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变分不等式与平衡问题 基础数学专业 研究生李林珂指导教师丁协平 本文主要对非线性泛函分析中的几个热点问题作了进一步的分析和研究， 对已有的结果进行了统一和推广。 首先，在有限维欧氏空间提出了一种解一般变分不等式的超梯度算法，该 算法在迭代过程中使用了m a n n 迭代规定了一个较优的搜寻步长并且选择了与 以往投影算法所不同的搜寻方向，通过迭代法则计算其近似解，并证明了所构 造的算法生成的迭代序列在广义单调条件下是全局收敛的。 其次，在e 一凸空间内引入了新的广义矢量拟平衡组问题，并运用非紧乘 积。一凸空间内集值映象簇的不动点定理证明了这些广义矢量拟平衡问题组的 平衡点的存在性。这些结论进一步推广了不动点定理的一些应用。 关键词：变分不等式超梯度m a n n 迭代算法全局收敛集值 映象簇集值映象簇的不动点定理 抽象广义矢量拟平衡问题组 乘积g 一凸空问 v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sa n d e q u i l i b r i u m p r o b l e m s m a j o rb a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t el i nk el i 。s u p e r v i s o rx i ep i n gd i n g t h i sp a p e rm a i n l yf u r t h e rs t u d i e ss e v e r a l f o c u sp r o b l e m si nn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i su n i t e sa n dg e n e r a l i z e ss o m ek n o w nr e s u l t si nr e c e c tl i t e r a t u r e a tf i r s t 、an e we x t r a g r a d i e n ti t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h ev a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r o b l e mo nr “i ss u g g e s t e d b yu s i n gm a n ni t e r a t i v es c h e m e ，n e w s e a r c h i n gd i r e c t i o na n db e t t e rs t e p s i z er u l e ，t h ea l g o r i t h mi sd i f f e r e n tf r o ma n yo n e i n e x i s t i n gp r o j e c t i o n t y p em e t h o d s u n d e r ac e r t a i n g e n e r a l i z e dm o n o t o n i t y c o n d i t i o n ，t h eg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h en e w a l g o r i t h m i sp r o v e d 一 n e x t ，w ei n t r o d u c es o m en e ws y s t e m s o fa b s t r a c t g e n e r a l i z e d v e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e mi ng c o n v e xs p a c e b ya p p l y i n g t h ef i x e dp o i n tt h e o r e m o fs e t - v a l u e dm a p p i n g so fn o c o m p a c tp r o d u c tg - c o n v e xs p a c e ，s o m en e w e x i s t e n c e t h e o r e m so fs y s t e mo fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i b r i u mp r o b l e m sa r ep r o v e d ，a n d t h i sr e s u l i se x t e n dt h ea p p l i c t i o n so ft h ef i x e dp o i n tt h e o r e m k e yw o r d s ：v 打i a t i o n a li n e q u a l i t y ； e x t r a g r a d i e n t m a n ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ； c o n v e r g e n c e ； af a m i l yo fs e t v a l u e d m a p p i n g s ； f i x e d p o i n tt h e o r e m o f s e t v a l u e dm a p p i n g s ； s y s t e m o fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i 。e q u i b r i u mp r o b l e m s ； p r o d u c tg c o n v e xs p a c e i i 四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师工垫壬麴攫指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文 作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：李却：司 2 0 0 6 年3 月2 0 日 。 第一章前言和预备知识 第一章前言和预备知识 1 1 前言 在现代非线性分析中，变分不等式及其应用具有非常基础和重要的作用。 上个世纪6 0 年代，h a r t m a i l 和s t a m p a c c h i a 等人在创建变分不等式理论的基础 时提出和研究了第一个变分不等式，即h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式【1 】， 并在有限维空间中讨论其解的存在性，后来被b r o w d e r 和l i o n s 等人推广到无 穷维空间，并把所得的结果应用于研究力学、控制论、经济数学、对策论、微 分方程和最优化理论中的许多重要问题。研究变分不等式问题对纯数学和应用 数学各分支的发展都有着相当大的影响。解变分不等式的数值方法包括投影法、 w i e n e r - h o p f 方程和辅助变分不等式法，见参考文献【2 6 】。众所周知投影算法 的收敛要求算子z 为强单调和l i p s c h i t z 连续的，这种很强的强制条件在很大的 程度上限制了投影算法的广泛应用，从而促使了许多的研究者对投影算法进行 了修正。超梯度算法通过使用两次投影方法的技巧克服了原来要求算子丁为强 单调和l i p s c h i t z 连续的很强的强制条件。值得提到的是超梯度算法收敛仅要求 变分不等式的解是存在的和算子t 为单调和l i p s c h i t z 连续的，但是当不知道算 子r 的l i p s c h i t z 常量时超梯度算法须以a r m i j o 1 i k e 线性搜寻程序来计算每一 步投影的步长，这就需要大量繁杂的计算。为了克服这些不利因素，许多的研 究工作者在这基础上提出了修正超梯度算法来求解变分不等式，见参考文献 7 1 1 1 。通过对动态场的研究受到了一定的启发，第二章给出了求解变分不等式 的超梯度m a n n 迭代方法，在该算法中搜寻方向是结合了投影残余函数以及 m a n n 迭代给出的，不同于以往所存在的搜寻方向，见参考文献f 7 ，1 2 1 6 1 。该 算法给出的搜寻步长的选取使近似解和解集的距离大大减小。 自从1 9 2 9 年有限维空间中经典的k k m 定理诞生以来，由于它在非线性分 析的理论研究和应用方面的重要地位，很多学者已从多个方向对其进行推广和 改进。1 9 6 1 年，f a n 把经典的k k m 定理推广到了无穷维的h a u s d o r f f 拓扑矢量 空间并建立了f a n s 几何引理。1 9 6 8 年b r o w d e r 给出了这一几何引理的匹配定 理- - f a n b r o w d e r 不动点定理；1 9 7 2 年f a n 运用这一几何引理建立了k yf a n 极 第一章前言和预备知识 大极小不等式。这些理论结论在非线性分析的诸多领域，比如对策理论，控制 理论，不动点理论，数理经济，力学，微分方程，优化理论，非线性规划等理 论和应用学科中都有极为重要的作用。 1 9 8 7 年，h o r v a t h 1 7 用可缩集代替凸包，给出了无线性结构的h 一空间之 后，p a r k 和k i m 1 8 1 9 在一多余的保序条件下引入了广义凸( e 一凸) 空间， 最近p a r k 2 0 去掉了此多余条件，给出了。一凸空间的定义。孔【2 1 】在非紧乘积 e 一凸空间内，对集值映象簇建立了某些新的不动点定理，证明了这些拟平衡 问题组的平衡点的存在性。受此启发，第三章在乘积e 一凸空间内引入和研究 一类新的广义矢量拟平衡问题组，并运用非紧乘积e 一凸空间内集值映象簇的 不动点定理证明了这些广义矢量拟平衡问题组的平衡点的存在性，这一结论是 新的且推广了近期乘积g 一凸空间中的一些重要的广义矢量平衡问题的存在性 结果。 第一章前言和预备知识 3 1 2 记号与用法 r 实数集 西空集 x z 的对偶空间或共轭空间 | h x 和x 中的范数 ( ，) x 与x + 中元素的配对 2 。省的一切子集的簇 伍) 一y 的一切非空有限子集的簇 阻l 爿的基数 c l ( d ) 集合d 的闭包 c c f ( d ) 集合d 的紧闭包 i n t ( d ) 集合d 的内部 c i n t ( d ) 集合d 的紧内部 c k ( d ) d 关于k 的闭包 i n t 。( d ) d 关于k 的内部 。玎- 维标准单形，其顶点为e 0e ，e 。 ，顶点扣f ，) 的凸包，其中庐一j c 0 ，1 ，n 第一章前言和预备知识 第一章前言和预备知识 1 1 前言 在现代非线性分析中，变分不等式及其应用具有非常基础和重要的作用。 上个世纪6 0 年代，h a r t m a i l 和s t a m p a c c h i a 等人在创建变分不等式理论的基础 时提出和研究了第一个变分不等式，即h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式【1 】， 并在有限维空间中讨论其解的存在性，后来被b r o w d e r 和l i o n s 等人推广到无 穷维空间，并把所得的结果应用于研究力学、控制论、经济数学、对策论、微 分方程和最优化理论中的许多重要问题。研究变分不等式问题对纯数学和应用 数学各分支的发展都有着相当大的影响。解变分不等式的数值方法包括投影法、 w i e n e r - h o p f 方程和辅助变分不等式法，见参考文献【2 6 】。众所周知投影算法 的收敛要求算子z 为强单调和l i p s c h i t z 连续的，这种很强的强制条件在很大的 程度上限制了投影算法的广泛应用，从而促使了许多的研究者对投影算法进行 了修正。超梯度算法通过使用两次投影方法的技巧克服了原来要求算子丁为强 单调和l i p s c h i t z 连续的很强的强制条件。值得提到的是超梯度算法收敛仅要求 变分不等式的解是存在的和算子t 为单调和l i p s c h i t z 连续的，但是当不知道算 子r 的l i p s c h i t z 常量时超梯度算法须以a r m i j o 1 i k e 线性搜寻程序来计算每一 步投影的步长，这就需要大量繁杂的计算。为了克服这些不利因素，许多的研 究工作者在这基础上提出了修正超梯度算法来求解变分不等式，见参考文献 7 1 1 1 。通过对动态场的研究受到了一定的启发，第二章给出了求解变分不等式 的超梯度m a n n 迭代方法，在该算法中搜寻方向是结合了投影残余函数以及 m a n n 迭代给出的，不同于以往所存在的搜寻方向，见参考文献f 7 ，1 2 1 6 1 。该 算法给出的搜寻步长的选取使近似解和解集的距离大大减小。 自从1 9 2 9 年有限维空间中经典的k k m 定理诞生以来，由于它在非线性分 析的理论研究和应用方面的重要地位，很多学者已从多个方向对其进行推广和 改进。1 9 6 1 年，f a n 把经典的k k m 定理推广到了无穷维的h a u s d o r f f 拓扑矢量 空间并建立了f a n s 几何引理。1 9 6 8 年b r o w d e r 给出了这一几何引理的匹配定 理- - f a n b r o w d e r 不动点定理；1 9 7 2 年f a n 运用这一几何引理建立了k yf a n 极 第一章前言和预备知识 3 1 2 记号与用法 r 实数集 西空集 x z 的对偶空间或共轭空间 | h x 和x 中的范数 ( ，) x 与x + 中元素的配对 2 。省的一切子集的簇 伍) 一y 的一切非空有限子集的簇 阻l 爿的基数 c l ( d ) 集合d 的闭包 c c f ( d ) 集合d 的紧闭包 i n t ( d ) 集合d 的内部 c i n t ( d ) 集合d 的紧内部 c k ( d ) d 关于k 的闭包 i n t 。( d ) d 关于k 的内部 。玎- 维标准单形，其顶点为e 0e ，e 。 ，顶点扣f ，) 的凸包，其中庐一j c 0 ，1 ，n 第二章解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 第二章解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 本章分两部分研究了变分不等式近似解的一种新的超梯度迭代算法，其中 第一部分是预备知识，第二部结合了投影残余函数以及m a n n 迭代，给出求解 变分不等式的超梯度m a n n 迭代方法和通过该迭代法则计算变分不等式近似 解，并证明了该迭代序列的收敛性。 2 1 预备知识 设h 是一实h i i b e r t ，其内积和范数分别为( ，- ) 和l l i i 。k 为h 的非空闭凸子 集，映象r ：k 日为一给定的非线性算子。现在考虑下述变分不等式问题： 求“k ，使得 ( r 0 ) ，y - - u ) 0 vv c k ( 2 1 1 ) 这类变分不等式问题首先由s t a m p a c h i a 在1 9 6 4 年提出并加以研究，其结果被 广泛的应用于研究力学、控制论、经济数学、对策论、微分方程和最优化理论 问题，参见文献【2 - 6 】。 定义2 1 1 2 2 映象r ：日一h 称为： ( 1 ) 单调的，如果满足条件： ( r ( h ) 一丁( v ) ，u v ) 2 0 ， v u ，y e h ； ( 2 ) 伪单调的，如果满足条件：对一切 “，v 爿， 仃以) ，v 一“) zo ，一p o ) ，v 一“) z o 。 定义2 1 2 2 3 设k 为h 上的一凸子集，任意“日在k 上的投影定义 为： & 0 ) = a r g m i n i i v - u l l v e k ) 其中为h 上的范数。 引理2 1 1 2 2 设k 为h 上的非空闭凸子集，则对任意“v e h ，w e k ( 1 ) ( 最( “) 一“，w f ：( h ) ) 苫0 ， ( 2 ) ( ，：( “) 一f ：( v ) ，“一v ) 己0 ， 第二章 解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 ( 3 ) 眩以) 一& ( v ) 忙忙一v | j ， ( 4 ) 0 乓 ) 一w l l 2s 忙一w l l 2 一i l e k ( u ) 一“n ( 5 ) | j ( “) 一叫1 2s 怯一w l l 2 。 引理2 1 2 2 2 设k 为r “上的一非空闭凸子集，任意u de r “、d 0 ， 定义“仁) = 最0 + a d ) ，则( d ，“一“ ) ) 关于口，o 为单调递减的。 证明：设a 1 a 2 0 ， 因为p ，“一“ 。) ) 一( d ，“一“0 ：) ) a ( d ，“( a ：) 一u ( a ，) ) = ( d ，最( “+ a ：d ) 一0 + 口。d ) ) 1 = 一( 0 + 口，d ) 一0 + a ：d ) ，& 0 + a ：d ) 一足( “+ 口l d ) ) a 1 一a 2 0 故( d ，“一“似) ) 关于o ，0 2 单调递减的。 下面的这个性质的证明见参考文献【2 4 】。 引理2 1 3 设世为r 4 上的一非空闭凸子集，对任意u e k ，d r ”和 口 0 ： 定义1 ；f ，。( 口) = r a i n 忙一“一谢旷fv e k ) ，则 妒：( a ) = 2 ( d ，+ a d 一“( 口) ) 。 引理2 1 4 1 5 给定z r 8 ，u e k 满足不等式： “- z ，v 一“) 0 ， vv g k 当且仅当 “= 足0 ) 其中。为r “到k 上的投影。 如果没有特别声明，全文中我们做以下假设： ( a 1 ) 变分不等式问题( 2 1 1 ) 的解集k 为非空； ( a 2 ) 对任意的“k ，有( t 0 ) ，“一“) 20 ， vh e k 。 可以很容易的看出当算子丁是单调或伪单调时假设( a 2 ) 显然成立。 定义2 1 a 2 3 对“k 和a ，0 ，定义j r 口) ：阻一最( “一a 丁o 形和 r ( u ) = 尺 ，1 ) 分别称为投影残余函数和问题( 2 1 1 ) 的投影残余函数。 引理2 1 5 2 3 对问题( 2 1 1 ) h k 当且仅当n ( u ，口) = 0 ，某个 第二章解变分不等式的超梯度m a 肿迭代算法 6 口 0 。 2 2 算法及收敛性 下面这部分给出求解变分不等式问题( 2 1 1 ) 的超梯度m a n n 迭代算法，该算 法所生成序列在假设( a 1 ) 和c a 2 ) 成立的条件下收敛。 算法2 2 1 2 5 初始步骤：选取任意的口，y ( o mh 。e k ； 迭代步骤：对u 。e k ，定义 v = 最阻。一r 。) 】。 如果n ( u ) = 0 ，则停止。否则，计算 w n = ( 1 一r 。) u 。+ ，7 。v 。= u 。- r l 。r 0 。) ， z 。= ( 1 一d 。) h 。+ 6 。w n = u 。一d 。r 。r 。) ， 其中 叩。) 和 d ) 为二个取值于【o ，1 】的实数序列，满足叩打6 。= y “其中m 。为满足 下面条件的最小的非负整数： ( 丁 。) 一丁 。一y n r 。) ) ，r o 。) ) s 仃f 陋o 。) 0 2 。 ( 2 2 1 ) 设 d 。) = 月 。) 一口。r 。) + i l r 0 。) ， 小熊产。 选取o 。z a ：使得： ( r ( u 。) ，r ( u 。) 一口。r ( u 。) + ，( z ) ) + 0 。一“。 。) ，d ( u 。) ) = 0 ， 其中 “。 ) = 陋。一o a ( u 。) 】。 设 u 。+ 1 = ，：【“。一口。d ( “。) 】。 下面对算法2 2 1 作进一步的分析： 首先，我们来看( 2 2 1 ) 式中给出的步长。如果u 。不是问题( 2 1 1 ) 的解则由引 理2 1 5 知r ( u 。) ；0 。由算子丁的连续性，满足( 2 2 1 ) 式的d 。叩。应存在。从 ( 2 2 1 ) 式和仃 。) ，r ( u 。) ) z 忙 。) 02 ( 由引理2 1 1 可推得) ，可以知道 p 以。) 一月 。) ，r ( u 。) ) 兰0 ，则 ( 斥m 。一丁以。) 卜【“。- r ( u 。) ，“。一最阻。一丁( “) 】) = 0 ， ( 2 2 2 ) 第二章解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 j 司时也可以推出： ( t ( z 。) ，月o 。) ) 苫( z o 。) ，r o 。) ) 一o j j r ( 。) fj 2 苫( 1 一盯) j k 以。) 20 ， ( 2 2 3 ) 由此可以看出由步长规n ( 2 2 1 ) 与参考文献【8 ，9 】中给出的步长规则联系很紧 密。当然如果丁以) 在k 上是l i p s c h i t z 连续且有l i p s c h i t z 常量l 0 ，则对所 有的，1 ) 1 ，jr 。有一个非负的下界。事实上，由( 2 2 1 ) 我们知道对任意的n 1 ， 女口果6 。，7 1 ，贝0 巾 。) 1 1 2 = ( 地) 一地一( 挚) 眠) ) ，眠) ) o i r 。) f r 2 也就是说d 。玑( 孚) ) 0 ( 2 2 4 ) 其次，我们再来看搜寻方向a ( u 。) ，在该算法中搜寻方向选取为 r o 。) 一t 0 。) + 一丁( z 。) ，可以看到它是投影残余函数以及修正超梯度 0 n 仉 m a n n 迭代相结合的搜寻方向。 在( “一z ，v 一“) z 0 中， 取z ；“。一a 。t ( u 。) ， “= & 阻。一r 。) 】 ， v = u 。 代入可得到 ( 最阻。一丁0 ) 卜+ r ) ，+ 。一坟h 一丁0 。) 】) 0 ，整理得 。一u n + l ，r 以。) 一r 0 ) ) 僻( h ) 一t 0 。) ，月( “。) ) 。 ( 2 2 5 ) 在p p ) ，v - e ) 0 中， 取v = u 。一6 。叩。周。) ，可得 ( r ( z 。) ，“。一h - 一巧。，7 。尺( “。) ) 0 ，整理得 0 。一万，r ( z 。) ) j d 7 。( r 。) ，r ( z 。) ) 。 ( 2 2 6 ) 由算法2 2 1 和引理2 1 1 ，有 | | “。+ 。一万1 1 2 = 【尸之阻。一a 。d ( “。) 】一厅i 2 s 怯。一c f n d 。) 一万旷一怯。一a 。d ( “。) - - n * 1 1 1 2 ， 阮一厅l 2 一k ，一万0 2z2 a 。u 。一i f , e ( u 。) ) + 阮一。f 1 22 a 。( “。一，d 。) ) = 2 a 。( “。一i ，d ( “。) ) + f k 。- - n * l a 。c f ( “。) 1 1 2 一a ：j p ( “。) 8 2 = 恤。- - a n + l d 。d ( u 。) j | 2 一。：i p ( “。) i f 2 + 2 a 。( “。一百，d 。) ) 。 第二章解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法8 鼬u - f f , d ) 2 ( “。坷皿。地) + 矗地) ) z ( “。一i f , r ( u 。) 一o t n r ( “。) ) + ( r ( z 。) ，r ( u 。) ) z 似0 。) 一r ( u 。) ，r ( u 。) ) + ( r ( z 。) ，r ( u 。) ) = 仁( “。) ，r ( u ) 一a n r ( u ) + 丁0 。) ) ， 由上面的推导可得： 慨一百卜k 。一i j 2 芑帆一，一o n d ( u 。) 1 1 2 a ：l l a ( u 。) 1 1 22 a 。仁0 。) ，r ( u ) 一r ( u 。) + 丁( z 。) ) 。 设 中。( 口。) = i 卜。- - u n + 1 一a 。d ( u 。) j | 2 一a ：i p ( “。) f 2 + 2 a 。( r ) ，r ( u 。) 一c tt ( u 。) + z ( z 。) ) 则肛。一厅0 2 一忙。一酬j 2z 巾。心。) 。 ( 2 2 7 ) 由引理2 1 3 ，我们有 中： 。) = 一2 ( u 。一“。一o ：n d ( u 。) ，d ( u 。) ) 一2 a r l , i c u 。) 1 1 2 + 2 ( r ( u 。) r ( u 。) 一r ( u 。) + 丁0 。) ) = - 2 ( u 一“。，d ( u 。) ) + 2 ( r 以。) ，r ( u 。) 一口。r ( u 。) + t ( z 。) ) = 2 ( “。一“。，d ( u 。) ) + 2 似0 。) ，r ( u 。) 一丁 。) + r ( z 。) ) a 为了说明步长规则对c t 。是可行的，只需要证明a 。z a ：存在并且使得 m 。 。) ；0 。因为( “。一u n , d ( u 。) ) s 口忙0 。) 1 1 2 ，故如果 a o 。也就是说，是方 a u 。也就是况是刀 程m 。 。) = 0 的最小非负解。且满足z a ：。 考虑优化问题m a x 蚀。( a ) l a o ) ，由于巾。以；) 关于a ) 0 是单调递减的 ( 由引理2 1 2 知) ，则对u 。隹k 中：( o ) = 2 ( r 。) ，r 0 。) + r ( z 。) ) ，2 ( 1 一o ) l l r ( u 。) 1 1 。，0 ， 我们知道如果方程中。 ) = 0 有解，则所有方程的解都是优化问题 m a x 巾。 ) k z o ) 的解。下面的引理证明了方程中。( c t 。) = 0 有解，说明了算法 2 2 1 中d 。的选取是合理的，其证明见参考文献【2 3 】。 第二章 解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 引理2 2 1 2 3 上面定义的函数巾。以) ，对于方程中。 。) = 0 是可解的。 由上面的分析我们可知算法2 2 f 是可执行的，下面给出收敛结果。 定理2 2 1 假定条件( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，如果序列由算法2 2 1 得到的序列 u 。) 是无穷的，则序列恤。) 全局收敛于问题( 2 1 1 ) 的解厅。 证明：因为是优化问题m a x 巾。似) kz 田的解，由( 2 2 7 ) 可知 忙。一司2s 肛。一司f2 一中。( a 。) s 帆一硎2 一垂。( a ：) = 怯。一厅扩一2 口：( 月( h 。) ，月( “) 一口：丁( “。) + t ( z ) ) + + ( 口蚓d o 巾一帆，一a ：d 师 s 忙。厅i f 2 2 a ：( r ( “。) ，r o 。) 一a ：r ( “) + r ( z 。) ) + ( 口：) 2j p ( “。) j 1 2 讣。讲熊掣 s f i l , o - 邢一掣。 所以序列似。) 是与k 有关的f e j e r 序列，且恤) 是一有界序列，故序列 z 。 ， r 。) ) ，f f ( z 。) ) 也是与k 有关的f e j e r 序列。这里存在 o ，1 ，) 的两个 无穷子集l 和j v ：使得盟。i i r ( u 。) j 口0 或怫l i m 一。6 。仉= 0 成立。如果 月e 1 ”，i e 盟。d 。仉2o 成立，由引理2 1 - 5 可知仁。，h ，的任意聚点盯是问题 ( 2 1 。1 ) 的解。因为序列恤。 是关于世+ 的f 可e r 序列我们选取i = 疗，则可以知道序 列恤。 全局收敛于盯。否则，由( 2 2 1 ) 可得， ( r 。) 一丁 。( 皇导) 月u 。) ) ，月( “。) ) ，o l i r ( 。) i j 2 ， vn e n ：， 因此，b 卜丁( “。一( 等) 眠小盯忙酬， v n 2 ， 再由；墅巴。二警= o 可推出。f 雹r ( ) = o ，同理可得序列扯。，月：) 的任意 ，d ，vn e 1 7 。 “一一 聚点也是问题( 2 1 1 ) 的解，用厅替换这些聚点可得到所希望的结果。 第二章解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 第二章解变分不等式的超梯度m a n n 迭代算法 本章分两部分研究了变分不等式近似解的一种新的超梯度迭代算法，其中 第一部分是预备知识，第二部结合了投影残余函数以及m a n n 迭代，给出求解 变分不等式的超梯度m a n n 迭代方法和通过该迭代法则计算变分不等式近似 解，并证明了该迭代序列的收敛性。 2 1 预备知识 设h 是一实h i i b e r t ，其内积和范数分别为( ，- ) 和l l i i 。k 为h 的非空闭凸子 集，映象r ：k 日为一给定的非线性算子。现在考虑下述变分不等式问题： 求“k ，使得 ( r 0 ) ，y - - u ) 0 vv c k ( 2 1 1 ) 这类变分不等式问题首先由s t a m p a c h i a 在1 9 6 4 年提出并加以研究，其结果被 广泛的应用于研究力学、控制论、经济数学、对策论、微分方程和最优化理论 问题，参见文献【2 - 6 】。 定义2 1 1 2 2 映象r ：日一h 称为： ( 1 ) 单调的，如果满足条件： ( r ( h ) 一丁( v ) ，u v ) 2 0 ， v u ，y e h ； ( 2 ) 伪单调的，如果满足条件：对一切 “，v 爿， 仃以) ，v 一“) zo ，一p o ) ，v 一“) z o 。 定义2 1 2 2 3 设k 为h 上的一凸子集，任意“日在k 上的投影定义 为： & 0 ) = a r g m i n i i v - u l l v e k ) 其中为h 上的范数。 引理2 1 1 2 2 设k 为h 上的非空闭凸子集，则对任意“v e h ，w e k ( 1 ) ( 最( “) 一“，w f ：( h ) ) 苫0 ， ( 2 ) ( ，：( “) 一f ：( v ) ，“一v ) 己0 ， 第二章解变分不等式的超梯度m a 肿迭代算法 6 口 0 。 2 2 算法及收敛性 下面这部分给出求解变分不等式问题( 2 1 1 ) 的超梯度m a n n 迭代算法，该算 法所生成序列在假设( a 1 ) 和c a 2 ) 成立的条件下收敛。 算法2 2 1 2 5 初始步骤：选取任意的口，y ( o mh 。e k ； 迭代步骤：对u 。e k ，定义 v = 最阻。一r 。) 】。 如果n ( u ) = 0 ，则停止。否则，计算 w n = ( 1 一r 。) u 。+ ，7 。v 。= u 。- r l 。r 0 。) ， z 。= ( 1 一d 。) h 。+ 6 。w n = u 。一d 。r 。r 。) ， 其中 叩。) 和 d ) 为二个取值于【o ，1 】的实数序列，满足叩打6 。= y “其中m 。为满足 下面条件的最小的非负整数： ( 丁 。) 一丁 。一y n r 。) ) ，r o 。) ) s 仃f 陋o 。) 0 2 。 ( 2 2 1 ) 设 d 。) = 月 。) 一口。r 。) + i l r 0 。) ， 小熊产。 选取o 。z a ：使得： ( r ( u 。) ，r ( u 。) 一口。r ( u 。) + ，( z ) ) + 0 。一“。 。) ，d ( u 。) ) = 0 ， 其中 “。 ) = 陋。一o a ( u 。) 】。 设 u 。+ 1 = ，：【“。一口。d ( “。) 】。 下面对算法2 2 1 作进一步的分析： 首先，我们来看( 2 2 1 ) 式中给出的步长。如果u 。不是问题( 2 1 1 ) 的解则由引 理2 1 5 知r ( u 。) ；0 。由算子丁的连续性，满足( 2 2 1 ) 式的d 。叩。应存在。从 ( 2 2 1 ) 式和仃 。) ，r ( u 。) ) z 忙 。) 02 ( 由引理2 1 1 可推得) ，可以知道 p 以。) 一月 。) ，r ( u 。) ) 兰0 ，则 ( 斥m 。一丁以。) 卜【“。- r ( u 。) ，“。一最阻。一丁( “) 】) = 0 ， ( 2 2 2 ) 第三章集值映像簇的不动点定理在广义矢量拟平衡问题组中的应用 1 1 第三章集值映象簇的不动点定理在广义矢量拟平衡问题组中 的应用 本章分三个部分讨论了集值映象簇的不动点定理在广义矢量拟平衡问题组 中的应用，其中第一部分是预备知识，第二部分是广义矢量拟平衡问题组，最 后第三部分利用集值映象簇的不动点定理给出了广义矢量拟平衡问题组的存在 性的证明。 3 1 预备知识 设x 和y 为两个非空集，2 7 和伍) 分别表示l ，的一切子集的簇和z 的一切 非空有限子集的簇。对a e ( x ) ，陋i 表示爿的基数。令a 。是具有顶点c 0 ，e 。，巳 的n 一维标准单型，如果，是 o ，1 ，n 的非空子集，用，表示顶点集# ，：j ， 的凸包。 以下的e 一凸空间的概念由l i n 和p a r k 【2 6 】引入。 定义3 1 1 称( 工，r ) 为一g 一凸空间，如果x 是一拓扑空间和 r ：伍) 一2 。协 使得对每一m ) ，l m l = 月+ 1 ，存在一连续映象 ：a 。一r ( m ) 使得b ( 吖) ，j b i = p j f + 1 ，蕴涵( a ，) c r 陋) ，其中a ，表示 对应于口竹) 的a 。的面。令( z ，f ) 为一e 一凸空间和d z ，称d 为e 一凸 的如果对每一m ( d ) ，r ( m ) cd 。o 一凸空间的主要例子有拓扑矢量空间的 凸子集，l a s s o n d e 的凸空间，h o r v a t h 的仿凸空间，k o m i 的凸空间，b i e l a w s k i 的简单凸性空间，j o o 的仿凸空间等，例如见参考文献 1 7 - 2 1 ，2 6 ，2 7 。 定义3 1 2 1 2 8 设x 为拓扑空间和( y ，f ) 为一e 一凸空间，曰( y ，x ) 为较好 的容许映象类，f b ( y ，x ) 当且仅当f ：y 一2 为上半连续集值映象且具有紧 值，使得对任何爿( y ) ，陋i = n + 1 和对任何连续映象妒：f ( r ) ) 一a 。，结合 映象妒。f im l 。九。一2 “有不动点。 定义3 1 3 2 9 设d 为拓扑空间z 的子集，称d 在盖中为紧开( 紧闭) 的，如果对搿的每一非空紧子集k ，有d n k 在k 中是开( 闭) 的。对任意给 定的x 的子集d ，定义d 的紧内部c i n t ( d ) 和紧闭包c c l ( d ) 如下： 第三章集值映像簇的不动点定理在广义矢量拟平衡问题纽中的应用 1 2 c i n t ( d ) = u 忸c x ：bc d 且b 在：r 内紧开 ； c c l ( d ) = n 忸c x ：d c b 且口在x 内紧闭 ： 易知c i n t ( d ) ( c c l ( d ) ) 在x 内为紧开( 紧闭) 的且对任何非空紧子集， d n k 庐，有c i n t c d ) n k = i n t ( d n k ) 并c c i ( d ) n k = c 1 月d n k ) 其中 i n t 。( d n k ) 和c l 。( d n k ) 分别表示d n k 在k 的内部和闭包，故x 的一子集 d 在z 内为紧开( 紧闭) 的当且仅当c i n t ( d ) = d ( c c l ) = d ) ，显然，x 的每 一开( 闭) 子集在z 内是紧开( 紧闭) 的。 定义3 1 4 1 2 9 z ，y 为拓扑空间，称映射t ：x 一2 7 在z 上是转移紧开值 ( 转移紧闭值) 的，若任取z x 和】，中的任意非空紧集 k ，y 丁o ) n k ( y 岳r 0 ) n k ) ，则 存在 工j， 使得 y e i n t 。口0 ) n k ) ( y 硭c f 。仃o ) m k ) 。显然，开值映射( 闭值映射) 一定是紧 开值( 紧闭值) 映射，紧开值( 紧闭值) 映射一定是转移紧开值( 转移紧闭值) 映射，反之则不然。 引理3 1 5 3 0 设工是拓扑空间和，是有限或无限指标集，对每一i ， 伍；，e ) 是。一凸空间。定义r ：( x ) 一2 。、侈) 如下： r ( d ) = 丌r f 仁。( d ) ) ，v d ( j ) ， 甘 则，r ) 也是一。一凸空间。 引理3 i 6 2 1 设x ，l ，是两个拓扑空间，g ：x 一2 7 ，则下列陈述等价： ( j ) 对每一z x ，g o ) 非空且g 一：y 一2 。是转移紧开值的， ( i i ) x = u c i n t g 4 ( y ) 。 目 引理3 1 7 3 1 设z ，l ，为拓扑空间，a ：x 一2 7 是具有非空值的集值映射， 则下列五个条件等价： ( i ) a 有紧的局部交性质； ( i i ) 任取x 中的一紧集k 和v y y ，存在盖中的一开子集0 ，( 可能是空 集) 使得o ，n kc a 。1 ( y ) 且k = u ( o ，n k ) ； 目 ( i i i ) 任取x 中的一紧集足，存在集值映射f ：x 一2 7 使得 印y ，f 。( y ) cx 为一开集或 空 集； f 。( y ) n kca - l ( _ y ) ，w y ，k = u p 4 ( _ y ) n k ) ； 第三章集值映像簇的不动点定理在广义矢量拟平衡问题纽中的应用 1 3 ( i v ) 任取x 中的一紧集足和v x e k ，母e y 使得 x e c i n t a ( y ) n x ，k = u ( c i n t a 。( ) ，) n k ) = u “( y ) n k ) ： v 日 y e y ( v ) 设a 一：y 一2 。为1 ，上的一转移紧开值映射。 下面这个不动点定理为7 l 2 1 】中的结论。 引理3 1 8 设i ，e k 为一簇g 一凸空间， 对每一 i e l ，a ，q ：x 一2 置，e ：盖，一2 置为集值映射，令f o ) = 丌曩0 f o ) ) ，z ， 甘 使得下列条件成立： ( i ) i g 受f e b 伍，x ) 且对每一x x 和n i ( 爿，( 功) ，( e ( 1 ) ) cq j o ) ， ) 存在z j 的一非空子集爿? 使得对每一n i ( j 。) 都有置的一紧e 一凸子 集上札c x ；包含伍? u n i ) ，满足o i = n ( c i n t 4 - 1 ( y 。) r 或者为空集或者为紧的 y i x ： 且qcu c i n t a z l ( y i ) 。其中( c i n t a ；- ( y ，) ，表示c i n t a i - 1 ( y ，) 在盖中的补集，则 y i - x i 存在主= 。) 。，使得对每- - i g l ，有毫q i ) 。 3 2 广义矢量拟平衡问题组 设，是有限或无限指标集。设慨乙，仁；b ， z ， 日为3 个拓扑空间簇， 2 置为z i 的所有子集的簇，且令z = 丌j ，。对每一f ，令正：卫一2 毋， 甘 s f ：工一2 与，c i ：盖一2 ，a f ：x 一2 _ 和讫：d ix e 。x x j 一2 2 r 是集值映象， 设4 0 ) ；丌4 0 ) ，x g x ，石，：x x ；为投影算子。本文所要讨论的一广义矢量 1 - 拟平衡问题组s g v q e p ( 3 2 1 ) 是：求主z ，使得 f毫= 石。 ) c a 。 ) ，v i ， i 劬