（基础数学专业论文）群的特征标性质与群的结构研究.pdf

j，： ， 土一i 煳i i 嘲i i i i i i i i i i i i i i i i i i 量皇曼皇鼍詈鼍詈鼍量暑皇鼍量罾曼量皇量皇詈皇皇曼毫曼鼍曼量詈舅曼曼曼曼曼鼍鼍曼曼曼曼曼曼曼鼍曼詈量鼍量吕皇曼量量罾 、7 1 二”2 f ff j f珊f 目录 摘要 a b s t r a c t 、第1 章背景及主要结果 第2 章预备知识 2 1 术语和符号 2 2 预备结果 第3 章用群的阶和高维不可约特征标维数刻画单群 3 1 配单群： 3 2 散在单群 第4 章特征标的零点性质与群的结构 7 6 7 7 8 1 8 2 l 5 5 6 9 9 m i 3 3 4 戗 6 7 j | 謦r 、 盈 4 7 r 扯 鲁 西南大学博士学位论文 摘要 有限群的表示理论是研究有限群结构的重要工具，有限群的特征标性质在很大 程度上决定着群本身的性质，在自特征标理论出现以来关于群特征标规律的研究和 特征标性质对群结构的影响研究从来就没有中断过。本文首先研究群的高维不可约 特征标维数和有限群结构之间的关系，然后研究特征标表中零点的分布情况和群结 构之间的关系。全文分为四章，主要研究结果在第三、四章： 在第三章中，研究了高维不可约特征标的维数与群结构之间的关系，通过限 定群的阶、高维不可约特征标维数得到了三个系列的单群的刻画。在给定群的阶 和最高维不可约特征标维数情况下，除7 个单群外，这两个数量完全可以刻画蚝一单 群、m a t h i e u 单群和j a n k o 单群在给定群的阶和最高维、次高位不可约特征标维数情 况下，得到了这三个系列单群的完全刻画。对于用阶和最高维不可约特征标维数不 能刻画的几个群，我们给出了阶和最高维不可约特征标维数与a 6 和 毛2 相同的群的 分类。 在第四章中，首先研究了特征标表中的零点分布与群结构关系，给出了特征标 表中的每列至多郁+ 1 ( 其中p 是群的阶的最小素因子) 个零点的有限可解群的完全 分类；其次研究了零化共轭类长度与群结构的关系，讨论了零化共轭类长都是素数 方幂的有限群，证明了这类群的可解性。特别地，证明了当零化共轭类长都是素数 时超可解。 关键词：不可约特征标特征标零点零化共轭类特征标维数单群 一i i a b s t r a c t a bs t r a c t i t i sa ni m p o r t a n ts u b j e c tt os t u d yt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sb yc h a r a c t e r t h e o r yo ff i n i t eg r o u p s t h ec h a r a c t e ro fa f i n i t eg r o u pp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n d e t e r m i n i n gt h es t r u c t u r eo fag r o u p ，a n dt h es t u d yo nt h i st o p i ch a sb e e nb e i n g d o n es i n c et h ec h a r a c t e rt h e o r yw a ss e tu p i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h er e l a t i o n s o ft h el a r g ec h a r a c t e rd e g r e e sa n dt h es t r u c t u r e so faf i n i t eg r o u pf i r s t l y , a n dt h e n w es t u d yt h er e l a t i o n so ft h ed i s t r i b u t i o no fz e r o si nt h ec h a r a c t e rt a b l eo faf i n i t e g r o u pa n dt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s i tc o n s i s t so f4c h a p t e r sa n dt h em a i n r e s u l t sa r ei nc h a p t e r s3a n d4 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h er e l a t i o n so ft h el a r g ec h a r a c t e rd e g r e e sa n dt h es t r u c - t u r e so ff i n i t eg r o u p s ，a n dt r yt ot h en e wc h a r a c t e r i z a t i o no fs o m ef i n i t en o n a b e l i a n s i m p l eg r o u p sb yt h e i ro r d e r sa n dt h e i r l a r g e c h a r a c t e rd e g r e e s e x c e p t7s i m p l e g r o u p s ，e v e r yk s s i m p l eg r o u p s ，e v e r ym a t h i e us i m p l eg r o u pa n de v e r yj a n k os i r e - p l eg r o u pc a nb ec h a r a c t e r i z e db yi t so r d e ra n di t sl a r g e s tc h a r a c t e rd e g r e eo ft h e g r o u p a n da l lk s - s i m p l eg r o u p s ，m a t h i e us i m p l eg r o u p sa n dj a n k os i m p l eg r o u p s c a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h e i ro r d e r s t h e i rl a r g e s ta n dt h es e c o n dl a r g e s tc h a r a c t e r d e g r e e s f o r7n o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p t h a tc a n n o tb ec h a r a c t e r i z e db yt h e i ro r d e r s a n dl a r g e s td e g r e e so fc h a r a c t e r s ，i ti sc l a s s i f i e df i n i t eg r o u p s h a v i n gt h es a m eo r d e r a n dl a r g e s td e g r e eo fc h a r a c t e rw i t ha 8o r 2 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h er e l a t i o n so ft h ed i s t r i b u t i o no fz e r o si nt h ec h a r a c t e r t a b l ea n dt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s ，a n dg e tt h ec l a s s i f i c a t i o no fs o l v a b l eg r o u p s h a v i n ga tm o s tp + 1z e r o si ne a c hc o l u m no ft h ec h a r a c t e rt a b l e ( w h e r epi st h e m i n i m a lp r i m ed i v i s o ro fi g l ) f i r s t l y a n dt h e nw es t u d yt h er e l a t i o n so ft h el e n g t h s o fv a n i s h i n g - c o n g j u g a c yc l a s s e sa n dt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s f o rt h eg r o u p w i t hl e n g t ho fe v e r yv a n i s h i n g - c o n g j u g a c yc l a s sap o w e ro fap r i m ef o r ，w ec o m e t ot h a tt h e s eg r o u p sa r es o l v a b l e p a r t i c u l a r l y , i ti sp r o v e dt h a tag r o u pi ss u p e r - s o l v a b l ei ft h el e n g t ho fe v e r yv a n i s h i n g - c o n g j u g a c yc l a s si sap r i m en u m b e r k e y w o r d s ：i r r e d u c i b l ec h a r a c t e r z e r op o i n t so fc h a r a c t e rv a n i s h - c o n g j u g a c y c h a r a c t e rd e g r e e s i m p l eg r o u p i i i 毒 创 i j 。 专 r k 第1 章背景及主要结果 第1 章背景及主要结果 众所周知，有限群的表示理论是研究有限群结构的重要工具，有限群的特征标性 质在很大程度上决定着群本身的性质，在自特征标理论出现以来关于群特征标规律 的研究和特征标性质对群结构的影响研究从来就没有中断过如著名的f r o b e n i u s 定 理和矿矿定理给定一个有限群，我们可以知道很多群的特征标的算术信息，比如不 可约特征标的维数整除群的阶，每个非线性不可约特征标都有零点等引起大家极 大兴趣的是这些算术性质反过来决定了群的某些结构利用有限群特征标的一些算 术条件来刻画有限群的结构是有限群表示论的经典课题，也是f r o b e n i u s ，b u r n s i d e 等 人当初创立有限群表示论的一个出发点如何利用群的较少的特征标算术信息来得 到较多的群结构信息是现在群表示中研究的热点本文围绕这一课题展开研究，主 要利用群的高维不可约特征标的维数和特征标表中零点的特征来刻画有限群的结 构 ( 一) 用群的阶及高维不可约特征标的维数刻画单群 利用特征标维数的算术性质研究有限群的结构是有限群表示论的经典课题关 于特征标维数的第一个基本算术性质是任意不可约特征标x 的维数x ( 1 ) i i c i ；更进 一步有对g 的任意正规交换子群a 都有x ( 1 ) l i g 似i 引起大家极大兴趣的是这些 算术性质反过来能否决定了群的某些结构在这一研究领域有着丰富的研究成果， 比如i t o - m i c h l e r 定理指出：对有限群g ，如果任意g 的不可约特征标x 郁tx ( 1 ) ， 则g 有交换的s y l o wp - 子群；对偶的，j g t h o m p s o n 证明了：如果对任意g 的不可 约特征标x 有plx ( 1 ) ，则g 有正规p 补( 详见【1 】) 1 9 9 4 年陈贵云在其博士毕业论文中证明了非交换单群由特征标表唯一决定( 详 见 2 】) 2 0 0 0 年，h u p p e r t 提出一个猜想：每一个非交换单群都可以由不可约特征标的维 数集合c d ( g ) 亥m j 画，并且已经证明猜想对于其中1 9 个散在单群，交错群a n m a & 命题3 2 3 若群i c l = 2 7 3 2 5 7 1 1 且m a z x ( 1 ) l xe l r r ( o ) = 3 8 5 ，则g 竺 m z 2 或g 竺t 毛1 ，其 g t 是以2 3 阶初等交换群为核，以7 阶循环群为 b l 约f r o b e n i u s 群 ( 二) 特征标的零点与有限群的结构 对于一个非交换的有限群g ，b u r n s i d e 定理指出：g 的每个非线性不可约特征标 至少在一个共轭类上取零值就是说g 的特征标表中每个非线性不可约特征标所在 的行至少存在一个零 1 9 9 9 年，d c h l l i a g 给出了每个不可约特征标至多有一个零点的有限群的结 构( 详见【7 】) 2 0 0 2 年钱国华给出了每个不可约特征标至多有两个零点的有限群的结 构，还证明了可解群的f i t t i n g 高能被其特征标中的零点个数界定( 详见【8 】 9 】) 2 0 0 7 年 他又给出了有一个不可约特征标只在一个共轭类上取零值的群的结构( 详见p o d 这 些结果都表明当g 的特征标表中每行出现的零点个数很少时，对g 的群论结构应该 有很大的限制 1 9 9 9 年i m i s a a c s 等人证明：对于可解群g 中的奇阶元素z ，若所有的不可约特 征标在。上都不取零值，则”z 含于f ( g ) 中 这说明g 的特征标表中大多数列都包含 零点 为了表述结论方便，我们采用文【1 1 】的如下符号： m ( x ) = i x i r r ( o ) ix ( 9 ) = 0 ) i ，表示g 的特征标表中夕所在列的零点个数 m 。( g ) = m a xm ( x ) lx ，r r ( g ) ) ，表示g 的特征标表中列上零点个数的最大值 2 0 0 4 年a l e x a n d e rm o r e t 6 等人在文【1 1 中考虑m ( g ) 也即g 的特征标表中列上 零点个数的最大值对群的结构的影响证明了g 的f i t t i n g 高和非线性不可约的个 数能被m ( g ) 的一个特定的函数界定 d c h l l i a g 刻画了满足下列条件的群： ( 1 ) 任意两个不同的非线性不可约特征标有不同的零点； ( 2 ) 特征标表中任意两列的零点个数不等； ( 3 ) 所有非线性不可约特征标有相同的零点( 详见【1 2 】) 一2 一 一 釉 i ， 9 溘 ， 第l 章背景及主要结果 上述结果说明了特征标表中列上零点的分布特点对有限群的结构有很重要的 影响基于此种猜测，第四章研究了m + ( g ) 较小的群，确定g 的群论结构我们给出了 特征标表中每列至多郁+ 1 ( 其中p 是群的阶的最小素因子) 个零点的有限群的完全 分类得到了如下定理： 定理4 1 1 有限可解群g 是y ( 3 ) 群当且仅当g 为下列群之一： ( 1 ) g 恰有1 个非线性不可约特征标； ( 2 ) g 恰有2 个非线性不可约特征标； ( 3 ) g 恰有3 个非线性不可约特征标； ( 4 ) g 有正规列1 日历，其中g ，竺q 8 或d s ； ( 8 ) g 竺g ，z 3 ，其中g ，型h ak 是以8 阶初等交换群日为核，7 阶循环群k 为补 的f r o b e n i u s 群 ( 9 ) g 是交换群 定理4 1 2 有限群a 是v ( p + 1 ) 一群是奇素数) 当且仅当g 为下列群之一： ( 1 ) g 交换； ( 2 ) g 是超特殊矿群； ( 3 ) g = d l 是以初等交换g 群g 7 为核，以循环群l 为补的f r o b e n i u s 群，且 g ，i 一1 ( p + 1 ) l 己i ( 允诌= 口) 除了特征标表中的零点个数对群的结构有很大限制，群的特征标值为零的元素 的性质也能反映出群的一些结构信息给定一个有限群g ，z g 若有x i r r ( g ) 使 得x ( x ) = 0 ，则称x 零化z ，称z 是g 的零化元，称z 所在共轭类为零化共轭类 2 0 0 9 年d a n i e l ab u b b o l o n i 等人在文1 3 1 中讨论了所有不可约特征标只零g p - 元 的群的结构；s i l v i od o l f i 等人证明了如果群g 的所有不可约特征标只零化元，则g 有 正规s y l o wp - 子群；证明了如果群g 的所有零化共轭类长都不被一个给定的素数p 整 除，则g 有正规矿补和交换s y l o wp - 子群；同时还讨论了g 的零化共轭类图的性质，得 到了零化共轭类图最多有两个连通分支，直径不超过4 等结论( 详见【1 4 卜i t 6 1 ) 一3 一 西南大学博士学位论文 以上研究成果都反映了群的零化元的阶以及零化共轭类的长对群的结构的影 响第四章我们接着讨论了零化共轭类长都是素数方幂的有限群，得到如下结论： 定理4 2 1 若群g 的所有零化共轭类长为素数的方幂，则g 可解 定理4 2 2 若群g 的所有零化共轭类长为素数，则g 超可解 声 b 瞌 第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章我们介绍本文使用的符号以及证明所需要的重要引理 2 1 术语和符号 在本文中，我们使用一下术语和符号： 所有的群都是有限群 特征标总指复特征标。 字母g 总表示一个有限群 字母p 总表示一个素数 若n 是一个素数，7 r ) 表示n 的全体素因子所构成的集合，7 r ( g ) = 7 r ( igi ) i r r ( g ) 表示g 的所有不可约特征标构成的集合 i r r l g ：= xei r r ( g ) ix ( 1 ) 1 ) i r r ( gin ) ：= x i r r ( g ) i 垡k e r ( x ) h r ( g10 ) ：= x i r r ( g ) 10 x ) c d ( v ) = x ( 1 ) l x x r r ( g ) 1 c ：g 的主特征标 m ( x ) = ：i x i r r ( g ) ix ( g ) = 0 ) i m ( g ) = ：m a x m 。( x ) ixei r r ( g ) f u l l y r a m i f i e d ：设n 望g ，0 厅r ( ) 是g - 不变的取xei r r ( gl 口) ，x = e p ，如果x 是i r r ( gi 伊) 中的唯一元，此时e 2 = j g ：n i ，我们称x 和0 相对g 是f u l l y - r a m i f i e d l i n ( n ) ：n 的所有线性特征标构成的集合 ， h e ：包含在日中的极大的g 的正规子群 g 在子群日上的置换表示：令日是g 的子群取q 为日所有右陪集的集合，作用p 取 右乘变换我们称p 为g 在子群日上的置换表示 x g ：表示g 的元素x 在g 中的共轭类 1 x c i ：表示g 的元素x 在g 中的共轭类的长。 给定一个有限群g ，z g 若有x i r r ( g ) 使得x ( x ) = 0 ，则称x 零化z ，称z 是g 的 零化元，称x 所在共轭类为零化共轭类 其他群论符号参见【1 7 】，群表示论符号参见【1 】 一5 西南大学博士学位论文 2 2 预备结果 引理2 2 1 1 s 】l e m m a2 2 1 聂j v 妒e h - r c ( 妒不能扩张到g ) ，令耳= 坫( 妒) 为妒 的稳定子群，则总存在乃的子群满足：妒可扩张到，且妒到的每个扩张和妒是关 于乃f u l l y r a m i f i e d 特征标 引理2 2 2 【2 0 】定理a 】有限群g 是y ( 1 ) 一群当且仅当g 为以下三类群之一： ( 1 ) g 为交换群； ( 2 ) g 为超特殊2 - 群； ( 3 ) g = ho ( 是一个f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s $ 1 , h 交换，f r o b e n i u s 核是初 等交换p 一群且1 日i = i n i 一1 引理2 2 3 【2 1 】命题3 2 2 】若g , - i 解，且对vm c d ( g ) ，m 1 ，g 至多有两 个维数为m 的不可约特征标，且若l a l a i = 2 ，则g 为下列群之一： 1 ) g 竺岛； 2 ) g 笺z ( 5 ) z ( 2 ) ； 3 ) g 竺& 若i g g i 2 ，且g 是7 r 幂零群( 7 r = i r ( g g ) ) ，g 的正规丌- 补不交换则g 为下列群 之一： 1 ) g = h k 是以2 5 阶初等交换5 一群k 为核，以1 2 阶广义四元数群日为补的f r o b e - n i u s 群： 2 ) g = a k 是以8 1 阶初等交换群k 为核，以a 为补的f r o b e n i u s 群，r a z ( a ) 竺 磊五，i z ( a ) i = 2 ； 3 ) g 竺a b ，其中a 是4 阶循环群，b 是2 7 阶超特殊群； 4 ) g 是s u z u k i 单群s z ( 2 2 m + 1 ) 的s y l o w2 - 子群的正规化子 引理2 2 4 2 2 定理2 3 】g 是非幂零群且i h r l ( g ) l = q ( g 是素数) 则l c d ( g ) i = 2 当且仅当g 为下列群之一： ( 1 ) f ( g ) 交换，i g ：f ( g ) l = l f ( g ) ：g ，i = p ，其中p 是i g i 的素因子，i i 一1 是 素数： ( 2 ) g = g 7 口a ，其中g 是交换矿群，a 循环，- 目- i a i = q ( i g ，i 一1 ) ( 3 ) g = 1x 2 ，其中1 = 日k 是以初等交换群k 为核循环群日为补的f r o b e - n i u s 群且i i 一1 = i h i ，i 2 i = g ； ( 4 ) g = h k 是以初等交换群k 为核循环群日为补的f r o b e n i u s 群且l k l 一1 = q l h i 一6 一 ) p 第2 章预备知识 引理2 2 5 【2 3 】定理】设g 是有限群，1 司g 则g 是f b b e n i u s 核为的f h b e n i u s 群当且仅当对每个1 n p j ，r ( ) ，萨不可约 ， 引理2 2 6 1 9 】定理a 群g 仅含一个非线性不可约特征标当且仅当下列条件 之一成立： ( 1 ) g 是一个超特殊2 一群 ( 2 ) g = ho ( n 是一个f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 丰 h 交换，f r o b e n i u s 核是初 等交换p 群nl h l = i n l 一1 引理2 2 7 2 4 】定理a 】群g 恰有两个非线性不可约特征标当且仅当以下条件 之一满足： ( 1 ) g 是超特殊3 群 ( 2 ) g 是f r o b e n i u s 群有交换的f r o b e n i u s 牢 h 及初等交换的f r o b e n i u s 核且2 1 9 = f n i 一1 ( 3 ) g = q 8 ( 磊磊) 是f r o b e n i u s 群有8 阶四元数群q 8 为f r o b e n i u s $ , ( 4 ) g 是类为3 的2 群，有正规列g g ，今z ( g 珍1 ，且g z ( g ) 是超特殊2 一群，i g ，i = 4 ，i z ( g ) i = 2 ( 5 ) g 是类为2 的2 一群，有正规列a z ( a ) g ，1 ，且g z ( g ) 初等交换，i z ( a ) l = 4 ，ig ，l = 2 引理2 2 8 【2 5 】推论1 】设p 为非交换的奇阶群g 的阶之最小素因子贝0 g 的所有 非线性不可约特征标的重数均小于2 p 当且仅当g 为以下两类型群之一： ( 1 ) g 是超特殊p 群； ( 2 ) g = h k 是以初等交换g - 群k 为补的f r o b e n i u s 群，且l k i 1 ( 2 p 一2 ) 1 日1 这 里q 也为i g i 的素因子且允许q = p 引理2 2 9 【1 1 】定理b 】g 是矿群若z g 使得。所在的共轭类长是矿，则至少 有6 一1 ) 个非线性不可约特征标在z 上取零值 引理2 2 1 0 【2 6 】引理5 】假设是群g 的极小正规子群，且n = 研& ，其 中每& 都同构于非交换单群s 如果妒打r ( s ) ，妒可扩张至u a u t ( s ) ，则妒妒 j r r ) 可扩张到g 引理2 2 1 1 【 1 5 】引理2 2 】令s 是非交换单群，且存在一个素数p 使得s 无p 亏零 不可约特征标贝i j 一定存在s 的一个不可约特征标妒和s 的一个共轭类c 使得妒可以扩 张至o a u t ( s ) ，共轭类c 的长被s 的阶的所有素因子整除，且妒在c 上取值为零 引理2 2 1 2 【2 7 】定理2 】若群g 的所有共轭类长度都是素数的方幂，g 可解 一7 一 西南大学博士学位论文 弓i 理2 2 1 3 令璺g ，z g 贝l j l z iii z g l ，l ( y ) g iii ( 秒) g i 引理2 2 1 4 【 2 s 】定理4 3 】令g 是可解群，z g 若g 的所有不可约特征标都 不零化z ，贝0 2 2 8 f ( g ) 引理2 2 1 5 【1 3 引理2 1 】令m ，礼是两个正整数假设1 - - i _ - e 2 + + n = o ，其 中旬是m 次单位根 ( 1 ) 若m 是素数p 的方幂，贝物l 佗； ( 2 ) 若n = 3 ，则3im 一8 一 k i h a l = 5 6 ，矛盾若i 凰l = 2 2 。7 ， i h c l 的7 阶子群n 旦日g9g ，从而n 璺g 令妒e i r r ( n ) 使得 x n ，纠0 ，t = l g ： 一9 一 西南大学博士学位论文 坛( 妒) i ，e = x n ，纠，从而x ( 1 ) = e t q o ( 1 ) = 8 而交换，妒( 1 ) = 1 , n l l t e t = 8 i ? 百a u t ( n ) 垡磊，n n t 2 ，【x n ，x n 】= e 2 t 3 2 i g ：n l = 2 4 ，矛盾综上可 知g 不可解 第二步：证明g 兰l 2 ( 7 ) 因g 不可解，g 一定有某个截断同构于非交换单群的直积但由l g i = 1 6 8 知g 掣 l 2 ( 7 ) 口 定理3 1 3 若群l a l = 2 4 3 21 7f l _ m a x x ( 1 ) xe l r r ( o ) = 1 8 ，则g 竺l 2 ( 1 7 ) 证明第一步：证明g 不可解 假设g 可解令xe l r r ( g ) 使得x ( 1 ) = 1 8 因为l g i = 2 4 3 2 1 7 ，g 存在指数 为9 的子群日考虑g 在日上的置换表示，有g 上珐s 岛，从而l r l i h c i - n - 1 月r g i l 2 4 - 1 7 由s y l o w 定理日g 的1 7 阶子群n 笪h a 笪g ，从而n 璺g 令妒i r r ( ) 使得 x n ，纠 0 ，t = i g ：尼( 妒) l ，e = 【x n ，纠，从而x ( 1 ) = e t q o ( 1 ) = 1 8 而交换，妒( 1 ) = 1 ，因 此e t = 1 8 而a u t ( n ) 竺7 , 1 6 ，因此t 2 ，【x n ，x 】= e 2 t 1 6 2 i g ：n i = 1 4 4 ，矛 盾综上g 不可解 第二步：证明g 笺l 2 ( 1 7 ) 因g 不可解，g 一定有某个截断同构于非交换单群的直积但由l g i = 2 4 3 2 1 7 知g 兰l 2 ( 1 7 ) 口 定理3 1 4 若群l a l = 2 4 3 s 1 3 r m a x x ( 1 ) l xe i r r ( c ) 1 = 3 9 ，则g 掣l a ( 3 ) 证明第一步：证明g 不可解 假设g 可解令x i 玎( g ) 使得x ( 1 ) = 3 9 考虑g 的极小正规子群 ( 1 ) 若i n l = 2 ，贝u i g n i = 2 3 3 3 1 3 ，a n 存在指数为8 的子群驯考虑g 在日上 的置换表示，一定有3 1 3 h c g li3 3 1 3 ( 1 a ) i h c g i = 3 1 3 i 扫s y l o w 定理可知h c n 的1 3 阶子群叫n 里h c n 笪 g ，从而t 塑g 令0e i r r ( t ) 使得 x t ，卅0 ，贝l j x ( 1 ) 0 ( 1 ) ii g ：t i = 2 3 3 s 注 意x ( 1 ) = 3 9 ，因此1 3p ( 1 ) 但9 ( 1 ) 2 1 3 2 i t i = 2 1 3 ，矛盾 ( 1 6 ) i h g i = 3 2 。1 3 理由同情形( n ) ( 1 c ) 1 i = 3 31 3 令0e l r r ( h a ) 使得 x - g ，刎0 ，贝j j x ( 1 ) 0 ( 1 ) i i g ：h o l = 2 3 注意x ( 1 ) = 3 9 ，n i 比0 ( 1 ) = x ( 1 ) = 3 9 但口( 1 ) 2 = ( 3 9 ) 2 i 凰l = 2 3 s 1 3 ，矛盾 ( 2 ) 若i n i = 2 2 , 贝u i g n i = 2 2 3 a 1 3 ，g 存在指数为4 的子群h n 考虑g 在日上 的置换表示，一定有3 2 1 3i i h c g i3 3 1 3 当1 日g l = 3 2 1 3 时，同情形( 1 ) 中( 1 口) 的 讨论；当i h c n i = 3 3 1 3 时，同情形( 1 ) 中( 1 。) 的讨论 一1 0 一 ， 第3 章用群的阶和高维不可约特征标维数刻画单群 ( 3 ) 若i n i = 2 3 , 旦p j l g n i = 2 3 3 1 3 ，g n 的3 3 1 3 阶的子群王n 璺g 令0e i r r ( h ) 使得 x j j r ，卅0 ，贝u x ( 1 ) 0 ( 1 ) il g ：日i = 2 注意x ( i ) = 3 9 ，因此p ( 1 ) = 3 9 令妒e i r r ( n ) 使得【知，妒】0 ，t = l h ：垴( 妒) l e = 【o n ，纠，从而o ( 1 ) = e r g o ( 1 ) = 3 9 而交换，妒( 1 ) = 1 ，因此e t = 3 9 而a u t ( n ) 笔g l 2 ( 3 ) ，因此t = 1 或3 ，【o n ，o n 】= e 2 t 5 0 7 i g ：n i = 3 5 1 ，矛盾 ( 4 ) 若i n i = 2 4 , 贝u l a n i = 3 3 1 3 令妒e i r r ( n ) 使得 x n ，纠0 ，亡= l g ： 尼( 妒) i ，e = 【x n ，纠，从而x ( 1 ) = e t q o ( 1 ) = 3 9 而交换，妒( 1 ) = 1 ，因此e t = 3 9 而a u t ( n ) 竺g l 2 ( 4 ) ，因此t = 1 或3 ，【x ，x 】= e 2 t 5 0 7 i g ：n i = 3 5 1 ，矛盾 ( 5 ) 若i n i = 3 ，贝i j i g n i = 2 4 3 2 1 3 ，g n 存在指数为9 的子群日考虑g 在日上 的置换表示，一定有1 31 1 日6 i i2 4 3 21 3 e 自s y l o w 定理知h g n 的1 3 阶子群叫n 笪 i - i a n 笪g i n ，从而驯n 里a l n 令06 i r r ( t ) 使得【珩，明0 ，贝i x ( 1 ) o ( 1 ) i i g ： t i = 2 4 3 2 注意x ( 1 ) = 3 9 ，因此1 3lp ( 1 ) 但p ( 1 ) 2 ( 1 3 ) 2 i t l = 3 1 3 ，矛盾 ( 6 ) 若i n i = 3 2 , 贝u i g i n l = 2 4 3 1 3 ，f h s y l o w 定理可知a l n 的1 3 - s y l o w 子 群吖n 塑g i n ，从而叫n 鱼g n 令0e i r r ( t ) 使得 x t ，刎0 ，贝l j x ( 1 ) o ( 1 ) ii g ： t i = 2 4 3 注意x ( 1 ) = 3 9 ，因此1 3ip ( 1 ) 但p ( 1 ) 2 ( 1 3 ) 2 i t i = 3 1 3 ，矛盾 ( 7 ) 若i n i = 3 3 , 贝u l a n l = 2 4 1 3 ，b h s y l o w 定理可知a l n 的1 3 - s y l o w 子群吖璺 g ，从而叫n 塑g i n 令0e l r r ( t ) 使得 x t ，刎0 ，贝u x ( 1 ) o ( 1 ) l i g ：t l = 2 4 注 意x ( 1 ) = 3 9 ，因此o ( i ) = 3 9 但口( 1 ) 2 ( 1 3 ) 2 i t i = 3 1 3 ，矛盾 ( 8 ) 若i n l = 1 3 ， o j i g n l = 2 4 3 3 由引理x ( 1 ) i l g i n i = 2 4 3 3 ，但x ( i ) = 3 9 ，矛 盾 综上，g 不可解。 第二步：证明g 竺l 2 ( 1 7 ) 因为g 不可解，g 一定有某个截断同构于非交换单群的直积但由i g i = 2 4 3 3 1 3 知g 掣l 3 ( 3 ) 口 定理3 1 5 若群i a l = 2 6 3 4 5 且m a x x ( 1 ) l xe l r r ( o ) = 8 1 ，则g 笺玩( 2 ) 证明第一步：证明g 不, - - - 解 假设g 可解令xe i r r ( a ) 使得x ( 1 ) = 8 1 注意i a i = 2 6 3 4 5 ，因此g 存在指数 为5 的子群日考虑g 在日上的置换表示，有g 上ks 而& 中阶被5 整除的可解子群 只能是5 ，1 0 ，2 0 阶，因此l 上珐i = 2 6 3 4 或2 5 - 3 4 或2 4 3 4 ( 1 ) 若1 l = 2 63 4 ，令0e i r r ( h a ) 使得 x h o ，刎0 ，! 贝u x ( 1 ) 0 ( 1 ) | | g ：h a i = 5 注意x ( i ) = 8 1 ，因此0 ( i ) = 8 1 但p ( 1 ) 2 = ( 8 1 ) 2 i - a i = 2 6 3 4 , 矛盾 ( 2 ) 若i 冠g i = 2 5 3 4 ，令0e i r r ( h c ) 使得 x h o ，0 】0 ，贝i x ( 1 ) o ( 1 ) li g ：日g i = 1 0 注意x ( i ) = 8 1 ，因此0 ( 1 ) = 8 1 但p ( 1 ) 2 = ( 8 1 ) 2 i 如l = 2 53 4 ，矛盾 ( 3 ) 若i i = 2 43 , 1 ，令0e i r r ( h g ) 使得 x - g ，刎0 ，贝l j x ( 1 ) o ( 1 ) i i g ：h a i = 一1 1 西南大学博士学位论文 2 0 注意x ( 1 ) = 8 1 ，因此0 ( i ) = 8 1 但p ( 1 ) 2 = ( 8 1 ) 2 i 如i = 2 43 4 ，矛盾 综上，g 不可解 第二步：证明g 竺巩( 2 ) 因为g 不可解，g 一定有某个截断m 同构于非交换单群的直积但由l g l = 2 6 3 4 5 知m n 掣a 5 或a 8 或巩( 2 ) ( 1 ) m n 竺a s 由于 m n 是非交换单群，因此c o n ( m n ) am n = z ( m n ) = 1 令l n = c c l n ( m i n ) xm n ， 砒g l 是m n 的# f 自同构群的子群注意m n 笺a s ， o u t ( a s ) = 2 ，因此i g l l = 1 或2 若i g ：l i = 1 ，此时g n = c a l n ( m n ) m n , c c l n ( m i n ) 竺a i m 令叫n = c g n ( m n ) ，i t i = 2 4 3 3 现在分析t 的不可约特征标令pe i r r ( t ) 使 得e = 【x t ，0 】0 ，m x ( 1 ) l s ( 1 ) i i g ：t l 可知p ( 1 ) = 3 3 但( 口( 1 ) ) 2 i t i ，矛盾 若i a ：l l = 2 ，在l 中作同样的讨论，得矛盾 ( 2 ) m n 垡a 6 由于驯是非交换单群，因此c c n ( m n ) am n = z ( m n ) = 1 令l n = c o n ( m n ) xm n ，因此g l 是m n 的$ b 自同构群的子群注意m n 竺a 6 ， o u t ( a 6 ) = 2 2 , 因此i g l l = 1 或2 或4 若l a ：l i = 1 ，此时g i n = c g n ( m n ) xm n ，c g n ( m n ) 竺a i m 令驯n = c c n ( m n ) ，l t i = 2 3 3 2 现在分析t 的不可约特征标令06 i r r ( t ) 使 得e = 【x t ，刎0 ，m x ( 1 ) 1 8 ( 1 ) i i g ：t l 可知p ( 1 ) = 3 2 但( 口( 1 ) ) 2 i t i ，矛盾 若l a ：l i = 2 或4 ，在l 中作同样的讨论，得矛盾 ( 3 ) m n 竺玩( 2 ) 比较阶可知g 掣矾( 2 ) 综上，g 竺观( 2 ) 口 定理3 1 6 令群l a l = 2 3 3 2 7 且g 的最高和次高维不可约特征标维数分别 为9 和8 则g 望l 2 ( 8 ) 证明第一步：证明g 不可解 令xe l r r ( o ) 使得x o ) = 9 ，卢e l r r ( a ) 使得卢( 1 ) = 8 由i g l = 2 3 3 7 ，g 存在指数为7 的子群日考虑g 在日上的置换表示，有g 月r g 毛 岛而岛中阶被7 整除的可解子群只能是7 ，1 4 ，2 1 ，4 2 阶，因此i h o i = 2 3 3 2 或2 2 3 2 或2 a 3 或2 2 3 ( 1 ) 若i 蜀g i = 2 3 3 2 ，令pe l r r ( h a ) 使得 x - o ，刎0 ，贝o x ( 1 ) o ( 1 ) | | g ：h a i = 7 注意x ( 1 ) = 9 ，因此0