 川m ( 刀) i 是无界的 2 4 定理的证明 现在我们利用这个引理来完成定理的证明事实上，任意正整数m ，我们取m 满足 2 ” m 注意到( 2 2 肼+ 1 ，2 ”+ 1 ) = 1 ，因此根据d i r i c h l e t 定理，我们立即得到：在级数 2 2 卅+ 1 k + 2 “+ i ，其中k = 0 , i ，2 ， 中存在无穷多个素数 于是，一定存在一个正整数k o 满足2 2 m + l k 。+ 2 朋+ l = p 是素数对于素数p ，根据 z ( n ) 的定义有 第二章关于伪s m a r a n d a c h e 函数及其性质 z ( p ) = p 一1 = k 0 2 2 ”“+ 2 朋 z ( p 一1 ) = z ( k 0 2 2 ”+ + 2 ”) = z ( 2 ”( 2 肘+ 1 k o + 1 ) ) 因为t o 善2 s * 4 l ，：鲨譬型 于是有 因此 所以器勰 同理可得 知2 。“ 和2 辨( 2 ”1 + 1 ) 均整除i i = l z ( p 1 ) k 0 2 州 墨盟2 2 m + lk 0 + 2 2 m m z ( p 1 )2 肘1 k o i z ( p ) 一z ( p - 1 ) l l z ( p ) i - i z ( p - 1 ) i 所以l z ( p ) 一z ( p 一1 ) l 也是无界的 2 2 m + i k o + 2 ”一2 m + l k o 2 “+ 1k o ( 2 ”一1 ) + 2 ” 2 ” m 因为有无穷多个正整数m 满足2 脚 m ，因此也有无穷多个正整数拧满足2 ” m ， 所以胁+ 1 ) - z ( 门) i 和等是无界的 这就完成了定理2 1 的证明 西北大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章关于s c h u r 问题 对任意正整数刀，设，为正整数且满足：集合 1 ，2 ，3 ，- ) 可被分拆为刀类且每一类中 均不含有元素x ，y ，z 使得x ，= 2 成立在文献【5 】中，s c h u r 建议我们去寻找最大的，同 时他又提出两个类似问题：设，为正整数且满足集合 l ，2 ，3 ， 可被分拆为刀类且每一 类中均不含有元素x ，弘z 使得x + y = z ( 或者x y = z ) 对这些问题的研究是非常有趣的事，因为它可以帮助我们来研究一些重要的分拆问 题关于这个问题，刘红艳和张文鹏教授在参考文献【5 0 】中已经研究过x ，= z ( x + y = z ) ， 并得出，刀棚( r _ 2 川) 在参考文献 5 1 】中刘华宁博士和张文鹏教授又研究了砂= z 并 得出厂r 2 ( 1 _ 岔x 卜n ，在此s 为任意给定的正数 在本小节中，我们用初等方法去研究s c h u r 问题中的x y = z ，并且给出，更精确的 下界 3 2 主要结果 我们将要证明如下定理 定理3 1 ：对任意正整数刀 2 ，设，为正整数且满足：集合 1 ，2 ，3 ， 可被分拆为疗 类且每一类中均不含有元素石，y ，z 使得x ，= z 成立，则我们有估计 ，2 ”珂一 对任意正整数刀5 ，显然2 ” 刀2 所以我们定理证明的下界比文献 5 0 】中所的结果 更精确 3 3 定理的证明 在这一小节中，我们将用初等方法来证明我们的定理 首先，i 受r = 2 ”刀辨( 1 肌疗) 且按如下方法将集合 1 ，2 ，3 ， 分拆为刀类： 11 第三章关于s c h u r 问题 第1 类： 第2 类： 第3 类： 第k 类： 第刀类： 1 ，刀+ 1 ， 2 ，2 n ”+ 1 ， 3 ，2 2 刀”+ 1 ， k ，2 k - , 矿+ l ， 刀，2 “一1 矿+ 1 ， 刀+ 2 ， 2 n “+ 2 ， 2 2 n ”+ 2 ， 2 k - i 矿+ 2 ， 2 n - i 矿+ 2 ， ，2 矿 ，2 2 刀朋 ，2 a 刀胂 ，2 k 矿 ，2 “矿 显然，在第k 类中不包含整数x ，y ，z 使得x y = z 成立( 2 七刀) 事实上，对任意整 数x ，y ，z 第k 类，我们有 或 x y ( 2 k - , 刀”+ 1 ) 2 k 刀”z 工y k 2 - i n + l z 所以在第k 类( 2 k 珂) 中不包含整数x ，y ，z 使得x y = z 成立 另一方面，当k = 1 时，注意到m 刀，我们有 当m = 1 时 所以我们得到 哗 尝 1 ，( 刀m ，m 1 一)二二_ 一 ，l 刀2l 2 以”2 n m 。、7 ( 刀+ 2 ) 州 2 ” ( n + 2 ) 川 2 玎“ 类似我们有( 刀+ 1 ) 斛2 2 刀册，于是，当m ，l 时在第1 类中也不包含整数x ，y ，z 使得 x y = z 成立 这就完成了定理3 1 的证明 两北大学硕七学位论文 第四章包含s m a r a n d a c h ek 次补数函数的方程及其正整数解 4 1 引言 设k 2 是一个给定的整数，对任意正整数刀，著名的f s m a r a n d a c h e k 次补数函数 a k ( 玎) 定义为最小的正整数肌使得乘积册刀为某一整数材的完全七次方幂即就是 口。( ，1 ) = m i nm m y = u k , 材) 其中表示自然数集这一函数是罗马尼亚著名数论专家e s m a r a n d a c h e 教授在他所著 的( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中引入的，并建议人们研究它的各种性质从 a k ( ，z ) 的定义人们容易推出：如果刀= p f l p 尹p p 表示正整数刀的标准分解式，那么 吼( 刀) = p p p 争p 夕，其中层= 。，如果七整除吒；屈= 七一+ 七 警 ，如果七不整除， i = 1 , 2 ，由此我们也不难计算出a k ( 刀) 的前几个值为： a 2 ( 1 ) = 1 ，a 2 ( 2 ) = 2 ，a 2 ( 3 ) = 3 ，a 2 ( 4 ) = 1 ，a 2 ( 5 ) = 5 ，a 2 ( 6 ) = 6 ，a 2 ( 7 ) = 7 ，a 2 ( 8 ) = 2 ， a 2 ( 9 ) = l ，a 2 ( 1 0 ) = 1 0 ，a 2 ( 11 ) = 11 ，a 2 ( 1 2 ) = 3 ，a 2 ( 1 3 ) = 1 3 ，a 2 ( 1 4 ) = 1 4 ，a 2 ( 1 5 ) = 1 5 ， a 2 ( 1 6 ) = 9o , 岛( 2 ) = 4 ，口3 ( 4 ) = 2 ，a 3 ( s ) = l ，a 3 ( 3 ) = 9 ；口3 ( 9 ) = 3 ，a 3 ( 2 7 ) = 1 ， a 4 ( 2 ) = 8 ，a 4 ( 4 ) = 4 ，口4 ( 8 ) = 2 ，a 4 ( 1 6 ) = 1 ， 关于q ( ) 的算术性质以及有关问题，许多学者进行了研究，获得了不少有趣的结 果! 例如张文鹏教授在【2 9 】中研究了包含吼( 刀) 的d i r i c h l e t 级数的恒等性质，证明了恒 等式： 茎矗丽= 锗及善矗丽= 锗珂嘉， 其中f ( s ) 表示r i e m a n nz e t a - 函数，j 是任意实部大于去的复数 l em a o h u a 在【5 5 】中研究了， 1 时方程： 口；( ，1 ) + 口；一( 刀) + + t 2 ( 刀) = 刀 的可解性，并证明了该方程的所有解( 7 , ，) 为下面两种情形： 1 ) ( 刀，) = ( 3 6 3 ，5 ) ； 第四章包含s m a r a n d a c h ek 次补数函数的方程及其正整数解 2 ) ( 疗，厂) = ( a b 2 , 2 ) ；其中a 和6 是两个互素的正整数且满足口 l ，b l ，口= 6 2 一l ，a 是无平方因子数 本章的主要目的是研究函数方程 a t ( 甩) = ( 甩) ( 4 1 ) 的可解性，其中痧( 刀) 为e u l e r 函数关于这一问题，至今似乎没有人研究，至少我们没 有在现有的文献中查到! 本章利用初等及组合方法研究了这一问题，并获得了k = 3 ，5 时 方程( 4 1 ) 的所有正整数解具体地说也就是证明了下面的结果： 4 2 主要结果 定理4 1 当k 为偶数时，方程( 4 1 ) 有且仅有一个整数解刀= 1 定理4 2 方程a ，( 珂) = ( 刀) 有且仅有4 个整数解，它们分别是刀= l ，4 ，5 0 ，2 1 6 6 定理4 3 方程a ，( 刀) = 妒( 行) 有且仅有1 2 个整数解，它们分别是刀= l ，8 ，5 0 0 ，9 8 2 6 ，2 4 6 9 2 4 ，5 8 1 3 2 6 2 ，7 0 0 2 3 0 6 ，1 5 4 3 2 7 5 0 ，5 1 5 1 5 0 5 0 ，5 1 9 6 8 9 6 4 ，2 0 8 4 5 7 3 5 6 2 ，2 1 0 4 7 4 3 7 0 8 1 0 显然对任意奇数k 7 ，方程吼( 拧) = ( 门) 仅有有限个正整数解，但是当k 较大时很 难计算出它的具体解，这也是一个未解决的问题当然刀= l 及刀= 2 “1 是方程口2 ( 刀) = ( 刀) 的两个平凡解其它解玎= 2 。p f l p p 7 如果存在，则p 。一定是一个f e r m a t 素 数，即p 。是一个形如2 2 。+ 1 的素数 4 3 定理的证明 这节我们利用初等及组合方法直接给出定理的证明本章中用到的有关初等数论知 识以及e u l e r 函数的性质可参阅文献 9 】及【3 】首先证明定理4 1 设k = 2 h 为偶数，显然 ，= 1 是方程( 4 1 ) 的一个解现在我们证明刀 l 时不满足方程( 4 1 ) 如果刀 1 满足方程 ( 4 1 ) ，设p 为刀的最大素因子且p 口恰好整除刀，则当口为奇数时，显然k 不整除口，所以 吼c p 口，= 扣酣“陋l ，而c p 口，= 口- 1 显然a - 1 = k - a 詈 ，否则有2 a 1+kp l kj p kk2 ak k 詈 ， 吼( p 口) =，而( p 口) = 口1 显然l 等i ，否则有 i 等l ， 此式左边为偶数，右边为奇数，矛盾当口为偶数时，如果k 整除口，则(