（基础数学专业论文）（21）维修正broerkaupkupershmidt方程的双线性化和精确解.pdf

摘要 孤子方程的研究是非线性科学领域中极具潜力的课题之一现在已经有很多方法得 到孤子方程的解其中，h i r o t a 方法是一种重要而直接的方法，它主要是把非线性方程化 成双线性方程，然后通过摄动法便可找到孤子方程的精确解本文考虑一个重要的孤子方 程；( 2 + 1 ) 。维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程，运用h i r o t a 方法将它化为双线性方程 ，从而得到单孤子解双孤子解以及1 1 孤子解 本文主要分五个部分第一部分是引言，主要介绍了有关孤子理论和h i r o t a 方法的一 些背景知识的介绍 第二部分，考虑了( i + i ) 一维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 孤子方程( 如下) 的双 线性化 ：- - 纛1 u ：三：+ 5 c 。 下面我f f l 弓l 入双对数变换： “( 训) = 一扣；) 。 将孤子方程化成了双线性形式： 嘞曾_ 2 幻2 ( 0 - 3 ) 【( 巩一 d ；) ，g = a ，9 。 第三部分，用摄动法求出了孤子方程的精确解第四部分，先求出( 2 + 1 ) 维修正 b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 孤子方程( 如下) 的双线性形式 i 毗= ( 扣。一2 u 3 3 u o - 1 嘶b 1 地：( 。一v - - 3 “2 v - - 3 。扩1 嘶) 。 ( o 4 ) 我们引入了同样的双对数变换 将孤子方程化成了双线性形式： 巾m 归一；( h 务 v ( x ，y ，t ) = 一( 1 n ，g ) 。 然后用摄动法求出了孤子方程的一种新的孤子解 ( 0 5 ) 关键词：h i r o t a 方法，( 2 + 1 ) 一维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 孤子方程，n - 孤波解 o o o i | i | = g 9 g9，j，j 珑翰瑚 l 一2 1 4 一 一 功 ( ，i_，l-_【 a b s t r a c t t h es o l i t o ne q u a t i o ni so n eo ft h em o s tp r o m i n e n ts u b j e c ti nt h ef i e l d so fn o n l i e a rs c i e n c e i n t h i sp a p e r w ec o n s i d e ram o d i f i e db r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d te q u a t i o n t h e r ea r es e v r a ls y s t e m a t i c a p p r o e h e st 0o b t a i ns o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n t h eh i r o t a sd i r e c tm e t h o dh a sb e e np r o v e dt o b eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o di ns o l i t o nt h e o r y i nt h ep a p e r ，t h em o d i f i e db r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d te q u a t i o na r et r a n s f o r m e di n t oab f l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s o m ee x a c ts o l u t i o n s f o rt h ee q a t i o n sa r eo b t a i n e db yh i r o t am e t h o d i nt h i st h e s i s ，t h e r ea r ef o u rp a r t s i ns e c t i o no n e ，w em a i n l yi n t r o d u c eb a c k g r o u d i n gk n o w l - e d g ea n dt h ee s s e n t i a l so ft h ed i r e c tm e t h o d si ns o l i t o nt h e o r y i ns e c t i o nt w o ，w ec o n s i d e rt h e ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o nm o d i f i e db r o e r - k a n p - k u p e r s h m i d ts o l i - t o ne q u a t i o n t h e ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o nm o d i f i e db r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d ts o l i t o ne q u a t i o nv a l lb e t r a n s f o r m e di n t ob i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h r o u g hb i - l o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o n t h eb i l o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o n sa r e ： “( z ，) = 一尹1 g - ) 。 v ( x ，) = - ( i n f g ) 。 a n dt h eb i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r e ： j 助9 _ 2 幻2( 0 6 ) 【( 巩一 珑) ，g = a 如 s o m ee x a c ts o l i t o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yh i r o t am e t h o d i ns e c t i o nt h r e e ，w e c o n s i d e rt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o nm o d i f i e db r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d ts o l i t o ne q u a t i o n t h e ( 2 + 1 ) 一 d i m e n s i o nm o d i f i e db r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d ts o l i t o ne q u a t i o nc a r tb et r a n s f o r m e di n t ob i l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h r o u g hb i - l o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o n t h eb i - l o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o n a r e ： 巾m 归一；( k v ( x ，y ，t ) = - ( 1 n f g ) 。 a n dt h eb i l i n e o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so r e ： s o m ee x a c ts o l u t i o n sf o rt h ee q a t i o n sa r eo b t a i n e db yh i r o t am e t h o d ( 0 7 ) k e yw o r d s ：h i r o t am e t h o d ，( 2 + 1 ) d i m e n s i o nm o d i f i e db r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d ts o l i t o n e q u a t i o n s ，n s o l i t o ns o l u t i o n ； 1 v 0 o 0 = | | i | 口 g g 妇v vd 磷磷 l 一2 l 一4 一 一 仇 ，v，l ，_，、_iil-l o引言 随着科学的发展，人们发现在客观世界占统治地位的是非线性现象，因而人们对非 线性科学研究投入了极大的热情孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它反映了 一类非常稳定的自然现象如江河中某一类水波，光纤中光信号的传播，等离子体中的磁流 体流动波等在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量子场论等诸多学科 中孤立子理论都起着重要的作用人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念，一般 说，任何空间中传播的扰动，都称为波在传播中不改变形状，大小和方向的波称为孤波 两个孤波经过相互作用仍不改变形状，大小和方向，成为孤立子( 简称孤波) 孤立波具有 非常奇特的性质，它们在相互作用时保持稳定的波形，这颇类似于粒子的性质，即它同时 具有粒子和波的许多性质它反映了非线性科学中一类较为稳定的现象早在1 8 3 4 年， 英国科学家s o r t r u s s e l 就发现了孤子水波，随着近代数学与物理的发展，近几十年来， 人们在流体等离子体，非线性光学，生物神经传播等一系列领域中，都观察到孤立子孤 立子理论已成为非线性科学的一个重要研究领域，它引起人们极大的兴趣孤立子理论的 兴起，对求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了新的内容有着十分重要的意 义孤子理论已成为研究非线性方程的主要手段之一孤立子理论在流体力学，等离子体 物理，非线性光学、经典场论、量子场论、化学、通讯，生命科学等诸多学科都有重要应 用，是一门涉及多学科，多领域的研究领域研究手段和方法在数学上涉及有经典分析和 泛函分析、微分方程和动力系统、l i e 群、l i e 代数和无穷维代数，微分几何、拓扑学、复 分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支数十年来，孤立子理论一直受到 国际上数学界和物理学界的充分重视，研究工作十分活跃，每年都有大量的科研论文出现 于专业期刊以及相关方面的专著出版孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成 部分，许多科学领域如流体力学等离子体物理非线性光学，聚态物理，超导物理，经典场 论和量子场论等都包含着和孤立子理论密切相关的问题，利用孤立子理论已经成功的解释 了物理上长期用经典理论未能得到解答的现象早在1 8 3 4 年，英国著名科学家r u s s e l l 观察 并记录了孤立波现象【1 ，2 】，他认为这种孤立波是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤 立波”r u s s e l l 当时未能成功地证明并使物理学家信服他的论断直到1 8 9 5 年，荷兰著 名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波运动，得到了著名的k d v 方程，从 而在理论上证实了孤立波的存在性【3 】，1 9 6 5 年美国著名科学家z a b u s k y 和k r u s k a l 通过数 1 值模拟k d v 方程详细地考察和分析了等离子体中孤立波非线性相互作用后不改变波形和 波速的论断由于这种孤立波具有类似粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种孤立波为孤 立子【4 】 随着对孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成了 比较完整的理论体系对孤子方程，近年来已经有许多求解的方法，例如反散射方法，达 布变换法，贝克隆( b a c k l u n d ) 变换，代数几何法，双线性( h i r o t a ) 方法睁1 4 】这些方法各 有特点，也有其内在联系其中，h i r o t a 方法是一种重要而直接的方法，相对于反散射方 法而言，被称为直接方法，这种方法的优点在于它是一种代数而不是解析的方法h i r o t a 方法是1 9 7 1 年h i r o t a 1 5 】为了求出k d v 方程的多孤子解而发展起来的，这种方法已从求 k d v 方程，m k d v 方程【16 】，s i n e - g o r d o n 方程【17 】，非线性薛定鄂方程【18 1 的n 一孤立子解 而发展成一种求解一大批非线性偏微分方程孤立子解的相当普遍的方法这种方法的关 键是相关的变量变换，把非线性方程化成了双线性方程，之后通过摄动方法找到方程的精 确解关于( 1 + 1 ) 维孤立子方程的研究已经有很成熟的理论和方法但对于高维的孤子方 程研究很少，8 0 年代后，人们逐渐开始把注意力转移到高维空间问题上 在这篇论文中，我们主要运用直接方法来求解( 2 + 1 ) 维的修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程族【1 9 2 2 】的精确孤子解本文考虑一个重要的孤子方程；( 2 + 1 ) 一维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程，运用h i r o t a 方法将它化为双线性方程，从而得到单孤子解双孤子解以 及n 孤子解 2 1( 1 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双线性化 首先考虑( 1 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 的方程： 纠 a y2 - - l u x z - - 2 u a x 扛 ， 下面我们主要将( 1 1 ) 的两个方程分别化成双线性形式的微分方程 为此我们引入变量代换； u ( 刎) = ；( h 和 v ( x ，y ) = - ( i n ，9 ) 。 然后将u ，v 的表达式分别代入( 1 1 ) 的两个方程 代入( 1 1 ) 第一个方程得： 一；( c n ；) 。，= i 1 ( f n ；) 。一j 1 ( f n ；) 。( z n ；) 。一；( z n ，a ) 。 对匕式两端美于x 积分并敢积分常数为零可得。 其中 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 一；( f n ；) ”= i ( z n ；) z 。一i 【( 打t ；f ) 。】2 一；( f n ，g ) 。 ( 1 5 ) 沏批与产 c 峥= 与产 ( 略。= f x z g - - 广f g x x + 雾一箬 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 n 埘。f x x g - 2 万f x g x + 一f g j ：x + 盟萼笋丝 ( 1 9 ) 所以方程( 1 5 ) 可写为如下形式， 3 一1 2 必f g = 兰4 【 i 进一步化简整理得； | z z 9 一| g z 。 1 - 2 一! 地二盟： 2 f g f 9 。z g 一 碍 2 k g z + 一矿f ：j 掣1 与产】2 丝+ 堑铲f g 1 ( g x 。g 一露) 2 9 2 一三盘塑二! 盘丝丝1 4|g 下面我们引入双线性算子： 叫m n = 【( 羞一面0 ) ”( 丽0 一万0j n 咖，彬( z ，堋= z ，t ，= t d g f g = | v g f g v d z d u f g = z h g 一| 一 h g t + | g z 。 第一个方程的双线性形式为： 即得 进一步可分解为 对于第二个方程来说，将 代入可得 d ：f g = f z 。g 一2 f 。+ 9 z 。 d ：，f = 2 ( 厶。f 一层) 里血一! 盟：兰麴 f g 2 f 9 2 9 2 ( 巩一互1 2 ) ，。= 丢嘞， f 珑鲫：2 a 9 2 i ( 一! ，d 2 、f g ： 向 缸= 一；( 1 n v = - ( 1 n 俐一 一( t n ，g ) = 一互1 ( z n ，9 ) 一；f ) 。( f n ，9 ) 。叫z 4 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 - 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 1 ( 1 1 9 ) 对上面等式两端关于x 积分并且取积分常数为零，得 展开并整理得 一( 1 n 埘。，一弘1 呐) 一z - ( f n ；) 羽嗍k ( 1 2 。) 盘丝二盘盟二盘墅丝2 一生2 二墅盘旦二 l gig|g 三盘! 塑二! 垒丝! 盘堑二丝1 2 i g 可写为如下双线形形式 ( 1 2 1 ) 。幽一塑警=互1百d3fgj1百d：fg百djffigi g ( 1 2 2 ) ，g 2 ，g2 ，g，9 。1 可变为t 丝学= 警【盟警业l ( 1 2 3 )| q39。lg 。 也就是： ( 仍d y 一；珑) ，t g = a 仇，g ( 1 2 4 ) 所以我们借助于h i r o t a 双线性算子最终将( i + i ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程可 以化为如下的双线性形式： d 2 9 g = 2 a 9 2 ( 巩一 d ；) ，9 = a ，9 ( 也巩一i 1 3 ) ，g = a d z f g 5 ( 1 2 5 ) 2( 1 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的精确解 在上一节，我们求出了( 1 + 1 ) 维修正b r o e r k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双线性形式，在这 里我们取a = 0 可得到： 噬g g = 0 ( d r j 1 一。2 ) ，g = 0 ( d x d v j 1 一z 3 ) ，g = 0 接下来我们用摄动法求它的孤子解为此我们取： g = 一，”= p x + q y + 叩0 兵甲町u 为仕惹常效 假设f 可按e 展成如下级数： f = 1 + p + f 2 孑+ + p 妒+ 将g , f 代入双线性方程可得： d 2 x e = 0 ( d 一j i “。2 ) ( 1 + ，1 e + ，2 e 2 + + f j d + ) 印= o ( d x d v 一；磋) ( 1 + + 佟2 + + 户一十) e ”= o 而( 2 4 ) 式显然成立 下面比较等式( 2 5 ) ( 2 6 ) 两端e 的同次幂的系数，可得下列方程： c o ： ( d r 一扫1 e e = o e 1 ： ( d r 一；珑) 产e u = 0 e 2 ： ( d r 一；珑) ，2 矽= o 3 ： ( d r 一互1 。2 j ，3 一= o r ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 和 从( 2 7 ) 式得 所以有 从( 2 1 1 ) 式得： 所以有 取 其中，和u - 是任意常数 ( 见巩一互1 u 。3 ) l - e r = j ( 仉巩一；d a z ) f 1 e r l ：0 ( d 。d y 一：d a x ) f 2 驴：0 ( d 。巩一j 1 3 j ，3 e q = o 。e ”一1 p 2 e o = 0 q = ；p 2 一p 。e q p a e n = o p q = ；p 3 ，1 = e 6 ，l = k l x + 1 y + f 1 1 7 1 1 1 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 从( 2 8 ) 式得 所以有等式 从( 2 1 2 ) 式得： 所以有等式 u 1 毒，+ q q e - + 一l ( k l p ) 2 e ，+ q = o( 2 1 9 ) u - 一q = ；( k l - p ) 2 ( 2 2 0 ) 0 1 1 - - q ) ( k 1 一p ) e f l + r _ ；( 女1 一p ) 3 e a + q = o ( 2 2 1 ) w - - q ) ( 1 一尸) = ；( k l - 尸) 3 ( 2 2 2 ) 成立 而取，2 = ，3 = = 0 时，后面式子显然成立所以f 可以被有限截断 此时我们取e = 1 ，于是得到f 的有限截断形式形式为 f = 扛，y ) = 1 + e 1 把 和g 代入“= 一5 ( 1 n ；) 。，”= 一( 1 n f g ) 。得到 u ( 训) 一l t , o 半k v ( x ，y ) = 一i t s ( 1 + e 1 ) e o z z 这就是( 1 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的单孤子解 若取 f 1 = e 1 + e 屯，6 = 。+ w i y + 矗，i = 1 ，2 其中觑，撕是任意常数 从( 2 8 ) 式得； ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) l e f ，+ 叶一。e f ，+ 口一i l k l 一p ) 2 - + 叶十u 2 e f z + 叶一q e 如+ 叩一；( 南2 一p ) 2 e e 2 + v = o ( 2 2 6 ) 8 所以有等式 成立 从( 2 1 2 ) 式得 u 一q = ；( 七，一p ) 2 忱一。= i ( 乜一p ) 2 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) c 0 1 - - q ) ( 女l p ) e 自+ _ 一；( l p ) 3 毒l + q + ( 眈一q ) ( 2 一p ) e 如+ 目一；( 也一p ) 3 e e 2 + y _ - - o ( 2 2 9 ) 所以有等式 ( a ) 1 - 。) ( 1 一尸) = ：( k l - p ) 3 ( u 2 一q ) ( k 2 一p ) = ；( k 2 - p ) 3 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 成立 所以可取f 2 = 0 ，如此继续下去，很容易导出，3 = ，4 = = 0 时，后面式子显然成 立 所以f 可以被有限截断，此时我们取e = 1 ，于是得到f 的有限截断形式为 把上式和g = e r 代入 f = ，2 ，y ) = l + g ，+ 毋 “( z ，) = 一l ( 1 ng f - ) x , v = - ( h l f g ) z z 于是得到( 1 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双孤子解 ”( z ，) = 一互1 口n 兰学】。 ( z ，y ) = 一 n ( 1 + e f - + e 缸) 】黜 9 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 接下来我们取 f 1 = 毒- + 毋+ + e 靠，矗= k i x + 岫+ 毛 其中岛和咄是任意常数。 从( 2 8 ) 式得。 u e 6 + ”一q e 乳+ ”一：( ，一p ) 2 e l + r lq - u , , 2 e z + r t - - 。e 如+ ”一；( 。一尸) 2 e f 2 + 1 1 + i - u ) n e n + r l - - q 扣蜘一；( 。一p ) 2 毋h = o 所以有等式 成立 从( 2 1 2 ) 式得： 。l q = 互1 ( l p ) 2 w 。一q = ：( k 2 - p ) 2 一q ：；( 一p ) 2 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 ，3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 6 d 1 - - q ) ( 1 一p ) e f t + r t _ ；( - 一p ) 3 e t f l + r lj r - ( 。2 一。) ( z p ) e 如+ q 一；( k 2 - p ) 3 e 缸+ ”( 2 4 1 ) + + ( 一q ) ( h p ) e 靠+ ”一；( 一p ) 3 e n + q = o ( 2 4 2 ) 所以有等式 ( w 1 - - q ) ( h p ) = ；( k l - p ) 3 ( t u 2 - - q ) ( k 2 一p ) = ；( 乜一p ) 3 1 0 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 一q ) ( a n p ) = ；( 一p ) 3 ( 2 4 6 ) 成立 所以可取，2 = 0 ，如此继续下去，很容易导出，3 = ，4 = = 0 时，后面式子显然成 立 所以f 可以被有限截断，此时我们取e = 1 ，于是得到f 的有限截断形式为 ，= 厶( 。，y ) = 1 + e e l + e 缸+ + e 知( 2 4 7 ) 把上式和g = 印代入 u = 一扣务 u = 一互【m i ) z 口= 一( 1 1 l ，9 ) 。 于是得到( 1 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的n 孤子解： “( 训) = 一扣n v ( x ，y ) = 一 n ( 1 + ，+ e 缸+ + e 矗 k + 毋) e ”】。 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 3( 2 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双线性化 首先给出( 2 + 1 ) 维修正b r o e r k a u p - k u p e r s h m i d t 方程： 薹1 u 二翥二篡兰蝴 其中u ，v 是关于x ，y ，t 的函数 对u ，v 我们作如下代换： 心幽归一；( 1 n 乒 v ( x ，t ) = 一( i n f g ) z z 在次变换之下( 2 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的第一式可化为 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 一；( 1 n ；) 。t = 一i 1 ( 1 n 石f ) 。z z + i 【( 1 n 石f ) z 】3 一夏3 ( 1 n 石f ) 。( 1 n ；) v z ( 3 4 ) 对上式两端关于x 积分并取积分常数为零，可得： 展开并整理得 一；( 1 n ；) t = 一百1 ( 1 n 石f ) 。+ ；【( 1 n ；f ) 。】3 一五3 ( 1 n ；k ( 1 n ；) ， ( 3 5 ) 氕g f g t1 f # z z g 一3 f z z g z + 3 | z g x x l g z z z | ga|g 3 l 。g 一2 z g 。+ f g t z f 。g f g t j3 | 。g 一| g z h g f g u 4 ，9f g 。2 y gf g 利用双线性导数上式可进一步写成 进而得到 百d r f g = 互1 百d 2 z f g 一兰4 麴f g 警+ 兰2 业f g 啦f g ( 3 j 6 ) | g趣s gl g j 、一 半= 3 百d z f g t 盟鲁】 ( 3 z ) 1 2 所以有 ( 现一五1 u 。3 ) ，9 = o 在次变换之下( 2 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的第二式可化为 ( 3 8 ) ( 1 n f g ) z 武= ：( 1 1 l 乃) x z z x + ；( 1 n 川乞+ 3 【；( 1 i l 扣【l n ( ，9 ) 。】+ 3 【；( 1 1 1 石f ) 舢n 川圳) 。( 3 9 ) 对上式两端关于x 积分并取积分常数为零，可得； ( i n f g ) 舯= 五1 ( 1 n f g ) z z z x + 扣俐：。+ 3 【；( 1 1 l 扣【l n ( 乃) 。】+ 3 【扣；f ) 棚n 埘圳( 3 1 0 ) 展开整理可得， l n g f z g t l t + f g z tj | z f t 9 2 一| 。9 t f g f t g z f g + g x g t f 2 f g j 1 2 9 2 ：l f z x z z g - 4 f z x z g x + 6 f x z g x z - - 4 f x g x x x + f g z z z z 4 。 ，g | z z z g 一3 | z z g t 七3 。g z z 一 g 。：z | 。g f g z f gf g s 地萼笋型仙地型等铲必一。掣】 3 t | z 。g 一2 。g 。+ | g 。砖铲+ 2 f x g x f g + f 2 彘恺 4 。 f gf 2 9 2 o + 兰盘! 二丝1 2 f z z g - 2 f x g z + f g z , z 一篮! 盘丝鱼：堡1 譬| g“|g f 。o g z l 一兰墨! 二墅f 盘塑二盘鱼二盘丝丝! 一盘盘芝二盘塑丝二：墅鱼丝鱼1 利用双线性导数可得 又因为 ( d t 一；d 3 ) f g = o fd 2 x g g = o l ( d r j 1 2 ) ，9 ：o ( 3 1 2 ) 于是得到了( 2 + 1 ) 一维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双线性形式 d 知g = 0 ( 巩一j 1 一。2 ) ，g = 0 ( d t i 1 一。3 ) ，g = 0 1 4 ( 3 1 3 ) 4( 2 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的精确解 在上一节，我们求出了( 2 + 1 ) 维修正b r o e r k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双线性形式，接下 来我们用摄动法求它的孤子解 为此我们取： g = e ”，口= p x + q y + n t + 矿 其中q o 为任意常数 假设f 可按e 展成如下级数： f = 1 + r + f 2 c 2 + 十p p + 将g , f 代入双线性方程可得： d ：矛一= 0 ( 岛一互1 。2 ) ( 1 + ，1 + ，2 e 2 + + ，一+ ) 印= o ( d r 一五1 3 f 1 + ，2 e 2 + + f j da - ) = 0 而( 4 3 ) 式显然成立 下面比较等式( 4 4 ) ( 4 ，5 ) 两端s 的同次幂的系数，可得下列方程： e 0 ： ( d 一；d ：) 1 e 叩= o 1 ： ( 巩一2 1 _ 9 2 、，f 1 。, o r = o e 2 ： ( 巩一1 2 d 2 、，2 p ，r = 0 g , 3 ： ( d y 一；噬) ，3 e ”= o ： 1 5 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) e n 和 扩 e 0 由( 4 6 ) 可得 ( 巩一j l u 。2 ) ，“e r l = 0 ( d t 一五1 2 ) 1 一= 0 ( 现一；理) 产矿= o ( d t 一五1 2 ) ，2 矿= o ( d r d 2 ) f e l = o ( 功一i d ：) f n e l = o 接下来我们求方程的单孤子解，为此取 其中1 ，u 1 ，7 l 是任意常数 ，1 = 乒1 ，车1 = 七1 z + u 1 y + 一y 1 + f 1 1 ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) | | 矽 p 一 酽 代入( 4 7 ) 式得： 所以有等式 由( 4 6 ) 可得： 再把 代入( 4 1 2 ) 得 ( c 0 1 - - q ) e 6 + 目一；( 七1 一p ) 2 毒t + q = o ( 4 1 8 ) u 一q = ；( 克一p ) 2 ( 一q + ；p 3 ) e 叶= o n ：三p 3 4 ，1 = 毒- ( 9 1 - q ) ，l + | - - 知一p ) 3 e 针”= o 旷n = i ( k l - p ) 3 易见当 f 2 = ，3 = = ，”= = 0 时( 4 8 ) ( 4 1 3 ) 以及后面的式子自然成立， 所以当取 ，2 = ，3 ；= ，”= = 0 时可被有限截断为如下形式； 此时我们仍取 ，= ，1 ( ，t ) = 1 + e e a 9 2e r 1 7 ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 于是得到( 2 + 1 ) 一维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的单孤子解 若取 “( z ，y ，t ) = 一；p n 丁1 + e l b ( z ，y ，t ) = 一阶( 1 十一z ) e ”】。 ，1 = 毒1 + e 缸，6 = k i x + 咄可+ m t + 6 ，i = 1 ，2 其中岛触，3 i 是任意常数 从( 4 ，7 ) 式得： 所以有等式 成立 从( 4 1 2 ) 式得 所以有等式 ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) c _ d - - q l ( k 1 一p ) 2 胪+ ”+ 一q 一互1 、k 2 一p ) 2 妒+ 目= o ( 4 2 7 ) u t q 一；( 七- 一p ) 2 = o 忱一。一l k 2 一p ) 2 = 0 ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) f f l - - q 一扣一p ) 3 妒+ ”+ m n j ( z p ) 3 】) 毋+ ”= o ( 4 3 0 ) 饥一q 一；( h p ) 3 = o 恤一q 一：m 一扩= o ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) 成立 所以可取，2 = o ，如此继续下去，很容易导出，3 = 尸= = 0 时，后面式子显然成 1 8 立 所以f 可以被有限截断，此时我们取e = 1 ，于是得到f 的有限截断形式为 ，= h ( x ，y ，t ) = 1 + e f l + e 如 把上式和g = e 町代入“= - 0 n j ) 。，”= - ( 1 n f g ) 。 于是得到( 2 + 1 ) 维修正b r o e r - k a u p - k u p e r s h m i d t 方程的双孤子解 出删= 一扣学k 口扛，y ，t ) = 一i n ( 1 + e e l + e 缸) e ”k z 接下来我们取 ，1 = e f l + e 2 + + e 矗，矗= k i x + 咄掣+ m t + 靠 ( 4 3 4 ) ( 4 3 5 ) i = 1 ，2 ，n 其中，毗，m 是任意常数 从( 4 7 ) 式得； c o l - q 一；( t p ) 2 】) e - + q + p 。一q 一；( 2 一p ) 2 】) e f 。+ ”+ + k 一q l ( k 。一p ) 2 】) z n + q = o ( 4 3 6 ) 所以有等式 成立 从( 4 1 2 ) 式得 u ，一q 一；( 一p ) 2 = o 眈一q 一；( 。一p ) 2 = o 一q 一互1 、k 。一p ) 2 = o ( 4 3 7 ) ( 4 3 8 ) 一1 - q 一扣- p ) 3 】) 扩叫加一q 一：( 妒p ) 3 】) 舻h + 一n 一；_ p ) 3 】) e 知抑= o ( 4 4 0 ) 1 9 所以有等式 饥一q 一扣_ p ) 3 = o 能一q 一：( 乜- p ) 3 = o ( 4 4 1 ) ( 4 4 2 ) 一n 一：一p ) 3 = o ( 4 4 3 ) 成立 所以可取，2 = 0 ，如此继续下去，很容易导出，3 = ，4 = = 0 时，后面式子显然成 立 所以f 可以被有限截断，此时我们取e = 1 ，于是得到f 的有限截断形式为 把上式和g = 印代入 ，= 厶 ，y ，t ) = 1 + ，+ e 如+ + e 矗( 4 4 4 ) u ( z ，f ，t ) = 一互1 ( 1 n ；) z ，”( z ，f ) = 一( 1 n ，9 ) z z 得到( 2 + 1 ) 维修正b r o e r - k “p _ k u p e r s h m i d t 方程的n 孤子解： “( 圳) = 一扣生生鲁堕】。 ，y ，t ) = 一 1 u ( 1 + 乒1 + e 缸+ + e 如) e 町】黜 ( 4 4 5 ) ( 4 4 6 ) 参考文献 1 s c o t tac ，c h u nfyfa n dm c l a u g h l i ndw ，t h es o l i t o n - an e wc o n c e p ti na p p l i e ds c i e n c e ，p r o c ， i e e e ，6 1 ( 1 9 7 3 ) ：1 4 4 3 - 1 4 8 3 【2 2 r u s s e l ljs ，”r e p o r to nw a v e s ”，r e p o r to ft h e1 4 t hm e e t i n go fb r i t i s ha s s o s o c i a t i o nf o rt h ea d - v a n c e e n to fs c i e n c e ，1 8 4 4 ，j o h nm u r r a y , l o m d o n ，p p 3 1 1 - 3 9 0 【3 】h i r o t ar ，e x a c ts o l u t i o no ft h es i n e - g o r d o ne q u a t i o nf o rm u l t i p l ec o l l i s i o n so fs o l i t o n s ，j p h y s s o c j p n 3 3 ( 1 9 7 2 ) ：1 4 5 9 - 1 4 6 3 4 】g a r d n e rcs ，g r e e n ejm ，k r u s k a lm da n dm i u r arm ，m e t h o df o rs o l v i n gt h ek o r t e w e g - d e v r i e s e q u a t i o n ，p h y s r e v l e t t 1 9 ( 1 9 6 7 ) ：1 0 9 5 - 1 0 9 7 【5 】m t s u m oy ，b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，a c a d e m i c ，n e wy o r k ，1 9 8 4 【6 1w a h l q u i s thda n de s t a b r o o kfb ，p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e sa n dn o n l i n e a re v e l u t i o ne q u a t i o n s ，j m a t h p h y s 1 6 ( 1 9 7 5 ) ：1 2 9 3 - 1 2 9 7 【7 k o r t e w e gdja n dg d ev r i e s ，o nt h ec h a n g eo ff o r mo fl o n gw a v e sa d v a n c i n gi nar e c t a n g u l a r c a n a l ，a n do nan e wt y p eo fl o n gs t a t i o n a r yw a v e s ，p h i l m a g 3 9 ( 1 8 9 5 ) ：4 2 2 - 4 4 3 l z a b n s k ynja n dk r u s k a lmd ，i n t e r a c t i o no fs o l i t o n snac o l l i s i o n l e s sp l