（基础数学专业论文）极限算子与模糊余拓扑.pdf

极限算子与模糊余拓扑 李静 摘要极限算子是一般拓扑学与模糊拓扑学中一个非常重要的概念，本文从一 个集合上的极限算子出发来确定余拓扑与l 余拓扑，从而由极限算子诱导出两种 空间：矿一空间和口一空间并在这两种空间上定义了闭包算子，内部算子。边 界算子，导算子等概念，讨论了它们之问的关系然后定义了矿一空间的子空间， 有限积空间，连通矿一空间等概念定义了矿一空间之间的连续映射，开映射和 闭映射，讨论了它们的一些性质并给出了一些等价刻画 本文的要点和主要内容如下， 一、首先介绍极限算子的定义，研究了怎样用极限算子确定f r d c h e t 余拓扑， 口一空间和矿一空间然后在矿一空间中引入了其他几种算子( 内部算子，导算 子，边界算子) ，并讨论了它们的性质在某集合的全体极限算子所构成的集合上定 义了偏序关系，并证明了全体极限算子所构成的集合带上所定义的偏序关系后能够 构成一个交半格 二、研究了矿一空间的子空间和有限乘积空间，首先定义了某集合上的极限 算子在其子集合上的限制，得到了子矿一空间的定义以及它的一些性质其次研 究了有限乘积矿一空间的定义，积空间中的f r c h e t 余拓扑，闭集，开集还有边 界算子等和因子空间中相应概念之间的关系研究了矿一空间之间的连续映射， 闭映射以及开映射首先定义了连续映射，给出了连续映射的等价刻画，以及粘合 定理，同胚映射其次研究了闭映射，给出了它的等价刻画以及它和连续映射之间 的联系最后研究了开映射，给出了它的等价刻画以及它和连续映射，闭映射之间 的联系 三、研究了矿一空间之间的连续映射，闭映射以及开映射首先定义了连续映 射，给出了连续映射的等价刻画，以及粘合定理，同胚映射其次研究了闭映射， 给出了它的等价刻画以及它和连续映射之间的联系最后研究了开映射，给出了它 的等价刻画以及它和连续映射，闭映射之间的联系 四、介绍了矿一空间的连通性和分离性首先给出了矿一空间中连通子集的 定义及其等价刻画其次定义了连通分支的概念并讨论了它的一些性质最后定义 了蜀，乃，正，给出了f r d c h e t 余拓扑是丑的，在噩条件下f r d c h e t 余拓扑是通常 余拓扑 五、在l x 上引入了极限算子首先定义了模糊集合上的矿一空间及口一空 间，由一空间中的极限算子可以导出l x 上的个闭包算子，从而得到了x 上的 一个f r g c h e tl 一余拓扑；随后定义了x 上的序列式l 一余拓扑，讨论了f r c h e t 三一余拓扑与序列式l 一余拓扑的关系，得到了序列式l 余拓扑成为f r d c h e tl 一 余拓扑的一个充分必要条件其次研究了其它算子和有关性质，以及它们和闭包算 子的关系再次在所有模糊极限算子所构成的集合上定义了偏序关系，定义了模糊 极限算子之间的交和并运算；研究了各种算子全体之间的关系，给出了它们之间的 蕴涵关系对它们之间能够成立的蕴涵关系给出了证明，对于不成立的蕴涵关系分 别给出了反例或者备注予以说明 关键词极限算子；闭包算子；子空间；积空间；连续映射；连通性；分离性 i i t h el i m i to p e r a t o r sa n df u z z yc o - t o p o l o g i e s l ij i n g a l a s t r a c t ：l i m i to p e r a t o ri sj n t r o d u c e da st h ea b s t r a c to fu s u a ll i m i t ，i ti s t h ee x t e n do fu s u a ll i m i t w ec a ng e tt h ec o - t o p o l o g yo fl i m i to p e r a t o ri nt h es e t xt h r o u g ht h ec l o s u r eo p e r a t o ro fas e ti nt h ep o w e rs e to ft h es e txb yt h el i m i t o p e r a t o ro ft h es e tx i ft h er e s u l ta f f e c t e db yt h el i m i to p e r a t o ri na n ys e q u e n c e s o fas e txi su n i q u e 。t h ec o - t o p o l o g yi sau s u a l l yc o - t o p o l o g y ；e l s ei ti sn o t t h ef o l l o w i n g sa r et h ec o n s t r u c t i o na n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h et w o s p a c e s ：妒一s p a c ea n dl 一s p a c e ，c l o s u r e o p e r a t o ra n do t h e ro p e r a t o m ( i n t e r i o r ，b o u n d a r y , d e r i v eo p e r a t o r ) f i r s t l y , w es t u d y s o m ep r o p e r t i e so fc l o s u r eo p e r a t o r ，g i v et h er e l a t i o nb e t w e e nu s u a lc o - t o p o l o g y a n dt h e 矿- s p a c e ( l + - s p a c e ) s e c o n d l y , w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h eo t h e r o p e r a t o ma n dt h er e l a t i o n so fe a c ho ft h e mw i t hc l o s u r eo p e r a t o r ，a n d 百v et h e c o n c l u s i o nw h i c hi st h e ya r ee q u i v a l e n t t 1 1 i r d l yw es t u d yt h eo r d e r e dr e l a t i o n o ft h es e tc o m p o s e db yl i m i to p e r a t o r si nx ，a n dn a t u r a l l yw ed e f i n et h ep a r t i a l l y o r d e r e ds e ta n dt h eo p e r a t i o n si ni t f i n a l l yw es t u d yt h er e l a t i o n so fa l lk i n d so f o p e r a t o r s ，a n dg i v ei m p l i c a t i o n sa m o n gt h e m a n dw ea l s op r o v ei m p l i c a t i o n si f t h e ye x i s t g i v ec o u n t e r e x a m p l e so re x p l a i n si ft h e yd on o te x i s t i nc h a p t e r2 ，w es t u d yc l o s e ds u b s p a c ea n dp r o d u c ts p a c ei n 矿一s p a c e f i r s t l y ， w ed e f i n er e s t r i c t i o no fl i m i to p e r a t o r ，g e tc l o s e ds u b s p a c ea n d 百v es o m ep r o p e r t i e s i ni t ；f i n a l l yw es t u d ys o m ep r o p e r t i e so fp r o d u c ts p a c e ，g e tc l o s u r e ，i n t e r i o ra n d b o u n d a r yo f i t ，g i v et h er e l a t i o na m o n gc o - t o p o l o g i e so f t w os p a c e sa n dt h e i rp r o d u c t s p a c e i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ec o n t i n u o u sm a p p i n g ，c l o s e dm a p p i n g ，o p e nm a p p i n g f i r s t l yw ed e f i n ec o n t i n u o u sm a p p i n gi nx ，g i v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n s ，g l u i n g t h e o r e m ，h o m e o m o r p h i cm a p p i n g s e c o n d l y , w ed e f i n ec l o s e dm a p p i n gi nx ，g i v et h e e q u i v a l e n tc o n d i t i o n s ，d i s c u s sr e l a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sm a p p i n g f i n a l l y , w es t u d y o p e nm a p p i n g ，g i v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n s ，d i s c u s sr e l a t i o n sw i t hc o n t i n u o u s m a p p i n g ，c l o s e dm a p p i n g i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ec o n n e c t e dp r o p e r t ya n ds e p a r a t e dp r o p e r t y f i r s t l y , w ed e f i n ec o n n e c t i o no fxi ns p a c e ，p r o v es o m ep r o p e r t i e so fi t s e c o n d l yw e s t u d y c o n n e c t e db r a n c h e s f i n a l l y , w ed e f i n es e p a r a t i o n ，g i v et h ec o n c l u s i o n sa b o u t i i i f r e h e tc o - t o p o l o g y i nc h a p t e r5 w es t u d yl i m i to p e r a t o r si nf u z z ys e t f i r s t l y , w ed e f i n e 。一 s p a c e ，ac l o s u r eo p e r a t o ra n dap r d c h e tl - c 0 4 0 p o l o g yc a nb ei n d u c e db yal i m i t o p e r a t o ri n s p a c e s f u r t h e r m o r e ，t h ec o n c e p to fi sd e f i n e do na n dt h er e l a t i o n s b e t w e e nf r d c h e tl - c o - t o p o l o g i e sa n ds e q u e n t i a ll - c o - t o p o l o g i e sa r ed i s c u s s e d a n e q u i v a l e n tc o n d i t i o nf o ras e q u e n t i a ll c o - t o p o l o g yt ob ea f r d c h e tl - c o - t o p o l o g y i so b t a i n e d s e c o n d l y , w es t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h eo t h e ro p e r a t o r sa n dt h e r e l a t i o n so fe a c ho ft h e mw i t hc l o s u r eo p e r a t o r ，a n dg i v et h ec o n c l u s i o nw h i c hi st h e y a r ee q u i v a l e n t t h i r d l y , w es t u d yt h eo r d e r e dr e l a t i o no ft h es e tc o m p o s e db yl i m i t o p e r a t o r si nx a n dn a t u r a l l yw ed e f i n et h ep a r t i a l l yo r d e r e ds e ta n dt h eo p e r a t i o n s i ni t f i n a l l yw es t u d yt h er e l a t i o n so fa l lk i n d so fo p e r a t o r s ，a n dg i v ei m p l i c a t i o n s a m o n gt h e m a n dw ea l s op r o v ei m p l i c a t i o n si ft h e ye x i s t ，百v ec o u n t e r e x a m p l e so r e x p l a i n si ft h e yd on o te x i s t k e y w o r d s ：l i m i to p e r a t o r ；c l o s u r eo p e r a t o r ；s u b s p a c e ； p r o d u c ts p a c e ；c o n t i n u o u sm a p p i n g ；c o n n e c t i o n ；s e p a r a t i o n i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书面使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： 学位论文使用授权声明 。b 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：丝 i 日期边 ：多伽 第一章极限算子 本章首先介绍极限算子的定义，研究了用极限算子如何确定拓扑( f r d c h e t 余 拓扑，扩一空间，矿一空间) 然后在矿一空间中引入了其他几种算子( 内部算 子，导算子，边界算子) ，并讨论了它们的性质 1 1 极限算子 本节介绍极限算子，以及f r c h e t 余拓扑的定义在本节中，记x 为集合 x 中的所有序列之集。x 中的元素( 即x 中的个序列) 记作 墨) ，记2 x 为集 合x 的幂集( 即x 的所有子集构成的集族) 定义1 1 1 1 设x 是一个非空集合，a ：x ，2 x 是一个满足以下条件的映 射：对于任意的 & ) x ，如果z a ( 戥) ) ，则称 ) 收敛到z ，称z 为 矗) 的 极限，如果a z 产 z ，则记作a 如= z ( 或墨z ) ， ( l 1 ) 如果对任意的i = 1 ，2 ，墨= z ，则她= z ( l 2 ) 如果? a 五，则对 毛) 的每一个子列f ，有z a ( l 3 ) 如果序列 就) 不收敛到z ，则存在 黾) 一个子列 z h ) 使得 z h ) 的任 一子列都不收敛到z 我们就称序对( x ，a ) 是上，一空间，a 为极限算子 定义1 1 2 设( x ，a ) 是个口一空间，定义映射以：2 x + 2 x 如下。对任 意的a 2 j ，以( ) = z xj 存在 而) 使得z a x i ) 定理1 1 1 定义1 1 2 中的映射呶：2 x 垆具有以下性质： ( c 0 1 ) c ( 0 ) = d ( c 0 2 ) v a 2 x ，acc ( a ) ( c 0 3 ) v a ，b 2 x ，c ( aub ) = c ( a ) uc ( b ) 证明( c 0 1 ) 由于0 中不含任何序列，所以对任意的z x ，不存在 毛) 0 ， 使得a z i = x 故c ( 0 ) = o ( c 0 2 ) 对任意的z a ，存在常数序列 甄) ( 皿= z ) a ，使得a z 。= z ，从而 由以( a ) 的定义知z c ( a ) 故ac 以( a ) ( c 0 3 ) 设z c ( u b ) ，则由以u b ) 的定义知，存在 戤) ( a u b ) ，使 得a z 。= z 下面分两种情况讨论第一种情况，集合 x iii ) 是有限集，不妨 设 丑lf ) = z 1 ，x 2 ，z 。) ，则有且只有一个i o 1 ，2 ，礼) 使得在序 列 毛) 中出现无数多次( 否则，假设有巧，z k 在序列 霸) 中出现无数多次，并且 巧z 女，则取 孔 的两个分别以巧，z k 为项的常数子列。有a x j = ，a = z 女， 与极限算子的定义矛盾) ，并且= z 因此，z a u b ，所以由( c 0 2 ) 知， z e x ( a ) u n ( b ) 第二种情况集合 以ii ) 是无限集，则 置ii n a 与 qi ) n b 中至少有一个是无限集，不妨设 毛ii i v n b 为无限集则 ) n bcb 为 ) 的个子列，记作 z 乜) ，由( l 2 ) 知z a z k 故z c x ( b ) ， 从而有z c ( a ) u 以( b ) 故以( ) uc ( b ) ) 以( a u b ) 另一方面，设z c ( a ) u c ( b ) ，则z 以( a ) 或z “( b ) ，不妨设z e x ( a ) ， 则由q ( a ) 的定义知，存在 盈) a ，使得z a 露显然 瓤) ( a u b ) ，于是 z c ( a u 口) 故c ( a ) u c ( b ) cc ( a u b ) 综合以上两方面的包含关系有以似ub ) = c x ( a ) uc x ( b ) 定义1 1 3 设( x ，a ) 是个r 一空间，我们称( x ，a ) 为个一空间如果 a ：x _ x 满足条件； ( l 4 ) 如果z a 毛且对任意的i = 1 ，2 ，甄妇，则存在正整数序列i l ，i 2 ， 和j l 如，使得z a z 罂 定理1 1 2 当( x ，a ) 为t o 一空间时，定义1 1 2 中定义的映射c ：2 x 2 x 有如下性质： ( c 0 4 ) v a 2 3 ，c ( c ( a ) ) = c ( a ) 证明由( c 0 2 ) 知吼( a ) cc b ( a ) ) ，另一方面，若z “( 以( a ) ) ，则由 以( c ( a ) ) 的定义知。存在 盈( c ( a ) ) ，使得z a 而对于每个i n ，由 墨c ( a ) 以及q ( a ) 的定义知，存在 硝 a ，使得毛a 由( l 4 ) 知存 在i l , i 2 ，和j l , j 2 ，使得z a f 罂又 9 2 ) a ，所以z c ( a ) 定义1 1 4 设( x ，a ) 是一个矿一空间，c ：2 x - ，2 x 如定义1 1 2 所述则 由定理1 1 1 、1 1 2 及【l , t h l 2 7 】知巩= acx l a = 以( a ，) ) 是x 上一个拓 扑我们称五= acx l a = 以) 为x 上的由极限算子a 诱导的f r c h e t 余 拓扑，称序对( x ，五) 为由极限算子a 诱导的f r c h e t 余拓扑空间，称c 为余拓扑 空间( x ，五) ( 或矿一空间( x ，a ) ) 上的闭包算子，简称为x 上的闭包算子，称兀 中的元素为余拓扑空间( x ，五) ( 或矿一空间( x ，a ) ) 中的闭集 易见以下定理成立t 定理1 1 3 设( x ，a ) 是一个上，一空间，令五= acx l 若存在 置 a 使得a z 。= z ，则z a l ，则五是x 上的一个余拓扑我们称五为由极限算子a 诱导的序列式余拓扑 定理1 1 4 设( x ，a ) 是个矿一空间，正、五分别是由a 诱导的f r c h e t 余拓扑和序列式余拓扑，则五= 乃 注1 1 1 序列式余拓扑不一定是f r d c h e t 余拓扑参见【2 ，例1 6 1 9 】 2 1 2 其余算子 本节在矿一空间中定义了内部算子，边界算子，导算子，进而讨论了它们的一 些性质及其与闭包算子之间的相互关系 定义1 2 1 设( x ，a ) 是一个矿一空间定义映射i ：2 x 垆如下 i x ( a ) = ( c ( ) ) = 和a l 对任意的 孔) ( ) 籼有a 黾z ) ( v a 2 x ) 称i ：2 x 一2 x 为矿一空间( x ，a ) 上的内部算子，简称为x 上的内部算子 定理1 ，2 1 矿一空间( x ，a ) 上的内部算子i 具有如下性质， ( 1 0 1 ) 奴( x ) = x ( 1 0 2 ) v a 2 x ，i x ( a ) ca ( 1 0 3 ) v a ，b 2 x ，舐( a n b ) = i x ( a ) n 以( b ) ( 1 0 4 ) v a 2 j ，i x ( i x ( a ) ) = i x ( a ) 证明( 1 0 1 ) 由( c 0 1 ) 以及舐的定义知奴( x ) = ( 以( x ，) ) 7 = ( 以( 毋) ) 7 = ( o ) x ( 1 0 2 ) 由( c 0 2 ) 以及奴的定义知a 7cc ( ) ，所以) ) 7 - - c ( a ) ) a ，从 而有i a ( a ) c ( ) = a ( 1 0 3 ) 由( c 0 3 ) 以及以的定义知i x ( aa 日) = ( c ( ( anb ) ，) ) 7 = ( c ( a 7ub ) ) = ( 以( a 7 ) un ( i y ) ) 7 = ( 以( ) ) a ( c x ( b ，) ) = i x ( a ) ai x ( b ) ( 1 0 4 ) 由( c 0 4 ) 以及舐的定义知l ( 以( 4 ) ) = ( 以( 奴( a ) ) ，) ，= ( c ( 以( ，) ) ) 7 = ( “( a ，) ) = 以( a ) 定义1 2 2 设( x ，a ) 是个矿一空间，舐是x 上的内部算子x 的一个子 集a ，若满足条件以( a ) = a ，则称a 是矿一空间( x ， ) 中的一个开集 定理1 2 2 设( x ，a ) 是一个矿一空间，定义映射c ：2 x 垆具体为。 c ( a ) = ( 奴( ) ) ( v a 2 1 ) 则映射c 满足性质( c 0 1 ) 一( c 0 4 ) 证明( c 0 1 ) c ( o ) = ( i ( ) ) 7 = ( 舐( x ) ) 7 = ( x ) 7 = o ( c 0 2 ) 由于对任意的a 2 x 都有a ， i x ( a ，) ，所以ac ( 舐( 爿) ) = c ( a ) ( c 0 3 ) 对任意的a ，b 2 j ，我们有c ( a o b ) = ( ( ( a u b ) ) ) ，= ( i a ( a 7 n ) ) = ( 以( ( a 7 ) n ( b ) ) ) = “ ( ) ) 7u ( i x ( b ，) ) = c ( a ) uc ( b ) ( c 0 4 ) 对任意的a 2 x ，c ( c ( a ) ) = ( 如( c ( a ) ) ，) ，= ( 以( 以( a ，) ) ) = ( 以( a ，) ) 7 = c ( a ) 3 定义1 2 3 设( x ，a ) 是一个矿一空间定义映射a ：2 x + 2 x 如下t 以( a ) = c x ( a ) nc a ( ) = ( i x ( a ) ui x ( a 7 ) ) 7 ( v a 2 x ) 定理1 2 3 矿一空间( x ，a ) 上的边界算子a 具有如下性质t ( i ) 巩( o ) = 口 ( i i ) v a 2 盖，a ( a ) = 巩( ) ( i i i ) v a 2 爿，巩( a ( a ) ) c 巩( a ) ( i v ) v a ，b 2 x , a ( a ub ) c 巩( a ) u a ( 口) ( v ) v a 2 工，c a ( a ) = a u 巩) ( v i ) v a 2 爿，巩( a ) = c x ( a ) 一i x ( a ) ( v i i ) v a ，b 2 x ，a n b n a ( a n b ) = a n b n ( a ( a ) u 以( b ) ) ( v i i i ) v a ，b 2 x ，a u b u 巩( a u b ) = a u b u ( 巩( a ) u a ( b ) ) 证明( i ) 由于巩( 0 ) = o ，巩( 0 ) c 巩( 0 ) = 口，所以巩( 0 ) = o ( i i ) 对任意的a 2 x ，巩( ) = c ( ) nc a ( ( a ，) ，) = c a ( a ) nc a ( a ) = a ) ( i i i ) 对任意的a 2 x ，我们有以( 巩( a ) ) = c ( 巩( a ) ) n 以( ( a ) ) 7 ) = c b ( 4 ) n c ( a 7 ) ) a c x ( i , 、( a ) u i a ( a ) ) = c a ( a ) n c a ( a ) n ( c a ( i x ( a ) ) u c 】, ( i a ( a ，) ) ) cc a ( a ) n c x ( a ) n ( c ( a ) uc x ( a ，) ) = c a ( a ) nc a ( a ) = 巩( a ) ( i v ) 对任意的a ，b 2 x ，我们有巩( a u b ) = c a ( a u b ) a c a ( ( aub ) ) = ( 以( ) u c a ( b ) ) a c ( a n b 7 ) = ( c ( a ) n c a ( a n b ) u ( c x ( b ) n c ( a 7 n b 7 ) ) c ( c a ( a ) o c a ( a ) ) u ( c x ( b ) i ic a ( b ) ) = a ( a ) u 巩( b ) ( v ) 由于acc a ( a ) 且a ( 月) cc a ( a ) ，于是c a ( a ) al j 巩( ) 反过来，设z c a ( a ) ，如果z a 则z au 巩( a ) ，否则z c a ( a ) 一a 即 o a 从而由( c 0 2 ) 知z c a ( a ，) 则z c a ( a ) n 以( ) = 巩( a ) c a n a ( 月) 综 上可知z a u 巩) ，因此c a ( a ) ca u 巩( a ) 所以c a ( a ) = a u a ( a ) ( v i ) 对任意的a 2 x ，a ( a ) = c a ( a ) n c a ( a 7 ) = n ( a ) 一( 以( ) ) 7 = c ( a ) 一i x ( a ) ( 诃) 对任意的a ，b 2 x ，我们有巩( a n b ) = c x ( a n b ) n c a ( ( a n b ) 7 ) = c x ( a f l b ) i - ic a ( a 7ub ) = c a ( anb ) a ( c ( a 7 ) uc a ( b ，) ) = ( “( ai - b ) nc a ( a ，) ) u ( c a ( an b ) i - i 以( b ) ) c ( c ( a ) nc a ( a ，) ) u ( c x ( b ) nc a ( b ，) ) = 0 a ( a ) u0 x ( b ) 从而有a nbn a ( a n b ) c a n b n ( 巩( a ) u a ( b ) ) 反过来，设z a n b n ( 巩( a ) u 巩( b ) ) ，则z a n b 且z 巩( a ) u 巩( b ) ，即 e 矾( a ) 或z a ( b ) 不妨假设z 巩( a ) ，则z c a ( a ) n c x ( a ，) 又由z a n b 以及( c 0 2 ) 知z c a ( anb ) 于是由( c 0 3 ) x c a ( a ) nc a ( a ) nc a ( aab ) = 4 c ( a nb ) n q ( ) c 以( an b ) n ( c ( a ，) uc ( b ，) ) = c ( a n b ) n 以( a ，ub ，) 故 a n b nc ( af 1 b ) nc ( a u b ，) = a n b n ( c ( a n b ) nc ( ( a n b ) ，) ) = a n 日n a ( a n b ) 因此a n b n ( 巩( a ) u 以( b ) ) c a n b n a ( a n b ) 综上可知，a n b n 巩( a n b ) = a n b n ( a ( a ) u 巩( b ) ) ( v i i i ) 由( i v ) 知a u b u a ( a u b ) c a u b u ( a 、( a ) u 巩( b ) ) 下证a u b u 巩( a u b ) a u 日u ( a ( a ) u a ( b ) ) 设z a u b u ( a ( a ) u 巩( b ) ) 当z ( a u b ) 一( 巩( a ) u a ( b ) ) 时，z a u bc a u b u 文( a u b ) ；当互( 巩( a ) u a ( b ) ) 一( a u b ) 时，由( 巩( a ) u 巩( b ) ) 一 ( a u 日) = ( a ( a ) u 巩( b ) ) n a i n b 7 = ( ( “( a ) n c ( a ，) ) u ( 以( b ) n c ( b ) ) ) n a ，n 且7 = ( 以( a ) u q ( b ) ) n ( 以( ) u 以( b ，) ) n ( “( a 7 ) u c x ( b ) ) n ( 以( 以7 ) u c ( b ，) ) n n b 7 cc x ( aub ) na 71 3b icq ub ) r l 以( a ，nb ) = 以( aub ) n 以( ( aub ) 7 ) = 巩u b ) ，可得z a ( j 4 u b ) 从而卫a u b u 巩( a u b ) 综上可得 以u b u ( 巩( a ) u 民( 口) c a u b u 巩( a u b ) 定义1 2 4 设( x ，a ) 是一个矿一空问映射以：2 x - ，垆满足条件： ( b 0 1 ) a ( o ) = 0 ( b 0 2 ) v a 2 x ，a ( a ) = a ( a ，) ( b 0 3 ) v a 2 x ，a ( 以( a ) ) ca ( a ) ( b 0 4 ) v a ，b 2 爿，a u b u a ( a u b ) = a u b u 巩( a ) u a ( _ b ) 我们称巩为矿一空间( x ，a ) 上的边界算子 定理1 2 4 设( x ，a ) 是一个矿一空间，定义映射c ：2 x 一2 x 具体为： c ( a ) = a u a ( a ) ( v a 2 1 ) 则c 满足性质( c 0 1 ) 一( c 0 4 ) 证明( c 0 1 ) c ( o ) = a ( 毋) u 0 = o ( c 0 2 ) 由c 的定义可知acc ( a ) ( c 0 3 ) 由( b 0 4 ) ，c ( a u b ) = a u b u 巩( a u b ) = a u b u ( a ( a ) u 巩( b ) ) = ( a u 巩( 月) ) u ( b u 巩( b ) ) = c ( a ) u c ( b ) ( c 0 4 ) 由( b 0 4 ) ，c ( c ( a ) ) = c ( au 巩( a ) ) = 月ua ( a ) u 巩( au 巩( a ) ) = u a ( a ) u 巩( a ) u 巩( 巩( a ) ) = au 巩) = c ( a ) 定义1 2 5 设( x ， ) 是一个矿一空间定义映射出：垆- 2 x 具体为； 以( a ) = z xi 存在 戤) 一 z ) ) 使得a 孔= z ) ( v a 2 x ) 则称出为矿一空间( x ，a ) 上的导算子 5 定理1 2 5 矿一空间( x ，a ) 上的导算子呶具有如下性质 ( d r l ) 出( 0 ) = 0 ( d r 2 ) 若a ，b 2 爿且acb ，则d ( a ) cd ( b ) ( d r 3 ) v a ，b 2 x ，d ( aub ) = d ( 月) ud ( b ) ( d r 4 ) v a 2 “，d x ( 以( a ) ) cau 以( a ) 证明( d r l ) 显然 ( d r 2 ) 若z 出( a ) ，则存在 而) ( a 一 z ) ) c ( b 一 z ) ) 使得a = z ，因 此z d x ( b ) ( d r 3 ) 由( i i ) 以及aca u b 可知呶( a ) c 以( a u b ) ，同理呶( 口) c 出( a u b ) ， 因此d ( a ) u d ( b ) cd a ( a u b ) 另一方面，设z 出( a u b ) ，则存在 盈) ( ( a u b ) 一 z ) ) “o 使得a 而= z 则 集合 盈il i v 是无限集( 否则，不妨设 墨ii i v = z l ，z 2 ，z 。) ，则有且 只有一个i o 1 ，2 ，n ) 使得在序列 毛) 中出现无数多次，并且由( l 2 ) 知 = z 因此，z ( a u b ) 一 z ) ，矛盾) ，因此 毛ii n ( a 一扣 ) 与 墨li ) n ( b 一 z ) ) 中至少有一个是无限集，不妨假设 黾ii ) n ( 一 z ) ) 为无限 集则 岛) n 一 正) ) 是 甄) 的个子列，记为 z k ，) ，且 z h ) c ( a 一 z ) ) 由( l 2 ) 可知，k h = z ，从而z 呶( a ) c 出( a ) u d ( b ) 因此d ( a u b ) c 出( a ) u d ( b ) 综合以上两方面的包含关系，有以似ub ) = 出( a ) u 以( b ) ( d r 4 ) 设z d x ( d x ( a ) ) ，若z a ，贝4z aud ( a ) 若z 岳a ，贝0 由 出( 出( a ) ) 的定义知，存在 墨) ( 出( a ) 一 z ) ) ”o 使得a = z ，对任意的i n ， 由墨出( a ) 一 z cd x ( a ) 以及出( a ) 的定义知，存在 z ? ) ( a 一 甄) ) c r o = ( a 一 z ) ) 使得a z z x i 由( l 4 ) 知存在i l , i 2 ，和j l ，如，使得地罂= 。 又 z 譬) ( a 一 z ) ) t 0 ，所以z d ( a ) 定理1 2 6 设( x ，a ) 是一个矿一空间定义映射c ：2 x + 2 爿具体为， c ( a ) = a u 以( a ) ( v a 矿) 则c 满足性质( c 0 1 ) 一( c 0 4 ) 证明( c 0 1 ) c ( 0 ) = 0u 出( 0 ) = 0uo = 0 ( c 0 2 ) aca u 以( a ) = c ( a ) ( c 0 3 ) c ( a u b ) = ( a u b ) u d ( a u b ) = ( a u b ) u ( 出( a ) ud ( b ) ) = ( a u d ( a ) ) u ( b ud x ( b ) ) = c ( a ) u c ( b ) ( c 0 4 ) c ( c ( ) ) = c ( au 出( a ) ) = ( aud ( a ) ) ud ( aud ( a ) ) = aud x ( a ) u 以( 4 ) ud ( d ( 月) ) = aud ( a ) = c ( a ) 6 1 3 极限算子之间的运算 本节在同一集合上满足条件( l 1 ) 一( l 4 ) 的极限算子之间定义了关系，并且证 明了这种关系是同一集合上的极限算子所构成的集合a 上的偏序关系，从而 a 是偏序集，下面我们证明了a 是交半格但不是格 定义1 3 1 设x 是一非空集合，a 1 和a 2 是x 上满足条件( l 1 ) ( i a ) 的两 个极限算子若对任意的满足a - 毛) = z 的 a ) x 都有a 2 毛) = z ，我们则称 a 1sa 2 定理1 3 1 设x 是一非空集合，a 是x 上满足条件( l 1 ) 一( l 4 ) 的极限算子 的全体则( 4 4 ，) 是偏序集 证明( i ) 是自反的，对任意的a a ，由的定义显然有as a ( i i ) 是传递的，设a l ，a 2 ，a 3 a 且a 1sa 2 ，a 2sa 3 ，对任意满足条件 a z i ) = z 的( z x z o ，由a 1 a 2 ，有a 2 j = = z ，又a 2 a 3 ，则 3 五= z ，于是 a l a 3 ( i i i ) 是反对称的设k ，a 2 凡，a 1sa 2 且a 2 a 1 ，对任意的 戤) x ， 当a 1 吼