（基础数学专业论文）非线性微分方程边值问题解的存在性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程边值问题解的存在性 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关 注，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非 线性分析中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象 受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用数 学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃 的领域之一本文利用锥理论，不动点理论，不动点指数理论，讨论了几种非线 性微分方程问题解的存在性 本文共分为三章： 第一章主要考虑下列带p l a p l a c i a n 算子的四阶奇异边值问题的最优对称正 解的存在性 f ( c p ( u ) ) ( t ) = h ( t ) f ( t ，u ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， lu ( t ) = u ( 1 一t ) ， 0 ，a + 卢 ，y 2 ，叩( 0 ， 】，a ( 0 ，1 ) ，妒p ( s ) = i s i p 一2 s ，蛞1 = c q , p 1 ，1 p + 1 q = 1 ，h ：( 0 ，1 ) 一【0 ，0 0 ) 在( 0 ，1 ) 上对称并且可能在t = 0 和t = 1 奇异 首先建立相关的格林函数，得到一些有用的性质，应用锥中的不动点指数定理， 获得了带有相关线性算子特征值的一个或两个最优对称正解 第二章讨论了一类二阶带p l a p l a c i a n 算子的非线性边值问题 ( p ( u ) ) ( t ) + g ( t ) ，( t ，u ( t ) ) ：o ，t ( o ，1 ) ( 2 1 1 ) iu ( o ) = o u 锄) ，钍( 7 7 ) = “( 1 ) 的拟对称正解的存在性，其中妒( u ) = ：m p 一2 u ，p 1 ，螃1 ：，；1 + 虿1 = 1 ，q ( 0 ，1 ) ，叼( 0 ，1 ) 是常数 第三章通过构造一个特殊的闭凸集，应用m s n , ：h 不动点定理，证明了在抽象 曲阜师范大学硕士学位论文 空间中带有积分边值条件的非线性奇异边值问题 群裕赢m r e 2 ( 。 慨， 正解存在性奇异点产生在t = 0 ，1 和z = p 处 关键词：锥；对称正解；全连续算子；奇异边值问题；拟对称正解； 不动点指数；p - l a p l a c i a n ；格林函数；积分边值；特征值 曲阜师范大学硕士学位论文 一一h _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ 一_ _ - - _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ - _ - ，一 ab s t r a c t a l o n g w i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n h n e a rp r o b - l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb y d a y , a n ds ot h en o n l i n e a r a n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa l li m p o r t a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a l y s i s ， b e c a u s ei tc a ne x p l a i nw e l lv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ， t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo f m o s ta c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e sa tp r e s e n t i nt h i sp a p e r ，w e u s et h ec o n et h e o r y , t h ef i x e dp o i n tt h e o r y ，a sw e l la st h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e - o r y , t oc o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fs e v e r a lk i n d sp r o b l e m sf o rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e f o l l o w i n gs i n g u l a rf o u r t ho r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o d l e m ： ( 1 1 1 ) w h e r e 口，y 0 ，口+ p ，y 2 ，刀( 0 ，】，a ( 0 ，1 ) ，嘞( s ) = 1 8 p - 2 s ，i 1 = c q , p 1 ，1 v + 1 q = 1 ，h ：( 0 ，1 ) 一 o ，o o ) ，i ss y m m e t r i co n ( 0 ，1 ) a n dm a y b es i n g u l a ra tt = oa n dt = 1 f i r s t ，t h eg r e e n ，sf u n c t i o nf o ra s s o c i a t e d l i n - e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sc o n s t r u c t e d ，a n ds o m eu s e f u lp r o p e r t i e so ft h e g r e e n ，sf u n c t i o na r eo b t a i n e d t h e nb ya p p l y i n gt h ef i x e d p o i n ti n d e xt h e o r y , w ee s t a b l i s hs o m eo p t i m mc r i t e r i af o rt h et h ee x i s t e n c eo fo n eo rt w os y m m e t r i c p o s i t i v es o l u t i o n sw h i c hi n v o l v et h ep r i n c i p a le i g e n v a l u eo far e l a t e dl i n e a ro p e r a - t o r o p t i m a lc r i t e r i af o rt h ee x i s t e n c eo fo n e o rt w os y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n s w h i c hi n v o l v et h ep r i n c i p a le i g e n v a l u eo far e l a t e dl i n e a ro p e r a t o r i nc h a p t e r2 ，w ea p p l yaf i x e dp o i n ti n d e xt oc o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp s e u d c - s y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gf o u r - p o i n ts e c o u d - o r d e rp - l a p l a c i a n t ， 心 w 工厶 ，1 如 ， 以力 川 如m i ，k ，l u ，似州 勘峨卜“ 卜 悃肌m 州坤 门= = 口l ， 小幻如m 嘶“ 曲阜师范大学硕士学位论文 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： ( 嘞( “，) ) 印) + q ( t ) f ( t ，u ( t ) ) = 乱( o ) = 口u 7 ( 7 7 ) ，乱( 7 7 ) = u ( 1 ) ， t ( 0 ，1 ) ， ( 2 1 1 ) w h e r e ( u ) = ”_ 2 钆，p 1 ，蛞1 = 九，；1 + 百1 = 1 ，a ( o ，1 ) ，叼( o ，1 ) i sa c o n s t a n t i nc h a p t e r3 ，b yc o n s t r u c t o i n gap a r t i c u l a rc l o s e dc o n v e xs e ta n da p p l i n g t h em 6 n c hf i x e d - p o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f t h es i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： 鬻岫， t ( 0 ，1 ) ， x ( 1 ) = 护 i nb a n a c hs p a c e ，s i n g u l a r i t i e so c c u r r i n ga tt = 0 ，1 ，a n dz = p ( 3 1 1 ) k e y w o r d s ：c o n e ；s y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n s ；p s e u d o - s y m m e t r i cp o s i t i v e s o l u t i o n s ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ；s i n g u l a re q u a t i o n ；f i x e dp o i n t ；f i x e d p o i n ti n d e x ；p l a p l a c i a n ；g r e e n sf u n c t i o n ；e i g e n v a l u e 曲阜师范大学硬士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性微分方程边值问题解的存在 性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者答名纠叫如期：叫、彭了 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性微分方程边值问题解的存在性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印 件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲卑师范大学，可以采用影印 或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者貅友、7 刊协期；吲了 导师酶聿世葭啉m 1 7 ，6 7 第一章带p l a p l a c i a n 算子的四阶奇异边值问题最优对称 正解 1 1 引言 本章主要研究如下四阶奇异边值问题 f ( c a ”，( d = h ( t ) f ( t 川 lu ( t ) = 扎( 1 一) ， i “( 如( ) ) 7 ( o ) 一( 九( 让) ) 7 lu ( o ) = 札( 1 ) = 入u ( 叼) ，t ( o ，1 ) ， 1 ( 1 1 1 ) ) = 7 咖( u ) ( 云) ， 最优对称正解的存在性，其中o l ，p ，7 0 ，a + z ，y 2 ，7 7 ( 0 ，；】，a ( 0 ，1 ) ，啦( s ) = i s i p _ 2 s ，螃1 = 九，p 1 ，1 p + 1 q = 1 ，h ：( 0 ，1 ) _ 【0 ，) 在( 0 ，1 ) 上对称并且 可能在t = 0 和t = 1 奇异应用不动点指数定理得到一个或两个最优对称正 解以前的研究更多关注多点边值问题的正解或对称正解的存在性，很少考虑带 p l a p l a c i a n 条件边值问题的对称正解在文章【1 2 】中，孙研究了下面下面边值 问题 ， i 廿( t ) + h ( t ) f ( t ，乱( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 让( ) = 钆( 1 一t ) ， l1 l 仳，( o ) 一, t t ( 1 ) = u ( 言) 、 厶 他应用了k r a s n o s e l s k i i ，s 不动点定理在【1 1 中讨论了边值条件为u ( o ) = 钆( 1 ) = 艘( 7 7 ) 边值问题的最优对称正解基于以前的研究我们讨论边值问题( 1 1 1 ) 最 优对称正解的存在性在第二节我们给出了格林函数和一些有用的性质；第三节 证明主要结论；最优对称正解的存在 1 第一章带p l a p l a c i a n 算子的四阶奇异边值问题最优对称正解 1 2 预备知识 定义1 2 1e 是一个实b a n a c h 空间，一个非空闭凸集k ( kce ) 称为锥如 果它满足下面两个条件： ( 1 ) 若z k ，p 0 ，贝4p z k ； ( 2 ) 若z k ，一z k ，贝z = 0 定义1 2 2 如果算子a 是连续的并且映有界集到相对紧集，则称算子a 是 全连续算子 定义1 2 3 如果函数w 满足：伽( r 1 十( 1 一r ) t 2 ) r 伽( t 1 ) + ( 1 一r ) 叫( t 2 ) ，r ，t t ，t 2 0 ，1 1 ，则称叫为凹函数 定义1 2 4 如果函数w 满足： 叫( t ) = 叫( 1 一t ) ，t 【0 ，1 1 ，则称w 为对称函 数 定义1 2 5 如果函数让在【0 ，1 】上是正的对称的，并且满足微分方程( 1 1 1 ) ， 则称u 是问题( 1 1 1 ) 的对称正解 令口= ( 让”) ，则方程( 1 1 1 ) 转化为下述两个方程： l ( ) = h ( t ) f ( t ，u ( ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， ( t ) = u ( 1 一t ) ， ( 1 2 1 ) la u ，( o ) 一p u ，( 1 ) ：，y t ，( 昙) ， ) ( 力刮“d ) ，挺( 0 ，1 ) ( 1 2 2 ) iu ( o ) = 钆( 1 ) = a u ( 7 7 ) ， 引理1 2 1 设a c 0 ，1 】，则三点边值问题 l 刨( z ) = a ( t ) t ( 0 ，1 ) ， c ( t ) = u ( 1 一t ) ， 【q u 7 ( o ) 一p u 7 ( 1 ) 2 ，y t ，( 主) ， 有唯一解 u ( t ) = g l ( t ，s ) a ( s ) d s ， ( 1 2 3 ) | ，o 这里g 1 ( z ，s ) = 9 l ( ，s ) + 夕2 ( s ) 9 l ( ，s ) ： “s 一1 ) o 。s 1 is 一1 ) ，0 s t 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 以垆博群x 鬻二l ， t ，( z ) = o 。( 一s ) 。( s ) d s + z o 1 ( s 二1 ) 。( 5 ) d s + a a = 1 ( 一号+ ( - q - 一- f - p + 互1 ) s ) 。( s ) d s + z 1 ( 百1 一s ) 。( s ) d s ( 1 2 4 ) 影 ) = z 。( t s ) 口( s ) d s + z 1 ( s 一1 ) 左( s ) d 5 + 0 1 ( 一号+ ( - r y - 一4 - 疗+ 互1 ) s ) 。( s ) d s + 序号+ 互1 + ( 字一渺d s = g l ( t ，s ) d ( s ) d s - i - - 眈( s ) a ( s ) d 3 ，l l = 7g l ( ，s ) 8 ( s ) 如 这里m ( t ，s ) ，9 2 ( s ) 由前面给出证毕 引理1 2 2 若函数v ( t ) c o ，1 】，则边值问题 芝：；竺i 0 竺2 乙，t ( o ，1 ) ， 3 第一章带p - l a p l a c i a n 算子的四阶奇异边值问题最优塑鍪堑堡 有唯一解 u ( t ) = g 2 ( t ，s ) q ( 可( 5 ) ) 幽， ( 1 2 5 ) j 0 这里g 2 ( 允s ) = 9 l ( 屯s ) + 击g l ( 7 ，s ) ，9 1 ( ，s ) 如引理1 2 1 所述 证对t 【0 ，1 】，在【0 ，t 】上积分有 ，t 乱心) = 九( u ( s ) ) d s + b - ，0 得到 钍 ) = ( t s ) 矽q ( s ) ) d s + b t + a ， 由钍( o ) = u ( 1 ) 得 b = 1 ( s 叫根小) ) 戤 由让( o ) = a = a 珏( 7 7 ) 得 u ( 叼) = o q ( 叩一s ) ； ( s ) ) d s + b 町+ a 黜a ：击胁蜘扣灿+ 篙肛珊扣油a = 击胁_ s ) 姒巾) ) d s + 篙小_ 1 ) 姒删幽 = 高o z 9 1 ( ) 姒巾) ) d s 因此问题有唯一解 u ) ：厂2 一s ) 妒。( t ，( s ) ) d s + 亡厂1 ( s 1 ) 。( u i s ) ) d s j 0，0 + 高1 q l ( ) 献巾) ) 如 = 厂19 ( 如) 九( u ( s ) ) d s + 击f c i gi(j0 j 0 ) 九( u ( s ) ) d 5 = 9 。( ，s ) 九( u ( s ) ) d s + 高 ) 九( u ( s ) ) d 5 j _ 、 ，1 = g 2 ( t ，s ) 妒。( ( s ) ) d s 证毕 弓l 理1 2 3 没o l ，p ，7 0 ，o t + 7 2 ，7 7 ，a ( 0 ，1 ) ，贝0g 1 0 ，s ) ，g 2 ( t ，s ) 连 续，且满足 ( 1 ) g 1 ( t ，s ) ，g 2 ( t ，s ) 0 ，t ，8 【0 ，1 】； 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) g l ( 1 t ，1 一s ) = 9 l ( z ，s ) ，t ，5 0 ，1 】 引理1 2 4 设 ( ) c o ，1 】，在【0 ，1 】上对称，则问题( 1 2 2 ) 的唯一解，u ( ) 在【0 ，l 】上对称 证由引理1 2 2 得( 1 2 2 ) 有唯一解 ，1 乱( t ) = g 2 ( 瓦s ) 。( u ( s ) ) 对v t ，s 【0 ，1 】，令z = 1 一s ，由引理1 2 3 及u ( ) 的对称性有 乱( 1 一t ) = g 2 ( 1 一t ，s ) 九( u ( s ) ) 如 = f og l ( 1 - - t , 8 ) 姒口( ；) ) 幽+ 击z 1 “ ) 姒巾) ) 幽 = f og l ( 1 - t , l - x ) 九( u ( 1 一z ) ) d ( 1 一南+ 两af c 1g l(j1j 0 ) 九( 可( s ) ) 如 i 一、 = z 0 1 9 l ( t ，s ) 。( 口( s ) ) 如+ 两az j 夕t ( 7 ，s ) 。 ( s ) ) 如 ，l = c 2 ( t ，s ) 九( u ( s ) ) d s = u ( 舌) 因此有 礼( 1 一t ) = u ( t ) ，t f 0 ，1 】 即u ( t ) 是在 0 ，1 】上对称的证毕 在c o ，1 】上定义；l i u i l = m a x o _ t _ 兰! i 2 二兰! 旦2 石五0 百丁0 卵一 一 去一 得 即 所以不等式成立证毕 ( 1 - a + 2 a 7 7 ) u ( o ) 2 a 7 也( 三) ， 则) 焉u ( 争 本文将用到以下假设： ( h 1 ) h ：( 0 ，1 ) _ ( o 。) 连续对称，且 。 f o 1 g 2 ( s ，s ) 妒。( f 0 1c l ( s ，丁) ( 丁) d 丁) d s + 。 ( 碣) 厂：【0 ，1 】【0 ，。o ) ，_ ( 0 ，o o ) 连续，并且在【0 ，1 】上对所有的u 0 ，o o ) ，厂( ，u ) 对称 定义积分算子t ：尸一p 如下 t u ( t ) = f 0 1c 。( ，s ) 。( f o xc l ( s ，丁) 危( 丁) ，( 丁，u ( r ) ) d 丁) d s , t e 。，1 】( 1 2 7 ) 易知边值问题( 1 1 1 ) 有解u ( ) ，当且仅当钆( t ) 是算子丁的一个不动点 引理1 2 6 假设( 日1 ) 和( ) 成立，则t ：k _ k 是全连续算子 证对每个钆k ，易知t u 尸，由h ，的对称性及引理1 2 4 知t u 对称， 由 ( 丁u ) ”( ) = q ( g l ( ，s ) a ( s ) ，( s ，乱( s ) ) d s ) 0 6 曲阜师范大学硕士学位论文 知t u 是凹的又直接验证可得 t u ( o ) = t u ( 1 ) = a t u ( 叩) 从向由引理1 2 5h j 得故q k ) ck 下证t 是全连续算子对n 2 ，如下定义算子霸如下 露札( t ) = g 2 ( t ，s ) 九( g l ( s ，7 _ ) k ( 丁) ，( 丁，u ( 丁) ) d 7 _ ) d s ，亡【o ，1 】， 这里 m i n s f 击以味o 汉元1 ， 九。( ) = ) ，三t 1 一丢， h i n 蜓f ，h 小丢 应用a r z e l a - a s c o l i 定理易知，对任意的扎2 ，b 在k 中是紧的，又由 g 2 ( t ，s ) ，o 口( i og 1 ( 7 - ，s ) h 竹( s ) ，( s ，札( s ) ) 幽) 的连续性可知， 瓦：k _ k 全连续 因为0 詹g 2 ( s ，s ) 九( 詹g l ( s ，r ) h ( v ) d t ) d s 0 ，记 ( 1 2 8 ) b r = u k ：| | ui i r ) ，m r = m a x f ( t ，“) ：( t ，扎 0 ，1 】【0 ，冗】) ) 从而对孔如由( h 1 ) ，( 吼) ，引理1 2 2 有 t n u ( t ) 一t u ( t )= if o 1 g 2 ( t ，s ) 。( f o 1 c l ( s ，丁) 九。( 丁) ，( 丁，钆( 丁) ) d 丁) d s f og 。( t ，s ) 。( o ic l ( s ，丁) 凡( 丁) ，( 丁，u ( 丁) ) d 丁) d s 九( ) i 厂1 ，s ) 瞰厂元c 1 ( s ，丁) 危( 丁) ) 打)九( ) i g z ( ，s ) ( “s ，丁) 危( 丁) ) 打) j oj 0 一纵丘g l ( s ，丁) ) ) 陋i 甄( m r ) ，1 1g 2 ( s s 蛾( 上。) g l ( s ，丁) 坼) ) d ，r ) 如 叫0 n _ 。o 7 第一章带p l a p l a c i a n 算子的四阶奇异边值问题最优对称正解 因此全连续算子矗在k 中任意有界集上都收敛于丁，所以t ：k _ k 是全连 续算子证毕 引理1 2 7 ( k r e i n r u t m a n n 5 】) 设e 是b a n a c h 空间，尸e 为e 中的 锥，l ：e _ e 是全连续算子，l ( p ) cp 如果存在妒e ( 一p ) 和一个 正常数c ，使得c 厶) 妒，则其谱半径r ( l ) 0 ，并且有一个对应于第一特征值 ”= r ( l ) _ 1 的正特征函数 定义积分算子l ：e _ e 如下； ，- 1，1 l u ( t ) = g 2 ( t ，s ) 如( g i ( s ，丁) ( 丁) 弘( 7 - ) 打) d s ，t ( 0 ，l 】。 ( 1 2 。9 ) ，ot ，0 应用k r e i n - r u t m a n n 定理得到 引理1 2 8 假设条件( 研) 成立，则对于上述定义的算子l ，其谱半径r ( l ) 0 ，并且有一个对应于第一特征值a + = r ( l ) - 1 的正的特征函数 证同引理1 2 6 的证明知l ：k _ k 全连续由a ( t ，s ) 的定义和引理1 2 3 ， 存在t o ( q ，) c ( 0 ，1 ) 使得g 2 ( t o ，t o ) 0 所以存在常数c 0 ，使得c l u o ( t ) u o ( t ) ，t 0 ，1 】，从而由引理1 2 7 可知谱半 径r ( l ) 0 ，并且有一个对应于第一特征值a + = r ( l ) - 1 的正的特征函数证毕 为方便我们定义下列符号， 矗= 霉l 。i m 。+ i n f 扼r a 【。，i n 。，至丢篙豸盟，氏= 霉l 。i m 。；n f 蚝m 【。，i n 。，鱼丢篆琴盟， 肛掣l i m 蚓m a x ，筹铲= 溉唧蹦料 列出下述不动点指数定理【2 ，5 】 引理1 2 9e 是实b a u a c h 空间，kce 是e 中的锥，q 是e 中有男开 子集假设t ：kn 西_ k 是全连续算子，若存在妒o k 口】使得 u t u 肛乱o ， vu kna q ，舻0 ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 则不动点指数i ( t ，k n q ，k ) 苹0 引理1 2 1 0e 是实b a n a c h 空间，kce 是e 中的锥，q 是e 中有界开 子集假设t ：kn 瓦一k 是全连续算子，若 t u 肛u ， vu kna q ，p 1 ， 则不动点指数i ( z k n q ，k ) = 1 ， 1 3 主要结果 这部分主要讨论边值问题( 1 1 1 ) 对称正解的存在性 定理1 3 1 假设( h 1 ) ，( 硒) 成立，另设，0 a 4 ，f 。 a 可知，存在 0 和7 0 ，使得 i ( s ，乱) u 九( ( 1 + ) 入) ，s 0 ，1 】，乱( 0 ，r 】( 1 3 。1 ) 令q 12 钆：札e ，i l u l l 0 ，u 1 旷妒o 从而 a + l u l a + l ( p 妒c ) = p + ( 入厶妒o ) = 肛+ 妒o 9 第一章 带p - l a p l a c i a n 算子的四阶奇异边值问题最优对称正解 因此 u l = t u l + 弘。妒o t u l ( 1 + e ) a + l u l ( 1 + ) 卢+ 妒o ，( 1 3 3 ) 与p + 的定义矛盾所以( 1 3 2 ) 成立，又由引理1 2 9 得 i ( t ，knq l ，k ) = 0 由f o o a ，存在0 a ，可知存在g 0 ，r o 0 ，使得 ( s ，i t ) 乱如( ( 1 + ) 入+ ) ，s 0 ，1 】，“【凰，。) 令r = 譬，q 2 = u ：弘e ，怯| | r ) 于是对u k na q 2 有 u ( s ) 刚u l l = j r = 凰，s 【0 ，1 】 从而 t 邮) = 0 1g z 喇z 1 g 1 ( s 丁帅h ) m 州丁) ) d t ) d s ，1，1 g 2 ( t ，s ) ( 1 托) a + q ( g l ( s ，7 ) h ( r ) u ( r ) d r ) d s j 0j 0 = ( 1 + ) a + l u ( t ) ，t f 0 ，1 】 令妒。是的对应第一特征值”的特征函数，则垆o = l 妒o 由证明定理1 3 1 的相同方法，得到 i ( z k n q 2 ，k ) = 0 由，o a ，存在0 e 1 ，r ( 特别，南= 厶= 0 0 ) ( 凰) 存在常数p i 0 ，使得九( ，( s ，牡) ) a + q ( ) ，s 【0 ，1 】，u 【6 p l ，p i 则边值问题( 1 1 1 ) 至少有两个对称正解1 1 1 ，1 1 2 ，并且0 l i , , 1 1 i 0 ，r ( 0 ，p 1 ) ，r ( p i ，+ 。o ) ，q l = u ：钆e ，i | u | | 7 ) ，q 2 = u ：仳e ，i l u l i 冗) ，使 得 i ( t ，k n q t ，k ) = 0 ，i = 1 ，2 令q p ，= u ：孔e ，i l u 0 0 ，u o p ，妒o ，于是 a l u o a + l ( p ，妒o ) = p ，( a l 妒o ) = 肛，c p o 因此 u o ( 1 一e ) a l u o ( 1 一e ) p ，妒。 与肛+ 的定义矛盾，所以对钆kn o f 2 p l p 1 ，有乳p u ，由引理1 2 1 0 ，得到 i ( z k n q 。，k ) = 1 因此有 i ( t ，( knq p 。) ( knq 1 ) ，k ) = i ( zk n q m ，k ) 一i ( t ，knq l ，k ) = 1 0 = 1 i ( t ，( k n q r ) ( k n q p 。) ，k ) = t ( t ，k n q r ，k ) 一i ( zk a f t p 。，k ) = 0 1 = 一1 所以算子丁至少有两个不动点u 1 与饥2 ，并且0 1 | | a + ) ，则边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个对称正解u ，满足0 i p l ( 或p 1 l i 珏1 1 ) 定理1 3 4 假设( h 1 ) ，( 矶) 成立，另设 ( 风) s o a 4 九( u ) ，s 0 ，1 】，u 陋2 ，2 】 则边值问题( 1 1 1 ) 至少有两个对称正解u 1 与u 2 ，并且0 1 i ! p 2 l i u ：1 1 推论1 3 2 如果( 风) 成立，并且如 入+ ( 或$ o o a + ) ，则边值问题( 1 12 1 ) 至少有一个对称正解u ，满足0 l | p 2 ( 或p 2 1 ，筇1 = 九，；1 + 石1 = 1 ，口( o ，1 ) ，7 7 ( o ，1 ) 是常数 推广并改进了一些已知的结果 2 2 预备知识 在这部分我们将给出几个定义和重要的引理 定义2 2 1 对7 7 ( 0 ，1 ) ，若函数让在( 7 7 ，1 ) 上是对称的，即对t 【0 ，1 ) ，我 们有u ( t ) = 乱( 1 一( t 一7 7 ) ) ，则称函数i t 是关于叩拟对称的 定义2 2 2 若函数i t 在【0 ，1 】上是正的拟对称的，并且满足方程( 2 1 1 ) ，则 称让是问题( 2 1 1 ) 的拟对称正解 在c 0 ，1 】上定义： 忆l i = m a x o _ t _ li u ( t ) l ，则( c o ，1 ，”1 1 ) 为实b a n a c h 空 间，令p = u c o ，1 】：u ( ) 0 ，t f 0 ，1 mk = u p ：u 在 0 ，l 】上是拟对 称凹的，且m i n t 【o 1 】i t ( t ) 刚u l l ，t 【0 ，1 】) ，( 5 = 硒2 a 函) ，易知p 是c 0 ，1 】中的 锥并且k 是p 中的子锥；对u k ，我们有i l i t l f = u ( 警) 本文将用到以下假设： 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 州牡溉如f ( r , u ( 忡r ) ) d r 渺) d s , ，篡， l 其中a = a 矽。( 学g ( r ) ，( r ，让( r ) ) 办) ，b = 君如( r 茅g ( t ) ，( 7 ，u ( r ) ) 打) d s 则边值 ( 丁钆) 0 ) = 一( g 一1 ) l g ( s ) ，( s ，u ( s ) ) d s l g - 2 q ( t ) f ( t ，乱( z ) ) 0 il 十竹 ( 丁钆) ( 1 一( t - 7 7 ) ) = a + b + 止( t - n ) 九厶g ( 7 ) ，( r ，钆( r ) ) ) 如 ，1 一j 掣 讲b + 7 7 姒f w 咖叫舶s( 2 2 2 ) ，c， = a + b + 口( g ( 7 ) ，( r ，“( r ) ) ) d s 对y t 【半，1 ，有( 1 一( t 一叩) ) 切，字】i 所以 ( 丁酬1 _ ( 胪a + 。( 仨。叫g ( r 删) ) d s = a + 1 姒丘如删鹏s ( 2 2 3 ) = ( t u ) ( t ) 1 5 第二章带p l a p l a c i a n 算子的二阶边值问题拟对称正解存在性 又直接验证可得 t u ( o ) = q ( t 钍) 7 ( 卵) ，7 k ( 7 7 ) = t u ( 1 ) 从而由丁u 的拟对称性和凹性可得 i t 训= t 锃( 砖翌) ，且对充分接近田的t 有 t u ( t ) 一t u ( t ；) 乳( 字) 一t u ( v ) t 一7 7一与字一7 7 t u ( t ) 一乳( 7 7 ) t 7 1 、t u ( 1 ) 一t u ( o ) 。1 。+ 。- 一 一 1 从而 字丁u 锄) 孔( 半) 一乳( ? 7 ) ，列( 叩) t 札( 叩) 一丁u ( o ) 故t u ( t ) 刚钍i l ，t 【0 ，1 】所以t ；k _ k 下证t 是全连续算子对礼2 ，如下定义算子写如下 ，懂 t