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摘要 摘要 本文主要探讨了函数空间的连续性及拟连续性问题，定义了拟连续函 数空间和p 一拟连续函数空间，进而讨论了拟连续函数空间的连续性，并 证明了在适当条件下从核紧空间到拟连续l d o m a i n 的连续函数空间 在s c o t t 拓扑下可以构成拟连续函数空间，从而给出拟连续函数空间的 一个等价刻画我们使用素理想代替定向集定义了一种新的p 一拟连续 关系，可以讨论这种连续性的相关性质，并且可以使用这种p 一拟连续 性，定义函数空间各种弱连续性，从而进一步讨论函数空间的连续性质 关键词：d o m a i n ；拟连续偏序集；函数空间；素理想；连续函数； s c o t t 拓扑 a b s t r a c t a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t es o m ep r o b l e m so fc o n t i n u o u sp r o p e r t i e sa n dq u a s i c o n t i n u o u sp r o p e r t i e so ff u n c t i o ns p a c e s w ed e f i n et h e c o n c e p to fq u a s i c o n t i n u o u sf u n c t i o ns p a c e sa n dp q u a s i c o n t i n u o u s f u n c t i o ns p a c e s ，a n dt h e ni n v e s t i g a t et h ec o n t i n u o u sp r o p e r t yo f q u a s i c o n t i n u o u sf u n c t i o ns p a c e s w ep r o v et h a ti ns o m ec o n d i t i o n s t h ef u n c t i o ns p a c eo fa l lc o n t i n u o u sm a p sf r o mac o r ec o m p a c ts p a c e t oaq u a s i c o n t i n u o u sl d o m a i ni ss t i l lq u a s i c o n t i n u o u sf o rs c o t t t o p o l o g y t h u sw eo b t a i nac h a r a c t e r i z a t i o n sf o raf u n c t i o ns p a c et o b eq u a s i c o n t i n u o u s w ed e f i n ean e wp q u a s i c o n t i n u o u sr e l a t i o no n ad c p ob yr e p l a c i n gd i r e c t e ds e t sw i t hp r i m ei d e a l sa n di n v e s t i g a t e t h ep r o p e r t i e so ft h ep q u a s i c o n t i n u i t y k e y w o r d s ：q u a s i c o n t i n u o u sp o s e t ；f u n c t i o ns p a c e ；p r i m ei d e a l ； c o n t i n u o u sf u n c t i o n ；s c o t tt o p o l o g y i v 第一章前言 连续格的概念最早由d s c o t t 于1 9 7 1 年研究理论计算机的语义问题而提 出的，紧接着d s c o t t 又提出了d o m a i n 理论大约在同一时期，在纯数学领 域，l a w s o n ，s t r a l k a 等人为寻求一类紧半格的代数刻画而定义了一种有特殊性质 的完备格但他们很快发现这种完备格恰好是s c o t t 发现的连续格作为理论计算 机和纯数学这两个方面研究的殊途同归，连续格理论引起了人们极大的兴趣，并作 了大量的工作 1 9 8 0 年，d s s c o t t 等六位作者共同撰写了关于连续格理论的专著a c o m p e n d i u mo fc o n t i n u o u sl a t t i c e ) ) ，对这一领域的前期研究进行了系统的 总结，标志着作为d o m a i n 理论前期形式的连续格理论的成熟1 9 8 3 年，作为 连续d o m a i n 和广义连续格的公共推广，g i e r z ，l a w s o n 和s t r a l k a 等人引入了 一类重要的d o m a i n - - 拟连续d o m a i n ，其基本思路是将”点”与”点”之间的w a y b e l o w 关系推广至”集”与”集”之情形经过许多学者的努力，连续格格的推广超出 了格的限制，推广到更一般的d o m a i n 乃至偏序集上2 0 0 3 年，d s s c o t t 等人在 ac o m p e n d i u mo fc o n t i n u o u sl a t t i c e ) ) 的基础上出版了( c o u t i n u o u sl a t t i c e s a n dd o m a i n s ) ) ，对最近2 0 多年的成果作了系统的深入的总结 经过三十多年的发展，连续格理论及更为一般的d o m a i n 理论的研究取得了丰 富的理论成果和广泛的应用，并与理论计算机科学，拓扑学，分析学，代数学，逻辑 学和范畴论等数学分支产生了密切的联系 连续格有着很好的性质，它的推广应用，一直以来都吸引着广大学者的注意 连续格理论的推广，主要有两个方面：一个方面是把连续格的性质推广到一些更一 般的偏序集乃至预序集上，研究它在新条件下的结果如：连续d o m a i n ，连续偏序 集，连续预序集另一种是相对w a y b e l o w 关系建立一种新的类似的关系，研究在 新的关系下的相关结论如：强w a y - b e l o w ，子集系统，强连续偏序集以及超连续偏 序集由于广大学者的关注，在这两方面都取得了一系列显著的成果 第一章前言 拟连续偏序集继承了连续格的很多性质，但是同时也有很大的区 别1 9 9 0 年，l a w s o n 和m i s l o v e 提出了如下公开问题【6 】： c h a r a c t e r i z et h o s elf o rw h i c h _ l 】i sac o n t i n u o u sd c p of o ra l lc o r e c o m p a c ts p a c e sx al i k e l yc a n d i d a t ei st h ec l a s so fa l lc o n t i n u o u sl d o m a i n s d o e so n eo b t a i nt h es a m ea n s w e ri fo n er e s t r i c t st oa l lc o m p a c ta n dc o r ec o m p a c t s p a c e s ? 1 9 9 5 年由粱基华和刘应明在文献 7 】中解决了上述问题的前半部分，之后 于2 0 0 2 年由徐罗山对问题做了相关研究，于文献1 8 】中解决了上述问题的后半部 分相对于连续偏序集上的函数空间，自然想到拟连续偏序集上的函数空间是不 是也会有类似的结果，本文主要对此做了相关讨论，并给出了在适当条件下核紧空 间到拟连续l d o m a i n 的函数空间是拟连续的 2 第二章 连续函数空问一l 在连续格和d o m a i n 理论的研究中，s c o t t 拓扑和连续函数扮演了重要角色它 们是研究格和d o m a i n 的重要工具连续函数作为连接两个格或d o m a i n s 的重要 纽带，在研究性质遗传时发挥了巨大作用函数空间就是考虑两个被赋予不同 或相同条件的偏序集( 它们或构成格或构成d o m a i n ) 间的所有连续函数，依逐点 序所构成的偏序集的性质本章第一节主要介绍了格和d o m a i n 的基本定义和 相关性质，以及s c o t t 拓扑第二节主要介绍了核紧空间和连续d o m a i n 间的函 数空间，并在新条件下证明了核紧空间和连续l 。d o m a i n 间的函数空间是连续 的l d o m a i n 2 1预备知识 设三为偏序集，l 的非空子集称为定向的，若d 的任意非空有限子集有上 确界对任意的子集a l ，记v a 为a 在l 中的上确界，a a 为a 在中的 下确界，通常v 【o ，”习惯记为avb 若l 中任意定向子集都存在上确界，则 称l 是定向完备的即d c p o 对于d c p ol ，z ，y l ，x y 是指对任意的定向 集d ，若v d y ，则存在d d 使得x d 本节的定义，命题，定理，如未注 明，均来自参考文献【1 】 定义2 1 1 设l 为d c p o ，集合u l 称为s c o t t 开集，当且仅当满足如下条 件： ( 1 ) u = t ； ( 2 ) 对任意的定向集d l ，若v d u 则d nu 0 l 的所有s c o t t 开集构成三的s c o t t 拓扑，记为盯( l ) 偏序集三为连续偏序集，若满足对任意的x l ，妙x = 可：3 ，z 是定向 集，且x = vuz 连续的d c p o 称为d o m a i n ，若d o m a i nl 同时为完备格，则 称l 为连续格 3 第二章 连续函数空间【x 一】 命题2 1 1 设l 为偏序集：则l 是连续的当且仅当它的s c o t t 拓扑a ( l ) 是完 全分配的 定理2 1 1 在任意的的连续d c p ol 中，有如下结论成立： ( 1 ) ( 插入性质) 对任意的x ，y l ，x y ，存在z l 使得x z y ( 2 ) 集族 介z = y l ：x y ) - ：z l ) 为a ( l ) 的一个拓扑基 ( 3 ) 拓扑o ( l ) 为连续格 命题2 1 2 设s ，t 为d c p o ，f 为从s 到t 的函数，则下列条件等价： ( 1 ) ，为相对s c o t t 的连续函数，即对任意的u a ( t ) ，1 - i ( u ) o ( s ) ； ( 2 ) 厂保持定向上确界，即，是保序的，且对任意的d l ，f ( s u p d ) = s u p f ( d ) ； ( 3 ) ，是保序的，并且对任意的s 上的网( 巧) j t ，使得垃玛j x j ，避j 厂( ) 存在 有f ( 1 i m i t ，x j ) 魑，( ) 在d c p ol 中，对任意的x l ，v 霉，表示在【x 中求上确界，若lx 中存在最小 元，则记为0 $ d o m a i nl 称为l d o m a i n 若对任意的z l ，上z 为完备格对 任意的拓扑空间x ，若它的开集格q ( x ) 构成连续格，则称为核紧空间 命题2 1 3 7 】 在l - d o m a i nl 中，对每一个x l ，有如下命题成立： ( 1 ) 0 z 是l 中的极小元，因此0 z o 。 ( 2 ) 如果a ，i ) l ，且v i a a i 0 z ，那么对任意的i x 有0 口；= 0 。 命题2 1 4 若l 为d o m a i n ，则对任意的z l ，介z 为s c o t t 开集，反 之，若l 为d c p o ，y i n t ( 丁z ) ，则z y 定理2 1 2 ( i ) 设l 为偏序集，下列条件等价： ( 1 ) z 可； ( 2 ) 对任意的l 中的理想，若满足y s u p i 则z i ； ( 3 ) z n j ( u ) ，j ( 可) = ( ，d ( 三) ：z s t 伊，) ； 4 第二章 连续函数空间【x 一纠 若l 是交连续的半格，则条件( 1 ) ( 2 ) 等价于： ( 3 ) 对任意的l 的理想j 满足y = s u p i 有z i ( i i ) 假设存在一个定向集d uz 使得s u p d = z ，则uz 是定向的 且z = s u puz ，此外若在lz 依引导序，可z ，则在l 中可。 2 2 函数空间一l 对a x ，a l ，f 【x y 】定义如下映射： f ( a ，a ，f ) ：x 叫l fc。，a，厂，cz，=。二!， z a x c a ， f - 1 ( 介a ) 简记为欠口其中价a = _ z l ：a z ， 设x 为拓扑空间， l 为定向完备偏序集d c p o 赋予 s c o t t 拓 扑o ( l ) ，记_ y 】为从x 到l 的所有连续函数构成的函数空间，那 么_ 纠在逐点序下仍然是一个定向完备偏序集 命题2 2 1 【7 】设l 为连续l - d o m a i n ，a l ，f 一三】，对任意 的u q ( x ) 且u 足口，有f ( a ，以f ) 一q 在函数空间_ 纠中对任意的f ，g 【x 一引，f g 指对任意的定向函 数族 如：j a _ 纠，若v j f 存在j o 使得f 。一般情 况下，对任意的z x 都有f ( x ) g ( x ) 不能推出厂g ，反之，夕也不能推 出对任意的z x ，f ( x ) 9 ( z ) 5 第二章 连续函数空间【x 一纠 命题2 2 2 7 设l 为连续l d o m a i n ，a ，b l ，v q ( x ) ，厂 x 一 纠若b a 且v 氏a 则在 x _ 纠中f ( b ，vs ) f ( a ，足d ，) 引理2 2 1 7 】 设己为三一d o m a i n ，则如下结论成立： ( 1 ) l 是连续格当且仅当对任意z l ，j ，x 是连续格 ( 2 ) 若a ，b jx aj ，y 且av zb y 则av zb = ov 掣b y 引理2 2 2 7 】若l 为连续l d o m a i n ，x 为核紧空间，则函数空间一纠 为l d o m a i n 引理2 2 3 设x 为核紧空间，连续l d o m a i n ，a l ，厂 x 一引且对 任意的a l ，介a 存在最小元，则对任意的a l 有f ( a ，欠口，厂) 厂 证明： 假设f ( n ，厂。，厂) g1 厂，则由一目空i ；- j 中的w a y b e l o w 定义可知 存在定向函数族 【如( 。) ) j ，满足， v 但是对任意的j 有f ( a ，足口，f ) 茗h j 取a o 为介a 中最小元，x o 厂- 1 ( o o ) 则 f ( a ，。，s ) ( z o ) = a a o = y ( x o ) 由w a y b e l o w 的定义可知，对任意定向集d ，若v d 厂( z o ) 则= l d d 使得 f ( a ，足。，s ) ( x o ) d 而 b ( z o ) b 显然定向，且v h j ( z o ) s ( x o ) 故现使得 f ( a ，尺。，) ( z o ) h j ( z o ) 又由于连续函数具有保序性，故由f ( a ，足口，厂) ( z ) 的定义可知： 对任意的。x 有f ( a ，足口，) ( z ) h j ( x ) 与假设矛盾，故可知原命题成立 即f ( a ，d ，) ， 引理2 2 4 【7 】设x 为核紧空间，l 为连续l d o m a i n ，且对任意 的a l ，f a 存在最小元，则函数空间_ l 】为连续l d o m a i n 6 第二章 连续函数空间【x 一三】 下面我将给出命题在新条件下的一种全新的证明方法，并借助这种方法完成第 二章的结果的证明 由引理2 2 4 可知vui f 任取z x ，由l 的连续性可知厂( z ) = v ( yiy ，( z ) ) 对任意 的y ，( z ) ，取函数f 0 ，凡! ，) 则有f ( y ，可，) ( z ) = 秽，( z ) 由引 理2 2 3 可知f ( y ，f ) f 故 可iy ，( z ) ) ( gfg ，) ( z ) 从 而v iy 厂( z ) ) v 夕ig 厂) ( z ) 即f ( x ) vi if ( x ) 故f = vuf 定理2 2 1 7 】 设l 为定向完备偏序集，则l 是连续的l d o m a i n 当且仅当对 任意的核紧空间x ，函数空间 x 一引是连续的l d o m a i n 推论2 2 1 7 】 设三为定向完备偏序集，则l 是有界完备连续的当且仅当对任 意的核紧空间x ，函数空间_ 剀是有界完备连续的 7 第三章 拟连续函数空间 x _ 矧 拟连续d o m a i n 作为连续d o m a i n 的一种推广，它继承了连续d o m a i n 很多良 好的性质，是连续格理论推广的一个重要方向在拟连续d o m a i n 上建立函数空 间，, - i p a 得到一些类似连续函数空间的性质在本章中d o m a i n ，若未声明，均不 要求具有连续性 3 1预备知识 设l 为偏序集，定义p ( l ) 上的序关系，任取g ，h p ( l ) ，g h 当且仅 当t 日s tg ，显然这仅仅是一个预序关系，而不是偏序关系，因为它不具有反 对称性我们说集族芦是定向的，若任给集合f 1 ，见厂，存在集合f 芦使 得毋，f 2 f 即f tf 1 nt 局本节定义，命题，定理如未声明，均来自参考文 献” 我们说gw a y b e l o wh 或者g 逼近日，记着g h 指对任意的定向 集d l ，s u p d 下h 推出存在d d 使得d tg 记g x ) 为g z ， 可) h 为可h 显然上述定义包含了z y 的定义通常g h 是 指，对任意的z h 有g x 成立 对于函数空间一引，集族厂一l 称为定向的，指对任意的芦的有 限子集在厂中存在上界，即对任意的连续函数厂，夕芦存在连续函数h 尸使 得厂，g h 定义3 1 1 【1 6 】设l 为偏序集，则l 称为拟连续偏序集( 拟代数偏序集) 若 满足：对任意的z p u 仃( p ) ，z u 推出存在一个非空有限集f l 使 得。i n t 口( p ) tf tf 矿( z i n t 萨( p ) tf = tf u ) 定义3 1 2 定向完备偏序集l 称为拟连续的，若对任意的z l 集 8 第三章 拟连续函数空间 x 一三】 族f i n ( x ) = 【f ：f 有限，f z ) 是定向的，且对任意的z 丢y 存 在f f i n ( x ) 使得可c tf 定义3 1 3 设l 为偏序集，则l 称为交连续的若满足：对任意的2 7 l 定向 集d l ，若v d ，v xad ，v xad 都存在，则v xad = v x ad 命题3 1 1 若l 是连续d o m a i n ，则l 显然是一个拟连续d o m a i n 若l 既是 一个交连续d o m a i n ，同时又是一个拟连续d o m i a n 则l 是一个连续d o m i a n 由命题3 1 1 可以看出，连续d o m a i n 一定是一个拟连续d o m i a n ，反之则不然 例3 1 1 设l 为集合【0 ，l 】2 的一个子集如下： l = ( 1 一元1 ：扎= 1 ，2 ，3 ，) ( o ) ) u ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ) 0 显然l 是一个完备格，且拟连续，但是不是交连续的 考虑集合d = 1 一磊1 ：孔= 1 ，2 ，) o ) 和z = ( o ，1 ) 则8 u p ld = ( 1 ，1 ) x a u pd = ( 0 ，1 ) 而s u p l z d = ( o ，0 ) ，故x s u pd s u p l x d 从而l 不是交连续 的，故不连续 定理3 1 1 ( r u d i n 7 8l e m m a ) 设l 为偏序集，厂为l 的非空有限子集构成的 定向集族，则存在定向集d u f ，使得对任意的f 厂有dnf 仍成立 9 oo。o；o：oolo 第三章 拟连续函数空间 x _ 纠 推论3 1 1 设l 为定向完备偏序集，芦为l 的非空有限子集构成的定向集 族，若g 日且n f ，tf t 日，则存在f 厂使得f 下g 命题3 1 2设为拟连续d o m a i n ： ( 1 ) 赋予ls c o t t 拓扑，则l 是局部紧的s o b e r ； ( 2 ) 赋予ll a w s o n 拓扑，则l 是正则的h a u s d o r f f 空间 命题3 1 3设l 为完备格，若x 互y z 则xvy z 其中 xvy = zvy ：x x ，y y ) ，因此拟连续格是拟连续d o m i a n 3 2 拟连续偏序集 命题3 2 1 1 】设三为拟连续d o m a i n ，若日x ，则存在有限集f 三使 得h f x 命题3 2 2 【1 】 设l 为拟连续d o m a i n 则有如下命题成立： ( 1 ) u l 为开集当且仅当对任意的x u 存在有限集f z 使得介f u 集 合介f = z l ：f 有限，f z ) 是开集，且它们构成l 的s c o t t 拓扑基 ( 2 ) 对任意非空集合日l ，集合介日等于t 日所在的s c o t t 拓扑的内部 命题3 2 3 1 6 】每个连续偏序集( 代数偏序集) 都是拟连续( 代数) 偏序集 定理3 2 1 1 】 设l 为完备格，则下列命题等价： ( 1 ) l 是拟连续d o m i a n ； ( 2 ) 己是拟连续格； ( 3 ) l 上的l a w s o n 拓扑是h a u s d o r f f 的 命题3 2 4 在偏序集l 中，记k = z l ：tx = n tf ：f z ) ) ，则： ( 1 ) k 对任意存在的上确界封闭 1 0 第三章 拟连续函数空问【x 一三】 ( 2 ) 若对任意的g ，饥( z ) ，h f i n ( y ) 满足gnf zay 则k 对存在的有限 下确界封闭 证明： 任取集合a k ，若v a 存在，则显然有tv a 冬n t f ：f v a 若z 丁v a 即z 2va 则至少存在一个a a 使 得z 芝o ，又下a = n tf ：f o 】- 故存在f l 使得f o 但是z gtf 又 由w a y b e l o w 的性质可知：f a v a 推出f v a 即对任意的名gtv a 存 在f v a 使得z tf ，故下v a = n tf ：f v a ，即v a k ，k 对任意 存在的上确界封闭 ( 2 ) 任取z ，y k 若zay 存在，则有：下zay n t f ： f za 可) 若z gt xay 则z 芝zay 推出z 芝z 且z 芝剪从而 由tx = n tf ：f z ) ，y = n tf ：f ! ) 可知，存在b ，兄l 使 得足x ，日y 但z gt 兄，名窖1 毛令f = ba 毛，则由己知条件 可得只a 易zay 即f zay ，但z 下f ，故tzay = n tf ：f x a 可) 即zay k ，k ，对存在的有限下确界封闭 命题3 2 5 【1 6 】 设l 为拟连续偏序集，则： ( 1 ) uc l 是s c o t t 开集当且仅当对任意的x u ，存在非空有限集f l 使 得z i n t 盯( l ) 下f tf 厂 ( 2 ) 集族 i n t ，( l ) tf ：f lf 有限 构成一个s c o t t 拓扑基 命题3 2 6 16 】设l 为拟连续偏序集，则l 是拟代数偏序集当且仅当它 的s c o t t 拓扑o ( l ) 有一个由紧开集构成的基 引理3 2 1 设为d o m a i n 且对任意的z l ，上z 为下半格，对任意 的z l ，若0 z 存在则： ( 1 ) 0 霉是l 中的极小元，因此0 。0 茹 ( 2 ) 如果 o t ：i ) l ，v a i o 。则对任意的i ，o 口；= 0 z 第三章 拟连续函数空间 x 一纠 证明：( 1 ) 在三中，任取定向集d 若v de t0 。则对任意的d d ，由 于d ，o 上v d 而上v d 为下半格，故dao $ 存在，且dao 士o z ，d ，又 由d z 的定义可知： 故d z 0 。 c k = d a0 2 d ， ( 2 ) 口i ，i a ) l ，若v a i o 霉，则对任意的 有o 。，0 口。【v a , 又由 于上v o l 为下半格，故o zao 口。存在，且o zao 口；so z ，o n 。，而由o z 的定义可知： 故o z = o 口。 o z = 0 霉ao 口。o n 。， 0 。= o $ ao n 。o z 引理3 2 2 【1 6 1设l 是拟连续偏序集，若a = 下a 在s c o t t 拓 扑中是紧开的，则a 的每个s c o t t 开邻域u 包含一个有限集f 使 得as 礼如( p ) tf 1 if 矿而且a 所有包含它的有限生成的上集的 内部的定向交 命题3 2 7 1 6 】 设l 为拟连续偏序集，a l ，则a 是在s c o t t 拓扑中是紧开 的，当且仅当存在有限集f l 使得a = z 饿口( l ) tf = t f 命题3 2 8 1 6 】 设l 是拟连续偏序集，则： ( 1 ) 赋予s c o t t 拓扑，l 是局部紧的； ( 2 ) 赋予l a w s o n 拓扑，l 正则的，且就关系 ”在乘积空间lxl 上是闭集而 言是一个p o s p a c e 1 2 第三章 拟连续函数空问【x 一纠 3 3拟连续函数空间 定义 3 3 1 设x 为核紧空间，l 为拟连续l d o m a i n ，称函数空 间_ l 】是拟连续的，若对任意的f 【x 一引有tf = n ty ：y f ) 成 立，其中厂一纠表示有限函数族 由连续函数空间的定义及拟连续函数空间的定义可知，任何连续函数空间都是 拟连续的 定义3 3 2 设l 为d o m a i n ，若对任意的z l ，l 。为下半格，则 称l 为i l d o m a i n 引理3 3 1 设l 为拟连续i l d o m a i n ，a l ，f 一纠，若u q ( x ) ，u 尺。则f ( a ，以f ) 【x 一引 证明：对任意的b l 若0 b 0 口，则足6 n 足口= 0 ，记m i n i m a l ( l ) 为l 中 所有极小元构成的集合，由于c 厂g 氕口那么，氕b x u 对任意的有限集f l ，记日= fnm i n i m a l ( l ) ，由引理3 2 1 可知： f ( a ，以厂) f = u 。h ，。u 以h 0a n da 介只 u 。h ，。u = u 。h ，。，h 毋a n dn 粤介e u 0 成立，即f ( a ，以，) f q ( x ) 由连续函数定义可知f ( a ，f ) 一纠 h = 0a n da 介只 h = 0a n do 叠介f 例3 3 1 【7 】在上述引理中，条件u 凡口是必需的，反例：设l 为 1 3 第三章 拟连续函数空间一引 连续l d o m a i n ，如图x = l ，赋予s c o t t 拓扑，厂为恒同映 射，取u = b 1 ，幻，b 3 f l ( x ) 则 f 。，。z ，： 兰，二耋竺，三：兰：； 0 b ， z = 0 b 。 因此当取b = 0 b 时：f ( 0 3 ，u ，) b = 【0 b ) g q ( x ) 即f ( a 3 ，u ，f ) g x 一计 命题3 3 1 1 】设x 为一个拓扑空间，令l = 0 ( x ) ( 1 ) 任取v o ( x ) ，若存在一个紧子集qcx 使得u cq v ，则u v ( 2 ) 假设x 是局部紧的，则u v 当且仅当存在一个紧集q 使得u q v 引理3 3 2 设l 为拟连续i l d o m a i n ，a ，b l ，v q ( x ) ，i x 一纠若 b a 且v 欠口则f ( b ，vf ) f ( a ，口，) 证明：由上述引理可知f ( b ，v 厂) ，f ( a ，良。，f ) 【x _ l 】 设 v h j ) j 为一l 1 中的定向函数族，v h 3 f ( a ，口，厂) ，则 ( v b ) 6 = 屿b f ( a ，厂n ，) 6 2 氏。 又v 足口，且 吻b ：j ) 是定向的，故由w a y b e l o w 的定义 1 4 第三章拟连续函数空间f x 一引 可知劫o a 使得v h j o b 故由引理3 2 1 可知当z x y 时f ( b ，v 厂) ( z ) = 0 ( z ) 而此时 m 以扣k = = 由v j 心( z ) f ( a ，欠n ，厂) ( z ) 及引理3 2 1 可知 当z x y 时o f ( 功向。( z ) 又当z v 时f ( b ，k ，) ( z ) = b a = f ( a ，。，) ( z ) 故对任意的z x 有f ( b ，v 厂) ( z ) h j 。( z ) 从而f ( b ，k 厂) ( z ) f ( a ，。，) ( z ) 引理3 3 3 设x 为核紧空间，l 为拟连续l d o m a i n ，则对任意的 z x ，可l ，厂i x _ 纠，f ( x ) y 存在g 【x _ l 】满足，g ，且9 ( z ) = y 证明：任取跏x ，i x _ 剀，对f ( x ) ! 取h 一l 1 ，满 足h ( x ) = 【y ) 令9 = f vh ，则显然有g 一纠，且f 9 ，g ( x ) = ，( z ) vh ( x ) = y 故命题成立 说明：由上述引理可知：对任意f 【x _ 纠，有( t ，) ( z ) = 1 厂( z ) 命题3 3 2设x 为核紧宅间，l 为拟连续i l d o m a i n ，则函数空间 x _ l 】为 拟连续函数空间 证明：对任意的f 一l 】，由w a y b e l o w 的定义知： 弋| 冬n t 于：于 、 又对任意的z x ，f ( x ) l ，由于l 为拟连续l d o m a i n 故tf ( x ) = n tf ：f ，( z ) ) 对任意的有限集f ，( z ) 定义函数族厂：【f ( 凸，尺f ，厂) ) 口e f 1 5 第三章 拟连续函数空问 x 一纠 下证函数族厂厂 假设厂畚f 则由w a y b e l o w 定义可知： 存在定向函数族 h i 3 a 【x _ 纠满足 f v 但对任意的j 有g 丁芦 取y o 为介f 中最小元，x o ：- 1 ( y o ) 则 厂( z o ) = f f ( x o ) = y o 由于 ) j a ( x o ) 为定向集，且v ) j ( 如) 2 ，( 黝) 故有w a y b e l o w 定义存在j o a 使得( 黝) t t ( x o ) 即存在j o f 及a o f 满足f ( a ，足f ，i ) ( x o ) ( z o ) 而由z o 的取法及f ( a ，厂f ，厂) ( z ) 的定义可知 f ( a ，尺f ，) ( z ) 。( z ) ，与假设矛盾 故户， 于是可得对任意f 厂( z ) 存在函数族厂，满足户( z ) = f 且厂f 故可得 tf ：f 厂( z ) ) t 厂：厂，) ( z ) 从而n t 厂：厂t 厂) ( z ) n tf ：f 厂( z ) ) 即n t 尸：丁，) ( z ) c _ tf ( x ) = ( 下，) ( z ) 故n t 厂：厂厂) tf ( x ) 综上可知：n t 厂：厂厂) = ，f ，( z ) 从而可知_ 纠为拟连续函数空间 1 6 第四章 尸一拟连续函数空问 x 一纠 既约元和素元在格理论中扮演着重要的角色，特别的在分配格中素元和既约元 是等价的它们是分配格表示定理的基础本章主要定义了依赖于素理想的序关 系，并在序关系的基础上定义连续性，讨论相关性质 4 1 预备知识 设l 为偏序集，定义p ( l ) 上的序关系，任取g ，h p ( l ) ，g h 当且仅 当t 日丁g ，显然这仅仅是一个预序关系，而不是偏序关系，因为它不具有反 对称性我们说集族厂是定向的，若任给集合日，足歹，存在集合f 芦使 得r ，f 2 f 即f t 日nt 尼本节定义命题参见文献【2 】 定义4 1 1 设l 为偏序集，p l 叫做素元当且仅当p = 1 或者趴ip 是一个 滤子 m ，= 卜二 第四章p 一拟连续函数空间 x 一纠 定义4 1 2 设l 为偏序集，理想，l 称为素理想，若满 足：比，y l ，若x y ，则x i 或y i 对偶的可以定义素滤子 记p r i m e ( i d l ) 为偏序集l 的所有素理想构成的集合，f i n ( l ) 为l 的所有 有限集构成的集合 命题4 1 2 设l 是一个偏序集，j 为l 的一个理想，则下列命题等价： ( 1 ) j p r i m e ( i d l ) ； ( 2 ) l 是一个滤子或空集 若l 是一个半格，则上述条件等价于： ( 3 ) 对任意的x ，y l ，若x y i 则x i 或者y i 4 2 p 一拟连续偏序集及其函数空间 定义4 2 1设l 为偏序集，称f - 4 - _ x 若对任意的素理想i p r i m e ( i d l ) 若v ，存在，且v i x 有，ntf d 成立 f 日当且 仅当对任意的x h 有f z 成立 命题4 2 1 设为定向偏序集，若集族s i n ( z ) = f ：f 有限 且f z ) 为f i n ( l ) 上的素理想，且n tf ：f f i n ( x ) = tz ，则称l 为p 一拟连续偏序集 显然上述定义等价于：对任意的z g 存在f f i n ( x ) 使得y gtf 但z y 由 一 的定义我们可以看出：在一般情况下z 一 可笋x y 反例如下： 例4 2 1 设l = n ，b ，c ，d ，e ) 定义序关系如下图： 1 8 第四章p 一拟连续函数空间f x 。l 1 e 显然有l 是唯一的素理想，故b 一 c ，c _ d ，但是显然6 区c ，c 区d 命题4 2 2 设l 为p 一拟连续偏序集，则 为辅关系，即满足： ( 1 ) x y 兮z y ； ( 2 ) u z - - - y z 兮乱 _ z ； ( 3 ) 若存在最小元0 ，则0 _ _ x 证明： ( 1 ) 由于l 为p 一拟连续偏序集，故ty = n tf ：f y ) ，由z y 可 知，fz tf ：f 可) ，故对任意的z n tf ：f 一 一 y ) 有z z ，又n 1f ： f _ 矽) = ty ，所有z y ( 2 ) 对任意的j p r i m e ( i d l ) ，若v i z 由于y z 故v i y ，又z _ _ y 所以由一 的定义可知i m 下z d ，又u z ，1 izc _ tu ，故mtx i n1 u ，从 而，nt 钆0 ，故乱 z ( 3 ) 由 _ 的定义可知显然成立 引理4 2 1 设己为偏序集，集族厂为l 的非空有限子集构成的理想，则存在 理想，u f e 乒 f 使得对任意的f 厂有fn ，仍 1 9 第四章 p 一拟连续函数空间【x l 】 证明： 由于户为素理想，显然是定向的，由引理3 2 4 可知：存在定向 集d u f ，f ，使得对任意的f ，有dnf d 令i = u td ： d d ) ，由d 为定向集可知，为定向集，又，显然为下集，故j r 为理想由 于d u f ，f ，故对任意的d d ，存在f o 厂使得d f o 于是对任意 的y d 存在有限集f = f o d ) n 【可) 满足岛tf ，由于，为理想，故可 知f 芦，故j ，d a f ，f ，从而，= n 土d ：d d ) n f ，f 又由于对任意 的f 厂，fnd d ，从而显然有，nf 0 故命题成立 引理4 2 2 设三为偏序集，则l 的所有素理想在集合的反包含序关系下构成 上半格 证明： 对任意的j r l ，j 1 2 p r i m e ( i d l ) ，由厂中偏序关系的定义可 知 u 如为厶，如的上确界对任意的x ，y l 由zay 厶u 厶推 出xay 厶或xay 1 2 又由于 ，如为素理想，故可得x j r l 或y j r l 或z 厶或y 如，故1 1aj 1 2 = 厶u 厶为素理想，故p r i m ( i d l ) 中的有限子集有上确 界，故为上半格 命题4 2 3 设l 为偏序集，厂为l 的非空有限子集构成的定向子集族，且 在集合的反包含关系序下构成素理想，若尸r ，m ( ，扎) 构成格，则存在素理 想，u f ，f ，满足对任意的f 户有jnf 仍成立 证明： 考虑满足以下条件的集合e n f ，f ： ( 1 ) 对任意的f 尸，enf o ； ( 2 ) f g 厂，f _ c tf 令e ng _ c t ( enf ) ( 3 ) 对任意xay e 寺z e 或y e 且e = j ，e 显然满足这种条件的集合是存在的，例如u f ，f 将满足上述条件的所有 集合按包含关系排序，则有选择公理可知，存在一个极大链，取，为极大链中集 合的交，则有f 的有限性可知：对任意的f ，fn ，国，同理，也满足条 第四章 尸一拟连续函数空间 x 一】 件( 2 ) ，又因为p r i m ( i d l ) 构成格，故j 也满足条件( 3 ) 假设存在z 使得对任 意的f 歹有n ，) 下x ，可以验证八下z 仍然满足条件( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，这与，的 极小性矛盾，因此对任意的x i 存在b 厂使得( bn ，) c _ tz ，任取z ，可g ，则 存在f 厂使得b ，乃f ，因此fn ，t ( eni ) nt ( 日nj r ) c _ tx mty ，因 此j 为定向的，又因为，满足条件( 3 ) ，故j 为素理想 推论4 2 1设三为偏序集，若p r i m ( i d l ) 构成格，为己的非空有限子集构 成的素理想，若有限集g _ 日且n