（应用数学专业论文）一类关于两个独立变量的积分不等式的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类关于两个独立变量的积分不 等式的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明 确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：双i 基 日期：划d 。叉l 。 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( 一类关于两个独立变量的积分不等式的研究系本人在曲阜师范大学 攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归 曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全 了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范 大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部 分内容 作者签名： 导师签名： 曲阜师范大学硕士学位论文 一类关于两个独立变量的积分不等式的研究 摘要 近年来，许多学者已在积分不等式理论方面作出了很多好的结果，例如 b g b o n d g e ，e f b e c k e n b a c h 和b g p a c h p a t t e 等特别是b g p a c h p a t t e 在 关于两个独立变量的积分不等式方面得到了很多重要的结果本文主要是对b g p a c h p a t t e 关于两个独立变量的积分不等式方面的一些结果的推广和延伸， 并得到其在研究非自伴双曲型偏微分方程和积分方程解的性质方面的应用 ( 部分结果可参见文【1 卜 3 5 1 ) 本文利用g r o n w a l l 不等式及基本不等式的方法对b g p a c h p a t t e 的关于 两个独立变量的积分不等式进行了进一步的研究，得到一些新的结果 根据内容本论文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究以下积分不等式 u ( z ，y ) o ( z ，y ) + p ( z ，妙) ( b(s，可)u(s，y)dsfa(x) ) j x o 删c ( 8 g s ) d s 主要利用了积分限变换，基本不等式方法将p a c h p a t t e 在文【l 】1 中的结论推广 和改进，得到了一些新的结果 曲阜师范大学硕士学位论文 一 _ _ 一一一。一 第三章在这一章中，我们主要研究已下积分不等式 u ( z ，y ) o ( z ，y ) + p ( x ，可) ( b ( s ，可) u ( s ，y ) d s ) + 7 ( z ，秒) ( 厂q z 厂卢们，t ) u ( s , t ) dd b ( s t ) d s d t ) + 7 ( z ，秒) ( ，t ) u () + ( z ，可) ( 厂a 霉厂p 们，( s ，t ) ( 厂8f 6 ( ，町) u ( ，d s d t ) 7 7 ) d d n ) d s d t + ( z ，可) ( ，( s ，t ) ( 6 ( ，町) u ( ， j x oj y o j x ojy o ，i a ( z )，i p ( 掣) + 日( c ( 8 ，) g ( 札( s ，t ) ) d s d t ) 在这一章中，主要通过运用变换积分限的方法，得到以上不等式的进一步 推广和应用 曲阜师范大学硕士学位论文 s t u d i e so ni n t e g r a li n e q u a l i t i e si nt w o i n d e p e n d e n tl r i a b l e s i n d e e ne n tv a r l al e s a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi m p r o v es e v e r a lp a r t i a li n t e g r a li n e q u a l i t i e s i nt w oo rm o r ei n d e p e n d e n tv a r i a b l e sw h i c hw e r ee s t a b l i s h e db ym a n ya u t h o r s ， s u c ha sb g p a c h p a t t ea n db k b o n d g e o u ro b j e c t i v eh e r ei st op r e s e n ta n u m b e ro fn e wp a r t i a li n t e g r a li n e q u a l i t i e si nt w oi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sw h i c h c a nb eu s e da sh a n d yt o o l si nt h eq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n so fs e v e r a l c l a s s e so fn o n l i n e a rn o n - s e l f - a d j o i n th y p e r b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a la n di n t e g r a l e q u a t i o n s t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s hs o m en e wp a r t i a li n t e g r a li n e q u a l i t i e s i nt w oi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sw h i c hc a nb eu s e di nt h es t u d yo fq u a l i t a t i v e b e h a v i o ro ft h ev a r i o u sc l a s s e so fn o n l i n e a rn o n - s e l f - a d j o i n th y p e r b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n sa sr e a d ya n dp o w e r f u lt o o l s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ei n t e g r a li n e q u a l i t i ei nt w oo rm o r ei n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ， u ( x ，y ) o ( z ，y ) + p ( x ，可) ( b ( s ，y ) u ( s ，y ) d s ) 恻c ( s g s ) d s 出) w em a i n l ye m p l o y e dg r o n w a ni n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n df u n d m e n t a li n e q u a l i t i e s a n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so fb g p a c h p a t t e 1 】，w eo b t a i n e ds e v e r a ln e w r e s u l t s 1 i nc h a p t e r3 ，t h ec h a p t e ri st os t u d yt h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y , u ( x ，可) a ( z ，可) + p ( z ，可) ( b(s，可)u(s，y)ds)facx ) ，x 0 b ( s ，亡) u ( s ，t ) d s d t ) m ( ( 肛比川倒郴s d t ) 删c ( s g s ) d s 蚴 w 色m a i n l ye m p l o y e df u n d m e n t a li n e q u a l i t i e st oi m p r o v et h ei n e q u a l i t y a n do b t a i n e ds o m en e wr e s u l t s k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i 。n s ；p a r t i a li n t e g r a li n e q u a l i t i e s ；i n t e g r 2 l l e q u a t i o n s ；g r o n w a l li n e q u l i t i e s ；r e t a r d e di n t e g r a li n e q u a l i t i e s l l 们 眺 。似 e z ) 力 动 0 “ 叫 。诹 厂乞上 ( ( 鲫 们 孔 ，茁、 心 k 十 + 第一章绪论 自然科学中的许多一般规律，用常微分方程、差分方程的语言来表达最为 自然现在随着科学的发展，常微分方程应用的领域日益扩大不但对于理、 工各科应用逐渐增多，而且已经渗透到医学、经济学领域中例如计算培养细 菌问题、人口增长问题、市场经济、流行病的传染等实际问题中，都需要应用常 微分方程然而在十九世纪四十年代以前，人们一直致力于研究各种类型方程 的求解问题，在积累不少经验的同时，也遇到了越来越大的困难这是由于常 微分方程并不是都能求出函数解的，于是研究他们的定性理论如振动性就有非 常大的意义，也有很好的发展前景特别是近几十年，不等式特别是积分不等 式的研究发展得相当迅速，从一个变量的到多变量的，从单积分到多重积分， 都有非常丰富的成果其中以两个积分变量的积分不等式最受人们的关注，因 此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均 有长足的发展( 部分结果可参见文【1 卜 3 5 1 ) 目前人们常用的方法有g r o n w a l l 不等式技巧，应用黎曼函数等，这些方法 的优点在于直观便捷广受研究者们的青睐，从而大大推广了结果的应用范围 根据内容本文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下关于两个独立变量的积分不等式 乱( z ，y ) s o ( z ，y ) + p ( z ，可) ( 6(s，y)u(s，y)dsfa(x) ) j z 0 州( s ，榔( s ，啪砒) 主要利用了积分限变换，基本不等式方法将p a c h p a t t e 在文 1 】中的结论推广 和改进，得到了一些新的结果 第三章在这一章中，我们主要研究如下积分不等式在解决初值问题时的 1 第一章绪论 情形 钆( z ，y ) n ( z ，y ) + p ( z ，夕) ( 6 ( s ，可) u ( s ，y ) d s ) ，q 协) ，z 0 讹烈e 引6 ( s 一吣一捌d + ( z ，可) ( 厂q z 厂口b d vt ) + ( z ，可) ( j 疋。y o ) ( d x od y o 6 ( ，7 7 ) u ( ，叼) d ) d s 。) 2 0 l ， + 日( c ( s ，t ) g ( u ( s ，t ) ) d s d t ) j z o， 在这一章中，主要通过解决初值问题时此类积分不等式的作用，得n p g _ k 不等式的进一步推广和应用 2 一一一一 第二章关于两个独立变量积分不等式的研究 2 1 引言 本章研究b g p a c h p a t t e 在关于两个独立变量的积分不等式所得结果， 并做推广 假设 ( 风)o ( z ，y ) 0 是定义在d 上关于两变量非减的实值连续函数 ( - 1 2 ) 孔( z ，y ) ，6 ( z ，y ) ，c ( z ，芗) ，p ( z ，y ) 和g ( z ，y ) 是定义在d 上的实值非 负连续函数 ( 3 ) h ( u ) 0 是实值连续单调非减函数，u 0 ( 1 - 1 4 ) g ( u ) 0 是实值连续单调非减函数，对札0 满足次可加和次可 乘，且g 掣( u ( z ，可) ) = 击g ( u ( z ，可) ) 0 ，( z ，y ) d ( h 5 ) k ( z ，y ，8 ，t ，也) 和( z ，y ，u ) 是分别定义在d 2 x r + 和d x 计上 的实值非负连续函数，且关于最后一个变量非减，k ( x ，y ，8 ，t ，乱) 关于最后一 个变量严格满足l i p s c h i t z 条件 ( 凰) 乱( z ，f ) ，6 ( z ，y ) ，c ( z ，3 ，) ，p ( z ，可) ，r ( z ，可) ，h ( x ，y ) 及，( z ，y ) 是定义在 d 上的实值非负连续函数 ( h 7 ) 钆( z ，可) ，6 ( z ，可) ，c ( z ，矽) ，q ( z ，可) ，7 ( z ，耖) ，h ( x ，y ) 及，( z ，y ) 是定义在 d 上的实值非负连续函数 ( 风) p 0 ( 知，珈) 及p ( x ，y ) 是d 上的两个点，使 一z o ) ( 可一y o ) 0 ，而 且矩形区域r 以r 和尸为对点 ( t t 9 ) o l ，p c 1 ( d + ，d + ) 非减，且在区域d + 上满足q ( 亡) t ，z ( t ) st 定理a 【1 】设条件( 日1 ) ，( 飓) ，( 风) 和( 凰) 成立，如果 u ( z ，y ) o ( z ，y ) + p ( z ，秒) ( 6 ( s ，可) 让( s ，y ) d s ) ，宜 ，z 0 删( 小脚g 州) ) d s 蚴 第二章关于两个独立变量褪坌丕簦塞丝婴窒 乱( z ，可) f ( z ，可) 【n ( z ，可) + 日( q 一1 【q ( c ( s ，t ) g ( a ( s ，t ) f ( s ，t ) ) d s d t ) r zr 翟 jx ojy o + ( 小搠g ( 脚) ) d s 叫) 】 这里f ( x ，y ) ：1 + p ( x ，可) ( z6 ( s ，可) e z p ( z6 ( ，秒) p ( ，可) d ) d s ) ， ，) = +，可) ( 6 ( s ，可) e 印( 6 ( ，秒) p ( ，可) d ) d s ) ， 叩) 二( 志，r r o 。， q ( ( 小啪一脚) ) d 础) + 小一g ( f ( s ，t ) ) d s d t ed 删_ 1 ) ( z ，y ) 1 定理b 1 】设条件( h 1 ) ，( 凰) ，( 凰) 和( 凰) 成立，如果 u ( z ，y ) o ( z ，y ) + q ( x ，矽) ( 6 ( 。，t ) u ( z ，亡) 疵) ，! ， ，y o 州( c ( 8 , t 刚叫肿s d t ) ， ( z ，y ) d ，贝0 对( z ，y ) d 2cd ，有 u ( x ，秒) 昂( z ，可) o ( z ，可) + g ( a 一1 【q ( c(s，)g(o(z，y)fo(s，t)dsdt)iaz ，可 - ，x o ，y o r z 一 + c ( s ，亡) g ( f 0 ( s ，) ) d s 叫) 】， j x oj y o 其中 憎r 翟 f o ( x ，可) = l + q ( z ，可) ( 6 ( z ，亡) e 印( 6 ( z ，叼) q ( z ，r 1 ) d 7 7 ) d t ) ， j y o ，t 4 曲阜师范大学硕士学位论文 q ( 小g 似删黼一) d s + 小g ( 脚) ) d s d t ed 删- 1 ) ， ，y ) d 2 定理c 1 】设条件( 皿) 和( h s ) 成立，u ( z ，秒) 一( z ，y ) 和p ( x ，可) 如( 日2 ) 中所定义如果 乱( z ，y ) o ( z ，y ) + p ( z ，可) ( b ( s ，可) 札( s ，y ) d s ) 圳删，( e 啪，s ，( s 啪d s d t ) ， ( z ，y ) d ，贝4 有 乱( z ，y ) f ( x ，可) o ( z ，可) + w ( x ，y ，r ( x ，可) ) 】， ( z ，y ) d ，其中r ( x ，y ) 是方程 ，) ：厂霉厂 ，帅( s ，) + w ( z , y , r ，i ddtr(x yg ( xy tf ( s t w ( xr ( st ) ) ) d s d t ， ，) = ，s ，t ) 【n ( s ，) + ， j x oj y o 在d 上的解 定理d 【1 】设条件( 皿) 和( 风) 成立，u ( z ，可) ，b ( x ，可) 和q ( x ，可) 如( h 2 ) 中所定义如果 u ( z ，y ) n ( z ，y ) + q ( x ，可) ( b ( s ，可) u ( s ，y ) d s ) 产霉 ，0 圳删，e 咖，s ，咖( s ，啪d s 吼 謦 ( z ，可) d ，则有 u ( x ，y ) f o ( x ，可) 陋( z ，可) + w ( x ，y ，r ( x ，可) ) 】， 5 第二章关于两个独立变量积分不等式的研究 ( z ，可) d ，其中 f 叫 f o ( x ，y ) = 1 + q ( z ，可) ( b ( x ，t ) e x p ( b ( x ，7 7 ) 口( z ，r 1 ) d r l ) d t ) ， 掣o j t r ( x ，y ) 是方程 巾m = ( e k ( x , y , s , t , f o ( 印( s 卅阶幽r ( s 一) 】) d s d 瓦 在d 上的解 2 2 主要结果 分限的方法，从而得出一些新的结论，使此类积分不等式的应用范围更加广泛 定理2 2 1 设条件( 凰) ，( 吼) ，( 日3 ) ，( 甄) 和( 凰) 成立如果 u ( x ，y ) n ( z ，可) + p ( z ，可) ( b(s，可)u(s，y)dsfa(_x) ) + 上，c z ：z e 可；j 三s ，t ，( ；c c s ，亡，d s d z ， 2 - 2 1 ( z ，y ) d ，贝4 对( z ，可) d 1cd ，有 乱( z ，y ) f ( z ，y ) o ( z ，y ) + 日( q _ 1 【q ( c(s，亡)g(n(s，t)f(s，t)dsdttz(y) ，q ) j x oj y o ，q ( z )，p ( v ) + c ( s ，t ) g ( f ( s ，t ) ) d s 叫) 】， j x oj y o 这里 ，a ( z )，口( 霉) f ( x ，y ) = 1 + p ( z ，可) ( b ( s ，y ) e x p ( 6 ( ，秒) p ( ，可) 诞) d s ) ，( 2 2 3 ) - ，x o，x o 6 曲阜师范大学硕士学位论文 q ( r ) = f * od s 两，r 绚 。， ( 2 2 4 ) q 一1 是q 的逆函数，并且 q ( c ( s ，) g ( o ( s ，亡) f ( s ，t ) ) d s d t ) j z 0j y o r a ( x )r l ，( y ) + c ( s ，t ) g ( f ( s ，t ) ) d s d t d o m ( f l - 1 ) ( z ，y ) d 1 证明定义 咖) _ 0 卅日( c ( s g 刚) ) d 础) ， ( 2 2 5 ) 则( 2 2 1 ) 可以化为 u ( z ，y ) m ( x ，y ) + p ( x ，可) ( b ( s ，可) 乱( s ，y ) d s ) ( 2 2 6 ) 由于m ( x ，可) 是正的单调非减函数，我们可由( 2 2 6 ) 得到 端 o ，v 1 定理2 2 5 设( h i ) ，( h a ) ，( 日4 ) 及( 日9 ) 成立，设g s ，且乱( z ，) ，b ( x ，y ) 与c ( z ，y ) 如( 奶) 中所定义如果 1 2 岔 幻 们 k s ，口= ， 小 们 & c 酞 哪 芑- 沁荆。e 厂，馏町 + 厂如 h 厂上 可吖弋 吼 啊 心 + 。， ( 2 2 3 6 ) e 1 是e 的逆函数；q ，q - 1 由前面定理给出，且 e ( 1 ) + b ( s ，y ) d s d o m ( e _ 1 ) 及 f a ( z )，i p ( 可) q ( c ( s ，t ) g ( a ( s ，t ) u ( s ，t ) ) d s d t ) ，z 0 j y o + 序( s ) 唧( s ，啪d s d t ed o r a ( 吣 ( z ，y ) d 3 证明函数m ( x ，y ) 如( 2 2 5 ) 中所定义，那么( 2 2 3 3 ) 可以化为 u ( z ，y ) m ( z ，可) + b ( s ，y ) 夕( u ( s ，y ) ) d s ( 2 2 3 7 ) 因为m ( x ，y ) 是正的单调非减函数，且g s ，我们由( 2 2 3 5 ) 可知 耥 。， ( 2 2 5 6 ) e 一1 是e 的逆，q ，q 一1 如定理1 中所定义 注( v ) 如果定理2 2 6 中的不等式( 2 2 4 3 ) 换成 ，a l z j1 , 8 u ( x ，y ) o ( z ，y ) + b ( s ，可) ( 让( s ，y ) + 6 ( ，可) 9 ( ( ，秒) ) d ) d s + 们旷c z ，二2 ：任e 们k c z ，可，s l 亡2 ，0 u c s ，t ) ) d s d t ) , 2 2 5 7 则由定理2 2 6 类似的方法以及p a c h p a t t e 【4 ，t h e o r e m2 】建立的积分不等式 可知， ( 2 2 4 4 ) 所得结果相应的变为 u ( z ，y ) z 1 ( z ，可) 【o ( z ，y ) + w ( z ，y ，r ( x ，秒) ) 】， ( 2 2 5 8 ) 这里，z 1 ( z ，y ) 由( 2 2 5 5 ) 给出，当u ( z ，y ) 换成z l ( x ，y ) 时，r ( x ，y ) 是方程 ( 2 2 4 5 ) 的一个解 最后，我们注意到， ( 2 2 4 8 ) 和( 2 2 5 1 ) 右端的第一个积分式换成以下形式 卢白6(z，亡)(u(z，t)+zp(z，叼)u(z，r1)d77)dtyoy o ， 6 ( z ，亡) ( u ( z ，) + p ( z ，叼) u ( z ， ， j0 而且，将( 2 2 5 3 ) 和( 2 2 5 7 ) 右端的第一个积分式换为 l p 们6 ( z ，t ) ( u ( z ，) + i p ( z ，叼) 9 ( 札( z ， )drtr i ) ) d v ) d t ， 6 ( z ，t ) ( u ( z ，) + p ( z ，叼) 9 ( 札( z ， ， ，y o，y o 2 3 应用 1 7 第二章关于两个独立变量积分不等式的研究 例2 3 1 考虑方程 ( z ，y ) = 【b o ( x ，可) u ( z ，可) 耖+ a ( x ，y ，u ( q ( 。) ，p ( ) ) ) + ( z ，y ) ( 2 3 1 ) 解在z = x o , y = y o 上的有界性，其中所有的函数在他们的定义域上都是连续 的，使得 i b o ( x ，可) l b ( x ，y ) ， ( 2 3 2 ) l a ( x ，y ，让) i k ( z ，y ，l u l ) ， ( 2 3 3 ) 其中6 ( z ，y ) 和g ( x ，y ，s ，t ，西) = 尼( s ，t ，圣) 如定理2 2 3 中所定义设这里的有 界性能使得方程( 2 3 1 ) 与以下方程等价 乱( z ，磐) = a o ( x ，y ) + b o ( s ，可) u ( q ( s ) ，y ) d s + ：e 以c 二：牡c 口c s ，卢c 亡，d s 班， 。4 其中a o ( z ，y ) 由l ( x ，y ) 及有界性条件给出我们可以得到 i a o ( x ，可) l a ( x ，可) ， ( 2 3 5 ) 这里a ( x ，y ) 如定理2 2 3 所定义将( 2 3 2 ) ，( 2 ，3 3 ) 和( 2 3 5 ) 代入( 2 3 4 ) 可 得 l 乱( z ，可) l a ( x ，y ) + 6 ( s ，可) l u ( q ( s ) ，y ) d s + ( e 脚咖s 瑚) 1 ) 揪 a ( x ，y ) + 舰b ( 8 ，秒) l 让( s ，y ) l d s + e q r 。舰k ( 叫m ( s 1 ) d s 出 其中， 尬2 翼慧南 z t ( 卫i ：cj m 2 _ m y e 磷r + 南 工) i j 1 8 1 9 其中b l = 一b p ，5 2 = - 6 p h ) 设d + 是d 上面的连通子定义域，p d ，且 u 0 ，e 0 3 2 主要结果 这一节的工作主要是对b g p a c h p a t t e 在研究积分不等式解决初值问题 时所得结论的推广，我们主要运用了推广积分限的方法，得到了一些新的结果 曲阜师范大学硕士学位论文 果rcd + 和u ( z ，y ) 满足 f a c x ) u ( x ，y ) o ( z ，y ) + p ( x ，可) ( b ( s ，秒) u ( s ，y ) d s ) ，x o 讹姒序( s i 咖( s ，伽s + 危( 刎) ( 烈圳f ( s ，亡) ( 8 洲乱( 洲咖) 揪)+ 危( z ，可) ( ，亡) ( 6 ( ，叼) 乱( ，卵) 咖) d s 班) j x 0j y 0j x oj y 0 + 日( r c ( s g s ) d s 吼 ( z ，y ) d ，那么对( z ，y ) d 3cd ，u ( x ，y ) 满足 u ，秒) 日( z ，可) 【。( z ，可) + 日( f l - 1 陋( 上f 。a ( x 厶 c ( s ，亡) g ( n ( s ，。) ) f 1 ( s ，。) d s 如) ) 胪( y ) + i 霉e 可c c s ，亡，( ；c j 、c s ，亡，d s d 2 。， 。3 三2 ， 其中 f a ( x )，i q ( 霉) f 1 = f o ( x ，y ) + p ( x ，秒) ( b ( s ，y ) ，o ( z ，y ) e x p ( 6 ( ，秒) p ( ，可) 必) d s ) ， j x o ，s 这里 o ( x ，y ) = 1 + r ( z ，可) q ( z ，y ) + h ( x ，y ) ( ，( s ，t ) q ( s ，t ) d s d t ) ， ，a ( z )，口( 可) ，x o，i o q ( x ，y ) ：i i 口 厂p 可e ( s ，亡；z ，可) 6 ( s ，t ) 1 + h ( s ，亡) ( 厂8 厂。u ( ，? 7 ；s ，亡) 6 ( ，叼) d d 叩) ) d s d t ，= ，亡；z ，可) 6 ( s ，t ) 1 + ，亡) ( u ( ，? 7 ；s ，亡) 6 ( ，叼) d 咖) ) d s d t ， j x oj y o ，z 0j y o 2 1 第三章一类时滞积分不等式的推广 s2 ，s2 叫由定理2 2 1 定义，而且 f a ( x )，i p ( 耖) q ( c ( s ，亡) g ( o ( s ，t ) ) 日( s ，t ) d s d t ) j ：mj y o 、 ( 3 2 6 ) 严( z ) f f ，( u ) 、7 + c ( s ，t ) g ( 毋( s ，t ) ) d s d t ) 】d o r a ( 1 2 - 1 ) ， 对( z ，y ) d a 成立 证明定义函数m ( x ，y ) 如( 2 2 5 ) 式，那么( 3 2 1 ) 可转化为 u ( x ，y ) f a ( x ) m ( z ，y ) + p ( z ，可) ( 6 ( s ，可) u ( s ，y ) d s ) f a ( x ) 厂卢( 可) ( 3 2 7 ) + r ( z ，可) ( f 6 ( s ，t ) 乱( s ，t ) d s d t ) 世姒r ，( s ( 肌吣吣蜘胁吼 由于m ( z ，y ) 是正的单调非减函数，从而可知 u ( x ，y ) 而 1 + 出别( r6 ( s m 端幽) 讹州端撇， 懈州烈功烈们氘)(z。吣川糕d荨drl)dsdt)xo y oy o + ( z ，可) ( ，( s ，t ) ( 6 ( f ，叩) 粼 ， ，z 0 ，、，。， 从而，可知 孔( z ，y ) f 1 ( z ，可) m ( z ，可) ， ( 3 2 8 ) 其中，f 1 ( x ，可) ，0 ( z ，可) ，q ( z ，y ) 分别由( 3 2 7 ) ，( 3 2 7 ) 和( 3 2 7 ) 给出由m ( x ，y ) 及( 3 2 1 1 ) 式可得 u ( x ，y ) 日( z ，可) 【n ( z ，y ) + h ( c ( s ，亡) g ( u ( s ，亡) ) d s 班) 】 ( 3 2 9 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 推论3 2 1 设条件( h i ) ，( 日3 ) ，( 凰) ，( 胁) ，( 9 ) 以及( h l o ) 成立如果 rc d + ，u ( x ，y ) 满足 胪( 分) 钍( z ，y ) o ( z ，y ) + 口( z ，可) ( b ( z ，亡) u ( z ，t ) d t ) ，y o 讹姒r 6 ( s 一心瑚删幻 讹趴r ( 肌毗川吣m 蚴) d s 鳓 删c ( s g 叫) ) d s 妁 ( z ，y ) d ，那么对( z ，y ) d 4cd ，缸( z ，y ) 满足 u ( z ，y ) ，口( z )，卢( ”) 如( z ，可) n ( z ，y ) + h ( f i - 1 即( c ( s ，t ) g c a ( s ，t ) ) f 2 ( s ，t ) d s d t ) - ，0，y o + z ：z e c c s ，t ，( 7 c 上乇c s ，亡，d s d 2 。， 。3 2 1 1 ， 其中 ，口( 可)，卢( v ) r = ，o ( z ，y ) + g ( z ，可) ( 6 ( z ，t ) e x p ( 6 ( z ，叩) p ( z ，叩) 却) 出) ， ( 3 2 1 2 ) j x 0 j t 其中f o ( z ，封1 和q ( z ，y ) 有定理3 2 1 给出，q ，q - 1 由定理2 2 1 定义，而且 对( z ，y ) d 4 成立 幻 d d = 一 鲫 毛 斑 摊 如 文， “ ，l z 吣 bn = ，v a 旧 、l， 、：， 咖 d 曼 s 眯 文 严k 广厶 、j 斟， 憎 州 。呛 厂厶厂上 推论3 2 2 设( 研) ，( 玩) ，( 凰) 和( 风) 成立，u ( z ，可) ，6 ( z ，可) ，p ( z ，可) ，h ( x ，秒) 及，( 。，y ) 满足条件( 日6 ) 如果rcd + ，u ( z ，y ) 满足 饥( z ，y ) n ( z ，y ) + p ( z ，可) ( 6 ( s ，y ) u ( s ，y ) d s ) + r ( z ，秒) ( 6 ( s ，亡) u ( s ，t ) d s d t ) + ( z ，妙) ( x o q 扛y o p 们，( s ，) ( j 厂x o sj r y o 。6 ( 荨，叼) u ( ，叼) d d 7 7 ) d s 出) 0j + w ( z ，y ， k ( x ，y ，s ，t ，札( s ，t ) ) ) d s d t ) ( 3 2 1 4 ) ( x ，y ) d ，则 乱( z ，y ) f 1 ( z ，y ) 【o ( z ，y ) + w ( z ，y ， ( z ，剪) ) 】，( 3 2 1 5 ) 对所有( z ，y ) d 成立，其中r ( z ，可) 由定理2 2 5 给出，r ( z ，秒) 是以下方程 在d 上的解 r ( z ，) = k ( x ，矽，s ，t ，日( s ，t ) 陋( s ，t ) + w ( s ，t ，r ( s ，) ) 】) 幽出 ( 3 2 1 6 ) 推论3 2 3 设( 皿) ，( 飓) ，( 风) 和( 凰) 成立，让( z ，y ) ，6 ( z ，可) ，口( z ，可) ，h ( x ，可) 及厂( z ，y ) 满足条件( 岛) 如果rcd + ，乱( z ，y ) 满足 u ( z ，y ) o ( z ，y ) + g ( z ，秒) ( 6 ( z ，亡) ( z ，z ) d 亡) + r ( z ，可) ( 6 ( s ，亡) u ( s ，t ) d s d t ) + 唯川( e e 憎饰( 0 是任意的，从而方程( 2 3 1 ) 至多有一个解 上一、 参考文献 【1 】b g p a c h p a t t e o nc e r t a i np a r t i a li n e q u a l i t i e sf o rn o n s e l f a d j o i n th y p e r b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n j j m a t h a n a l a p p l 7 6 ( 1 9 8 0 ) ：5 8 7 1 2 1 t h g r o n w a l l n o t e so nt h ed e r i v a t i v e sw i t hr e s p e c tt oap a r a m e t e ro ft h es o l u t i o n o fas y s t e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j a n n m a t h a p p l y 2 0 ( 1 9 9 9 ) ：2 9 2 - 2 9 6 3 】b g p a c h p a t t e o ns o m en e wi n e q u a l i t e s r e l a t e dt oac e r t a i ni n e q u a l i t ya r i s i n gi nt h e t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j j m a t h a n a l a p p l 2 5 1 ( 2 0 0 0 ) ：7 3 6 - 7 5 1 4 1b g p a c h p a t t e i n e q u a l i t i e s f o rd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n s m a c a d a m i c p r e s s n e wy b r k1 9 9 8 5 1 r b e l l m a n t h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j d u c km a t h j 1 0 ( 1 9 4 3 ) ：6 3 4 6 4 7 6 1 f a n w e im e n ga n dw e i n i a nl i o ns o m en e wi n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n dt h e i ra p p l i c a - t i o n s j c o m p u t m a t h a p p l 1 4 8 ( 2 0 0 4 ) ：3 8 1 _ 3 9 2 7 1b k b o n d g e b g p a c h p a t t e o ns o m ef u n d a m e n t a li n t e g r a li n e q u a