（基础数学专业论文）外代数上复杂度为2的koszul模的扩张.pdf

摘要 外代数是一类有着很强应用背景的代数，在张量分析，微分几何， 代数几何，拓扑学等领域有着广泛的应用。 e i s e n b u d 在【1 】中研究了外代数上的周期模。郭及学生用不同的方法 研究了这类模一一复杂度为1 的k o s z u l 模( 3 】) ，推广了t a m e 代数的管 范畴理论。郭及学生对外代数上k o s z u l 模进行了系列的研究( 3 】 4 】【5 】【6 】) 。 在【5 】5 中引入了复杂度为2 的极小k o s z u l 模，这样的模是复杂度为2 的 循环模的合冲模，而其表示矩阵具有 卜：) 形状 模的扩张是模的研究中重要和有趣的工作，与导子的计算、同调 群都有密切联系而t a m e 遗传代数研究中对管范畴整体研究就源自 k r o n e c k e r 代数单模具有p - 簇的扩张本文研究两个复杂度为2 的极小 k o s z u l 模m = f t m - 1 h ( a ，b ) 与l = 印a ( a ，b ) 的扩张的问题这时，m ，l 的表示矩阵分别为 a 1 = 、i i和b i = 巩删m 如果0 一m 一一l _ 0 正合且是k o s z u l 模，称为m 借助 工的一个扩张k o s z u l 模 我们的研究仍然应用表示矩阵的方法通过对扩张模的表示矩 阵的计算，得到一系列结果。并在这些结果的基础上，我们分析了m 借助工的两个扩张模l ，2 的同构问题，得到1 ，2 同构必须满足的 条件 从而，我们证明了下列的主要定理 n 、， l + 住 ( 、l一、 口6 定理4 4 ：设k 是代数闭域，y 是k 上的q 维向量空间，a 是y 的外 代数，m 、工如上定义。则当m 咒+ 1 时，m 借助l 的一个扩张k o s z u l 模构成一个p ( 2 - - m ) ( q _ 2 ) 一1 簇。 由这个定理我们可得到下面有趣的推论。 推论4 5 ：m 、l 如上定义，若m 礼+ 1 ，而是m 借助l 的一个 扩张k o s z u l 模则有a ( a ，b ) 借助g t - + 1 ( h ( a ，妨) 的扩张k o s z u l 模， 使n ：q m 一1 n , 关键词：k o s z u l 模，复杂度，扩张，表示矩阵，同构 i i a b s t r a c t e x t e r i o ra l g e b r a ，w i t hs t r o n ga p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，c a nb eu s e di nt e n s o r a n a l y s i s ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , a l g e b r ag e o m e t r y , t o p o l o g y , a n ds oo n e i s e n b u d ( 1 ) h a v ed o n e8 0 m er e s e a r c ha b o u tp e r i o d i cm o d u l e w i t hh i ss t u - d e n t s ，g u od e s c r i b e dk o s z u lm o d u l e so fc o m p l e x i t yo n e ( 【2 】 3 】) b ym e a n so fa l l - t h e rm e t h o d ，w h i c he n r i c h e dt h et h e o r yo ft u b ec a t e g o r yo ft a m ea l g e b r a w h a t s m o r e ，g u oa n dh i ss t u d e n t sh a v ed o n eas e r i e so fr e s e a r c ho nk o s z u lm o d u l eo v e r e x t e r i o ra l g e b r a ( j 3 4 5 6 ) ，a n di n 5 j ，h eb r o u g h ti nm i n i m a lk o s z u lm o d u l eo f c o m p l e x i t yt w o ，w h i c hi st h es y z y g ym o d u l eo fc y c l i ck o s z u lm o d u l eo fc o m p l e x i t y t w o ，a n di t sp r e s e n t a t i o nm a t r i xh a st h ef o l l o w i n gf o r m t h ee x t e n s i o no ft w om o d u l e si sa l li m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gp a r to ft h e s t u d yo fm o d u l e s m a di ta l s oh a sa ni n t i m a t er e l a t i o nw i t ht h ec o m p u t a t i o no f d e r i v a t i o na n dh o m o l o g i cg r o u p ，b u tt h et o t a lr e s e a r c ho nt u b ec a t e g o r yi nt a m e h e r e d i t a r ya l g e b r ac o m e sf r o mt h a tt h es i m p l em o d u l eo fk r o n e c k e ra l g e b r ah a s p lv a r i e t ye x t e n s i o n i nt h i sp a p e r ，w em a k ee f f o r t st or e s e a r c h i n go nt h ee x t e n s i o no ft w om i n i m a l k o s z u lm o d u l e sm = q m - 1 a ( a ，b ) a n dl = q n - 1 a ( a ，b ) o f c o m p l e x i t yt w o ，w i t h t h ep r e 8 e n t a t t o nm a t n c 鹤o fm 工a r e a 1 = ( 詈： ( 芸苫) 。蚪岍。r e s p e c 廿v e u i i i a i 6j ( r e + 1 ) l m a n db 1 ：= k o s z u lm o d u l e ，a n dt h e n 、l、 口6 口6 ，。一 w es t i l la p p l yp r e s e n t a t i o nm a t r i xt od or e s e a r c ho ne x t e n s i o nm o d u l u s ，a n d t h ec o m p u t a t i o nc o n t r i b u t e st oas e r i e so fr e s u l t s b a s e do nt h e s er e s u l t s ，w e a n a l y z et h ep r o b l e m so fi s o m o r p h i s mb e t w e e nn 1a n dn 2 ，a n dw ek n o wt h a t s o m ec o n d i t i o n ss h o u l db es a t i s f i e dw h e nt h e r ei sai s o m o r p h i s mb e t w e e n 1a n d n 2 t h e r e f o r e ，w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tt h e o r e m t h e o r e m4 4 ：l e tkb ea na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d v b ea nm - d i m e n s i o n a l l i n e a rs p a c eo v e rk ，a = a v b et h ee x t e r i o ra l g e b r ao v e rv m ，lb ea sd e - f i n e da sa b o v e t h e nt h ek o s z u lm o d u l ee x t e n d e df r o mm b ym e a n so fli sa p n + 2 一m ) ( q 一2 ) 一lv a r i e t yw h e nm n + l 时，可适当选取p 2 ( m ) op 2 ( l ) 、p 1 ( m ) op 1 ( 厶) 、p o ( m ) op 0 ( l ) 的基，使得c - 、c 2 的元素都属于l ( 口) 并且存在k 上的m + 1 ) m 阶 矩阵k ，使得c 1 = k a = ( k i j a ) ( n 十1 ) m ，而c 2 = f ：，：) u n o ( n + 2 ) ( m + 1 ) 而当m n + l 时，可适当选取p 2 ( m ) op 2 ( l ) 、p 1 ( m ) p 1 ( l ) 、p o ( m ) o p o ( 三) 的基，使得c 1 = c 1 1 + c 1 2 ，俨= c 2 1 + 俨2 满足下列条件。 1 、c 1 1 ，伊1 的元素全属于l ( o ) ，并且c 1 1 ，俨1 的关系是俨1 是在 c n 的基础上加个全为0 的边放在第一行、第一列 2 、在c 1 2 ，c 2 2 中，同一对角线的元素相等，若设他们分别为d 。，d 2 ，如一m + 。， 则 c z z = c 1 2 = = d 1 如 厶一m + 2 4 d 1 如 d n m + 2 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 果。 其中d 。，d 2 ，厶一m + 2 都属于l ( a ，b ) 的某一个补空间。 我们的主要定理的证明主要来自下面关于扩张k o s z u l 模同构的结 1 、2 分别为m 、三的两个扩张模，其表示矩阵分别为： 其中 a = ( c ab 。) 和( 。a 三) a b 。 。o b ，b = 可设c = c 1 + 俨，d = d 1 + d 2 其中 c 2 = 5 0 6 ( n + 1 ) d 2 = = d 1 d 2 厶一m + 2 硕士学位论文 d 1 如 以一m + 2 c 1 、d 1 中的元素属于三( o ) 厶一m + 2 ( n + 1 ) x m 存在同构映射h 。，h 2 及交换图 量矸互p o 里m _ 0 上 2j l【g 量砰g 焉譬m 一0 h 。对应的矩阵 版晶 中非 如 为 6 以如 、lj 心 勉 k k u 姐 形 = ， 、-、 挖 恐 s s 设 小咀 心 口舻 瓦 日 = 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 2 预备知识 在探讨外代数上k o s z u l 模的扩张问题时，下列概念是需要了解的 设k 为域，y 为k 上m 维空间，t ( v ) = ko vo ( yo v ) o 为y 的 张量代数，外代数a = a v 定义为t ( v ) 的商代数a = t ( v ) i ，其中，为 由 。xlz y 生成的理想 a = i + = 0 0 0 凡称为分次代数，若对任意的t ，j ，a t a j ”m = 善。m t 称为分次人一模，若对任意的z ，j ，a ；m j 坛廿设a o 为一个半单代数，记 r = e a ；，则7 是a 的理想，当人为有限维时，r 即a 是的根 对于任意整数n ，定义移位模m n 】= 扛+ c o 一蟛，其中蟛= 必佃 如果m ，是两个分次模，a 是一个确定的数，如果，是m 到使得 ，( 鸠) c k 。的态射，则称，为一个a 次态射 用g r m o da 表示有限生成的分次a 一模范畴，对象集为有限生成的 分次a 一模全体，态射为0 次模同态一个模m = 扛+ c o 。尬称为t o 次生 成的，若存在t o ，当t 0 ，且d i m p 。( m ) a t d - 1 对几乎所有的 t 均成立的最小的数d ， 外代数是一类重要的自入射k o s z u l 代数本文中我们假设k 是代数 闭域，y 是k 上一个q 维向量空间，a v 为y 上的外代数下面两个重 要的引理对我们的研究是基本的 引理2 1 ：设k 是代数闭域且v ，v 2 ，t j t 是v 中t 个线性无关的元 素，t ，已，& 是v 中的t 个元素，若在外代数a v 中有：，仇6 = 0 ，则 7 硕士学位论文 已在由u ，t j 2 ，饥所张成的y 的子空间l ( v ，口z ，仇) 中 证明：见 2 。 【2 6 】中引入了层维数向量与l o e w y 矩阵的概念 设a = ：oa i 为分次代数，h o 笺研o o & ， & 1 1 i n 为a 上的 互不同构的单模，则任意有限生成的人模均有合成列：o = m r m m o = m 用m ；表示 m j 一- 坞1 1 歹r ) 中同构于8 i 的个数定义 d i m m = ( m 1 ，m n ) 设a = o 銎o a im 为t o 次生成的有限生成分次a 模， 若m 无投射模作为直和项，则r m m = 0 ，且m = 舰。+ m t 。+ l + + m t 。棚一1 自入射代数上的模m 的层维数向量定义为( 【2 6 】) d i m ( m r m ) d i m ( m t o ) ：lm m ( r m l d i m m户m l ：lm m ( 舰。+ 1 i= ii = l 、 l l ； ll j l d i m ( r m - 1 m ) - d i m ( m r 。+ m 1 ) 设a = a v 为m 维的向量空间y 上的外代数，则a 的l o e w y 矩阵为 【2 6 】中证明如果m 是k o s z u l 模，则i d i m q 。m = l q d i m m 设a y 是向量 空间y 上的外代数，a 。，a 。，a t 是y 中t 个线性无关的向量，( a ，a 2 ，a t ) 是a l , 0 2 ，a t 生成的a v 的子模，则a v ( 0 2 ，口t ) 是循环k o s z u l 模。 令一t = ，1 t m 为m 维列向量，且l d i m ( a v ( 口1 ，a 2 ，8 t ) ) = 8 o 0 ；o o 0 0 ：o 0 d o ；o om哆：钎l，jfj-l_-_-_-_l-_一一 ： l l四；印l o ；o 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 饥，t ，是m 维列向量空间的基，从而人上的任意k o s z u l 模的层 维数向量可由v 2 ，线性表示。 引理2 2 ：设y 为k 上的m 维线性空间，a 为y 上的外代数，m 为复 杂度为2 的不可分解循环k o s z u l 模，则m 有极小投射分解 一p t ( m ) 乌一p 2 ( m ) 乌p i ( m ) 乌p 0 ( m ) 鱼m 一0 满足p 。( m ) 竺( t + 1 ) a i r ，亡0 证明：由文献【2 3 】定理3 7 ，m 竺a ( w ) ，这里d i m v ，- 2 将中线 性无关的向量组z 1 ，z 2 扩充成y 的基t ，1 = z l ，忱= z 2 ，一2 ，“v m 令为以v 3 ，v 4 ，为基的子空间，则作为代数m 垒a v ，故 所以 l d i m m = l q d i m m ：= t l 曝一。 碾一l 晖； 1 l 镌一2 c ，2 n 一2 g 糟 0 += 咖1 + 忱 由于a 的箭图只有一个顶点，故其唯一不可分解投射模为a ，故由 文献 2 6 】定理1 4 我们有 p ( m ) 竺( t + 1 ) a 由于人为0 次生成的，而p ( m ) 竺( t + 1 ) a 为t 次生成的，故对t 0 ， 我们有 9 硕士学位论文 ! ! ! ! = = = ! = = = = = ! ! = = = = = = = = ! ! ! = = = ! ! ! ! = ! ! ! ! ! ! ! ! = ! = 2 1 1 = = ! = ! e ! = = = = = ! ! ! = ! = = ! = = = = p ( m ) 竺( t + 1 ) a i r 】 由引理2 2 ，我们知道复杂度为2 的不可分解循环k o s z u l 模对应的 极小投射分解为一( + 1 ) a i r 乌一3 a 2 1 乌a 【1 】乌a 【o 】鱼m 一0 。 我们分别取定( t + 1 ) a m 与t a t 一1 】的基e # e 理，与e ? 一1 1 e p 因为 ( e t a t 一1 1 ，所以可以设 ( e = j t ：。o g e ，- 1 所以有 ( e 耸。) 口揪 。鬟j n 缇 口垃 e 1 ) e 彗- 1 ) e p ) 称a t = ( q 乞) t + 1 。为 对应的矩阵，其中a 1 称为m 的表示矩阵，由 于五是零次映射，且硝) 1 1 i 1 ) 是0 + 1 ) 人【叫中的t 次齐次元素， 而磁纠) 1 1 i t ) 为t a t l 】中的t - 1 次齐次元素故。g 人l = k1 i t + 1 ，1 j 亡。 若改变 + 1 ) 人嘲的基为e ( “e 蹈，则存在元素属于后的可逆矩阵 p ，使得 由( 1 ) 有 ( 篓) = p ( 萋；) c p ( 萋) ，= a t ( e ? _ 1 e 以 由于p 中元素属于k ，且p 是可逆矩阵，有 、li7 、，、，f t “k婶哆h砖婢21 ”+ ( t o ， 1吩+( 0 、-，、， 、j 0 l 0 2 e e ； ，i，i 五 一 一 ；一 0 l 0 2 0 f e e e ，-。i。i1_。i一 a p 加 i | 、lllil，； ，jii。-。一 五 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 五 + z ( 三耋i ) = ( 篓三兰萎；，裳a ( t + d 。) ( 雯) =(兰鬟薹三篷薹；煮a(t+la(t+l。) ( 霎。霎。；篓。 ( 量三薹： 一l 口口“。h i iio 射；。浆l le ，2o l 铷n 冀器。o 。口。口。e ，m 川一吼t 、 l 之。二：二。 等行和列变换后a 不能写成形如( a 1 羔) 的对角块的形式根据定 1 1 ， 硕士学位论文 的形状，其中a ，b 为空间y 中线性无关的元素我们称这样的模为 一个极小循环长度为t 的( a ，b ) 型复杂度为2 的极小k o s z u l 模则我们 有： 定理2 3 t 设m 为一个循环长度为t 的( a ，b ) 型复杂度为2 的极小 k o s z u l 模，则m 笺q 扣1 a 叫( 口，6 ) ，即它是循环k o s z u l 模人叫( 口，b ) 的t 一1 次合冲模 根据【5 】，复杂度为2 的极小k o s z u l 模的扩张对研究复杂度为2 的 k o s z u l 模非常重要。给定y 中线性无关的元素口，b ，本文我们探讨具有 不同循环长度的( o ，b ) 型复杂度为2 的极小k o s z u l 模的扩张问题 1 2 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 模的扩张的表示矩阵 设m ，三皆为复杂度为2 的极小k o s z u l 模，则存在非负整数m ，礼及 线性无关向量对a ，b 和a 7 ，6 ，使m = 缈( a v ( o ，6 ) ) ，l = 妒( a v ( 0 ，6 ，) ) 我 们设a ，b 与u p ，6 ，张成同一个子空间，即l ( a ，b ) = l ( ，6 ，) ，由【2 3 】可设它 们的表示矩阵分别为 a 1 =和b 1 = 口 b + 下面我们来考虑m 借助l 的k o s z u l 扩张模 若有正合列0 _ m _ 一三一0 ，且是k o s z u l 模，则称是模 m 借助三的k o s z u l 扩张模，本节我们讨论k o s z u l 扩张模的表示矩 阵 若m ，l 分别有极小投射分解 一p t ( m ) ，婴_ 尸2 ( m ) ，婴p 1 ( m ) ，驾p o ( m ) ，1 m 一0 和一p ( l ) ，9 _ p 2 ( 三) ，蛩p 1 ( l ) ，粤p 0 ( 三) ，粤l _ 0 则由马蹄引理，我们有： 000 | ，li f l _ ( m p 1 ( m ) ，y p 0 ( m )掣m 一0 上l上 ，2 一( n p 1 ( m ) p 1 ( 三) ，i 一( n p o ( m ) op o ( l ) 掣n 一0 上l上 ，_ 2 ( l p 1 ( l )，p o ( 三)磐l 一0 ll土 o00 而一p 。( m ) o p ( l ) ，写一p 2 ( m ) ( g p 2 ( l ) ，2 _ ( n p 1 ( m ) o p l ( l ) ，i _ ( n p ( m ) o p o ( l ) ，写n _ 0 是n 的一个极小投射分解。这时，有 1 3 硕士学位论文 九仆( ，如 而f i ( ) 对应的矩阵 现= ( 勰) 从而，模的表示矩阵为。= ( c a ：b 0 。) 由投射分解的性质我们有，1 ( ) ，2 ( ) = 0 ，d 2 d 1 = 0 也就是说，( 俨a 2b 0 。) ( c a l 。三。) = 。 利用这一等式我们可以确定c 1 与俨的关系 由分块矩阵乘法规则得到， a 2 a 1 = 0 ，b 2 8 1 = 0 ，c 2 a 1 + b 2 c 1 = 0 由【6 】预备定理3 3 可知， a 2 = b 2 = 我们有下列重要引理 口 b 1 4 ( m + 2 ) ( m + 1 ) 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 引理3 1 ：如上所述的复杂度为2 的k o s z u l 模m ，三，他们的扩张模 有如上的投射分解，f t ( ) ，2 ( ) 对应的矩阵分别为。t = ( c a ：b 0 。) ，d 2 = ( 喾三) ，静啪棚u 1 、对i z 一1 ，c _ l ( a ，6 ) ， 所以，对于j + 1 z ，霞件1 i ( a ，6 ) ， 同时，对于j l ，c “1 i ( a ，6 ) ， 所以，引理的1 对于第z 行成立 最后，只需验证当m n + 1 时，引理的1 对于俨的第n + 1 行也成 立 由磋+ 1 j 口+ 磋+ 1 j + 1 b + b 1 j = o ，j = 1 ，2 ，m ， 硕士学位论文 故有+ l ，件1 一畦，l ( a ，6 ) ，j = 1 ，2 ，m ， 由于j n 时，吐f l ( a ，6 ) ， 所以，对于j + l 佗+ 1 ，+ l 件1 l ( a ，6 ) 所以引理的1 对于俨的第n + 1 行也成立 综上，1 得证2 可从右下角元素出发同理可证 由上述引理可以看出，下三角块元素中，过第1 行第1 列元素的 对角线以上和过最后一行最后一列元素的对角线以下所有元素都属于 卜：、1 l ( a ，6 ) ，即i 1 中，：代表的元素全属于三( n ，6 ) 这就是说，矩 卜j 阵c - 、俨的元素构成与矩阵本身的形状有很大联系所以，下面通过 比较他们行数与列数的大小来分情况讨论它们的元素构成 一、当m 几+ 1 时，我们有下面的定理 定理3 盔设m 三，。= ( c a ：三。) ，现= ( 答；) 如引理3 1 所 述则当m n + 1 时，c 。、伊的元素都属于l ( a ，6 ) 证明：当m 扎+ 1 时，c 1 、伊中每一元素c ：f 的足标或满足引理3 1 的1 的条件，或满足其2 的条件，故由引理3 1 知结论成立 在的极小投射分解中，由于改变p 2 ( m ) o p 2 ( 三) 的基，相当于对 2 进行一系列初等行变换；改变p 0 ( m ) op 0 ( l ) 的基，相当于对l 进 行一系列初等列变换；改变p - ( m ) op ( l ) 的基，相当于对飓进行一 系列初等行变换的同时对l 进行一系列相应的初等行变换因此，我 们可适当选取p 2 ( m ) op 2 ( l ) 、p 1 ( m ) op 1 ( 工) 、p o ( m ) op o ( l ) 的基，使 c 、俨具有某种特殊形式可得下面的定理 定理3 s 设尬工，。= ( c a ：b 0 。) ，。z = ( 喾晏) 如引理3 - 所 述。则当m n + l 时，可适当选取p 2 ( m ) o p 2 ( l ) 、p 1 ( m ) o p l ( ) 、p o ( m ) o p o ( l ) 的基，使得c 1 、c 2 的元素都属于三( 口) 。并且存在k 上的m + 1 ) m 阶 矩阵k ，使得c 1 = k 。= ( 。) c 时1 ) 。，面c 2 = ( 三三) ， 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 证明：当m n + l 时，由定理3 2 可知，c t 、俨的元素都属于l ( a ，6 ) 即c 1 = ( 磕o + f 刍6 ) ( n + d 。 俨= ( 碍o + 吃6 ) ( 。+ 1 ) m 显然，在c - 中，可通过减去a 的某些行的若干倍消去珐6 ，也就 是说通过对d 。进行一系列初等行变换，也即改变p 1 ( m ) op 1 ( l ) 的基， 使得c 1 的元素全属于l ( 口) 当然，改变p 1 ( m ) op t ( 三) 的基的同时，也对相当于对d 2 进行了一 系列相应的初等列变换即d 2 的前礼+ 1 列减去后m + 1 列的若干倍 由于m 佗+ 1 ，故b 2 不变，a 2 发生了若干改变，而伊的元素仍全属 于l ( a ，6 ) 若改变之后的矩阵仍用原来的记号表示，则有d 。d 。= 0 ，故仍然有 如a l = 0 ，由【6 】定理的方法可知，可通过改变p 2 ( m ) o p 2 ( l ) 的基，使 得a z 变回原来的形状 再经过如同上面处理同样的方法，在俨中，可通过减去a 2 的某些 行的若干倍消去昏，也就是说通过对岛进行一系列初等行变换，也即 改变p z ( m ) op z ( l ) 的基，使得俨的元素全属于三( o ) 至此已证定理 的前半部分，下面再来分析c - 、俨的关系 由于已证得c 1 、c 2 的元素全属于l ( o ) ，仍记c 1 = ( k 。s ，口) ( 。+ 1 ) 。，俨= ( 磕n ) ( n + 2 ) ( m + 1 ) 由( 俨a 1 + b 2 c 1 ) ( 1 ，j ) = 0 歹= 1 ，2 ，m ， 故有k 2 l , j a 口+ + 1 0 b + a 吐，a = o ，歹= l ，2 ，m ， 因此，磕件l = o ，j = 1 ，2 ，m ， 即后 j = o ，j = 2 ，m + 1 这就是说，俨的第一行除第一个元素，其它元素都为0 同时，可用a 2 的第一行的( 一碍) 倍加到俨的第i 行，i = 1 ，2 ，n + 2 ， 从而将俨的第一列全化为0 ，这样，俨的第一行、第一列全化为0 了 接下来考虑( c q a l + b 2 c 1 ) ( i ，歹) = o ，歹= 1 ，2 ，m ；i = 2 ，n + 1 由磕j 口口+ 磋升l o b + b k i l ，j a + a k 钳1 n = o ，j = 1 ，2 ，m ；i = 2 ，n + l ， ( 后i 件l 一爆l ，) n b = 0 ，j = 1 ，2 ，m ；i = 2 ，礼+ 1 由于a 、b 线性无关，所以a b 可看作人的一组基里的一个元素， 所以，磋件1 = 后l 1 歹= 1 ，2 ，m ；i = 2 ，n + 1 再考虑( c 2 a 1 + b 2 c 1 ) ( 扎+ 2 ，j ) = o ，j = 1 ，2 ，m ， 砖+ 2 , j a a + 镌+ 2 j + 1 a b + b 砖+ l ，j a = o ，歹= 1 ，2 ，m ， 1 7 同上道理，可得 综上所述，可得 即有俨 硕士学位论文 ：镌+ 2 j + 1 = 砩+ 1 j ，j = 1 ，2 ，m ， ：= 庇l l j l ，j = 2 ，m + 1 ；i = 2 ，r t + 2 。 =o 0j。苎0三n；篓兰三口 驰2 = ( 三甜 二、当m n + 1 时 将a ，b 扩充为y 的一组基口，b ，e l ，c 2 ，c 口一2 ，令c 1 = c 1 1 + c 1 2 ，c 2 = 6 , 2 1 + c 2 2 ，其中c 1 1 、6 , 2 1 中所有元素都属于l ( o ，6 ) ；c 1 2 、c 2 2 中所有元素 都属于l ( c l ，c 2 ，勺一2 ) 我们有下面的重要定理 定理3 山设尬工，。- = ( c a l 。三。) ，玩= ( 俨a 2 ；) 如引理3 1 所述。c 1 = c n + c 1 2 ，俨= c 2 1 + c 2 2 ，其中c 1 1 、c 2 1 中所有元素都属于 l ( a ，6 ) ；c 1 2 、c 2 2 中所有元素都属于l ( c l ，c 2 ，白一2 ) 则当m 铊+ 1 时， 可适当选取p 2 ( m ) op 2 ( l ) 、p 1 ( m ) op 1 ( l ) 、p 0 ( m ) op o ( l ) 的基，使得 1 、c 1 1 、c 2 1 的元素全属于l ( o ) ，并且c 1 1 、俨1 的关系是俨1 是在c 1 1 的基础上加个全为。的边放在第一行、第一列，即俨l = ( ：0 。) 2 、存在d 1 ，d 2 ，如一m + 2 l ( c 1 ，c 2 ，吼) ，使得 c 2 2 = = d 1 d 2 如一m + 2 d l 如 如一m + 2 1 8 d l d 2 d n m + 2 ( n + 2 ) x ( r e + 1 ) ， c 1 2 d l 如 d l ； d 2 d n m + 2 ； 。 d n m + 2 ； 证明：由等式c 2 a 1 + b 2 c 1 = 0 ，得 d 1 d 2 d n m + 2 ( 俨1 + c 2 2 ) a 1 + b 2 ( c 1 1 + c 1 2 ) = 0 即：( c 2 1 a 1 + b 2 c 1 1 ) + ( c 2 2 a 1 + b 2 c 1 2 ) = 0 由于a ，b ，c l ，c 2 ， ( n + 1 ) ，c 口一2 是y 的一组基，c 1 1 、c 2 1 中元素都属于l ( a ，6 ) ，c 1 2 、沪 中所有元素都属于l ( c l ，c 2 ，勺一2 ) ，故有c 2 1 a 1 + b 2 c 1 1 = 0 ，萨a 1 + b 2 c 1 2 ：0 。由c 2 1 a 1 + b 2 c 1 1 = 0 和 p 2 ( m ) op 2 ( 三) ，p 1 ( m ) 元素全属于三( o ) ，并且 又有c 2 2 a 1 + b 2 c 1 2 = 0 ， 定理3 4 的证明可知，适当选取 op 0 ( l ) 的基，可使c 1 1 、c 2 1 的 其中c 1 2 、c 2 2 中所有元素都属于l ( c l ，c 2 ，c q 一2 ) 由引理3 1 可知，c 他，c 2 2 具有如下形式： c 罂m + 2 l 彦； 之 罄m + 3 2 1 9 c 飘l 。m + l 霹备2 m + 1 弓尊2 。m + 1 ( n + 2 ) x ( m + 1 ) 2 d 2 d 聋孝 硕士学位论文 c 1 2 = c j 端 ： 1 2 一m + 2 1 c 1 2 2 啦 景m + 3 2 ，! 1 2 。m t n c ，n 1 2 + 1 m c t l 2 + l ，m ( n + 1 ) x m 由于( c 2 2 a 1 + b 2 c 1 2 ) ( i ，j ) = 0 ，j = 1 ，2 ，m ；i = 2 ，n + 1 ， 即嘭口+ 嚼+ l b + b 啦! j + a 噶= 0 ，j = 1 ，2 ，m ；i = 2 ，n + 1 ， 所以( 嚼一4 3 ) 口+ ( 哟+ l 一尝1 ，j ) b ，歹= l ，2 ，m ；i = 2 ，札+ 1 由于钙，蠕，吃 鹾。j 都属 2 ，n + l ，故有 2 ，n + 1 ，而 彰一喵、秀+ - 一鹾，j c 1 ，c 2 ，吼 于l ( c l ，c - 2 ，勺一2 ) ，j = l ，2 ，m ；i = 都属于l ( c l ，c 2 ，像) ，j = 1 ，2 ，m ；i = 与o ，b 线性无关，所以有豸= 钙，哟+ - = 啦! ，j ，歹= 1 ，2 ，m ；i = 2 ，竹+ 1 再加上由( c 2 2 a 1 + b 2 c 1 2 ) ( 1 ，1 ) = 0 和( c 2 2 a 1 + b 2 c 1 2 ) m + 2 ，m ) = 0 所 确定的两个等式， 喂a + a c l l i l 2 = 0 ， 同上的道理可得， c 稳2 。竹t + 1 6 + bc n l 2 + l ，m = 0 ， 岛= c 1 l i l 2 ，c 磐2 ，m + l = 1 2 + 1 m 综合前面的等式，得到钌= 哟，罄l j + l = 哟，j = l ，2 ，m ；i = 1 ，2 ，竹+ 1 这也就是说，在c 1 2 、俨中，同一对角线的元素相等，不妨设每一 条对角线的元素分别为d 。，d 2 ，厶一m + 2 ，则c 1 2 、c 2 2 可写成： d 1 d 2 d n m + 2 d n m + 2 d 1 c f 2 巩一m + 2 ( n + 2 ) ( m + 1 ) 以如； 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 c 1 2 = d l 如 如一竹l + 2 c f l 如 如一m + 2 其中，d 。，d 2 ，厶一m + 2 都属于l ( c l ，c 2 ， 2 1 d 1 d 2 如一m + 2 ，c k ) ( n + 1 ) 仇 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 4 扩张模的同构问题 如上章所述，m 、l 为复杂度为2 的极小k o s z u l 模，设l 、2 分别 为他们的两个扩张模。我们现在讨论1 与2 何时同构 若其极小投射分解分别为 层- - - 9 , 辟量瑶量l _ 0 ， ，2，2啦 笃砰j 瑶粤2 _ 0 其中群、斤对应的矩阵分别为 ( c ab 。) 和( 。a 三) 。 其中， a = ( m + 1 ) x m 由定理3 4 ，可设 c = c 1 + 俨，d = d 1 + d 2 其中 c 2 = = c l c 2 ( 一m + 2 ，b = c l c 2 c n m + 2 硕士学位论文 d 2 = d 1 如 厶一m + 2 d l c f 2 厶一m + 2 ( n + 1 ) m c 1 、d z 中的元素属于l ( a ) 若1 和2 存在0 次同构映射g ，则存在同构映射h t 、h 。，使得下 图可换： 堡砰墨p j 蔓1 0 【h i上g 量砰呈p g 里n 2 _ 0 与辟 粤_ 设对应的矩阵珏为 飓= ( 喜：霎：) ，嚣t = ( 姜：姜：) 。 由于h i ，t = 1 ，2 皆为0 次同构，它们将生成元变为0 次生成元，因 而由它们在基上的作用唯一确定，从而作为0 次元用0 次元表出的系 数，其元素亦为0 次元，即域k 中的元素，从而可设甄，i = 1 ，2 是k 上 的矩阵 由于上述图形可换，可得h - 行= 费h 2 ，即 ( 喜：s $ 2 1 。2 ) ( 。a 三) = ( c a 三) ( 姜：姜兰) 所以有 s 1 1 a + s 1 2 d = a k l z ，s 1 2 b = a k l 2 ，s 2 1 a + s 2 2 d = c k l l + b j r 2 l ，s 2 2 b = c k l 2 + b k 2 2 运用第三章同样的方法来研究这些矩阵，我们得到下述引理： 2 4 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张 引理4 1 ：a ( m + 1 ) x m ，b ( n + 1 ) n 为主次对角线上元素分别为a ，b 的矩 阵，k = ( k i j ) m n ，s = ( ) ( m + 1 ) ( n + 1 ) 为两个数量矩阵，若s b = a k ，则 对i t 一1 ，一1 j = 0 ， 所以，对于j + 1 t ，8 t , j + 1 = 0 同时，对于j t ，= 0 ， 所以，引理对于第t 行成立 最后，只需验证当佗 m 时，引理对于s 的第m + 1 行也成立 由s 卅l j a + 8 m + l j + 1 b + b k m j = 0 ，j = 1 ，2 ，n ， 故有+ l j + l = k j ，j = 1 ，2 ，m 由于歹 m 时，k j = 0 ， 所以，对于j + 1 m + z ，8 m + l j + l = 0 即引理对于s 的第m + 1 行也成立 综上，引理的前半部分得证。后半部分可从右下角元素出发同理可 证 应用这个引理，用易。表示t t 单位矩阵，我们可得下面的定理。 定理4 2 ：设m ，三，凰，现，c ，d 如上定义，则当m 几时有：k 1 2 = 0 ，s 1 2 = 0 ，s 1 1 = k l 墨m + 1 ) ( m + 1 ) ，k 1 l = 幻日札m ，s 2 2 = k 2 e ( n + 1 ) ( n + 1 ) ，k 2 2 = 尼：玩n ，。2 = 急c 。，其中k l k 2 为域尼中非零元。$ 2 1 = ( 芝20 。) ， 硕士学位论文 且s z l 中元素满足条件： s 2 1 = u z , 3七，南 l ，2 ，扎；s n 2 1 + 1 j = 老1 c ：+ 1 j k _ ，1 l + l j ，j = + 磁；一k 2 d i , j