（基础数学专业论文）关于有限域中角的greenshkredov论证的一个注记.pdf

关于有限域中角的g r e e n s h h e d o v 论证的一个注记 摘要 对于素数p ，记p 元数域昂上的胛维向量空间为对于工，) ，d b ，称结构 ( 工，_ ) ，) ，o + d ，) ，) ，瓴) ，+ 力沩群聪上的一个角( c o m e r ) ，当d o 时，称此角为非平凡的本文首先把以职为背景的三个 命题分别推广到聪背景下，综合这三个命题可得结构随机二象性原理 在2 1 节中多次运用c a u c h y s c h w a r z 不等式证明了命题1 1 ：当矩形范数i 陋一如。岛( a ) 啥。b s 玎，且l 函与1 历都是2 3 肇：链2 a 3 6 一日一一致的，则a 中至少含有 口援矧3 个角在2 2 节中运用 图沦方法证明了当矩形范数i 陋一赡毋( a ) 睡。“，7 时，集合a 在笛卡尔积e i 上的浓度增 长由于密度增长后的，l ，疋( r 磊，f - l ，2 ) 未必满足一致性，为使集合f l ，2 一致化，又引入 命题1 3 在2 3 节中运用迭代法得到了命题1 3 ，命题1 ，2 和命题1 3 合在一起不仅使矩形范数一 6 毛晚( a f ) i i 一。一变小，而且满足l 。与l 而的一致性，这正是命题1 1 的前提，因此综合这三个命题 一i一2 ，1 1 酽1 1 2 可得结构一随机二象性原理最后运用结构一随机二象性原理将b g r e e n 的结果以( 噬) 面j 吾詈盂毒伊历 改进为垤 o ，3 c ” o j ，妇n + ，唧器 其中心( 昂) 皇m a x l l a l ：a 昭昂，a 中不含非平凡角 这个定理是r o t i l 定理在二维上的一个推 广 关键词角；结构一随机二象性；密度增长估计 an o t eo ng r e e n s h k r e d o va r g u m e n ta b o u t7 r w o - d i m e n s i o n a l c o i n e r si nf i n i t ef i e l d a b s t r a c t k t p b ea 砸m e ，w e d e n o t e 昂a s a t i n i t e f i e l dw i t i l p e l e m e n t s ，a i l d f o ra l l i n t e g e r 以l ，w r i t e 嘭a s av e c t o rs p a c eo f d i m e n s i o nno v e r 彤f 0 r 五y ，d 巧，t h ec o m e ri sd e f i n e da sa 踊p l ei nt h e f o m o ，力，0 + d ，y ) ，o ，) 7 + 力l ，a n di ti st r i v i a lw h e nd = o i nt h i sp a p e r w ef i r s t l yg e n e r a l i z et h e t h r e ep r o p o s i t i o n 丘d m 噬t o 哆，a n dt h e nw eg e tt 1 1 ed i c h o t o m yb e t w e e ns t m c t u r ea n dr a n d o m n e s s t h e o r e m i ns e c t i o n2 1 ，w 宅p r o v et h ep r o p o s i t i o n1 1b yu s i n gc a u c h y s c h w a n zi n e q u a l i t y 矗d rs e v e r a i t i m e s ：w h e nt h eq u a n t i t yo f r e c t a n g l en o 姗i m 一畦l 毋) l 睦l x 岛叩，a n d1 蜀i s2 一印：钨2 口3 6 一日一 u n i f 0 册f b rf = 1 ，2 t h e nah a sa tl e a s t ；o 产即；i 矧3c o m e r s i ns e c t i o n2 2 ，t h ef o l l o w i n gc a n b eo b t a i n e db ys i m p l eg r a p ht l l e o r y ：ah a sd e n s i t yi n c r e i n e n to nap r c h d u c ts e te l 岛w h e n l m 一6 目而似) 嗡x 历，7 b e c a u s e ，l ，如( 一蜀，i = l ，2 ) d o n tn e e dt ob eu n i f o r n li np r o p o s i t i o n 1 3 i no r d e rt 0b eu n i f o mf l ，兄t h ep r o p o s i t i o n1 3 i sf e q u i r e d t h e 呻f o f p r o p o s i t i o n1 3 p r o c e e d sb yav e r s i o no f t h ei t e r a t i v em e t h o d p r o p o s i t i o n1 2a n d1 3t o g e t h e rn o to n i ym a k et h e r e c t a n g l en o 咖i 陋i 一如l x 2 似) | i 即x 凹s m a l l e r ，b u ta l s os u f f i c et h eu n i f o m i t yo fl l a n dl 历，a n d t h o s eg i v em er e q u i s i t ed e n s i t ) ri n c r e m e n tr e s u l tt og ow i t hp r o p o s i t i o n1 1 t h u sw ec a ng e tm e d i c h o t o m y b e t w e e ns t r u c t u r ea n dr a n d o m n e s st i l e o r e m ，t h e nw ee m p l o yi tw o r k i n go u tt h et h e o r e m 1 2 ：v s o ， c _ # 0 ，s f v ，l n + ，僻) 器 w h e r e 心( 彤) 皇m a x i a i ：a 哪晖，a d o s en o tc o n t a i na n yt r i p l eo fl ( 工，) ，( 工+ d ，y ) ，( x ，y + 由1 w i t hd o t h i st h e o r e mi sag e n e r a l i z a t i o no fr o t ht h e o r e mo nt w od i m e n s i o ns p a c e k e yw o r d sc o m e r ；d i c h o t o m yb e t w e e ns t n l c t u r ea n dr a n d o m n e s s ；e s t i m a t eo nd e n s i t yi n c r e m e n t i l 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨盗竖整盘鲎或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 即： 论文作者签名：末建请 日期：如加年多月中日 研究生学位论文使用授权说明 ( 必须装订在提交学校图书馆的印刷本) 本人完全了解天津师范大学关于收集、保存、使用研究生学位论文的规定， 按照学校要求向图书馆提交学位论文的印刷本和电子版本； 图书馆有权保存学位论文的印刷本和电子版，并通过校园网向本校读者 提供全文与阅览服务。 图书馆可以采用数字化或其它手段保存论文； 因某种特殊原因需要延迟发布学位论文，按学位论文保密规定处理，保 密论文在解密后遵守此规定。 论文作者签名：馨迹游导师签名：事画金 r 期：咖年月牛日 1 1 问题背景 1 9 2 7 年v a nd e rw a e r d e n 提出关于等差数列的重要定理【8 】：设j i l ，七n + ，则存在 ，n + ，使得如 果把 l ，2 ， 分成 个子集，则至少有一个子集包含一个长度为足的等差数列 在此基础上，e r d 6 s 和t u 嘶于1 9 3 6 年提出了一个关于等差数列的重要猜想【2 6 】，他们认为在 任何一个足够稠密的整数集中，都可以找到一个长度为“七n + ) 的等差数列显然，这个猜想蕴 含v r 觚d e rw a e r i 托n 定理1 9 5 3 年r o t h 用f o u r i e r 分析的方法证明了当七= 3 时猜想是正确的【1 6 】，直 到1 9 7 5 年s z e 眦诺d i 才运用组合方法证明了一般情形下( 七n + ) 时e r d 6 s - 1 、l 陌n 猜想的合理性，这 就是著名的s z e m e 例i 定理【7 】：设足n + ，艿 o ，则存在n + ，使得集合a l ，2 ， ，l a l 孙贝哇a 中包含一个长度为七的等差数列其中j 4 为有限集，用似i 表示集合a 中所含元素个数正是 由于s z e m 耐d i 定理的重要性和其证明过程的复杂性，数学t 作者们从未停止对它的研究1 9 7 7 年， 两r s t e n b e r g 用遍历理论给出了s z e m e 倒i 定理的另一种证明f 2 7 1 ，并且得到了s z e m e 俺d i 定理的许 多自然推广但是s z e m e 蒯i 的证明方法给出的上界很弱，而f 豇r s t e n b e r g 的证明根本没有给出上 界直到2 0 0 1 年w t g o w e r s 才通过组合与f o u r i e r 分析的方法得到这个定理的最好量化结果f 4 】： 设6 0 ，对于七4 ，存在j v e x p e x p ( c 扩量) ( 其中c ，x o 是绝对常数) ，使得如果集合a l ，2 ，j ， l a i 驯则a 中包含一个长度为足的等差数列 此后，运用组合和f o u r i e 吩析方法研究高维的s z e m e 托d 淀理成为很多学者研究的一个重 要方向其中两维的s z e m e 蒯i 定理的研究成果最为丰富，2 0 0 4 年，s h k r e d o v 在【3 】中估汁了以有限 群面为背景的两维角l ( 工，y ) ，o + d ，y ) ，( 工，y + 曲 ，d o 的个数，他得到的主要结果是：设6 o ，存 在e x p e x p e x p ( 巧_ c ) ( 其中c o 是绝对常数) ，使得如果集合a l ，2 ，1 2 ，m l 删2 则a 中包 含有l y ) ，“+ d ，y ) ，( 五) r + 们j 其中d 0 b g r e e n 在【l 】【2 】中以有限域职为背景估汁 两维角的个数并简化fs h l ( r e d o v 的证明过崔，他 ，i 跏i z 得出了丘( 嘤) 面茹其中蹦嘤) 皇m a x ：a 嘤呸，a 中不含非平凡角 本文是依 照b g r e e n 的思路把哎推广到嘭并且通过个明确的结构一随机二象性原理将中的结果 改进为丘( 昂) 面啬貉 1 2 主要结果 设p 表示素数集，p p ，皇z p z ，设，l n ，i l ，记昂上的n 维向量空间为哆取定睇的一 组基旧，q ， ，则v x 昂， 墨昂，l fs n s t j = 耋置简记为x = ( x l ，j 2 ，而) 记皇 矿贝郾i = 设a ，b 为两个有限集，记6 口( a ) 圭警以h 昂表示h 是哆的子空间 定义1 2 1 对于五y ，d ，称( 引，) ，o + 以y ) ，( j ，y + 由为嘭上的一个角( c o m 神，当d o 时，称此 角为非平凡的心( 昂) 圭m a ) 【 i a i ：a 哪睇，a 中不含非平凡角j ；a 昂昂，c ( a ) 皇i l ( ，力，“+ 以) ，) ，( 五y + 力) a 3 ：五y ，d l 定义1 2 2 对于函数，：昂c ，定义其f o u r i e r 变换厂：昂_ c 为 v 厂嘭，衲兰八s ) p 和 s b 此处，对r ：( 厂i r 2 ，) ，s ：( 札眈，而) ，s 皇至r f 距f 0 u r i e r 变换具有以下性质： 引理1 2 1 设函数工g ：昂- c ，则 一t 1 ( 1 ) ，( 0 ) = 2 八s ) j ， ( 2 ) ，驴厕。南丕氕r 莉 ( 3 ) 删= 专天缈簪膳 ( 4 ) 记，木g ( x ) 兰专m 培( 卜y ) 测扁( f ) = 死凰f ) 怍f ： 此处釉晖记似户高萎，( n 设集合a z ，r 皇铡，集合a 的特征函数( c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ) l ( 曲和均衡函数( b a l a n c e d f u n c t i o n ) 办( j ) 分别被定义为： i 1j a il 一口 工a h 圭1o 否则烈力圭 哪否则 定义1 2 3 设o 刁 o ，局，臣昂，a 层l 场，球皇6 蜀x 如( a ) 如果i 陋一如，扇( a ) 咤2 j 7 ，则了rc 岛，i 尼陉2 8 吁i 蜀l ，f = 1 ，2 s t 屯l 最( a ) 口+ 2 1 4 j 7 2 命题1 3 设o 口，矿 o “v 以n + ，丘噼) 面主豹 厂，l 乍押1 2 注l 在文献【l 】中叙述了一些引理及主要结果丘暖) s 丽浠，并描述了由这些引理 所导出的主要结果的论证过程但这些描述都是定性的，未涉及任何定量估计，并且是相当粗 略的在【2 】中补充了所涉及引理的详细证明，但未提及由这些引理获得主要结果的任何细节 4 2 1 命题1 1 的证明 2 命题的证明 引理2 1 1 设f k ( o ，1 ) ，s l 一，s t 昂，定义文足) 皇砣r 一胆如果is fi - ，且当f 2 时s f 是文卜 1 ) 一致的，那么至少存在( 1 2 丁) 舻个七元组( j r j ，诹) 昂，使得： s l o l 一郴2 ( 娩一回s t ( 投一西一矿l 叽i ：s 1 0 l 一田一盯l l = i 矿i 一矿l i = o d 1 ) d 设j i 昂，凡- ( 由皇s l ( 工l 一回，则吾s l ( 柏一筇2 ( 娩一回= ( 凡- s 2 ) ( 娩) 由上式( 2 ) 知道，对工ie 昂均有 对上述柏，有 以。( 力一矿i l s 文1 ) j ( 2 1 1 ) ( ( 凡- s 2 ) ( j r 2 ) 一矿i 观加2 也瑶 = 一1 i 瓦( f ) 瓦( f ) 一矿l 盯2 2 1 f o l ( d1 2 = _ 1 i 瓦( 手) 1 2 l 瓦1 2 + j 一1i 瓦( o ) 瓦( o ) 一矿i 矿2 2 l l o l ( o ) 1 2 - 1 。搿i 瓦( f ) 1 2 等i 瓦悸) 1 2 ( d 1 ) ) 2 ，2 i 瓦( f ) 1 2 f s 似i ) ) 2 3 对v 柏昂，墨l 叁l j r 2 哆：i ( r 掌s 2 ) ( 心) 一矿l 旷2 i d 2 ) m 则 ( 札砣) 哆哪：l ( 凡。幸s 2 ) ( j r 2 ) 一矿l 矿2 j vi ( 2 ) = uh x 鼍， j l 圪 5 又 故由( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 可得 ( 凡l 宰s 2 ) 阮) 一矿i 矿2 ) 2 靶噼 ( ( f 期 s 2 ) ( 砣) 一盯l 盯2 j ) 2 娩矗l ( s ( 2 ) ) 2 2 l 也e 置l = ( ( 2 ) ) 2 2i 疋li 隅阵端= 扣 ( 2 1 3 ) 所以 l u l 墨，l = l 以。l 去t 2 d 七) 则 ( 凡 s t ) ) 一矿l 吮叽 d 2 批聪 ( 凡搴s t ) ( 极) 一盯l 吸吼) 2 故由( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 可得 肌 ( d 足) ) 2 2 以 = ( 文忌) ) 2 j v 2l 施i ( 2 1 6 ) 记x 圭 “( 晖严一1 ：i 吾凡( 由一旷i 晚吼m s ( 足) l ，皇 “( 昂) ：l 吾凡( d 一矿l 矿2 叽l s d 七) l 贝u i xs2 一1 r 胪一1 l ，i y l ( 1 2 一1 丁) 胪一1 从而 ( “，敏) ( 晖) 七：l 吾s i ( 工l 一田s 2 ( 耽一田s ( 靓一d ) 一矿l 旷2 吼 d 七) j 1 ) l = il ( 瓤) x 哆：l 吾s l o l 一郴2 她一力s t ( 瓤一d ) 矿i 眈叽l 反七) i + ， + il ( 肌) y 哗：i 否s l o i d ) s 2 ( 砣一回s t ( 瓤由一盯i 吮以l s ( 七) s i “ 1 1 i + ix 蝣i “e r s2 t 一1 1 七一1 + 妒一1 1 - 件一1 j v 2 1 - 胪 7 证毕 噬胪 二d m篙矿咖坐。州步 下证命题1 1 勘，五，厶：e i 历_ 卜l ，l 】，定义 丁瓴，五，厶) 圭峨卅e 圮诉( x ，y 娩“+ d ，) ，旃) r + 力) 则 丁瓴，五，厶) = ，一3 ( ( x ，) 境易( j + d ，) ，沈( 工，_ ) ，+ 力) j 删b = 旷3 诉( 五) ，觇( z 一_ ) ，) ，旃( 五z 一曲) ”怔6 昂 其中d = z j 一) l 。c ( a ) = 似阮) ) a o + 么y m ( j ，) ，+ 力) c ( a ) = 3 丁( a ，a ，a ) 所以 谚l ，= a 一口s 贝0 丁( a ，a ，a ) = 丁识a ，a ) + 口丁( s a ，a ) ，h ，i i 。历s2 2 口3 ，1 ，i s 1 其中工= z 一， 故 丁( s ，a ，a ) = 弓 l 忆) ，) a ( z 一) r ，) ，m ( 五z 一曲) x 毋珏署名 = n 一( a ( z 一) ，) ，) a ( j ，z 一曲) z 昂乒昂难昂 = q ( a ( z y 力) 2 茌彤胙昂 = 一4 l ( a ( z y ，y ) ) 2 z z e 昂挥昂 芝一4 ( a ( z 一) ，) ，) ) 2 z f ；) 哪 = - 4ia1 2 = a 碜鹚 7 ( a ，a ，a ) 丁诉a ，a ) + u 和静呸 8 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 因为 而 ( r ( ，：a ，a ) ) 4 = ( 取脱聪锨y m ( z 一_ ) ，y ) a ( 工，z 一工) ) ) 4 = ( 马，z 哪( a ( z 一弦岫( e i ( z 一掀彬“z 砷”) 4 ( 弓 z 昂( a ( z y 力) 2 ) 2 ( 坞z 昂( 正l 托f ；( e l ( z 一) ，狄y m ( 五z j ) ) ) 2 ) 2 = 口硇溺( 弓嚣昂e 碑( e l ( z 一) 坝五) ，) a ( z 一神) 重0 。e ( e l ( z y 狄，y m ( ，z 一) ) ) 2 = 口獬( 峨脱哪( e l ( z 一蝴j ，y ) a ( t z 一堋，朋，z 一) ”2 = 口硇缓( 峨蕊b a ( 五z 一州( ，z 一) 马哪( e l ( z 一力历( z 一曲毋( z 一抓工，蝴，y ) ) ) 2( 2 1 9 ) s 口硼；k 西e 似( 五z 一枷( ，z 一) ) 2 取z 聪( 耳) i 昂( e i q y ) e 2 ( z 一曲邑( z 一狄五) ，状，y ) ) ) 2 口2 j 舞卢；b z e f ( i 艇昂e l ( ) 而( z 一曲) ( e ，。聪e l ( ) 如( z 一) ) e j y y ，z 聪( l ( z y ) e l ( z y ，) e 2 ( z 一工) 历( z 一矾玉y 次，) ，矾工y 次，y ，) ) = 却缓一3 ( e i 事如( 力) 2 z 昂 k 嘭碑( e l ( z 一) ，) e i ( z 一) 岛( z 一力历( z 一) 狄j ，) ，次，) ，狄五矾，) ) 其中f = 2 旬肇：节：2 口3 6 一3z ( e j 宰历( z ) ) 2 z 哦 = 一4 i 碌91 2 l 匿售) 1 2 f = 旷4 le l1 2 i 局1 2 + r 4 i 爵( 9i i 砭( f ) 1 2 f o s 粥+ f 2 一2 等i 确1 2 = 卢溺+ f 2 一盏州曲) 2 = 粥+ 即弼 s 帮弼 ( 2 1 1 0 ) 设以j ，y ，) = e z e 足( i q y ) e l ( z 一，) e 2 ( z 一工) 匝( z 一) 由于e l ，2 均为2 3 印：硇：2 0 3 6 一月一一 致的，取丁= 2 - 1 硼群口1 2 ，= 2 3 咿：爷：2 口3 6 由此可知e l ，如满足引理2 1 1 的条件，得 lc “j ，- ，只) 一届群区d 4 ) = 2 一印辫口1 2 记x 皇 ( 工，y ，) 晖) 4 ：l 以j ，) ，y ，) 一卢备霹l s ( 4 ) ，贝4 1 yi 2 8 j 侈弘叶口1 2 4 9 从而蓓 i 吼，j ，y ，e 聪( 山( 五，弘，状工，y 狄工，y 狄y 沉，) ) i s l 配工y 。只( ( “五，) ，y ，) 一卢弘 狄工，_ ) ，状，y 狄五，状，) ) i + 邯獬i 峨哪袄石，y 狄，) ，次j ，沉，) ) l e 土j ，足、xl 以五，) ， y ，) 一声 i + 取 y y ，e x l + _ 皤群ie l1 2 i 既1 2 - 4lk 心( 只工，兑反，) 谀五y 状，) ) i e j y ，。昂2 一印锻口2 + 一4ixi + j 皤拜j l ，i 噍历 2 一嘲口1 2 + 2 一袱口1 2 + 2 一嘲口1 2 = 3 2 一粥a 1 2 故由( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 式可得 因此 所以 2 2 命题1 2 的证明 ( 丁( 7 ：a ，a ) ) 4 2 声台霹仃2 3 2 酲研仃。2 l 丁( a ，a ) l 2 1 卢旮喏0 3 丁( a ，a ，a ) p 翟坪a 3 一i 丁识a ，a ) l 2 。1 卢湃口3 证毕 我们采用图论的方法来证明这个命题在此先引入一些图论符号，设y o 为顶点集，e 为 边集，称g = ( v e ) 是一个以y 为顶点集，e 为边集的图，简记为g 定义2 2 1 若图g = ( v ) 的顶点集y 的两个子集与晚满足y iu 屹= k n = o 鼍t e = l 叫：工，y ，则称g 为一个二部图 l ，毋gf ；令m i 叁le ll ， 如圭i 1 记x 皇 ( x ，1 ) ：工e l ，y 皇 ( y ，2 ) ：y 丘 ，y ( g ) 圭xu x e ( g ) 圭 ( j ，1 ) ，o ，2 ) ：j e l ，y 历，( 五y ) 下文中，我们4 i 再区分工与1 ) ，y 与( y ，2 ) ，叫与佤1 ) ( ) ，2 ) 设 6 ( x ，y ，) 皇k 硝y ，le ( g ) ( 捌) 其中， 别为x ，y 的子集 若五xy ，y ，k s t 巧，y ，y ，l e i g ) 称( 砂，f y ，妙，) 为一个禾循环g 中全部舡循 环记作c 4 ( g ) 则 q ( g ) = l 尉g ) ( x ，y ) l e ( g ) ( 五，) l ( g ) ( ，) ，) 1 耳g ) ( - ，) x 一xy y = a “y m 仅m ( ，办4 ( ，) x l e e i y 。，e e 2 = a 哙，勖m 喇 对y v k 记 r ( 1 ，) 皇i ，：e ，则烈v ) = i “v ) i 引理2 2 1 设o 眈a 幻 i s l 朋lb 寸，记x l 圭 j x ：d ( 口+ 晚) 耽 ，恐圭l j x ：以ds ( a q ) f 2 1 ( i ) 当lx li i 施l ，即lx li s i 肘l 2 时，令= 蜀，y ，= z 则lfi s l m l 2 m i n 仁i 2 ，晓2 ) 肘l ，i yl = 如m i n ( s i 2 ，1 2 2 ) 如 并且 6 ( y ，) = iri 1 l i - l l ( g ) ( 功 雁胆， = ifi - l 嵋1 以曲 蚝 l ri 一1 巧1 ( 口+ 2 ) 如l 蒯7 = 口+ 龟 口+ s i s 2 2 ( i i ) 当ix ll s l m l 2 ，则，if 区( 1 一研2 ) 膨l ，所以膏1 一s l 2 ，即s l 2 l 片 联，) = x 一1 m i 1 巧1 l e ( g ) ( 删) 蔗、施j 畦l ， = r 1 肘f 1 巧o ( l ( g ) ( 叫) 一1 尉g ) ) 艇置_ i ，y 矩施，垤， r 1 肘了1 蛭1 缸肘1 一 一聊) 拖( 1 一k ) 膨1 ) = r 1 ( u 一( 口一眈) ( 1 一k ) ) = 口+ r 1 龟( 1 一d 让+ 现( 1 一d a + s l 睨2 引理2 2 2 如果a 一r 噶x 如j 7 ，并且满足下列条件之一 ( 1 ) l 工x ：i 矾曲一a 如l ，7 幻5 6 l ( 1 一j 7 5 6 ) 肘i ， ( 2 ) i y y ：l d ( ) ，) 一o f ji s7 7 肘l 5 6 l ( 1 一叩5 6 ) 如， 则吃历一+ ，7 2 证毕 证明由对称性，只需证明满足第一个条件的情况下引理成立设蜀皇 j x ：i 政j ) 一口心i 刁施5 6 话扩= a 一口，所以，i 睦x 岛叩，v ( j ，y ) a ，i 贝五) ，) l s1 则 l l a 啥毋= ，+ 心啥x 如 = i l 川喜。岛+ + ( 口) e 。x 。 ，似灭，) ，狄五) j 狐，y ，) ) + + ( q ) 丑。诚l ，( 口2 氕x ，状- ，) ) + ( q ) 取瞒e y ( 口3 灭，y ，) ) 1 2 其中( q ) 表示有( q ) 个类似的结构，j = l ，2 ，3 由于 i 取，。协。，似灭，) ，沉j ，狄，) ) l m f 2 屿2 ；i 莩贝，y ) 1 ；i m ，狄，) i x x ，矗y，粤y 朋丁1 蜂1 二l ；灭，_ ) ，) l x 强 3d = 肘i _ 1 屹1 二l 烈) 一口耽i = 肘了1 朋；“，i 烈) 一口i + ld ) 一口i ) 一x 、x i一x 1 圻1 晖1 ( 耽lx 蜀i + 虽施ix l1 ) 圻1 嗨1 ( 蠡拖肘l + 虽拖m 1 ) = 刍 从而 i 峨；柏。， 贝，) 坝五，狄，y ，) ) 拄罢 类似可证其它十三项均的绝对值丞 所以 al 睦历i l ，鲁。岛+ 口4 + 1 4 ( 一最) ，+ 玎一，7 2 = 矿+ 玎2 引理2 2 3 如果oa 嗡幻2c r 4 + 叩2 ，口刁1 6 ，并且满足下列条件 ( 1 ) ll 石x ：l 以曲一口朋r 2l 可峨3 2 i ( 1 一，7 8 ) m i ， ( 2 ) ii y y ：id ( y ) 一口 f li ，7 f l 3 2 i ( 1 一叩8 ) j 忱， 则叫x ，k s t i l 叩m l 3 2 ，i i ，7 尬3 2 并且6 7 ，) a + ，7 8 证明对v 石五) ，z 记p ( 五y ) 圭1 以g ) ( j ，) i n l x 、 j n 1 3 证毕 则 p ( ，_ ) ，) = l 觑6 ) ( 纠“五y ) j ) ，e ( g ) l e x y i 味 ) ，e ， = id y l 以6 ) ( j 吵)l ( g ) ( j 7 ，) ( j ) ；e n 嘞 = l e ( g ) ( 巧) l e ( g ) ( ，y ) l ( g ) ( y ，) l ( g ) ( f ，y ，) i x y = c 1 4 ( g ) = 肘；鹏al 睦。2 肘；暖( + j 7 2 ) 青己而圭 工x ：id ( 曲一口a 如i ，7 龟3 2 ，y o 生 yey ：id ( y ) 一口m il s 吁肘i 3 2 从而 其中 p ( j ，力 硝( g ) 洳y ，e y o = p k y ) 一 习，耳g ) ，x ，e ，班取g ) “、施，e l ， p “，y ) + p ( 工，y ) 一 p ( y ) 硝尉g ) e x n y o 班( g ) e 叭局e y 、 。 p ( 工，y ) 一 p ( 石，y ) 一p o ，) ，) j ) ，耳g ) “yj ) ，e 尉g ) ，e x 局y ，e y 矽e ( g ) 勘，y 、y o 二， p ( 五) ，) 茎 二， 朋l 施= 肘l 肘2lx y l 肘；噬，7 8 眯目g ) e x 、洳e r硝e ( g ) “y 7 同理可得 故 硝目g ) x y ，y y o p ( x ，y ) s 朋；朋；j 7 8 p ( 石，y ) p ( 工，y ) 一p ( 工，y ) 一 硝e ( g ) ，e y ，司l ，e e ( g ) e x 7 e ，班( g ) j “、y 一 p ( j ，y ) 世e ( g ) e 柳e y 、场 肘 孵( 十叩2 ) 一m ；嵋叩8 一肘；肘；玎8 = 肘 蠼( c r 4 + 叩4 ) 从而丑l 知，y i y o ，s t p o i ，y i ) 芝 肘；鹏( 一+ ，7 4 ) l ) 咿e ( g ：) ，工x b ，y y o li 肘；稻( + 叩4 ) l 拶乓e ( g ) ，x 墨y y i m i 啦( 口4 + ，7 4 ) 。 m i 施 = 肘l 拖( a 3 + 老) 令f = ( y i ) ，= ( j c l ) ，则 + 刁3 2 ) m i lyi 一口3 2 ) 肘l j 7 3 2 肠i ， ( 口+ j 7 3 2 ) 龟i i ( 口一j 7 3 2 ) 如吁3 2 如 所以 6 t x 7 ，y ，= i i 委窒 善与i ；弓i 口+ 叩，8 6 ( x ，y ) = f 三融7 _ 熹口+ ，7 8 即 6 ( x ，y ，) 2 口+ ，7 8 证毕 下证命题1 2 ( i ) 若i j x ：ld o ) 一口 幻l 研i j l 龟5 6 li j 7 5 6 f i ，或i y y ：id ( y ) 一口 f ii ，7 f i 5 6 ) l 刁5 6 施，利用引理2 2 1 ，取s l _ 龟= 叩5 6 ，则了局最，l 厅i 小伽( s l 2 ，也2 ) 舰2 8 耵m ，f = l ，2 并 且，以f l 兄) 口+ s l 龟2 = 口+ 三点基口+ 2 1 4 叩2 ( i i ) 若( 1 ) ll j r x ：i 以j ) 一仃 如i ，7 如5 6 i ( 1 一1 7 5 6 ) m l ，并且l y y ：id o ，) 一仃 彳ll 刁肘l 5 6 ) l 之( 1 一，7 5 6 ) 耽，利用引理2 2 2 ，可得a 啥最2 口4 + 吁又由于叩5 6 ，7 3 2 ，j 7 5 6 刁记j i z ( 力= 日( 石) i 片i 其中h 圭 上 则 岫( a 宰j i l ( 力2 ) 口2 + 矿 证明：因为 a 幸 l ( 曲2 = 恤( y ) 1 2 i | i l ( y ) 1 2 一 一 舱昂y 5 昂 = 陋( o ) 1 2 l j i l ( 0 ) i z + 似( y ) 1 2 l j l ( y ) f 一 一 ，、 o 、 ) ，o l a ( o ) 严i i l ( o ) 1 2 + 陋( 9 1 2 i | i l ( 9 1 2 一 一 一 一 之( 口2 + 矿) 2 所以磁哪( a | 7 l ( j ) 2 ) c r 2 + 矿 于是 下证命题2 3 ( 1 1 ) 当，i ，如均为矿一日一一致时 取巨圭n ，砭皇几，= 鼠f i = f 2 = o ，则e ；e = ，i 兄 e ；呸i = i ，lx 如i = 6i 1 2 衍1 日71 2 2 从而巨，砭均为矿一日一一致的并且 巧q 足( a ) = 6 i 龟( a ) = 口+ t a + 1 - 8 ( 1 2 ) 当f i ，乃至少有一个非矿一日一一致时 4 i 妨设f l 不是矿一月一一致的贝归非零的f m 使得 对这个f 有 取p ，婴，秽月，使得 lf l ( f ) i 旷1 日i 1 ) 皇 j 日：工f = 0 ， f ( n f = l ，髫f = 2 ，拶乒p 1 6 则 从而 驯1 ) = l 1 ) + ，( ，1 + ，硝d + 秽 p 日日= u ( h 1 + 1 ) ( 。+ e 1 ) o = l 记( 1 ，d 圭1 + 1 硝d + ，f ，j = l ，2 ，p j r l 皇l ( 1 ，力：f ，= l ，2 ，办 取足几则七= ( 1 ，f o ，如) ，记 衅圭，in ( 日1 + 甾) ，蟛圭，2 n ( ”+ 留) 则 弘器矽皇溉k 栉 1 lh ( 1 ) + f 1 1 i lh ( i ) + 垲l 1 从而可将，i 划分为下面三部分 6 i 圭 七 ：神 衍，2 ，似i 皇f 足，l 8 l ：巧妯一1 是矿一片( 1 ) 一一致的，= l ，2 ， m 皇j i