（基础数学专业论文）常中曲率曲面的flux.pdf

摘要 本文讨论双曲空间中常中曲率曲面的f l u x 在( 2 】中，r o s s m a n 等人定义了双曲空间中中曲率为1 的曲面的f l u x 这里我们同样研究 双曲空间中中曲率为1 的曲面的f l u x ，我们给出其的另一种定义方 式，这个定义是欧氏情况的推广，并研究其性质及应用 关键词：双曲空间，平均曲率，f l u x i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r 、w ed e a lw i t ht h ef l u xo fc m c 一1s u r f a c e s i nh y p e r b o l i c s p a c e i n 吼f l u xh a sb e e nd e f i n e df o rc m c 一1s u r f a c e si n h a h e r e ，w e a l s os t u d yf l u xo fc m c ，1s u r f a c e si n 日3w eg i v ea n o t h e rd e f i n i t i o no f f l u x ，w h i c h i sa l le x t e n t i o no ft h a tf o rm i n i m a ls u r f a c e s i ne u c l i d e a n s p a c e a f t e rt h a tw e d i s c u s si t sq u a l i t ya n da p p l i c a t i o n ， k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cs p a c e m e a nc u r v a t u r e ，f l u x i l l 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范 大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我同工作 的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 签名：盈翔泅嘲型墨z 一 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门迭交学位论文的复印件，允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复印手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名 e l 期 趔 驾! z 指导教师签名 日期 叠么 抄v 叩丫 1 引言 对于欧氏空间r 3 中的c m c ( c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e ) 曲面，已 经在曲面中的闭曲线的同调类上定义了f l u x ，这里我们称之为k k s f l u x 同样在f 4 1 中，具有常截面曲率一1 的双曲空间中对于c m c 曲面 相应的也定义了f l u z ，称之为k k m s f l u x 日! l 中对于c m c l 的 f l u x 的定义想法是从k k s f l u z 和k k m s f l u x 的定义引发的。 在2 1 中，r o s s m a n 等人利用b r y a n t 表示定义了双曲空间中中曲率为 1 的曲面的一种f l u xf 1 且f f 满足一个平衡公式；设z ：m 盯3 是一个分支c m c 一1 浸入，则在端处的f l u x 的总和为零；即，我们有 平衡公式只，= 0 k k s f l u x ( k k m s f l u x ) 是沿曲面中一条 ，= l 曲线1 的积分和在科( 日3 ) 中由7 围成的2 维圆盘“c a p ”上的积 分之和。当h = o 时，在c a p 上的积分显然为零。这里我们同样研究双 曲空间中中曲率为1 的曲面的f l u x ，我们给出其的另一种定义方式， 并研究其性质及应用。 1 2 预备知识 先简单回顾r “中极小曲面的有关内容 设m 是一个r i e m a n n 曲面， f ：m _ 脚为共形极小浸入 ( n 3 ) 对于m 的局部坐标z ，定义 = 誓，厶= 兽，_ 1 ) 一，礼 取n = o f = a d z ，它是定义在m 上伊一值的全纯l 一形式，且满足 如下的条件 ( o ，。) = 0 ，( 2 1 ) ( a ，a ) 0 ( 22 ) 其中( ，) 是研上标准内积的复化反过来，当m 是单连通r i e m a n n 曲面，为m 上满足( 2 1 ) 、( 2 2 ) 的c “一值全纯1 形式，则映射 ，：m _ r “ ，= 2 r e n ，( 23 ) 是共形极小浸入( 2 3 ) 称为曲面的w e i e r s t r a s s 表示特别当n = 3 时有 ，= r e ( ! 。( 1 9 2 ) u ，z 。( 1 + 9 2 ) “2f 。9 u ) ( 2 4 ) j3 2 0jz 0jz 0 若记n = ( a 1 ，0 2 ，q 。) = d d z = ( d l ，d 2 ，d 。) d z 、极小曲面的诱导 度量d s 2 及它的g a u s s 血率k 分别为： nn d s 2 = q 。瓯= 蚓2 i d z l 2 ， ( 2 5 ) z = 1t = l n k = ( 一l 画( 吗) ：一町( 画) 。1 2 ) ( l 吗n 2 ( 26 ) i 0 h 3 具有从工4 继承的诱导度量，驴的定向如下给出：u l ，u 2 ，w 3 l h 3 构成一个定向基底当且仅当 ”，。t ，。z ，口a ) 构成三4 的一个定向基底日3 同胚于一个3 维球且在日3 上诱导的度量是常截面曲率为一l 的完备度 量把l 4 与2 x2 阶的h e r m i t i a n 对称矩阵空间h e r i n ( 2 ) 等同起来， 等同关系如下： + - - + h 盯m ( 2 扎乱，勋一3 ) hl 圹t + x 嘞3 则双曲空间口3 与如下的h e r m ( 2 ) 的子集等同 日3 = r i d e r ( u ) = 1 ， 日洲- 4 2 ) ) 复单模l i e 群s l ( 2 ，c ) 在h 3 上有一个自然的等距作用 其中a s l ( 2 ，c ) ，这个作用的核为土，在极小浸入： ，2 _ 的 理论中，o s s e r m a n 有这样的结果：如果：m 2 - e 3 是极小浸入， 其中诱导度量是完备的且只有有限总曲率，则存在唯一一个紧致黎曼面 j ( 。和有限个点ee 丽。使得 2 = 丽2 一e 够的( 1 , 0 ) 部分即a ，在 m 2 上全纯，且可亚纯扩张到m 上；g a u s s 映射7 ，：m 2 斗s 2 是全 纯的，可扩张成一个全纯映射砑：丽2 - s 2 在双曲空间中，也有类似 的结果存在 3 1j 2 珏铂 + 一 q 0 3 常中曲率曲面的f l u x 设m 是一个黎曼面f ：m h 3 是一个共形分支的c m c 1 浸入第一基本形式在其上等于零的点称为c m c 一1 曲面的分支点， 在c m c 一1 曲面上的分支点都是离散的设m 是m 的万有覆盖，取 ，的w e i e r s t r a s sd a t a ( g ，u ) ，设f ：m 寸p s l ( 2 ，c ) 是，关于( g u ) 的唯一的提升。由f 6 定理1 ，4 可知它也是零全纯映射设g 是双曲 g a u s s 映射，q 是_ 厂的h o p f 微分逆矩阵函数f - 1 ：m 斗p s l ( 2c ) 也是一个零全纯映射，# ：= f - ( f 。) + 确定了一个新的“对偶”分 支c m c l 浸入，群：m h 3 ，这个对偶啦面的w 奄i e r s t r a s s d a t a 是( g u 撑) ，其中 “社：= 羞 ( 1 ) 1 则有下面等式成立： n ( f _ l d ( f - 1 ) = 埘，1 = ( 罕髻) u # g 和q 在m 上是单值映射，所以q # 也是a ，上的单值映射现在我 们定义m 上对于任意闭道1 的g 3 一值f l u xf i # ( 1 ) f l # ( 1 ) ：= ( ( 1 一g 2 ) u 壮，i ( 1 + g 2 ) u # 、2 g u 挣) ( 3 ) j j 1j1 因为d f f 。在a ，上是全纯的，所以f l u xf t # ( ，) 仅依赖于闭道 t 确定的同调类这种定义方式是欧氏极小曲面情形的推广 假设存在一个闭的黎曼面丽和有限个点 p 一，p 。) 使得肘双 全纯于丽 m ，：p n ，且第一基本形式在每点胁处都是完备的每 个功称为分支曲面的一个端当，是完备的且具有有限总曲率的浸 入时，这些条件自动满足，这样我们在每个端p ，处有一个定义合理的 c 3 一值f l u zf l j 撑： f l ，苹= f l ，群( ) g 2 ) ，。厶( 1 + ) w # , 2 。g 4 其中是围绕端功的闭道 定理1 ：设，：m - h 3 是一个分支的c m c l 浸入，则在端 处的f l u x 的总和为零；即有下面的平衡公式： f 萨= 0 ( 5 ) ，= 1 证明：因为丽是闭的黎曼面，所以可阻把丽三角剖分，再根据 c a u c h y 残数定理有 u l ? = f 学( 1 j ) j = lj = 1 = 耋( z ，( 1 - 6 2 脾厶( 1 + g 2 m 厶g i ( 0 删 证毕 现在我们考虑c h i c 一1 浸入的正则端若双曲g a u s s 映射在一 个端处是亚纯的，则称端为正则端一个端为正则当且仅当在端处h o p f 微分q 或全纯，或在端处最多有2 级极点 利用一个端z = 0 处的局部复坐标系( u ，。) h o p f 微分可表示为 q ( 。) = q ( z ) d z 2 = ( q _ = - f 2 + 生z 兰+ ) d 。2 1 6 ) 如果q 一2 0 ，则称端o = 0 是具有型i 的正则端；如果。一2 = 0 则弥 其它具有型i i 的正则端首先计算具有型i 的端处的f 1 u x 我们设在 端处z = 0 ，则w e i e s t r a s sd a d a ( g ，u 书) 可被正规化： g ( ：) = e ( 。) ，u 孝= z k & 孝( z ) d z 孝( o ) 0 ，g ( o ) o ) 其中l 0 和都是整数，g ( 。) 和5 0 # ( z ) 都是全纯函数因为，# 的度 量也是完备的，所以我们有k + f o ) 和七都是整数因为q 一2 = 0 ，由【7 中的引理2 和性质4 可知第二g a u s s 映射g 具有形式g ( z ) = 一( 2 ) ，其中d ( o ) 0 是全纯 函数因为9 是单值的，所以，带也是单值的当9 和g 在u 上都是 单值的，则f 和厂# 的提升f 和f _ 1 也都是单值的因此由f 3 1 中的 定理2 4 可知，下面微分方程 r 一掣x ，+ q 一：o 0 2 0 撑f z l “。o 、。，一“ 的l o g t e r m 系数0 为零，其中q = q ( z ) d z 2 设0 # ( 。) = l d 0 + 。+ u 2 。2 ，其中u o 0 由( 6 ) 和( 1 ) ，我们 有 甄斗i 一】吼+ k + ( f + 1 ) u 0 9 7 ( 0 ) 。o 2 一t o ( o ) “13 。i 歹而了一 设 是围绕原点的闭道因为q - 2 = 0 且g 0 撑= 一7 ( g d g ) 和 g 2 白# = 一g q ( g d g ) 在z = 0 处全纯，所以，我们有 ( 上( 1 一g 2 ) 。群，z 上( 1 + g 2 ) 。存，2 g 。# ) = ( 2 7 c i w m , 2 ”i w , n , o ) 其中m k 1 是端的重数易得微分方程没有f 。9 一t e r m 当且仅当 u j l = 一q - ic - j o ( t n = i 1 4 w 2 2 一q o w o 一3 q l b 2 1 6 q 1 1 u o ( m = 2 ) 由( 1 ) 可得o r d ：o q = l + k 一1 一l ，其中等式成立当且仅当q - l 0 ， 所以由上述可得： 定理4 ：重数为m 的具有型i i 的正则端有非零的f l u x 当且仅当 口一l 0 q - 1 = 0 ，q o 0 ，( m = 1 ) 或 q - 1 0 ) 4 一端_ 0 ( m 叫 因为端为嵌入的当且仅当m = 1 ，所以由性质2 和定理4 可得： 推论5 ：一个正则嵌入端有零f l u x 当且仅当h o p f 微分q 在端处 是全纯的 例：注意到即使在型i 的情况，f l u x 也不仅依赖于端的渐进方 式例如，c a t e n o i dc o u s i n 有如下定义在m = c 0 ) 上的d a t a ： 9 = ，g = 。；q = 学，( p r + 1 ) ) 则在z = 0 处的f l u x 为： ( 上( 1 一g 2 ) u 带，i 上( 1 + g 2 ) w 社，2 上g u 孝) = ( 驴a 学d z i ”z 2 ) 丁1 - # 2 d z ，。上z 半窘) = 丁1 - - p 2 ( ：( 。_ 1 ) 珐i z 扩2 + 1 ) 蚴，2 上。_ l d 。) = 1 - 4 , u 2 ( o , o , - 4 i ) 再考察另外一个例子： g = ：p ，g = z + ；：2 ，q = 互1 ( s ( g ) 一s ( g ) ) = ( 1 - 。# 2 ：1 i ( 其中s 是s c h w a r z i a n 导数) 这是一个分支曲面因为c ( o ) = 0 ，可利 7 用【3 】中的( 5 1 6 ) 验证：原点处的端渐进于上述c a t e n o i dc o u s i n 的在 。= 0 处的端在原点处的f l u x 为： ( f ( 1 一g 2 ) u # ，i 上( 1 + g 2 ) u # ，2 上g u 徉) = 半( 4 丌i , 0 , - 4 w i ) ，j 10 1 1 这是和c a t e n o i dc o u s i n 的f l u x 的不同之处 作为f l u x 公式的一个应用，我们给出如下的结果： 定理7 ：设丽是一个闭的黎曼面，考虑一个分支c m c 一1 浸 入，：丽 p 一，p 。) - 胪，且其端都是正则的设p l 是具有型i 的 端也假设端 p h 一，肌) 都是双曲g a u s s 映射g 的极点或零点则 ，有至少还有一个具有型i 的端z = p j ，( 2sj n ) 证明：设1 一形式1 ：= g u 徉，其中u # ：= 一暴因为，的所有端 都是正则的，所以q 是m 的亚纯l 一形式另外，q 和一q 是s l ( 2 ，c ) 一 值1 形式一d f - f 。的对角线元素，所以q 在丽 p h 一，p 。 上是 全纯的这样我们有珊= 0 ，其中卵j 是q 在p j 处的残数q 在端 处有如下l a u r e n t 展开： h 尚+ 墨川舻川小，n ) 其中q 翌0 q 翌= 0 对于j = 2 ，n 因为每个端。= p j j = 1 ，n ) 都是g 的极点和零点，我们有 g d g ：= a 3 ( z p j ) + b j z p j ) 2 + - 一，( j = 1 ，一，n ) 其中a j 是非零的复数这样我们可得到m = 一a l q 二j ( o ) v j ( z ) o ，j = 2 ，n 这就和善叩j 2 o ，矛盾了 例：易看出有完备c m c 一1 浸入，：c o ，1 ) - h 3 使得 g = i 兰 f ( z 2 - 4 z + 1 ) ，。= 。2 ，q = i 了兰可8 。2 ， 其有3 个正则端且仅有z = 1 是具有型i 的端这表明定理7 中条件 ( ph 一，m ) 是g 的极点或零点是必不可少的另外还表明就象，z 蛔， 8 一样，k k m s f l u x 在型i i 的端处不总为零这是因为k k m s f l u i 满足平衡公式，且对于具有型i 的正则端k k m s f l u z 不为零 9 参考文献 1 r b r y a n t ：s u r f a c e so fc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r eo n ei nh y p e r b o l i c s p a c e ，a s t e r i s q u ev 0 1 1 5 4 - 1 5 5 ，( 1 9 8 7 ) ，3 2 1 3 4 7 2 u f a v n er o s s m a n m a s a a k iu m e h a r a ，a n dk o t a r oy a m a d a ：f l u xf o r m e a nc u r v a t u r e1s u r f a c e si nh y p e r b o l i c3 - s p a c e ，a n da p l i c a t i o n s ， p r o a m e r m sv o l u m e1 2 7 ，n u m b e r7 ，p a g e s2 1 4 7 2 1 5 4 ，s0 0 0 2 9 9 3 9 ( 9 9 ) 0 4 8 9 2 3 3 m u m e h a r a ，k y a m a d a ：c o m p l e t e s u r f a c e so f c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e 一 1i nt h eh y p e r b o l i c3 - s p a c e a n n o fm a t h ，( 1 9 9 3 ) ，1 3 7 ：6 1 1 - 6 3 8 4 n k o r e v a a r ，r k u s n e ra n dbs o l o m o n ，t h es t r u c t u r eo fc o m p l e t e e m b e d d e ds u r f a c ew i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e ，jd i f i e r e n t i a lg e o m e t r y3 0 ( 1 9 8 9 ) ，4 6 5 5 0 3m r 9 0 9 ：5 3 0 1 1 5 n k o r e v a a r rk u s n e r ，w h m e e k sa n db s o l o m o n s u r f a c ei nh y p e r b o l i