（基础数学专业论文）二元边界奇点在hh—等价下的分类及识别.pdf

摘要 众所周知，分类问题一直是数学中的最基本也是最重要的问题由于 原点处的光滑函数芽所形成的空间n 是无限维实向量空间，对函数芽进 行分类，个基本想法是运用n a k a y a m a 引理，将无限维简化为有限维来处 理将光滑函数芽用他们的t a y l o r 多项式来代替，因此人们自然会猜想： 对足够好的，e n ，通过取导网，有可能与它的某一t a y o r 多项式等价这 样一来，对函数芽分类可以归结为由多项式组成的有限维向量空间中的 分类问题这项工作前人已经得到了很多关于低余维分类的的结果 t h o r n 给出了余维数不大于5 的可微函数芽的分类运用彭绉一等价一 个充分必要条件，m a r t i ng o l u b i t s k y 给出了在k 一等价下个状态变量一个 分歧参数，余维数不大于4 的分歧问题的分类a r n o l d ，v i 给出了简单边界 奇点在一等价下的分类王伟给出了彩一等价个充分必要条件 对于二元边界奇点，运用n a k a y a m a 引理和舅蚤一等价个充分必要条 件，本文第二章给出了在百噜一等价下 余维数不大于4 的二元边界奇点的 完整分类及识别 第三章给出了在k 一等价下，两个状态变量一个参数的具有平凡解的 分歧问题的分类 关键词l 瑶一等价；分类；识别；边界奇点；平凡解；k 一等价 a bs t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tg i v i n gt y p e si st h em o s ti m p o r t a n ta n dav e r yb a s i c p r o b l e m w eh a v ea l r e a d yo b s e r v e dt h a t ni sar e a lv e c t o rs p a c eo fi n f i n i t ed i m e n - s i o n i no r d e rt og i v et h ec l a s s i f i c a t i o no ff u n c t i o ng e r m s ，ab a s i ci d e ai st ou s i n g n a k a y a m al e m m a ，r e d u c ei n f i n i t ed i m e n s i o nt of i n i t ed i m e n s i o n t h e r e f o r e ，i n f i n i t ed i m e n s i o np r o b l e mc a nb et r a n s f o r m e di n t of i n i t ed i m e n s i o np r o b l e m m a y b et h ew o r k w i l lb ee a s i e r s o ，i ti sn a t u r a lt og u e s st h ef o l l o w i n g i f ，e 住i sg o o de n o u g h ，i t m a y b er i g h te q u i v a l e n tt oas o m et a y l o rp o l y n o m i a l s o ，t h ep r o b l e mo fg i v i n gt h e t y p e so ff u n c t i o ng e r m si sr e d u c e dt h eq u e s t i o no fs o r t i n gt h ev e c t o rs p a c eo fp o l y n o - m i a l s w ek n o wt h el a t t e ri sf i n i t ed i m e n s i o n f o rt h i s ，t h e r eh a v eb e e nm a n yr e s u l t s a b o u tc l a s s i f i c a t i o no fl o wo r d e r s t h o r ng i v e st h ed e r i v a b l ef u n c t i o ng e r m sc l a s s i f i c a t i o no fc o d i m e n s i o nn om o r e t h a n5 u s i n gt h en a k a y a m al e m m aa n das u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n m a r t i n g o l u b i t s k yg i v e st h ec l a s s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t has t a t ev a r i a b l ea n d ap a r a m e t e ru n d e rt h ek e q u i v a l e n t a r n o l d ，v ig i v e st h ec l a s s i f i c a t i o no fs i m p l e b o u n d a r ys i n g u l a r i t i e su n d e rt h e 缔一e q u i v a l e n t w a n gw e dg i v e sa s u f f i c i e n ta n d n e ( 旧踞奶rc o n d i t i o no f - e q u i v a l e n t u s i n gn a k a y a m al e m m aa n da s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f 瓣一e q u i v - a l e n t c h a p t e rt w oo ft h i sp a p e rg i v e st h ec l a s s i f i c a t i o na n dr e c o g n i t i o no fb o u n d a r y s i n g u l a r i t i e sw i t ht w ov a r i a b l eu n d e r 一e q u i 、，a l e n t ，u pt oc o - d i m e n s i o n4 c h a p t e rt h r e eg i v e ss e v e r a ll e m m a sa n dt h ec l a s s i f i c a t i o nw i t ht r i v i a ls o l u t i o n o ft w os t a t ev a r i a b l e sa n dap a r a m e t e ru n d e rt h ea c t i o no ft h ek - e q u i v a l e n t k e y w o r d s 一e q u i v a l e n t ；c l a s s i f i c a t i o n ；r e c o g n i t i o n ；b o u n d a r ys i n g u l a r i t i e s ； t r i v i a ls o l u t i o n ；k - e q u i v a l e n t i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容夕卜 本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：穆穆疋 日期：纠年朗户日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索， 可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在 一一年解密后适用本授权书 2 ，不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打。 。) 作者签名。彳钐愀 导师签名：多岛耘乞 li i 一 日期：彬午加户日 日期。矽多n o e l 二元边界奇点在编一等价下的分类及识别 1 绪论 1 1 引言 在奇点理论中，研究低余维奇点的分类与识别是一个非常活跃的的 课题( 见文献 1 1 】，【1 3 ，【1 5 ，【i s ，【2 4 】 【2 5 】， 3 4 1 ) 在奇点理论中由于等价关系的 不同，可以得到不同的分类结果文献【1 3 】中给出了简单边界奇点在雅一 等价下的分类结果，为简单奇点是指，在充分小的邻域内，只含有有限 个彼此不等价的芽简单边界奇点可以分为以下几类： ( 1 ) a k = 入士妒+ 1 ，七1 ， ( 2 ) b k = + x 2 - t - 舻，k 2 ， ( 3 ) q = 妇士矿，k 3 ， ( 4 ) f 4 = 士a 2 + z 3 运用n a k a y a m a 引理，对芽取导网运算，将光滑函数芽用他们的t a y l o r 多项式来代替，这样将无穷维问题化为有限维来处理文献【11 1 5 1 8 3 4 1 中给出了e 2 中在右等价下余维数不大于5 的函数芽的分类，文献【2 4 】给 出了余秩为7 的可微函数芽的分类文献【2 5 】给出了余维数大于5 小于8 的可微函数芽的分类文献【2 】中给出了瓣一等价下关于内蕴理想的命 题，及h 缸， 且h 是多项式芽关于有限余维的等价条件本文运用g 珞一 等价的充分必要条件及n a k a y a m a 引理，对芽取导网运算，将光滑函数芽 用它们的t a y l o r 多项式来代替，这样将无穷维问题化为有限维来处理第 二章给出二元边界奇点在国矗一等价下的分类及其识别条件 文献【1 6 】中运用k 一等价的充分必要条件，给出了在k 一等价下一个 状态变量一个参数余维数不大于3 的分歧问题的分类： ( 1 ) e z 2 + 石入，( 2 ) e ( 矿4 - 入2 ) ，( 3 ) z 3 - t - 6 a ，( 4 ) 矿+ j 入3 ，( 5 ) e x 3 + ( f a x ， ( 6 ) e x 4 - t - 6 入，( 7 ) e x 2 - t - 6 a 4 ，( 8 ) e x 3 + 石a 2 ，( 9 ) e x 4 + j 入写，( 1 0 ) e x 5 - ! - 6 a 1 - 硕士学位论文 文献【1 】中运用k 一等价的充分必要条件，给出了具有平凡解的分歧问题 在k 一等价下余维数不大于3 的分类：铲+ 6 义毛其中( k ，z ) 可取( 2 ，1 ) ，( 3 ，1 ) ，( 4 ，1 ) ( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，j = - - 1 文献【4 8 】给出了余维数不大于3 的( d 3 ，o ( 2 ) ) 一等变分歧问题的分类第三章运用k 一等价的充分必要条 件及n a k a y a m a 引理，对芽取导网运算，将光滑函数芽用它们的t a y l o r 多 项式来代替，这样将无穷维问题化为有限维来处理给出了在k 一等价 下，具有两个状态变量一个参数的分歧问题的一些结果及其分类 二元边界奇点在一等价下的分袭盟型 1 2 基本概念和基本术语 c 函数在0 r n 处的函数芽组成的集合记为，兹为其极大理想， 由坐标函数芽z 1 ，x n 生成二元函数芽g 构成的集合记为，y ，岛，y 有极 大理想镌，简记为 记r n = r p r q 中的点坐标为( z ，入) = ( z l ，勉，唧，a l ，入q ) ，取h = r p 0 ，特别的，( e0 ) 是r 2 中包含原点的一维光滑子流行芽为了简单起 见，取h = ( 写，y ) l y = o 若g ，满足g ( o ，0 ) = 啦( o ，0 ) = g z , ( o ，0 ) = 0 ， 则( 0 ，0 ) 为g 的奇点若g 还满足9 1 日= 0 ，则称g 为一个二元边界奇点问 题岛妇 是由，( z ，y ) = y 在气，：中生成的理想易见所有二元边界奇点 问题g 构成的集合为g 铷妇 舅= 垂l 垂为( r 2 ，0 ) 中所有二元微分同胚芽构成的集合 岳矽备= 圣露l 圣( 露，y ) = ( x ( z ，可) ，y ( x ，y ) ) ，y c x ，0 ) = o ， 2 1 也就是= 圣i 垂( 日) = 日) ，1 2 】叫做相对右等价群 定义1 1 设g ，h g 砌，如果存在，瓣，使得g = ，oh 则称g 和h 是缔一等价的简记为g h g 的赡一轨道岛= n l h , - , g ，h 如，可 ” 在分歧理论中的一个非常有意义的课题是一个分歧问题在什么条件 下等价于给定的标准形式，因此必须寻找这一标准型在等价群彭绉作用下 的轨道特征借助于奇点理论中的有限决定性，这一问题可以约化为有限 维来处理可以将轨道描述为这样一些函数芽组成，他们的t a y l o r 系数满 足有限多个等式和不等式来约束，而这一描述正是识别问题的解 例如：g o ( x 3 一a z ) 当且仅当 g ( o ，0 ) = 班( o ，0 ) = 弛( o ，0 ) = 纵( o ，0 ) = 0 ，g z z z ( o ，0 ) 纵( o ，0 ) 0 ， ( 1 1 ) 一3 硕士学位论文 ( 1 1 ) 式为护一妇的识别条件 设g ，p ，耖 耖 ，g + t p ( t r ) 与g 是瓣等价的，则存在x ( x ，y ，t ) ，y ( 毛y ，t ) 满足 g + t p = 夕( x ( 。，y ，t ) ，y ( x ，y ，t ) ) ( 1 2 ) 这里 x ( 0 ，0 ，t ) = y ( x ，o ，t ) = 0 ， ( 1 3 ) x ( x ，y ，0 ) = x ，y ( x ，y ，0 ) = y ( 1 4 ) 进一步假设x ( z ，耖，t ) ，y ( x ，y ，t ) 关于三个变量是光滑的，对( 1 2 ) 求t 的偏导 数，并取t = 0 ，利用( 1 4 ) 进行化简，得到 p ( z ，y ) = x ( z ，y ，o ) 啦0 ，y ) + y ( x ，y ，o ) g d x ，) ， 轨道切空间殇国) 定义为上面得到p 的全体由( 1 3 ) 式知2 ( 0 ，0 ，0 ) = p ( z ，0 ，o ) = 0 ，于是可以给出轨道切空间( 夕) 的定义 定义1 2 设g 气妇 g 的绋下的轨道切空间( 夕) 是所有可表 示为下述形式的全体p 构成的集合 p ( ，y ) = 口( z ，y ) 如( z ，y ) + 6 ( z ，) 鲰( z ，y ) ，a ( 0 ，0 ) = 0 ，b ( x ，0 ) = 0 ， 即r h ( 夕) = 【2 1 将映射芽，：( r n r ，0 ) 一r p ，：( z ，入) 一，( z ，入) 组成的集合记为 b 山其中z - - - ( x l ，) 是状态变量，a 是分歧参数，b ，a 自然的构成一个 环 j 是的理想，如果商空间n j 是有限维实向量空间，则，叫做e 住中 余维有限的理想在这种情形中将e , i 的维数定义为，在n 中的余维数， 记为c o d i m i - 4 二元边界奇点在瓣一等价下的分类及识别 定义1 3 设g l r 可 若e 铷妇 臻( 9 ) 为有限维实向量空间，称 g 是有限余维的实向量空间乞，寥 秒) 赡( 9 ) 的维数称为g 在岛 y 中的 余维数，记为c o d i m g 因为的，f 箩 可以写成g = y ，由文献【1 】知， c o d i m g = c o d i m e = ，寥 可 7 矗( 9 ) = d t 7 7 奶e e o ，掣丁奢( ，) 本文第三章主要研究g ：( r 2 r ，0 ) 一( r ，o ) ，( ，：( 毛y ，入) 一，( z ，y ，入) ) ， 所有g 构成的集合记为岛积a 如果g 矗幽a 满足g ( o ，0 ，0 ) = 啦( o ，0 ，0 ) = 观( o ，0 ，0 ) = 0 ，则称g 为个二元分歧问题如果分歧问题g 满足：9 ( o ，0 ，a ) 兰 0 ，坝( r ，o ) ，则称g 为具有平凡解的二元分歧问题。易见所有这样的分 歧问题都在积a z ，可) 中，其中积a 霸可) 是为y 在肼中生成的理想 如果( s x ，y ) 幽a 如 ，满足 s ( 0 0 。) = l x ( 0 0 。) = y ( 。，。，。) 三。，l 薏专i 0 ( 1 2 ) 记r 2 = ( 只x ，y ) i h , x ，y 满足( 1 2 ) ，f 2 自然的构成个单位元为( sx ，y ) = ( 1 ，毛) ，群运算为( 岛，五，k ) o ( 岛，y 2 ) = 研岛( x l ( 恐，k ) ，硷( 恐，砼) ) 群， 称r 2 为k 一等价群 r 2 在积a 协 上的作用是：v c b , x ，y ) r 2 ，的幽a z ，秒 ， ( sx ，y ) g ( x ，y ，入) = s ( x ，y ，a ) 夕( x ( z ，y ，入) ，y ( x ，秒，入) ，a ) 设g ，h 舢a 协可) ，称g 和h 是k 一等价的，记为h g ，如果存在s e z ，譬，a ，x ，y z ，寥，a t z ，! ， ，使得g ( x ，y ，入) = s ( x ，影，入) ( x ( z ，y ，a ) ，y ( z ，箩，入) ，a ) g 在r 2 作用下的轨道为：o g = 九舢 扣，洲 一9 若v p ，g 岛，弘a ，t ( r ，o ) ，有g + t p g ，贝! i3 9 ( x ，彰，入，t ) e z , y , a ，x ( z ，y ，a ，t ) ， y ( x ，y ，入，t ) 幽a 扣，可，t 为参数使得 夕( z ，y ，入) + 印( z ，暑，a ) = s ( z ，y ，入，t ) 夕( x ( z ，童，入，t ) ，y ( z ，y ，a ，) ，入) ， - 5 - ， 硕士学位论文 其中s ( x ，掣，入，0 ) 三1 ，x ( x ，y ，入，0 ) 兰z ，y ( x ，a ，0 ) 兰秒 两边对参数t 求导数， p ( z ，可，入) 1 - - s ( z ，可，入，t ) 9 ( x ( z ，入，t ) ，y ( z ，y ，入，t ) ，入) 。 + s ( z ，可，入，) g 王( x ( z ，秒，入，t ) ，y ( z ，入，t ) ，入) x t ( ，1 1 ，入，t ) + s ( z ，暑，入，) 鲰( x ( z ，y ，a ，t ) ，y ( z ，y ，a ，t ) ，a ) k ( z ，秒，入，t ) 令t = 0 ， p ( x ，箩，a ) 兰s ( x ，秒，a ，o ) g ( x ，y ，a ) + x ( x ，y ，入，o ) 啦( z ，y ，入) + y ( x ，可，入，o ) 跏( z ，y ，a ) ， 因为对t 求导数与z ，可无关且x ( o ，0 ，t ，入) = y ( o ，0 ，t ，a ) = 0 ，所以2 ( o ，0 ，入，0 ) = 0 ，y ( o ，0 ，入，0 ) = 0 ， 所以x ( x ，y ，入，o ) ，y ( z ，可，入，0 ) ，鼽a z ，可 所以，夕，鼽a 如，g 关于r 2 的切空间为： t ( 夕) = a g + 6 啦+ c 9 ”l a e ，弘a ，b ，c 王，掣， z ，暑 - - ，a 因为夕( z ，a ) 是有平凡解的分歧问题，所以9 ( o ，0 ，入) 兰o ，垓( r ，o ) 从而夕( z ，入) 可以写成夕( z ，y ，入) = z p ( x ，秒，入) + 昀( 毛y ，入) 又因为二元分 歧问题夕( z ，1 1 ，入) 满足g ( o ，0 ，0 ) = 啦( o ，0 ，0 ) = 鲰( o ，0 ，0 ) = 0 而啦( o ，0 ，0 ) = p ( z ，7 t ，a ) + q z ( z ，入) + z b ( z ，a ) i ( o ，0 ，0 ) = 尸( o ，0 ，o ) ，跏( o ，0 ，0 ) = z b ( z ，可，入) + q ( z ，入) + u c ( x ，y ，a ) i ( o ，0 ，0 ) = q ( o ，0 ，o ) ，所以j p ( o ，o ，0 ) = q ( o ，0 ，0 ) = 0 所以 尸( z ，1 1 ，入) ，q ( z ，可，a ) 可以写成：p ( z ，! ，入) = x 1 1 ( z ，可，入) + ! ，易( z ，可，a ) + a 尼( z ，秒，a ) ， q ( x ，3 ，a ) = x q l ( z ，3 ，a ) + y q 2 ( z ，y ，a ) + a 驰( z ，y ，a ) 故可设 夕( z ，1 t ，a ) = z 2 只( z ，y ，a ) + x y p 2 ( x ，y ，a ) + 掣2 q 1 ( 。，y ，入) + z a 最( z ，可，a ) + 可入q 2 ( z ，秒，a ) 定义1 3 1 若9 潮a k 夕) 且c o d i m 。州，t ( 夕) = n ，为常数，称g 的余 维数有限且称，为9 的余维数记为c o d i m g = n 则 c o d l i n 9 = c o d i r a s 跏托掣 t ( 夕) - 6 - 二元边界奇点在一等价下的分类及识别 1 8 主要内容 这里先给出主要结果，他们的证明在第二章和第三章给出 定理1 1 若夕( z ，秒) 跏 y 且赡( 夕) 在，掣 中的余维数小于等 标准形式余维数识别条件 g ( o ，0 ) = g ( x ，0 ) = 0 9 1 ( x ，y ) = 秒 o g y ( o ，0 ) o ( 非奇点) g ( o ，0 ) = g ( x ，0 ) = 细( o ，0 ) = 0 ， 夕2 ( z ，y ) = y x 1 啦弘( o ，0 ) 0 g ( o ，0 ) = 9 ( z ，0 ) = 跏( o ，0 ) 9 3 ( x ，y ) = u ( + z 2 + 掣) 2 = g z l ，( o ，0 ) = 0 ，9 z l 耖( o ，0 ) 掣( o ，0 ) 0 g ( o ，0 ) = 夕( z ，0 ) = g z , ( o ，0 ) 夕4 ( 霸秒) = z l ( + z 2 + x y ) 3 q - - 夕西( o ，0 ) w - - 如( o ，0 ) - - d0 ， 0 ，啦鲫( o ，0 ) 吼z 掣( o ，0 ) 0 g ( o ，0 ) = g ( x ，0 ) = g z , ( o ，0 ) 夕5 ( z ，秒) = y ( 士护士! ，2 ) 3 = 锄( o ，0 ) = 鲰耖( o ，0 ) = 0 ， a 0 ，珊鲫( o ，0 ) 啦z 耖( o ，0 ) 0 g ( o ，0 ) = 夕( 写，0 ) = g z , ( o ，0 ) 9 b 【z ，j = 箩【a 户+ ! ，) 3 = 9 x 寥( o ，0 ) = 夕瑚( o ，0 ) = 0 ， 吼z z y ( o ，0 ) 乳掣( o ，0 ) 0 9 ( o ，0 ) = g ( x ，0 ) = g z , ( o ，0 ) 夕7 ( 毛! ) = y ( + x 4 + ) 4 = 夕盯2 ( o ，0 ) = 吼耖( o ，0 ) = 耖( o ，0 ) = 0 ， 啦2 2 2 p ( o ，0 ) g u ( o ，0 ) 0 g ( o ，0 ) = g ( x ，0 ) = 鲰( o ，0 ) g s ( x ，影) = 可( 士z 2 + 箩3 ) 4 = 啦( o ，0 ) = 9 盼( o ，0 ) = ( o ，0 ) = 0 ， y ( o ，0 ) 9 鲫坩( o ，0 ) 0 9 ( o ，0 ) = 夕( 霸0 ) = 鲫( o ，0 ) 9 9 ( x ，影) = u ( x 3 + ：r y ) 4 = 啦| ，( o ，0 ) = ( o ，0 ) = f ( o ，0 ) = 0 ， 如可l ，( o ，0 ) 啦船( o ，0 ) 0 - 7 一 硕士学位论文 标准形式余维数识别条件 g l o ( x ，掣)g ( o ，0 ) = g z , ( o ，0 ) = 夕( z ，0 ) = y ( 矿+ q x y 士y 2 ) ( 口0 ) 4 = 啦口( o ，0 ) = 跏l ，( o ，0 ) = 啦甜( o ，0 ) = 0 ， 吼鲫( o ，0 ) g y 鲫( o ，0 ) - 啦船f ( o ，0 ) 0 定理1 2 设g 幽a 扛，) 是一个分歧问题且c o d i m g 2 ，则g 必与 下列分歧问题形式之一肝等价 ( 1 ) z 2 + y 2 + a l x 入+ n 2 可a ，a ；+ a ；0 ， ( 2 ) 一矿一y 2 + a l x 入+ a 2 y 入，a i + 0 - 8 - 二元边界奇点在瓣一等价下的分类及识别 2 二元边界奇点在一等价下的分类7 t i , q 1 1 i j 2 1 几个引理 下面给出几个引理，由此来证明本文的定理1 1 引理2 1 i n ( n a k a y a m a 引理) 设a 是一个具有幺元素的交换环，j 为a 中具有下列性质的理想，对每一个q j ，1 + q 都是a 中的可逆元假设m 和为a 一模p 的子模，且m 是有限生成的，若mc + j m ，则mc n 引理2 2 若夕，p ( 9 ) ，且诏国+ t p ) = 诏( 夕) 对于t 在原点附近都是 成立的，则存在a ，b 孙。满足 p ( x ，y ) = a ( 刃，y ，t ) ( 匕( z ，掣，t ) + b ( x ，矽，t ) c 寥( z ，y ，t ) ， 其中c ( x ，y ，t ) = 9 ( z ，y ) - ft p ( 霉，彭) ，口( o ，o ，t ) 兰6 ( z ，o ，t ) 兰0 证由条件可知s t o 0 ，翳( 夕+ t o p ) = t h ( 9 ) ，于是存在芽a ，马，g ，掣a = 2 ，3 ，4 ) 满足 y 鲰+ t o y p 9 = a 2 y 鲰+ b 2 y g z + c 2 x g = ， 秒啦+ t o y p x = a 3 y g 掣+ b a y g z + c 3 x 9 2 ， ( 2 1 ) z 啦+ t o x p z = a 4 蛳f + b 4 y g z + c 4 x g = ， 另一方面，因为p 翳( 九) ，故存在a l ，b l ，q 岛使得 p = a 1 鲴| ，+ b i y g x + c l x g = ，( 2 2 ) 对任意的h 毛舯引入记号钞( j 1 ) = t ，( p ) = q ( 夕) ， - 9 - ，则( 2 1 ) ( 2 2 ) 式可以写成 霉 z 九 红剪影z 硕士学位论文 ，1)to。主b2。甜c2as b 3 1 ) t o a 4 1 ) t o i ( 一岛 i 风( a 一 ( j + 幻) 钞0 ) = q v ( c ) ， 当t 很小时，有 口0 ) = ( j + t q ) - 1 q t ，( g ) ， 注意到q 的第一列全为零，故可得 p = a y g z + p z 瓯+ 7 y g u ，其中o z ，p ，y 础，t 取n = a y + 触，b = 卯即可 引理2 3 若p 玮( 9 ) 且略( 9 + t p ) = 翳( 9 ) 对于原点附近都是成立的， 则对于靠近原点的t , g + 印与g 是瓣等价的 证由引理( 2 2 ) 知，对于满足引理条件的口，b ，考虑下面两个方程 警( 铋y t ) = 口( 蛐yt ) ， ( 2 3 ) lx ( z ，y ，0 ) = z ， 、7 j g ( 蛐yt ) = 6 ( 删，t ) ， ( 2 4 ) i y ( x ，y ，0 ) = y ， 、7 因为a ( o ，0 ，t ) = 6 ( z ，0 ，t ) 兰0 ，故x ( o ，0 ，t ) = 0 ，y ( z ，0 ，d = 0 对于所有的 t 是上述方程的解，由微分方程的存在区间对参数的光滑依赖性知，存在 x ( x ，y ，亡) ，y ( z ，可，t ) 是上述方程的解因n ( o ，o ，t ) 三0 ，故x ( o ，0 ，t ) = 0 是( 2 3 ) 的解，由唯性定理，知这是唯一的解因b ( 0 ，0 ，t ) 兰0 ，故y ( z ，0 ，t ) = 0 是 ( 2 4 ) 的解，由唯性定理，知这是唯一的解这表叽对于i 1 1 4 , 的t ，( 五y ) 铭，证毕 命题2 1 1 2 i 设夕，p e 薯，y g ，如果 霸( 夕+ t p ) = 码( 夕) ， - 1 0 - 、i a 有 有o 旷。故p t | i 纩 q = 中 g 其 因 二元边界奇点在一等价下的分类及识别 那么对于t ( r ，o ) ，有g + 助与g 是瓣一等价的，即g + t p g 证任取t o 【0 ，1 1 ，令h = g4 - t o p ，p 舀( 夕) = 赡( 危) ，对于很小的s ， 霸( + s p ) = 瑶国4 - ( 84 - t o ) p ) = 霸( 夕) = 瑶( ) 由引理( 2 3 ) 知，h4 - s p 与h 是缔等价的即当t 靠近t o 时，94 - 印与g4 - t o p 是瓣等价的由单位区间的紧致性可知，对任意t 【0 ，l 】，夕与所有的g + t p 是等价的证毕。 。 引理2 4 【1 i 设g ，有有限余维且余维数大于0 ，则存在l 1 ， 使得g 可表示为 g = y ( h4 - 七) ， 其中h 岛且关于z 是l 阶正则的，k e 础 证设夕( 毛y ) = ，( z ，) ，其中，气，p ，则 9 l ，( z ，y ) = ，( z ，y ) 4 - 可厶( z ，秒) 由于g 是二元边界奇点问题，所以f ( o ，0 ) = 0 ，故，岛舯令 j k ( x ，y ) = f ( x ，y ) 一，( z ，o ) ，l ( z ) = ，( z ，o ) ，v ( z ，y ) ( r 2 ，( o ，o ) ) ， 易见，k 氏且h 磁 下证存在自然数z l 使得h 磁关于z 是l 一阶正则的 由于f ( o ，0 ) = 0 , h 尥，考察 在原点处的各阶导网j o ( o ) ，j 1 ( o ) ，j 2 ( o ) ， 故j o h ( 0 ) = 0 于是可以看出，必然存在自然数z 之1 使得 j o 九( o ) = j 1 h ( 0 ) = = 歹一1 ( o ) = o ，j h ( 0 ) 0 ( 否则在上式中两边取m 阶导网会导致矛盾) 从而由t a y l o r 定理可知，h 如，关于z 是1 阶正则的 11 硕士学位论文 弓i 理2 5 若夕( z ) = u ( x t a ( x ) + y q ( x ，可) ) ，a ( o ) 0 ，贝i j ( 1 ) 当l = l 时，丁备( 夕) = 可 ，c o d i m g = 1 ( 2 ) 当l 2 ，q ( o ，0 ) o 时，赡( 夕) - - ，c o d i m g = z 证令f ( x ，y ) = x l a ( x ) + y q ( x ，y ) ( 1 ) 当l = l 时， f ( x ，可) = x a ( x ) + y q ( x ，! ，) ，a ( o ) 0 ， z 丘( z ，可) = x a ( x ) + 护n 2 ( z ) + x y q x ( x ，y ) ， 可厶( z ，可) = y a ( x ) + x y a 2 ( x ) + y 2 q z ( x ，y ) ， 秒厶( z ，y ) = y q ( x ，y ) + y 2 q s ，( x ，y ) ， 所以翳( ，) c ，因为口( o ) 0 ，所以南是光滑函数芽因此上面的 式子可以写成 ( x ) 1 万剐一丽1 ( 竺：；) ( 由引理2 1 ， c 璐( n 所以瑶( ，) = ，因此c o d i m g = c o d i m f = 1 ( 2 ) 当l 2 ，q ( o ，0 ) 0 时，f ( x ，y ) = x t a ( x ) + y q ( x ，可) ，贝! i x y z ( x ，秒) = l z 2 a ( x ) + 一+ 1 ( z ) + 列啦( 为y ) ， ! 五( z ，! ，) = z 一一1 y a ( x ) + x t y a z ( 刀) + 2 缸( 毛y ) ， 可 ( z ，y ) = y q ( x ，y ) + 可2 锄( z ，y ) ， 所以翳( ，) c 又因为n ( o ) o ，q ( o ，o ) 0 ，所以丽1 ，而1 在原点附 近是光滑函数芽，于是 屯l a - - 裔x h ( x y ) lx ) 一( 南x 。l a z 爨洲i ) 显然矩阵( 一鼍。兰：置翕) 各元素都在 中由引理2 1 c 翳( n 所以 c o d i m g = c o d i m s 砌码( ，) = c o d i m - - 1 - 1 2 ， 二元边界奇点在一等价下的分类及识别 弓i 理2 6 设9 ， ，若9 = ，( z ，) = n ( z ) + 秒口( z ，) 贝! j ( 1 ) ，( z ，矽) c ，此时c o d l i n 9 z 。 ( 2 ) 当f - 4 时，觏( o ，0 ) = 0 ，则翳( 夕) c u l 三1 c o c t i m g 5 ( 3 ) 当z = 3 日, - t ，若厶( o ，0 ) = 丘( o ，0 ) = 0 ，贝! i 码( 夕) c u l 三l _ c o c t i m g 5 ( 4 ) 当l 一2 时，若矗( o ，0 ) = 岛( o ，0 ) = ( o ，0 ) = f 寥1 1 0 ( o ，0 ) = 0 ，则殇( 夕) 主 u r c o d i m 9 5 证( 1 ) 因为，( z ，可) c ，则，( z ，y ) 可以写成，( z ，可) = 口( z ) 一+ 可q ( z ，可) ，则由引理2 5 中的计算可知c o c t i m ( ! ，) = z ，所以c o d l i n 9 z ， 所以当z 5 ，c o d l i n 9 5 ( 2 ) 若z = 4 ， ( o ，0 ) = 0 ，则 ，( z ，可) = x 4 a ( x ) + 影口( z ，影) ， 厶( z ，秒) = 口( z ，秒) + 暑锄( z ，暑，) ， 又因为厶( o ，0 ) = 0 ，所以q ( o ，0 ) = 0 从而存在q 1 ，q 2 e 伽，使得 q ( z ，y ) = z 口1 ( z ，影) + ! q 2 ( 1 c ，y ) ， 所以，( z ，y ) = 一n ( z ) + x y q l ( x ，可) + 影2 q 2 ( z ，影) ， z 厶( z ，暑) = 4 x 4 a ( x ) + x s a = ( x ) + ：r , y q l ( z ，箩) + 铲可9 1 卫( 刀，暑) + z 秒2 口2 。( z ，可) ， ； 暑丘( z ，箩) = 4 2 3 y a ( z ) + x 4 y a z ( x ) + 暑，2 口l ( z ，秒) + 刀y 2 q t z ( z ，掣) + 暑，3 啦。( $ ，! ，) ， ， y ( z ，暑，) = 鲫q l ( x ，可) + z 暑，2 口l f ( z ，暑，) + 2 v 2 q 2 ( = ，) + 3 9 2 量，( z ，掣) ， 所以殇( ，) c ，又因为c o d l i n y 】= 5 ，所以 c o d l i n 9 5 ( 3 ) 若z = 3 ， ( o ，0 ) = 0 ，则 13 - 硕士学位论文 ，( z ，可) = z 3 a ( = ) + z y q l ( x ，) + 掣2 q 2 ( z ，秒) ， 厶( z ，可) = x q l ( ：c ，! ，) + 刃y q l 矽( z ，暑，) + 2 兰，q 2 ( z ，) + 2 啦掣( z ，暑) ， 丘秒( z ，y ) = q l ( z ，1 1 ) + x q l 卫( z ，y ) + ! ，q l l ，( z ，1 1 ) + z y q l z 寥( z ，u ) + 2 u q 2 正( z ，s ，) + 秒2 啦z 掣( z ，可) 若向( o ，0 ) = 0 ，则q 1 ( o ，0 ) = 0 ，所以存在卯，q 4 岛，使得，( z ，) = 矿a ( z ) + 矿可口3 + 。! ，2 q 4 + 可2 q 2 ，贝! j 以( 毛y ) = 3 = 3 a ( x ) + x 4 a = ( x ) + 2 2 2 u q 3 + 矿妒铂2 + z y 2 吼+ 护秒2 吼z + 列2 啦z ， 可五( z ，可) = 3 x 2 y a ( z , ) + z 3 y a = ( z ) + 2 z t l 2 驰+ 舻暑，2 q 3 z + y 3 q 4 + 铆3 q 4 + 可3 c 1 2 王 卜专 厶( z ，y ) = 护! 9 3 + z 2 y 2 口3 暂+ 2 x y 2 c 1 4 + 叫3 c 1 4 耖+ 2 1 1 2 口2 + 矿q 2 所以( 9 ) c 儿于是 ， c o d l i n 9 c o d l i n 妇