（基础数学专业论文）拓扑动力系统中的若干问题的研究.pdf

摘要 本文研究了拓扑动力系统中的两个问题 一个零维紧致度量空间上存在可扩同胚当且仅当该系统拓扑共轭于某个符号动 力系统中的子转移但符号空间的转移的不变子集的拓扑结构是一个极端困难的问 题 h k a t o 与j jp a r k 在 k p 】中刻划了可数子转移的拓扑舂圭纽。本文第一章就 一类满足较合理条件的零维不可数紧致度量空间进行了研究，得到了其上存在可扩 同胚的充要条件 另一方面，本文第二章推广了ki i o s a k a 与hk a t o 在h k 中的结果，证明了 若树映射的周期点集为闭集当且仅当每个链回复点都是周期点我们还证明了树映 射的拓扑熵为零当且仅当每个非周期点的链回复点的“一极限集不包含周期点 a bs t r a c t i nt h i s p a p e r ，w es t u d i e dt w oq u e s t i o n si at o p o l o g i c a ld y n a m i c s i t sw e l lk n o w nt h a to n ez e r od h n e n s i o n a l c o p a c t u mxa d m i t sa ne x p a n s i v e h o m e o i n o r p h i s i nfi fa n do r d yi f ( x ，f ) i st o p o l o g i c m l yc o n j u g a t et os u b s h i f to fs o m e s y m b o l i cd y n a m i c s b u ti t l sv e r yh a r dt od e t e r m i n et h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fs u b s h i f t l a t c r l y ，h k a t oa n djj p a r kd e t e r m i n e dt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fc o u n t a b l e s u b s h i f ti i i kp 1 i nc h a p t e ro n e 、w es t u d i e do n ec l a s so fz e l - od i m e n s i o n a lu n c o u n t a b l e c o u l p a c t u n l _ w h i c hs a t i s f i e ss o r l er e a s o n a b l ec o n d i t i o n ，a n do b t a i nt h es u 珩c i e n ta n d u e c e s s a r yc o n d i t i o n so fi ta d m i t sa ne x p a n s i v eh o m e o m o r p h i s m i nc h a p t e rt w o ，w e g e n e r a l i z et h er e s u l to fh h o s a k aa , n di i k a t o h k b yp r m i n g t h a tt h es e to fp e r i o d i c p o i n t so fac o n t i n u o u sm a po f t r e ei sc l o s e di fa n do n l y i fe a c hc h m nr e c u r r e n tp o i n ti sap e r i o d i co n e w ea s o8 h o t vt h a tt h et o p o l o g i c a i e n t i o p yo fat r e em a p i sz e r oi fa n do n l yi ft h eu i i m i ts e t , o fe a c hc h a i nr e c u r r e n t p o i n t ( w h i c hi s n o tp e r i o d i c ) c o n t a i n si 1 0p e r i o d i cp o i n t s 致谢 y 3 0 6 1 8 8 本文是在叶向东教授的指导和耀助下完成的，他为本文的完成花费了大量的精 力正是叶老师在学业上的谆谆教诲和生活上无微不致的关心，才使我得以顺利的 完成学业在此，我向叶向东教授表示最诚挚的感谢 同时，我也要感谢父母多年来的养育之恩没有他们含辛茹苦的供养和无私的奉 献，就不会有我今天的一切此外，很高兴能有机会提到给过我极大鼓励和帮助的 其它人在叶老师组织的动力系统讨沦班曼李思敏老师，刘戈平，苏勇，黄文和 邵松同学也给了我很大的帮助无论课前还是课后，他们都热心地回答我的问题， 与我讨论，给我有关文献及其课题信息在此，我也向他们表示深深的谢意 前言 动力系统的研究起源于l 9 世纪8 0 年代hp o i n c a r e 对多体问题的研究由于描 述这类运动的微分方程的求解问题长期得不到解决，p o i n c a r e 首先开始了微分方程 的定性理论的研究，即通过方程本身的性质直接决定它所定义的积分曲线的性质 1 8 8 1 18 8 6 年间，他先后发表了四篇论文，后编为“微分方程所定义的积分曲线”一 书，从此拉开了动力系统理论研究的序幕 本世纪初，由于与非线性振动等实际课题的联系，动力系统的研究获得了令人 瞩目的进展 b ir k h o f f 等人将经典微分方程所定义的动力系统抽象为拓扑动力系 统，使这一学科在理论上进一步完善近几十年来，动力系统理论已经成为一个强 大的所学分支，取得了丰硕的成果；并成为现代主流科学非线性科学的一个重要 组成部分动力系统的发展沿着两条并行的路线，一方面是发现简单性，即探索周 期性和稳定性；另一方面是揭示复杂性，即研究不稳定性及混沌性在一个统一的 理论基础上，动力系统又被分成三个各具特色的研究领域：拓扑动力系统，微分动 力系统及遍历理论 在动力系统的研究中，符号系统的研究占有重要的地位它是动力系统一般理论 的试金石，反例的源泉符号系统研究的延拓便是可扩( e x p a n s i v e ) 系统的研究， 这从任意紧致度量空间上的可扩同胚都是某个符号系统的因子便可清楚的看出可 扩性是动力系统不稳定性的一种典型表现，并且成为动力系统研究中的一个经典课 题一方面，它与拓扑熵，测度熵之间有密切联系，例如，紧致度量空间上的可扩同 胚具有有限拓扑熵，紧致度量空间上的可扩同胚的熵映射是上半连续的等等另一 方面，紧致度量空间上的可扩同胚并不依赖于具体度量的选取，而只与空间的拓扑 性质有关，例如，若紧致度量空间x 上存在可扩同胚t ，则x 上存在相对于t 的 双曲度量rm “i 于1 9 7 9 年发表的著名文章”可扩同胚与拓扑维数”表明，若 紧致度量空间x 上存在可扩同胚t ，则x 的拓扑维数有限，并且t 的任意极小集 合都是零维的由此，什么样的空间上存在可扩同胚引起了广泛的兴趣并得到了深 入的研究我们知道单位区间与圆周上不存在可扩同胚to b r i e n 与w r e d 证明了任意亏格大于零的定向闭曲面上存在可扩同胚k h i r a i d e 于1 9 9 0 年解决 了一个困扰已久的问题，证明了5 0 上不存在可扩同胚；并证明了任意闭曲面上的 可扩同胚都是伪a i i o s o v 的，对于零维紧致度量空间而言，我们知道，任意零维紧 致度量空间上的可扩同胚都拓扑共轭于某个符号系统的子转移然而，遗憾的是， 到目前为止，人们对子转移系统的拓扑结构知之甚少h k a t o 与。jjp a r k 在近期 对可数子转移进行了研究，得到了其拓扑结构的刻划本文第一章对一类满足较合 理条件的零维不可数紧致度量空间进行了研究，得到了其上存在可扩同胚的充要条 件本章内容选自叶向东和李涛f y l ( 中文) 在拓扑动力系统理论中，有两个广为人知的深刻地反映了区间上连续自映射动力 学性质的结果，即s a r k o v s k i i 定理与b o w e n f r a n k s m i s i w r e w i c z 定理前者反映了区 间上连续自映射的周期点的周期间的制约关系f 该定理与y o r k e 的轰动一时的论 文“周期3 蕴含着混沌”有着密切联系) ，后者反映了区间上连续自映射的周期点的周 期与其拓扑熵之间的联系近年来，叶向东，m i s i w r e w i c z ，a l s e d a ，l l i b r e ，b a l d w i n ，b l o k h ，l , o s ，m o n a s a ，m u m b r e 等人将区间自映射的大部分结果推广到了树上，而后者上的 研究又与曲面自同胚同伦类的研究( t h u 一s t o n n i e l s e n 定理) 密切相关周作领和 n i t e c k i 首先证明了若一个区间映射的周期点集为闭集，则每个非游荡点都是周期 点。近期，h h o s a k o 和l - i k a t o 在f h k 中证明，若树映射的非游荡点集为有限 集，则每个非游荡点都是周期点在本文第二章中，我们将推广f h k l 的结果，证 明树映射的周期点集为闭集当且仅当每个链回复点都是周期点；我们还证明了树映 射的拓扑熵为零当且仅当每个非周期点的链回复点的u 一极限集不包含周期点本 章内容选自叶向东和李涛f l y ( 英文) 2 第一章零维不可数紧致度量空间上的可扩同胚 1 1 引言 设( xd ) 为紧致度量空间同胚t ：x - x 称为可扩的，如果 d 0 ，蚍 g z 、孔z ，有d ( ? ”z ，t “y ) 6 其中d 称为可扩常数 可扩同胚是动力系统中的一个重要概念，在拓扑动力系统，遍历理论和连续统 理论中都可找到它的应用利用遍历理论可以证明，可扩性并不依赖于x 的度量 ( f w l ) 在f m 中，r m a f z ；证明了若x 为紧致度量空间，h ：x x 为可扩同 胚，则d i ，n x 。c ，并且任一极小集合都是零维的这个结果说明可扩同胚对空间 有限制 众所周知，单位区间i 与圆周s 1 上不存在可扩同胚( w ) jf j a k o b s e n 和w r u t z 在f j i j 中证明了闭圆盘上不存在可扩同胚 to b r i e n 和wr e d d y 证明 了任意亏格大于零的定向闭曲面上存在可扩同胚( o r ) kh i r a i d e 在】9 9 0 年证明 了任意闭曲面上的可扩同胚都是p s e u d o a n o s o v 的以及s 2 ，射影平面和c l e i z t 瓶上 不存在可扩同胚( 1 1 1 1 ) 众所周知，任意零维紧致度量空间上的可扩同胚都拓扑共轭于某个符号系统的 子转移然而，遗憾的是，到目前为止，人们对子转移系统的拓扑结构知之甚少 t t k a t o 与j j p a r k 在近期对可数子转移进行了研究，得到了其拓扑结构的刻划 ( k p l ) 本章对一类满足较合理条件的零维不可数紧致度量空间进行了研究，得到 了其上存在可扩同胚的充要条件 1 2 若干引理 定义121 ( d e r i v e dd e g r e e ) 设x 为紧致度量空间，x “为x 的导集x 的序 为q 的子集x ( 。) 如下递归定义：x ( 1 ) = x 8 ，x ( 。+ 1 ) = ( x ( 叫) 。；x 【1 ) = f 1 。 0 ，a 2 盖，令u ( a ，e ) = exid ( x ，o ) 0 【acu ( b ，t ) ，bcu ( a ，e ) ) 则( 2 x ，吼) 为一紧致 度量空间h d 称为x 的h a u s d o i f f 度量， 引理1 2 4 ( k p ) 设x - ，x 。均为可数紧度量空间，则x - = x z 当且仅当d ( x ) d ( x 。) ( = 。) ，x f 叫竺x p 定理1 2 5 ( k p ) 设x 为可数紧度量空间，d ( x ) = a 则x 上存在可扩同胚 当且仅当“不是极限序数 引理12 6 设y 为零维不可数紧度量空间，则y = mu c ，y 1n c = 0 其中h 为可数集，g 同胚于c a n t o ，集，并且me 由y 唯一决定 证明y l ，称为具有性质j f ；) 如果的任一邻域均包含不可数多个点 令c = y ：具有性质p 我们断言g 不可数 令k = l ，一c 则v y y l 存在一个邻域v ，是可数集又因为m 为l i n d e l o f 空间( m 作为紧度量空间的子空问，具有可数基) 从而存在下式： k = u 罢。k 这就说明了： ( 1 ) ：h 为开集，c 是闭集； ( 2 1 ：h 可数，( v 不可数从而c 作为子空间是紧度量空间 ( ? 又是完全的( zev c c ，存在( ? ，c 。c ，s t 1 i r a 。_ + 。c 。= c ) 事实 上，任给c 的一个邻域y ，v 均包含y 中不可数多个点，而h 是可数集，故必存在 c 。c ，c c 这说明g 是完全的 g 为完全的，完全不连通的紧度量空间，从而知到g 同胚于c a n t o r - 集 由上述证明可知，y lnc = 0 ，并且m 、c 由y 唯一决定 为研究y 上可扩同胚的存在性，需要考虑y 的拓扑结构，即m 与c 的关系， 这里m 与c 如引理1 26 所述 显然，若m 为y 的闭子集，则y 上存在可扩同胚当且仅当k 上存在可扩同 胚，即d ( h ) 不是极限序数 若k 为可数集此时记x = k ，x - = = n c 我们将在下面的引理1 2 9 中证 明，此时y 上存在可扩同胚当且仅当x 上存在可扩同胚f ，使得x ，为f 的不变子 集 首先我们给出关于c a n t o r 集的两个引理 引理127 ( i n l ) 设c 为c a n t o r 集，a , b 为c 中任意两点则存在同胚r ：g 寸( ? st t ( a 1 = 6 引理l28 设c l ，c 2 为c a n t o r 集，a ，日分别为c 1 ，c 2 的可数闭子集若 a 口为同胚，则存在同胚r ：c _ p 2s t r i a = h ：。4 + 茸 证明见附录 引理l2 9 设y = mu ( ? 为零维不可数紧致度量空间记x = 驴。，x 。= xn e 若x 为可数集，则y 上存在可扩同胚当且仅当x 上存在可扩同胚f ，使得义。为f 的不变子集 证明必要性：由于x ，x 。均为y 上同胚的不变子集，结论显然 充分性：任给p c ，选取可扩同胚o - ：cjc ，st 口( p ) = p 则口， c x ( ? x 为可扩同胚并且 ( c xx ，) ) u ( p ) x ) 为o - x f 的不变闭子 集 以下只须证 ( c x ) ) u ( 如) x ) 兰y 令1 p ) xx - - - + x ，( p ，。) 一z 则r 1 为同胚 由于c x ，竺c ， p ) x 1 兰x ，由引理l2 8 ，我们可以选取同胚t 2 ：cxx 1 _ ( 、一5 - n ( p ，z ) = z ，v x x 1 利用粘结引理，易证明r 1u t 2 ：( c x 1 ) u ( 如) x j 。 v 为同胚 通过引理1 29 ，我们将满足一定条件的零维不可数紧致度量空间上是否存在可扩 同胚的问题归结到刻划可数紧致度量空间的可扩同胚的不变闭子集的结构上即：设 x 为可数紧致度量空间，x - 为其闭子集问x 上是否存在可扩同胚，s tr f x ，) ： j y ，? 由此，在5 3 中我们对于x 在x 中一致分布的情形给出x 上存在使x ，为不 变集的可扩同胚的充要条件在4 中就x ，在x 中不一致分布的情形分别给出x 上存在使爿t 为不变集的可扩同胚和x 上不存在使x 。为不变集的可扩同胚的若干 例子 5 1 3x 可数，x 。在x 中一致分布的情形 定义1 31 设x 为可数紧致度量空间，x 。为其闭子集z x 的一个既开又闭 的邻域b ( z ) 称为x 的一致分布域，如果对所有x 的既开又闭的邻域口( z ) ，b 7 ( z ) c b ( z ) ，存在同胚f 酬。1 ：日( r ) - - + b ( z ) s tf b 一( 。) ( 口( z ) n x l ) = 1 3 ( z ) n x i 此时x 称为x 的一致分布点，否则x 称为x 的不一致分布点 称x ，在x 中一致分布，如果v z x ，存在x 的一致分布域称x t 在x 中不 一致分布，如果存在z x 1 x 为x 的不一致分布点 定义13 2 设x 为可数紧致度量空间x 。为其闭子集，并且x t 在x 中一致 分布设z ：x ，日( z ) ，b ( y ) 分别为x ，y 的一致分布域若存在同胚丘。：b ( z ) 一 b ( ) m tl 。( b ( x ) n x 。) = b ( y ) n x l ，则称x 与y 等价，并记为z v ( x ，x t ) ，简 记为z 从定义1 知道，上述定义是合理的。即它并不依赖于x , y 的一致分 布域的具体选择 容易验证”。是等价关系，x 的等价类记为 x v 。 d f x ) 记。y 【。) x ( a + 1 ) 的等价类全体为r 。，工，x ，并记x 的等价类的全体为 r xn 在不引起混淆的情形下，可分别简记为r 。r 注记1 3 3 设x ，x ，如定义1 3 2 所述，若z y ，则存在唯一的序数q ，st z ，y y ( 。) x ( r ) 、从而定义1 3 2 对x 中的点进行了更细的分类 下面的引理l35 对一致分布点以及一致分布点的等价给出判别 定义l3 4 设x 为可数紧致度量空间，d ( x ) = u ，x pj = z u ) ( a ) u 为非极限序数时，称x = u 罂x 。u x o ) 为x 的一个划分，如果满足以下 条件： ( 1 ) v z nx 。为x 的闭子集，d ( x ) = 。一1 ，x 2n x ( w - 1j = z 。fz 。z o ， ( 2 ) x 2 t n x l 。= 0 ( 2 1 i 2 ) ，l i m ；。t t d ( x2 x o ) ) = o ： ( b ) u 为极限序数时，称x = u 墨，x 1 u z 。) 为x 的一个划分，如果满足以下 条件： v i n x 。为x 的闭子集， f 2 ) 设d ( x2 ) = a ，、则a ，为非极限序数，并且 ，- u 、x nx ( = z 。1z 。x o ( 3 ) 。y “n y ”= 0 ( z l z 2 ) ，1 i m h d ( x 1i z o ) ) = 0 显然，对任意满足上述条件的可数紧致度量空间，这样的划分总是存在的，并且 不唯一 引理1 3 5 设x 型y 为两个可数紧致度量空间，d ( x ) = d ( v ) = u ，x 【“) = f z 。) ，( “) = 蛳) x 。m 分别为x ，y 的闭子集则存在同胚，：x y st ，( x - ) k 当且仅当满足以下条件： 任给x 的一个划分x = u 墨，x 1 u z o ) ， 存在y 的一个划分y = u 墨。y u y o 以及同胚f 。x 。一y 2 s t 广( x 。n x l ) = ( y 。n k ) 证明( 充分性) 定义，：爿_ y 为fi x 。= ，2 ，( z o ) = y 。易验证f 为同胚，并且 ，( x t ) = k ( 必要性) 设x = u 罢，x 2 u z o ) 为x 的一个划分令y2 = ，( x 1 ) ，2 = 厂k v z 则y = u 7 _ - y2 u y o ) 为y 的一个划分，并且 ，1 ( x l n x 。) = ，( x2 n x j ) = ，( 2 ) n f ( x t ) = y 2 n m ，v i n 性质1 3 6 设x 为可数紧致度量空间，d ( x ) u ox t 为其闭子集，则x - 在x 中一致分布，并且x 可表为有限个等价类的并 证明不妨设x ( 。( x ) ) = z ) 对d ( x ) 归纳证明 对于x 的充分小的既开又闭的邻域片( z ) b ( x ) 只能是下述情形只一： ( 1 ) ：口( z ) n x i = 0 ； ( 2 ) ：妇( z ) n x t = z ) ； ( 3 ) ：1 3 ( g ) cx t ； ( 4 ) ：口( z ) = z ：x liz ，寸x ，i _ 。) u z ：乒x iiz ：一z ，i _ 。) 若d ( x ) = l ，不难验证满足上述情形的口( z ) 均为x 的一致分布域从而d ( x ) = 1 时结论成立注意情形( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 均蕴含着z x ， 设d ( x ) = 时结论成立，由归纳假设，v 1 f k ，x ( 5 x ( 。) = u 翟l 【x t ，： r r t i 4 其中对z “的任意一致分布域b ( x 1 。) ，i = i ，2 ，3 ，有 b f z 1 ) n x l = 0 ； 口( j f ，2 ) n x l = 扛 ； 月) d - x 1 ； 下设d ( x ) = k + 1 对于x 的充分小的既开又闭的邻域b ( z ) ，若b ( x ) 为上述情 形( 1 ) ( 2 ) 或( 3 ) ，显然b ( z ) 为x 的一致分布域 若b ( x ) 满足情形( 4 ) ，则v 0 。2 ( i l 。2 ) ： 3h ；j _ a 。a ic r 。，； 4v 1 z ( 2 i ：( i l i 2 ) ； 3k l = ：a ：cl 1 。； 4 , v 1 茎i d ( 口( z 饥。) ) ，助i 7 2 ，i i = 1 。 并且适当选取b ( z 。) ，可使其满足下述条件 m 1 j l ，i 2 = l ，一，2 j 】 设( + ) 满足l 2 ：3 、则对任意同胚fx 斗x ，f ( x 1 ) = x 、2 r l n ，“广( “，j ) x i ，由定理1 3 8 ，易知结论成立， 推论l31 1 设y = ku c 为零维不可数紧致度量空间记x = y ，：x ，= xn c 若x 为可数集，且d ( x ) “。，d ( x ) 不是极限序数￥( 4 ( 。) ) = z 则x 可划分如下： x = u 墨。x 2 u z ( 定义3 7 ) 令x i = x 。n x 【，x t = n x in z ) 容易验证x 1 为x 的闭子集，x 为x 的 唯一的不一致分布点同样地，由上述x 和x 。决定的零维不可数紧致度量空间y 上不存在可扩同胚 下面给出一个x 中有可数个不一致分布点并且y 上不存在可扩同胚的例子 例144 设x 为可数紧致度量空间，d ( x ) = u o + i x ( 。o ) = z 。，i z 甄_ z ，i _ 。或i _ 。) u m )n ，。：，选取z x ( j ) x o + ，s 2 2 寸 孔z - - + 0 0 并不妨设 e i ij ) n z 。jlj n ) = 0 ( z l 2 2 ) 令x 1 = u ：zu 7 z 。 ux 】，则容易验证x l 为x 的闭子集，d ( x 1 ) = 2 ，z ，( z z ) 为x 的的不一致分布点下面证明由上述x 和x 。决定的零维不可数紧致度量空间y 上不存在可扩同胚 用反证法设厂x 斗x 为可扩同胚，6 为可扩常数，并且f ( x ，) = x 。不 妨设，( 。：) = z ( 2 z ) ( 由于至多有有限个。：尸( ，) ，i z ，故上述假设是合理 的。1 由f 的一致连续性，v f 6 2 ，了0 5 1 e ，5 t v z ，z x ，若d ( x 、z ) 6 l ，则 d ( _ ，( z ) ，f ( x + ) ) 取x 的邻域u ( z ) ，d i a r n ( 0 7 ( z ) ) i d 或i e ，v i o i j i o 取j 充分大，n ，d ( z 。，z ：) 2 0 ，或七 6 同样也与f 的可扩性矛盾 然丽y 上存在可扩同胚，并不意味者x 。在x 中一致分布下面的例1 45 给 出反例 s 。= l i m l _ 十一。s ：1 砂，5 为 设x ) s 为可数紧致度量空间，d ( x ) = u 。+ 1 ，并且x ( “o ) = s 设l j x 为x 的任意邻域系统，夕：x x 为如 k p 中所构造的可扩同胚，m = “x 。n 妒l s = 砂( 邻域系统，u 一旋转数的定义见附录b ) 选择s 在e 2 中的一列邻域系统v = v o - s t v = k dun 器l1 厂= s 设巩。cv o 为所决定的s u 的闭邻域由 k p 中垆的构造，不失一般性， 我们可选取z ，匕，n 丐n | y ( ，x “，v j n 、则z ，_ s o ，当j _ o o 时 令x 。= o r b ( z i ，垆) lj ) u s 显然x t 为x 上可扩同胚妒的不变闭子集， 但套易验证s s 。 为x 的不一致分布点集 s 叶 mz 一 ” s 如= j j os 卜殴力 5 + d 1 s l f f 例瞄 吐 附录l 引理1 。2 7 的证明 引理l 27 设c 。l ，c 2 为c a n t o l 集，a ，口分别为c 1 ：c 2 的可敬闭子集若h ： a _ 厅为同胚，则存在同胚r ：gjc 2s t rl 4 ： ：a - b 证不妨设a 【叫= ( n ) ，b ( 。) = 咄并j i 不r - 般性，可以假设a 中的点均为 c a n t o r 子区间的端点 以下归纳证明 设n = = l 令a = ( ( 2 1 ，( 2 r 2 ，ia i _ n ) u d ，令b = 6 l ，b 2 ，i6 。- b ) u 6 ) ， 为简单起见，不妨设。，b 为c ，g ：的c a n t o r 子区间的端点则分别存在c 。，c ：的 如下划分： ( y - = u 墨1c ；u ( z ) ；a ：c i ，v ien ； ( 屯= u 薹- ( 恐u b ) ；6 ：c ；，v 2 n ； 其中q ( v ien ) 为c j 的c a n t m 子区间，且q 1ng ；2 = 0 ( i z 2 ) ，j ：1 、2 因为( ? j 兰q 呈f ? ，故存在同胚t ：g ；_ q ，s t t ( n ，) = 6 。 定义t ：( 1 l 斗【1 2 为rg ：= t v ien ；r ( ) = f 6 ) 则r 为同胚，于是。一1 时引理成立 下面我们首先对任意可数序数“，构造由c 。的端点集构成的可数闭子集a 。，。t d ( a 。) = n ，4 乎) = 。) 设v 月 c z ，a 口已经构造，考虑以下两种情形： ( 1 ) 。n 二+ l ； ( 2 ) o 为极限序数 情形( 1 ) ：v i = = l ，2 、设以；为由c - 中的某些g t o r 子区间的端点构成的可 数闭子集满足如下条件； 一j 皇a p ，。掣4 ；( v z n ) ；a ；na 0 = 0 ( z ) 令a 。= u 篓，j 4 b u n ) 情形( 2 ) 设n 为极限序数选择一列序数d 1 啦 5 t 1 i m 。o c i ：n 由 归纳，v i = l ，2 ， ，设l ：为由c l 中的某些c a n t o r 子区间的端点构成的可数闭 子集满足如下条件： ，+ 1 ：兰a aga t ( v i n ) ；“：n ，铝= 0 ( z ，) 以及l i n k - o 。，d ( 4 ：， n ：0 令a 。= u 墨，4 ：u n ) 在两种情形下，易验证d ( a 。) = 0 = ，且a 妒1 = f 。 对任意3 c 2 日为可数闭子集，且d ( 日) = o ，口“= 6 ) ，由引理】，24 ，存在 1 3 同胚h ：a 口口下面我们证明存在同胚r ：c 】_ e 2s 。t rk = h 设即 a ， 已证明上述结论，考虑以下两种情形： ( 1 ) ：a 不是极限序数 f 2 ) ：( ) _ 是极限序数 情形( 1 ) ：因为口( 一1 ) 竺4 ( ”1 ) = 1 4 1 令b ( 一1 ) = 6 ，b l ，6 2 ，i l i r a 。| + 。b ：= ”显然可选取8 的一列闭子集 b ：1z n ) 及q 的如下划分：c 。= u 墨，q u 6 ) s t b ：。一u = b d ，口。cc i ，c i 。n c j = 0 ( i j ) 且 b = u 墨b iu 6 ) ，】m ：+ 。：爿d ( g ， b ) ) = 0 同样地，c 。a 。，也存在类似的划分，相应的集合记为g i ，a 。并且满足相应地关 系以及h ( a ：) = b 。，这里h 。a b 为同胚则由归纳假设，存在同胚t i c ； c ；s t t ( n 。) = b ： 定义t ：c l ( ? 2 为tl c = t i 、t ( a ) = 6 则r 满足要求， 情形f 2 1 类似证明 最后，若d ( a ) = d ( 口) = o ，| 4 ( 。】= d l ：d 2 ，。) 口( 。) = 6 。，6 2 ，6 ，。) 通过 将c a n t o r 集的有限细分，结合前面的证明，容易给出一般情况的证明 1 4 附录2 定理1 3 9 的证明 下面首先引入k a o o 在 2 中定义的旋转数，并筒述其关于引理12 5 的证明方 法由此，我们可以给出重要的定理13 9 定义设e 2 为欧氏平面，s = s 。，5 。c e 2l i z ，l i m i - + o os 。= l i m t _ - + 一一s i 3 蹁1 定义钞：s s 为妒( s 。) = s ，妒( s 。) = s 。( 附图1 ) 易验证砂为同胚 任给r 设( h s 。) 为5 ，在e 2 中的闭邻域( 一r isr ) ， ( s 。) 为s * 在e 2 中的闭邻域，并且满足： e j ( s 。) nu ( 岛) = 0 ( i j ) ，sc u 一，j ：! ，( s 。) uu s 。) 令 v 仁v ) = = = u 一。，u ( s 。) u u ，。并称v 为s 的一个邻域系统 设ki ? z ，c 满足1 1 n 1 。c 。= l i m i + 。c i = s 。称 c i1 i z ) 在v 中 绕s 旋转1 7 1 次( m ) ，如果存在n h 一，n 。z st 1 n j4 - 2 1 7 l j + 1 幻= l ： ，m1 ) ， 2 v 0 is2 r ，c tl , + k ( ( s 。 女) ， 3 对其它的，u ( ，) ：( 附图2 ) 并记为“klz z ：v ) = m 在不引起混淆的情形下，简记为c o s ( c i 1z z ) ) = 设v 为s 的一个邻域系统，x 为可数紧致度量空间并且scx c1 7 妒： x 。y 为同胚， st 妒l s = 砂若o r 6 ( x ，垆) 在v 中绕s 旋转m 次， 则称m 为x 的旋转数，并记为“s ( 。；妒) ( = u s ( z ；p ，y ) ) = m 设y x 令 u s ( y ，妒) ( = u s ( y ：妒、v ) ) 二 s ( z ：妒) fz y ) 下面简单介绍l a t o 在引理l2 5 中的证明方法 引理1 2 5 证明了对所有可数非极限序数o z ，下述性质p ( o ) 成立： p ( a 1 ：设m 为任一无限素数子集，v ( = k ) 为s 的任一邻域系统则存在可数紧 致度量空间x 。d 9 以及同胚妒。：x 。 鼠，s 1v x 。，( f ( 义。) = o x f ) = s 。) 2 妒。1 s = s 一_ s ； 3 u s f x 。一s 妒mv ) 彳+ 二 q l q 。iq 2 m ，i = 1 ， ，7 1 ，f l n ， 4 v 。，￥若o r b ( z 妒。，) 0 76 ( v ，妒。) 则u s ( z ；妒。，v ) u s ( ；妒。，y ) 显然，若尸f n ) 成立，则由4 知妒。：x 。 j 0 为可扩同胚 下面证明p ( 2 1 成立 设m = p ，p 。、) 为素数集选择s 在e 2 中的一列邻域系统v = k ，m ，s t v ： ) k ，n 墨1k = s v i n ，选择m 中一列互不相同的点列 1 5 ? 。，i ，i ，? ) ，s 一l i m j _ 一z 二l i i n ，叶。z u = s ，s ( z u lj z ) ；v ) = a 令一= s o 。3 2 i , ，ij z ) 则义i 竺s ，l i r a ：叶。1 d ( x i ，5 ，) ：0 不妨假设 筌9s = k ) ，x n x f = ) ( z j ) 令x ：= u ii n u s ：并 粤墨妒：x j x 2 为： 舻i s = t f i ；妒( ，) = z ”+ 】、v 吒，x l容易验证 d ( x 。) = 2 ，x = 5 。) ，并且妒为可扩同胚 f 圆证日月定理138 。声理l 3 8 设x 为可数紧致度量空问x 。为其闭子集，并且在x 中致分布 若 z ，x i xi i z ) b ( z ：) 为z 。的一致分布域并满足下列条件； 。 1 i i i n 。z ，= l i r a t _ 。z ：= z ： ：。占( z ) n 口( 。，) = 口，l i m z 叶。饥( 日( 。：) ， z ) ) = l i m 。_ 十一h d ( b ( z 。) ， z ) ) = o ； 。1 2 0 。，、2 3 z 则x ；u 。z 口( z 。) u z ，上存在可扩同胚 证明设d ( b ( x ：) = o ，h = a 。 ，v 。，1r ，a 。，我“些构造要数紧致度量空间h 。以及在其上一致分布的闭子集 ：，? ：! ：! 垒：兰! 竺( x ，x ，n x ) 进一步，我们还将构造虬。上n n 扩n n 协。，使 得y 为其不变集， ” ”、 为此，v c r ，a 。a 。考虑下述性质q ( a 。) ： 一星曼：，兰竺，望任意素数集，y ( = w ) 为s 在e 2 中的任意邻域系统，则存在 可数紧致度量空间墨。，在其上一致分布的闭子集y n 2 乏n i f _ , 妒：。：聂。j 。羔。i ! ：p 三鼍。= 三童耋呈x 2 可岁誊委为x 一。= u 。z 口k ( 毛) u s 。j 这里阮。( 。：) 为5 t 在尥。中相对于y 的一致分布域，并且k 1 ：a 。： 。7 2 垆 。、l s = 妒：s s ，妒 。( y ) = y ： ：! ：_ 8 ( x 。s ；垆k v ) cm + ，这里m + = q 胁q 。i 吼m ，z ：1 ，2 ，n ，n 司y 瓤n ，若d r 妒a 。) ( ) r 妒 。) 则u s ( z ；妒 。：v ) u s ( ；妒 。，v ) 下面证明v a i a i ，印( a 1 ) 成立 ，设箩2 叠，p 2 ) 为素数集，选取s 在e 2 中的一列邻域系统v ：v o , u ，州 ? 3 乏、) 也一，n 翟tk = s v i 选择v 中一列互不相同4 的量列 。| j z ，s 、 。 l y = u ，z z ij z u s 2 1 i m d _ + x i j = l i m 2 + 一z 、j 2 , s o o ， 3 令x ；： s 。，z 。| 7 z ) 贝0 x jn x i = 5 。) ( z j ) ，x i n f = s 。) 并且 v i n ，粥cx l 或者。v n x l = 0 4 。s ( 吒i j z ) ；k ) = m 并定义妒：x x 为：p ( z ；) = z i + 1 i v i z ，妒( z 1 = 妒( z ：，。) = j ； i , j - k l 协x i 容易验证妒为可扩同胚 下面归纳证明q ( a 。) 成立设v 卢 n ，q ( 口) 成立 情形( 1 ) ：首先设n 不是极限序数 由引理1 37 ，v z z ，口( 飘) = u ：一。u j e zu 。； 。b ( z 。 。) u z t ) j 塞里n = o 一1 为简单起见，不妨设i = 1 a 。一，为可数集则上式可改写为 = ( c 。1 = u ，zu 女a 。b ( r ；女) u z t ) ，i z 设m v 由( ( a 。) 给定令似= m 。屿u k _ m f ，k ，这里m oi = 。，l 脚，。 2 。，m ”k ，n ：，t 。= 0 ( 若j l j 2 或“也) 并令 m 。： p l l ，p 1 尚p 2 ，j ，p 2 山p 3 ，。 选择s 在e 2 中的一列闭邻域系统r2 “j ：h 2 坛? f ， 1du1 m ，2 ) - ，n 墨1f 1 芝l 屿， = 5 由归纳，v ，n ，存枉可数紧致度量空间x 苎。，在x 苎。上一致分布的闭子集 m ，以及同胚妒：! ，：x ：1 斗x ：1 1 ，s l ： 1 i ) x 贮，d ，并且x 麓1 可以表示为x j , k i = u ；zb 贮l ( s ；) u s 。) 这里 b 贮i ( s 。) 为s i 在x 贮，e o n x 寸于巧的一致分布域，并且= k ( & 在x 墨中 相对于k ) ， 2 妒? ：! ，1 s = 妒s s ，驴三- ( b ，k ) = l k 3 u s ( x l s ；妒：! 。，a ) cm 狲这里w m 为s 的充分小的邻域系统，稍后由 珊，k ，k k 决定 4v ，掣x 害! ，若( ：) ，1 6 ( z ，妒台兰。) o ,