（基础数学专业论文）clifford分析中无界域上几类正则函数的cauchy积分公式及边值问题.pdf

宁夏大学硕i ：学位论文中文摘要 摘要 c l i f o r d 分析是在为研究旋量场上d i r a c 方程的解而建立起来的一种函数体系，是从古典的复 平面上关于全纯函数的理论到高维空间的直接推广，其函数取值于可结合但不可交换的c l i f f o r d 代数c l i f f o r d 代数是建立在上世纪初，嵌入于任意维实或复的e u c l i d e a n 空间的代数体系c l i f f o r d 分析不仅在理论上，而且在应用上，特别是在理论物理方面都起着一个非常重要的作用例如它在 弹性力学和流体力学，象m a x w e l l 方程，y a n g m i l l s 场，量子力学等中都有重大的作用它已发展成 由研究一个变量的函数体系到研究多个变量的函数体系c l i f f o r d 分析作为一个新的数学分支已经 成为中外众多学者们关注的热门课题 本论文主要考虑了c l i f f o r d 分析中在无界域上几类正则函数的c a u c h y 积分公式以及边值问 题 全文共分为三章，内容安排如下： 第一章叙述了c l i f f o r d 分析的背景知识以及近些年来的发展情况，然后给出了c l i f f o r d 代数的 基本理论知识，作为以后各章节中必要的预备知识 第二章首先给出了c l i f f o r d 分析中常见的几类正则函数在有界域上的c a u c h y 积分公式，即： 超正则函数，双超正则函数然后利用j o h l 1 r a n 作的无界域上正则函数c a u c h y 积分公式手法得 到了无界域上超正则函数，双超正则函数的c a u c h y 积分公式以及另一种形式的c a u c h y 积分公式 第三章主要考虑了c l i f f o r d 分析中在引入修正c a u c h y 核的基础上，无界域上正则向量函数， 超正则函数的线性的边值问题 n ( 芒) 圣+ ( 亡) + 6 ( 芒) 而+ c ( 芒) 雪一 ) + d ( 芒) 研= g ( t ) f 首先给出了无界域上正则向量函数，超正则函数的p l e m e l j 公式，然后利用积分方程方法，压缩不动 点原理证明了问题解的存在唯一性。 关键词：实c l i f o r d 分析，正则向量函数，超正则函数，p l e m e l j 公式，c a u c h y 积分公式，无界域上的 边值问题，积分方程 宁夏大学硕十学位论文英文摘要 a b s t r a c t c l i f f o r da n a l y s i so f f e r saf u n c t i o nt h e o r yf o rt h es o l u t i o no fd i r a ce q u a t i o nf o rs p i n o rf i e l da n di sa s s u c had i r e c tg e n e r a t i o nt oh i g h e rd i m e n s i o n so f t h ec l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r yo f h o l o m o r p h i cf u n c t i o ni n t h ec o m p l e xp l a n e t h ef u n c t i o n st a k et h e i rv a l u e si nc l i f f o r da l g e b r a 如，w h i c hw a ss e tu pa tt h eb e g i n - n i n go ft h el a s tc e n t u r y , ag r a d en o n - c o m m u t a t i v ea n da s s o c i a t i v ea l g e b r a ，i nw h i c ha r b i t r a r yd i m e n s i o n a l r e a lo rc o m p l e xe u c l i d e a ns p a c em a yb ee m b e d d e di nan a t u r a lw a y n o to n l yf r o mt h et h e o r e t i c a lp o i n t o fv i e wb u ta l s ow i t hr e s p e c tt oa p p l i c a t i o n s ，i np a r t i c u l a rt ob o t he l a s t i cm e c h a n i c sa n df l u i dm e c h a n - i c s ，s u c ha sm a x w e l le q u a t i o n ，t h e o r yo fy a n g - m i l l sf i e l d ，q u a n t u mm e c h a n i c sa n ds oo n ，c l i f f o r da n a l y s i s h a sp r o v e nt ob eav a l u a b l ec o u n t e r p a r tt ot h et h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s n o w a d a y s ，c l i f f o r d a n a l y s i sh a sd e v e l o p e di n t oa na u t o n o m o u sd i s c i p l i n ei nm a t h e m a t i c a la n a l y s i sw i t hr e s e a r c hg r o u p sa u o v e rt h ew o r l d m a n ys c h o l a r sh a v ep a i dm u c ha h e n t i o no ni t c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a sa n dt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f t y p e so f r e g u l a rf u n c t i o n so nu n b o u n d e d d o m a i n si nt h ea n a l y s i so fc l i f f o r da r ed i s c u s s e di nt h ep a p e r t h ep a p e rc a nb ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa sf o l l o w s ： t h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dt h ed e v e l o p m e n to fc l i f f o r da l g e b r aa r eg i v e ni nc h a p t e ro n e t h e n t h eb a s i ct h e r i t i c a l l yk n o w l e d g eo f c l i f f o r da l g e b r ai sa l s og i v e na sn e c e s s a r yk n o w l e d g ef o r t h ef o l l o w i n g c h a p t e r s c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a so fs o m ec o m m o nk i n d so fr e g u l a rf u n c t i o no nb o u n d e dd o m a i n si nt h e a n a l y s i so f c l i f f o r da r ep r o p o s e df i r s t l ya tt h eb e g i n n i n go f c h a p t e rt w o t h ec a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a sa n d a n o t h e rk i n do f c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l ao f h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n ( d o u b l e dh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n ) o i lu nb o u n d e dd o m a i n sa r eo b t a i n e db yt h ec a u c h yi n t e g r a lf o r m u l ao fr e g u l a rf u n c t i o no nu n b o u n d e d d o m a i n sp r o p o s e db yj o h n r a n l i n e a r yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fr e g u l a rf u n c t i o nv e c t o ra n dh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o no nu n - b o u n d e dd o m a i n sa sd i s c u s s e db a s e do nt h ea m e n d e dc a u c h yk e r n e li nt h ea n a l y s i so fc l i f f o r di sc o n s i d - e r e di nc h a p t e rt h r e e 口( 芒) 垂+ ) + 6 ( 芒) 研+ c ( 芒) 圣一( t ) + d ( 芒) 研= g ( t ) f f o rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，t h ep l e m e l jf o r m u l a so fr e g u l a rf u n c t i o nv e c t o ra n dh y p e r m o n o g e n i c f u n c t i o no nu n b o u n d e dd o m a i n sa r eg i v e n t h e nt h ee x i s t e n c ea n du n i p u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h i sp r o b l e ma r ed o m e n s t r a t e db yi n t e g r a le q u a t i o na n dc o m p r e s s i o nf i x e dp o i n tt h e o r e m k e yw o r d s ：c l i f f o r da n a l y s i s ，r e g u l a rf u n c t i o nv e c t o r , h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n ，p l e m e l jf o r m u l a ， c a u c h yi n t e g r a lf o r m u l a ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo nu n b o u n d e dd o m a i n s ，i n t e g r a le q u a t i o n 一h 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名：盖峨 时 间：吵年月善日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：揭垒至：毁 时 导师签名：时 阊：即年；只8 日 间：z 矽年莎月分日 宁夏大学硕i ：学位论文第章绪言 1 1 文献综述 第一章绪言 c l i f f o r d 代数出现于2 0 世纪初，是一种可结合但不可交换的代数结构c l i f f o r d 分析是上世纪 七十年代人们通过将古典复变函数的许多结果推广到c l j 勖r d 代数的函数类e ，中去而逐渐发 展起来的一个新兴数学分支，研究的是从实向量空间映射到不可交换的实c l i f f o r d 代数的函数理 论，后又拓展为从复向量空间映射到复c 1 i f f 0 r d 代数的函数理论，它是高维空间的分析，是复变函 数论和四元函数分析的推广1 1 - 4 0 1 c 1 j 肋r d 分析以研究d i r a c 算子的非零解为对象，它是解析函数在高维空间中的推广正如单 复变函数论研究的主体是解析函数一样，多复变函数论的重要分支c l i f f o r d 分析研究的主体是正 则函数，也叫单演函数，其定义于任意维空间，而在c l i f f o r d 代数上赋值，是一类特殊的常系数椭圆 旦匀 型齐次线性偏微分方程组的强解，与广义c a u c h y r i e m a n n 算子以= ：e 丢有关1 9 7 0 年以 篇i 来，eb r a e k x 【1 ，8 ，2 5 ，2 6 ，r d e l a n g h e 2 7 一a l l 和es o m m e n 【3 1 3 5 1 在c l i f f o r d 分析方面作了大量的工 作，并于1 9 8 2 年三人合作出版了第一本c l i f f o r d 分析方面的专著【l i 该书系统叙述了c l i f f o r d 分 析中的基本理论，其中包括w e i e r s t r a s s 定理、c a u c h y 定理和c a u c h y 积分公式、l a u r e n t 展开式和 t a y l o r 展式、l i o u v i u e 定理、m o r e r a 定理和p a i n l e v e 原理等，在某种程度上是对经典的复变函数 理论的推广 1 9 9 2 年，r d e l a n g h e ，f s o m m e n 和v s o u 芒e k 发表了一本c l i f f o r d 代数的专著【3 1 1 该书在 多维空间中的函数理论方面，特别是与d i r a e 算予相关的函数理论方面，做了人量的丁作，这使 c l i f f o r d 分析理论作为一门独立的学科日益庞人起米j r y a n 在文献【3 6 】中讨论了c ”空间中 的d i r a e 算子的一些性质，d c o n s t a l e s ，r d e a l m e i d a ，r s k r a u s h a r 讨论了d i r a e 算子的解以及 c a u c h y r i e m a n n 方程而对c l i f f o r d 分析中高阶问题的研究也很活跃，f b r a c k x ，r d e l a n g h e 在文 献【l 】中首次推广复平面中的k 正且! u 函数理论到c l i f f o r d 分析中，研究了c l i f f o r d 分析中七正则函 数的c a u c h y 定理、c a u c h y 公式以及有关尼正则函数的齐次多项式j r y a n 在文献【4 0 也考察 过类似问题并构造了高阶多项式d i r a c 方程解的c a u c h y 积分公式同时，h b e g e h r 3 6 】通过迭代 的方法得到c l i f f o r d 分析中的高阶p o m p e i u 公式随后在1 9 9 0 年，曾岳生在文献【5 3 】中研究了正 则函数的另一种推广形式，即左后单演函数，并得剑了左后单演函数中的个积分算子的两个性 质所谓左启单演函数，指的是方程磷f = 0 的解函数，其中算子磷= d n ( 磁1 ) 后来杨不文 【5 0 ，3 剐，张忠祥【4 7 i 等人研究了左血单演函数的性质，并讨论了相应的某种边值问题以上结果都是 建立在d i m c 算子的基础上，但是有些常用的函数，例如扩，n = l ，2 ，z r 时1 ，不是正则幽数 s l e r i k s s o n b i q u e 和h l e u t w i l e r 4 l 在修正的d i r a e 算子的基础上引入了超正则函数，并 且h l e u t w i l e r 首先证明了幂函数z 仇( m n ) 不是正则函数，从而定义了超正则函数设算子 螈，= d 。，+ q 7 ，方程慨f = 0 的解称为超正则函数，所以超正则函数是单复变函数 论中全纯函数在高维空间中的另一种推广形式，是c l i f f o r d 分析中一类微分方程的解1 9 9 2 年h 1 e u t w i l e r 3 1 _ 3 2 l 首先研究了r 3 中的超正则函数2 0 0 0 年，s l e r i k s s o n b i q u e 和h ，l e u t w i l e r 把超 正则函数引入到c l i f f o r d 分析中，研究了它的一些性质，使c l i f f o r d 分析中的函数理论在理论意义 宁夏大学硕， ：学位论文第一章绪言 和应用价值都有了进一步的发展随后义推广到k 超正则函数，即m k f = d f + 二q f = 0 的解 称为后超正则函数，其中七= 0 ，1 ，礼一1 显然七= 0 时的解称之为正则函数 关于c l i f f o r d 分析中超正则函数的积分表示，s l e r i k s s o n b i q u e ，eb r a c k ，r d e l a n g h e ，f s o m m e n 和h l e u t w i l e r 等人在文献 1 ，4 ，7 】中得到了正则函数和超正则函数在有界域上的积分表 示f ( y ) = i 茹c c = 一耖) 礼 ) ，( z ) 如 ) ，其中g ( z ) = 古1 习；耵，l d n + 1 是r 1 中单位球的表面 积函数，：u 斗a 。( r ) 是左正则函数，a 。( r ) 为实c l i f f o r d 代数，vcu 是具有光滑l i p s c h i t z 边界的闭有界域后来，j r y 卸在文献 9 】中对c a u c h y 核进行了修正，得到了正则函数在无界域 上的c a u c h y 积分表示f ( y ) = 厶r rk 一y ) n ( x ) f ( x ) d a ( x ) ，其中，是定义在无界域u 的一个领 域上的正则函数，且在可上是有界的，k ( z ，y ) = c ( x 一可) 一g ( z + 秒) ，u 是具有l i p s c h i t z 连续 边界的无界域，且满足un u = 西这两个积分表示的不同之处主要在于c a u c h y 核的不同，前 者积分在有界域上o o 点处无奇性，但此积分在无界域边界上的o 。点有奇异性，后者通过减了一 项g ( z + y ) ，从而可以消除奇异性2 0 0 5 年乔玉英得到了超正则函数在有界域上的p l e m e l j 公式 及c a u c h y p o m p e i u 公式见文献 9 】2 0 0 6 年，李君霞根据j r y a n 作的无界域上的c a u c h y 积分公 式手法，通过对函数，限制一定的条件，得到了无界域上与上述学者得到的有界域上形式相同的 c a u c h y 积分公式，p l e m e l j 公式和c a u c h y - p o m p e i u 公式( 见文献【1 l 】) 正则函数是在d i r a c 算子的 基础上提出来的，它是复变函数中解析函数在高维空间中的推广，对于它的一些性质也曾被许多学 者研究黄沙老师采用拟置换的手法得剑了正则函数的等价条件后来在实和复c l i f f o r d 分析 一书中，黄沙老师引入了双正则函数并研究了它的一些性质，乔玉英的学生得到了双超正则函数的 c a u c h y 型积分公式以及利用积分公式得到了双超正则函数的p l e m e l y 公式 1 4 】，本文在此基础 上，利用j o h n r y 孤作的无界域上双超正则函数的c a u c h y 积分公式手法，对，作一定限制，得到 的无界域上c a u c h y 积分公式与有界域上双超正则函数的c a u c h y 积分公式有同样的形式，这使得 我们对c l i f f o r d 分析中的函数有了更深的了解，这也是本文选题动机之一 解析函数边值问题是复分析中极为重要的分支之一1 9 8 0 年以后，前苏联学者n i m u s k h e 1 i s h v i l l i 5 8 1 ，我国学者路见可【4 4 | 等在二维空间中解析函数的边值问题和奇异积分方程方面做了 大量的i 二作1 9 8 7 年，徐振远在文献 4 5 】中首先研究了c l i f f o r d 分析中一个基本r i e m a n n 边值问 题随后，黄沙净引，乔玉英，杨丕文等研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的一系列性质和某些边值 问题1 9 9 7 年，黄沙还研究了c l i f f o r d 分析中双正则函数的线性和诈线性边值问题2 0 0 1 年，张忠 祥，杜金元在文献【4 7 】中研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的某些边值问题与奇异积分方程，从一 定程度上推，“了徐振远的工作2 0 0 3 年，龚亚方在文献【4 8 】中研究了r 中一类r i e m a n n 边值问 题和h i l b e r t 边值问题2 0 0 5 年乔玉英讨论了超正则函数的边值问题【9 】同年，黄沙、乔玉英、闻 国椿在实和复c l i f f o r d 一书中系统讨论了边值问题和奇异积分方程，全书七章，内容包括( i ) 实和 复c l i f f o r d 分析中的正则函数和调和函数( i d 实c j i 筋r d 分析中广义正则函数和双曲调和函数 的边值问题o i l ) 实c l i f f o r d 分析中广义双正则函数的非线性边值问题( i v ) ，实c l i f f o r d 分析中古 典域上二阶偏微分方程的边值问题( 、，) 实c l i f f o r d 分析中依参数的积分和奇异积分方程( ) 实 c l i f f o r d 分析中几类高阶奇异积分方程和微积分方程( v i i ) c l i f f o r d 分析与椭圆函数的关系许多学 者在有限的c l i f f o r d 边值问题研究中做了大量的工作1 1 2 - 3 1 1 而在实际应用中，许多问题都是在无 界域的情况下提出的，所以无界域中对c l i f f o r d 分析中相关问题进行讨论是有很重要意义的【2 2 | 1 9 9 7 年，k l a u sg u r l e b e c k ，v w e k a h l e r , j o h n r y a n 【1 7 】中引入了修正的c a u c h y 核，使讨论任何补集 中含有非空开集的无界域上的c a u c h y 积分成为可能，并且得到了一系列结果，这是本文选题的另 一2 一 宁夏大学硕一 = 学位论文第一章绪言 一个动机， c l i f f o r d 代数的函数理论有非常重要的理论意义和应用价值例如在m a x w e l l 方程、y a n g m i l l s 场理论以及量子力学等都应用过它的一些结论，它已经发展成为由研究一个变量剑研究多个 变量的函数体系近年来对照多复分析的结果，如何把单复变函数理论推广到高维空间中去，国内 外已经涌现了一大批学者从事于这方面的研究1 9 8 9 年黄思训在文献 4 2 】中着重讨论了三维空间 上的c l i f f o r d 代数在力学上的许多重要应用，把平面问题中一些重要结果利用c l i f f o r d 代数这一重 要工具推广到三维或更高维空间中去，从而体现出了c l i f f o r d 代数在弹性力学或流体力学中的重 大应用2 0 0 1 年，eb r a c k ，j s r c h i s h l m 和vs o u 芒e k 三人联合推出了一本介绍c l i f f o r d 分析和应 用的论文专辑f 3 1 1 该书汇总了多人的研究成果，详尽地阐述了c l i f f o r d 分析的基础知识和应用背 景，讨论了c l i f f o r d 分析在弹性力学( 例如处理m a x w e l l 方程) 、量子力学、工程技术等中的广泛 应用，是迄今为止较为完善的一本关于c l i f f o r d 分析应用的数学专著f o u r i e r 变换在基础数学，应 用数学等领域中起一个非常重要的作用，例如它在解决偏微分方程、频谱分析、信号处理等方面 都有重大的应用由于它应用的广泛性，所以越来越成为引起人们关注的焦点于是把传统的经典 的f o u r i e r 变换推，“到更高维中去也越来越引起人们的注意近些年来，中外许多学者已从事这方 面的研究，见文献 4 3 ，4 6 ，5 4 ，5 9 ，6 0 1 2 本文的主要工作 本论文主要考虑了c l i f f o r d 分析中在无界域上儿类正则函数的c a u c h y 积分公式以及边值问 题 全文共分为三章，内容安排如下： 第一章叙述了c l i f f o r d 分析的背景知识以及近些年来的发展情况，然后给出了c l i f f o r d 代数的 基本理论知识，作为以后各章一肖中必要的预备知识 第二章首先给出了c l i f f o r d 分析中常见的儿类正则函数在有界域上的c a u c h y 积分公式，即： 超正则函数，双超正则函数然后利用j o h n r a n 作的无界域上正则函数c a u c h y 积分公式手法得 到了无界域上超正则函数，双超正则函数的c a u c h y 积分公式以及另一种形式的c a u c h y 积分公式 第三章主要考虑了c l i f f o r d 分析中在引入修正c a u c h y 核的基础上，无界域上正则向量函数， 超正则函数的线性的边值问题 o ( t ) 西+ ( ) + b ( t ) o + ( t ) + c ( t ) 西一( t ) + d ( t ) 圣一( t ) = 9 ( t ) f 首先给出了无界域上正则向量函数，超正则函数的p l e m e l j 公式，然后利用积分方程方法，压缩不动 点原理证明了问题解的存在唯一性 1 3c l i f f o r d 分析基本理论 设e o ，e l ，e n 为实向量空间豫卅1 的一组标准正交基，实c l i f f o r d 代数r 是以 一3 一 宁夏人学硕i j 学位论文第一章绪言 ，为基的2 n 维空间上述基底可简化为 e a = e a i e 口2 e 。 ，a = q 1 ，a ) 1 ，n ) ，1 o t l o t h 住， 其中e 口= e o = 1 是豫n 的单位元元素e l ，e 2 ，e 竹满足下列关系 2 = 1 ，歹= 1 ，2 ，s ， e 2 j = 一l ，j = s + l ，n ， e j e k + e k 勺= 0 ，j ，k = 1 ，2 ，n ，j k 线性扩充成整个空间的乘法，则r 。是一个可结合但不可交换的代数，称为实c l i f f o r d 代数，简称 c l i f f o r d 代数r 时1cr 。对于不同的s 可以得到不同的偏微分方程在c l i f f o r d 分析中的正则方 程中一般令8 = 1 由于c l i f f o r d 代数的不可交换性，则在c l i f f o r d 代数中二项式定理不一定成立 下列式子是显然的 vq l ，q 2 r n ，q i q 2 = 0 务q l = 0 或9 2 = 0 例如，设q l = e l + e 2 e 3 ，q 2 = e 2 + e r e 3 ，则q l 0 ，q 2 0 ，但是 q t q 2 = ( e l + e 2 e 3 ) ( e 2 + e t e 3 ) = e l e 2 + 8 ；e 3 + e 2 e 3 e 2 + e 2 e a e l e 3 2e r e 2 一e 3 + e 3 + e 2 e l20 定义r n + l = s p a n l l 1 ，e l ，e 。 = r o r “cr 。为仿向量空间，r n + 1 中的元素z = x 0 + x l e l + + z n e 。= x k e k 称为仿向量，其中x o 为仿向量的实数部分，称为纯量，记作s c ( x ) = x 0 ， k = 0 x = x k e k 为仿向量的向量部分，记作v e c ( x ) = x 每一个c l i f f o r d 元素a 可以唯一分解成口= aa a e a ，a a r ( n = ac a e a ，c a c 为 复数) 给出r 。中的五种常见运算 ( 1 ) 对合 反= e i ，氏= 一e f l ，i = 0 ，l ，礼一1 ( 2 ) 主对合 n = ( 一1 ) o 肋，l ，= 帆，) 1 ， 其中指中元素的个数，于是有 e ：= e o = l ，e ：= 一e ，i = 1 ，2 ，n 下列性质成立 f0 e i e u2 ， l - e v e i 。4 扩 矿 b l n z 若若 宁夏人学硕卜学位论文第一章绪苦 n v z r 。是一个仿向量兮e i x e i = ( 1 一n ) z 7 ( 3 ) 共轭 i = o 瓦= o - a a 其中g a = 一e a 。b 。一。瓦。，上述可改写为 特别地 ( 4 ) 反演 上述可改写为 从而有 ( 5 ) 种分解设 g + = 口可写为g = b + c e 。， 或 显然有 瓦= e ( - 1 ) 专l p l + 1 ) 。，e ， 葡= e o = 1 ，舀= - - e i ，i = 1 ，2 ，礼 虬f 1 ， ) a v e r , k e p k l e l ，l ， 玉，2 o ) ，c 为正常数，则对每一点y 阢有 其中 ，( ) = 兰n - 1 n - 1 ( f a ue ( z ，们如。( z ) ，( z ) 一厶m ( z ，秒) 石商厕) 砸劫= f 嵩， u 。+ 1 是r ”+ 1 中单位球的表面积 脚劫= 瓦禹蓦口。 引理2 5 1 1 3 1 设函数，g c ( 面，如) n c ( d ，r 。) 则 【( f o ) g + f ( o g ) d v = f d - 护g ， jd j 8 d | i ( f o ) g + f ( - o g ) d v = | f d - 矿g jd j 8 d 注这里咖为d 的体积微元，如为o d 的面积微元赢= ( m o ，m 1 ，m 。) 彤l + 1 为o d 上沿外 法线上的单位向量，赢= m i e i 如，d - g = 赢如为有向面积微元d 才= 赢如，+ l 为 r 竹+ 1 中单位球面的面积 由上述引理可得如- 卜定理 定理2 2 设u 为定理2 1 中所述的条件，u 为r n + 1 中连通开集，d 为n + 1 链，且满足万cu ， 若f ：u - - - - - - 4 如是超正则函数，且氕z ) = ，( 奎) ，z d ，在可上满足f i f ( x ) 1 1 c l l x l l “一1 一a ( o 0 ) c 为正常数，则对丁任意z d 有 ，( z ) = 兰n - - 1 n - - 1 f d 【f ，z ) 一f ( z ) 】d ) 其中 脚) = 品型尘警警掣， 可吨 证明设z d ，且以原点为心，r 为半径作球0 ( o ，7 ) ，用s ( o ，7 ) 表示其球面，令d ( r ) = d n 0 ( o ，r ) ，则 o d ( r ) = ( o d n o ( o ，r ) ) u ( s ( o ，r ) n d ) ， 一1 2 宁夏人学硕j 学位论文 第二章无界域卜几类正则函数的c a u c h y 积分公式 当r 充分大时，z o ( r ) ，根据引理2 3 可得 他，= 等k 黪一z 。蹲 所以 ，c z ，= 呈- - - z 。n 。，崔 三乇辞+ 丘n s 。，1 三己簿 可得 一型o d n - - 1 j 厂a d n io ( o ，r ) l 2 n - 1 z 嚣一1i 厂( f z ) 一1 d 盯( ) ，( ) 厂 一z