（基础数学专业论文）有序banach空间二阶常微分方程的周期解.pdf

摘要 本文利用半序理论，非紧性测度潞聚映射的拓扑度，不动点定理及锥上不动点指数理 论，讨论了b a na _ c h 空间e 中二阶常微分方程周期边值问题( 简称“p b v p ”) f u ”p ) = f ( t ，“p ) ) ，t 0 ，叫， i ( o ) = u ( u ) ，o ( 0 ) = o ( u ) 解的存在性，主要结果有 一存b a n 抽空间，一方面运用一般上下解及反序上下解单调迭代方法，并结合非紧性 测度的性质，研究了二阶常微分方程周期边值阔题最大解与最小解的存存性另一方面不 假定上下解存在，也不附加非紧性测度条件，仪存序条件下讨论了非线性= 阶微分方程周 期边值问题解的存存性，改进和推广了近期这方面已有的一些结果 二在非单调条件下利用凝聚映射的拓扑度及s a d o v s k i i 不动点定理获得了解的存存 性结果，推广了近期这方面已有的一些结果 三我们应用凝聚映射的不动点指数理论，分别存两种情形下，获得了些正解存存的 结果，推广了近期这方面已有的一些结果 关键词：b a n a c h 空间周期边值问题；凸锥；半序；上解；下解；极大值原理；非紧性测度；凝 聚映射的不动点定理和不动点指数理论 中图分类号：0 1 7 5 ，2 5 n a b s t r a c t b a 船do nt h ep 缸u “t h e o r y , k u r a t o w s k i t u e a 吕l u ：eo fn o u c o m p a e t n e e s , t o p o l o k i c a ld e g r e ea n d f i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n d e n s i n gm a p p i n gm a p , t h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi nc o n e 8 ，t h ep a p e r ，麓裂嚣 1 t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h es e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n b a n a c hs p a c ei sd i s c u s s e d o nt h eo n eh a n d ，b yr a s i n gt h ei n o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o dw i t hu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n so ra n t i - o r d e ru p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，t h ea u t h o ro b t a i n st h ee x i s t e n c eo f e x i s t e n c eo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n ，w h i c hi m p r o v ea n de x t e n dt h er e s u l t sr e c e n t l ya c h i e v e di n t o p o l o g i c a ld e g r e ea n ds a d o v s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n d e n s i n gm a p p i n g w h k he x t e n dt h e 3 b ye m p l o y i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xo f c o n d e n s i n gm a p p i n g ，t h e e x i s t e n c er u k so f p o s i t i v e k e y w o r d s ：p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e ；c o n v e xc o n e ；q u a dp b r t i a l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名纠心日期刑耷月7 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文存解密后应遵守此规定) 签名：刁彬导师签名：弩永辫 日期： 刀哆年g 月7 日 j l 刖舌 b a n a c h 空间常微分方程理论是近3 0 年来发展起来的一个新的数学分支，它把常 微分方程理论与泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究b a a a c h 空间中的常 微分方程，它的理论在无穷维常微分方程组，偏微分方程，临界点理论及不动点定理 等方面都有重要的应用，因此引起了越来越多的学者的关注与重视 b a n a r k 空间常微分方程的基本课题是建立类似于普通常微分方程的解的存在 性与唯一性结果，但由于有限维空间与无穷维空间的本质差异，有限维空阔常微分 方程的基本结果，对无穷维空间的常微分方程不再成立 1 卜 2 1 ，如古典常微分方程理 论c p e e a n o 存在性定理就不再成立了，即在无穷维b a n a c h 空间的情形爿 线性项的连 续性保证不了解的存在性为了获得无穷维常微分方程的可解性，人们一般提出了 三类条件，一类是紧性条件，一类是耗散性条件 1 】- 【3 ，一类是序条件，但耗散性条件 适于一种非常特殊的情形近年来人们使用紧性条件与序条件作了许多深入的工 作 本文的主要目的是讨论b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存 在性，关于二阶周期边值问题解的存在性已有许多结果，见文【5 _ 【l l m 5 】等i 如 文 8 j ，f 9 j 在有限维空间中获得了解的存在性，文【l o j ，f 1 1 j 利用半序理论及上下解荦 调迭代方法推广到了无限维空间，即弱序列完备空间，文 1 5 j 1 9 】分剐在r 空间与 有序b a n a c h 空间中利用锥映射的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理获得了正解的存在性结 果本文目的是改进和推广这些工作，我们在较弱的条件下获得了解的存在性，推广 了上述作者的工作 我们使用的主要工具是半序理论，非紧性测度，凝集映射的拓扑度，锥上的不动 点指数理论及s a d o v s k i i 不动点定理，本文需要的这方面结果整理在下面的1 中 在2 中采用常序上下解及反序上下解单调迭代方法，在一般b a n a c h 空间讨论了 解的存在性，主要推广了文【8 h 1 1 】的工作此外受文献1 1 2 的启发，我们不假定上下解 存在池不附加非紧性测度条件，仅在序条件下讨论了二阶周期边值问题解的存在 性，推广了文 1 2 1 的工作 在3 中，我们通过计算线性方程解算子的范数应用凝聚映射的拓扑度 前言 及s a d o v s k i i 不动点定理，在不假定非线性项，( ，u ) 关于“序增的非单调条件下获 得了解的存在性结果，推广了文 1 0 m 1 】的工作 在4 中我们应用凝聚映射的不动点指数理论研究了二阶周期边值问题正解的 存在性，近年来不动点指数理论被有效地应用于普通二阶常微分两点边值问趣正 解的存在性，但对b a n a c h 空间二阶周期边值问题讨论的并不多见在本文中我们不 要求f ( t ，u ) 一致连续，仅假定其连续，非线性项，( t ，乱) 在特征值0 附近扰动的两种情形 下，讨论了正解的存在性，推广了文 1 5 m 9 】的工作 2 l 准备知识 本节我们给出一些与本文相关的基本概念和引理，本节的所有内容均为引 录，读者可参考所列文献以获得更为详细的内容 一锥与半序 我们熟知b a n a c h 空间中的序结构与闭凸锥是两个等价的概念，一个序关 系总可由一个闭凸锥引出( 见文【l 卜【2 i ) 设e 为b a n8 | c h 空间，p 为f 中的闭凸锥，则可 由p 引f i l e 中的序关系z y 售y z p ，使f 按“”构成有序b a n 缸j h 空间此时 锥p = 扛e i x2d 称为倒妁正元锥以后我们使用的半序总由一个锥引出，给出了 一个闭锥，就意味着确定了个半序 f 中闭凸锥p 称为正规锥，是指：存在常数n o ，使得当口zs 掣时，有| ixi f nj i yi i ，其中为正规常数 令，= 【0 ，u 】，i d c ( x ，e ) 为定义于取值于e 的抽象连续函数按范数| | n 忙鼍鎏乒 t ( t ) 构成b b a a c h 空间，若e 为有序b a n a c h 空间，设其正元锥为p ，则c ( i ，e ) 按序关 系“s 口讳“( f ) u z ，亦为有序b a a a c h 空间，以后g ( ，e ) 中的半序“s ”总 是这样引入显然该半序由g ( ，e ) 中的闭凸锥k ； n c ( x ，明j t p i j 引 出，当p 为正规锥时，k 亦为正规锥，且正规常数相同 设e 为有序b a n a c h 空间，z ，y e ，z 茎弘以后记k 纠= 0 ej xsn 刃，称 为e 中的序区间，而对t ， c f f ，e ) ，t su ，沁，u 】表示e ( ，e ) 中的序区间 设f ，为e 的共轭空间，p 为e 中的闭凸锥，称e + 中的集合 p + = 妒e + i 妒( z ) 0 ，正p 为p 的共轭锥( 对偶锥) 关于对偶锥有以下结果： 引理1 1 设e 是b a n a c h 空间，p 为e 中的闭凸锥，。e ，则 该引理见文【2 】定理1 6 二非紧性测度 。28 甘v 妒p + ，l p ( 茹) 0 3 1 准备知识 定义1 1 设e 是实b ；m a c h 空间，s 是e 中的有界集，令 n q ( 印= i n f j o r s = u 且，d i a m ( b i ) s 6 , i = 1 ，2 ，) ， i = 1 显然，0 a ( s ) o ( 否则o ( d ) = o ，t 1 ( d 1 ) = 0 上式成立) 令r n = o ( 口) ( 1 一南) ，取茁? d ，则d 垡b ( 。r ，弩) ( 否则由非紧性测度定 义k d ( d ) 这与 0 , v u f h ，j 6 o ，当i t l t 2 i d 时，i l u ( t 1 ) 一 “( t 2 ) i f v v e - 6 f h ，按照凸闭包定义存在凸组合，使0 a i u i 一”f l 。 e ，其中嘶n l ， i = 1 0 ，k l ，于是 l = l nn n” 1 ) 一“( t 2 ) l l 剑。( 1 ) 一, h u ( 4 ) l l + o a i u i ( t 1 ) 一a 泓( 圳+ i i v ( t 2 ) 一a i 地( 圳 扛= li = li = 1 i = l n 2 1 1 u 一九啦o 。+ 2 e + = 3 e ， 由。的任意性知可( n 1 ) 等度连续 5 理 三凝聚映射及不动点定理 讨论b a n a c h 空间的常微分方程解的存在性，常常需要凝聚映射的有关不动点定 定义1 2 设e 是b a n a c h 空间，dce ，q ：d e 为有界连续映射，即0 ：d e 连 续，且把d 中的有界集映成有界集，若对任意非相对紧的有界集scd ，有：o 旧( s ) ) 0 ， z e a 矿” ” 任取k 集压缩映象口：仃一p ( o ! 七 1 ) ，使 | j b x a x | | l u ， 定义 i ( a ，u ，p ) = ( b ，u ，p ) 为a 在可上相对于锥p 的凝聚映射的不动点指数 关于凝聚映射的不动点指数的基本性质见文f 3 为了证明的需要，下面我们列出凝聚映射的不动点指数的两个重要结论 引理1 8 设f 是b a 皿a c i l 空间，p 为f 中的锥，nc 尸为有界开集，a ：p n 孬一p 为凝 聚映射，若存在蛳p p ，使 t 一a u p 如，v 缸8 q ，弘0 ， 则i ( 4 ，p n n ，p ) = 0 该引理见文f 1 8 6 ：。：。：。! ! 坠! ：童二= = = ：= = ：= = ! ! = ! = ：! ：! ：= 。：! ：= ! ：! 引理1 9 设e 是b a n a c h 空间，p 为e 中的锥，nc 尸为有界开集，0 n ，a ：p n 西。 p 为凝聚映射，使 u # a u ，v u 0 1 2 ，0 弘1 则i ( a ，p n n ，p ) = 1 该引理见文1 1 第三章引理4 1 7 2 二阶周期边值问题的单调迭代方法 设e 为有序b a n a c h 空间，总设其正元锥p 为正规锥，昱中的序关系“茎”由锥p 5 l 出，= 【0 ，州，e ( ，e ，e ) 考虑下列周期边值问题( 简称“p b v p ”) 1 ，( o 吖( ，往l陋1 】 i ( o ) = ( u ) ，“( o ) = 7 ( 叫) 当e = r 1 时，关于问题( 2 - 1 ) 已有深入研究n t i n ，其证明方法依赖于| r 1 中有界集的紧 性最近在文【1 0 】与文【l l 】中，作者利用半序理论将其推广到弱序列完备空间本文在 般有序b a n a c h 空间，p 为正规锥的一般情形下，利用常序上下解及反序上下解的单 调迭代方法研究方程( 2 1 ) 解的存在性此外受文献 12 1 的启发，我们不假定上下解 存在，也不附加非紧性测度条件，仅在序条件下讨论了二阶周期边值问题解的存在 性，推广了文f 1 2 7 的工作 一预备知识和引理 记c ( i ，e ) ，0 2 ( j ，e ) 分别为定义于，取值于e 的连续函数空间与二阶连续可微函 数空间，贝u c ( x ，f ) 按范数f | ui i _ 犍j i ( ) f | 构成b a n a c h 空间易见 k = o 为常数，p i ，舰r 为常数，h ( ”c ( i ，e ) 咄，( o 叫“鲥 ) 涎l( 矧 l 私( 哪一甜( 叫) = 芦i ，”7 ( o ) 一“( u ) = 卢2 。 其中o o ，若 i t c 2 习，满足 i - - u t ( t ) + m u ( t ) 8 ， 1t 上( o ) 鼍让( ) ，“，( o ) 5t 上，( u ) 砸l l , 4 t ) 目于， 引理2 3 设o m ( 三) 2 为常数，卢= 们订，对忱c ( x ，e ) ，方程( 各3 ) 存在唯一 解u 垒( 肌) ( ) ，且s ：c ( z ，e ) 一c ( i ，曰) 为线性连续算子，其中 ( s h ) ( t ) 圭r ( t ) l l + r ( t ) 肛2 一g ( t ，s ) h 0 ) d 8 ， g 他印= ：! i ：三：三： 。 晌2 篙挚，川 9 2 二阶周期边值问题的单调迭代方法 注2 ：引理2 3 隐含了如下反极人值原理 引理2 4 设o m o , 对v u ， 【v 0 ，蜘 ，当“u 时，有 f ( t ，u ) 一f ( t ，u ) 一 f 扣一口) ； ( 肌) 7 丑常数吖，使0 m ( 吾) 2 对v u ， 【t 如 ，当t 时，有 ( t ，n ) 一f ( t ，。) s 玎( 社一。) ； ( h 2 ) j 五( o ，警) ，使得对，及任何等度连续的单调序列a 一 ) c ，咖j ，有 n ( ( t ，a o ) ) ) 五a ( a ( ) ) ： 一：! ! 塑三型塑型塑型丝堡墅童坠一 其e p l t ( t ，) = ，( t ，u n ) + m ； ( h 2 ) 3 l ( o ，警) ，使得小t j ，及任何等度连续的单调序列a = 缸n c 【w 0 ，加j ，有 q ( f t ( t ，a 0 ) ) ) sl a ( a ( t ) ) 其中，1 ( ，u n ) = l ( t ，“。) + m n 。 二主要结果 定理2 1 设e 为b a n a c h 空间，p 为正规锥，若p b v p ( 2 1 ) 存在下解v o 及上解 w 0 ，满 足如sw o ( 或 o 兰聊) ，且关于非线性项，( t ，u ) 条件饵1 ) ，( 甘2 ) ( 或1 ) ，( 日2 ) ) 成立， 贝i j p b v p ( 2 1 ) 在，叫o ( 或m o ，如 ) 中有极人解面和极小解u 证明先证第一种情形，另一种情形证明方法类似 记d = 阳o ，蜘 ，对v d ，考虑线性p b v p 一( 。) + m u ( 。) = f ( t , h ) + m ( 。) ，2 。，( 2 _ 8 ) 【钍( o ) = u ( u ) ，( o ) = 札7 ( u ) 由引理2 1 知，方程( 2 - 8 ) 存在唯一解 u ( t ) = g ( t ，s ) 【，0 ， ( s ) ) 十m h ( s ) d s 垒( q ) ( t ) ( 2 - 9 ) 易见u d ： j p b v p ( 2 一1 ) 的解的充要条件是“是算子q 的不动点，令 c ( h ) = y ( t ，h ) + m h ， 则g ：d c ( 1 ，e ) 连续由引理2 1 知0 = t o g ：d c ( 1 ，曰) 连续 当h d 时，因v o hsw o ，由假设( 口1 ) 有 g ( v o ) sg ( h ) sg ( t i o ) ， 由锥p 的正规性知 0a ( h ) 一g ( v o ) i i ) 山 0 0 ，u 2 l g ( t ，s ) a ( ( l ( $ ) ”山 ，0 s 2 三g ( t ，8 j 0 ) d 5 镙箩o ( ( 。) ”e e j = 面2 l 口( 。 ) 又因 。) cq ( d ) 等度连续，由引理1 2 对上式左边取最人值，有 o 。( f ) 一 2 m l 口( f ) 而l - ? - ，即器 l ，于是a ( p 。 ) = o ，即扣。 是g ( ，曰) 中的相对紧集，从而存在子 1 2 ：垒丝型些型堡墅塑墅窒垒一 序列 u 。) c 和某堑d ，使( 。 在范数i i 0 之下收敛于驾再由( 2 1 0 ) 式及的 正规性易证 在范数f f f f 之下收敛于坠，即( ( t ) 在j 上一致收敛于些( 茚同理可 证 ，在c ( i ，e ) f f f 收敛于某一面d 因v n = 日一l ，= 口一1 ，由q 的连续性，令n 一。o ，有型= q u ，面= q = 豇 最后证堡面分别是p b v p ( 2 1 ) 在d 中的最小解和最人解 若u 0 d 为q 的一个不动点，因。o “w o ，用q 作用佗次有 n 曼训n ， 令n 一。，有 笪s 乱瓦 故笪，西分别为q 在d 中的最小不动点与最人不动点，即为方程( 2 1 ) 的最小解与最人 解 下面我们在既不附加非紧性测度条件】也不假定上下解存在的情形下，讨论问 题( 2 - 1 ) 解的存在性 定理2 2 设e 为有序b a n a c h 空间，其正元锥p 为正规锥，k 为c ( z ，e ) 中的再生 锥，：，xe 一目连续，且满足条件 ( p 1 ) 殉 o ，使得当l ，u s 百( 口，丑) ，乱l 时，有 f ( t ，t 2 ) 一f ( t ，u 1 ) 2 一m ( u 2 一u i ) ，t ， 则方程( 2 - 0 至少存在一个解， 证明 因为f ( t ，口) a ( j ，e ) ，由锥k 的再生性，3 h l ，h 2 k ，使得 f ( t ，鲫= h z 一圯， 令k = h i + h 2 ，则h o k ，且有 一? z o ( e ) 茎，( t ，口) ( t ) ，t f ，( 2 1 1 ) 由于l o ，按引理2 1 ，引理2 2 知，线性周期边值问题 咄m ) “札( 牡w ) ，f 厶( 2 _ 1 2 ) iu ( o ) = 豇( u ) ，( o ) = u ，( 甜) 。 2 二阶周期边值问题的单调迭代方法 存在唯一正解，记为t o ( t ) ，令d 为c ( t ，e ) e e 的序区间 【- u o ，u o 】= u c ( i ，e ) l n o u s l l 0 ) ， 则d 是c ( i ，e ) 中的有界凸闭集x c v u d ，由锥k 的正规性，有 0 u i f s 乱+ u 00 + 8u 00 sni i2 u ol l + l l “o0 ( 2 n + 1 ) ( 0u o1 | + 1 ) 皇r o 令m = m ( r o ) , ：2 3 假设( p 2 ) q , r o 相应的常数，对讹c ( s ，目，考虑线性周期边值问题 咄乍) + m u ( 归坤巾( t ) ) + m h ( 巩托7 ，( 2 - 1 3 ) i 批( o ) = u ( ，u 7 ( o ) = n ( u ) 按引理2 1 知，方程( 2 1 3 ) 存在唯一解 牡= 取，( ，h ) + m h ) 皇q c h ) ，( 2 - 1 4 ) 易见q ：c ( x ，e ) 一c ( i ，刀) ，且问题( 2 1 ) 的解等价于算子q 的不动点 我们证明0 在d 中存在一个不动点，为此先证 ( i ) ：q ：d c ( z ，四) 为增算子； ( i ) ：- u esq ( 一“o ) ，q ( u o ) st o 对y u t ，u 2 d ，当”l u 2 时，由假设( 尸2 ) 有 ，q ，u l q ) ) + m u l ( t ) f ( t ，啦0 ) ) + m u 2 ( t ) ，( 2 - 1 5 ) 用t 作用于上式两边，按引理2 2 知t 为正算子，故q 0 1 ) sq 2 ) ，即( f ) 成立 因u 0 为方程( 2 1 2 ) 的解，故其满足 f t 省+ m u o = 一l u o + m u o + h e ，t ， i 啪( o ) = t 1 0 p ) ，( o ) = u 6 ) 按算子t 的定义有 o = t ( 一l u o + m u o + h o ) ，( 2 - 1 6 ) 另一方面，由假设( p 1 ) 有 ，( ，如) 一f ( t ，功- l ( u o 口) ， 再由( 2 - 1 1 ) 有 f ( t ，o ) sf ( t ，0 ) 一l u o 一三t c o + o ， 同理可得 ，( t ，一乱o ) ，“，口) + l u 0 2l u o h o ， 1 4 2 二阶周期边值问题的单调送代方法 从而有 f ( t ，u o ) + m u o 一l 咖+ o 十m u o ， ，( t ，一u o ) 十m ( - i l 0 ) 一( 一l u o + 0 十m u o ) 用? 作用于上式两边，由( 2 1 4 ) 式，( 2 1 6 ) 式及? 的正性得 一 1 0 q ( 一链o ) ，q ( t 幻) s 缸o 。 即( i i ) 成立 令v o = 一呦，w o = u o ，则 o “o 作迭代序列 n = q t h 1 ，叫n = q w n 一1 ， 且q ：d d ，有 l s t k - - s s 叫1 5 w o ， 由( 2 1 7 ) ，( 2 - 1 8 ) 式及条件( p 1 ) 有 0s w , ，c t ) ( f ) = ( 口也；一i ) ( t ) ( q 。一1 ) ( ) ( 2 一l ” ( 翔8 ) = z 。g ( t i 州，( 8 ( t ，n - - 1 ) + m 一z 。g ( t 蚰她) + - 1 】d s 2 g ( t ，s ) 【，0 ，伽n 一1 0 ) ，0 ，珥z 1 0 ) ) + m ( w n 一1 ( s ) 一 。一l ( s ) ) 】d s ，研，。) ( 肘一三) ( 一z 一一i ) 出 累次使用上述不等式可得 0 w n ( t ) 一( t ) s ( 肘一三) ”，- g 0 ，t t ) g ( t l ，t 2 ) g ( k hf 。) ( t ( 屯) t i o ( t 。) ) d t n d t a l ，d t l j oj o 由锥k 的正规性，上式两端取范数，按( 2 7 ) 式有 i l w b - - 训鲫( 等川f 蜘一v 0 o( 2 _ 1 9 j g j ( 2 - 1 s ) ，( 2 1 9 ) 式类似实数闭区间套定理，易知存在唯u + n 。o o ：1v n ，吲，且 撕l _ u ，u n _ 于c ( i ，e ) ，故口。s 矿sw n ，由0 的单调性易知 协，= 印珥。一1 q + q ( 叫n 1 ) = t u 。， 令n o o ，得q = 扎+ ，因此“+ 为方程( 2 1 ) 的解一 1 5 定理2 3 设e 为有序b o n a r h 空间，其正元锥p 为正规锥，：ixe e 连 续，( t ，0 ) 0 ，t f 且满足条件 ( p 3 ) j o o ，使得当0 墨 1 s 切，| | t | l i 1 1 28 s r 时，有 f ( t ，u 2 ) 一f ( t ，u 1 ) 之m ( u 2 一“1 ) ，t ， 则方程( 2 1 ) 至少存在一个正解：“口，t ， 证明与定理2 2 类似，只需在定理2 2 证明中取 h o = f ( t ，口) ，d = 【0 ，t 0 j ，v 0 = 0 ，撕= u 0 ， 即可一 定理2 4 设e 为有序b a n a c h 空间，其正元锥p 为正规锥，k 为c ( r ，e ) 中的再生 锥f ：f e e 连续，且满足条件 ( p 1 ) 3 0 l m o ，j o m = 村俾) ( 茁z r 2 ，使得当乱l ，2 - g ( o ，用， a t u 2 时，有 f ( t ，口2 ) 一，( t ，u 1 ) 兰m ( u 2 一“1 ) ，t ， 则方程( 2 1 ) 至少存在一个解 定理2 5 设e 为有序b a n a c h 空间，其正元锥p 为正规锥，：i e e 连 续，f ( t ，0 ) 三0 ，t ，且满足条件 ( e 3 ) j o l m o ，j o 0 引理3 1 对讹e ( ，e ) ，方程( 3 2 ) 存在唯一解t l 皇t h ，且t ：c ( i ，e ) 一c ( i ，f ) 为 线性有界算子拱范数| | tf | = 击 证明因为m 0 ，所以纯量二阶周期边值问题 卜，( 句+ m r ( t ) = o , tei,(3-3) lk o ) = r ( u ) ，r ( o ) = r ( u ) 只有零解，因此问题( 3 - 3 ) 存在g r e e n 翅t 数g ( ，s ) ：，一( g ，+ o 。) 由下式确定 g ( t ，s ) ： ( t - s ) ，o s 8 。s u ， lr ( u + t s ) ，0 t s s 茎。 1 8 3 非单调条件下周期边值问题 解的存在性 而r ( t ) 为纯量方程 的唯一解，即 焉竺_ ：；篇篇工， 啡，= 岽澎， 其中口= 而7 直接验证易知 t ( t ) = g ( ，s ) h ( s ) d s 皇( t h ) ( t )( 3 - 4 ) 连续可微，为方程( 3 - 2 ) 的解 若 ( t ) c 2 ( ，e ) 为方程( 3 - 2 ) 的另一解，对v 妒驴，令p ( f ) = 妒( t ( ) 一“( ) ) ，即 v ( t ) g 2 ( ，) ，p ，( t ) = 妒( t ，0 ) 一 ”0 ) ) ， 由方程( 3 _ 2 ) 知 l - - p ”( + m p ( t ) = 0 ，t i ， lp ( o ) = p ( u ) ，p 7 ( o ) = ( u ) 即p ( t ) 是纯量方程( 3 3 ) 的解，但方程( 3 3 ) 只有零解，所以有p ( “( t ) 一u ( f ) ) = 0 由泛函 存在定理知u ( t ) 一”( f ) = 口，于是u ( f ) = ”o 驴，故方程p 2 ) 的解唯 另一方面直接计算易得 ，ul j o g 5 ) 8 8 2 击v 1 ，j ( 3 - 5 ) 对讹c ( i ，e ) ，按( 3 4 ) 式 f f ( 鼬) ( 洲zg ( 州i 怄壶f ， 所以0t h1 1 o 及c o 0 , 0 c l m ，使 l ly t ( t ，z ) | f c o + c l f lzj i ，v t ，z 曰； 1 日 3 非单调条件下周期边值问题 解的存在性 ( 尸2 ) 3 0 l ( 萼对任意有界的d c e ，有 a ( ( j ，d ) ) sl a ( d ) ， 其中，i ( ，d ) = u d t ，n ( f ) ) = f ( t ，“( ) j + m u ( t ) jt i ，u ( t ) j d ， 贝t p b v p ( 3 1 1 至少存在一个解 证明作积分算子 ( a u ) 归f o “ g 蛳( 掣( 圳山= z “g 町( 掣+ m ”( 州叫“( 3 - 6 ) 则a ：c ( r ，e ) 一c ( i ，e ) 连续，i ；lp b v p ( 3 - 1 ) 的解等价于a 的不动点 首先证明4 ：c ( z ，e ) 一o ( ，曰) 是凝聚映射 设口cv ( i e ) 有界，根据条件( p 1 ) 知 ，l ( s ，u ) i u b 有界，按( 3 - 6 ) 式我们 有f 一似哟fu 口，有界，从而a ) 等度连续，按引理1 2 有 口( a ( 古) ) 5 罨罗a ( a ( b ( 亡) ) ) ， 讹b ，t ，按引理1 3 有 ( a “) ( ) = g ( t ，s ) 【，( s ，, 4 0 + m u ( s ) d s a ( t ，$ ) d s 石i ( s ，( 8 ) ) i5 ，u b ) j o a ( t ，s ) d s 石5 ( f l ( i b ( q ) ) ， 故 o ( a ( 日( t ) ) ) g ( f ，s ) d s a ( ，( ，且( ，) ) ) s 二m l d 旧( ，) ) 曼面2 l 口( b ) ， 两边取最人值，有 州) 普删， x o 器 1 ，故a ：c ( i ，e ) - c ( i ，e ) 是凝聚映射 取q = ( u c ( z ，e ) lj l 0 埘，下证当n ：f i 分人时，有 n a a u 0 ，0 ) l s l ，n a n ， ( 3 - 7 ) 从而由凝聚映射的同伦不变性，则有 d e g ( 1 一a ，q ，目) = 1 ， 2 n 3 非单调条件下周期边值问题 解的存在性 再由k r o n e c k e r 存在定理可得算子a 在n 中有不动点，且该不动点即为p b v p ( 3 一1 ) 的 解 若习o 疡，则有 ( 卜砺c 1 ) i 1 1 丽c o 怪南= 丽c o 皇风， u a a u 口，0 1 ，t o d ( 3 - 9 ) 定理3 2 设e 为有序b a n a c h 空间，p 为其正规锥，正规常数为，c ( z e ，e ) 满 足1 ) 及下列条件： ( 尸2 ) j o l 等，对任意有界的口c e ，有 口( ，l p ，d ) ) s 二o ( d ) ， 2 1 3 非单调条件下周期边值问题 解的存在性 其中，l ( ，d ) = ( # ，口( ) ) = ，( ，n ( ) ) + m u ( t ) ft i ，u ( o d ，女 u p b v p ( 3 1 ) 至少存 在一个解 证明按定理3 1 证明可知，只需证算子a ：o f f ，e ) 一c ( t ，e ) 是凝聚映射 对任意有界集bcc ( j ，e ) ，按引理1 6 存在可数子集b 1 = ( ，使 口( 4 ( b ) ) s2 a ( a ( b 1 ) ) ， 而且按引理1 2 有 n ( a ( b l ( ) ) 5i i 警a ( a ( b 1 ( ) ) ， 从而由引理1 5 ，并结合条件( p 2 ) 唷 c x ( a ( b l ( t ) ) ) = o ( a ( t ，3 ) ，1 ( 岛u n ( s ) ) d sin ) ) 2 g ( ，s ) 乜( ( s ，“。( 8 ) ) i ，l ) 山 j 0 s2 g s ) l 口( b i ( s ) ) d s 2 l g ( t ，s ) d s a ( b 1 ) 茎面2 l q ( 日) ， 两边取最大值，有 口( 一( 占1 ) ) s 面2 l n ( 口) ， 于是 。( a ( 口) ) s2 a ( a ( b 1 ) ) 茎4 丽l q ( b ) ， 又o o ； f ( t ，。) 2 m x ，当幻毛分人时，m 0 在有序b a n a c h 空间中上述条件不易检验，而本文提出了较易检验的条 件( p o ) ，( p 2 ) ，( p 3 ) 或( p o ) ，( p 2 ) ，( p a ) 。，在一定的非紧性测度条件下，通过非紧性 测度的精细计算，运用凝聚映射的不动点指数理论获得了问题( 4 - 1 ) 的正解的存在性 结果，证明方法与文【15 ，【1 9 】完全不同，本文的结果对e = 卯的情形，即普通常微分 方程组的情况也是新的 一基本引理及假设 以下设e 为有序b a n a c h 空间，p 为其正规锥，正规常数为n ，c ( i ，尽) 为定义于，取 值于e 的连续函数空间，则g ( j ，e ) 按范数i lu i i = 鼍学l iu ( t ) 0 构成b 砌空间 考虑线性p b v p 1 ，( ”+ m u o ) = m 巩牦( 蚴 l 乞( o ) = 乜p ) ，缸，( o ) = ( u ) 其中m o 为常数，h ( t ) c ( z ，f ) 由引理3 1 知 u ( f ) = ，a ( t ，s ) h ( s ) d s 垒( 吼) ( t ) ( 4 - 3 ) 为方程降2 ) 的唯一解，fg ( t ，s ) d s = 击，且r ：c ( i ，e ) 一c ( z ，司为线性有界算子，其 范数0 t 1 1 = 击 对帆c ( i ，e ) ，令a ( - ) = f ( t ，( t ) ) + m u ( t ) ，作算子 a u 一( t 。，1 ) u = g ( t ，s ) 【，( s ，u ) + m u ( s ) d s ，t ，( 4 - 4 ) 则a ：c ( z ，e ) 一c ( z ，目连续，易见缸g 司为方程( 4 1 ) 解的充要条件是”为算 子a 的不动点，即t = a u 当e 为有限维空间时，t 为紧算子，f 为有界连续