（基础数学专业论文）星形映照两类子族的增长定理.pdf

f 3 7 ，o7 r 3 星形映照两类子族的增长定理 摘要 本文围绕昌受熙照的两类王夔；一n 次殆星映照和准凸映照，在不同的 域上用不同的方法进行了讨论全文共分三章 文章的第一章简要介绍文章的有关背景，多复变数的几何函数论在国内 外的发展现状，本文所要解决的问题及其意义第二章在讨论星形映照的基 础上，把单位球上的l 2 次殆星映照推广到有界星形圆型域上的n ( o n 1 ) 次殆星映照f 有界星形圆型域是一个意义更为广泛的域，它包含了四类典 型域，有限维ba t l l 空间中的单位球，复椭球等多种域，在有界星形圆型 域上，利用其m i n k o w , x k i 泛函，并通过构造恰当的函数，结合单复变中的结 、。一 论，得到a 次殆星映照的增长定理，第三章是关于准凸啤照的讨论，把它 在有界凸圆型域上的结果做到h i l h t 吼空间中的单位球上，利用h i l b e r t 空间 中内积诱导的泛数及其性质，通过分析的手段进行研究。从而得到与凸映 照同形的增长定理 t h eg r o w t ht h e t l r c u l s i 【7 l 、w os u l l a s s e so fs t a r l i k em a p p i n g s a b s t r a c t t h i sp a p e rc e n t e r so i lt h es l ，a ll ik e m a p p i n g si n s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s w e d i s c u 8 st h et w os u b c l a s e so fi ta i l l i ( i s l s t a r l i k em a p p i n g so fo r d e ro ta n d q u a s i c o l i v e x m a p p i n g sb yd i f f e r e n tw a y s ( i l lt m i f i i td o m a i n s i tc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n tz + “j l i tpt h ei a i k g r o u n ( 1o ft h i sp a p e r t h ed e v e l o p m e n t o fg e o m e t r i cf u n c t i o n a lt h e o r yo fh p v o ia l l o m p l e xv a r i a b l e s ，t h eq u e s t i o n sw ea r eg o i n g t od i s c u s s ，a n di t sp r o f o u n di l l ，a n i n g i nc h a p t e r2 ，w ee x t e n dt h ed e f i n i t i o no fa h n ( x s t s t a r l i k em a p p i n g so f o r d e l 1 2 t i l lb “t i l ea h n o s ts t a r l i k en l a p p i n g so fo r d e rno nt h e b o u n d e ds t a r l i k ec i r c u l a rd o m a i n si nc ”7 l h i st y p eo fd o m a i n0 1 1w h i c hw ed i s c u s si sn i o r e g e n e r a l ，f o ri tc o n t a i n sc l a , * i c a ld o i l l a i i m ，t h em f i tb a l li nf i n i t ed i m e n s i o n a lb a n a c hs p a e e g g d o m a i n s ，e t c w eo b t a i ut , h t g i ( w i hl , h e o l o u io f a l m o s ts t a r l i k en l a p p i n g 昂o f o r d e rn b yu s i n gi t 8m i n k o w s k if i u l l ：t i o h ；d r h , s i n ge x a c tf u n ( 1 t i o no nu n i td i s c a n dc o m b i n i n g t h ec o n c l u s i o n so fs i m p l ec t ) i l l p l l - xy ；i i + i ；i i i l e h it h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yq u a s i c o n v e x m a p p i n g si n h i l b e r ts 1 ) a a ：e b yt h ( ，l i l t ，a i i so ta n a l y s i sa n dt h en o r mi n t r o d u c e db yi n n e r p r o d u c ti nh i l b e r ts p a c e t h e uw 2d l ；n | t i l ei o n l ：l u s i o nt h a tt h ef o r mo fi t sg r o w t ha n d c o v e r i n gt h e o r e mi st h es a l i i ea st h el ：“po fc o u v e xm a p p i n g s 第一章序言 单复变数的几何函数论有着悠久的历史，优美的结果和丰富的内容，考 虑将这些结果推广到多复变数空间是一个十分自然的课题单复变几何函 数论中的哪些成果在多复变中依然成立，哪些成果在多复变中不再成立， 这些问题的研究对于揭示单复变数与多复变数本质上的区别有着重要的意 义但遗憾的是，单复变中的许多结果在多复变中并不成立 历史上最早考虑将单复变几何函数论推广到多复变数空间的数学家也 许是h c a r t a n 1 9 3 3 年，他在为 ，mc ，t i r o l 的著作写的跋中指出，即使像“在单 位匮上单叶函数的展开式的系数的模是有界的”这样的基本结果，在多复 变数空间也是不成立的他还指出，相应的增长定理和掩盖定理在多复变 数空间也不成立因此他建议考虑正规化双全纯映照的子族，如t 星形映 照，凸映照，以及其它映照类 继t t c a r t a n 之后，又有许多数学家致力于这方面的研究，但进展并不 太大 直到1 9 8 8 年，龚升，f i t z ( h 、- 扎i 等一批国内外数学家的工作问世之后， 多复变数的几何函数论才有了较大进展，解决了一些基本问题之后，史济 怀，刘太顺，p f l a t z g r a f f ，k o l n ，l l a m a m 等也在这一领域取得了杰出的成果 详细内容可参见 5 】， 6 】1 【9 】 本文围绕这一主题，分别对有界星形圆型域上的。次殆星映照和复 h i l b e r t 空间的准凸映照进行了进一步讨论，并得到相应的增长定理这一 i 工作的完成也使得人们对星形映照及凸映照有了进一步的认识 在本文的完成过程中，我的导师董道珍教授，卢克平教授，刘浩副教 授给了我悉心的关怀和帮助，他们渊博的知识，严谨的治学态度和敏捷的 思维都深深地影响了我，使我从中受益匪浅，也为我以后从事科研工作打 下了良好的基础在此，我向他们表示最诚挚的谢意! 另外，还要感谢培育我多年的数学系，她为我们提供了优秀的教师，良 好的学习氛围和幽雅的学习环境特别要感谢数学系领导对我的关心，帮 助和支持，是他们的鞭策和鼓励使我一步步走向前进在过去的几年中， 数学系的许多老师都给了我很大的帮助，我的每一份成绩里面都融入了他 们的心血和汗水，在此，也向他们表示衷心的感谢l 最后，向所有给予我帮助的老师，同学表示真诚的谢意1 2 第二章有界星形圆型域上。次殆星映照的增长定理 第一节引言 设c 表示复平面，表示c 中的单位圆盘，即= z c ： 1 ) 设 c ”为一维复欧氏空间，= = ，珏2 n ) l t c n 为列向量，b “表示c “中的 单位球，即b n = 。c 吲 0 ，。，p 0 ) 在多复变数的单位球面上，星形映照有下面的解析判别条件 定理。设：b ”- c “为一个正规化局部双全纯映照，则，为b ，- 上的 4 星形映照当且仅当存在”n o ，使 ，( z ) = 。，( z ) ( z ) ，z b ” 1 9 8 9 年，r w b a r n a r d ，c h f i t z g e r a l d 和龚升( 参见【3 】) 首先证明了c 中 单位球伊上正规化双全纯星形映照的增长定理和l 4 掩盖定理 定理7 如果f ：b “。c t t 是正规化的星形映照，那么对任意的。b ”， 有 矗斋鲥j 矗胬 之后，围绕正规化星形映照，一些数学工作者，如t 刘太顺( 【1 1 1 ) ，龚升， 余其煌，王世坤( 7 ，8 】) ，p f a l t z g l a f f ( 【l4 】) ，张文俊，董道珍( 15 】) 等分别在有界对 称域，复椭球，以及有限维b a n a c h 空间中的单位球上得到相应的结论1 9 9 6 年，刘太顺等给出关于有界星形圆型域上星形映照的增长定理的证明( 1 1 2 1 ) 定理8 设q 为c “中的有界星形圆型域，它的m i n k o w s k i 泛函p ( = ) 除去 一个低维流形外是一个f j - 函数若，( ：) 是2 上的一个正规化双全纯星形映 照，则 群纠m 胚蒂 1 9 9 8 年，g k o l n 在单位球上定义出双全纯映照的一些子族( j 7 】) ， 如ta 次星形映照，l 2 次殆星映照等随后，刘浩又将。次星形映照推广 到有界星形圆型域上( i g l ) 在本文中，我们将单位球b ，上正规化双全纯l 2 次殆星映照的结果推 广到有界星形圆型域上，得到正规化双全纯n 次殆星映照的增长定理 第二节预备知识及引理 为下面讨论方便，首先我们介绍一下m i n k o w s k i 泛函的一些基本性质 引理9 域f 2cc t - 是一个有界星形圆型域当且仅当存在唯一的实值连 续函数p ：c t - 一r ，称之为s2 的m i n k j , w l ( i 泛函，满足以下几条， ( i ) p ( z ) 0 ，v 。c ”；p ( ：) = 0 仁辛：= o ： ( i i ) p ( t z ) = i t l p ( 。) ，v t c ：p ： ( i i ) q = 2ec ”：p ( z ) 1 另外，若n 具有r 一边界，则直接计算可知，函数p ( 。) 还有一些其它性 质； 2 l 9 z i ) p 【；) ：= f ，( ：) ，v ：畔 ( 5 ) 帅塞( 翔) ：i - 钿御 ( 6 ) 瓦i ) p ( = 塞( 巩v 【o 叫， f 7 ) 赛卜”：) = 一歪i ) p ( 巩v 口弧 ( h ) 以上这些性质除去一个低维流形外成立( 【1 2 】) 在单复变理论中，有下面一个众所周知的结果 引理l o 设g 是c 中单位圆盘中的全纯函数，若9 ( o ) = l ，且对 比a ，r , j g f f ) 0 ，则下面的不等式成立z 瑚外吲f ) ；i z l 2 ( 1 0 ) 对所有z q o ) 成立 显然，若，是b n 上的l 2 次殆星映照，则，一定是伊上的星形映照 定理1 2 设，：口n _ + c ，。为b t 上的1 2 次殆星映照，则有下式成立， i z i e z p ( 一i z l ) sl ，( 。) isi z i e z p “z i ) ( 1 1 ) 第三节主要结果 定义1 3 设0 n 0 2 ) 对所有? n 0 ) 成立 由定义易知，若，是n 次殆星映照，则，必为星形映照这样，我们有 n 上的n 次殆星映照的增长定理 定理1 4 设q 是c ”中的有界星形圆型域，它的m i n k o w s k i 泛函p ( ：) 除 去一个低维流形外是一个_ t 函数若，是n 上的正规化双全纯。次殆星 映照，那么 而芝赫阿g 圳上 1 - ( 1 ，) 或等价地 而五括洲i f i 丽i z l - ( 1 4 ) 注记1 当n ：0 ，即，为星形映照时，由( 1 ： ) 式可得到有界星形圆型域 上的星形映照的增长定理( 参见定理h 或文献【1 2 】) 2 当q = b n ，n = 1 2 时，由定理1 4 可得定理1 2 ( 参见c 1 7 】) i i 正i t l l l l l l j i ! 刑2 ，。【) 令知2 高，则动m 定义单位圆盘上的全纯函数f 如下t 阶( 志瓦i ) p 础州) n ， 另一方面， ( 志瓦i ) p - s ) - ) mj ) = 两2 瓦l i p ( i - i o z l i ) ，l ( 铷) ，( f ：o ) ) = k 一( 南以i j t ( ：”v 一洲，( f 引) = - t r ( ；筹( 洲一如涨如) ) 所以 r e 熊) = i t p ( ；筹l ( f ：i ) ，( f 训) “， ( 1 6 ) 从而9 是单位圆盘上的全纯函数且i “ ( f ) ，v 对所有的f a 成立由引 理1 0 ，有 j-i_ail4 - 等竽瑚1 球， ( 1 _ ) 愫1 一l r r 一一悸l 一 、7 h 即 哿蛐球) s 背，f ( 1 8 ) 令= p ( z ) ，联系( 1 6 ) 式，可得 r e g ( p ( ；) ) = i t 。p ( 2 。) o 口p 。、z 。) ，1 ( p ( z ) 如) ，( p ( z ) 和) ) = ( 志塞( 比) 训，( 棚) m ( 粕) ) = 志( 跏百沁荆) ， 这样，不等式( 1 8 ) 变为 p ( ：) ! 二：群s2 l t e ( 塞( ：) ，1 ( = ) ，( z ) ) p ( 。) ! 二! j 紫( 1 9 ) 下面，记：( t ) = f - i ( ，( ：) ) ，( o ，1 ) 显然z ( t ) 表示q 中的一条曲线，为 ，( n ) 中连接，( z ) 与原点的直线用f t 映照后的像容易验证 显然， 由( 2 2 ) 和( 2 4 ) ，可以得到 百,iz(qi：7i(。f、，一，)t t 。i ) jt z t l一| “i 、 ) ) 掣划州跏啪掣) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 ：1 ) ( 2 4 ) 掣= i 2 ( 跏) ) ，m ) ) 他) ) ， ) 9 即 ( ：( f ) ) ，( ：) ) = 掣 ( ：( f ) ) ，( ：( ) ) i _ 三! 暑型 ，u 将上式与( 1 0 ) 式联系起来，有 p ( z “) ) 1 一( 1 2 n ) p ( 。( f ) ) ，i ，( ：( ，) ) ， t l 十p ( ：( t ) ) 一 t l f 一 考虑上面不等式的左端，即 ，) ( 。( ，) ) 1 一( 1 2 n ) p ( ：( ) ) ，t 1 p ( 。0 ) ) 1 + ，j ( ：( ) ) 一d t 上式两边关于从6 到1 积分，有 肚k ：1 蒜袢警糍 而 而而告警山如( ) ) ：l o g _ 丛盟 _ 丽丽可j 而丽“”忙 2 f 再苗荔丽再 所以 ! 型 ：竺! 兰! ! 丝三 1 一( 1 2 , 0 ，( ：) 】料2f l - ( 1 2 n ) _ l ，( ：( 洲甜6 在上式中令6 叶0 ，再由( 2 ：”式，可得 而1 芝1 薏阿刈m m 一( 一2r v ) ，( ：j 】号胃 这即是( 1 ：1 ) 式右端的不等式，用同样的方法可以证明 而篙阿g 跏， 1 + ( 1 2 ) ，( ：) 】薯i 这就完成了( 1 3 ) 式的证明 下面来证明( 1 3 ) 式和0 4 ) 式的等价性使用的方法是由( 【7 】) 中给出的 记r = 则 a r = 土2 7 妻i = 1 ( 刊五+ 却瞬小= 耋( 老c 恢+ 尝峨) 于是 ( ( i n 小) _ 裳z = ； ) 另一方面，容易验证 ( ( i 舢归( 跏，山 ) _ 鲁 ( 2 7 ) 联立以上两式，有 等= ；， ( 2 s ) 一r ， r7 即 坐：坐 对充分小的正数6 ，将上式两端从，( ：) 到f ( j ：) 积分，可以得到 耥= 粼 ， ，( ，f ：) )i ， 6 0 ) l 、。“7 假设( 1 3 ) 式成立，由( 2 0 ) 式，即有 i ，( 6 z ) i ；i i j ：i ! ! 器i f ( z ) l sj f ( s z ) i ；i i i ：? ；：! 精( 。) 令j - + o ，由5 l - + i m 。坦掣= | ：i ，以及，是正规化的，就可得到( 1 4 ) 式 同样的讨论可由( 1 4 ) 式推出) 式，从而两式是等价的定理证毕 第三章h i l l t 空间准凸映照的增长定理 第一节引言 设x 为一个复i t i l l w i 空间，( ，) 为x 中的内积。对x 中的任意点= ， l i z l i = v ( 羽开球 ：义：i i ：1 i 1 记为，如果x = c ，令a = 。ec ：i i ：1 l 0 ，r 0 0 显然r ( 。) 和 ( 。，f ) 都是位于右半复 平面，一雨位于左半复平面于是 由此可知f ( ) ca ( ：，f ) 一r ( ：) l 茎l b ( z ，f ) + 而 另一方面，f = i 为的非奇异点，g ( o ) = 0 ，口，( 0 ) = 1 ，故由引理5 ，有 ，( 1 ) = 型i t ( z ) 1 2 1 1 l ， 1 4 由此导出 即 r ( ：) | 2s 圳：| | 肌r ( ；) 此即 l 志u l ( ( 砘。) 刈训l 俐 ( 2 ) 以下不妨设f 在百上全纯，若不然，可考虑；f ( r z ) ，r ( o ，i ) ，然后取极 限即可记 虬( f ) 2 ，1 ( ：) ，( f ：) ，丽z ) = 扣孔，( f 巩翻 2 耳而( 7 孔f 2 ) 瓜2 ) ，鼢 在不等式( 2 1 中用。坩：代替：得蛰l i 丽1 竹- 1 ( ( 卅：) 巾小卵扣i i = 1 1 i - i i z i i ， 即 。 k ( f i 。) 一i l z l l f 剑。m 由于也( f ) 一俐是f 的全纯函数，故由极大值原理可知 ( f ) 一1 1 = sk ( 一。) 一i l z l t i i l z l l ， 即 l 、= ( f ) 一1 令z 呻却，得到 i 。幢) 一l i l ，f ，z o o b 由于f 是正规化的，故“，( ( j ) = j 于是由川w r f z 引理可导出 此即 故 h 。 f ) 一l | 恽 l l z j 1 ( i 划) 曼南l 州一 i | 川( 1 + n 州) i 。i p “一i l ：“) ( 7 ，1 ( 。) ，( ：) ，= ) si i z l l 2 ( 1 + i i = l t ) 第三节主要结果 在本节中，我们将给出y 中单位球 上准凸映照的增长定理和l 2 掩 盖定理的证明 定理7 设f ：b - + y 为正规化双全纯准凸映照，则 揣si i f ( ：j | i 尚 证明记o ，1 i 2 。 ( 7 ) 在【o ，s - 】上几乎处处成立，由( i ) 式( 6 ) 式和( 7 ) 式，可得 !剑墨剑，ld p i ， 1 硎。( 一) l i i z ( s ) l l o + 肛( 一) 0 ) 山 2 ，以一( ：( 一) j | i2 暇：而( j = 币丽而磊一 由( 7 ) 7 式可知，1 在f 0 ，。1 1e 是严格递增的从而 旷。) 口而赢掣 = j i i 禹 = “哪i 卜( 一) i | 一f 一，( i l i ：( 一) i i 】一i , , q l l z ( o ) l i + fr w ( 1 一l i ：( o ) 1 1 ) 并且 l o g p ( s ) 一i o g p ( o ) 1 0 9 1 1 = ( 一) | | 一“w ( i + i | ：( 一) | 1 ) 一o l l ：( o ) l l + 1 0 9 ( 1 + i m o ) 1 1 ) 从丽 碥褊“雌褊s 斋糕小， l h 此即 即 赢端圳ls 嗡胖耐揣“，刚 令s = 札r ，一。，由。i i n i 。铲可得 定理证毕 谢i i s ( 圳忪l 背l l i ( 纠 厕11-一11 si i s ( ：) 1 1 s 尚 参考文献 【l 】c h e r tz h e n g ，o n i ff 鼽l h i z a t i m ti 玎b i h o l o m o r p h i em a p p i n g sa n d s t a 7 f 漱1l l t h ec g a so fb o u n d e d8 押i e t l yb a l m fd o l n a i l t si nc ”( ：m n a m l o fm a t h ，1 6 a ：2 ( 1 9 9 5 ) 2 3 0 2 3 7 【2 】p l d u r e l l ， h i i v a l c n tf u n , - l i o n s ，( i r u m u e h r e mt i e rm a t h e m a t i s c h e nw i & s e n s c h a f t e n 2 5 9 ，s p r i n g e rv e r l 唱，b l e wy o r k ，1 9 8 3 嘲r w b a r n a r d ，( ： 1 f i t z g t 、r ；d i ，s ( ；o n g ，t h eg r o w t ha n d1 4 t h e o r e m s ，o rm a r 1 i k e m a p p i n g si n c h i n 蜥1 h 小，3 4 1 9 s 9 ) ，l f i l 1 6 2 p a c i f i cj o u r o fm a t h 1 5 0 ( 1 9 9 1 ) ，1 3 2 2 【4 】s g o n g ，b i h o l o m o r p h i rm a p p i n g i uw ，州c o m p l c z d r i a b l c s ，c o n t e m p m a t l l 1 4 2 ( 1 9 9 3 ) 【5 】5 龚升，多复变数的凸映照与星形映照，科学出版社，1 9 9 5 【6 】6 s g o n g ，c o n v e x 7 l “q l a l 。2 j “m a p p i u g si ns e v e a lr o m p l c zv a r i a b l e s ，k l u w e ra c a - d e n c ep u b l i s h e r s ，19 9 8 【7 】g o n g s h e n g ，w a n g q h i k u i i ，y q i l l ；i n g ，7 ng r o w t h t h e m r m f o , b i h o l o m o t ? j h i c m a p p i n g si ns e v e r e dc o m p l e xo a t 。i a b h ( 。h i n a i m f - m a t h ，1 4 b ：i ( 1 9 9 3 ) ，9 3 - 1 0 4 【8 】y uq i h u a n g ，w a n gs h i l ( , m ( ：i j n gs h p n g ，t h eg r o w t ha n d1 4 - t h e o r e m sf o r s t a r l i k em a p p i n g si nb p ，c l f i n a i i l l i lm a t h ，11 b ：i ( 1 9 9 0 ) ，1 0 0 1 0 4 【9 龚升，余其煌，郑学安，布洛赫常数与许瓦尔兹导数。上海科学技 术出版社，1 9 9 8 1 0 】s ( 1 0 n g ，t s l i u ，t h e r o f f i ， l h c o w n i b i h o l o m o r p h i cc o n t ，c zm a p p i n g s0 1 1 b p ，c h i n q u a r 1 0 u t m a t h i ；( i f f i ) i h 一8 2 11 】t s l i u ，t h eg m w t ht h to l t l l l ，o l i c l 。i n q t h c o r e n t sa n dd i s t o r t i o nt h e m m si o r b i h o l o m o r p h i em a p p i n g so i lc l a ；s i , r ，7d o m a i n h u n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n l f l o g yo f c h i n l t ，d o c t o rt h e s i s ( 1 9 m 1 1 ) 【1 2 】l i ut a i s h u n ，r e ng u a i , g b i n 。t h eg i w t ht h e o t r m o rs t a r l i k em a p p i n g so n b o u n d e ds t a r l i k ec i t r u l a l d o m a i n n ，( h i n a l i l i i fm a l h 1 9 b ：4 ( 1 9 9 3 ) 4 0 1 4 (